Teoría de los Conjuntos I: Parejas ordenadas y producto cartesiano

Introducción

En esta nueva entrada definiremos a un par ordenado y probaremos cuando dos parejas ordenadas son iguales. Así mismo definiremos al producto cartesiano y daremos algunos ejemplos sobre este concepto.

Par ordenado

Anteriormente vimos el concepto de par no ordenado, el cual se refiere al conjunto cuyos elementos son solo dos conjuntos. Sin embargo, el orden de los elementos no es importante, esto es, si $a,b$ son conjuntos, el par no ordenado $\set{a,b}$ resulta ser igual al par no ordenado $\set{b,a}$.

A continuación definiremos a un par ordenado:

Definición: Sean $a$ y $b$ conjuntos. Definimos al par ordenado $(a, b)$ como el conjunto:

$(a,b)=\set{\set{a}, \set{a,b}}$.

Esta definición fue dada por Kazimierz Kuratowski dando así orden a las parejas, además a partir de su definición es posible demostrar el siguiente teorema:

Teorema: Sean $a, b, c, d$ conjuntos, entonces $(a,b)=(c, d)$ si y sólo si $a=c$ y $b=d$.

Demostración:

$\leftarrow$] Supongamos que $a=c$ y $b=d$. Resulta que $(a,b)=\set{\set{a},\set{a,b}}=\set{\set{c}, \set{c,d}}=(c,d)$.

$\rightarrow$] Supongamos que $(a,b)=(c,d)$. Veamos que $a=c$ y $b=d$.

Caso 1: $a=b$

Si $a=b$, entonces $(a,b)=\set{\set{a}, \set{a,b}}=\set{\set{a},\set{a,a}}=\set{\set{a},\set{a}}=\set{\set{a}}$. Dado que $(a,b)=(c,d)=\set{\set{c},\set{c,d}}$ tenemos que $\set{a}=\set{c}$ y $\set{a}=\set{c,d}$, por lo que $a=c=d$. Por lo tanto, $a=c$ y $b=d$.

Caso 2: $a\not=b$

Como $\set{a}\in \set{\set{a},\set{a,b}}=\set{\set{c},\set{c,d}}$, entonces $\set{a}\in \set{\set{c}, \set{c,d}}$. Así, $\set{a}=\set{c}$ o $\set{a}=\set{c,d}$.

El caso en el que $\set{a}=\set{c, d}$ no puede ocurrir, de ser así $c=d=a$, de donde $(c, d)=\set{\set{c}, \set{c,d}}=\set{\set{c}}$. Además, como $(a,b)=\set{\set{a}, \set{a,b}}$ y $a\not=b$, se tiene que $(a,b)$ tiene dos elementos y $(c, d)$ tiene un elemento, por lo que no es posible que $(a,b)=(c,d)$. Así, este caso no puede ocurrir. Por lo tanto, $\set{a}=\set{c}$ y así a=c.

Por otro lado, como $\set{a,b}\in \set{\set{a},\set{a,b}}=\set{\set{c}, \set{c,d}}$ entonces $\set{a,b}=\set{c}$ o $\set{a,b}=\set{c,d}$.

No puede ocurrir que $\set{a,b}=\set{c}$, pues de ser así $a=b=c$, lo que contradice el hecho de que $a\not =b$. Así, debe ocurrir que $\set{a,b}=\set{c,d}$. Como $a=c$, entonces $b=d$.

Lo que concluye la prueba.

$\square$

Otras definiciones

Aunque la definición que dio Kuratowski es la más conocida y la que usaremos en nuestro curso, no es la única definición de par ordenado que existe. La siguiente definición fue dada por Hausdorrf en 1914:

Definición: Sean $a,b$ conjuntos tales que $a\not=\emptyset,\set{\emptyset}$ y $b\not=\emptyset,\set{\emptyset}$

$(a,b)_{H}=\set{\set{a,\emptyset}, \set{b,\set{\emptyset}}}$.

Ejemplo:

El siguiente ejemplo muestra como el orden si importa:

$(c,d)_{H}=\set{\set{c,\emptyset}, \set{d,\set{\emptyset}}}$

$(d,c)_{H}=\set{\set{d,\emptyset}, \set{c, \set{\emptyset}}}$

Se puede observar que los conjuntos $(c,d)_{H}\not=(d,c)_{H}$.

$\square$

Teorema: Demuestra que $(a,b)_{H}=(c,d)_{H}$ si y sólo si $a=c$ y $b=d$.

Demostración:

Supongamos que $(a,b)_{H}=(c,d)_{H}$, esto es $\set{\set{a,\emptyset}, \set{b,\set{\emptyset}}}= \set{\set{c,\emptyset}, \set{d,\set{\emptyset}}}$. Luego, $\set{a,\emptyset}\in \set{\set{c,\emptyset}, \set{d,\set{\emptyset}}}$, por lo que $\set{a,\emptyset}= \set{c,\emptyset}$ o $\set{a,\emptyset}=\set{d,\set{\emptyset}}$.

Tenemos que $\set{a,\emptyset}=\set{d,\set{\emptyset}}$ no puede ocurrir, pues como $\emptyset\not=\set{\emptyset}$ debe ocurrir que $a=\set{\emptyset}$ y $d=\emptyset$. Sin embargo, por definición de $(a,b)_{H}$ y $(c,d)_{H}$, son tales que $a,b,c,d\not=\emptyset, \set{\emptyset}$. Por lo tanto, $\set{a,\emptyset}= \set{c,\emptyset}$ y así, $a=c$.

Luego, $\set{b, \set{\emptyset}}\in \set{\set{a,\emptyset}, \set{b,\set{\emptyset}}}$, por lo que $\set{b,\set{\emptyset}}= \set{c,\emptyset}$ o $\set{b,\set{\emptyset}}=\set{d,\set{\emptyset}}$. En este caso, $\set{b,\set{\emptyset}}=\set{c,\emptyset}$ no puede ocurrir pues de ser así, $b=\emptyset$ y $c=\set{\emptyset}$. Por lo tanto, $\set{b,\set{\emptyset}}=\set{d,\set{\emptyset}}$, de donde $b=d$.

Por lo tanto, si $(a,b)_{H}=(c,d)_{H}$ entonces $a=c$ y $b=d$.

Por otro lado, si $a=c$ y $b=d$ se cumple que $(a,b)_{H}=\set{\set{a,\emptyset}, \set{b,\set{\emptyset}}}= \set{\set{c,\emptyset}, \set{d,\set{\emptyset}}} =(c,d)_{H}$.

$\square$

Por otro lado, Wiener dio la siguiente definición:

Definición:

$(a,b)_{W}=\set{\set{\set{a},\emptyset},\set{\set{b}}}$.

Ejemplo:

En el siguiente ejemplo mostraremos que el orden de las parejas según la definición de Wiener importa:

$(c,d)_{W}=\set{\set{\set{c}, \emptyset}, \set{\set{d}}}$

y $(d,c)_{W}=\set{\set{\set{d}, \emptyset}, \set{\set{c}}}$.

$\square$

Producto cartesiano

Definición: Sean $A$ y $B$ conjuntos arbitrarios. Definimos al producto cartesiano de $A$ y $B$, como el conjunto:

$A\times B= \set{(x,y):x\in A\ y\ y\in B}$.

Proposición: Si $A$, $B$ son conjuntos, entonces $A\times B$ es un conjunto.

Demostración:

Sean $A$ y $B$ conjuntos, se sigue por axioma de unión que $A\cup B$ es conjunto y por axioma del conjunto potencia tenemos que $\mathcal{P}(A\cup B)$ es conjunto. Y de nuevo, por axioma del conjunto potencia tenemos que $\mathcal{P}(\mathcal{P}(A\cup B))$ es conjunto.

Sean $a\in A$ y $b\in B$ arbitrarios. Veamos que $(a,b)\subseteq \mathcal{P}(\set{a,b})$ y $\mathcal{P}(\set{a,b})\subseteq \mathcal{P}(A\cup B)$.

En efecto, $(a,b)=\set{\set{a},\set{a,b}}$ y $\mathcal{P}(\set{a,b})=\set{\emptyset, \set{a},\set{b},\set{a,b}}$, por lo que se verifica que $(a,b)\subseteq \mathcal{P}(\set{a,b})$.

Ahora, tomemos $x\in \mathcal{P}(\set{a,b}$ y veamos que $x\in \mathcal{P}(A\cup B)$, o bien, $x\subseteq A\cup B$.

Como tomamos $x\in \mathcal{P}(\set{a,b}$ tenemos que $x=\emptyset$ o $x=\set{a}$ o $x=\set{b}$ o $x=\set{a,b}$.

Si $x=\emptyset$, entonces $x\subseteq A\cup B$.
Si $x=\set{a}$, entonces $x\subseteq A\cup B$ pues $a\in x$ y $a\in A$, por lo que $a\in A\cup B$.
Si $x=\set{b}$, entonces $x\subseteq A\cup B$ pues $b\in x$ y $b\in B$, por lo que $b\in A\cup B$.
Si $x=\set{a,b}$, entonces $x\subseteq A\cup B$ pues $a,b\in x$ y $a,b\in A\cup B$.

Por lo tanto, $\mathcal{P}(\set{a,b})\subseteq \mathcal{P}(A\cup B)$.

Así, $(a,b)\subseteq \mathcal{P}(A\cup B)$, o bien $(a, b)\in \mathcal{P}(\mathcal{P}(A\cup B))$.

Luego, $A\times B=\set{(a,b)\in \mathcal{P}(\mathcal{P}(A\cup B)): a\in A\ y\ b\in B}$ y por axioma de comprensión podemos concluir que $A\times B$ es conjunto.

$\square$

Ejemplo:

Sean $A=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y $B=\set{\set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}}$ conjuntos. Tenemos que:

\begin{align*}
A\times B&=\set{ \emptyset, \set{\emptyset}}\times \set{\set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}}\\
&=\set{(\emptyset,\set{\emptyset}), (\emptyset, \set{\set{\emptyset}}),(\set{\emptyset}, \set{\emptyset}), (\set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}) }
\end{align*}

$\square$

Tarea Moral

  1. Demuestra que $(a,b)_{H}$ es conjunto.
  2. Demuestra que $(a,b)_{W}$ es conjunto.
  3. Demuestra que $(a,b)_{W}=(c,d)_{W}$ si y sólo si $a=c$ y $b=d$.
  4. Calcula el producto cartesiano de $A\times B$, $B\times A$ y $A\times C$ si $A=\set{\emptyset}$, $B=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y $C=\emptyset$.

Más adelante

En la siguiente sección demostraremos algunas de las propiedades de producto cartesiano. Veremos si para el caso de esta nueva operación para conjuntos se da la conmutatividad, la asociatividad y algunas de las propiedades que tratamos para la unión, la intersección, etcétera.

Enlaces

En los siguientes enlaces podrás encontrar más contenido acerca del producto cartesiano:

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