Teoría de los Conjuntos I: Relaciones

Por Gabriela Hernández Aguilar

Introducción

En esta nueva entrada veremos el concepto de relación, para lo cual es necesario tener fresco el concepto de producto cartesiano. Así mismo, definiremos nuevos conjuntos a partir de una relación, como lo son el dominio, la imagen de una relación, la imagen de un conjunto bajo una relación y el concepto de relación inversa. Concluiremos esta entrada definiendo a la imagen inversa de un conjunto bajo una relación.

Relación

Definición. Sean $A$ y $B$ conjuntos. Una relación $R$ de $A$ en $B$ es un subconjunto de $A\times B$. A $A$ le llamamos el dominio de la relación y a $B$ el codominio.

Si $A=B$ diremos que $R$ es una relación en $A$.

Ejemplo 1.

Sea $A=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$ y $B=\set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}}$ y definimos $R$ como:

$R=\set{(\emptyset, \emptyset), (\emptyset, \set{\set{\emptyset}})}$.

Dado que $A\times B=\set{(\emptyset,\emptyset), (\emptyset, \set{\set{\emptyset}}), (\set{\emptyset}, \emptyset), (\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}})}$ y $R\subseteq A\times B$ decimos que $R$ es una relación de $A$ en $B$.

$\square$

Ejemplo 2.

Sea $A=\set{1,2}$ y $B=\set{1,2,3}$. Definimos $S=\set{(1,1), (1,2), (1,3)}$. Tenemos que $S$ es una relación de $A$ en $B$. En efecto, esto sucede pues $S=\set{(1,1), (1,2), (1,3)}\subseteq A\times B$, ya que $A\times B=\set{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)}$.

Podemos representar a $S$ mediante el siguiente diagrama. Del lado izquierdo hemos puesto al dominio $A$. Del lado derecho al codominio $B$. Para cada pareja $(a,b)$ de la relación, hemos puesto una flecha de $a$ a $b$.

Imagen de relación del ejemplo 2

$\square$

Definición. Si $(x,y)\in R$ con $R$ relación, decimos que $x$ está relacionado con $y$ mediante $R$ (o simplemente que $x$ está relacionado con $y$ si por el contexto es claro quién es $y$) y lo denotaremos como $xRy$.

Si retomamos el Ejemplo 1 podemos decir que $\emptyset R\emptyset$ y $\emptyset R\set{\set{\emptyset}}$.

A partir del Ejemplo 2 podemos decir que $1S1$, $1S2$ y $1S3$.

Relaciones relevantes

A continuación hablaremos de algunos ejemplos de relaciones que nos serán de utilidad más adelante.

  1. Relación vacía.
    Si $R=\emptyset$, entonces $R$ será llamada la relación vacía. Esto tiene sentido pues $\emptyset\subseteq A\times B$ para cualesquiera $A$ y $B$ conjuntos.
  2. Relación identidad.
    Sea $A$ un conjunto cualquiera. Definimos la relación identidad en $A$ como:
    $$Id_{A}=\set{(a,a):a\in A}.$$
    Notamos que $Id_{A}\subseteq A\times A$ pues para cualquier $(x,y)\in Id_{A}$ se tiene que $x=y$ con $x,y\in A$, lo que significa que $(x,y)\in A\times A$.
  3. Relación de pertenencia.
    Sea $A$ un conjunto. Definimos a la relación de pertenencia en $A$ como el siguiente conjunto:
    $$\in_{A}=\set{(a,b): a\in A,\ b\in A,\ a\in b}.$$
  4. Relación de contención.
    Sea $A$ un conjunto. Definimos a la relación de contención en $A$ como el siguiente conjunto:
    $$\subseteq_{A}=\set{(a,b): a\in A,\ b\in A,\ a\subseteq b}.$$

Dominio de una relación

Ya que hemos definido el concepto de relación, a continuación definiremos al dominio de una relación.

Definición. Sea $R$ una relación de $A$ en $B$. Definimos el dominio de la relación como:

$\text{dom}(R)=\set{x\in A:\exists y\in B( (x,y)\in R)}$.

Ejemplo.

Sean $A=B=\set{1,2}$. Definimos $R=\set{(1,2), (1,1), (2,2)}\subseteq A\times B$. Tenemos que $\text{dom}(R)=\set{1,2}$ pues para $1\in A$ existe, digamos, $1\in B$ tal que $(1,1)\in R$ y para $2\in A$ existe $2\in B$ tal que $(2,2)\in R$.

$\square$

Imagen de una relación

A continuación vamos a definir lo análogo al dominio activo, pero para el codominio. Le daremos un nombre al subconjunto de elementos del codominio que sí participan en la relación.

Definición. Sea $R$ una relación de $A$ en $B$. Definimos la imagen de $R$ como el conjunto

$\text{im}(R)=\set{y\in B:\exists x\in A( (x,y)\in R)}$.

Ejemplo.

Sean $A=B=\set{1,2}$. Definimos $R=\set{(1,2), (2,2)}\subseteq A\times B$.

Tenemos que $\text{im}(R)=\set{2}$ pues para $2\in B$ existe, digamos $2\in A$ tal que $(2,2)\in R$. Sin embargo, $1\not \in \text{im}(R)$ pues $R$ no tiene ninguna pareja de la forma $(x,1)$ con $x\in A$.

$\square$

Imagen de un conjunto bajo una relación

A veces queremos preguntarnos por los elementos del codominio que participan en la relación, pero sólamente con ciertos elementos del dominio. La siguiente definición establece esto.

Definición. Sea $R$ una relación de $A$ en $B$. Sea $C\subseteq A$. Definimos a la imagen de $C$ bajo $R$ como el el conjunto

$R[C]=\set{y\in B: \exists x\in C (xRy)}$.

Ejemplo.

Sean $A=\set{1,2}$ y $B=\set{1,2,3,4}$ conjuntos. Sea $R=\set{(1,1), (1,3), (2,1), (2,2), (2,4)}$, la cual es una relación de $A$ en $B$. Tomemos $C=\set{1}\subseteq A$. Tenemos que

$R[C]=\set{y\in \{1,2,3,4\}:\exists x\in\{1\}(xRy)}= \set{1,3}$.

$\square$

Relación inversa

Para cerrar esta entrada, introduciremos un concepto más: el de relación inversa.

Definición. Sean $A$ y $B$ conjuntos. Sea $R$ una relación de $A$ en $B$. Definimos la relación inversa de $R$ como la relación $R^{-1}$ de $B$ en $A$ definida como sigue:

$R^{-1}=\set{(b,a): (a,b)\in R}$.

Notemos que la relación inversa intercambia el orden de las entradas de las parejas ordenadas que son elementos de la relación $R$.

Ejemplo.

Sea $A=\set{\emptyset}$ y $B=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y definimos $R$ como:

$R=\set{(\emptyset, \emptyset), (\emptyset,\set{\emptyset})}.$

Tenemos que

$R^{-1}=\set{(\emptyset, \emptyset), (\set{\emptyset}, \emptyset)}.$

En efecto, como $(\emptyset, \emptyset)\in R$ tendremos que $(\emptyset, \emptyset)\in R^{-1}$ y como $(\set{\emptyset}, \emptyset)\in R$ tendremos que $(\emptyset, \set{\emptyset})\in R^{-1}$.

$\square$

Proposición. Sea $R$ una relación. Se cumple que $(R^{-1})^{-1}=R$.

Demostración.

Tenemos que

\begin{align*}
(R^{-1})^{-1}&=\set{(x,y): (y,x)\in R^{-1}}\\
&= \set{(x,y): (x,y)\in R}\\
&= R.
\end{align*}

$\square$

Imagen inversa de un conjunto bajo una relación

Definición. Sea $R$ una relación de $A$ en $B$. Sea $C\subseteq B$. Definimos a la imagen inversa de $C$ bajo $R$ como el el conjunto

$R^{-1}[C]=\set{x\in A: \exists y\in C (xRy)}$.

Ejemplo.

Sean $A=\set{1,2}$ y $B=\set{1,2,3,4}$ conjuntos. Si $R=\set{(1,1), (1,3), (2,1), (2,2), (2,4)}$ es una relación de $A$ en $B$, entonces $R^{-1}=\{(1,1), (1,2), (2,2), (3,1), (4,2)\}$. Tomemos $C=\set{1}\subseteq B$. Tenemos que

$R^{-1}[C]=\set{x\in \{1,2\}:\exists y\in\{1\}(xRy)}= \set{1,2}$.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitira reforzar los conceptos de relación, dominio activo e imagen.

  1. Si $R$ es la relación vacía, encuentra el dominio activo y la imagen de $R$.
  2. Para $R$ es la relación identidad de $A$, encuentra el dominio y la imagen de $R$.
  3. Sea $R=\set{(1,2), (3,4)}$ una relación de $A=\set{1,2,3}$ en $B=\set{1,2,3,4}$. Encuentra el dominio y la imagen de $R$. Además, escribe al conjunto $R^{-1}$.
  4. Si $R$ es la relación identidad de $A$, describe quién es $R^{-1}$.

Más adelante…

En la siguiente entrada continuaremos con el tema de relaciones. Esta vez trataremos el tema de composición de relaciones. Definiremos a la composición de relaciones como una relación que se construye a partir de al menos dos relaciones cuyos dominios y codominios tienen ciertas propiedades en común.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

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