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Teoría de los Conjuntos I: Conjunto cociente

Introducción

En esta entrada definiremos al conjunto cociente, dicho conjunto tendrá como elementos a las clases de equivalencia de una relación. Además probaremos que toda relación de equivalencia induce una partición y viceversa.

Concepto

Definición: Sea $R$ una relación de equivalencia en $A$, definimos al conjunto cociente por la relación $R$ como el conjunto:

$R\diagup A=\set{[a]_R: a\in A}$.

Ejemplo:

Sea $A=\set{1,2,3,4}$ y $R$ la relación identidad en $A$. Sabemos que $R$ es de equivalencia en $A$. Luego, siguiendo la definición de conjunto cociente tenemos que $R\diagup A=\set{[1]_R, [2]_R, [3]_R, [4]_R}$, donde $[1]_R=\set{1}$, $[2]_R=\set{2}$, $[3]_R=\set{3}$, $[4]_R=\set{4}$.

$\square$

Ejemplo:

Sea $A=\set{1,2,3,4}$ y $R=\set{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,4), (4,1)}$ una relación de equivalencia en $A$. Luego, tenemos que

$R\diagup A=\set{[1]_R, [2]_R, [3]_R, [4]_R}$,

donde

  • $[1]_R=\set{1,4}$,
  • $[2]_R=\set{2}$,
  • $[3]_R=\set{3}$,
  • $[4]_R=\set{4,1}$.

Por lo tanto, $R\diagup A=\set{[1]_R, [2]_R, [3]_R}$

$\square$

Cada relación de equivalencia induce una partición

Teorema: Sea $R$ una relación de equivalencia en $A$, entonces el conjunto cociente $A\diagup R$ es una partición de $A$.

Demostración:

Supongamos que $R$ es una relación de equivalencia en $A$. Veamos que $A\diagup R$ es una partición de $A$.

  1. Sea $a\in A$, vimos en la entrada de particiones que $[a]_R\not=\emptyset$.
  2. Sean $[a]_R,[b]_R\in A\diagup R$ tales que $[a]_R\not=[b]_R$ y veamos que $[a]_R\cap [b]_R=\emptyset$. Supongamos que no ocurre que $[a]_R\cap [b]_R=\emptyset$, es decir, $[a]_R\cap [b]_R\not=\emptyset$ lo que es equivalente a que $[a]_R=[b]_R$
  3. Por último, $\bigcup_{a\in A} [a]_R= A$ pues para cada $a\in A$, $a\in [a]_R$.

$\square$

Este último teorema demuestra que toda relación de equivalencia induce una partición.

Las particiones inducen una relación de equivalencia

El teorema anterior nos permitió probar que cada relación de equivalencia induce una partición y de hecho, esta partición será el conjunto cociente, por lo que es válido preguntarnos si el resultado se cumple de regreso, es decir, dada una partición podemos inducir una relación de equivalencia. Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo:

Sea $A=\set{0,1,2, 3, \cdots}$ y sean $A_1=\set{0,2,4,\cdots}$ y $A_2=\set{1,3, 5,\cdots}$. Resulta que $\mathcal{P}$ es una partición de $A$ pues tanto $A_1$ y $A_2$ son conjuntos no vacíos, además $A_1\cap A_2=\emptyset$ y $A_1\cup A_2=A$.

Queremos ver si existe la manera de relacionar a los elementos de $A$ tal que la relación que resulte sea de equivalencia. Consideremos la siguiente relación definida como sigue:

$R_\mathcal{P}=\set{(a,b)\in A^2: \exists A_i\in \mathcal{P}\ \text{tales que}\ a,b\in A_i}$.

Notemos que la relación $R_\mathcal{P}$ es una relación en $A$ y además relaciona a los elementos si pertenece a un mismo conjunto de la partición.

Veamos que $R_\mathcal{P}$ es una relación de equivalencia, para ello verifiquemos si es una relación reflexiva, simétrica y transitiva.

  1. Sea $a\in A$, si $a$ es un número par (existe $k$ tal que $a= 2k$), entonces $a\in A_1$ y por lo tanto, existe $A_1\in \mathcal{F}$ tal que $a\in A_1$ y así $(a,a)\in R_\mathcal{P}$.
    Si $a$ es un número impar (existe $k$ tal que $a= 2k+1$), entonces $a\in A_2$ y por lo tanto, existe $A_2\in \mathcal{P}$ tal que $a\in A_2$ y así $(a,a)\in R_\mathcal{P}$.
    Por lo tanto, $R_\mathcal{P}$ es una relación reflexiva.
  2. Supongamos que $(a,b)\in R_\mathcal{P}$ y veamos que $(b,a)\in R_\mathcal{P}$.
    Como $(a,b)\in R_\mathcal{P}$ entonces existe $A_i\in \mathcal{P}$ con $i\in \set{1,2}$ tal que $a, b\in A_i$. Lo que es equivalente a decir que existe $A_i\in \mathcal{P}$ con $i\in\set{1,2}$ tal que $b,a\in A_i$, es decir, $(b,a)\in R_\mathcal{P}$.
    Por lo tanto, $R_\mathcal{P}$ es una relación simétrica.
  3. Supongamos que $(a,b)\in R_\mathcal{P}$ y $(b,c)\in R_\mathcal{P}$.
    Como $(a,b)\in R_\mathcal{P}$ entonces existe $A_i\in \mathcal{P}$ con $i\in \set{1,2}$ tal que $a, b\in A_i$. Luego, como $(b,c)\in R_\mathcal{P}$ entonces existe $A_j\in \mathcal{P}$ con $j\in \set{1, 2}$ tal que $b,c\in A_j$. Luego $A_i=A_j$ pues de lo contrario $A_i\not= A_j$ y $b\in A_1$ al mismo tiempo que $b\in A_2$ y así, $b$ es par e impar, lo cuál no puede ocurrir. Por lo tanto, existe $A_i\in \mathcal{P}$ con $i\in \set{1,2}$ tal que $a,c\in A_i$ y así, $(a,c)\in R_\mathcal{P}$. Por lo tanto, $R_\mathcal{P}$ es una relación transitiva.

Por lo tanto, $R_\mathcal{P}$ es una relación de equivalencia.

$\square$

Podemos demostrar que esto ocurre para cualquier conjunto y cualquier partición. Veamos el siguiente teorema.

Teorema: Toda partición induce una relación de equivalencia.

Demostración:

Sea $A$ un conjunto y $\mathcal{P}=\set{A_i:i\in I}$ una partición de $A$. Defimos a $R_\mathcal{E}$ como el siguiente conjunto:

$R_\mathcal{P}=\set{(a,b)\in A\times A: \exists A_i\in \mathcal{P}\ \text{tal que}\ a,b\in A_i}$.

Notemos que $R_\mathcal{P}$ es una relación en $A$ pues es un subconjunto de $A\times A$. Veamos que $R$ es de equivalencia, es decir, $R$ es reflexiva, simétrica y transitiva.

  1. Sea $a\in A$, dado que $\mathcal{P}$ es una partición de $A$, entonces $A=\bigcup_{i\in I}A_i$. Entonces existe $j\in I$ tal que $a\in A_j$, de donde $(a,a)\in R_\mathcal{P}$.
    Por lo tanto, $R_\mathcal{P}$ es una relación reflexiva.
  2. Supongamos que $(a,b)\in R_\mathcal{P}$ y veamos que $(b,a)\in R_\mathcal{P}$.
    Como $(a,b)\in R_\mathcal{P}$ entonces existe $A_i\in \mathcal{P}$ tal que $a, b\in A_i$. Lo que es equivalente a decir que existe $A_i\in \mathcal{P}$ tal que $b,a\in A_i$, es decir, $(b,a)\in R_\mathcal{P}$.
    Por lo tanto, $R_\mathcal{P}$ es una relación simétrica.
  3. Supongamos que $(a,b)\in R_\mathcal{P}$ y $(b,c)\in R_\mathcal{P}$.
    Como $(a,b)\in R_\mathcal{P}$ entonces existe $A_i\in \mathcal{P}$ tal que $a, b\in A_i$. Luego, como $(b,c)\in R_\mathcal{P}$ entonces existe $A_j\in \mathcal{P}$ tal que $b,c\in A_j$. Además $A_i=A_j$ pues de lo contrario, $A_i\not= A_j$ y $b\in A_i$ al mismo tiempo que $b\in A_j$ y así, $b\in A_i\cap A_j=\emptyset$ lo cual es una contradicción. Por lo tanto, existe $A_i\in \mathcal{P}$ tal que $a,c\in A_i$ y así, $(a,c)\in R_\mathcal{P}$. Por lo tanto, $R_\mathcal{P}$ es una relación transitiva.

Por lo tanto, $R_\mathcal{P}$ es una relación de equivalencia en $A$.

$\square$

Con este último teorema hemos probado que en efecto, así como cada relación de equivalencia induce una partición, se cumple que cada partición induce una relación de equivalencia.

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te ayudará a reforzar el contenido de esta entrada:

  • Demuestra que si $A$ es un conjunto y $R$ es una relación de equivalencia en $A$, entonces $A\diagup R$ es un conjunto.
  • Sea $A=\set{1,2,3,4,5,6}$ y $R=\set{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6), (5,6), (6,5), (4,6), (6,4), (4,5), (5,4)}$ relación de equivalencia en $A$. Determina al conjunto cociente de $A$ respecto de $R$.

Más adelante

En la siguiente sección continuaremos con algunos teoremas del conjunto cociente, dichos teoremas involucraran funciones.

Enlaces

Más sobre relaciones de equivalencia y clases de equivalencia:

Álgebra Superior I: Relaciones de equivalencia y clases de equivalencia

Teoría de los Conjuntos I: Funciones sobreyectivas y biyectivas

Introducción

En esta entrada hablaremos acerca de funciones sobreyectivas, este tipo de funciones serán aquellas cuya imagen sea todo el codominio. Tras definir este concepto podremos definir el concepto de función biyectiva, este último será de gran utilidad pues haremos uso de él cuando queramos estudiar conjunto a traves de otros conjuntos que tengan la misma cantidad de elementos.

Función sobreyectiva

Definición: Sea $f:X\to Y$ una función. Si $f[X]=Y$, entonces decimos que $f$ es sobreyectiva.

$\square$

Teorema: Sea $f:X\to Y$ una función. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes:

  1. $f$ es sobreyectiva.
  2. Para cualquier $y\in Y$, existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$.
  3. Para cualesquiera $h,k:Y\to Z$ tales que si $h\circ f= k\circ f$, entonces $h=k$.

Demostración:

$1)\rightarrow 2)$

Supongamos que $f$ es sobreyectiva, es decir que $f[X]=Y$. Sea $y\in Y$, entonces $y\in f[X]$ por lo que existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$. Por lo tanto, para cualquier $y\in Y$ existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$.

$2)\rightarrow 3)$

Sean $h,k:Y\to Z$ tales que $h\circ f=k\circ f$. Veamos que $h=k$. Sea $y\in Y$, veamos que $h(y)=k(y)$. Dado que $y\in Y$, por hipótesis tenemos que existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$, por lo que $h(y)= h(f(x))$ y $k(y)= k(f(x))$. Luego, como $h\circ f(x)= h(f(x))= k(f(x))= k\circ f(x)$, tenemos que $h(y)= k(y)$.

$3)\rightarrow 1)$

Supongamos que $f$ no es sobreyectiva en busca de una contradicción. Sean $h: Y\to \set{\emptyset}$ y $k: Y\to \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ funciones dadas por $h(y)=\emptyset$ para todo $y\in Y$ y

\begin{align*}
k(y) = \left\{ \begin{array}{lcc}
\emptyset &  \text{si} & y\in f(X)\\
\set{\emptyset} &  \text{si}  & y \notin f(X) \\
\end{array}
\right.
\end{align*}

respectivamente. Notemos que $k\not=h$ pues dado que $f$ no es sobreyectiva, entonces existe $y_0\in Y$ tal que $y_0\notin f[X]$. Así, $h(y_0)= \emptyset$ y $k(y_0)=\set{\emptyset}$, por lo tanto, $h\not=k$.

Luego, $h\circ f= k\circ f$. Sea $x\in X$, entonces $f(x)\in Y$ y así, $h\circ f(x)= h(f(x))= \emptyset$ y $k\circ f(x)= k(f(x))= \emptyset$. Por lo tanto, debe ocurrir que $h=k$, lo cuál es una contradicción.

Así, $f$ es sobreyectiva.

$\square$

Algunas funciones sobreyectivas

Ejemplo:

La función identidad es sobreyectiva. En efecto, sea $Id_X:X\to X$ la función identidad y sea $y\in X$, entonces existe $y\in X$ tal que $Id_X(y)= y$.

Por lo tanto, $Id_X$ es sobreyectiva.

$\square$

Ejemplo:

Sea $f:X\to \set{c}$ una función dada por $f(x)=c$ para todo $x\in X$. Tenemos que $f$ es sobreyectiva.

En efecto, sea $y\in \set{c}$. Dado que $y\in \set{c}$, entonces $y=c$. veamos que existe $x\in X$ tal que que $f(x)=c$. Esto último se cumple por como esta definida la función $f$.

$\square$

Ejemplo:

Sea $X$ un conjunto y $A\subseteq X$, la función característica de $A$ es una función sobreyectiva.

Dado que el codominio de la función característica es el conjunto $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$, deseamos ver que para cualquier $y\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ existe $x\in X$ tal que $\chi_A(x)=y$.

Caso 1: Si $y=\emptyset$, entonces existe $x\in X$ tal que $x\notin A$, de modo que $\chi_A(x)=\emptyset$.

Caso 2: Si $y=\set{\emptyset}$, entonces existe $x\in X$ tal que $x\in A$, de modo que $\chi_A(x)=\set{\emptyset}$.

Por lo tanto, $\chi_A$ es sobreyectiva.

$\square$

Composición de funciones

Así como lo hicimos en la sección anterior con respecto a la inyectividad, podemos averiguar que pasa con la composición de funciones con respecto a la sobreyectividad. Veamos el siguiente teorema:

Teorema: Sean $f:X\to Y$ y $g:Y\to Z$ funciones sobreyectivas, $g\circ f$ es sobreyectiva.

Demostración:

Sea $z\in Z$, veamos que existe $x\in X$ tal que $g\circ f(x)=z$.
Dado que $g$ es sobreyectiva y $z\in Z$, entonces existe $y\in Y$ tal que $g(y)=z$. Luego, como $f$ es sobreyectiva y $y\in Y$, entonces existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$, así $g(y)=g(f(x))= z$. Por lo tanto, $g\circ f$ es sobreyectiva.

$\square$

Funciones biyectivas

Definición: Decimos que $f:X\to Y$ es una función biyectiva si y sólo si $f$ es inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo:

La función identidad es biyectiva.

Verificamos en la sección de funciones inyectivas que la función identidad es una función inyectiva, además de que en esta sección verificamos que es sobreyectiva.

$\square$

Ejemplo:

Sean $X=\set{1,2,3}$ y $Y=\set{2,4,6}$ y sea $f:X\to Y$ una función dada por $f(x)=2x$. Tenemos que $f$ es inyectiva pues es una función uno a uno, es decir, elementos distintos van a dar a elementos distintos. Más explícitamente $1$ va a dar a $2$, $2$ a $4$ y $3$ a $6$.

Además $f$ es sobreyectiva, pues para cualquier $y\in Y$, existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$. En efecto, ya que para $2\in Y$ existe $1\in X$ tal que $f(1)=2$; para $4\in Y$ existe $2\in X$ tal que $f(2)=4$ y por último para $6\in Y$ existe $3\in X$ tal que $f(3)=6$.

$\square$

Tarea moral

Realiza la siguiente lista de ejercicios que te ayudara a fortalecer los conceptos de función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva:

  1. Sean $f:X\to Y$ y $g:Y\to Z$ funciones. Demuestra que si $g\circ f$ es sobreyectiva, entonces $g$ es sobreyectiva.
  2. Demuestra o da un contraejemplo del siguiente enunciado: Si $f:X\to Y$ y $g:Y\to Z$ son funciones tales que $g\circ f$ es sobreyectiva, entonces $f$ es sobreyectiva.
  3. Sean $X=\set{1,2,3, \cdots}$ y $Y=\set{3,4,5,\cdots}$ y sea $f:X\to Y$ dada por $f(x)=2x+3$. ¿$f$ es sobreyectiva? Argumenta tu repuesta.

Más adelante

Ahora que aprendimos el concepto de función inyectiva y sobreyectiva tenemos las bases suficientes para hablar de funciones invertibles. Veremos funciones invertibles por la derecha e invertibles por la izquierda, cuyos conceptos resultarán equivalentes al de función sobreyectiva y función inyectiva respectivamente.

Enlaces

En el siguiente enlace podrás encontrar más contenido acerca de funciones inyectivas y sobreyectivas:

Funciones inyectivas y sobreyectivas

Teoría de los Conjuntos I: Funciones inyectivas

Introducción

En esta sección abordaremos el concepto de función inyectiva, notaremos que la función inyectiva será aquella que mande elementos distintos a elementos distintos bajo una función.

Función inyectiva

Definición: Sea $f: X \to Y$ una función. Decimos que $f$ es una función inyectiva si para cualesquiera $x_1$, $x_2 \in X$ tales que $x_1\not=x_2$ implica que $f(x_1)\not= f(x_2)$.

Ejemplo:

Sean $X=\set{1,2,3,4}$ y $Y=\set{1,2,3,4,5}$ y sea $f:X\to Y$ una función dada por $f=\set{(1,2), (2,1), (3,3), (4,5)}$. Decimos que $f$ es inyectiva pues cada elemento de $X$ bajo la función va a dar a uno y sólo uno de $Y$, como se muestra en la siguiente imagen:

Ejemplo: La función identidad es una función inyectiva.

En efecto, dado que $Id_X:X\to X$ esta dada por $Id_X(x)=x$, entonces si $x_1,x_2\in X$ son tales que $Id_X(x_1)=x_1=x_2=Id_X(x_2)$, entonces $x_1=x_2$ y por lo tanto, $Id_X$ es inyectiva.

$\square$

Ejemplo: La función constante no es inyectiva.

Consideremos $X=\set{1,2,3}$ y $Y=\set{1}$. Sea $f:X\to Y$ una función dada por $f(x)=1$ para toda $x\in X$. Consideremos $x_1=1$ y $x_2=2$ elementos de $X$, sabemos que $1\not=2$ por lo que para que nuestra función sea inyectiva esperamos que $f(x_1)\not=f(x_2)$, sin embargo, $f(1)=1=f(2)$. Esto demuestra que en general las funciones constantes no son inyectivas.

$\square$

Equivalencias de inyectividad

Teorema: Sea $f:X\to Y$ una función tal que $X\not=\emptyset$. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes:

  1. $f$ es inyectiva.
  2. Para cualesquiera $x_1,x_2\in X$ tales que $f(x_1)=f(x_2)$ entonces $x_1=x_2$,
  3. Para cualesquiera $h,k:Z\to X$ tales que si $f\circ h= f\circ k$, entonces $h=k$,
  4. Para cualesquiera $A,B$ subconjuntos de $X$, se cumple que $f[B\setminus A]= f[B]\setminus f[A]$,
  5. Para cualesquiera $A,B$ subconjuntos de $X$ se cumple que $f[A\cap B]= f[A]\cap f[B]$.

Demostración:

$1)\rightarrow 2)$
Supongamos que $f$ es inyectiva, esto es para cualesquiera $x_1, x_2\in X$ tales que $x_1\not=x_2$ implica que $f(x_1)\not=f(x_2)$. Luego, sabemos que la implicación es equivalente a la contrapositiva por lo que podemos concluir que para cualesquiera $x_1, x_2\in X$, si $f(x_1)=f(x_2)$ entonces $x_1=x_2$.

$2)\rightarrow 3)$
Supongamos que para cualesquiera $x_1, x_2\in X$ tales que $f(x_1)=f(x_2)$ entonces $x_1= x_2$ y supongamos que $h,k:Z\to X$ son funciones tales que $f\circ h= f\circ k$ y veamos que $h=k$.

Sea $z\in Z$, entonces $h(z)\in X$ y $k(z)\in X$, luego como $f\circ h=f\circ k$ tenemos que $f\circ h(z)= f\circ k(z)$, de donde $f(h(z))= f(k(z))$ y como $f$ es inyectiva entonces $h(z)=k(z)$. Por lo tanto, $h=z$.

$3)\rightarrow 4)$

Supongamos que $h,k:Z\to X$ son funciones tales que si $f\circ h= f\circ k$, entonces $h=k$. Supongamos también que para cualesquiera $A,B$ conjuntos tales que $A\subseteq B\subseteq X$ y veamos que $f[B\setminus A]= f[B]\setminus f[A]$.

En la sección de funciones vimos que siempre ocurre que $f[B]\setminus f[A]\subseteq f[B\setminus A]$ por lo que basta ver la otra contención.

Sea $y\in f[B\setminus A]$, entonces existe $x\in B\setminus A$ tal que $f(x)=y$. Luego, $x\in B\setminus A$ por lo que $x\in B$ y $x\notin A$, de modo que $f(x)\in f[B]$. Resta ver que $f(x)\notin f[A]$, supongamos que si ocurre, es decir que $f(x)\in f[A]$. Entonces existe $z\in A$ tal que $f(z)=f(x)$.

Sean $h:X\to X$ dada por $h(a)=x$ para todo $a\in X$ y $k:X\to X$ dada por $k(a)=z$ para todo $a\in X$. Notemos que $h\not=k$ pues $z\not=x$ ya que $z\in A$ y $x\notin A$. Luego, $f\circ h(a)=f(h(a))= f(x)$ y $f\circ k(a)= f(k(a))= f(z)=f(x)$, por lo que $f\circ h=f\circ k$. Así, por hipótesis se sigue que $h=k$ lo cuál es una contradicción, por lo tanto, no debe ocurrir que $f(x)\in f[A]$. Así, $f(x)\in f[B]\setminus f[A]$.

$4)\rightarrow 5)$

Supongamos que para cualesquiera $A, B$ subconjuntos de $X$, se cumple que $f[B\setminus A]=f[B]\setminus f[A]$. Veamos que $f[A\cap B]= f[A]\cap f[B]$.

En la sección de funciones probamos que $f[A\cap B]\subseteq f[A]\cap f[B]$, por lo que basta ver que $f[A]\cap f[B]\subseteq f[A\cap B]$.

Sea $y\in f[A]\cap f[B]$, entonces $y\in f[A]$ y $y\in f[B]$, así existe $x\in A$ tal que $f(x)=y$. Queremos demostrar que $x\in B$, supongamos que no es así, es decir $x\notin B$, entonces existe $x\in A\setminus B$ tal que $f(x)=y$, por lo que $y\in f[A\setminus B]= f[A]\setminus f[B]$.

Se sigue que $y\in f[A]$ y $y\notin f[B]$ lo cual es una contradicción, por lo tanto, debe ocurrir que $x\in B$, así existe $x\in A\cap B$ tal que $f(x)=y$.

Por lo tanto, $f[A]\cap f[B]= f[A\cap B]$.

$5)\rightarrow 1)$

Supongamos que para cualesquiera $A, B\subseteq X$ se cumple que $f[A]\cap f[B]= f[A\cap B]$.

Sean $x_1, x_2\in X$ tales que $x_1\not= x_2$, veamos que $f(x_1)\not= f(x_2)$.

Consideremos $\set{x_1}$ y $\set{x_2}$ subconjuntos de $X$. Luego,

\begin{align*}
f[\set{x_1}\cap \set{x_2}]&=f[\emptyset]\ \text{pues} \ x_1\not=x_2\\
&=f[\set{x_1}]\cap f[\set{x_2}]\ \text{por hipótesis}\\
&=\set{f(x_1)}\cap \set{f(x_2)}
\end{align*}

Luego, como $\set{f(x_1)}\cap \set{f(x_2)}=\emptyset$ entonces $\set{f(x_1)}\not=\set{f(x_2)}$ y por lo tanto, $f(x_1)\not=f(x_2)$.

Por lo tanto, $f$ es inyectiva.

Por lo tanto, todos los enunciados anteriores son equivalentes.

$\square$

Aunque existen muchas equivalencias de función inyectiva para este curso usaremos con mayor frecuencia la equivalencia dos.

¿Qué pasa con la composición?

Anteriormente definimos a la composición de funciones que resulta ser una función, por lo que podemos preguntarnos que ocurre si las funciones que conforman a la composición son inyectivas, es decir si eso implica que la composición es inyectiva, veamos que nos dice el siguiente teorema.

Teorema: Sean $f:X\to Y$ y $g:Y\to Z$ funciones inyectivas. Se cumple que $g\circ f$ es inyectiva.

Demostración:

Sean $f$ y $g$ funciones inyectivas y sean $x_1, x_2\in X$ tales que $g\circ f(x_1)= g(f(x_1))=g(f(x_2))= g\circ f(x_2)$. Dado que $f(x_1), f(x_2)\in Y$ y $g$ es inyectiva, entonces $ g(f(x_1))=g(f(x_2)) $ implica que $f(x_1)=f(x_2)$. Por la inyectividad de $f$ podemos concluir que $x_1=x_2$. Por lo tanto, $g\circ f$ es una función inyectiva.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitirá reforzar el tema de funciones inyectivas.

  • Demuestra que la función inclusión es inyectiva.
  • Sean $A=\set{1,2,3}$, $B=\set{1,2}$ y $C=\set{1,2}$ conjuntos. Sean $f:A\to B$ y $g:B\to C$ funciones dadas por $f=\set{(1,1), (2,1), (3,2)}$ y $g=set{(1,2), (2,1)}$ respectivamente. Escribe al conjunto $g\circ f$ y ve si es inyectiva. Argumenta tu respuesta.
  • Si $f\circ g$ es inyectiva, ¿es cierto que $f$ y $g$ son inyectivas?
  • Demuestra que la función $\emptyset$ es inyectiva.
  • Demuestra que $f:X\to Y$ una función constante es inyectiva si y sólo si $X=\set{x}$.

Más adelante

En la siguiente sección abordaremos el tema de funciones sobreyectivas. Con este tema tendremos los conceptos necesarios para comenzar a hablar acerca de funciones biyectivas e invertibles.

Enlaces

En el siguiente enlace podrás encontrar más contenido acerca de funciones inyectivas.

Álgebra Superior I: Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas

Teoría de los conjuntos I: Funciones (parte II)

Introducción

En esta sección hablaremos acerca de algunas propiedades de la imagen y la imagen inversa de un conjunto bajo una función, dichas propiedades hablan de como se comportan estos conjuntos con respecto a la unión, la intersección y la diferencia.

Propiedades

Teorema: Sean $X$ y $Y$ conjuntos y sea $f:X\to Y$ una función. Sean $X_1,X_2\subseteq X$ y $Y_1, Y_2\subseteq Y$. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

  1. Si $X_1\subseteq X_2$, entonces $f[X_1]\subseteq f[X_2]$,
  2. $f[X_1\cup X_2]=f[X_1]\cup f[X_2]$,
  3. $f[X_1\cap X_2]\subseteq f[X_1]\cap f[X_2]$,
  4. $f[X_1]\setminus f[X_2]\subseteq f[X_1\setminus X_2]$,
  5. Si $Y_1\subseteq Y_2$, entonces $f^{-1}[Y_1]\subseteq f^{-1}[Y_2]$,
  6. $f^{-1}[Y_1\cup Y_2]=f^{-1}[Y_1]\cup f[Y_2]$,

Demostración:

1) Supongamos que $X_1\subseteq X_2$ y veamos que $f[X_1]\subseteq f[X_2]$.
Sea $y\in f[X_1]$, entonces existe $x\in X_1$ tal que $f(x)=y$. Dado que $X_1\subseteq X_2$, entonces existe $x\in X_2$ tal que $f(x)=y$, esto es $y\in f[X_2]$.
Por lo tanto, $f[X_1]\subseteq f[X_2]$.

2) Veamos que $f[X_1\cup X_2]=f[X_1]\cup f[X_2]$.

$\subseteq$] Sea $y\in f[X_1\cup X_2]$, entonces existe $x\in X_1\cup X_2$ tal que $f(x)= y$. Entonces existe $x\in X_1$ o $x\in X_2$ tal que $f(x)=y$.
Si $x\in X_1$ tal que $f(x)=y$ entonces $y\in f[X_1]$ y por lo tanto $y\in f[X_1]\cup f[X_2]$.
Si $x\in X_2$ tal que $f(x)=y$ entonces $y\in f[X_2]$ y por lo tanto $y\in f[X_1]\cup f[X_2]$.
Por lo tanto, $f[X_1\cup X_2]\subseteq f[X_1]\cup f[X_2]$.

$\supseteq$] Sea $y\in f[X_1]\cup f[X_2]$, entonces $y\in f[X_1]$ o $y\in f[X_2]$.

Si $y\in f[X_1]$, entonces existe $x\in X_1$ tal que $f(x)=y$. Luego, como $X_1\subseteq X_1\cup X_2$, tenemos que $x\in X_1\cup X_2$. Por lo tanto, existe $x\in X_1\cup X_2$ tal que $f(x)=y$, esto es $y\in f[X_1\cup X_2]$.

Si $y\in f[X_2]$, entonces existe $x\in X_2$ tal que $f(x)=y$. Luego, como $X_2\subseteq X_1\cup X_2$, tenemos que $x\in X_1\cup X_2$. Por lo tanto, existe $x\in X_1\cup X_2$ tal que $f(x)=y$, esto es $y\in f[X_1\cup X_2]$.

Por lo tanto, $f[X_1]\cup f[X_2]\subseteq f[X_1\cup X_2]$.

De las contenciones que demostramos tenemos que $f[X_1]\cup f[X_2]=f[X_1\cup X_2]$.

3) Ahora veamos que $f[X_1\cap X_2]\subseteq f[X_1]\cap f[X_2]$.

Sea $y\in f[X_1\cap X_2]$, entonces existe $x\in X_1\cap X_2$ tal que $f(x)= y$. Entonces existe $x\in X_1$ y $x\in X_2$ tal que $f(x)=y$.

Entonces existe $x\in X_1$ tal que $f(x)=y$ y existe $x\in X_2$ tal que $f(x)=y$, de donde $y\in f[X_1]$ y $y\in f[X_2]$. Por lo tanto, $y\in f[X_1]\cap f[X_2]$.

Así, $f[X_1\cap X_2]\subseteq f[X_1]\cap f[X_2]$.

4) A continuación mostraremos que $f[X_1]\setminus f[X_2]\subseteq f[X_1\setminus X_2]$.

Sea $y\in f[X_1]\setminus f[X_2]$, entonces $y\in f[X_1]$ y $y\notin f[X_2]$.

Dado que $y\in f[X_1]$, entonces existe $x\in X_1$ tal que $f(x)=y$. Luego, como $y\notin f[X_2]$ entonces para cualquier $a\in X_2$, $f(a)\not=y$. Resulta que $x\notin X_2$ pues de lo contrario $f(x)\not=y$ lo cual no puede ocurrir.

Por lo tanto, existe $x\in X_1\setminus X_2$ tal que $f(x)=y$, esto es, $y\in f[X_1\setminus X_2]$.

5) Supongamos que $Y_1\subseteq Y_2$ y veamos que $f^{-1}[Y_1]\subseteq f^{-1}[Y_2]$.
Sea $x\in f^{-1}[Y_1]$, entonces existe $y\in Y_1$ tal que $f(x)=y$. Dado que $Y_1\subseteq Y_2$, entonces existe $y\in Y_2$ tal que $f(x)=y$, esto es $x\in f^{-1}[Y_2]$.
Por lo tanto, $f^{-1}[Y_1]\subseteq f^{-1}[Y_2]$.

6) Finalmente veamos que $f^{-1}[Y_1\cup Y_2]=f^{-1}[Y_1]\cup f^{-1}[Y_2]$.

Sea $x\in f^{-1}[Y_1\cup Y_2]$, entonces existe $y\in Y_1\cup Y_2$ tal que $f(x)=y$. Luego, como $y\in Y_1\cup Y_2$ se tiene que $y\in Y_1$ o $y\in Y_2$.

Si $y\in Y_1$, entonces existe $y\in Y_1$ tal que $f(x)=y$, es decir, $x\in f^{-1}[Y_1]$. Por lo tanto $x\in f^{-1}[Y_1]\cup f^{-1}[Y_2]$.

Si $y\in Y_2$, entonces existe $y\in Y_2$ tal que $f(x)=y$, es decir, $x\in f^{-1}[Y_2]$. Por lo tanto $x\in f^{-1}[Y_1]\cup f^{-1}[Y_2]$.

$\square$

¿Por qué $f[X_1\cap X_2]\not=f[X_1]\cap f[X_2]$?

Ya vimos que $f[X_1\cap X_2]\subseteq f[X_1]\cap f[X_2]$, por lo que al igual que con la unión podríamos pensar que se da la igualdad entre los conjuntos. Sin embargo, vamos a ver que $f[X_1]\cap f[X_2]\not\subseteq f[X_1\cap X_2]$.

Con el siguiente ejemplo mostraremos que no siempre es posible que $f[X_1]\cap f[X_2]\not\subseteq f[X_1\cap X_2]$.

Ejemplo:

Sean $X=\set{0,1,2}$ y $Y=\set{1,2,3}$ conjuntos y sea $f:X\to Y$ una función dada por el conjunto $f(x)=2$ Sean $X_1=\set{0,1}$ y $X_2=\set{2}$ subconjuntos de $X$.

Por un lado tenemos que $X_1\cap X_2=\set{0,1}\cap \set{2}=\emptyset$, por lo que $f[X_1\cap X_2]=f[\emptyset]= \emptyset$.

Por otro lado, $f[X_1]=f[\set{0,1}]=\set{2}$ y $f[X_2]=f[\set{2}]=\set{2}$. Así, $f[X_1]\cap f[X_2]=\set{2}$.

Por lo tanto, $f[X_1]\cap f[X_2]\not\subseteq f[X_1\cap X_2]$.

$\square$

¿Por qué $f[X_1\setminus X_2]\not=f[X_1]\setminus f[X_2]$?

Ya vimos que $f[X_1]\setminus f[X_2]\subseteq f[X_1\setminus X_2]$, pero va a resultar que la contención de regreso no es posible, es decir, $f[X_1\setminus X_2]\not\subseteq f[X_1]\setminus f[X_2]$.

Con el siguiente ejemplo mostraremos que no siempre es posible que $f[X_1\setminus X_2]\not\subseteq f[X_1]\setminus f[X_2]$.

Ejemplo:

Sean $X=\set{0,1,2}$ y $Y=\set{1,2,3}$ conjuntos y sea $f:X\to Y$ una función dada por el conjunto $f(x)=2$ Sean $X_1=\set{0,1}$ y $X_2=\set{1,2}$ subconjuntos de $X$.

Por un lado tenemos que $X_1\setminus X_2=\set{0,1}\setminus \set{1,2}=\set{0}$, por lo que $f[X_1\setminus X_2]=f[\set{0}]= \set{2}$.

Por otro lado, $f[X_1]=f[\set{0,1}]=\set{2}$ y $f[X_2]=f[\set{1,2}]=\set{2}$. Así, $f[X_1]\setminus f[X_2]=\emptyset$.

Por lo tanto, $f[X_1\setminus X_2]\not\subseteq f[X_1]\setminus f[X_2]$.

$\square$

Composición de funciones

Definición: Sean $f:X\to Y$ y $g:Y\to Z$ funciones. Definimos a la composición de $f$ con $g$ como la función $g\circ f:X\to Z$ dada por $g\circ f(x)= g(f(x))$ para cualquier $x\in X$.

Teorema: Si $f:X\to Y$ y $g:Y\to Z$ son funciones, entonces $g\circ f:X\to Z$ es función.

En la sección de composición de relaciones vimos que si $f$ y $g$ son relaciones, entonces $g\circ f$ es relación, por lo que resta ver que si $(a,b)\in g\circ f$ y $(a,c)\in g\circ f$, entonces $b=c$.

Supongamos que $(a,b)\in g\circ f$ y $(a,c)\in g\circ f$, esto es $b=g(f(a))$ y $c=g(f(a))$ y por lo tanto, $b=c$.

$\square$

Ejemplo:

Sea $f:\set{1,2}\to \set{2,4}$ y $g:\set{2,4}\to \set{3,5}$ funciones dadas por $f(x)= 2x$ y $g(x)=x+1$ respectivamente. Entonces $g\circ f:\set{1,2}\to \set{3,5}$ está dada por:

$g\circ f(x)=g(f(x))=g(2x)=2x+1$

Por lo que,

  • $g\circ f(1)=2(1)+1=2+1=3$,
  • $g\circ f(2)= 2(2)+1=4+1=5$.

De modo que los elementos de $g\circ f$ son $(1,3)$ y $(2,5)$.

$\square$

Tarea moral

a) Demuestra que si $X$ y $Y$ son conjuntos y $f:X\to Y$ una función. Sean $X_1\subseteq X$ y $Y_1, Y_2\subseteq Y$. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

  1. $f^{-1}[Y_1\cap Y_2]=f^{-1}[Y_1]\cap f[Y_2]$,
  2. $f^{-1}[Y_1\setminus Y_2]=f^{-1}[Y_1]\setminus f[Y_2]$,
  3. $X_1\subseteq f^{-1}[f[X_1]]$,
  4. $f[f^{-1}[B_1]]\subseteq B_1$.

b) Demuestra que la composición de funciones es asociativa.

Más adelante

La siguiente sección estará dedicada a funciones inyectivas y sobreyectivas. Este tema será de gran importancia pues en muchas ocasiones tendremos que verificar si se satisfacen estas propiedades.

Enlaces

Álgebra Superior I: Introducción a funciones

Teoría de los Conjuntos I: Funciones

Introducción

Esta sección estará dedicada a un tipo de relaciones a las que llamaremos funciones. Este tema será de gran importancia pues utilizaremos funciones con mucha frecuencia a partir de ahora, es por ello que dedicaremos una serie de entradas para tratarlas. En esta primera parte abordaremos la definición de función, algunas de sus propiedades y ejemplos.

¿Qué es una función?

Definición: Sea $f$ una relación de $A$ en $B$ (lo denotaremos por $f:A\to B$), diremos que $f$ es función si $(a,b)\in f$ y $(a,c)\in f$ implica que $b=c$.

La definición de función nos dice que dados dos conjuntos y una relación de $A$ en $B$ podremos hablar de función si y sólo si cada uno de los elementos de $A$ bajo una regla de correspondencia (relación) va a dar a uno y sólo uno de $B$. Como se muestra en la siguiente imagen:

Para abordar la definición desde otra perspectiva revisaremos el siguiente ejemplo que nos muestra que no toda relación es función.

Ejemplo:

Sea $A=\set{1,2}$ y $B=\set{1,2,3}$. Sea $f$ una relación de $A$ en $B$ dada por $f=\set{(1,1), (1,2), (2,1)}$.

Resulta que $f$ no es función pues $(1,1)\in f$ y $(1,2)\in f$, sin embargo no es cierto que $1=2$.

$\square$

Ahora veamos el ejemplo de una relación que si es función.

Ejemplo:

Sea $A=\set{1,2,3}$ y $B=\set{1,2}$. Sea $f$ una relación de $A$ en $B$ dada por $f=\set{(1,1), (2,1), (3,1)}$.

En este ejemplo tenemos que $f$ es función pues cada elemento de $A$ va a dar a uno y sólo uno de $B$, es decir, para cualesquiera $(a,b)\in f$ y $(a,c)\in f$ se cumple que $b=c$.

$\square$

Después de revisar estos ejemplos es importante mencionar que aunque no toda relación es función, siempre ocurrirá que una función es una relación, este último hecho se sigue de la definición de función.

Función vacía

Sea $X=\emptyset$ y $Y$ un conjunto cualquiera, definimos a la función vacía de $X$ en $Y$ como $f=\emptyset$. En la sección de relaciones vimos que el conjunto vacío en efecto es una relación, nos resta ver que para cualesquiera $(a,b)\in f$ y $(a,c)\in f$ se cumple que $b=c$, sin embargo este enunciado se cumple por un argumento por vacuidad.

Por lo tanto, la relación vacía es función.

Función constante

Sean $X$, $Y$ un conjunto y $c\in Y$. Definimos la función constante $f$ de $X$ en $\set{c}$ como $f(x)=c$ para toda $x\in X$. Nuestra función se verá de la siguiente forma:

Función identidad

Sea $X$ un conjunto, la relación identidad es función. Recordemos que la relación identidad $Id_X$ esta definida como sigue:

$Id_X=\set{(x,y): x,y\in X\ y\ x=y}$

Dado que para cualesquiera $(x,y)\in Id_X$ y $(x,w)\in Id_X$ tenemos que $x=y$ y $x=w$ por definición de la relación $Id_X$, por lo tanto, $y=w$ y así concluimos que $Id_X$ es función.

Función característica

Sean $A$ y $X$ conjuntos tales que $A\subseteq X$, definimos a la función característica como $\chi_A$ de $A$ en $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ dada por:

\begin{align*}
\chi_A(x) = \left\{ \begin{array}{lcc}
\set{\emptyset} &  \text{si}  & x \in A \\
\emptyset &  \text{si} & x\notin A
\end{array}
\right.
\end{align*}

Función inclusión

Sea $X$ un conjunto cualquiera, definimos a la función inclusión $\iota:A\to X$ como el siguiente conjunto:

$\iota_A= \set{(x,x):x\in A}$.

Restricción de una función

Definición: Sea $f:X\to Y$ una función y sea $A\subseteq X$ decimos que la restricción de $f$ en $A$ es la función $f\upharpoonright_{A} :A\to Y$ dada por $f\upharpoonright_{A} (x)= f(x)$ para todo $x\in A$.

Ejemplo: Sean $X=\set{1,2,3,4}$ y $Y=\set{1,2,3,4,5}$. Sea $f:X\to Y$ una función dada por $\set{(1,1), (2,2), (3,3), (4,1)}$, si queremos hacer que la función $f$ sea igual a la identidad en el conjunto $\set{1,2,3}$ podemos considerar a $f\upharpoonright_{A}$ con $A=\set{1,2,3}$. Así, $f\upharpoonright_A=\set{(1,1), (2,2), (3,3)}$.

$\square$

Dominio e imagen

De manera similar que con las relaciones trataremos las definiciones de dominio, imagen e imagen inversa, sin embargo ahora lo haremos para funciones.

Definición: Sea $f$ una función de A en B, definimos el dominio de la $f$ como:

$dom(f)=\set{x\in A:\exists y\in B\ tal\ que\ f(x)=y}$.

Ejemplo:

Sea $A=\set{1,2,3,4}$ y $B=\set{1,2,3,4}$. Sea $f:A\to B$ una función dada por el conjunto $f=\set{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)}$.

Tenemos que,

$dom(f)=\set{x\in \set{1,2,3,4}:\exists y\in \set{1,2,3,4}\ tal\ que\ f(x)=y}=\set{1,2,3,4}$.

$\square$

Definición: Sea $f$ una función de A en B, definimos la imagen de la función $r$ como:

$im(f)=\set{y\in B:\exists x\in A\ tal\ que\ f(x)=y}$.

Ejemplo:

Sea $A=\set{1,2,3,4}$ y $B=\set{1}$. Sea $f:A\to B$ una función dada por $f(x)=1$ para todo $x\in A$.

Tenemos que,

$im(f)=\set{y\in B: \exists x\ tal\ que\ f(x)=y}=\set{1}$.

$\square$

Definición: Sea $f$ una función de $A$ en $B$ y sea $D\subseteq A$. Definimos la imagen de $D$ bajo la función $f$ como el conjunto:

$f[D]=\set{f(x)\in B: \exists x\in D\ tal\ que\ f(x)=y}$.

Ejemplo:

Sea $A=\set{1,2,3,4}$ y $B=\set{2,4,6,8}$. Sea $f:A\to B$ una función dada por $f(x)=2x$ para todo $x\in A$. Sea $A’=\set{2,4}\subseteq A$.

Tenemos que,

$f[A’]=\set{f(x)\in B: \exists x\in A’\ tal\ que\ f(x)=y}=\set{4,8}$.

$\square$

Definición: Sea $f$ una función de $A$ en $B$ y sea $B’\subseteq B$. Definimos la imagen inversa de $B’$ bajo la función $f$ como el conjunto:

$f^{-1}[B’]=\set{x\in A: \exists y\in B’\ tal\ que\ f(x)=y}$.

Ejemplo:

Sea $A=\set{1,2,3,4}$ y $B=\set{2,4,6,8}$. Sea $f:A\to B$ una función dada por $f(x)=2x$ para todo $x\in A$. Sea $B’=\set{2,4}\subseteq B$.

Tenemos que,

$f^{-1}[B’]=\set{x\in A: \exists y\in B’\ tal\ que\ f(x)=y}=\set{1,2}$.

$\square$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te ayudarán a reforzar los conceptos de función, dominio e imagen.

  • Sea $f$ una función de $\set{1,2}$ en $\set{2.4,5}$ dada por $f=\set{(1,2), (2,4)}$. Describe al dominio y la imagen de $f$.
  • Sean $A=\set{1,2,3,4,5,6,7,8,9}$ y $B=\set{1,2,3,4,5,6,7}$ conjuntos. Responde si las siguientes relaciones son o no funciones:
    1. $f_1=\set{(1,1), (1,2), (2,1), (3,4)}$,
    2. $f_2=\set{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4) (5,5)}$,
    3. $f_3=\set{(1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1)}$.

Más adelante

La siguiente sección estará dedicada a hablar acerca de algunas de las propiedades que tiene la imagen de un conjunto bajo una función respecto a la unión, la intersección y la diferencia. Además hablaremos acerca de la composición de funciones, en esta parte retomaremos el concepto de composición de relaciones.

Enlaces

En el siguiente enlace podrás encontrar información acerca del tema de funciones abordado desde el álgebra superior:

Álgebra Superior I: Introducción a funciones