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Álgebra Superior I: Producto de matrices con matrices

Por Eduardo García Caballero

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Introducción

Hasta ahora hemos conocido varias operaciones que involucran escalares, vectores y matrices. En esta entrada aprenderemos sobre una de las operaciones más importantes en el álgebra lineal: el producto de matrices con matrices.

Definición de producto de matrices

Para poder efectuar el producto de dos matrices, hay que asegurarnos de que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz.

El resultado de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ por una matriz $B$ de tamaño $n \times \ell$ será la matriz $C = AB$ de tamaño $m \times \ell$, donde la entrada $c_{ij}$ de $C$ está dada por la fórmula
\[
c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj}.
\]

A primera vista esta fórmula puede parecer complicada, sin embargo, practicando con algunos ejemplos verás que es muy fácil de implementar.

  • Producto de matrices de tamaño $2 \times 2$:

Sean
\[
A
=
\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
5 & 7
\end{pmatrix}
\qquad
\text{y}
\qquad
B
=
\begin{pmatrix}
2 & 4 \\
6 & 8
\end{pmatrix}.
\]

Como estamos multiplicando una matriz de tamaño $2 \times 2$ por una matriz de tamaño $2 \times 2$, sabemos que el resultado será otra matriz de tamaño $2 \times 2$. Ahora, iremos calculando una por una sus entradas.

Sea $C = AB$. Para calcular la entrada $c_{11}$ observamos la primera fila de $A$ y la primera columna de $B$, las cuales son
\[
A
=
\begin{pmatrix}
1 & 3\\
\phantom{5} & \phantom{7}
\end{pmatrix}
\qquad
\text{y}
\qquad
B
=
\begin{pmatrix}
2 & \phantom{4} \\
6 & \phantom{8}
\end{pmatrix},
\]
de modo que $c_{11} = (1)(2)+(3)(6) = 20$:
\[
AB
=
\begin{pmatrix}
20 & \phantom{28} \\
\phantom{52} & \phantom{76}
\end{pmatrix}.
\]

Para la entrada $c_{12}$, nos fijamos en la primera columna de $A$ y en la segunda columna de $B$, que son
\[
A
=
\begin{pmatrix}
1 & 3\\
\phantom{5} & \phantom{7}
\end{pmatrix}
\qquad
\text{y}
\qquad
B
=
\begin{pmatrix}
\phantom{2} & 4 \\
\phantom{6} & 8
\end{pmatrix},
\]
obteniendo $c_{12} = (1)(4) + (3)(8) = 28$:
\[
AB
=
\begin{pmatrix}
20 & 28 \\
\phantom{52} & \phantom{76}
\end{pmatrix}.
\]

De manera similar, observemos la segunda fila de $A$ y la primera columna de $B$,
\[
A
=
\begin{pmatrix}
\phantom{1} & \phantom{3} \\
5 &7
\end{pmatrix},
\qquad
B
=
\begin{pmatrix}
2 & \phantom{4} \\
6 & \phantom{8}
\end{pmatrix},
\]
obteniendo $c_{21} = (5)(2) + (7)(6) = 52$, mientras que la segunda fila de $A$ y la segunda columna de $B$ son
\[
A
=
\begin{pmatrix}
\phantom{1} & \phantom{3} \\
5 &7
\end{pmatrix},
\qquad
B
=
\begin{pmatrix}
\phantom{2} & 4 \\
\phantom{6} & 8
\end{pmatrix},
\]
obteniendo $c_{22} = (5)(4) + (7)(8) = 76$.

Por lo tanto,
\[
AB
=
\begin{pmatrix}
20 & 28 \\
52 & 76
\end{pmatrix}.
\]

En general, el resultado del producto de las matrices
\[
A
=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix}
\qquad
\text{y}
\qquad
B
=
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix}
\]
es
\[
AB
=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\
a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22}
\end{pmatrix}.
\]

  • Producto de matriz de $3 \times 2$ por matriz de $2 \times 2$:

Supongamos que
\[
A
=
\begin{pmatrix}
3 & 5 \\
1 & 0 \\
4 & 3
\end{pmatrix}
\qquad
\text{y}
\qquad
B
=
\begin{pmatrix}
7 & 8 \\
5 & 2
\end{pmatrix}.
\]

En este caso, como estamos multiplicando una matriz de tamaño $3 \times 2$ por una matriz de tamaño $2 \times 2$, la matriz resultante tendrá tamaño $3 \times 2$.

Podemos obtener sus entradas de manera similar al caso anterior. Si $C = AB$, entonces la entrada $c_{12}$ la podemos encontrar revisando la primera fila de $A$ y la segunda columna de $B$,
\[
A
=
\begin{pmatrix}
3 & 5 \\
\phantom{1} & \phantom{0} \\
\phantom{4} & \phantom{3}
\end{pmatrix},
\qquad
B
=
\begin{pmatrix}
\phantom{7} & 8 \\
\phantom{5} & 2
\end{pmatrix}.
\]
de modo que $c_{12} = (3)(8) + (5)(2) = 34$. Por su parte, para obtener la entrada $c_{31}$ nos fijamos en la tercera fila de $A$ y la primera columna de $B$,
\[
A
=
\begin{pmatrix}
\phantom{3} & \phantom{5} \\
\phantom{1} & \phantom{0} \\
4 & 3
\end{pmatrix},
\qquad
B
=
\begin{pmatrix}
7 & \phantom{8} \\
5 & \phantom{2}
\end{pmatrix}.
\]
obteniendo $c_{31} = (4)(7) + (3)(5) = 43$.

¿Podrías comprobar que
\[
AB
=
\begin{pmatrix}
46 & 34 \\
7 & 8 \\
43 & 38
\end{pmatrix}?
\]

Así, para el caso general de matrices de $3 \times 2$ por $2 \times 2$, obtendremos
\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\
a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} \\
a_{31}b_{11} + a_{32}b_{21} & a_{31}b_{12} + a_{32}b_{22}
\end{pmatrix}.
\]

  • Producto de matriz de $4 \times 2$ por matriz de $2 \times 3$:

¿Podrías verificar que la siguiente fórmula es correcta?
\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32} \\
a_{41} & a_{42}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
b_{21} & b_{22} & b_{23}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} & a_{11}b_{13} + a_{12}b_{23} \\
a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} & a_{21}b_{13} + a_{22}b_{23} \\
a_{31}b_{11} + a_{32}b_{21} & a_{31}b_{12} + a_{32}b_{22} & a_{31}b_{13} + a_{32}b_{23} \\
a_{41}b_{11} + a_{42}b_{21} & a_{41}b_{12} + a_{42}b_{22} & a_{41}b_{13} + a_{42}b_{23}
\end{pmatrix}.
\]

Propiedades del producto de matrices

A continuación revisaremos algunas de las propiedades que cumple la multiplicación de matrices. Para demostrar las siguientes propiedades, consideraremos la matriz $A$ de tamaño $3 \times 2$ y las matrices $B$ y $C$ de tamaño $2 \times 2$, aunque se pueden probar para matrices de cualesquier otro tamaño entre las cuales se puedan efectuar las operaciones.

Veamos que si efectuamos la multiplicación de una matriz de tamaño $m \times n$ por una matriz de tamaño $n \times 1$ siguiendo el algoritmo descrito anteriormente, el resultado coincide con el de multiplicar la matriz de tamaño $m \times n$ por un vector de tamaño $n$. Por ejemplo, si multiplicamos $A$ por una matriz $U$ de tamaño $2 \times 1$, obtendremos
\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u_{11} \\
u_{12}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_{11}u_{11} + a_{12}u_{21} \\
a_{21}u_{11} + a_{22}u_{21} \\
a_{31}u_{11} + a_{32}u_{21}
\end{pmatrix}.
\]

Esta es una observación importante pues todo lo que demostremos para el producto de matrices también lo tendremos para el producto de matriz por vector.

Veamos que la multiplicación de matrices es asociativa:

\begin{align*}
(AB)C
&=
\left(
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix}
\right)
\begin{pmatrix}
c_{11} & c_{12} \\
c_{21} & c_{22}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\
a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} \\
a_{31}b_{11} + a_{32}b_{21} & a_{31}b_{12} + a_{32}b_{22} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_{11} & c_{12} \\
c_{21} & c_{22}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
(a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21})c_{11} + (a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22})c_{21}
& (a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21})c_{12} + (a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22})c_{22} \\
(a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21})c_{11} + (a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22})c_{21}
& (a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21})c_{12} + (a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22})c_{22} \\
(a_{31}b_{11} + a_{32}b_{21})c_{11} + (a_{31}b_{12} + a_{32}b_{22})c_{21}
& (a_{31}b_{11} + a_{32}b_{21})c_{12} + (a_{31}b_{12} + a_{32}b_{22})c_{22}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11}(b_{11}c_{11} + b_{12}c_{21}) + a_{12}(b_{21}c_{11} + b_{22}c_{21})
& a_{11}(b_{11}c_{12} + b_{12}c_{22}) + a_{12}(b_{21}c_{12} + b_{22}c_{22}) \\
a_{21}(b_{11}c_{11} + b_{12}c_{21}) + a_{22}(b_{21}c_{11} + b_{22}c_{21})
& a_{21}(b_{11}c_{12} + b_{12}c_{22}) + a_{22}(b_{21}c_{12} + b_{22}c_{22}) \\
a_{31}(b_{11}c_{11} + b_{12}c_{21}) + a_{32}(b_{21}c_{11} + b_{22}c_{21})
& a_{31}(b_{11}c_{12} + b_{12}c_{22}) + a_{32}(b_{21}c_{12} + b_{22}c_{22})
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_{11}c_{11} + b_{12}c_{21} & b_{11}c_{12} + b_{12}c_{22} \\
b_{21}c_{11} + b_{22}c_{21} & b_{21}c_{12} + b_{22}c_{22}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{pmatrix}
\left(
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_{11} & c_{12} \\
c_{21} & c_{22}
\end{pmatrix}
\right)
\\[5pt]
&=
A(BC).
\end{align*}

De manera muy similar, si $u$ es un vector de tamaño 2, podemos ver que se cumple que $A(Bu) = (AB)u$. ¿Puedes demostrarlo? Hazlo por lo menos para matrices $A$ y $B$ ambas de $2\times 2$.

Quizás tengas la impresión de que hay que hacer demasiadas cuentas y que sería sumamente difícil demostrar estas propiedades para matrices más grandes. Sin embargo, en cursos posteriores verás cómo trabajar apropiadamente con la notación para poder hacer estas demostraciones más fácilmente.

El producto de matrices es asociativo. Sin embargo, no es conmutativo. Por ejemplo, consideremos las matrices
\[
E=
\begin{pmatrix}
5 & 7 \\
-3 & 0
\end{pmatrix}
\qquad
\text{y}
\qquad
F=
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
9 & -1
\end{pmatrix}.
\]


Veamos que
\[
EF =
\begin{pmatrix}
68 & 3 \\
-3 & -6
\end{pmatrix}
\ne
\begin{pmatrix}
-1 & 7 \\
48 & 63
\end{pmatrix}
=
FE.
\]

En términos de combinar el producto de matrices con otras operaciones, tenemos que el producto de matrices por la izquierda se distribuye sobre la suma de matrices:
\begin{align*}
A(B+C)
&=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{pmatrix}
\left(
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
c_{11} & c_{12} \\
c_{21} & c_{22}
\end{pmatrix}
\right)
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_{11}+c_{11} & b_{12}+c_{12} \\
b_{21}+c_{21} & b_{22}+c_{22}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11}(b_{11}+c_{11}) + a_{12}(b_{21}+c_{21})
& a_{11}(b_{12}+c_{21}) + a_{12}(b_{22}+c_{22}) \\
a_{21}(b_{11}+c_{11}) + a_{22}(b_{21}+c_{21})
& a_{21}(b_{12}+c_{21}) + a_{22}(b_{22}+c_{22}) \\
a_{31}(b_{11}+c_{11}) + a_{32}(b_{21}+c_{21})
& a_{31}(b_{12}+c_{21}) + a_{32}(b_{22}+c_{22}) \\
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11}b_{11}+a_{11}c_{11} + a_{12}b_{21}+a_{12}c_{21}
& a_{11}b_{12}+a_{11}c_{11} + a_{12}b_{22}+a_{12}c_{22} \\
a_{21}b_{11}+a_{21}c_{11}+ a_{22}b_{21}+a_{22}c_{21}
& a_{21}b_{12}+a_{21}c_{12}+ a_{22}b_{22}+a_{22}c_{22} \\
a_{31}b_{11}+a_{31}c_{11} + a_{32}b_{21}+a_{32}c_{21}
& a_{31}b_{12}+a_{31}c_{12} + a_{32}b_{22}+a_{32}c_{22}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\
a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} \\
a_{31}b_{11} + a_{32}b_{21} & a_{31}b_{12} + a_{32}b_{22}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
a_{11}c_{11} + a_{12}c_{21} & a_{11}c_{12} + a_{12}c_{22} \\
a_{21}c_{11} + a_{22}c_{21} & a_{21}c_{12} + a_{22}c_{22} \\
a_{31}c_{11} + a_{32}c_{21} & a_{31}c_{12} + a_{32}c_{22}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_{11} & c_{12} \\
c_{21} & c_{22}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
AB + AC.
\end{align*}

El producto también se distribuye sobre la suma cuando la suma aparece a la izquierda. ¿Podrías probar que si $D$ es una matriz de tamaño $3 \times 2$, entonces se cumple $(A+D)B = AB + DB$?

En entradas anteriores vimos que $\mathcal{I}_n$ tiene la propiedad de ser neutro al multiplicarla por un vector de tamaño $n$. Resulta que $\mathcal{I}_n$ también tiene esta propiedad al multiplicarla por la izquierda por una matriz de tamaño $n\times m$. Por ejemplo, veamos que al multiplicar $\mathcal{I}_3$ por la izquierda por $A$, obtenemos
\begin{align*}
\mathcal{I}_3 A
&=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
1a_{11} + 0a_{21} + 0a_{31} & 1a_{12} + 0a_{22} + 0a_{32} \\
0a_{11} + 1a_{21} + 0a_{31} & 0a_{12} + 1a_{22} + 0a_{32} \\
0a_{11} + 0a_{21} + 1a_{31} & 0a_{12} + 0a_{22} + 1a_{32}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
A.
\end{align*}

¿Podrías probar que $A\mathcal{I}_2 = A$ (es decir, que $\mathcal{I}_2$ es neutro por la derecha para $A$)?

Habiendo visto que el producto de matrices es asociativo, conmutativo y tiene neutros, probablemente te estarás preguntando si existen inversos en la multiplicación de matrices. Este cuestionamiento lo dejaremos para la siguiente entrada.

Relación con la composición de transformaciones

Como vimos en la entrada anterior, una forma de visualzar el producto de una matriz $A$ por un vector $u$ es como una transformación que envía el vector $u$ a un único vector $Au$.

Teniendo en mente esto, veamos que la propiedad de que $A(Bu) = (AB)u$ resulta aún más interesante. Para esto, veamos que el siguiente ejemplo: sean
\[
A
=
\begin{pmatrix}
0 & 2 \\
1 & 1
\end{pmatrix},
\qquad
B
=
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 0
\end{pmatrix},
\qquad
\text{y}
\qquad
u
=
\begin{pmatrix}
1 \\
2
\end{pmatrix}.
\]

Si multiplicamos $B$ por $u$, vemos que corresponde a la transformación que envía $u = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ al vector $Bu = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$.

Ahora, si multiplicamos $A$ por el vector $Bu$, vemos que corresponde a la transformación que envía $Bu$ al vector $A(Bu) = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix}$ (Acabamos de obtener el resultado de aplicar a $u$ la composición de las transformaciones $B$ y $A$).

Por otra parte, si realizamos la multiplicación
\[
AB
=
\begin{pmatrix}
0 & 2 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
6 & 0 \\
4 & 2
\end{pmatrix},
\]
la transformación asociada a $AB$ envía $u$ al vector $(AB)u = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix}$.

¡La composición de las transformaciones asociadas a $B$ y $A$ aplicada al vector $u$ coincide con la transformación asociada a la matriz $AB$ aplicada al mismo vector!

Si probamos esto para un vector arbitrario, nos daremos cuenta de que en todos los casos se cumple lo mismo. En realidad, esto no es una coincidencia: como aprenderás en tus cursos de álgebra lineal, la composición de transformaciones lineales está directamente asociada al producto de matrices.

Potencias de matrices

Podemos ver que si una matriz $A$ es cuadrada, al tener el mismo número de filas que de columnas, entonces podemos realizar la multiplicaciones $AA$, $AAA$, $AAAA$, etc., que por asociatividad no importa en qué orden multipliquemos. Esto nos sugiere que podemos cacular potencias de matrices.

Para una matriz cuadrada $A$, definiremos de manera recursiva la potencia $A^n$:

  • Definimos $A^0 = \mathcal{I}$.
  • Dada $A^n$, con $n$ un número natural, definimos $A^{n+1} = A^n A$.

Por ejemplo, si
\[
A
=
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
3 & 4
\end{pmatrix},
\]
calculemos $A^3$ empleando la definición recursiva. Para esto, iremos calculando una por una las potencias de $A$, hasta llegar a $A^3$:
\begin{align*}
A^0
&=
\mathcal{I}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix},
\\[5pt]
A^1
&=
A^0A
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
3 & 4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
3 & 4
\end{pmatrix},
\\[5pt]
A^2
&=
A^1 A
=
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
3 & 4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
3 & 4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
(2)(2) + (1)(3) & (2)(1) + (1)(4) \\
(3)(2) + (4)(3) & (3)(1) + (4)(4)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
7 & 6 \\
18 & 19
\end{pmatrix},
\\[5pt]
A^3
&=
A^2A
=
\begin{pmatrix}
7 & 6 \\
18 & 19
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
3 & 4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
(7)(2) + (6)(3) & (7)(1) + (6)(4) \\
(18)(2) + (19)(3) & (18)(1) + (19)(4)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
32 & 31 \\
93 & 94
\end{pmatrix}.
\end{align*}

Prueba calcular algunas potencias de la matriz \(
\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & 3
\end{pmatrix}.
\) ¿Notas algún patrón especial?

Más adelante…

En esta entrada aprendimos sobre el producto de matrices con matrices y conocimos algunas de sus propiedades. En la siguiente entrada abordaremos la pregunta sobre si existen los inversos en la multiplicación de matrices.

Tarea moral

  1. Realiza el producto de matrices $$\begin{pmatrix} -1 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.$$
  2. Considera la matriz $A=\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 4 & -5 \end{pmatrix}$. Realiza las siguientes operaciones por separado, sin usar la asociatividad del producto de matrices. ¿Cuál de las dos operaciones te resultó más fácil de hacer?
    • $$A\left(A\left(A\left(A\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\right)\right)\right).$$
    • $$(((AA)A)A)\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}.$$
  3. Completa las pruebas faltantes de las propiedades de la multiplicación de matrices.
  4. Demuestra la siguiente ley de exponentes para matrices: $A^mA^n=A^{m+n}$.
  5. Prueba que si
    \[
    A =
    \begin{pmatrix}
    a_{11} & 0 \\
    0 & a_{22}
    \end{pmatrix},
    \]
    y $k$ es un entero mayor o igual que $0$, entonces
    \[
    A^k
    =
    \begin{pmatrix}
    {a_{11}}^k & 0 \\
    0 & {a_{22}}^k
    \end{pmatrix}
    \]
    (Sugerencia: realizarlo por inducción sobre $k$, utilizando la definición recursiva).
  6. Encuentra matrices $A$ y $B$ de $2\times 2$ para las cuales $A^2-B^2\neq (A+B)(A-B)$.

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Álgebra Superior I: Operaciones de suma y producto escalar con vectores y matrices

Por Eduardo García Caballero

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Introducción

Anteriormente definimos qué son los vectores y las matrices con entradas reales. Así mismo, mencionamos que existen distintas operaciones que los involucran. En esta entrada conocerás dos de estas operaciones: la suma de vectores/matrices y el producto escalar.

Suma de vectores

Una de las operaciones más sencillas que involucra a los vectores es su suma. Para sumar dos vectores con entradas reales, debemos asegurarnos de que ambos tengan la misma cantidad de entradas. De este modo, podemos ver que los vectores $(1,0,3)$ y $(-2,\sqrt{5})$ no pueden ser sumados, pero los vectores $(7,\frac{1}{2},-5)$ y $(\pi,4,3)$ sí.

Para denotar la suma de dos vectores utilizaremos el símbolo $+$ en medio de ellos. Por ejemplo, la suma de $(7,\frac{1}{2},-5)$ y $(\pi,4,3)$ la escribimos como
\[
(7,\tfrac{1}{2},-5)+(\pi,4,3).
\]

El resultado de esta operación lo obtendremos sumando entrada a entrada los dos vectores originales. Es decir, la primera entrada del nuevo vector será igual a la suma de las primeras entradas de los vectores originales; su segunda entrada será igual a la suma de las segundas entradas de los vectores originales; y así sucesivamente (observemos que, de este modo, el vector resultante tiene el mismo tamaño que los vectores originales). Así, el resultado de sumar $(7,\tfrac{1}{2},-5)$ y $(\pi,4,3)$ es
\[
(7,\tfrac{1}{2},-5)+(\pi,4,3) = (7+\pi, \tfrac{1}{2}+4,-5+3).
\]

Además, ya te habrás dado cuenta de que podemos reducir algunas operaciones de cada entrada del vector (esto por la definición de igualdad de vectores que vimos en la entrada anterior). Así, obtenemos que
\[
(7+\pi,\tfrac{1}{2}+4,-5+3) = (7+\pi, \tfrac{9}{2},-2),
\]
y, al ser la igualdad transitiva, llegamos a que
\[
(7,\tfrac{1}{2},-5)+(\pi,4,3) = (7+\pi, \tfrac{9}{2},-2).
\]

El ejemplo que discutimos aquí es para vectores con tres entradas, pero pudimos hacer exactamente lo mismo con vectores de dos entradas, de cuatro o de más.

Producto escalar de vectores

Otra operación que realizaremos de manera frecuente es el producto escalar. Para efectuar esta operación, requeriremos un número real y un vector, y los denotamos escribiendo primero el número y de manera seguida al vector. De este modo, el producto escalar del número real $4$ y el vector $(3,\sqrt{2},5)$ lo denotaremos por
\[
4(3,\sqrt{2},5).
\]

El resultado es esta operación consiste consiste en multiplicar cada una de las entradas de nuestro vector por el número real escogido. Así, podemos ver que
\[
4(3,\sqrt{2},5) = (4(3), 4(\sqrt{2}), 4(5)),
\]
y, al igual que pasa con la suma, en cada entrada tenemos ahora operaciones en los números reales que podemos simplificar, de modo que
\[
(4(3), 4(\sqrt{2}), 4(5)) = (12,4\sqrt{2},20),
\]
y, por lo tanto,
\[
4(3,\sqrt{2},5) = (12,4\sqrt{2},20).
\]

Al número real por el cual multiplicamos el vector lo denominaremos escalar.

Repaso de propiedades de la suma y producto de números reales

Antes de pasar a ver algunas de las propiedades que cumplen las operaciones vistas anteriormente, será conveniente que repasemos algunas de las propiedades que cumplen los números reales (seguramente estas propiedades las recuerdas de tu curso de Cálculo Diferencial e Integral I). Recordemos que si $a$, $b$ y $c$ son números reales, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

Suma:

  • Es asociativa: $(a+b)+c = a+(b+c)$.
  • Es conmutativa: $a+b = b+a$.
  • Tiene neutro: el $0$ es un número real y cumple que $a+0 = 0+a = a$.
  • Tiene inversos: para cada $a$ existe un número real, denotado $-a$, es cual cumple que $a+(-a) = (-a)+a = 0$.

Producto:

  • Es asociativo: $(ab)c = a(bc)$.
  • Es conmutativo: $ab = ba$.
  • Tiene neutro: el $1$ es un número real y cumple que $a(1) = (1)a = a$.
  • Tiene inversos: si $a$ es distinto a $0$, entonces existe un número real, denotado $a^{-1}$, el cual cumple que $a(a^{-1}) = (a^{-1})a = 1$.

Suma y producto:

  • El producto se distribuye sobre la suma: $a(b+c) = ab + ac$ y también $(a+b)c = ac + bc$.

Propiedades de suma y el producto escalar de vectores

En esta sección trabajaremos con vectores en $\mathbb{R}^3$, pero las deducciones son muy parecidas para vectores de cualquier otro tamaño (¿podrías intentarlas para vectores de $\mathbb{R}^4?$).

Primeramente, veamos un ejemplo. Observemos que si $u = (4,6,-2)$ y $v = (1,\tfrac{1}{3},2)$, entonces
\begin{align*}
(4,6,-2) + (1,\tfrac{1}{3}, 2)
&= (4+1,6+\tfrac{1}{3}, -2+2) \\
&= (1+4, \tfrac{1}{3}+6, 2+(-2)) \\
&= (1,\tfrac{1}{3}, 2) + (4,6,-2),
\end{align*}
es decir, $u + v = v+u$. La razón por la cual podemos intercambiar los sumandos en la segunda igualdad es porque las sumas en cada una de las entradas ya son sumas de números reales. Así, la conmutatividad de la suma de reales nos ayudó a ver la conmutatividad de una suma de vectores.

Como puedes ver, para llegar al resultado anterior no nos basamos en ningún valor de $u$ o $v$ en particular. ¡De hecho ni siquiera fue necesario hacer las operaciones! Nos basamos únicamente en las definiciones de igualdad y suma, y en las propiedades de los números reales. Por esta razón, este argumento lo podemos hacer general.

Observemos que cualesquiera vectores $u = (u_1,u_2,u_3)$ y $v=(v_1,v_2,v_3)$ cumplen que
\begin{align*}
u+v
&= (u_1,u_2,u_3)+(v_1,v_2,v_3) \\
&= (u_1+v_1,u_2+v_2,u_3+v_3) \\
&= (v_1+u_1,v_2+u_2,v_3+u_3) \\
&= (v_1,v_2,v_3)+(u_1,u_2,u_3) \\
&= v+u.
\end{align*}

Otra propiedad bastante interesante tiene que ver con un vector especial que conocimos anteriormente. Recordarás que en la entrada anterior definimos al vector cero. Como su nombre lo sugiere, este vector juega el papel de elemento neutro de la suma. Recordemos que el vector cero en $\mathbb{R}^3$ es $0=(0,0,0)$. Observemos que si $u = (8,\pi,-10)$, entonces
\[
u+0 = (8,\pi,-10) + (0,0,0) = (8+0,\pi+0,-10+0) = (8,\pi,-10) = u.
\]
Aunque pudiera parecer que en este caso sí simplificamos el resultado de la operación, en realidad otra vez hicimos únicamente uso de las definiciones de igualdad y suma de vectores, y esta vez la propiedad de que el $0$ (número real) es neutro para la suma de números reales.

Entonces, podemos ver que para cualquier vector $u = (u_1,u_2,u_3)$ se cumple que
\[
u+0 = (u_1,u_2,u_3) + (0,0,0) = (u_1+0,u_2+0,u_3+0) = (u_1,u_2,u_3) = u.
\]

Otras dos propiedades que cumple la suma de vectores, y que cuya deducción se deja como ejercicio al lector, son las siguientes:

  • Para cualesquiera vectores $u = (u_1,u_2,u_3)$, $v=(v_1,v_2,v_3)$ y $w=(w_1,w_2,w_3)$ se cumple que $(u+v)+w = u+(v+w)$.
  • Para cualquier vector $u = (u_1,u_2,u_3)$ existe un vector $v$ que cumple $u+v = 0$ (Recuerda que aquí $0$ denota al vector $(0,0,0)$. Basta con decir cuál es el vector $v$ que cumple esa propiedad). Más aún, podemos demostrar que $v$ es único para cada $u$. Por esta razón, al único vector $v$ que cumple esta propiedad lo denotaremos $-u$.

Por otra parte, revisemos algunas de las propiedades que cumplen en conjunto la suma de vectores y el producto escalar de vectores.

Veamos que para el escalar (número real) $r$ y para los vectores $u = (u_1,u_2,u_3)$ y $v=(v_1,v_2,v_3)$ se cumple que
\begin{align*}
r(u+v)
&= r((u_1,u_2,u_3) + (v_1,v_2,v_3)) \\
&= r(u_1+v_1, u_2+v_2, u_3+v_3) \\
&= (r(u_1+v_1), r(u_2+v_2), r(u_3+v_3)) \\
&= (ru_1+rv_1, ru_2+rv_2, ru_3+rv_3) \\
&= (ru_1,ru_2+ru_3) + (rv_1,rv_2,rv_3) \\
&= r(u_1,u_2,u_3) + r(v_1,v_2,v_3) \\
&= ru + rv.
\end{align*}

(¿Qué se está usando en cada igualdad? ¿Una definición? ¿Una propiedad de los números reales?)

Asimismo, para cuales quiera $r$ y $s$ escalares, y para cualquier vector $u = (u_1,u_2,u_3)$ se cumple que $(r+s)u = ru + su$. ¿Puedes ver cómo se deduce esta propiedad?

Aunque estas dos propiedades son muy parecidas, realmente dicen cosas distintas: $r(u+v)$ indica que el producto escalar se distribuye sobre la suma de vectores, mientras que $(r+s)u$ indica que el producto escalar se distribuye sobre la suma de escalares (números reales).

Una última propiedad de la suma de vectores y producto de vectores es la siguiente: si $r$ y $s$ son escalares, y $u=(u_1,u_2,u_3)$ es un vector, entonces
\begin{align*}
r(s(u))
&= r(s(u_1,u_2,u_3)) \\
&= r(su_1, su_2, su_3) \\
&= (r(su_1), r(su_2), r(su_3)) \\
&= ((rs)u_1, (rs)u_2, (rs)u_3) \\
&= (rs)(u_1,u_2,u_3) \\
&= (rs)u.
\end{align*}
Aún cuando pudiera parecer trivial, esta última propiedad es muy interesante, pues observemos que $r(su)$ involucra únicamente productos escalares, mientras que en $(rs)u$ aparecen tanto el producto de números reales como el producto escalar.

Conocer estas propiedades nos permitirá manipular con facilidad las operaciones entre vectores. Así, por ejemplo, para saber cuál es el resultado de $((1,4,-1) + 5(0,3,4)) + 5(1,1,-5)$, no tendremos que recurrir a efectuar cada operación por definición: podemos optar por manipular la expresión para obtener
\begin{align*}
((1,4,-1) + 5(0,3,4)) + 5(1,1,-5)
&= (1,4,-1) + (5(0,3,4) + 5(1,1,-5)) \\
&= (1,4,-1) + 5((0,3,4) + (1,1,-5)) \\
&= (1,4,-1) + 5(1,4,-1) \\
&= 1(1,4,-1) + 5(1,4,-1) \\
&= (1+5)(1,4,-1) \\
&= 6(1,4,-1) \\
&= (6,24,-6).
\end{align*}

¿Puedes ver qué propiedad(es) usamos en cada paso?

Suma de matrices

La suma de matrices con entradas reales es muy parecida a la suma de vectores. Al igual que con los vectores, tenemos que asegurarnos que las dos matrices que deseamos sumar tengan el mismo tamaño, es decir, que tengan el mismo número de filas y el mismo de columnas. La suma de matrices también la denotaremos utilizando el símbolo $+$ y de igual manera la realizaremos entrada a entrada, según la fila y columna que estemos calculando.

Así, por ejemplo, la suma de
\[
\begin{pmatrix}
8 & 0 & \sqrt{5} \\
-2 & 10 & 0
\end{pmatrix}
\qquad
\text{y}
\qquad
\begin{pmatrix}
-3 & 1 & \sqrt{5} \\
4 & \pi & -2
\end{pmatrix}
\]
es
\[
\begin{pmatrix}
8 & 0 & \sqrt{5} \\
-2 & 10 & 0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-3 & 1 & \sqrt{5} \\
4 & \pi & -2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
8+(-3) & 0+1 & \sqrt{5}+\sqrt{5} \\
-2+4 & 10+\pi & 0+(-2)
\end{pmatrix},
\]
lo cual queda simplificado como,
\[
\begin{pmatrix}
8 & 0 & \sqrt{5} \\
-2 & 10 & 0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-3 & 1 & \sqrt{5} \\
4 & \pi & -2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
5 & 1 & 2\sqrt{5} \\
2 & 10+\pi & -2
\end{pmatrix}.
\]

Producto escalar de matrices

A igual que pasa con la suma, también podemos definir el producto escalar de matrices. Como seguramente ya lo habrás imaginado, esta operación se parece mucho al producto escalar de vectores.

Esta operación involucra a un número real y a una matriz. La denotamos colocando al número real seguido de la matriz, y consiste en multiplicar cada entrada de la matriz por dicho número real.

Por ejemplo, el producto escalar de $-3$ y la matriz
\[
\begin{pmatrix}
8 & 3 \\
\frac{1}{2} & \pi \\
\frac{1}{3} & 4
\end{pmatrix}
\]
es
\[
(-3)
\begin{pmatrix}
8 & 3 \\
\frac{1}{2} & \pi \\
\frac{1}{3} & 4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
(-3)(8) & (-3)3 \\
(-3)(\frac{1}{2}) & (-3)(\pi) \\
(-3)(\frac{1}{3}) & (-3)4
\end{pmatrix},
\]
es decir,
\[
(-3)
\begin{pmatrix}
8 & 3 \\
\frac{1}{2} & \pi \\
\frac{1}{3} & 4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-24 & -9 \\
-\tfrac{3}{2} & -3\pi \\
-1 & -12
\end{pmatrix}.
\]

Propiedades de suma y producto escalar de matrices

Veamos algunas propiedades que cumplen la suma y el producto escalar de matrices. Para esto, trabajaremos con matrices con tamaño $2 \times 3$, pero verás que las deducciones para matrices de cualquier otro tamaño son muy parecidas.

Recordemos que la matriz cero de tamaño $2 \times 3$ es
\[
\mathcal{O} = \mathcal{O}_{2 \times 3} =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
\]

Observemos que para cualquier matriz
\[
A =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}
\]
se cumple que
\begin{align*}
A + \mathcal{O}
&=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11}+0 & a_{12}+0 & a_{13}+0 \\
a_{21}+0 & a_{22}+0 & a_{23}+0
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&= A.
\end{align*}

Por otra parte, dada una matriz $A$, como cada entrada $a_{ij}$ de la matriz es un número real, entonces tienen un respectivo inverso aditivo, es decir, un número $(-a_{ij})$ que cumple que $a_{ij}+(-a_{ij}) = 0$. Así, si definimos
\[
B=
\begin{pmatrix}
(-a_{11}) & (-a_{12}) & (-a_{13}) \\
(-a_{21}) & (-a_{22}) & (-a_{23})
\end{pmatrix}.
\]
Entonces, observemos que
\begin{align*}
A + B
&=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{2_3}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
(-a_{11}) & (-a_{12}) & (-a_{13}) \\
(-a_{21}) & (-a_{22}) & (-a_{23})
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11}+(-a_{11}) & a_{12}+(-a_{12}) & a_{13}+(-a_{13}) \\
a_{21}+(-a_{21}) & a_{22}+(-a_{22}) & a_{23}+(-a_{23})
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\mathcal{O}.
\end{align*}

La matriz $B$ la definimos basándonos en la matriz $A$. Entonces, para cada matriz existe una matriz $B$ que cumple que $A + B = \mathcal{O}$. Como te podrás dar cuenta, la matriz $B$ que cumple esta propiedad es única (¿por qué se cumple esto?); por esta razón, a la $B$ que cumple esta propiedad la denotamos como $-A$.

Seguramente notarás que estas dos propiedades se parecen mucho a las que cumple la suma de vectores. ¿Podrías también probar las siguientes propiedades?

Para cuales quiera matrices $A$, $B$ y $C$ de tamaño $2\times 3$ se cumple que

  • $(A+B)+C = A+(B+C)$.
  • $A+B = B+A$.

Por otra parte, el producto escalar de matrices también se comporta de manera similar al producto escalar de vectores.

Si $r$ y $s$ son escalares y
\[
A =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix},
\]
entonces
\begin{align*}
(r+s)A
&=
(r+s)
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
(r+s)a_{11} & (r+s)a_{12} & (r+s)a_{13} \\
(r+s)a_{21} & (r+s)a_{22} & (r+s)a_{23}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
ra_{11}+sa_{11} & ra_{12}+sa_{12} & ra_{13}+sa_{13} \\
ra_{21}+sa_{21} & ra_{22}+sa_{12} & ra_{23}+sa_{23}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
ra_{11} & ra_{12} & ra_{13} \\
ra_{21} & ra_{22} & ra_{23}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
sa_{11} & sa_{12} & sa_{13} \\
sa_{21} & sa_{22} & sa_{23}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
r
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}
+
s
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
rA + sA.

\end{align*}

Dejamos como ejercicio para el lector probar también las siguientes propiedades:

Para cualquiesquiera escalares $r$ y $s$, y cualesquiera matrices $A$ y $B$ de tamaño $2\times 3$, se cumple que

  • $r(A+B) = rA + rB$.
  • $r(sA) = (rs)A$.

Más adelante…

En esta entrada conocimos las suma y el producto escalar de vectores/matrices, y revisamos algunas propiedades que estas operaciones cumple. Emplear sus propiedades nos permitirá calcular de manera más sencilla sus resultados, además de que se integrarán con operaciones que definiremos en entradas futuras.

En la siguiente entrada conoceremos una nueva operación, la cual involucra al mismo tiempo matrices y vectores.

Tarea moral

  1. Sea $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}$. Encuentra explícitamente el resultado de la operación $A+2A+3A+4A+5A+6A+7A$. Como sugerencia, si usas apropiadamente las propiedades que hemos discutido, sólo tendrás que hacer un producto escalar.
  2. ¿Podrías desarrollar las pruebas de las propiedades de suma y producto escalar para vectores en $\mathbb{R}^4$? ¿Podrías hacerlo para suma y producto escalar de matrices de $3 \times 2$?
  3. Como vimos en esta entrada, para cada vector $u$ existe un vector $v$ que cumple que $u+v = 0$. ¿Puedes ver por qué $v$ es único?
  4. En los reales está el escalar $-1$. Demuestra que el producto escalar $(-1)v$ es precisamente el inverso aditivo $-v$ de $v$. Enuncia y demuestra un resultado similar para matrices.
  5. Podemos definir la resta de vectores (o de matrices) de la siguiente manera: $u-v=u+(-v)$. Determina si esta operación es asociativa, conmutativa, si tiene neutro y/o inversos.

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Álgebra Superior II: El producto en los enteros

Por Ana Ofelia Negrete Fernández

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Introducción

En la entrada anterior hablamos de cómo se construye el conjunto $\mathbb{Z}$ de los números enteros y cómo definir una operación de suma en él. Vimos que esta operación de suma tenía cuatro propiedades clave: asociatividad, conmutatividad, existencia de un neutro y de inversos. A partir de ello definimos también la operación de resta. En esta entrada continuaremos con la construcción de las operaciones en $\mathbb{Z}$. Ahora definiremos el producto de números enteros.

Intuición del producto de enteros y su definición formal

La definición de la suma de los enteros resultó ser muy sencilla. Si tenemos enteros $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ entonces para hacer la suma simplemente «sumamos entrada a entrada» para obtener $\overline{(a+c,b+d)}$. Uno podría pensar que para hacer el producto de enteros esto debe ser igual de fácil, definiendo al producto simplemente como $\overline{(ac,bd)}$. Sin embargo, esta definición no funciona, pues no tiene muchas de las propiedades valiosas que debería tener una operación de producto.

Antes de dar la definición, recordemos nuestra intuición de qué quería decir cada pareja $(a,b)$. En la entrada anterior, a cada pareja la asociábamos con la ecuación $a=x+b$. La relación de equivalencia que dimos consistía en asociar a las parejas cuyas ecuaciones daban la misma solución. De manera informal, podemos pensar entonces a la pareja $(a,b)$ como si fuera $a-b$. Pero ojo: esto sólo es intuición, pues $a$ y $b$ son elementos de $\mathbb{N}$ y ahí no hay operación de resta.

De cualquier forma, esta intuición es valiosa, pues nos sugiere cuál debería de ser la definición de producto. De manera intuitiva, queremos que suceda $(a-b)(c-d)=ac-ad-bc+bd=(ac+bd)-(ad+bc)$, y aquí cada término entre paréntesis sí es un natural válido: $ac+bd$ y $ad+bc$, así que el resultado correspondería a la pareja $(ac+bd,ad+bc)$. Es muy interesante que esta intuición informal en verdad da una buena definición de producto.

Definición. El producto en $\mathbb{Z}$ es la función $\star:\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ tal que para enteros $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$, se tiene que $$\overline{(a,b)} \star \overline{(c,d)}=\overline{(ac+bd),(ad+bc)}.$$

Como en el caso de la suma, estamos usando un símbolo especial para el producto en $\mathbb{Z}$, de modo que podamos distinguirlo del producto en $\mathbb{N}$. Así como en el caso de la suma, sólo haremos la distinción explícita en este momento. Usualmente nos referiremos al producto de enteros $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ como $\overline{(a,b)}\cdot \overline{(c,d)}$, o simplemente como $\overline{(a,b)}\, \overline{(c,d)}$. Esto será claro por el contexto.

El producto en $\mathbb{Z}$ está bien definido

Nuestra definición de producto en $\mathbb{Z}$ es un poco extraña, así que debemos dedicar algo de trabajo a verificar que en realidad es el producto tal y como siempre lo habíamos conocido. La primer cosa que debemos hacer es ver que el producto en $\mathbb{Z}$ está bien definido, es decir, que el resultado es el mismo independientemente de los representantes que se elijan para realizar la multiplicación.

Proposición. El producto en $\mathbb{Z}$ está bien definido.

Demostración. Comencemos con parejas $(a,b)\sim (e,f)$ y $(c,d)\sim (g,h)$. Como $(a,b) \sim (e,f)$, entonces $$ a + f = b + e.$$ También, $(c,d) \sim (g,h)$, implica que $$c + h = d + g.$$

Usando la definición de producto de dos enteros, se tiene por un lado que
$$\overline{(a,b)}\,\overline{(c,d)} = \overline{(ac + bd, ad + bc)}.$$

Por otro lado, tenemos

$$\overline{(e,f)}\,\overline{(g,h)} = \overline{(eg + fh, eh + fg )}.$$

Así, debemos demostrar que $\overline{(ac + bd, ad + bc)} = \overline{(eg + fh, eh + fg )}$. Poniendo en términos de la relación de equivalencia, se deberá cumplir que $$ (ac + bd) + (eh + fg) = (ad + bc) + (eg + fh).$$

Multiplicando las primeras igualdades que encontramos, tenemos lo siguiente:
\begin{align*}
(a + f) (c+h) &= (b+e)(d +g) \\
ac + ah + fc + fh &= bd + bg + ed + eg.
\end{align*}

Sumemos $bd + fh$ en ambos lados de la ecuación y usemos nuevamente las hipótesis para obtener las siguientes igualdades:

\begin{align*}
(bd + fh) + ac + ah + fc + fh &= (bd + fh) + bd + bg + ed + eg \\
(ac + bd) + h(a + f) + f(c + h) &= b(d + g) + d(b +e) + (eg + fh) \\
(ac + bd) + h (b + e) + f (d + g) &= b(c + h) + d(a + f) + (eg + fh) \\
(ac + bd + eh + fg) + hb + df &= (bc + ad + eg + fh) + hb + df \\
ac + bd + eh + fg &= ad + bc + eg + fh.
\end{align*}

Esto es justo lo que queríamos mostrar.

$\square$

En la demostración anterior estamos usando las propiedades de las operaciones en $\mathbb{N}$ ya prácticamente sin enunciarlas. A estas alturas ya podemos hacer eso, pues hemos trabajado bastante con ellas. Sin embargo, es importante que de vez en cuando te preguntes por qué se vale cada una de las igualdades.

Propiedades del producto en $\mathbb{Z}$

Ya que hemos definido el producto en los enteros, es importante verificar que hay algunas propiedades que se cumplen. Esto nos permitirá más adelante trabajar sin problema con el producto de enteros, como se ha hecho desde la educación básica.

Proposición. Se satisfacen las siguientes propiedades para la operación de producto en $\mathbb{Z}$.

  • Asociatividad. Para enteros $\overline{(a,b)}$, $\overline{(c,d)}$ y $\overline{(e,f)}$ se satisface que $$(\overline{(a,b)}\,\overline{(c,d)})\overline{(e,f)}=\overline{(a,b)}(\overline{(c,d)}\,\overline{(e,f)}).$$
  • Conmutatividad. Para enteros $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ se satisface que $$\overline{(a,b)}\,\overline{(c,d)}=\overline{(c,d)}\,\overline{(a,b)}.$$
  • Neutro. Existe un elemento neutro, es decir, existe un entero $\overline{(m,n)}$ tal que para cualquier entero $\overline{(a,b)}$ se cumple que $$\overline{(a,b)}\,\overline{(m,n)}=\overline{(a,b)}.$$
  • Los únicos elementos que tienen inverso multiplicativo son $\overline{(1,0)}$ y $\overline{(0,1)}$.

Demostración. Las demostraciones de la asociatividad y la conmutatividad quedan como tarea moral. La sugerencia es desarrollar ambos lados de las igualdades usando la definición de producto, y luego utilizar propiedades del producto y la suma en $\mathbb{N}$.

El elemento que sirve como neutro para el producto es el $\overline{(1,0)}$. En efecto, usando la definición tenemos que: $$\overline{(a,b)}\,\overline{(1,0)}=\overline{(a\cdot 1+b\cdot 0, a\cdot 0 + b\cdot 1)}=\overline{(a,b)}.$$

Es sencillo ver que los elementos indicados sí tienen inverso. El inverso de $\overline{(1,0)}$ es él mismo y el inverso de $\overline{(0,1)}$ también es él mismo. En efecto:

\begin{align*}
\overline{(1,0)}\,\overline{(1,0)}&=\overline{(1\cdot 1+0\cdot 0,1\cdot 0+0\cdot 1)}=\overline{(1,0)}\\
\overline{(0,1)}\,\overline{(0,1)}&=\overline{(0\cdot 0+1\cdot 1,0\cdot 1+1\cdot 0)}=\overline{(1,0)}.
\end{align*}

Para ver que estos son los únicos elementos que tienen inversos, supongamos que algún otro entero $\overline{(a,b)}$ tiene inverso multiplicativo $\overline{(c,d)}$. Esto querría decir que $\overline{(ac+bd,ad+bc)}=\overline{(1,0)}$, que en términos de la relación de equivalencia se traduce a $$ac+bd=ad+bc+1.$$

Si $a=b$, la igualdad no se puede dar pues tendríamos $ac+ad=ad+ac+1$, que es imposible. Por tricotomía en $\mathbb{N}$, tenemos entonces que $a>b$ o $a<b$. Resolveremos el caso $a>b$ y el caso $a<b$ quedará como tarea moral.

Si $a=b+1$, entonces la igualdad queda como $(b+1)c+bd=(b+1)d+bc+1$, que se simplifica a $c=d+1$. Esto nos da la solución $\overline{(a,b)}=\overline{(c,d)}=\overline{(1,0)}$.

En otro caso, tenemos $a\geq b+2$ y por lo tanto podemos escribir $a=b+1+k$ con $k\geq 1$. La igualdad queda entonces como $$(b+1+k)c+bd=(b+1+k)d+bc+1.$$ Desarrollando y simplificando tenemos que $$c+kc=d+kd+1.$$ Si $d\geq c$, el lado derecho claramente es más grande, así que no hay solución. De este modo, $d<c$ y por lo tanto podemos escribir $c=d+l$ con $l\geq 1$. Usando esta igualdad en $c+kc=d+kd+1$, llegamos a la igualdad $$d+l+kd+kl=d+kd+1,$$ que se simplifica a $$l(k+1)=1.$$ Pero como $k\geq 1$, entonces $k+1\geq 2$ y como además $l\geq 1$, tenemos $l(k+1)\geq 2$, así que en este caso no tenemos soluciones.

$\square$

Las propiedades anteriores se pueden enunciar únicamente en términos de la operación de producto. Además de estas propiedades, hay otra que nos dice cómo el producto interactúa con la operación suma en $\mathbb{Z}$.

Proposición. Se cumple la ley distributiva para la suma y el producto, es decir, para enteros $\overline{(a,b)}$, $\overline{(c,d)}$ y $\overline{(e,f)}$ se cumple que $$\overline{(a,b)}(\overline{(c,d)}+\overline{(e,f)})=\overline{(a,b)}\,\overline{(c,d)}+\overline{(a,b)}\,\overline{(e,f)}.$$

Demostración. Realizando la operación correspondiente al lado izquierdo tenemos:

\begin{align*}
\overline{(a,b)}(\overline{(c,d)}+\overline{(e,f)})&=\overline{(a,b)}\,\overline{(c+e,d+f)}\\
&=\overline{(a(c+e)+b(d+f),a(d+f)+b(c+e))}\\
&=\overline{(ac+ae+bd+bf,ad+af+bc+be)}.
\end{align*}

Observa cómo aquí se está usando la propiedad distributiva, pero en $\mathbb{N}$.

Realizando la operación correspondiente al lado derecho tenemos:

\begin{align*}
\overline{(a,b)}\,\overline{(c,d)}+\overline{(a,b)}\,\overline{(e,f)}&=\overline{(ac+bd,ad+bc)}+\overline{(ae+bf,af+be)}\\
&=\overline{(ac+bd+ae+bf,ad+bd+af+be)}.
\end{align*}

Usando la conmutatividad de la suma en $\mathbb{N}$, obtenemos que esta expresión es igual a la del lado izquierdo, como queríamos.

$\square$

Divisores de cero y cancelación

Hasta donde hemos platicado, los enteros tienen suma, resta y producto. Sin embargo, en los enteros todavía no tenemos una operación de división. Esto causa un par de dificultades. Una de estas es que cuando queremos resolver ecuaciones del estilo $a=bx$ con $a$ y $b$ enteros y $x$ un entero por determinar, no podemos simplemente «pasar la $b$ dividiendo» y obtener $x=a/b$. Otra dificultad es que cuando tenemos una igualdad del estilo $ab=ac$ tampoco podemos simplemente «dividir entre $a$».

La primer dificultad la estudiaremos más a detalle cuando entremos a teoría de números qué es lo que sí se puede hacer en $\mathbb{Z}$. Para la segunda, resulta que de cualquier forma podemos concluir casi siempre que $b=c$.

Antes de demostrar esto, veamos un resultado intermedio auxiliar. La siguiente proposición a veces se enuncia como que $\mathbb{Z}$ no tiene divisores de cero, o bien como que si el producto de dos enteros es cero, entonces alguno de ellos debe de ser cero.

Proposición. Si $\overline{(a,b)}$, $\overline{(c,d)}$ pertenecen a $\mathbb{Z}$ y $\overline{(a,b)}\,\overline{(c,d)}=\overline{(0,0)}$, entonces $\overline{(a,b)}=\overline{(0,0)}$ o $\overline{(c,d)}=\overline{(0,0)}$.

Demostración. Para que el producto $$\overline{(a,b)}\,\overline{(c,d)}=\overline{(ac+bd,ad+bc)}$$ sea igual al entero $\overline{(0,0)}$, debe suceder que $$ac+bd+0=ad+bc+0,$$ es decir, que $ac+bd=ad+bc$. A partir de esto, debemos de demostrar que o bien $a=b$, o bien que $c=d$. Supongamos que $a\neq b$ (en otro caso, ya tenemos lo buscado). Por tricotomía, debe pasar $a>b$ ó $a<b$.

Si $a>b$, entonces existe un entero $k>1$ tal que $a=b+k$, de modo que tenemos las siguientes igualdades:

\begin{align*}
ac+bd&=ad+bc\\
(b+k)c+bd&=(b+k)d+bc\\
bc+kc+bd&=bd+kd+bc\\
kc&=kd.
\end{align*}

Como $k>=1$, podemos usar la cancelación del producto en $\mathbb{N}$ para obtener $c=d$, como queríamos. Falta el caso $a<b$, pero es análogo al anterior. Los detalles quedan como tarea moral.

$\square$

Ahora sí podemos demostrar que en $\mathbb{Z}$ se vale cancelar factores distintos de cero.

Proposición. Sean $\overline{(a,b)}$, $\overline{(c,d)}$, $\overline{(e,f)}$ elementos en $\mathbb{Z}$. Supongamos que $\overline{(a,b)}\neq \overline{(0,0)}$ y que $$\overline{(a,b)}\,\overline{(c,d)}=\overline{(a,b)}\,\overline{(e,f)}.$$

Entonces $\overline{(c,d)}=\overline{(e,f)}$.

Demostración. Tenemos las siguientes igualdades:

\begin{align*}
\overline{(a,b)}\,\overline{(c,d)}&=\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}\\
\overline{(a,b)}\,\overline{(c,d)}-\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}&=0\\
\overline{(a,b)}(\overline{(c,d)}-\overline{(e,f)})&=0.\\
\end{align*}

Para pasar de la primera a la segunda, estamos restando de ambos lados, lo cual es válido en $\mathbb{Z}$. De la segunda igualdad a la tercera se está usando la ley distributiva para la resta (ver Tarea moral). A partir de aquí podemos usar la proposición anterior. Como $\overline{(a,b)}$ no es cero, entonces $\overline{(c,d)}-\overline{(e,f)}=0$. De aquí se obtiene $\overline{(c,d)}=\overline{(e,f)}$, que es lo que queríamos mostrar.

$\square$

Más adelante…

Ya tenemos las operaciones para los números enteros. Aún nos falta introducir un concepto muy importante: el de orden. Esto lo haremos en la siguiente entrada. Además, veremos que la noción de orden en $\mathbb{Z}$ es compatible con sus operaciones.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Realiza por definición el producto de los enteros $\overline{(8,3)}$ y $\overline{(3,5)}$. ¿Lo que obtienes tiene sentido con el hecho de que $5\cdot (-2)=-10$?
  2. Demuestra que el producto en $\mathbb{Z}$ es asociativo y conmutativo.
  3. Para terminar la demostración de que $\mathbb{Z}$ no tiene divisores de cero, muestra que si se tienen naturales $a,b,c,d$ tales que $ac+bd=ad+bc$ y $a<b$, entonces $c=d$. Recuerda que debes trabajar todo en $\mathbb{N}$, en donde no se pueden restar elementos.
  4. Termina la demostración de que en $\mathbb{Z}$ los únicos elementos con inversos multiplicativos son $\overline{(1,0)}$ y $\overline{(0,1)}$. Tendrás que llegar a que en el caso faltante la única solución es $\overline{(a,b)}=\overline{(c,d)}=\overline{(0,1)}$.
  5. Enuncia y demuestra una ley distributiva para la resta.
  6. Si definiéramos al producto de dos enteros $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ como el entero $\overline{(ac,bd)}$, ¿cuáles de las propiedades que hemos discutido en esta entrada fallarían?

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»