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Teoría de los Conjuntos I: Propiedades del producto cartesiano (parte II)

Por Gabriela Hernández Aguilar

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En esta sección vamos a ver otras de las propiedades del producto cartesiano. Estas propiedades hacen referencia al comportamiento del producto cartesiano con respecto a las operaciones que definimos antes: unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica.

Producto cartesiano y unión

Las siguientes dos proposiciones verifican que el producto cartesiano distribuye a la unión:

Proposición: Demuestra que $(A\cup B)\times C=(A\times C)\cup (B\times C)$.

Demostración:

Sea $(x,y)\in (A\cup B)\times C$
si y sólo si $x\in A\cup B$ y $y\in C$
si y sólo si $(x\in A$ o $x\in B)$ y $y\in C$
si y sólo si $(x\in A$ y $y\in C)$ o $(x\in B$ y $y\in C)$
si y sólo si $(x,y)\in A\times C$ o $(x,y)\in B\times C$
si y sólo si $(x, y)\in (A\times C)\cup (B\times C)$.

$\square$

Proposición: Demuestra que $A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$.

Demostración:

Sea $(x,y)\in A\times (B\cup C)$
si y sólo si $x\in A$ y $y\in B\cup C$
si y sólo si $x\in A$ y $(y\in B$ o $y\in C)$
si y sólo si $(x\in A$ y $y\in B)$ o $(x\in A$ y $y\in C)$
si y sólo si $(x,y)\in A\times B$ o $(x,y)\in A\times C$
si y sólo si $(x, y)\in (A\times B)\cup (A\times C)$.

$\square$

Proposición: Demuestra que para cualesquiera $A, B, C, D$ conjuntos no vacíos ocurre que $(A\times C)\cup (B\times D)\subseteq (A\cup B)\times (C\cup D)$.

Demostración:

Sean $A, B, C, D$ conjuntos no vacíos. Tomemos $(x,y)\in (A\times C)\cup (B\times D)$ arbitrario, entonces $(x,y)\in A\times C$ o $(x,y)\in B\times D$.

Si $(x, y)\in A\times C$, entonces $x\in A$ y $y\in C$. Luego, como $A\subseteq A\cup B$ y $C\subseteq C\cup D$ se sigue que $x\in A\cup B$ y $y\in C\cup D$. Así, $(x,y)\in (A\cup B)\times (C\cup D)$.

Si $(x, y)\in B\times D$, entonces $x\in B$ y $y\in D$. Luego, como $B\subseteq A\cup B$ y $D\subseteq C\cup D$ se sigue que $x\in A\cup B$ y $y\in C\cup D$. Así, $(x,y)\in (A\cup B)\times (C\cup D)$.

$\square$

Producto cartesiano e intersección

Con la siguientes dos demostraciones podremos ver que el producto cartesiano se distribuye sobre la intersección:

Proposición: Demuestra que $(A\cap B)\times C=(A\times C)\cap (B\times C)$.

Demostración:

Sea $(x,y)\in (A\cap B)\times C$
si y sólo si $x\in A\cap B$ y $y\in C$
si y sólo si $(x\in A$ y $x\in B)$ y $y\in C$
si y sólo si $(x\in A$ y $y\in C)$ y $(x\in B$ y $y\in C)$
si y sólo si $(x,y)\in A\times C$ y $(x,y)\in B\times C$
si y sólo si $(x, y)\in (A\times C)\cap (B\times C)$.

$\square$

Proposición: Demuestra que $A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)$.

Demostración:

Sea $(x,y)\in A\times (B\cap C)$
si y sólo si $x\in A$ y $y\in B\cap C$
si y sólo si $x\in A$ y $(y\in B$ y $y\in C)$
si y sólo si $(x\in A$ y $y\in B)$ y $(x\in A$ y $y\in C)$
si y sólo si $(x,y)\in A\times B$ y $(x,y)\in A\times C$
si y sólo si $(x, y)\in (A\times B)\cap (A\times C)$.

$\square$

Proposición: Demuestra que para cualesquiera $A, B, C, D$ conjuntos no vacíos ocurre que $(A\times C)\cap (B\times D)= (A\cap B)\times (C\cap D)$.

Demostración:

Sean $A, B, C, D$ conjuntos no vacíos. Tenemos que:
$(x,y)\in (A\times C)\cap (B\times D)$
si y sólo si $(x,y)\in A\times C$ y $(x,y)\in B\times D$
si y sólo si $(x\in A$ y $y\in C)$ y $(x\in B$ y $y\in D)$
si y sólo si $(x\in A$ y $x\in B)$ y $(y\in C$ y $y\in D)$
si y sólo si $x\in A\cap B$ y $y\in C\times D$
si y sólo si $(x,y)\in (A\cap B)\times (C\cap D)$.

$\square$

Producto cartesiano y diferencia

Con los siguientes resultados probamos que el producto cartesiano se distribuye sobre la diferencia:

Proposición: Sean $A, B, C$ conjuntos no vacíos. Prueba que $A\times (B\setminus C)= (A\times B)\setminus (A\times C)$.

Demostración:

$(x,y)\in A\times (B\setminus C)$
si y sólo si $x\in A$ y $y\in B\setminus C$
si y sólo si $x\in A$ y ($y\in B$ y $y\notin C$)
si y sólo si $(x\in A$ y $y\in B)$ y $(x\in A$ y $y\notin C)$
si y sólo si $(x,y)\in A\times B$ y $(x,y)\notin A\times C$
si y sólo si $(x,y)\in (A\times B)\setminus (A\times C)$.

$\square$

Proposición: Demuestra que $(A\setminus B)\times C=(A\times C)\setminus (B\times C)$.

Demostración:

Sea $(x,y)\in (A\setminus B)\times C$
si y sólo si $x\in A\setminus B$ y $y\in C$
si y sólo si $(x\in A$ y $x\notin B)$ y $y\in C$
si y sólo si $(x\in A$ y $y\in C)$ y $(x\notin B$ y $y\in C)$
si y sólo si $(x,y)\in A\times C$ y $(x,y)\notin B\times C$
si y sólo si $(x, y)\in (A\times C)\setminus (B\times C)$.

$\square$

Producto cartesiano y diferencia simetrica

La siguiente proposición demuestra que el producto cartesiano distribuye a la diferencia simétrica:

Proposición: Sean $A, B, C$ conjuntos no vacíos. Prueba que $A\times (B\triangle C)= (A\times B)\triangle (A\times C)$.

Demostración:

$(x,y)\in A\times (B\triangle C)$
si y sólo si $x\in A$ y $y\in B\triangle C$
si y sólo si $x\in A$ y $(y\in (B\setminus C)\cup (C\setminus B))$
si y sólo si $x\in A$ y $((y\in B$ y $y\notin C)$ o $(y\in C$ y $y\notin B))$
si y sólo si $(x\in A$ y $(y\in B$ y $y\notin C))$ o $(x\in A$ y $(y\in C$ y $y\notin B))$
si y sólo si $((x\in A$ y $y\in B)$ y $(x\in A$ y $y\notin C))$ o $((x\in A$ y $y\in C)$ y $(x\in A$ y $y\notin B))$
si y sólo si $((x,y)\in A\times B$ y $(x,y)\notin A\times C)$ o $((x,y)\in A\times C$ y $(x,y)\notin A\times B)$
si y sólo si $(x,y)\in (A\times B)\setminus (A\times C)$ o $(x,y)\in (A\times C)\setminus (A\times B)$.
si y sólo si $(x,y)\in (A\times B)\triangle (A\times C)$.

$\square$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te permitirán aprender otras propiedades del producto cartesiano:

  • Muestra que no siempre se da la igualdad $(A\times C)\cup (B\times D)= (A\cup B)\times (C\cup D)$.
  • Demuestra que $(A\cup B)\times (C\cup D)=(A\times C)\cup (B\times D)\cup (A\times D)\cup (B\times C)$.
  • $(X\times Y)\setminus (B\times C)=((X\setminus B)\times Y)\cup(X\times (Y\setminus C))$.
  • Demuestra que $(A\triangle B)\times C=(A\times C)\triangle (B\times C)$.

Más adelante

En la siguiente sección definiremos a una relación, para ello utilizaremos el concepto de producto cartesiano y pareja ordenada.

Enlaces

Ver lección anterior: Teoría de los Conjuntos I: Parejas ordenadas y producto cartesiano

Teoría de los Conjuntos I: Diferencia simétrica

Por Gabriela Hernández Aguilar

4 respuestas

Introducción

En esta nueva sección hablaremos acerca de una nueva operación entre conjuntos: la diferencia simétrica. Abordaremos este tema demostrando algunos resultados con ayuda del álgebra de conjuntos. Algunos otros los probaremos con el método de demostración habitual.

Conceptos previos

Definición: Sean $A$ y $B$ conjuntos arbitrarios, definimos la diferencia simétrica de $A$ con $B$, como:

$A\triangle B= (A\setminus B)\cup (B\setminus A)$.

Imagen de diferencia simétrica

Ejemplo:

Consideremos $A=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y $B=\set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}}$. Tenemos que:

\begin{align*}
A\triangle B&=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}\triangle\set{\emptyset,\set{\set{\emptyset}}}\\
&= (\set{\emptyset, \set{\emptyset}}\setminus\set{\emptyset,\set{\set{\emptyset}}})\cup (\set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}}\setminus\set{\emptyset,\set{\emptyset}}\\
&=\set{\set{\emptyset}}\cup\set{\set{\set{\emptyset}}}\\
&=\set{\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}.
\end{align*}

$\square$

Si observamos con detalle el ejemplo anterior podremos notar que el conjunto que nos resulta también es igual a $(A\cup B)\setminus (A\cap B)$. De hecho, no solo ocurre para este caso en particular, sino que ocurre para cualesquiera conjuntos. Vamos a probarlo a continuación:

Proposición: Para cualesquiera $A, B$ conjuntos, se cumple que $A\triangle B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)$.

Demostración:

\begin{align*}
A\triangle B&= (A\setminus B)\cup (B\setminus A)\\
&=(A\cap (X\setminus B))\cup (B\cap (X\setminus A))\\
&=(A\cup (B\cap(X\setminus A))\cap ((X\setminus B)\cup (B\cap(X\setminus A)))\\
&=((A\cup B)\cap(A\cup (X\setminus A)))\cap (((X\setminus B)\cup B)\cap ((X\setminus B)\cup(X\setminus A)))\\
&=((A\cup B)\cap X)\cap(X\cap (X\setminus (A\cap B))\\
&=(A\cup B)\cap (X\setminus(A\cap B))\\
&=(A\cup B)\setminus (A\cap B).
\end{align*}

$\square$

Otras equivalencias

Proposición: Sean $A, B$ y $C$ conjuntos. Prueba las siguientes igualdades de conjuntos:

  1. $A\triangle B= (A\cap B^c)\cup (B\cap A^c)$,
  2. $A\triangle B= (A\cup B)\cap (A\cap B)^c$.

Demostración:


  1. \begin{align*}
    (A\cap B^c)\cup(B\cap A^c)&=(A\cap (X\setminus B))\cup (B\cap (X\setminus A))\\
    &=((A\cap (X\setminus B))\cup B)\cap((A\cap (X\setminus B))\cup (X\setminus A))\\
    &=(A\cap (X\setminus B))\cup B)\cap((A\cup (X\setminus A))\cap ((X\setminus B)\cup (X\setminus A)))\\
    &=(A\cap (X\setminus B))\cup B)\cap(X\cap ((X\setminus B)\cup (X\setminus A)))\\
    &=(A\cap (X\setminus B))\cup B)\cap((X\setminus B)\cup (X\setminus A))\\
    &=(A\cap (X\setminus B))\cup B)\cap(X\setminus (B\cap A))\\
    &=((A\cup B)\cap ((X\setminus B)\cup B))\cap (X\setminus (B\cap A))\\
    &=((A\cup B)\cap X)\cap (X\setminus (B\cap A))\\
    &=(A\cup B)\setminus (A\cap B)\\
    &=A\triangle B.
    \end{align*}

  2. \begin{align*}
    A\triangle B&= (A\cup B)\setminus (A\cap B)\\
    &=(A\cup B)\cap (X\setminus (A\cap B))\\
    &=(A\cup B)\cap (A\cap B)^c.
    \end{align*}

$\square$

Propiedades de la diferencia simétrica

Proposición: Sean $A, B$ y $C$ conjuntos. Prueba que se satisfacen las siguientes propiedades:

  1. $A\triangle \emptyset=A$,
  2. $A\triangle A=\emptyset$,
  3. $A\triangle B= B\triangle A$.

Demostración:


  1. \begin{align*}
    A\triangle \emptyset&= (A\setminus\emptyset)\cup (\emptyset\setminus A)\\
    &=A\cup \emptyset=A.
    \end{align*}

  2. \begin{align*}
    A\triangle A&= (A\setminus A)\cup (A\setminus A)\\
    &=\emptyset\cup \emptyset\\
    &=\emptyset.
    \end{align*}

  3. \begin{align*}
    A\triangle B&= (A\setminus B)\cup (B\setminus A)\\
    &=(B\setminus A)\cup (A\setminus B)\\
    &=B\triangle A.
    \end{align*}

$\square$

Proposición: $A\triangle B=\emptyset$ si y sólo si $A=B$.

Demostración:

Supongamos primero que $A=B$, entonces $A\triangle B= (A\setminus B)\cup (B\setminus A)= (A\setminus A)\cup (A\setminus A)=\emptyset\cup \emptyset=\emptyset$.

Por otro lado, si $A\triangle B=\emptyset$, tenemos que $(A\setminus B)\cup (B\setminus A)= \emptyset$. Esto implica que $A\setminus B=\emptyset=B\setminus A$ pues de otra forma la unión de estos conjuntos no resultaría ser el conjunto vacío.
Por un lado, $A\setminus B=\emptyset$ implica que $A\subseteq B$ y $B\setminus A=\emptyset$ infiere que $B\subseteq A$. Por lo tanto, $A=B$.

$\square$

Tarea moral

Para $A$, $B$ y $C$ conjuntos. Demuestra que se satisfacen las siguientes propiedades:

  1. $A\cap (B\triangle C)=(A\cap B)\triangle (A\cap C)$,
  2. Si $A\triangle B= A\triangle C$, entonces $B=C$,
  3. $A\triangle (B\triangle C)=(A\triangle B)\triangle C$,

Más adelante

En la siguiente sección introduciremos nuevos conceptos, definiremos que es un par ordenado y a partir de el definiremos al producto cartesiano.

Enlaces

En en siguiente enlace podrás consultar la sección Teoría de los Conjuntos I: Álgebra de conjuntos de la que podrás apoyarte para seguir los pasos de las demostraciones que hicimos en esta sección.

Aquí podrás consultar más contenido acerca de nuestra próxima entrada: Álgebra Superior I: Parejas ordenadas y producto cartesiano de conjuntos.