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Teoría de los Conjuntos I: Isomorfismos

Introducción

En esta entrada hablaremos acerca de funciones biyectivas entre conjuntos ordenados, algunas con propiedades particulares a las que llamaremos isomorfismos.

Concepto

Definición: Sean $(A, \leq_A)$ y $(B, \leq_B)$ conjuntos parcialmente ordenados. Decimos que $A$ es isomorfo a $B$ si existe $f:A\to B$ una función biyectiva tal que $f$ preserva el orden, es decir,

$a_1\leq_A a_2$ si y sólo si $f(a_1)\leq_B f(a_2)$.

Ejemplo:

Sea $(A, \leq_A)$ un orden parcial. Resulta que $A$ es isomorfo a sí mismo, pues la función identidad $id_A:A\to A$ es una función biyectiva que preserva el orden en $A$. Efectivamente, la función $id_A$ es claramente biyectiva de $A$ en $A$ y, además, $a_1\leq_Aa_2$ si y sólo si $id_A(a_1)\leq_Aid_A(a_2)$.

$\square$

Teorema: Sean $(A, \leq_A)$ y $(B, \leq_B)$ conjuntos parcialmente ordenados y sea $f:A\to B$ un isomorfismo de $A$ en $B$. Entonces, $f^{-1}$ es un isomorfismo de $B$ en $A$.

Demostración:

Sean $(A, \leq_A)$ y $(B, \leq_B)$ conjuntos parcialmente ordenados y supongamos que $f:A\to B$ es un isomorfismo de $A$ en $B$, es decir, $f:A\to B$ es una función biyectiva y preserva el orden.

Dado que $f$ es una función biyectiva, entonces es invertible y más aún, $f^{-1}:B\to A$ es biyectiva. Resta ver que $f^{-1}$ preserva el orden, es decir,

$b_1\leq_B b_2$ si y sólo si $f^{-1}(b_1)\leq_A f^{-1}(b_2)$.

$\rightarrow$] Sean $b_1, b_2\in B$ tales que $b_1\leq_B b_2$. Entonces $(f\circ f^{-1})(b_1)\leq_B (f\circ f^{-1})(b_2)$, es decir, $f(f^{-1}(b_1))\leq_B f(f^{-1}(b_2))$ y dado que $f$ es isomorfismo, se tiene que $f^{-1}(b_1)\leq_A f^{-1}(b_2)$.

$\leftarrow$] Sean $b_1, b_2\in B$ tales que $f^{-1}(b_1)\leq_A f^{-1}(b_2)$. Entonces, $f (f^{-1}(b_1))\leq_B f( f^{-1}(b_2))$ y así $b_1\leq_B b_2$.

Por lo tanto, $f^{-1}$ es un isomorfismo de $B$ en $A$.

$\square$

Teorema: Sean $(A, \leq_A), (B, \leq_B)$ y $(C, \leq_C)$ conjuntos parcialmente ordenados y $f:A\to B$ y $g:B\to C$ isomorfismos de orden. Entonces, $g\circ f:A\to C$ es un isomorfismo de $A$ en $C$.

Demostración:

Sean $(A, \leq_A), (B, \leq_B)$ y $(C, \leq_C)$ conjuntos parcialmente ordenados y supongamos que $f$ es un isomorfismo de $A$ en $B$ y $g$ un isomorfismo de $B$ en $C$, es decir, $f:A\to B$ es una función biyectiva y preserva el orden y $g:B\to C$ es una función biyectiva y preserva el orden.

Dado que $f$ y $g$ son funciones biyectivas, entonces $g\circ f: A\to C$ es una función biyectiva. Resta ver que $g\circ f$ preserva el orden, es decir,

$a_1\leq_A a_2$ si y sólo si $g\circ f(a_1)\leq_C g\circ f(a_2)$.

$\rightarrow$] Sean $a_1, a_2\in A$ tales que $a_1\leq_A a_2$, entonces $f(a_1)\leq_B f(a_2)$. Luego, $f(a_1), f(a_2)\in B$ y como $f(a_1)\leq_B f(a_2)$ se sigue que $g(f(a_1))\leq_C g(f(a_2))$.

$\leftarrow$] Sean $a_1, a_2\in A$ tales que $g\circ f(a_1)\leq_C g\circ f(a_2)$, lo que es equivalente a $g(f(a_1))\leq_C g(f(a_2))$. Luego, como $g$ es un isomorfismo preserva el orden y, por ende, $f(a_1)\leq_Bf(a_2)$. Finalmente, como $f$ es isomorfismo preserva el orden y, en consecuencia, $a_1\leq_A a_2$.

Por lo tanto, $g\circ f$ es un isomorfismo de $A$ en $C$.

$\square$

Tarea moral

En la siguiente lista podrás fortalecer el contenido visto en esta sección:

  • Da un ejemplo de dos conjuntos ordenados $A$ y $B$, tales que existe $f:A\to B$ función biyectiva tal que si $a\leq_A b$, entonces $f(a)\leq_B f(b)$, pero que $f^{-1}$ no preserva el orden, es decir, existen $c,d\in B$ tal que $c\leq_B d$ pero $f^{-1}(c)\leq_A f^{-1}(d)$.

Más adelante

En la siguiente sección comenzaremos a construir al conjunto que conocemos como los naturales. Para ello será de gran importancia el contenido acerca de conjuntos ordenados que hemos visto hasta este momento.

Enlaces

Teoría de los Conjuntos I: Principio de inducción

Introducción

En esta entrada hablaremos acerca del principio de inducción, este principio nos permitirá demostrar propiedades que cumple los números naturales. Será de gran importancia pues emplearemos este teorema como método de demostración en el conjunto de los naturales.

Principio de inducción

Teorema: Sea $P(x)$ una propiedad. Supongamos que:

  1. $P(0)$,
  2. Para cualquier $n\in \mathbb{N}$, si $P(n)$ se satisface, entonces $P(s(n))$ se cumple.

Entonces, $\set{n\in \mathbb{N}:P(n)}=\mathbb{N}$.

Demostración:

Sea $P(x)$ una propiedad. Supongamos que se satisfacen 1) y 2), entonces

$A=\set{n\in \mathbb{N}: P(n)}$

es un conjunto inductivo.

En la entrada anterior probamos que cualquier conjunto inductivo contiene a los naturales. Así, $\mathbb{N}\subseteq A$.

Además, $A\subseteq \mathbb{N}$ pues para cualquier $n\in A$, $n\in \mathbb{N}$ y por lo tanto, $A=\mathbb{N}$.

$\square$

Para entender este teorema podemos imaginar que apilamos una cantidad infinita de fichas de dominó de tal manera que al caer una vayan cayendo todas como se muestra en la imagen.

De este modo, podemos interpretar al teorema como sigue: $P(x): x\ \text{cae}$ donde $x$ es una ficha de dominó. Luego, estamos suponiendo que se cae la primer ficha de dominó y que si se cae la ficha $n$, entonces se cae la siguiente ficha.

Por lo que si asociamos a las fichas con los números naturales, podemos decir que cada ficha cumplirá la propiedad, o bien, que cada número natural lo hará.

Orden de los naturales

Ahora que hemos visto que la colección de los naturales es un conjunto podemos darle un orden a este conjunto.

Definición: Sean $n,m\in \mathbb{N}$. Decimos que $n\leq m$ si y sólo si $n\in m$ o $n=m$.

Ejemplos:

  • $0=\emptyset$ y $1=\set{\emptyset}$ son números naturales. Luego, $0\leq 1$ pues $\emptyset\in \set{\emptyset}$.
  • $0=\emptyset$ y $2=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ son números naturales. Luego, $0\leq 2$ pues $\emptyset\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$.
  • $1=\set{\emptyset}$ y $2=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ son números naturales. Luego, $1\leq 2$ pues $\set{\emptyset}\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$.

$\square$

A continuación demostraremos el siguiente lema que nos dice que la intersección de dos números naturales resulta ser un número natural.

Lema: Si $n,m\in \mathbb{N}$, entonces $n\cap m\in \mathbb{N}$.

Demostración:

Sean $n,m\in \mathbb{N}$. Tenemos los siguientes casos:

Caso 1: Si $n\cap m=\emptyset$, entonces $n\cap m\in \mathbb{N}$.

Caso 2: $n\cap m\not=\emptyset$.

$n\cap m$ es un conjunto transitivo: Sea $z\in n\cap m$, entonces $z\in n$ y $z\in m$, dado que $n,m\in \mathbb{N}$, entonces $n$ y $m$ son conjuntos transitivos, por lo que $z\subseteq n$ y $z\subseteq m$ y así, $z\subseteq n\cap m$, lo que demuestra que $n\cap m$ es un conjunto transitivo.

$n\cap m$ es un orden total con la pertenencia:

Asimetría de $\in$ en $n\cap m$:

Sean $z,w\in n\cap m$, tales que $z\in_{n\cap m} w$. Veamos que $w\notin_{n\cap m} z$. Dado que $z,w\in n\cap m$, entonces $z,w\in n$ y $z,w\in m$. Así, al ser $n$ un número natural, sabemos que $(n, \in_n)$ es un orden total, por lo que $\in_n$ es una relación asimetrica y por lo tanto, no puede ocurrir que $w\in_n z$. Además, como $(m, \in_m)$ es un orden total, $\in_m$ es una relación asimétrica en $m$ y por lo tanto, no puede ocurrir que $w\in_m z$. Por lo tanto, $w\notin_{n\cap m} z$.

Transitividad de $\in$ en $n\cap m$:

Sean $z,w,y\in n\cap m$, tales que $z\in_{n\cap m} w$ y $w\in_{n\cap m} y$. Veamos que $z\in_{n\cap m} y$. Dado que $z,w,y\in n\cap m$, entonces $z,w,y\in n$ y $z,w,y\in m$. Así, al ser $n$ un número natural, sabemos que $(n, \in_n)$ es un orden total, por lo que $\in_n$ es una relación transitiva y por lo tanto, $z\in_n y$. Además, como $(m, \in_m)$ es un orden total, $\in_m$ es una relación transitiva en $m$ y por lo tanto, $w\in_m y$. Por lo tanto, $w\in_{n\cap m} y$.

$\in_{n\cap m}$-comparables:

Sean $z,w\in n\cap m$, entonces $z,w\in n$ y $z,w\in m$. Luego, como $n$ es un número natural, sabemos que $(n, \in_n)$ es un orden total, por lo que los elementos de $n$ son $\in_n$-comparables y por lo tanto, $z\in_n w$ o $w\in_n z$ o $w=z$. Además, como $(m, \in_m)$ es un orden total, los elementos de $m$ son $\in_m$-comparables y por lo tanto, $z\in_m w$ o $w\in_m z$ o $w=z$. Por lo tanto, los elementos de $n\cap m$ son $\in_{n\cap m}$-comparables.

Finalmente, veamos que para cualquier subconjunto $b$ no vacío de $n\cap m$, $b$ tiene elemento mínimo y máximo.

Dado que $b\subseteq n\cap m$, entonces $b\subseteq n$ y $b\subseteq m$. Dado que $n$ y $m$ son números naturales y $b$ es un subconjunto no vacío de $n$ y $m$, se tiene que $b$ tiene mínimo con respecto a $\in_n$ y $b$ tiene mínimo con respecto a $\in_m$, respectivamente.

Sea $a=\min(b)$ con respecto a $\in_n$ y $x=\min(b)$ con respecto a $\in_m$. Luego, como $b\subseteq n$ y $b\subseteq m$, se tiene que $a,x\in n$ y $a,x\in m$. Por lo tanto, $a,x\in n\cap m$.

Luego, sea $\alpha=\min(\set{a, x})$. Supongamos sin pérdida de la generalidad que $\alpha=a$.

Afirmación: $\alpha=\min(b)$ con respecto a la pertenencia en $n\cap m$.

Demostración de la afirmación:

Sea $k\in b\setminus \set{\alpha}$, entonces $k\in b$ y $k\notin \set{\alpha}$. Luego, $k\in n$, pues $b\subseteq n$ y por tanto, $\alpha\in k$ pues $\alpha=a=\min(b)$ con respecto a $\in_n$.

Por lo tanto, $\alpha=\min(b)$ con respecto a $\in_{n\cap m}$.

$\square$

Por lo tanto, si $n,m\in \mathbb{N}$, entonces $n\cap m\in \mathbb{N}$.

$\square$

En la tarea moral verás que te corresponde probar que cualquier subconjunto no vacío de $n\cap m$ tiene elemento máximo.

Tarea moral

La siguiente lista te ayudará a reforzar el contenido de esta entrada:

  • Sea $X$ un subconjunto no vacío de $\mathbb{N}$, demuestra que $\bigcap X\in \mathbb{N}\cap X$. (Nota que esta es una generalización del lema que probamos en la parte de arriba).

Más adelante

En la siguiente entrada probaremos que el conjunto de los naturales con el orden que hemos definido en esta entrada es un buen orden, para esta demostración nos será de gran utilidad el lema que probamos en esta sección.

Enlaces

Entrada anterior: Teoría de los Conjuntos I: Conjuntos inductivos y axioma del infinito

Entradas relacionadas: Álgebra Superior II: Principio de inducción y teoremas de recursión

Teoría de los Conjuntos I: Conjuntos inductivos y axioma del infinito

Introducción

En esta entrada, hablaremos acerca de los conjuntos inductivos, así como de un nuevo axioma que nos permitirá establecer la existencia de conjuntos con una cantidad infinita de elementos, este axioma será pieza importante pues los axiomas que tenemos hasta ahora no nos permiten probar que la colección de números naturales es un conjunto.

Concepto

Comenzaremos definiendo a un conjunto inductivo.

Definición: $A$ es un conjunto inductivo si:

  1. $0\in A$,
  2. Si $x\in A$, entonces $s(x)\in A$.

Si lo pensamos, los números naturales conforman a un conjunto inductivo. En la entrada anterior probamos un teorema que nos asegura que si $x$ es un número natural, entonces $s(x)$ es un número natural. Sin embargo, no hemos demostrado que la colección de todos los números naturales sea un conjunto pues hasta ahora no hay nada que nos permita probarlo.

A continuación haremos mención de un nuevo axioma: el axioma del infinito. Tal como lo dice su nombre este axioma nos asegurará la existencia de un conjunto infinito, al que hemos definido como conjunto inductivo.

Axioma: Existe un conjunto inductivo.

Los naturales y conjuntos inductivos

Ahora que hemos definido a los conjuntos inductivos y aseguramos por el axioma de existencia que existe al menos uno, veremos que si $N=\set{x:x\ \text{es un natural}}$ y $A$ es cualquiera conjunto inductivo, entonces $N\subseteq A$.

Teorema: Sea $A$ un conjunto inductivo. Si $x$ es un natural, entonces $x\in A$.

Demostración:

Sea $A$ un conjunto inductivo. Supongamos en busca de una contradicción que $N\not\subseteq A$, es decir, existe $x\in N$ tal que $x\notin A$.

Como $x\in N$, entonces $x$ es un natural y así, $s(x)$ es un natural. Luego, $x\in s(x)\setminus A$ donde $s(x)\setminus A$ es un subconjunto no vacío de $s(x)$, por lo que tiene elemento mínimo.

Sea $b=\min(s(x)\setminus A)$, por definición de elemento mínimo se tiene que $b\in s(x)\setminus A$ y así $b\notin A$, por lo que $b\not=0$ pues al ser $A$ un conjunto inductivo sabemos que $0\in A$.

Luego, como $b$ es no vacío y $b\in s(x)\setminus A$, entonces $b$ tiene elemento máximo. Sea $z=\max(b)$, se cumple que $z\in b$ y como $b\in s(x)$, por la transitividad de $\in$ en $s(x)$, $z\in s(x)$. Además $z\in A$ pues de lo contrario, $z\in s(x)\setminus A$, lo que contradice el hecho de que $b=\min(s(x)\setminus A)$.

Así, como $z\in A$, por ser $A$ conjunto inductivo se satisface que $s(z)\in A$.

Afirmación: $s(z)=b$

Demostración de la afirmación:

Veamos primero que $s(z)\subseteq b$. Sea $y\in s(z)=z\cup \set{z}$, entonces $y\in z$ o $y=z$.

Caso 1: Si $y\in z$, como $z\in b$ concluimos que $y\in b$ por transitividad de $\in$ en $b$.

Caso 2: Si $y=z$, entonces $y\in b$.

Por lo tanto, $s(z)\subseteq b$.

Ahora veamos que $b\subseteq s(z)$.

Si $y\in b$, dado que $z\in b$ y los elementos de $b$ son $\in$-comparables, entonces $y\in z$ o $z\in y$ o $y=z$.

El caso $z\in y$ no puede ocurrir pues $z=\max(b)$. Así, $y\in z$ o $y=z$, esto es, $y\in z\cup\set{z}=s(z)$. Por lo tanto, $b\subseteq s(z)$.

Por lo tanto, $b=s(z)$ y así $b\in A$ pues $s(z)\in A$ lo cual no puede ocurrir pues $b\notin A$.

Dado que la contradicción vino de suponer que $N\not\subseteq A$, podemos inferir que para cualquier conjunto inductivo $A$, se tiene que $N\subseteq A$.

$\square$

El conjunto de los naturales

Con el teorema anterior y el axioma del infinito podemos demostrar que la colección $N$ es un conjunto.

Corolario: $N$ es un conjunto.

Demostración:

Por el teorema anterior sabemos que si $x$ es un natural, entonces $x\in A$ para cualquier conjunto inductivo $A$. Entonces, si $A$ es un conjunto inductivo se tiene

$N=\set{x:x\ \text{es natural}}=\set{x\in A: x\ \text{es natural}}$.

Así, por el axioma de comprensión $N$ es un conjunto.

$\square$

A este conjunto le llamaremos conjunto de los naturales y lo denotaremos por $\mathbb{N}$.

Tarea Moral

Los siguientes ejercicios te permitirán reforzar el contenido que hemos visto hasta este momento acerca de números naturales.

  • Demuestra que si $n\in \mathbb{N}$, entonces no existe $k\in \mathbb{N}$ tal que $n<k<s(n)$. (Esto prueba que entres dos naturales no hay ningún otro natural)
  • Escribe un conjunto inductivo distinto a los naturales.

Más adelante

En la siguiente sección definiremos al principio de inducción y al principio de buen orden. Estos principios nos ayudarán a demostrar resultados que cumple el conjunto de los naturales.

Enlaces

Los siguientes enlaces te ayudarán a reforzar en contenido acerca de los naturales y tener un acercamiento con el principio de inducción.

Teoría de los Conjuntos I: Sucesor

Introducción

En esta nueva sección hablaremos acerca del sucesor de un número natural. Este nuevo concepto nos permitirá definir a los conjuntos inductivos e iniciar a descubrir el concepto del infinito desde la perspectiva de la teoría de conjuntos.

Concepto

Definición: Sea $x$ un conjunto, definimos al sucesor de $x$ como $s(x)=x\cup \set{x}$.

Ejemplos:

  • El sucesor de $\emptyset$ es $s(\emptyset)=\emptyset\cup \set{\emptyset}=\set{\emptyset}$.
  • El sucesor de $\set{\emptyset}$ es $s(\set{\emptyset})=\set{\emptyset}\cup \set{\set{\emptyset}}=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$.
  • Luego, el sucesor de $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ es $s(\set{\emptyset, \set{\emptyset}})=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}\cup \set{\set{\emptyset, \set{\emptyset}}}=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$.
  • El sucesor de $\set{\set{\emptyset}}$ es $s(\set{\set{\emptyset}})=\set{\set{\emptyset}}\cup \set{\set{\set{\emptyset}}}= \set{\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$.

$\square$

Aunque podemos definir al sucesor para cualquier conjunto, dado que en esta unidad únicamente estaremos trabajando con números naturales, usaremos la definición de sucesor de un conjunto para conjuntos que son números naturales.

Bajo este hecho va a resultar que si $x$ es un número natural, entonces $s(x)$ es un número natural, vamos a demostrar esto, pero antes demostraremos algunos lemas que nos serán de utilidad.

Resultados previos

Lema 1: Para cualquier número natural $n$, no es posible que $n\in n$.

Demostración:

Sea $n$ un número natural, entonces $n$ es un orden total con la $\in$ y así, los elementos de $n$, son $\in$-comparables, es decir, para cualesquiera $w,z\in n$ se tiene que $w\in z$ o $z\in w$ o $z=w$.

Dado que $n=n$, no ocurre que $n\in n$.

$\square$

Lema 2: Si $n$, $m$ son números naturales, entonces no es posible que $n\in m$ y $m\in n$ al mismo tiempo.

Demostración:

Sean $n$ y $m$ números naturales. Si $n\in m$ y $m\in n$, entonces $n\in n$ por transitividad de $\in$ en $n$, lo cual contradice el lema anterior.

Por lo tanto, no es posible que $n\in m$ y $m\in n$ al mismo tiempo.

$\square$

El sucesor de un natural

Ahora que demostramos los lemas anteriores probaremos que el sucesor de un número natural es un número natural.

Teorema:

  1. $\emptyset$ es un número natural.
  2. Si $x$ es un número natural, entonces $s(x)$ es un número natural.

Demostración:

En la entrada anterior probamos que $\emptyset$ es un número natural, lo que prueba el punto uno del teorema.

Ahora, sea $x$ un número natural. Veamos que $s(x)$ es un número natural, para ello vamos a probar que $x\cup\set{x}$ es un conjunto transitivo, ordenado totalmente con $\in$ y que para cada subconjunto $b$ no vacío se cumple que $b$ tiene mínimo y máximo con la pertenencia en $b$.

Sea $y\in x\cup\set{x}$. Si $y\in x$ dado que $x$ es un número natural, entonces $x$ es un conjunto transitivo y por lo tanto, $y\subseteq x$. Así, $y\subseteq x\cup\set{x}$.

Si $y\in \set{x}$, entonces $y=x$ y en particular, $y\subseteq x$ y así, $y\subseteq x\cup\set{x}$.

Por lo tanto, $s(x)$ es un conjunto transitivo.

Ahora, queremos ver que $s(x)$ es un orden total con la $\in_{s(x)}$, para ello debemos probar que $\in_{s(x)}$ es una relación asimétrica y transitiva, además de que sus elementos son $\in_{s(x)}$ comparables.

Sean $y,z\in s(x)$ tales que $y\in_{s(x)} z$. Veamos que no es posible que $z\in_{s(x)} y$.

Dado que $y,z\in s(x)=x\cup \set{x}$, tenemos los siguientes casos:

Caso 1: Si $y\in x$ y $z\in x$, entonces por ser $\in_x$ una relación asimétrica en $x$ y $y\in z$, se tiene que no es posible que $z\in y$.

Caso 2: Si $y\in x$ y $z\in \set{x}$, entonces $z=x$. Dado que $y\in z$, si ocurriera que $z\in y$, entonces $x\in y$ y así, $x\in y$ y $y\in x$, lo cual probamos en el lema 2 que no ocurre, por lo tanto, $z\notin y$.

El caso $y\in \set{x}$ y $z\in x$, entonces $y=x$. Dado que $y\in z$, entonces $x\in z$, lo cual no puede ocurrir pues de ser así, $x\in z$ y $z\in x$ al mismo tiempo, lo que contradice al lema 2.

El caso en el que $y\in \set{x}$ y $z\in \set{x}$ no puede ocurrir pues de ser así, $y=x$ y $z=x$, en particular $y=z$ y por el primer lema de esta entrada vimos que no ocurre que $y\in y$.

Así, en cualquiera de los casos se satisface que $\in_{s(x)}$ es una relación asimétrica.

Ahora, veamos que $\in_{s(x)}$ es una relación transitiva. Para ello tomemos $w,y,z\in s(x)$ arbritarios tales que $w\in_{s(x)} y$ y $y\in_{s(x)} z$ y veamos que $w\in_{s(x)} z$.

Del hecho, $w\in_{s(x)} y$ y $y\in_{s(x)} z$ se derivan los siguientes casos:

Caso 1: Si $w\in x$, $y\in x$ y $z\in x$. Dado que $w\in y$ y $y\in z$, como $\in$ es una relación transitiva en $x$ se tiene que $w\in z$.

Caso 2: Si $w\in x$, $y\in x$ y $z\in \set{x}$, entonces $z=x$, por lo que $w\in z=x$.

El caso $w\in x$, $y\in \set{x}$ y $z\in \set{x}$, entonces $y=x=z$. Dado que $w\in y$ y $y\in z$, se tendría que $w\in y$ y $y\in y$, lo cual contradice al lema 1.

El caso $w,y,z\in\set{x}$ no es posible, pues de lo contrario $w=y=z=x$ y así $w\in w$, lo cual contradice al lema 1.

Por lo tanto, $\in_{s(x)}$ es una relación transitiva.

Finalmente, los elementos de $s(x)$ son $\in_{s(x)}$-comparables. En efecto, sean $y,z\in s(x)$.

Caso 1: Si $y\in x$ y $z\in x$, entonces como los elementos de $x$ son $\in$-comparables, debe ocurrir que $y\in z$ o $z\in y$ o $z=y$.

Caso 2: Si $y\in x$ y $z\in \set{x}$, entonces $z=x$. Por lo tanto, $y\in z$.

Caso 3: Si $y\in \set{x}$ y $z\in x$, entonces $y=x$. Por lo tanto, $z\in y$.

Caso 4: Si $y\in \set{x}$ y $z\in \set{x}$, entonces $y=x$ y $z=x$. Por lo tanto, $z=y$.

Por lo tanto, los elementos de $s(x)$ son $\in_{s(x)}$-comparables.

Así, $(s(x), \in)$ es un orden total.

Ahora, supongamos que $B$ conjunto no vacío es subconjunto de $s(x)$ y veamos que $B$ tiene máximo y mínimo.

Caso 1: Si $B\cap x=\emptyset$, entonces $B\subseteq \set{x}$ y como $B\not=\emptyset$ entonces $B=\set{x}$.

Luego, $x=\min (B)$ pues se satisface que para cualquier $y\in B\setminus \set{x}=\emptyset$, $x\in y$ por vacuidad.

Finalmente, $x=\max (B)$ pues se satisface que para cualquier $y\in B\setminus \set{x}=\emptyset$, $y\in x$ por vacuidad.

Caso 2: Si $B\cap x\not= \emptyset$, entonces $B\cap x$ es un subconjunto no vacío de $x$. Así, dado que $x$ es un natural, se satisface que $B\cap x$ tiene elemento mínimo y máximo con respecto a la $\in$ en $x$. Sea $b=\min (B\cap x)$ con respecto a la pertenencia en $x$ y $a=\max (B\cap x)$ con respecto a la pertenencia en $x$.

Veamos que $b=min(B)$ con respecto a $\in$ en $s(x)$. Sea $z\in B\setminus \set{b}$ arbitrario, vamos a probar que $b\in z$.

Caso 1: Si $z\in x$, entonces $z\in B\cap x$, entonces $b\in z$ pues $b=\min(B\cap x)$.

Caso 2: Si $z\notin x$, dado que $z\in s(x)=x\cup\set{x}$ entonces $z=x$. Como $b\in B\cap x$, entonces $b\in x$ y así, $b\in z$.

Así, $b=\min(B)$ para $B\subseteq s(x)$.

En la tarea moral será tu turno de probar que cualquier subconjunto no vacío de $s(x)$ tiene elemento máximo con respecto a la pertenencia en $s(x)$.

Por lo tanto, cualquier subconjunto de $s(x)$ tiene elemento mínimo y máximo con respecto a la $\in$ en $s(x)$.

Por lo tanto, $s(x)$ es un natural.

$\square$

Tarea moral

  • Describe al sucesor del natural $\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset},\set{\emptyset, \set{\emptyset}}}}$.
  • Demuestra que si $s(n)=s(m)$, entonces $n=m$.
  • Prueba que $\bigcup s(x)=x$.
  • Demuestra que si $B$ es un subconjunto no vacío de $s(x)$, entonces $B$ tiene elemento máximo con respecto a la pertenencia en $s(x)$.

Más adelante

En la siguiente sección definiremos a los conjuntos inductivos, tales conjuntos nos darán la base para definir al conjunto de los naturales. Además hablaremos de un nuevo axioma: el axioma del infinito.

Enlaces

En el siguiente enlace podrás repasar el contenido acerca de números naturales. así mismo podrás ver más contenido acerca del tema:

Nota 16. Los números naturales.

Teoría de los Conjuntos I: Números naturales

Introducción

En esta entrada daremos la definición formal de que es un número natural. Además probaremos algunos resultados sobre números naturales.

Concepto

Definición: Sea $x$ un conjunto. Decimos que $x$ es un número natural si satisface las siguientes condiciones:

  1. $x$ es un conjunto transitivo,
  2. $\in_x$ es un orden lineal estricto en $x$,
  3. cualquier $z$ no vacío subconjunto de $x$ tiene elemento mínimo y máximo en el orden $\in_x$.

Ejemplo:

$\emptyset$ es un número natural.

En la entrada anterior vimos que $\emptyset$ es un conjunto transitivo.

Además, $(\emptyset, \in_\emptyset)$ es un conjunto totalmente ordenado pues $\in_\emptyset= \emptyset$, por lo que se satisface por vacuidad que $\in_\emptyset=\emptyset$ es una relación asimétrica y transitiva en el conjunto $\emptyset$. Asimismo, los elementos de $\in_\emptyset$ son comparables por vacuidad y por tanto, $\in_\emptyset$ es un orden total.

Finalmente, se satisface por vacuidad que para cualquier $z\not=\emptyset$ tal que $z\subseteq \emptyset$, $z$ tiene elemento mínimo y máximo en el orden $\in_\emptyset$.

Por lo tanto, $\emptyset$ es un número natural.

$\square$

Note ahora que si $n$ es un natural, entonces, para cualquier $z\in n$ se cumple que $\in_n\cap (z\times z)=\in_z$. En efecto:

\begin{align*}
\in_n\cap(z\times z)&=\set{(x,y)\in n\times n:x\in y}\cap\set{(x,y)\in n\times n:x\in z \text{y} y\in z}\\
&=\set{(x,y)\in z\times z:x\in y}=\in_z
\end{align*}

El siguiente Lema será de ayuda para mostrar que cualquier elemento de un número natural resulta ser también un número natural.

Lema: Si $n$ es un número natural, entonces, para cualquier $z\in n$ se satisface que $\in_z$ es un orden total estricto en $z$.

Demostración:

Veamos que $\in_z$ es una relación asimétrica, transitiva y sus elementos son $\in_z$-comparables.

  1. Asimetría:
    Sean $x,y\in z$ tales que $x\in_z y$. Tenemos entonces que $(x,y)\in\in_z=\in_n\cap(z\times z)$, por lo que $(x,y)\in\in_n$ y así, $x\in_ny$. Luego, no puede ocurrir que $y\in_zx$ pues tendríamos también que $y\in_nx$ y, en consecuencia, se cumpliría al mismo tiempo que $x\in_ny$ y que $y\in_nx$, lo cual no puede ocurrir pues $\in_n$ es una relación asimétrica. Esto muestra que $\in_z$ también es una relación asimétrica.
  2. Transitividad:
    Sean $x, y, w\in z$ tales que $x\in_z y$ y $y\in_z w$. Dado que $z\in n$ y $x,y, w\in z$, por la transtividad de $n$ se tiene que $x,y,w\in n$ y así, $x\in_n y$ y $y\in_n w$, lo que implica que $x\in_n w$ con $x, w\in z$; luego $x\in_zw$. Por lo tanto, $\in_z$ es transitiva en $z$.
  3. $\in_z$-comparables:
    Sean $x,y\in z$, dado que $z\in n$, entonces $x\in n$ y $y\in n$, por lo que $x\in_n y$ o $y\in_n x$. Como $x,y\in z$ entonces se satisface que $x\in_z y$ o $y\in_z x$, es decir, los elementos de $z$, son $\in_z$ comparables.

Por lo tanto, $\in_z=\in_n\cap (z\times z)$ es un orden total en $z$.

$\square$

Teorema: Si $z\in n$ con $n$ natural, entonces $z$ es un número natural.

Demostración:

Supongamos que $n$ es un número natural y que $z\in n$, veamos que se verifican las condiciones 1, 2 y 3 de la definición.

  1. $z$ es un conjunto transitivo.
    En efecto, sea $y\in z$. Dado que $n$ es un número natural, entonces $n$ es un conjunto transitivo y como $z\in n$, entonces $z\subseteq n$; en consecuencia, $y\in n$. Luego, si $w\in y$, se sigue nuevamente que $w\in n$ por la transitividad de $n$. Así, $w\in y$ y $y\in z$, y dado que $\in_n$ es un orden lineal, se sigue que $w\in z$. Lo que demuestra que $y\subseteq z$ y por tanto, $z$ es un conjunto transitivo.
  2. $\in_z$ es un orden total en $z$. Por el Lema anterior se tiene que $\in_z$ es un orden total en $z$.
  3. Sea $B\subseteq z$ con $B$ conjunto no vacío. Dado que $n$ es un número natural y $z\in n$, tenemos que $z\subseteq n$. Así, por transitividad de la contención se sigue que $B\subseteq n$, por lo que $B$ tiene elemento mínimo y máximo con respecto a la pertenencia en $n$; esto es, existen $b_1,b_2\in B$ tales que para todo $b\in B\setminus\set{b_1}$, $b_1\in_n b$ y, para todo $b\in B\setminus\set{b_2}$, $b\in_n b_2$. Sea $b_1=\min_{\in_n} B$ y $b_2=\max_{\in_n} B$ los elementos mínimo y máximo de $B$ respecto a $\in_n$. Veamos que $b_1$ y $b_2$ son los elementos mínimo y máximo de $B$ con respecto a $in_z$. Primero, por definición de elemento mínimo y máximo se tiene que $b_1$ y $b_2$ son elementos de $B$ y, en consecuencia, $b_1$ y $b_2$ son también elementos de $z$, ya que $B\subseteq z$. Ahora bien, para cualquier $b\in B\setminus\set{b_1}$ se tiene que $b\in z$ y, por ende, $(b_1,b)\in z\times z$. De manera análoga, $(b,b_2)\in z\times z$ para cualquier $b\in B\setminus\set{b_2}$. Además, $(b_1,b)\in\in_n$ y $(b,b_2)\in\in_n$ para cualquier $b\in B\setminus\set{b_1}$ y cualquier $b\in B\setminus\set{b_2}$ respectivamente. De esta manera, $(b_1,b)\in \in_n\cap(z\times z)=\in_z$ para cualquier $b\in B\setminus\set{b_1}$ y $(b,b_2)\in \in_n\cap(z\times z)=\in_z$ para cualquier $b\in B\setminus\set{b_2}$, lo que muestra que $b_1=\min_{\in_z}B$ y $b_2=\max_{\in_z}B$.
    Por lo tanto, $B$ tiene elemento mínimo y máximo con respecto a la pertenencia en $z$.

Por lo tanto, cualquier conjunto que sea elemento de un número natural va a resultar ser un número natural.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitirá reforzar el contenido visto en esta entrada, además de seguir trabajando el concepto de conjunto transitivos.

  • Demuestra que para $z\in n$ con $n$ un número natural. Si $B\not=\emptyset$ con $B\subseteq z$ tiene elemento máximo, entonces $(z, \in_z)$ es un orden total.
  • Prueba que si $x$ es un conjunto transitivo, entonces $\bigcap x$ es un conjunto transtivo.
  • Demuestra que si $x\subseteq y$ y $y$ es un conjunto transitivo, entonces $x$ es un conjunto transitivo.
  • Demuestra que si $n$ es un número natural, entonces $n\notin n$.

Más adelante

En la siguiente entrada definiremos al sucesor de un número natural, a partir de este nuevo concepto probaremos nuevas propiedades que conoceremos para los números naturales.

Enlaces

En el siguiente enlace podrás encontrar más contenido acerca de los números naturales:

Álgebra Superior I: Introducción a números naturales