Archivo de la etiqueta: isometría

Variable Compleja I: Transformaciones del plano complejo $\mathbb{C}$

Por Pedro Rivera Herrera

Introducción

En las entradas anteriores hemos abordado de manera formal el concepto de función en el sentido complejo así como algunas de sus propiedades más importantes como la continuidad y la diferenciablidad.

Para esta entrada, así como para las últimas dos entradas de esta unidad, nuestro objetivo será darle una interpretación geométrica a las funciones complejas de variable compleja. Para ello recurriremos al concepto de transformación, desde una perspectiva Geométrica, es decir, como una transformación del plano en sí mismo y desde la perspectiva del Álgebra Lineal considerando lo que sabemos de $\mathbb{R}^2$ como un $\mathbb{R}$-espacio vectorial.

Observación 24.1.
Recordemos que una transformación del plano $\mathbb{R}^2$ es una función $T:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, es decir, una función del plano en sí mismo. En algunos textos suele pedirse que $T$ sea una función biyectiva, sin embargo, como veremos en esta entrada, la mayoría de las transformaciones con las que trabajaremos cumplirán esta propiedad.

Definición 24.1. (Transformación compleja.)
Una transformación compleja o simplemente una transformación del plano complejo es una función $T: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$, es decir, una función del plano complejo $\mathbb{C}$ en sí mismo.

Considerando que hemos construido a $\mathbb{C}$ mediante $\mathbb{R}^2$ y el hecho de que $\mathbb{R}^2$ es un $\mathbb{R}$-espacio vectorial, podemos definir el concepto de linealidad para transformaciones complejas.

Definición 24.2. (Transformación compleja $\mathbb{R}$-lineal.)
Sea $T : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ una transformación. Entonces, $T$ es $\mathbb{R}$-lineal si:

  1. $T(z_1 + z_2) = T(z_1) + T(z_2)$, para todo $z_1,z_2\in\mathbb{C}$,
  2. $T(\lambda z) = \lambda T(z)$, para todo $\lambda\in\mathbb{R}$ y para todo $z\in\mathbb{C}$.

Definición 24.3. (Transformación compleja $\mathbb{C}$-lineal.)
Sea $T : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ una transformación. Entonces, $T$ es $\mathbb{C}$-lineal si:

  1. $T(z_1 + z_2) = T(z_1) + T(z_2)$, para todo $z_1,z_2\in\mathbb{C}$,
  2. $T(\lambda z) = \lambda T(z)$, para todo $\lambda\in\mathbb{C}$ y para todo $z\in\mathbb{C}$.

Proposición 24.1.
Toda transformación $T : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ que es $\mathbb{R}$-lineal es de la forma:
\begin{equation*}
T(z) = \lambda z + \mu \overline{z},
\end{equation*}
donde $\lambda = \dfrac{a – ib}{2}$, $\mu = \dfrac{a + ib}{2}$, con $a = T(1)$ y $b=T(i)$.

Demostración. Dadas las hipótesis, sea $z=x+iy\in\mathbb{C}$. Como $T$ es $\mathbb{R}$-lineal, entonces:
\begin{equation*}
T(z) = T(x+iy) = x T(1) + y T(i).
\end{equation*}

Definimos $a := T(1)$ y $b := T(i)$, dado que:
\begin{equation*}
x = \frac{z + \overline{z}}{2} \quad \text{y} \quad y = -i\left(\frac{z – \overline{z}}{2}\right),
\end{equation*}

entonces:
\begin{equation*}
T(z) = a\left(\frac{z + \overline{z}}{2}\right) -ib\left(\frac{z – \overline{z}}{2}\right) = \lambda z + \mu \overline{z},
\end{equation*} donde $\lambda = \dfrac{a – ib}{2}$ y $\mu = \dfrac{a + ib}{2}$.

$\blacksquare$

Proposición 24.2.
Toda transformación $T:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ que es $\mathbb{C}$-lineal es de la forma:
\begin{equation*}
T(z) = \lambda z,
\end{equation*} donde $\lambda = T(1) \in\mathbb{C}$ es una constante.

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Proposición 24.3.
Sea $T$ una transformación $\mathbb{R}$-lineal, cuya matriz asociada es $A\in M_{2\times 2}(R)$ (considerando la base estándar de $\mathbb{R}^2$). Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

  1. $T$ es $\mathbb{C}$-lineal, definición 24.3.
  2. $T(iz) = i\,T(z)$ para todo $z\in\mathbb{C}$.
  3. $A = \begin{pmatrix} a & -b\\ b & a \end{pmatrix}$ para algunos $a, b\in\mathbb{R}$.
  4. $T$ es una multiplicación compleja, es decir, existe algún $\lambda \in\mathbb{C}$ tal que $T(z) = \lambda z$ para todo $z\in\mathbb{C}$.

Demostración.

1. $\Rightarrow )$ 2.

Es inmediata de la definición.

2. $\Rightarrow )$ 3.

Sea $A = \begin{pmatrix}
a & c\\
b & d
\end{pmatrix}$, con $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ la matriz asociada a $T$. Entonces tenemos:
\begin{align*}
T(i) & = \begin{pmatrix}
a & c\\
b & d
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0\\
1
\end{pmatrix}\\
& = \begin{pmatrix}
c\\
d
\end{pmatrix}\\
&= c + id.
\end{align*}

Por otra parte:
\begin{align*}
i\,T(1) & = i \begin{pmatrix}
a & c\\
b & d
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix}\\
& = i\begin{pmatrix}
a\\
b
\end{pmatrix}\\
&= i(a + ib)\\
& = -b + ia.
\end{align*}

Por hipótesis tenemos que $T(i) = i \, T(1)$, por lo que $c = -b$ y $d = a$, de donde se sigue el resultado.

3. $\Rightarrow )$ 4.

Sea $z = x+iy\in\mathbb{C}$, entonces:
\begin{align*}
T(z) & = A\,z\\
& = \begin{pmatrix}
a & -b\\
b & a
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}\\
&= (ax – by) + i(bx + ay)\\
& = (a+ib)(x+iy),
\end{align*}

por lo que tomando $\lambda = a + ib\in\mathbb{C}$ se tiene que $T(z) = \lambda z$, para toda $z\in\mathbb{C}$.

4. $\Rightarrow )$ 1.

Se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Observación 24.2.
El resultado anterior nos dice cuáles transformaciones $\mathbb{R}$-lineales, pueden ser vistas también como transformaciones $\mathbb{C}$-lineales.

Más aún, dado que $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$, debe ser claro que una transformación que es $\mathbb{C}$-lineal en particular es $\mathbb{R}$-lineal, sin embargo el recíproco no se cumple.

Ejemplo 24.1.
a) Sea $T:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ dada por $T(z) = \overline{z}$. Es fácil verificar que $T$ es una transformación $\mathbb{R}$-lineal, por lo que se deja como ejercicio al lector. Por otra parte, notemos que para todo $z=x+iy\in\mathbb{C}$:
\begin{equation*}
T(z) = \overline{z} = x – iy,
\end{equation*} por lo que:
\begin{equation*}
T(i) = \overline{i} = -i,
\end{equation*} mientras que:
\begin{equation*}
i\,T(1) = i\,\overline{1} = i(1) = i,
\end{equation*} entonces considerando la proposición 16.2 es claro que $T$ no es $\mathbb{C}$-lineal.

b) Sea $T:\mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}\setminus\{0\}$ dada por $T(z) = \dfrac{1}{z}$. Es fácil verificar que $T$ no es una transformación $\mathbb{R}$-lineal ni tampoco $\mathbb{C}$-lineal, por lo que se deja como ejercicio al lector. A esta transformación se le llama inversión.

De acuerdo con los resultados de la entrada 18 y considerando la proposición 24.3, debe ser claro que existe una estrecha relación entre a diferenciabilidad en el sentido complejo y las transformaciones $\mathbb{C}$-lineales, pues como sabemos, la diferenciabilidad en el sentido real de una función $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ no basta para garantizar la diferenciabilidad compleja.

Proposición 24.4.
Sean $U\subset\mathbb{C}$ un conjunto abierto y $f:U\to\mathbb{C}$ una función. Se dice que $f$ es complejo diferenciable en $z\in U$ si existe:
\begin{equation*}
\lim_{h\to 0} \frac{f(z+h) – f(z)}{h}. \tag{24.1}
\end{equation*}

Mientras que, se dice que $f$ es real diferenciable en $z\in U$ si existe una transformación $\varphi : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$, la cual es $\mathbb{R}$-lineal, tal que:
\begin{equation*}
\lim_{h\to 0} \frac{f(z+h) – f(z) – \varphi(h)}{h} = 0. \tag{24.2}
\end{equation*}

Entonces se cumple que:

  1. si $f$ es complejo diferenciable en $z\in U$, entonces $f$ es real diferenciable en $z\in U$;
  2. si $f$ es real diferenciable en $z\in U$ y la transformación $\mathbb{R}$-lineal $\varphi : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ también es $\mathbb{C}$-lineal, entonces $f$ es complejo diferenciable en $z\in U$;
  3. si $f$ es real diferenciable en $z\in U$ y existe el límite:
    \begin{equation*}
    \lim_{h\to 0} \left|\frac{f(z+h) – f(z)}{h}\right|, \tag{24.3}
    \end{equation*} entonces $f$ ó $\overline{f}$ es complejo diferenciable en $z\in U$.

Demostración. Dadas las hipótesis.

  1. Se deja como ejercicio al lector.
  2. Se deja como ejercicio al lector.
  3. Como $f$ es real diferenciable en $z\in U$, entonces existe una transformación $R$-lineal $\varphi:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ tal que (24.2) se cumple. De acuerdo con la desiguladad del triángulo, proposición 3.3, tenemos que:
    \begin{equation*} 0 \leq \left| \left|\frac{f(z+h) – f(z)}{h} \right| – \left| \frac{\varphi(h)}{h}\right| \right| \leq \left|\frac{f(z+h) – f(z) – \varphi(h)}{h}\right|. \end{equation*} Por hipótesis el límite (24.2) existe, entonces al tomar limites en las desigualdades anteriores se sigue que:
    \begin{equation*} \lim_{h\to 0}\left| \left|\frac{f(z+h) – f(z)}{h} \right| – \left| \frac{\varphi(h)}{h}\right| \right| = 0, \end{equation*} de donde:
    \begin{equation*} \lim_{h\to 0} \left|\frac{f(z+h) – f(z)}{h} \right| = \lim_{h\to 0} \left| \frac{\varphi(h)}{h}\right|, \end{equation*} dado que (24.3) existe, entonces el límite del lado derecho de la igualdad existe.

    Como $\varphi$ es $R$-lineal, entonces, proposición 24.1, es de la forma $\varphi(h) = \lambda h + \mu \overline{h}$ donde: \begin{equation*} \lambda = \dfrac{\varphi(1) – i\varphi(i)}{2} \quad \text{y} \quad \mu = \dfrac{\varphi(1) + i\varphi(i)}{2}. \tag{24.4} \end{equation*} Notemos que: \begin{equation*} \left| \frac{\varphi(h)}{h}\right|^2 = \left| \frac{\lambda h + \mu \overline{h}}{h}\right|^2 = |\lambda|^2 + |\mu|^2 + 2 \operatorname{Re}\left(\lambda \overline{\mu} \frac{h}{\overline{h}}\right), \end{equation*} por lo que, al tomar límites en ambos lados de la igualdad, al existir el límite del lado izquierdo, también debe existir el límite: \begin{equation*} \lim_{h\to 0} \operatorname{Re}\left(\lambda \overline{\mu} \, \frac{h}{\overline{h}}\right). \end{equation*} Sea $h = a+ib$. Procedemos a calcular el límite cuando $h\to 0$ a lo largo de las rectas $a = 0$ y $b=0$, respectivamente. Por la unicidad del límite tenemos que: \begin{equation*} \lim_{b\to 0} \operatorname{Re}\left(\lambda \overline{\mu} \left[\frac{ib}{-ib}\right]\right) = \lim_{a\to 0} \operatorname{Re}\left(\lambda \overline{\mu} \left[\frac{a}{a}\right]\right), \end{equation*} es decir: \begin{equation*} -\operatorname{Re}\left(\lambda \overline{\mu}\right) = \operatorname{Re}\left(-\lambda \overline{\mu}\right) = \operatorname{Re}\left(\lambda \overline{\mu}\right), \end{equation*} de donde: \begin{equation*} \operatorname{Re}\left(\lambda \overline{\mu}\right) = 0. \end{equation*} Procediendo de manera análoga, si ahora consideramos el límite cuando $h\to 0$ a lo largo de las rectas $a=b$ y $a=-b$, respectivamente, por la unicidad del límite tenemos que: \begin{equation*} \operatorname{Re}\left(i\lambda \overline{\mu}\right) = – \operatorname{Re}\left(i\lambda \overline{\mu}\right) \quad \Longleftrightarrow \quad -\operatorname{Im}\left(\lambda \overline{\mu}\right) = \operatorname{Im}\left(\lambda \overline{\mu}\right), \end{equation*} de donde: \begin{equation*} \operatorname{Im}\left(\lambda \overline{\mu}\right) = 0. \end{equation*} Por lo tanto $\lambda \overline{\mu} = 0$, es decir, $\lambda = 0$ ó $\overline{\mu} = 0$.

    De $(24.4)$ se sigue que: \begin{equation*} \varphi(1) = i \varphi(i) \quad \text{ó} \quad \overline{\varphi}(1) = i \overline{\varphi}(i). \end{equation*} Del primer caso se sigue de la proposición 24.3 que $\varphi$ es $\mathbb{C}$-lineal y por el inciso anterior de esta proposición, tenemos que $f$ es complejo diferenciable en $z\in U$.

    Por último, notemos que si $f$ es real diferenciable con respecto a $\varphi$, entonces $\overline{f}$ es real diferenciable con respecto a $\overline{\varphi}$ desde que: \begin{align*} \lim_{h\to 0} \frac{f(z+h) – f(z) – \varphi(h)}{h} &= 0\\ \Longleftrightarrow \quad \lim_{h\to 0} \left| \frac{f(z+h) – f(z) – \varphi(h)}{h} \right| &= 0\\ \Longleftrightarrow \quad \lim_{h\to 0} \frac{\left| \overline{f(z+h) – f(z) – \varphi(h)}\right|}{\left|h\right|} &= 0\\ \Longleftrightarrow \quad \lim_{h\to 0} \frac{\overline{f}(z+h) – \overline{f}(z) – \overline{\varphi}(h)}{h} &= 0. \end{align*} Por lo que, para el segundo caso se sigue de la proposición 24.3, que $\overline{\varphi}$ es $\mathbb{C}$-lineal y por tanto $\overline{f}$ es complejo diferenciable en $z\in U$.

    Entonces $f$ ó $\overline{f}$ es complejo diferenciable en $z\in U$.

$\blacksquare$

Procedemos ahora a definir algunas de las transformaciones del plano complejo más importantes, con las que ya estamos familiarizados por nuestros cursos de Geometría.

Definición 24.4. (Transformación identidad en $\mathbb{C}$.)
La transformación $\mathbb{I}_\mathbb{C} : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ dada por $\mathbb{I}_\mathbb{C}(z)=z$, es llamada la transformación identidad del plano complejo $\mathbb{C}$.

Definición 24.5. (Homotecia.)
Sea $k\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Se define a una homotecia del plano complejo $\mathbb{C}$, con centro en el origen y razón (o factor) $k$ como la transformación $h_k:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ dada por $h_k(z) = kz$.

Si el punto $O$ es el origen, $M$ es un punto cualquiera en el plano complejo, dado por $z\in\mathbb{C}$, entonces la posición del punto $M’=h_k(z) \in \mathbb{C}$ depende del signo de $k$, es decir, si $k>0$ figura 83, ó $k<0$ figura 84. Al punto $M’$ se le llama el punto homotético de $M$ con centro en $O$ y razón $k$.

En cualquiera de ambos caso se cumple que:
\begin{equation*}
|\overline{OM’}| = |k| \, |\overline{OM}|,
\end{equation*} es decir, el módulo del punto homotético $M’$ es igual al valor absoluto de $k$ por el módulo del punto $M$.

No es difícil verificar que la composición de dos homotecias también es una homotecia.

Figura 83: Homotecia del plano complejo $\mathbb{C}$ cuando $k>0$.
Figura 84: Homotecia del plano complejo $\mathbb{C}$ cuando $k<0$.

Definición 24.6. (Traslación.)
Sea $z_0 \in \mathbb{C}$ fijo y sea $t_{z_0}:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ la transformación dada por:
\begin{equation*}
t_{z_0}(z) = z + z_0.
\end{equation*}

La transformación $t_{z_0}$ es llamada la traslación del plano complejo $\mathbb{C}$ por un número $z_0$.

Teniendo en cuenta la interpretación geométrica de la suma de dos números complejos, entrada 3, podemos dar fácilmente una interpretación geométrica de la traslación analizando la imagen de cualquier $z\in\mathbb{C}$, bajo $t_{z_0}$, figura 85.

En la figura 85, $O M_0 M’ M$ es un paralelogramo y el segmento $\overline{OM’}$ es una de sus diagonales. Por lo que, la transfromación $t_{z_0}$ corresponde en el plano complejo $\mathbb{C}$ con la traslación $t_{\overrightarrow{OM_0}}$ dada por el vector $\overrightarrow{OM_0}$ en el caso del plano Euclidiano.

Debe ser claro que la composición de dos traslaciones $t_{z_1}$ y $t_{z_2}$ cumple que:
\begin{equation*}
t_{z_1} \circ t_{z_2} = t_{z_1 + z_2}.
\end{equation*}

Figura 85: Traslación del plano complejo $\mathbb{C}$ por un número $z_0$.

Observación 24.3.
Notemos que el conjunto $\tau$ de todas las traslaciones del plano complejo forma un grupo con respecto de la composición de funciones. El grupo $\left(\tau,\circ\right)$ es abeliano y su unidad es la transformación identidad $\mathbb{I}_{\mathbb{C}} = t_0$, es decir, la traslación por el número complejo $0$.

Definición 24.7. (Reflexión respecto al eje real y respecto a un punto.)
Sea $s:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ dada por $s(z) = \overline{z}$. A la transformación $s$ se le llama la reflexión con respecto al eje real.

Si $M$ es un punto en el plano dado por el número complejo $z\in\mathbb{C}$, entonces el punto $M’=s(z) \in\mathbb{C}$ es obtenido al reflejar a $M$ respecto al eje real, figura 86. Además, es claro que:
\begin{equation*}
s \circ s = \mathbb{I}_{\mathbb{C}}.
\end{equation*}

Figura 86: Reflexión en el plano complejo $\mathbb{C}$ con respecto al eje real.

Por otra parte, a la transformación $s_0 : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ dada por $s_0(z) = -z$, se le llama la reflexión con respecto al origen, desde que $s_0(z) + z = 0$, entonces para un punto $M = z\in\mathbb{C}$, el origen $O$ es el punto medio del segmento $\overline{MM’}$, con $M’=s_0(z)$, es decir, el punto $M’$ es la reflexión del punto $M$ en el origen, figura 87.

Debe ser claro que:
\begin{equation*}
s_{0} \circ s_{0} = \mathbb{I}_{\mathbb{C}}.
\end{equation*}

Figura 87: Reflexión en el plano complejo $\mathbb{C}$ con respecto al origen.

Por último, para $z_0\in\mathbb{C}$ fijo, se define a la reflexión con respecto a $\pmb{z_0}$ como la transformación $s_{z_0} : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ dada por $s_{z_0}(z) = 2z_0-z$.

Si $M, M_0$ y $M’$ son los puntos en el plano dados por $z,z_0,s_{z_0}(z) \in \mathbb{C}$, respectivamente, entonces $M_0$ es el punto medio del segmento $\overline{MM’}$ y así $M’$ es la reflexión de $M$ en $M_0$, figura 88.

Es sencillo verificar que:
\begin{equation*}
s_{z_0} \circ s_{z_0} = \mathbb{I}_{\mathbb{C}}.
\end{equation*}

Figura 88: Reflexión en el plano complejo $\mathbb{C}$ con respecto a un punto fijo $z_0\in\mathbb{C}$.

Observación 24.4.
A pesar de que la transformación $T(z) = \overline{z}$ no es $\mathbb{C}$-lineal, es importante recordar su interpretación geométrica, ya que dicha transformación nos representa una reflexión en el plano complejo a través del eje real.

Definición 24.8. (Rotación.)
Sea $a = \in \mathbb{C}$ tal que $|a|=1$, es decir, $a=e^{i\theta_0}$. Se define a la rotación de $z=\rho e^{i\theta}\in\mathbb{C}$ alrededor del origen, en un ángulo $\theta_0\in\mathbb{R}$, como la transformación $r_a:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ dada por:
\begin{equation*}
r_a(z) = az = \rho e^{i(\theta+\theta_0)}.
\end{equation*}

Así, si $M$ es un punto en el plano complejo dado por $z=\rho e^{i\theta}\in\mathbb{C}$, entonces $M’ = r_a(z)$ se obtiene al rotar $M$ alrededor del origen un ángulo $\theta_0$, figura 89.

Figura 89: Rotación del plano complejo $\mathbb{C}$ alrededor del origen en un ángulo $\theta_0\in\mathbb{R}$.

Observación 24.5.
De manera general es posible definir una reflexión en el plano complejo respecto a una recta $\mathcal{L}$ arbitraria, la cual está dada por la composición de una rotación y/o una traslación del eje real, una reflexión respecto al eje real y las inversas de la rotación y la traslación, por lo que será de la forma:
\begin{equation*}
s_\mathcal{L}(z) = e^{i\theta} \overline{z} + b,
\end{equation*} para algún ángulo $\theta\in\mathbb{R}$ y una constante $b\in\mathbb{C}$.

Analicemos lo anterior mediante el siguiente:

Ejemplo 24.2.
Determinemos la reflexión en el plano complejo dada sobre la recta $\mathcal{L} : y=x+3$.

Solución. Primeramente, notemos que la recta dada se obtiene al rotar el eje real alrededor del origen un ángulo de $\pi/4$ y luego trasladarlo verticalmente por $3i$.

Así, para reflejar a $z\in\mathbb{C}$ respecto a $\mathcal{L}$, primero trasladamos verticalmente dicho punto por $-3i$, luego lo rotamos alrededor del origen un ángulo de $-\pi/4$, después lo reflejamos respecto al eje real y por último, lo rotamos alrededor del origen un ángulo de $\pi/4$ y lo trasladamos por $3i$.

Es decir, sean:
\begin{align*}
t_{-3i}(z) &= z-3i,\\
r_{e^{-i\frac{\pi}{4}}}(z) &= e^{-i\frac{\pi}{4}} z,\\
s(z) &= \overline{z},\\
t_{3i}(z) & = z+3i,\\
r_{e^{i\frac{\pi}{4}}}(z) &= e^{i\frac{\pi}{4}} z,
\end{align*}

por lo que:
\begin{align*}
\left(s\circ r_{e^{-i\frac{\pi}{4}}} \circ t_{-3i}\right)(z) & = s\left(r_{e^{-i\frac{\pi}{4}}}(t_{-3i}(z))\right)\\
& = s\left(r_{e^{-i\frac{\pi}{4}}}(z-3i)\right)\\
& = s\left(e^{-i\frac{\pi}{4}}(z-3i)\right)\\
& = \overline{e^{-i\frac{\pi}{4}}(z-3i)}\\
& = e^{i\frac{\pi}{4}}(\overline{z}+3i).
\end{align*}

Luego, como $e^{i\frac{\pi}{2}} = i$, tenemos que:
\begin{align*}
\left(t_{3i} \circ r_{e^{i\frac{\pi}{4}}}\right)(e^{i\frac{\pi}{4}}(\overline{z}+3i)) & = t_{3i} \left(r_{e^{i\frac{\pi}{4}}}(e^{i\frac{\pi}{4}}(\overline{z}+3i))\right)\\
& = t_{3i} \left(e^{i\frac{\pi}{4}} e^{i\frac{\pi}{4}}(\overline{z}+3i)\right)\\
& = e^{i\frac{\pi}{2}}(\overline{z}+3i) + 3i\\
& = i (\overline{z}+3i) + 3i\\
& = i\overline{z} – 3(1-i).
\end{align*}

Entonces, la reflexión sobre la recta $\mathcal{L} : y=x+3$, figura 90, está dada por:
\begin{equation*}
s_{\mathcal{L}}(z) = i\overline{z} – 3(1-i).
\end{equation*}

Por ejemplo, si consideramos al punto $z=-1+4i$, entonces:
\begin{align*}
s_{\mathcal{L}}(z) & = i(\overline{-1+4i}) – 3(1-i)\\
& = i(-1-4i)-3+3i\\
& = -i+4-3+3i\\
& = 1+2i.
\end{align*}

Figura 90: Reflexión en $\mathbb{C}$ respecto a la recta $y=x+3$.

Observación 24.6.
Como se verá en el ejercicio 7 de esta entrada, las reflexiones son transformaciones más sencillas que las rotaciones y las traslaciones, desde que estas últimas transformaciones son simplemente composiciones dos reflexiones particulares.

Recordemos ahora otro concepto importante visto en nuestros cursos de Geometría.

Definición 24.9. (Isometría.)
Sea $S\subset \mathbb{C}$. Una transformación $T:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ se llama una isometría si no modifica las distancias, es decir, si:
\begin{equation*}
|\,T(z_1) – T(z_2)\,| = |\,z_1 – z_2\,|, \quad \forall z_1, z_2 \in\mathbb{C}.
\end{equation*}

Mientras que una función $f:S \to \mathbb{C}$ se llama una isometría si:
\begin{equation*}
|\,f(z_1) – f(z_2)\,| = |\,z_1 – z_2\,|,
\end{equation*} para todo par de números complejos $z_1$ y $z_2$ en el dominio $S$ de $f$.

Observación 24.7.
No es difícil verificar que la composición de dos isometrías es también una isometría. Más aún, el conjunto de todas las isometrías del plano complejo, denotado como $\text{Iso}(\mathbb{C})$ es un grupo con respecto a la composición de funciones y el grupo de las traslaciones, $(\tau, \circ)$, es un subgrupo de dicho grupo.

Proposición 24.5.
Las traslaciones, reflexiones y las rotaciones alrededor de un punto $z_0$ son isometrías del plano.

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

De acuerdo con el ejercicio 9 de esta entrada tenemos el siguiente:

Ejemplo 24.3.
a) Las transformaciones $s_{\mathcal{L}_1}(z) = \overline{z}+3i$, $s_{\mathcal{L}_2}(z) = \overline{z}+5i$ y $s_{\mathcal{L}_3}(z) = -\overline{z}+1$ corresponden con tres reflexiones, las primeras dos respecto a las rectas horizontales $\mathcal{L}_1 : -iz+i\overline{z}-3=0$ y $\mathcal{L}_2 : -iz+i\overline{z}-5=0$, respectivamente, y la última respecto a la recta vertical $\mathcal{L}_3 : z+\overline{z}-1=0$.

La composición:
\begin{align*}
\left(s_{\mathcal{L}_1} \circ s_{\mathcal{L}_2}\right)(z) & = s_{\mathcal{L}_1}\left( s_{\mathcal{L}_2}(z)\right)\\
& = s_{\mathcal{L}_1}\left( \overline{z}+5i\right)\\
& = \overline{\overline{z}+5i}+3i\\
& = z – 2i,
\end{align*} corresponde con la traslación $t_{-2i}(z)$ en el plano complejo.

Por otra parte, la composición:
\begin{align*}
\left(s_{\mathcal{L}_1} \circ s_{\mathcal{L}_3}\right)(z) & = s_{\mathcal{L}_1}\left( s_{\mathcal{L}_3}(z)\right)\\
& = s_{\mathcal{L}_1}\left(- \overline{z}+1\right)\\
& = \overline{- \overline{z}+1}+3i\\
& = -z + \left(1 + 3i\right),
\end{align*} corresponde con la rotación $r_{a}(z)$ alrededor del punto $z_0 = \dfrac{1}{2} + i \dfrac{1}{2}$ y un ángulo $\pi$, es decir, $a = e^{i\pi}$, en el plano complejo.

b) La transformación $h(z)=\overline{z}+1$ está dada por la composición de la reflexión respecto al eje real $s(z) = \overline{z}$ y la traslación $t_{1}(z)=z+1$.

c) La transformación $h(z)=\overline{z}+2i = (\overline{z}+i)+i$ está dada por la composición de la reflexión $s_{\mathcal{L}}(z) = \overline{z} + i$, respecto a la recta horizontal $\mathcal{L} : -iz+i\overline{z}-1=0$, y la traslación $t_{i}(z)=z+i$.

Definición 24.10.(Punto fijo.)
Sea $T: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ una transformación. Diremos que un punto $z_0 \in \mathbb{C}$ es un punto fijo de $T$ si y solo si $T(z_0) = z_0$.

Ejemplo 24.4.
a) La transformación identidad fija a todos los puntos de $\mathbb{C}$.

b) Si $z_0\in\mathbb{C}$ es tal que $z_0 \neq 0$, entonces la transformación $t_{z_0}(z)=z+z_0$ no tiene puntos fijos.

c) Si $a\in\mathbb{C}$ es tal que $|a|=1$ y $a\neq 1$, entonces la rotación $r_a(z) = az$ alrededor del origen solo fija al origen.

Lema 24.1.
Una isometría del plano que fija a los puntos $0, 1$ e $i$ debe ser la identidad.

Demostración. Dadas las hipótesis, sea $h:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ una isometría tal que: \begin{equation*}
h(0)=0, \quad h(1) = 1 \quad \text{y} \quad h(i)=i.
\end{equation*}

Dado que $h$ es una isometría, entonces para cualesquiera $z,w\in\mathbb{C}$ se cumple que:
\begin{equation*}
|h(z)-h(w)| = |z-w|,
\end{equation*} en particular, para $w \in \{0,1,i\}$ tenemos que:
\begin{equation*}
|h(z)| = |z|, \quad |h(z)-1| = |z-1| \quad \text{y} \quad |h(z)-i| = |z-i|.
\end{equation*}

Elevando al cuadrado las tres igualdades anteriores tenemos que:
\begin{align*}
h(z) \overline{h(z)} & = z \overline{z}, \tag{24.4}\\
(h(z)-1)\overline{(h(z)-1)} &= (z-1)\overline{(z-1)}, \tag{24.5}\\
(h(z)-i)\overline{(h(z)-i)} &= (z-i)\overline{(z-i)}.\tag{24.6}
\end{align*}

Desarrollando (24.5) tenemos:
\begin{equation*}
h(z) \overline{h(z)} – h(z) – \overline{h(z)} + 1 = z \overline{z} – z \overline{z} + 1.
\end{equation*}

Considerando (24.4) se tiene que:
\begin{equation*}
h(z) + \overline{h(z)} = z + \overline{z}, \tag{24.7}
\end{equation*}

Análogamente, de (24.6) obtenemos que:
\begin{equation*}
h(z) – \overline{h(z)} = z – \overline{z}, \tag{24.8}
\end{equation*}

Entonces, de (24.7) y (24.8) se sigue que:
\begin{equation*}
h(z) = z.
\end{equation*}

$\blacksquare$

Proposición 24.6.
Toda isometría del plano complejo es de la forma:
\begin{equation*}
h_1(z) = \alpha z + \beta \quad \text{ó} \quad h_2(z) = \alpha \overline{z} + \beta,
\end{equation*} con $\alpha, \beta\in\mathbb{C}$, únicos y $|\,\alpha\,|=1$.

La primera función es una isometría que preserva la orientación y la segunda una isometría que la invierte.

Demostración. Sea $h:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ una isometría arbitraria. Primeramente notemos que una función de la forma:
\begin{equation*}
h_1(z) = \alpha z + \beta \quad \text{ó} \quad h_2(z) = \alpha \overline{z} + \beta,
\end{equation*} con $\alpha, \beta\in\mathbb{C}$, constantes y $|\,\alpha\,|=1$ es una isometría desde que:
\begin{align*}
|h_1(z) – h_1(w)| = |\alpha(z-w)| = |z-w|,\\
|h_2(z) – h_2(w)| = |\alpha\overline{(z-w)}| = |z-w|,
\end{align*} para cualesquiera $z, w\in\mathbb{C}$.

Definimos:
\begin{equation*}
\beta : = h(0) \quad \text{y} \quad \alpha:= h(1) – h(0),
\end{equation*} de donde se sigue la unicidad de dichas constantes. Además:
\begin{equation*}
|\alpha|= |h(1) – h(0)| = |1 – 0| = 1.
\end{equation*}

Consideremos a la función:
\begin{equation*}
H(z) : = \frac{h(z) – \beta}{\alpha} = \frac{h(z) – h(0)}{h(1) – h(0)},
\end{equation*} la cual está bien definida desde que $\alpha\neq 0$, pues cualquier isometría del plano en particular es una función inyectiva.

Veamos que $H$ también es una isometría, en particular que dicha función es igual a $z$ ó $\overline{z}$.

Sean $z, w\in\mathbb{C}$, entonces:
\begin{align*}
|H(z) – H(w)| & = \left|\frac{h(z) – \beta}{\alpha} – \frac{h(z) – \beta}{\alpha} \right|\\
& = \frac{|h(z) – h(w)|}{|\alpha|}\\
& = |z-w|.
\end{align*}

Por otra parte, tenemos que:
\begin{align*}
H(0) = \frac{h(0) – h(0)}{h(1) – h(0)} = 0,\\
H(1) = \frac{h(1) – h(0)}{h(1) – h(0)} = 1.
\end{align*}

Dado que $H$ es una isometría que fija a $0$ y a $1$, se sigue que:
\begin{align*}
|H(i)| = |H(i) – H(0)| = |i-0| = 1, \tag{24.9}\\
|H(i)-1| = |H(i) – H(1)| = |i-1| = \sqrt{2}. \tag{24.10}
\end{align*}

Geométricamente, lo anterior nos dice que $H(i)$ está en la intersección de la circunferencia unitaria y la circunferencia de radio $\sqrt{2}$ y centro en $1$, pero en tal intersección únicamente están los puntos $i$ y $-i$, figura 91.

Figura 91: Intersección de las circunferencias $C(0,1)$ y $C(1,\sqrt{2})$.

Es fácil verificar este hecho de manera algebraica elevando al cuadrado las ecuaciones (24.9) y (24.10) y resolviendo el sistema de ecuaciones como en la prueba del lema 24.1, por lo que esta verificación se deja como ejercicio al lector.

Si $H(i)=i$, entonces por el lema 24.1 tenemos que:
\begin{equation*}
H(z) = z \quad \Longrightarrow \quad h(z) = \alpha z + \beta, \quad \forall z\in\mathbb{C}.
\end{equation*}

Si $H(i)=-i$, entonces $\overline{H(z)}$ es una isometría del plano que fija a $0, 1$ e $i$, por lo que, lema 24.1, debe ser la identidad:
\begin{equation*}
\overline{H(z)} = z \quad \Longrightarrow \quad H(z) = \overline{z}, \quad \forall z\in\mathbb{C},
\end{equation*}

de donde:
\begin{equation*}
h(z) = \alpha \overline{z} + \beta.
\end{equation*}

$\blacksquare$

Corolario 24.1.
Toda isometría del plano complejo es una función biyectiva y su inversa es también una isometría.

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Corolario 24.2.
Una isometría del plano está determinada por sus imágenes en tres puntos no colineales, es decir, si $z_1, z_2, z_3\in\mathbb{C}$ son tres puntos no colineales y $h_1$ y $h_2$ son dos isometrías tales que $h_1(z_i) = h_2(z_i)$, para $i=1,2,3$, entonces $h_1 = h_2$.

Demostración. Se sigue de la observación 24.5 y del corolario 24.1, por lo que los detalles se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Cerraremos esta entrada con la siguiente caracterización de las transformaciones $\mathbb{C}$-lineales.

Observación 24.8.
Sean $\lambda=a_1 + i a_2$, $\mu=b_1 + i b_2$, $z=x + i y$ y $w = u+iv$ números complejos y sea $T:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ una transformación $\mathbb{R}$-lineal. Por la proposición 24.1 sabemos que $T$ es de la forma:
\begin{align*}
w = T(z) & = \lambda z + \mu \overline{z}\\
& = (a_1+b_1) x – (a_2 – b_2) y + i \left[(a_2 + b_2) x + (a_1-b_1)y\right].
\end{align*}

De lo anterior se sigue que podemos representar a dicha transformación mediante las ecuaciones reales:
\begin{align*}
u = (a_1+b_1) x – (a_2 – b_2) y,\\
v = (a_2 + b_2) x + (a_1-b_1)y.
\end{align*}

Por lo que, geométricamente una transformación $\mathbb{R}$-lineal del plano complejo, es una transformación afín de un plano $\overline{y} = A \overline{x}$ con:
\begin{equation*}
A = \begin{pmatrix}
a_1+b_1 & -(a_2-b_2)\\
a_2+b_2& a_1 – b_1
\end{pmatrix}.
\end{equation*}

El Jacobiano de dicha transformación es:
\begin{equation*}
J = a_1^2 – b_1^2 + a_2^2 -b_2^2 = |\lambda|^2 – |\mu|^2,
\end{equation*} es decir, la transformación es invertible si $|\lambda| \neq |\mu|$. Dicha transformación envía rectas en rectas, rectas paralelas en rectas paralelas y cuadrados en paralelogramos. Además, preserva la orientación cuando $|\lambda|>|\mu|$ y la invierte cuando $|\lambda| < |\mu|$.

Sin embargo, una transformación $\mathbb{C}$-lineal, digamos $T(z) = \lambda z$, puede no invertir la orientación desde que su Jacobiano es:
\begin{equation*}
J = |\lambda|^2 \geq 0.
\end{equation*}

En tal caso, dicha transformación no es invertible si $\lambda=0$. Considerando la interpretación geométrica de la multiplicación de dos números complejos, para $\lambda= |\lambda| e^{i\theta_0}$, tenemos que $T(z) = |\lambda| e^{i\theta_0} z$ es la composición de una homotecia de razón $|\lambda|$ y una rotación alrededor del origen de un ángulo $\theta_0$. Tal transformación preserva ángulos y envía cuadrados en cuadrados.

Considerando lo anterior tenemos la siguiente caracterización de las transformaciones $\mathbb{C}$-lineales.

Proposición 24.7.
Si una transformación $\mathbb{R}$-lineal, digamos $T(z) = \lambda z +\mu \overline{z}$, preserva la orientación y los ángulos entre tres vectores no paralelos $e^{i\theta_1}, e^{i\theta_2}, e^{i\theta_3}\in\mathbb{C}$, con $\theta_k \in\mathbb{R}$ para $k=1,2,3$, entonces $T$ es $\mathbb{C}$-lineal.

La prueba de este resultado, así como de algunos otros resultados de ésta entrada se pueden consultar en el texto Introduction to Complex Analysis – excerpts de B.V.Shabat.

Tarea moral

  1. Realiza la demostración de las proposiciones 24.2 y 24.5.
  2. Completa la demostración de la proposiciones 24.3 y 24.4.
  3. Prueba las observaciones 24.3 y 24.7.
  4. Demuestra los corolarios 24.1 y 24.2.
  5. Sean $z_1, z_2 \in\mathbb{C}$. Supón que una isometría del plano complejo tiene como puntos fijos a $z_1$ y a $z_2$. Demuestra que todo punto $z$ del segmento $[z_1, z_2]$ es un punto fijo de dicha transformación.
  6. Prueba que las siguientes transformaciones son una isometría. En cada caso muestra que cada función se puede ver como la composición de una rotación con una traslación y posiblemente con una reflexión sobre el eje real.
    a) $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ dada por $f(z) = i \overline{z} + 4 – i$.
    b) $g:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ dada por $g(z) = -iz+ 1 + 2i$.
    c) $h:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ dada por $h(z) = -\overline{z} + i$.
  7. Muestra que una traslación del plano complejo es la composición de dos reflexiones respecto dos rectas paralelas, mientras que una rotación en $\mathbb{C}$, alrededor de un punto fijo $z_0 \in\mathbb{C}$, es la composición de dos reflexiones respecto dos rectas que se cortan en $z_0$.
  8. En cada inciso determina una expresión que describa a una reflexión en el plano complejo respecto a la recta dada.
    a) $y=k$ con $k\in\mathbb{R}$ constante.
    b) $x=k$ con $k\in\mathbb{R}$ constante.
    c) $y=mx+b$, con $m, b\in\mathbb{R}$ y $m\neq 0$.
  9. Muestra que las siguientes transformaciones corresponden con una reflexión respecto a la recta dada.
    a) $s_{\mathcal{L}}(z) = \overline{z}+3i$ con $\mathcal{L}: -iz+i\overline{z}-3=0$.
    b) $s_{\mathcal{L}}(z) = \overline{z}+5i$ con $\mathcal{L} : -iz+i\overline{z}-5=0$.
    c) $s_{\mathcal{L}}(z) = -\overline{z}+1$ con $\mathcal{L} : z+\overline{z}-1=0$.
    d) $s_{\mathcal{L}}(z) = \overline{z}+i$ con $\mathcal{L} : -iz+i\overline{z}-1=0$.

Más adelante…

En esta entrada hemos recordado algunos conceptos de Geometría Analítica y Álgebra Lineal relacionados con las transformaciones del plano Euclidiano. Como es de esperarse, las definiciones de estos conceptos para el caso complejo coinciden con las que se dan para $\mathbb{R}^2$. Sin embargo, debe ser claro que a través de las propiedades de los números complejos resulta más sencilla la prueba de los resultados dados en esta entrada.

La siguiente entrada estudiaremos algunas transformaciones del plano complejo muy particulares, llamadas transformaciones de Möbius, mediante las cuales podremos caracterizar la geometría de las funciones complejas.

Entradas relacionadas

Geometría Analítica I: Clasificación isométrica de curvas cuadráticas

Por Paola Lizeth Rojas Salazar

Introducción

Ya vimos cómo afectan las traslaciones y las transformaciones ortogonales a los polinomios cuadráticos, en esta entrada, usaremos todo lo que hemos aprendido de las entradas anteriores, para dar la clasificación isométrica de las curvas.

Clasificación

Vamos a demostrar, por medio de los siguientes teoremas, que cualquier polinomio cuadrado es isométricamente equivalente a alguna de las nueve posibles familias canónicas que mencionamos en entradas anteriores, cuando clasificamos las curvas.

Debido a que vimos que el polinomio cuadrático $P(x)=x*Ax+2b*x+c$ con $A=A^T\neq 0$, lo podemos componer con una isometría de la forma $g(x)=Bx+h$ con $B\in O(2)$ y obtener una ecuación de la forma:

\begin{equation}(P\circ g)(x)=x*(B^TAB)x+2B^T(Ah+b)*x+P(h)\end{equation}

Entonces, observa que el análisis para esta clasificación, puede partirse en dos grandes casos que dependen del determinante de la matriz, es decir, cuando $det(A)\neq 0$ y cuando $det(A)=0$.

Antes de analizar cada uno de estos casos, veamos un Lema que nos va a ayudar.

Lema 4.14: Si A es una matriz simétrica con valores propios $\alpha$ y $\beta$, entonces $det(A)=\alpha \beta$

Demostración

Sea $B$ una rotación que diagonaliza a $A$, entonces:

\begin{equation} \alpha \beta=det\begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix}=det(B^TAB)\end{equation}

Y recuerda que el determinante es una función lineal, lo que nos permite realizar la siguiente igualdad:

\begin{equation} \alpha \beta=det(B^TAB)=det(B^T)det(A)det(B)=1*det(A)*1=det(A)\end{equation}

Date cuenta que, con las igualdades anteriores, ya podemos dar por concluida la demostración.

Ahora sí podemos analizar cada uno de los casos que mencionamos al inicio.

Caso 1: $det(A)\neq 0$

De aquí, vamos a separar en varios casos, pero empecemos realizando un análisis general. Nombremos como el centro a $h=-A^{-1}b$ y a $B$ como una rotación que diagonalice a $A$. Entonces, observa que $P$ es isométricamente equivalente a un polinomio de la siguiente forma:

\begin{equation} P_1(x,y)=\alpha x^2+\beta y^2+\gamma\end{equation}

A continuación, vamos a encontrar estas equivalencias usando el Lema 4.14.

Caso 1.1 $det(A)>0$

Hay $3$ posibilidades:

  • $\gamma =0$, entonces la única solución es $(x,y)=(0,0)$
  • $\gamma$ del mismo signo que $\alpha$ y $\beta$, entonces la curva es vacía porque no hay soluciones reales.
  • $\gamma$ de signo opuesto que $\alpha$ y $\beta$, entonces, los ceros de $P_1$ coinciden con las soluciones canónicas de la elipse con $a=\sqrt{\frac{-\gamma}{\alpha}}, b=\sqrt{\frac{-\gamma}{\beta}}$ dada por:

\begin{equation}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{equation}

Caso 1.2 $det(A)<0$

Hay $2$ posibilidades:

  • $\gamma=0$, entonces $P_1$ es una diferencia de cuadrados que, como $\alpha>0$, entonces $a=sqrt{\alpha}, b=\sqrt{-\beta}$ y puede factorizarse como se muestra a continuación. Además, esto implica que se trata de dos rectas cuya intersección es el centro.

\begin{equation}(ax+by)(ax-by)\end{equation}

  • $\gamma\neq 0$, entonces, podemos elegir el primer vector propio correspondiente a $x$, de manera que su valor propio $\alpha$ tenga signo contrario a $\gamma$, lo que implica que los ceros de $P_1$ corresponden a las soluciones de la ecuación canónica de la hipérbola que tiene a $a=\sqrt{-\frac{\gamma}{\alpha}}$ y $b=\sqrt{\frac{\gamma}{\beta}}$, cuya ecuación se puede expresar como:

\begin{equation}\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\end{equation}

Caso 2: $det(A)= 0$

Observa que, en este caso, no tenemos la seguridad de eliminar la parte lineal y que nos conviene simplificar la parte cuadrática. Por el Lema 4.14, uno de los valores propios es cero y el otro es distinto de cero.

Entonces, $P$ es isométricamente equivalente a un polinomio de la forma:

\begin{equation}(x+\alpha )^2+\beta y+(\gamma – \alpha^2)\end{equation}

Comprueba que, si hacemos el cambio de variable dado por $x’=x+\alpha$, podemos simplificar el polinomio anterior como:

\begin{equation}P_2(x,y)=x^2+ay+b\end{equation}

Y de nuevo tenemos dos subcasos.

Caso 2.1 $a=0$

  • $b<0$, entonces, $P_2$ define dos rectas paralelas.
  • $b=0$, entonces $P_2$ es una recta doble.
  • $b>0$, entonces $P_2$ consiste en dos rectas imaginarias.

Caso 2.2 $a\neq 0$

SI hacemos el cambio de variable $y’=y+\frac{b}{a}$, tenemos que $P$ es isométricamente equivalente al polinomio:

\begin{equation}x^2+ay\end{equation}

Que define una parábola.

Tarea moral

  1. Encuentra un polinomio que defina las siguientes curvas cuadráticas:
    • La hipérbola con semieje principal $4$ en la dirección $(2,1)$, semieje secundario $1$ y centro en $(2,3)$.
    • La elipse con semieje mayor $3$ en la dirección $(3,4)$, semieje menor $2$ y centro en $(-1,2)$.
  2. Describe geométricamente las siguientes curvas cuadráticas que están definidas por los siguientes polinomios, además, da su centro la dirección de los ejes y los parámetros o la ecuación canónica correspondiente:
    • $9x^2-4xy+6y^2-58x+24y+59$
    • $66x^2-24xy+59y^2-108x-94y+1$
    • $-7x^2+48xy+7y^2+158x-6y-88$
    • $32x^2+48xy+18y^2+31x-8y-88$

Más adelante…

En la última sección de esta unidad, veremos otra forma de clasificar las curvas, que es mediante la semejanza de curvas cuadráticas.

Geometría Analítica I: Reflexiones y pasos

Por Paola Lizeth Rojas Salazar

Introducción

En entradas anteriores, ya estudiamos algunas isometrías, en esta ocasión, dedicaremos esta sección al estudio de las isometrías que cambian de orientación, es decir, de las que son de la forma $f(x)= E_\theta x+b$ con $E_\theta$ una matriz de reflexión.

Algunas definiciones informales

Antes de empezar con este capítulo, es importante entender a qué nos referimos con reflexiones y «pasos».

  • Reflexiones: Como ya hemos estado estudiando en otras entradas, se tiene una reflexión cuando hay un comportamiento similar a un espejo, es decir, que se tiene exactamente lo mismo y a la misma altura, pero de forma «reflejada».
  • Pasos: Entenderemos por «pasos» a la acción que realizamos al caminar y avanzar. Y, a los pasos con traslación trivial, a los que damos reflejando nuestros pasos con una línea recta.

Un teorema importante

Teorema 3.24: Una isometría que invierte orientación es un paso (con traslación trivial) o una reflexión.

Demostración

La isometría que invierte orientación, como ya mencionamos al inicio, es de la forma $f(x)= E_\theta x+b$ con $E_\theta$ matriz de reflexión.

  • Puntos fijos

Primero vamos a ver si hay puntos fijos, para esto, debemos analizar el siguiente determinante:

\begin{equation}det(I-E_\theta)=det\begin{pmatrix} 1-\cos(2\theta) & – \sin(2\theta) \\
– \sin(2\theta) & 1+\cos(2\theta)\end{pmatrix}\end{equation}

De donde obtenemos:

\begin{equation}det(I-E_\theta)=1-\cos^2(2\theta)-\sin^2(2\theta)=1-1=0\end{equation}

Esto significa que no hay una solución única, es decir, que no tiene solución o tiene muchas soluciones.

  • Análisis de soluciones

Si $b=0$, entonces $f$ es una reflexión y las soluciones son los puntos de la recta espejo: l.

Veamos cuáles son los puntos de la recta l satisfacen la ecuación anterior que encontramos. Si $u=(\cos(\theta),\sin(\theta))$ es el vector unitario que genera a l, entonces:

\begin{equation}E_\theta u=\begin{pmatrix} \cos(2\theta) & \sin(2\theta) \\
\sin(2\theta) & -\cos(2\theta)\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos(\theta)\\
\sin(\theta) \end{pmatrix}\end{equation}

Donde, después de aplicar las funciones trigonométricas, llegamos a:

\begin{equation}E_\theta u=\begin{pmatrix} \cos(2\theta-\theta)\\
\sin(2\theta-\theta) \end{pmatrix}=u\end{equation}

Esto implica que $E_\theta(tu)=t(E_\theta u)=tu$ son todos los puntos de la recta l que satisfacen que $(I-E_\theta) x=0$.

Si para alguna $b$, el sistema $(I-E_\theta)x=b tiene una solución en particular, $c$, entonces toda la recta l$+c$ tiene soluciones para el sistema y se trata de una reflexión con espejo l$+c$, es decir, se trata de un «paso».

Pero, ¿cuáles son estas $b$ para las que hay solución?

Encontremos estas $b$ pensando de forma geométrica.

Observemos que, para cualquier $x \in \mathbb R^2$, la expresión $(I-E_\theta)x=x-E_\theta x$ indica el vector que va de $E_\theta x$ a $x$ y que es perpendicular al «espejo».

Si vemos a $(I-E_\theta)$ como función, encontraremos que es la proyección ortogonal a $l^T$, lo que implica que su imagen sea $l^T$.

De lo anterior, podemos concluir que la isometría $f(x)=E_\theta x+b$ solo tiene puntos fijos si $b\in l^T$

  • Otra forma de escribir la isometría

Finalmente, observemos que, cualquier $b \in \mathbb R^2$ puede ser escrito como suma de sus componentes respecto a la base normal $u, u^T$, es decir, como: $b-b1+b2$

Entonces podemos escribir la la isometría como:

\begin{equation}f(x)=(E_\theta x+b_2)+b_1\end{equation}

Con lo que concluimos la demostración.

Tarea moral

  1. Demuestra que si $f$ es una isometría que invierte orientación, entonces $f^2=f\circ f$ es una traslación.
  2. Con la notación usada en esta sección, demuestra usando coordenadas e identidades trigonométricas, que $(I-E_\theta) u^T=2u^T$
  3. Si $f(x)=E_\theta x+b$. Encuentra y argumenta geométricamente una expresión para $f^{-1}$.

Más adelante…

No te pierdas la siguiente sección de estudio en la que analizaremos las homotecias y semejanzas.

Geometría Analítica I: Introducción a transformaciones

Por Paola Berenice García Ramírez

Introducción

Hasta ahora hemos aprendido nuevos conceptos geométricos euclidianos desde producto interior y ortogonal, normas y ángulos entre vectores hasta distancias. Pero también hemos trabajado implícitamente con diversos tipos de funciones, como son las rectas o las cónicas. Las funciones participan en todas las ramas matemáticas e incluso en muchas disciplinas científicas y sociales, por lo que al principio de la unidad brindaremos las nociones de funciones necesarias que les permitirán asimilar de mejor manera los temas que hemos visto y avanzar a los temas esenciales de ésta unidad, los cuales son Transformaciones y Matrices.

Comenzaremos con el tema de transformaciones y vamos a llamar transformación en el plano a toda función que hará corresponder a cada punto del plano otro punto del mismo; es decir, las transformaciones son operaciones geométricas que nos permiten deducir una nueva figura a partir de una que previamente tenemos. La nueva figura se llama transformada de la original.

Podemos dar un primer escenario de la clasificación de transformaciones que veremos:

  • Isometrías: Son cambios de posición (orientación) de una determinada figura que no alteran la forma ni tamaño de ésta. Como ejemplos en este rubro tenemos las traslaciones, las rotaciones o las reflexiones (simetrías).

En la imagen tenemos el caso de una transformación de reflexión (o simetría) con respecto al eje $x=0$. Observemos que cada punto de la figura original y la imagen de cada uno de ellos bajo la reflexión se encuentran a igual distancia de una recta llamada eje de simetría.

  • Isomorfismos: Son cambios en una figura determinada que no alteran la forma pero sí el tamaño de ésta. Entre ellas tenemos a las homotecias y las semejanzas.

La imagen muestra un ejemplo de homotecia, la cual es una transformación del espacio (en este caso el plano) que dilata las distancias con respecto a un punto de origen $O$.

  • Composición de transformaciones: Es el proceso por el cual a una figura se le aplican dos o más transformaciones y éstas transformaciones pueden ser de diferente tipo. Veremos el caso de transformaciones afines.
  • Transformaciones ortogonales: Como las longitudes de vectores y ángulos entre ellos se definen mediante el producto interior; éste tipo de transformaciones preservan las longitudes de los vectores y los ángulos entre ellos.

Tarea moral:

Las gráficas de las funciones senoidales son contracciones y/o dilataciones de las gráficas del seno y el coseno.

\begin{align*}
y &= A sen(Bx + C) + D, & y &= Acos(Bx + C) + D,
\end{align*}

donde $|A|$ representa la amplitud y $|B|$ a la cantidad de veces que se repite un ciclo en el intervalo desde $0$ hasta $2 \pi$. Por otro lado $C$ determina el desplazamiento horizontal de las gráficas y $D$ el desplazamiento vertical de las gráficas. Además, $\dfrac{2 \pi}{|B|}$ es el periodo de la función y nos indica la la longitud de un ciclo.

Ejercicio 1. Identificar la amplitud, el periodo y graficar las funciones:

  • $y = 3 sen (2x),$
  • $y = 2 cos (x),$
  • $y = 2 + sen(x)$
  • $y = \dfrac{1}{2} sen \left( \dfrac{1}{2} x \right)$

Ejercicio 2. Grafiquen las siguientes funciones y analicen el efecto de las constantes con respecto a las gráficas del seno y coseno.

  • $y = sen(x + \pi)$
  • $y = cos(x+2) + 3$

Más adelante:

La tarea moral tiene un propósito, y es que recordemos cómo una función se ve afectada al variar parámetros específicos. Con ello podremos darnos cuenta que no estamos tan enajenados al tema de transformación de funciones que estaremos trabajando en esta unidad.

En la siguiente entrada repasaremos las nociones necesarias de funciones que nos permitirán definir formalmente el concepto de transformaciones y tratar posteriormente con su clasificación.

Entradas relacionadas

  • Página principal del curso:
  • Entrada anterior del curso:
  • Siguiente entrada del curso: