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Teoría de los Conjuntos I: Propiedades del producto cartesiano (parte II)

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En esta entrada veremos otras de las propiedades del producto cartesiano. Estas propiedades hacen referencia al comportamiento del producto cartesiano con respecto a las operaciones que definimos antes: unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica.

Producto cartesiano y unión

Las siguientes dos proposiciones verifican que el producto cartesiano se distribuye sobre la unión.

Proposición. Para $A,B,C$ conjuntos se cumple que $(A\cup B)\times C=(A\times C)\cup (B\times C)$.

Demostración.

Se tiene que $(x,y)\in (A\cup B)\times C$
si y sólo si $x\in A\cup B$ y $y\in C$
si y sólo si $(x\in A$ o $x\in B)$ y $y\in C$
si y sólo si $(x\in A$ y $y\in C)$ o $(x\in B$ y $y\in C)$
si y sólo si $(x,y)\in A\times C$ o $(x,y)\in B\times C$
si y sólo si $(x, y)\in (A\times C)\cup (B\times C)$.

$\square$

Proposición. Para $A,B,C$ conjuntos se cumple que $A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$.

Demostración.

Se tiene que $(x,y)\in A\times (B\cup C)$
si y sólo si $x\in A$ y $y\in B\cup C$
si y sólo si $x\in A$ y $(y\in B$ o $y\in C)$
si y sólo si $(x\in A$ y $y\in B)$ o $(x\in A$ y $y\in C)$
si y sólo si $(x,y)\in A\times B$ o $(x,y)\in A\times C$
si y sólo si $(x, y)\in (A\times B)\cup (A\times C)$.

$\square$

Proposición. Para cualesquiera $A, B, C, D$ conjuntos no vacíos ocurre que $(A\times C)\cup (B\times D)\subseteq (A\cup B)\times (C\cup D)$.

Demostración.

Sean $A, B, C, D$ conjuntos no vacíos. Tomemos $(x,y)\in (A\times C)\cup (B\times D)$ arbitrario, entonces $(x,y)\in A\times C$ o $(x,y)\in B\times D$.

Si $(x, y)\in A\times C$, entonces $x\in A$ y $y\in C$. Luego, como $A\subseteq A\cup B$ y $C\subseteq C\cup D$ se sigue que $x\in A\cup B$ y $y\in C\cup D$. Así, $(x,y)\in (A\cup B)\times (C\cup D)$.

Si $(x, y)\in B\times D$, entonces $x\in B$ y $y\in D$. Luego, como $B\subseteq A\cup B$ y $D\subseteq C\cup D$ se sigue que $x\in A\cup B$ y $y\in C\cup D$. Así, $(x,y)\in (A\cup B)\times (C\cup D)$.

$\square$

Producto cartesiano e intersección

Con la siguientes dos demostraciones podremos ver que el producto cartesiano se distribuye sobre la intersección.

Proposición. Para $A,B,C$ conjuntos se cumple que $(A\cap B)\times C=(A\times C)\cap (B\times C)$.

Demostración.

Se tiene que $(x,y)\in (A\cap B)\times C$
si y sólo si $x\in A\cap B$ y $y\in C$
si y sólo si $(x\in A$ y $x\in B)$ y $y\in C$
si y sólo si $(x\in A$ y $y\in C)$ y $(x\in B$ y $y\in C)$
si y sólo si $(x,y)\in A\times C$ y $(x,y)\in B\times C$
si y sólo si $(x, y)\in (A\times C)\cap (B\times C)$.

$\square$

Proposición. Para $A,B,C$ conjuntos se cumple que $A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)$.

Demostración.

Se tiene que $(x,y)\in A\times (B\cap C)$
si y sólo si $x\in A$ y $y\in B\cap C$
si y sólo si $x\in A$ y $(y\in B$ y $y\in C)$
si y sólo si $(x\in A$ y $y\in B)$ y $(x\in A$ y $y\in C)$
si y sólo si $(x,y)\in A\times B$ y $(x,y)\in A\times C$
si y sólo si $(x, y)\in (A\times B)\cap (A\times C)$.

$\square$

Proposición. Para cualesquiera $A, B, C, D$ conjuntos no vacíos ocurre que $(A\times C)\cap (B\times D)= (A\cap B)\times (C\cap D)$.

Demostración.

Sean $A, B, C, D$ conjuntos no vacíos. Tenemos que:
$(x,y)\in (A\times C)\cap (B\times D)$
si y sólo si $(x,y)\in A\times C$ y $(x,y)\in B\times D$
si y sólo si $(x\in A$ y $y\in C)$ y $(x\in B$ y $y\in D)$
si y sólo si $(x\in A$ y $x\in B)$ y $(y\in C$ y $y\in D)$
si y sólo si $x\in A\cap B$ y $y\in C\times D$
si y sólo si $(x,y)\in (A\cap B)\times (C\cap D)$.

$\square$

Producto cartesiano y diferencia

Con los siguientes resultados probamos que el producto cartesiano se distribuye sobre la diferencia.

Proposición. Sean $A, B, C$ conjuntos no vacíos. Se tiene que $A\times (B\setminus C)= (A\times B)\setminus (A\times C)$.

Demostración.

Se tiene que $(x,y)\in A\times (B\setminus C)$
si y sólo si $x\in A$ y $y\in B\setminus C$
si y sólo si $x\in A$ y ($y\in B$ y $y\notin C$)
si y sólo si $(x\in A$ y $y\in B)$ y $(x\in A$ y $y\notin C)$
si y sólo si $(x,y)\in A\times B$ y $(x,y)\notin A\times C$
si y sólo si $(x,y)\in (A\times B)\setminus (A\times C)$.

$\square$

Proposición. Para $A,B,C$ conjuntos se cumple que $(A\setminus B)\times C=(A\times C)\setminus (B\times C)$.

Demostración.

Se tiene que $(x,y)\in (A\setminus B)\times C$
si y sólo si $x\in A\setminus B$ y $y\in C$
si y sólo si $(x\in A$ y $x\notin B)$ y $y\in C$
si y sólo si $(x\in A$ y $y\in C)$ y $(x\notin B$ y $y\in C)$
si y sólo si $(x,y)\in A\times C$ y $(x,y)\notin B\times C$
si y sólo si $(x, y)\in (A\times C)\setminus (B\times C)$.

$\square$

Producto cartesiano y diferencia simétrica

La siguiente proposición demuestra que el producto cartesiano distribuye a la diferencia simétrica. Como ya demostramos propiedades de cómo interactúa el producto cartesiano con la unión, intersección y diferencia, podremos dar una demostración muy breve usando álgebra de conjuntos.

Proposición. Sean $A, B, C$ conjuntos. Se tiene que $A\times (B\triangle C)= (A\times B)\triangle (A\times C)$.

Demostración. Procedemos por álgebra de conjuntos:

\begin{align*}
A\times (B\triangle C) &= A\times ((B\cup C)\setminus (B\cap C))\\
&=(A\times (B\cup C))\setminus (A\times (B\cap C))\\
&=((A\times B)\cup (A\times C))\setminus (A\times (B\cap C))\\
&=((A\times B)\cup (A\times C) \setminus ((A\times B)\cap (A\times C))\\
&=(A\times B)\triangle (A\times C).
\end{align*}

$\square$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te permitirán aprender otras propiedades del producto cartesiano:

  • Muestra que no siempre se da la igualdad $(A\times C)\cup (B\times D)= (A\cup B)\times (C\cup D)$.
  • Demuestra que $(A\cup B)\times (C\cup D)=(A\times C)\cup (B\times D)\cup (A\times D)\cup (B\times C)$.
  • Muestra que $(X\times Y)\setminus (B\times C)=((X\setminus B)\times Y)\cup(X\times (Y\setminus C))$.
  • Demuestra que $(A\triangle B)\times C=(A\times C)\triangle (B\times C)$.

Más adelante…

En la siguiente entrada definiremos qué es una relación. Para ello utilizaremos el concepto de producto cartesiano y pareja ordenada. Resultará que una relación es un subconjunto de un producto cartesiano, por lo que es importante que comprendas bien el concepto de producto cartesiano que hemos visto en las últimas dos entradas.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Teoría de los Conjuntos I: Propiedades del producto cartesiano

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En esta nueva entrada demostraremos algunas de las propiedades del producto cartesiano. Discutiremos sobre si esta operación en conjuntos es conmutativa o asociativa. Para algunos de nuestros ejemplos usaremos los conjuntos $0,1,2,3,4$ que recuerda que definimos en la entrada de axioma de la unión y axioma del par.

Producto cartesiano

Recordemos la definición de producto cartesiano.

Definición. Sean $A$ y $B$ conjuntos cualesquiera, definimos el producto cartesiano de $A$ y $B$, como:

$A\times B=\set{(a,b): a\in A\ y\ b\in B}$.

Ejemplo.

Consideremos los conjuntos $A=\set{0,1}$ y $B=\set{0,1,2,3}$. Tenemos que $A\times B=\set{(0,0),(0,1), (0,2), (0,3), (1,0), (1,1), (1,2), (1,3)}$. De hecho, podemos representar geométricamente a este conjunto como se muestra en la siguiente imagen:

Imagen representación geométrica del producto cartesiano.

Por supuesto, esta representación es un poco informal pues estamos usando la recta numérica con números reales (que no hemos dicho qué son) y estamos asumiendo cierto orden (del cuál no hemos hablado). Por el momento, piensa que esta representación es sólo para conectar la idea de producto cartesiano con conceptos que has visto en otros cursos.

$\square$

Conmutatividad del producto cartesiano

En general el producto cartesiano no es conmutativo, es decir, si $A$ y $B$ son conjuntos, no necesariamente es cierto que $A\times B=B\times A$.

Ejemplo.

Sean $A=\set{\emptyset}$ y $B=\set{\set{\emptyset}}$, tenemos que:

$A\times B=\set{(\emptyset, \set{\emptyset})}$.

Por otro lado,

$B\times A=\set{(\set{\emptyset},\emptyset)}$.

Dado que tanto $A\times B$ y $B\times A$ sólo tienen un elemento, para que pase que $A\times B=B\times A$, tendría que ocurrir que $(\emptyset,\set{\emptyset})=(\set{\emptyset}, \emptyset)$. Usando el teorema que vimos en la entrada pasada tendríamos que $\emptyset=\set{\emptyset}$ y $\set{\emptyset}=\emptyset$, lo cual no ocurre. Por lo tanto, $A\times B\not=B\times A$.

$\square$

Veamos ahora bajo qué condición el producto cartesiano sí conmuta.

Proposición. Sean $A$ y $B$ conjuntos. Entonces $A\times B=B\times A$ si y sólo si $A=B$ o $A=\emptyset$ o $B=\emptyset$.

Demostración.

$\rightarrow$] Supongamos que $A$ y $B$ son conjuntos tales que $A\times B=B\times A$.

Caso 1: Si $A=\emptyset$ se cumple la proposición.

Caso 2: Si $B=\emptyset$ se cumple la proposición.

Caso 3: Si $A$ y $B$ son conjuntos no vacíos. Sea $x\in A$. Como $B\not=\emptyset$, existe $y\in B$ y así la pareja $(x,y)\in A\times B$. Por hipótesis $A\times B=B\times A$, por lo que $(x,y)\in B\times A$, esto es $x\in B$ y $y\in A$. En particular, $x\in B$ y por lo tanto, $A\subseteq B$.

Para ver que $B\subseteq A$ seguimos un argumento análogo al anterior. Por lo tanto, $A=B$.

$\leftarrow$] Si $A=B$, tenemos que $A\times B=B\times A$. Si $A=\emptyset$, entonces por definición de producto cartesiano $A\times B=\emptyset\times B=\emptyset$ y $B\times A=B\times \emptyset= \emptyset$, por lo que $A\times B=B\times A$. Análogamente si $B=\emptyset$.

$\square$

Asociatividad del producto cartesiano

Además de preguntarnos acerca de la conmutatividad podemos preguntarnos si el producto cartesiano es asociativo. Para tratar la asociatividad de una operación son necesarios tres conjuntos, sin embargo, no hemos visto la definición de producto cartesiano para más de dos conjuntos.

Definición. Sean $A,B$ y $C$ conjuntos. Definimos el producto cartesiano de $A$, $B$ y $C$ como:

$A\times B\times C=(A\times B)\times C$.

Ejemplo.

Sean $A=B=C=\set{\emptyset}$. Tenemos que:

\begin{align*}
A\times B\times C&=(A\times B)\times C\\
&=(\set{\emptyset}\times\set{\emptyset})\times\set{\emptyset}\\
&= \set{(\emptyset,\emptyset)}\times\set{\emptyset}\\
&=\set{((\emptyset, \emptyset), \emptyset)}.
\end{align*}

$\square$

Una manera alternativa de hacer lo anterior es la siguiente.

Definición. Sean $A,B$ y $C$ conjuntos. Definimos

$(A\times B\times C)_2=A\times (B\times C)$.

Ejemplo.

Sean $A=B=C=\set{\emptyset}$ conjuntos,

\begin{align*}
A\times (B\times C)&=\set{\emptyset}\times (\set{\emptyset}\times\set{\emptyset})\\
&=\set{\emptyset}\times \set{(\emptyset, \emptyset)}\\
&= \set{(\emptyset,(\emptyset,\emptyset))}.
\end{align*}

$\square$

Revisando los dos ejemplos anteriores tenemos que $A\times(B\times C)\not=(A\times B)\times C)$ pues $(\emptyset,(\emptyset,\emptyset))\in A\times (B\times C)$ y $((\emptyset, \emptyset), \emptyset)\in (A\times B)\times C$ son tales que $(\emptyset, (\emptyset, \emptyset))\not=((\emptyset, \emptyset), \emptyset)$. Concluimos que las definiciones de $A\times B\times C$ y $(A\times B\times C)_2$ son distintas, y en cierto sentido, concluimos que el producto cartesiano no es asociativo.

Tarea moral

  • Demuestra que para $a,b,c$ conjuntos se tiene que $(a,b,c)$ es conjunto, y que para $A,B,C$ conjuntos se tiene que $A\times B \times C$ también es conjunto.
  • Prueba que $(a,b,c)=(d,e,f)$ si y sólo si $a=d$, $b=e$ y $c=f$.
  • Prueba que si $A\not=\emptyset$, entonces $(A\times A)\times A\not=A\times (A\times A)$.
  • Demuestra que $A\times B=\emptyset$ si y sólo si $A=\emptyset$ o $B=\emptyset$.
  • Muestra que si $C\times D\not=\emptyset$ entonces $C\times D\subseteq A\times B$ si y sólo si $C\subseteq A$ y $D\subseteq B$.

Más adelante…

En la siguiente entrada veremos cómo se comporta el producto cartesiano con las operaciones que tratamos en entradas anteriores como: la unión, la intersección y la diferencia. Esto lo podremos hacer pues, como vimos, el producto cartesiano es un conjunto cuyos elementos son parejas ordenadas.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Teoría de los Conjuntos I: Pares ordenados y producto cartesiano

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En esta nueva entrada hablaremos de pares ordenados. Esto nos llevará a muchas ideas importantes en teoría de conjuntos como el producto cartesiano, las relaciones, las funciones y los órdenes.

En estra entrada comenzaremos definiendo qué es un par ordenado. Estudiaremos cuándo dos pares ordenados son iguales. Veremos algunas definiciones alternativas de par ordenado que tienen la misma propiedad crucial. A partir de la idea de par ordenado, definiremos al producto cartesiano y daremos algunos ejemplos sobre este concepto.

Par ordenado

Anteriormente vimos el concepto de par no ordenado. Dados $a$ y $b$ conjuntos , podíamos construir un conjunto cuyos elementos son solamente $a$ y $b$. Sin embargo, el orden de los elementos no es importante. Si $a,b$ son conjuntos, el par no ordenado $\set{a,b}$ resulta ser igual al par no ordenado $\set{b,a}$ por el axioma de extensión.

Pero en matemáticas muchas veces necesitamos poder distiguir cuándo «$a$ va en la primera posición y $b$ va en la segunda». A continuación daremos una definición que nos permitirá hacer esto.

Definición. Sean $a$ y $b$ conjuntos. Definimos al par ordenado $(a, b)$ como el conjunto:

$(a,b)=\set{\set{a}, \set{a,b}}$.

Esta definición fue dada por Kazimierz Kuratowski en 1921. Lo que permite tener una expresión matemática que nos deja «darle orden» a las parejas. Esto es lo que enuncia de manera más precisa el siguiente resultado.

Teorema. Sean $a, b, c, d$ conjuntos, entonces $(a,b)=(c, d)$ si y sólo si $a=c$ y $b=d$.

Demostración.

$\leftarrow$] Supongamos que $a=c$ y $b=d$. Resulta que $(a,b)=\set{\set{a},\set{a,b}}=\set{\set{c}, \set{c,d}}=(c,d)$.

$\rightarrow$] Supongamos que $(a,b)=(c,d)$. Veamos que $a=c$ y $b=d$.

Caso 1: $a=b$

Si $a=b$, entonces $(a,b)=\set{\set{a}, \set{a,b}}=\set{\set{a},\set{a,a}}=\set{\set{a},\set{a}}=\set{\set{a}}$. Dado que $(a,b)=(c,d)=\set{\set{c},\set{c,d}}$ tenemos que $\set{a}=\set{c}$ y $\set{a}=\set{c,d}$, por lo que $a=c=d$. Por lo tanto, $a=c$ y $b=d$.

Caso 2: $a\not=b$

Como $\set{a}\in \set{\set{a},\set{a,b}}=\set{\set{c},\set{c,d}}$, entonces $\set{a}\in \set{\set{c}, \set{c,d}}$. Así, $\set{a}=\set{c}$ o $\set{a}=\set{c,d}$.

El caso en el que $\set{a}=\set{c, d}$ no puede ocurrir, pues de ser así $c=d=a$, de donde $(c, d)=\set{\set{c}, \set{c,d}}=\set{\set{c}}$. Además, como $(a,b)=\set{\set{a}, \set{a,b}}$ y $a\not=b$, se tiene que $(a,b)$ tiene dos elementos y $(c, d)$ tiene un elemento, por lo que no es posible que $(a,b)=(c,d)$. Así, este caso no puede ocurrir. Por lo tanto, $\set{a}=\set{c}$ y así $a=c$.

Por otro lado, como $\set{a,b}\in \set{\set{a},\set{a,b}}=\set{\set{c}, \set{c,d}}$ entonces $\set{a,b}=\set{c}$ o $\set{a,b}=\set{c,d}$.

No puede ocurrir que $\set{a,b}=\set{c}$, pues de ser así $a=b=c$, pues contradice el hecho de que $a\not =b$. Así, debe ocurrir que $\set{a,b}=\set{c,d}$. Como $a=c$, entonces $b=d$.

$\square$

La definición de Hausdorff de par ordenado

Aunque la definición que dio Kuratowski es la más conocida y es la que usaremos en nuestro curso, no es la única definición de par ordenado que existe, en el sentido de que la teoría de conjuntos nos permite dar otras definiciones que también cumplen con la propiedad crucial que demostramos en el teorema anterior. La siguiente definición fue dada por Felix Hausdorff en su texto Grundzüge der Mengenlehre de1914.

Definición. Sean $a,b$ conjuntos. Definimos

$(a,b)_{H}=\set{\set{a,\emptyset}, \set{b,\set{\emptyset}}}$.

Ejemplo.

El siguiente ejemplo muestra cómo el orden sí importa.

$(\set{\emptyset,\set{\emptyset}},\set{\set{\emptyset}})_{H}=\set{\set{\set{\emptyset,\set{\emptyset}},\emptyset}, \set{\set{\set{\emptyset}},\set{\emptyset}}}$ y $(\set{\set{\emptyset}},\set{\emptyset,\set{\emptyset}})_{H}=\set{\set{\set{\set{\emptyset}},\emptyset}, \set{\set{\emptyset,\set{\emptyset}}, \set{\emptyset}}}$.

Se puede observar que los conjuntos $(\set{\emptyset,\set{\emptyset}},\set{\set{\emptyset}})_{H}\not=(\set{\set{\emptyset}},\set{\emptyset,\set{\emptyset}})_{H}$.

$\square$

Teorema. Se cumple que $(a,b)_{H}=(c,d)_{H}$ si y sólo si $a=c$ y $b=d$.

Demostración.

Supongamos que $(a,b)_{H}=(c,d)_{H}$, esto es $\set{\set{a,\emptyset}, \set{b,\set{\emptyset}}}= \set{\set{c,\emptyset}, \set{d,\set{\emptyset}}}$. Luego, $\set{a,\emptyset}\in \set{\set{c,\emptyset}, \set{d,\set{\emptyset}}}$, por lo que $\set{a,\emptyset}= \set{c,\emptyset}$ o $\set{a,\emptyset}=\set{d,\set{\emptyset}}$.

Hagamos primero el caso en el que $\{a,\emptyset\}=\{d,\{\emptyset\}\}$. En este caso, $\{b,\{\emptyset\}\}=\{c,\emptyset\}$. Como $\emptyset\neq \{\emptyset\}$, entonces la primera igualdad implica $a=\{\emptyset\}$ y $d=\emptyset$. La segunda igualdad implica $b=\emptyset$ y $c=\{\emptyset\}$. Así, en efecto tenemos $a=c$ y $b=d$.

El otro caso es que $\set{a,\emptyset}= \set{c,\emptyset}$ y $\set{b,\set{\emptyset}}= \set{d,\set{\emptyset}}$. En la primera igualdad, debemos tener entonces $a=c$, y en la segunda $b=d$.

Por lo tanto, en cualquier caso si $(a,b)_{H}=(c,d)_{H}$ entonces $a=c$ y $b=d$.

Por otro lado, si $a=c$ y $b=d$ se cumple que $(a,b)_{H}=\set{\set{a,\emptyset}, \set{b,\set{\emptyset}}}= \set{\set{c,\emptyset}, \set{d,\set{\emptyset}}} =(c,d)_{H}$.

$\square$

La definición de Wiener de par ordenado

Veamos una tercera posible definición. Esta fue dada por Norbert Wiener en 1914, en su texto A simplification of the logic of relations.

Definición. Sean $a$ y $b$ conjuntos. Definimos

$(a,b)_{W}=\set{\set{\set{a},\emptyset},\set{\set{b}}}$.

Ejemplo.

En el siguiente ejemplo mostraremos que el orden de las parejas según la definición de Wiener importa:

$(\emptyset,\set{\emptyset})_{W}=\set{\set{\set{\emptyset}, \emptyset}, \set{\set{\set{\emptyset}}}}$

y $(\set{\emptyset},\emptyset)_{W}=\set{\set{\set{\set{\emptyset}}, \emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$.

Dado que los conjuntos $\set{\set{\set{\emptyset}, \emptyset}, \set{\set{\set{\emptyset}}}}$ y $\set{\set{\set{\set{\emptyset}}, \emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$ son distintos, tenemos que $(\emptyset,\set{\emptyset})_{W}\not=(\set{\emptyset},\emptyset)_{W}$.

$\square$

Como te imaginarás, esta tercera definición también cumple que dos parejas serán iguales si y sólo si son iguales en cada entrada. La verificación de esto queda como uno de los ejercicios.

Producto cartesiano

Si tenemos conjuntos $A$ y $B$, podemos construir muchos pares ordenados $(a,b)$ tomando $a\in A$ y $b\in B$. ¿Qué obtenemos cuando consideramos a todos estos posibles pares?

Definición. Sean $A$ y $B$ conjuntos arbitrarios. Definimos al producto cartesiano de $A$ y $B$, como el conjunto:

$A\times B= \set{(x,y):x\in A\ y\ y\in B}$.

Por supuesto, para que esta definición sea correcta, debemos primero demostrar que en efecto la colección que estamos considerando es un conjunto. Esto está garantizado por la siguiente proposición.

Proposición. Si $A$, $B$ son conjuntos, entonces $A\times B$ es un conjunto.

Demostración.

Sean $A$ y $B$ conjuntos. Se sigue por axioma de la unión que $A\cup B$ es conjunto y por axioma del conjunto potencia tenemos que $\mathcal{P}(A\cup B)$ es conjunto. Y de nuevo, por axioma del conjunto potencia tenemos que $\mathcal{P}(\mathcal{P}(A\cup B))$ es conjunto.

Sean $a\in A$ y $b\in B$ arbitrarios. Veamos que $(a,b)\subseteq \mathcal{P}(\set{a,b})$ y $\mathcal{P}(\set{a,b})\subseteq \mathcal{P}(A\cup B)$.

En efecto, $(a,b)=\set{\set{a},\set{a,b}}$ y $\mathcal{P}(\set{a,b})=\set{\emptyset, \set{a},\set{b},\set{a,b}}$, por lo que se verifica que $(a,b)\subseteq \mathcal{P}(\set{a,b})$. La contención $\mathcal{P}(\set{a,b})\subseteq \mathcal{P}(A\cup B)$ se deduce de la propiedad más general de la potencia que dice que si $X\subseteq Y$, entonces $\mathcal{P}(X)\subseteq \mathcal{P}(Y)$.

Así, $(a,b)\subseteq \mathcal{P}(A\cup B)$, o bien $(a, b)\in \mathcal{P}(\mathcal{P}(A\cup B))$.

Luego por el esquema de comprensión, tenemos que

$$\set{x\in \mathcal{P}(\mathcal{P}(A\cup B)): \exists a\in A\exists b\in B (x=(a,b))}$$

es conjunto, pero esto es precisamente la colección $A\times B$.

$\square$

Ejemplo.

Sean $A=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y $B=\set{\set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}}$ conjuntos. Tenemos que:

\begin{align*}
A\times B&=\set{ \emptyset, \set{\emptyset}}\times \set{\set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}}\\
&=\set{(\emptyset,\set{\emptyset}), (\emptyset, \set{\set{\emptyset}}),(\set{\emptyset}, \set{\emptyset}), (\set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}) }.
\end{align*}

$\square$

Tarea moral

  1. Calcula el producto cartesiano de $A\times B$, $B\times A$ y $A\times C$ si $A=\set{\emptyset}$, $B=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y $C=\emptyset$.
  2. Justifica por qué para $a$ y $b$ conjuntos se tiene que $(a,b)$, $(a,b)_H$ y $(a,b)_W$ son conjuntos.
  3. Demuestra que $(a,b)_{W}=(c,d)_{W}$ si y sólo si $a=c$ y $b=d$.
  4. Si usáramos las definiciones $(a,b)_H$ y $(a,b)_W$, podríamos de manera análoga a la que creamos $A\times B$, también crear productos cartesianos $A\times_H B$ y $A\times_W B$. Justifica que en este caso también estas colecciones serían conjuntos.

Más adelante…

En la siguiente entrada demostraremos algunas de las propiedades del producto cartesiano. Veremos si para el caso de esta nueva operación para conjuntos se da la conmutatividad, la asociatividad y algunas de las propiedades que tratamos para la unión y la intersección.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Superior I: Introducción a funciones

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

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Introducción

En esta entrada empezaremos a estudiar un tipo de relación muy específica, que son las funciones. Este concepto es fundamental en casi todas las áreas de las matemáticas, y aprender su uso será fundamental a partir de ahora.

La importancia de las funciones

Antes de empezar a hablar de las funciones, es importante que desde ahora entiendas que el concepto de la función es un concepto casi omnipresente en la tarea de estudiar las matemáticas. Para tener idea de la profundidad de esto, observa los siguientes ejemplos:

  • La base del cálculo son las funciones en una variable.
  • La base del cálculo en varias variables son las funciones de distintas variables.
  • En análisis se estudian las funciones entre espacios numéricos.
  • En probabilidad, se trabaja con las funciones entre espacios de probabilidad.
  • Las secuencias numéricas son funciones.
  • En álgebra moderna, el concepto de grupo es un tipo de función.
  • En topología muchas veces se estudian familias de funciones.

Los ejemplos podrían seguir y seguir, y es que nosotros al estudiar las matemáticas, es muy importante entender que la mayor parte de estudiarla será el analizar funciones.

La primera noción que daremos de lo que son las funciones son unas máquinas que reciben una entrada y devuelven una salida.

Un ejemplo de esto es una función que toma de entrada cualquier número entero y devuelve el número multiplicado por dos. Para traducir cómo escribiremos esto, recordemos que al principio hemos dicho que las funciones van a ser relaciones, entonces la forma en que definirimos esta función será con una pareja ordenada $(x,y)$. Como tenemos la idea de que las funciones son máquinas que reciben una entrada y arrojan una salida, entonces diremos que $x$ es la variable de entrada y $y$ la de salida. De manera que podemos representar a la función que toma cualquier número entero y devuelve el número multiplicado por dos, es de la siguiente manera: $$f = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2: y = 2x\} $$ En donde al mencionar que $y=2x$, estamos diciendo que la salida es dos veces la entrada.

Algunos de los elementos que pertenecen a la función son $$\{(0,0),(1,2),(-1,-2),(5,10),(-7,-14), \dots\}.$$

Cuando hablemos de funciones habrán dos cosas importantes que tendrá que cumplir la relación:

  • Deberemos de usar todo el dominio para crear la relación. Esto quiere decir que si estamos hablando de una función entre números enteros, entonces no importa de qué número entero estemos hablando, siempre podrá tener su correspondencia según la función. En nuestro ejemplo, nota que dijimos que la función toma «cualquier número entero», no estamos diciendo que solo toma algunos números enteros.
  • Cada elemento del dominio tendrá uno y solo un correspondiente del contradominio. Esto quiere decir que si $(x,y)$ pertenecen a la función, entonces no existe otra pareja distinta $(x,w)$ en la función. En nuestro ejemplo, nota que las parejas son de la forma $(x,2x)$, y esto implica que cada elemento del dominio solo aparece una vez, si no fuera así, habría dos elementos $(x,2x),(x,w)$ en la función en donde $2x \neq w$, lo cual es imposible, puesto que los elementos del contradominio son los elementos del dominio multiplicados por $2$, es decir $w = 2x$, generando una contradicción.

Estas serán las propiedades que le pediremos a una relación para ser función.

Definición. Sea $f$ una relación entre dos conjuntos $X,Y$. Diremos que $f$ es una función si cumple las siguientes propiedades:

  • $Dom(f) = X$
  • Si $(x,y) \in f$ y $(x,w) \in f$, entonces $y=w$.

Esta última propiedad quiere decir que solo existe una pareja que tenga a $x$ en el lugar de los elementos del dominio.

Como hemos dicho antes, una función será una correspondencia entre elementos de $X$ con elementos de $Y$ de manera que a cada elemento de $X$ le corresponderá uno y únicamente un elemento del contradominio.

Ejemplos de funciones

Algunos ejemplos de funciones son:

  • La función identidad. Esta función de un conjunto $X$ en sí mismo, es el conjunto $$\{(x,y) \in X^2:x=y\}.$$ Y son las parejas de la forma $(x,x)$.
  • Si $X = \{1,2,3\}, Y=\{a,b\}$, entonces $\{(1,a),(2,a),(3,b)\}$ es una función.
  • La función que corresponde a cada persona de la tierra con su cumpleaños, es una función.
  • La función proyección. Supongamos que tenemos dos conjuntos $X,Y$, la proyección es la función entre el producto cartesiano $X \times Y$ y el conjunto $X$ que asocia cada pareja ordenada $(x,y)$ con el primer elemento de la pareja $x$. Esto quiere decir que la función «se olvida» del elemento $y$. De esta forma, $f$ toma elementos del producto $X \times Y$ y su contradominio es el conjunto $X$ que manda cada pareja ordenada a su proyección sobre la primer entrada, esto quiere decir que $f((x,y)) = x$. Así, observa que los elementos de esta función son de la forma $((x,y),x).$ Esta es una función que se utiliza en áreas como la geometría analítica, cuando se tiene el plano cartesiano y se define la proyección de un vector sobre algún eje o incluso sobre la dirección de otro vector.

Un ejemplo de una relación que no es función es la función entre $X = \{1,2,3\}$ y $Y=\{a,b\}$, donde la relación es $\{(1,a),(2,a),(1,b)\}$. Esto es por dos razones: Se utiliza más de una vez el elemento del dominio $1$, aparecen las parejas $(1,a),(1,b)$, pero no es cierto que $a=b$, además nota que no se utiliza el elemento $3$ del dominio, por lo que se rompen las dos condiciones que pedimos para que fuera función.

Más sobre funciones

Al momento de estar hablando de una función $f$ entre dos conjuntos $X$ y $Y$ , es común hacer uso de la notación $f:X \rightarrow Y$ que se lee como «$f$ es una función que va de $X$ a $Y$». Y si $x \in X$, al único elemento $y$ tal que $(x,y) \in f$, lo podremos denotar por $f(x)$ de manera que las parejas serán de la forma $(x,f(x))$.

A continuación definiremos algunos conceptos que usaremos al hablar de funciones.

Definición. Diremos que dos funciones $f: X \rightarrow Y$ y $g: W \rightarrow Z$ son iguales si las relaciones son la misma, es decir si $X=W$ y $Y=Z$ y para cada elemento $x \in X$, $f(x)=g(x)$.

Esto nos quiere decir que si dos funciones son iguales, entonces mandan a todo elemento $x$ al mismo elemento en el contradominio.

Con esto, hemos cubierto la noción de las funciones. Lo importante que recuerdes ahora es que las funciones son un tipo de relación que usan todo el contradominio y que mandan cualquier elemento del dominio a uno y solamente un elemento del contradominio. Verás que conforme avances en distintas ramas de la matemática, serán muy importante saber qué son las funciones.

Más adelante…

Hasta ahora hemos hablado únicamente de la definición de las funciones y cuándo dos funciones son iguales. En las siguiente entrada platicaremos acerca de las funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas. Que si recuerdas los términos, alguna vez definimos los dos primeros en el contexto de relaciones. Volveremos a explorar estos términos pero ahora desde el punto de vista de las funciones.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Demuestra que la relación «ser menor o igual» en los números enteros no es una función.
  2. Dado cualquier conjunto $X$ no vacío, ¿Cuál es la única función que es relación de equivalencia?
  3. Demuestra que no existe ninguna función $f:X \rightarrow \emptyset$ .
  4. Sean $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ y $g: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$. Definamos $f(x) = x ^2$ y $g(x) = (x+1)(x-1)+1$. Demuestra que $f=g$.

Entradas relacionadas

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Superior I: Tipos de relaciones en conjuntos

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

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Introducción

Hemos hablado ya de relaciones entre conjuntos, sobre imagen, dominio y composición. Ahora vamos a ver algunas relaciones especiales entre conjuntos, que son la inyectividad, la suprayectividad y relaciones de un conjunto en sí mismo.

Inyectividad de una relación

Las ideas de los dos tipos de relación que vamos a exponer son inyectividad y suprayactividad. La inyectividad es una idea que nos va a hablar de cómo podemos relacionar un elemento de la imagen de una relación con un elemento del dominio. En pocas palabras lo que nos dirá la inyectividad es: Una relación inyectiva es aquella en la que los distintos elementos del dominio van a elementos de la imagen distintos. Veamos esto con calma con un ejemplo.

Supongamos que a nosotros nos interesa recuperar los elementos del dominio con los de la imagen, es decir, quisiéramos ver para cada pareja $y$ de la imagen, de qué $x$ proviene. En el caso de que haya dos relaciones distintas $(x,y),(z,y)$ nos causaría conflicto, pues podríamos decir que $y$ «viene» de dos distintos elementos del dominio.

Una relación inyectiva es aquella en donde para cada elemento de la imagen, existe un único elemento del dominio que se relaciona con esta. Es decir, una relación inyectiva $R$ será aquella en donde para cada $y \in Im(R)$, solo existe un elemento $x \in Dom(R)$ tal que $(x,y) \in R$. Otra forma de verlo es con la siguiente definición:

Definición. Sean $X,Y$ dos conjuntos y $R$ una relación de $X$ en $Y$. Diremos que $R$ es inyectiva si $$\forall y \in Im(R) (\exists ! x \in X:(x,y) \in R)$$

Observa ahora que esto significa que si $R$ es una relación inyectiva y dos parejas $(x,y),(z,y)$ pertenecen a la relación $R$, entonces no les queda de otra que ser la misma pareja, esto implica que $x=z$.

Proposición. Sea $R$ una relación entre dos conjuntos $X$ y $Y$. Entonces son equivalentes:

  1. $R$ es una relación inyectiva.
  2. Si $(x,y) \in R$ y $(w,y) \in R$ entonces $x=w$.

Demostración.

$1) \Rightarrow 2)$. Consideremos $(x,y) \in R$ y $(w,y) \in R$. Lo que queremos demostrar es que $x=w$, para ello notemos que $R$ es inyectiva, lo que quiere decir que existe una única pareja $(x,y) \in R$. Esto quiere decir que $(x,y)=(w,y)$ y esto solo sucede si $y=y$ y $x=w$. Siendo la segunda igualdad la buscada.

$2) \Rightarrow 1)$. Ahora supongamos que si $(x’,y’) \in R$ y $(w’,y’) \in R$ entonces $x’=w’$. Y supongamos que $y$ es un elemento de la imagen de $R$. Demostremos ahora que existe un único elemento $x$ tal que $(x,y) \in R$. Para ello mostraremos que existe al menos un elemento $x$ tal que $(x,y)$ y cualquier otro elemento $w$ no cumple tal propiedad. Para demostrar lo primero, notemos que $y$ es un elemento del contradominio, lo que quiere decir que existe al menos un elemento $x \in X$ tal que $(x,y) \in R$. Y finalmente para demostrar que $x$ es único, supongamos existe un elemento $w \in X$ distinto a $x$ tal que $(w,y) \in R$. Pero por hipótesis, si pasa esto entonces $x=w$, lo cual es una contradicción pues hemos dicho que $x$ es distinto a $w$. De esta manera, $x$ sí es único.

$\square$

También es análogo pensar que si una relación $R$ es inyectiva, entonces para cada elemento de la imagen $y$, sucede que $Im^{-1}[\{y\}]$ tiene un único elemento, pues la definición nos dice que solo existe un elemento $x$ del dominio que se relaciona con $y$.

Ahora observa por ejemplo a los conjuntos de animales $X$ y el tipo de animales $Y$. Podríamos decir que en tipos de animales, tenemos aquellos que viven en la tierra (terrestres) y los que viven en el agua (acuáticos). Entonces una parte de la relación $R$ que relaciona el animal con el hábitat que tiene, se vería de la siguiente manera:

Ahora, si nos preguntamos, cuáles son los animales terrestres, deberíamos observar que al menos los animales terrestres son los perros, gatos, camellos, etc. Una relación que no es inyectiva, no nos regresa un único elemento, sino que un subconjunto del dominio de más de un elemento. Así que esta relación no es inyectiva.

Por otro lado, una relación que sí es inyectiva entre los conjuntos $X=\{a,b,c,d,e,f\}$ y $\mathbb{Z}$ es la relación $R$:

$$R=\{(a,y): y \in Z\} $$

Es inyectiva pues los elementos de esta relación se ven como: $R=\{\dots,(a,-1),(a,0),(a,1),(a,2),\dots\}$ Y si agarramos cualquier número en la imagen de la relación, solo vendrá de un elemento, el elemento $a$.

Otros ejemplos de relaciones inyectivas son:

$R = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2:x=y\}$
$R = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2:x=2y\}$
$R = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2:(0,y) \text{ si }y\text{ es par,}(1,y)\text{ en otro caso}\}$

Relaciones suprayectivas

Otro concepto que será interesante es el de la suprayactividad. Este en términos simples nos dice que una relación $R$ es suprayectiva entre dos conjuntos $X,Y$ si cada elemento de $Y$ se relaciona con algún elemento de $X$. Es así como la siguiente definición nos lo menciona:

Definción. Sean $X,Y$ dos conjuntos y $R$ una relación de $X$ en $Y$. Diremos que $R$ es suprayectiva si $Im[Y]=Y$.

Una forma alterna de verlo es como en la siguiente proposición nos lo demuestra, siendo que siempre podremos encontrar una pareja para cada elemento $y$ de $Y$:

Proposición. Una relación $R$ es suprayectiva si y solo si $\forall y\in Y(\exists x \in X:(x,y) \in Y)$

Demostración Sean $X,Y$ dos conjuntos y $R$ una relación de $X$ en $Y$

$\Rightarrow$] Por hipótesis, $R$ es suprayectiva. Para demostrar que $\forall y\in Y(\exists x \in X:(x,y) \in Y)$ consideraremos un elemento $y \in Y$ arbitrario y demostraremos que existe algún elemento $x \in X$ tal que $(x,y)$ sea un elemento de la relación.
Como hipótesis, sabemos que la imagen de $R$ es igual a $Y$, esto quiere decir que:$$Y=Im(R)=\{y \in Y: \exists x \in X \text{ tal que }(x,y)\in R\}.$$ De esta manera, $$y \in \{y \in Y: \exists x \in X \text{ tal que }(x,y)\in R\}.$$ De manera que $\exists x \in X \text{ tal que }(x,y)\in R$. Por lo tanto, $\forall y\in Y(\exists x \in X:(x,y) \in Y)$

$\Leftarrow$]. Ahora supongamos por hipótesis que para cada elemento $y \in Y$, existe un elemento $x \in X$ tal que $(x,y) \in R$. Ahora, demostremos que $R$ es suprayectiva, es decir $Im(R)=Y$. Para esto, tendremos que demostrar que $Y$ está contenido en $Im(R)$ y viceversa. Pero nota que $Im(R)$ siempre es un subconjunto de $Y$ (pues por definición, sus elementos son elementos de $Y$). Así que bastará demostrar que $Y \subset Im[R]$. Para ello, considera un elemento $y \in Y$. Por hipótesis, para aquel elemento, existirá $x \in X$ tal que $(x,y) \in R$. Pero esto significa que $y \in Im[Y]$. Así, $Y \subset Im[R]$.

$\square$

Un ejemplo de una función suprayectiva sobre los conjuntos $X = \{1,2,3\}, Y=\{0\}$ es la relación $R=\{(1,0),(3,0)\}$. Esto puesto que hay solo un elemento en el conjunto $Y$ y hay al menos una relación para cada elemento del conjunto $Y$. Esto quiere decir que «cubrimos» a todo el contradominio. Otros ejemplos de funciones suprayectivas son:
$R = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2:x=y\}$
$R = \{(x,y) \in \mathbb{Z} \times \{0,1,2,3,4\} : x =1 \land y \in \{0,1,2,3,4\}\}$
Si $R$ es una relación entre dos conjuntos, $X,Y$, la relación $R=X \times Y$ es suprayectiva.

Relaciones de un conjunto en sí mismo

Hemos estado hablando ya de un conjunto muy particular, $\mathbb{Z}^2$ que lo definimos como $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$, es decir de relaciones en el conjunto de los números enteros en sí mismo. Este tipo de relaciones, como ya lo hemos mencionado, se les acostumbra a poner un subíndice $^2$ para indicar que estamos hablando del producto cartesiano de un conjunto sobre él mismo. Por ejemplo si $X$ es un conjunto, entonces $X^2=X \times X$. Vamos a concentrarnos ahora en algunas relaciones especiales de un conjunto en sí mismo.

La primera relación que veremos será la reflexividad, y esto se da cuando un elemento está relacionado consigo mismo. Por ejemplo, en $\mathbb{Z}^2$, la relación cuyos elementos son de la forma $(x,x)$ siempre será reflexiva, pues cada elemento $x$ está relacionado consigo mismo.

La segunda relación se llama la simetría, que nos indica que para cada pareja $(x,y)$ de la relación, sucederá que igual $(y,x)$ estará en la relación. Si te das cuenta, algo que nos dice esta relación es que el orden «no importa», pues da igual cuál elemento escribamos del lado izquierdo y del lado derecho, pues su homónimo simétrico estará igual en la relación.

La tercera es un concepto similar al segundo pero en su antónimo. Diremos que una relación es antisimétrica si para cada pareja que tengamos en la relación $(x,y) \in R$, no sucederá que $(y,x) \in R$ a menos que $x=y$. Piensa por ejemplo para esto, en la relación «ser menor o igual a un número» $\leq$. Sucede que $1 \leq 2$ pero no que $2 \leq 1$.

Finalmente, la cuarta propiedad es llamada la transitividad. Esto lo que nos indica es que la composición de la relación también es parte de la relación. En otras palabras, si $(x,y),(y,z) \in R$ entonces $(x,z) \in R$. Para pensar en un ejemplo, piensa en la igualdad entre números, si $1+1=2$ y $2=4-2$, entonces $1+1=4-2$.

Anotaremos este tipo de relaciones como una definición

Definición. Sea $R$ una relación de un conjunto $X$ en sí mismo. Diremos que:

  • $R$ es reflexiva si $\forall x \in X,(x,x) \in R$
  • $R$ es simétrica si $\forall x \in X \forall y \in X\big( (x,y) \in R \Rightarrow (y,x) \in R \big)$
  • $R$ es antisimétrica si $\forall x \in X \forall y \in X\big( ((x,y) \in R \land (y,x) \in R) \Rightarrow (x=y) \big)$
  • $R$ es transitiva si $\forall x \in X \forall y \in X \forall z \in Z \big( ((x,y) \in R \land (y,z) \in R ) \Rightarrow (x,z) \in R \big)$

Más adelante…

En la siguiente entrada entraremos a los ordenes parciales, los cuales son relaciones de un conjunto sobre sí mismo que cumplen algunas de las clases especiales de relaciones que hemos revisado en esta entrada. De hecho quizá ya tengas una idea intuitiva de qué es un orden, concepto que ampliaremos más en lo que sigue.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Sean $X,Y$ dos conjuntos y $R$ una relación de $X$ en $Y$.Demuestra que son equivalentes:
    1. $R$ es inyectiva
    2. $\forall y \forall x \big(((x,y)\in R \land (z,y) \in R) \Rightarrow x=z\big)$
    3. $\forall y \in Im(R) \big( Im^{-1}[\{y\}] \text{ tiene un solo elemento}\big)$
  2. Demuestra que las siguientes relaciones son inyectivas:
    • $R = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2:x=y\}$
    • $R = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2:x=2y\}$
    • $R = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2:(0,y) \text{ si }y\text{ es par,}(1,y)\text{ en otro caso}\}$
  3. Sea la relación $R$ sobre el conjunto $X$ de los seres humanos dada por: $$R=\{(x,y) \in X^2:x \text{ tiene el mismo cumpleaños que }y\}.$$ Demuestra que $R$ es una relación reflexiva, simétrica y transitiva.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»