Teoría de los Conjuntos I: Relaciones

Introducción

En esta nueva entrada vamos a ver el concepto de relación, para definirla es necesario tener fresco el concepto de producto cartesiano. Así mismo, definiremos nuevos conjuntos a partir de una relación, como lo son el dominio, la imagen de una relación, la imagen de un conjunto bajo una relación. Concluiremos esta sección definiendo a la relación inversa.

Relación

Definición: Sean $A$ y $B$ conjuntos, definimos $r$ una relación de $A$ en $B$ si y sólo si $r\subseteq A\times B$.

Si $A=B$ diremos que $r\subseteq A\times A$ es una relación en $A$.

Ejemplo 1:

Sea $A=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$ y $B=\set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}}$ y definimos $r$ como:

$r=\set{(\emptyset, \emptyset), (\emptyset, \set{\set{\emptyset}})}$.

Dado que $A\times B=\set{(\emptyset,\emptyset), (\emptyset, \set{\set{\emptyset}}), (\set{\emptyset}, \emptyset), (\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}})}$ y $r\subseteq A\times B$ decimos que $r$ es una relación de $A\times B$.

$\square$

Ejemplo 2:

Sea $A=\set{1,2}$ y $B=\set{1,2,3}$. Definimos $R=\set{(1,1), (1,2), (1,3)}$ y decimos que $R$ es una relación.

En efecto, pues $R=\set{(1,1), (1,2), (1,3)}\subseteq A\times B$, donde $A\times B=\set{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)}$.

Si representamos a $R$, podemos verlo como sigue:

Imagen de relación del ejemplo 2

$\square$

Definición: Si $(x,y)\in r$ con $r$ relación, decimos que $x$ está relacionado con $y$ y lo denotaremos como $xRy$.

Si retomamos el ejemplo 1 podemos decir que $\emptyset r\emptyset$ y $\emptyset r\set{\set{\emptyset}}$.

A partir del ejemplo 2 podemos decir que $1R1$, $1R2$ y $1R3$.

Relaciones relevantes

A continuación hablaremos de algunas relaciones que se pueden definir. Dichas relaciones serán de gran utilidad más adelante, por lo que incluso tienen nombre.

  1. Relación vacía
    Si $r=\emptyset$, entonces $r$ será llamada relación vacía. Esto tiene sentido pues $\emptyset\subseteq A\times B$ para cualesquiera $A$ y $B$ conjuntos, debido a que el conjunto vacío está contenido en cualquier conjunto y $A\times B$ es un conjunto.
  2. Relación identidad
    Sea $A$ un conjunto cualquiera, definimos la relación identidad en $A$ como:
    $Id_{A}=\set{(a,a):a\in A}$.
    Notamos que $Id_{A}\subseteq A$ pues para cualquier $(x,y)\in Id_{A}$ se tiene que $x=y$ tal que $x,y\in A$, lo que significa que $(x,y)\in A\times A$.
  3. Relación inclusión
    Sea $X$ un conjunto cualquiera, definimos a la relación inclusión en $\mathcal{P}(X)$ como el siguiente conjunto:
    $\set{(A, B): A,B\in \mathcal{P}(X)\ y\ A\subseteq B}$.
  4. Relación de pertenencia
    Sea $A$ un conjunto, definimos a la relación de pertenencia en $A$ como el siguiente conjunto:
    $\in_{A}=\set{(a,b): a\in A,\ b\in A,\ a\in b}$.

Dominio de una relación

Ya que hemos definido el concepto de relación, a continuación definiremos al dominio de una relación:

Definición: Sea $r$ una relación de $A$ en $B$, definimos el dominio de la relación como:

$dom(r)=\set{x\in A:\exists y\in B\ tal\ que\ (x,y)\in r}$.

Ejemplo:

Sean $A=B=\set{1,2}$, definimos $R=\set{(1,2), (1,1), (2,2)}\subseteq A\times B$. Tenemos que:

$dom(R)=\set{1,2}$

pues para $1\in A$ existe $1,2\in B$ tales que $(1,1),(1,2)\in R$ y para $2\in A$ existe $2\in B$ tal que $(2,2)\in R$.

$\square$

Imagen de una relación

A continuación vamos a definir la imagen de una relación:

Definición: Sea $r$ una relación de $A$ en $B$, definimos la imagen de la relación $r$ como:

$im(r)=\set{y\in B:\exists x\in B\ tal\ que\ (x,y)\in r}$.

Ejemplo:

Sean $A=B=\set{1,2}$, definimos $R=\set{(1,2), (1,1), (2,2)}\subseteq A\times B$. Tenemos que:

$im(R)=\set{1,2}$

pues para $1\in B$ existe $1\in A$ tal que $(1,1)\in R$ y para $2\in B$ existe $1,2\in A$ tal que $(1,2), (2,2)\in R$.

$\square$

Imagen de un conjunto bajo una relación

Definición: Sea $R$ una relación de $A$ en $B$. Sea $C\subseteq A$, definimos a la imagen de $C$ bajo $R$ como el siguiente conjunto:

$R(C)=\set{y\in B: \exists x\in C (xRy)}$.

Ejemplo:

Sean $A=\set{1,2}$ y $B=\set{1,2,3,4}$ conjuntos. Sea $r=\set{(1,1), (1,3), (2,1), (2,2), (2,4)}$ una relación de $A$ en $B$ y sea $C=\set{1}\subseteq A$, tenemos que

$R(C)=\set{y\in {1,2,3,4}:\exists x\in{1}(xRy)}= \set{1,3}$.

$\square$

Relación inversa

Definición: Sean $A$ y $B$ conjuntos. Sea $r$ una relación de $A$ en $B$, definimos la relación inversa de $r$ de $B$ en $A$ como:

$r^{-1}=\set{(b,a): (a,b)\in r}$.

Notemos que la relación inversa intercambia el orden de las entradas de las parejas ordenadas que son elementos de la relación $r$.

Ejemplo:

Sea $A=\set{\emptyset}$ y $B=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y definimos $r$ como:

$r=\set{(\emptyset, \emptyset), (\emptyset,\set{\emptyset})}$

tenemos que

$r^{-1}=\set{(\emptyset, \emptyset), (\set{\emptyset}, \emptyset)}$.

En efecto, pues como $(\emptyset, \emptyset)\in r$ tendremos que $(\emptyset, emptyset)\in r^{-1}$ y como $(\set{\emptyset}, \emptyset)\in r$ tendremos que $(\emptyset, \set{\emptyset})\in r^{-1}$.

$\square$

Proposición: Sea $R$ una relación, demuestra que $(R^{-1})^{-1}=R$.

Demostración:

Sea $R$ una relación, tenemos que

\begin{align*}
(R^{-1})^{-1}&=\set{(x,y): (y,x)\in R^{-1}}\\
&= \set{(x,y): (x,y)\in R}\\
&= R.
\end{align*}

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitira reforzar los conceptos de relación, dominio e imagen.

  1. Si $r$ es la relación vacía, encuentra el dominio y la imagen de $r$.
  2. Si $R$ es la relación identidad de $A$, encuentra el dominio y la imagen de $R$.
  3. Sea $R=\set{(1,2), (3,4)}$ relación de $A=\set{1,2,3}$ en $B=\set{1,2,3,4}$. Encuentra el dominio y la imagen de $R$. Además escribe al conjunto $R^{-1}$.
  4. Si $R$ es la relación identidad de $A$, describe a $R^{-1}$.

Más adelante

En la siguiente sección continuaremos con el tema de relaciones, trataremos la composición de relaciones.

Enlaces

En los siguientes enlaces podrás encontrar contenido relacionado a relaciones:

Álgebra Superior I: Relaciones en conjuntos: dominio, codominio y composición

Álgebra Superior I: Tipos de relaciones en conjuntos

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