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Teoría de los Conjuntos I: Propiedades del producto cartesiano (parte II)

Por Gabriela Hernández Aguilar

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En esta sección vamos a ver otras de las propiedades del producto cartesiano. Estas propiedades hacen referencia al comportamiento del producto cartesiano con respecto a las operaciones que definimos antes: unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica.

Producto cartesiano y unión

Las siguientes dos proposiciones verifican que el producto cartesiano distribuye a la unión:

Proposición: Demuestra que $(A\cup B)\times C=(A\times C)\cup (B\times C)$.

Demostración:

Sea $(x,y)\in (A\cup B)\times C$
si y sólo si $x\in A\cup B$ y $y\in C$
si y sólo si $(x\in A$ o $x\in B)$ y $y\in C$
si y sólo si $(x\in A$ y $y\in C)$ o $(x\in B$ y $y\in C)$
si y sólo si $(x,y)\in A\times C$ o $(x,y)\in B\times C$
si y sólo si $(x, y)\in (A\times C)\cup (B\times C)$.

$\square$

Proposición: Demuestra que $A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$.

Demostración:

Sea $(x,y)\in A\times (B\cup C)$
si y sólo si $x\in A$ y $y\in B\cup C$
si y sólo si $x\in A$ y $(y\in B$ o $y\in C)$
si y sólo si $(x\in A$ y $y\in B)$ o $(x\in A$ y $y\in C)$
si y sólo si $(x,y)\in A\times B$ o $(x,y)\in A\times C$
si y sólo si $(x, y)\in (A\times B)\cup (A\times C)$.

$\square$

Proposición: Demuestra que para cualesquiera $A, B, C, D$ conjuntos no vacíos ocurre que $(A\times C)\cup (B\times D)\subseteq (A\cup B)\times (C\cup D)$.

Demostración:

Sean $A, B, C, D$ conjuntos no vacíos. Tomemos $(x,y)\in (A\times C)\cup (B\times D)$ arbitrario, entonces $(x,y)\in A\times C$ o $(x,y)\in B\times D$.

Si $(x, y)\in A\times C$, entonces $x\in A$ y $y\in C$. Luego, como $A\subseteq A\cup B$ y $C\subseteq C\cup D$ se sigue que $x\in A\cup B$ y $y\in C\cup D$. Así, $(x,y)\in (A\cup B)\times (C\cup D)$.

Si $(x, y)\in B\times D$, entonces $x\in B$ y $y\in D$. Luego, como $B\subseteq A\cup B$ y $D\subseteq C\cup D$ se sigue que $x\in A\cup B$ y $y\in C\cup D$. Así, $(x,y)\in (A\cup B)\times (C\cup D)$.

$\square$

Producto cartesiano e intersección

Con la siguientes dos demostraciones podremos ver que el producto cartesiano se distribuye sobre la intersección:

Proposición: Demuestra que $(A\cap B)\times C=(A\times C)\cap (B\times C)$.

Demostración:

Sea $(x,y)\in (A\cap B)\times C$
si y sólo si $x\in A\cap B$ y $y\in C$
si y sólo si $(x\in A$ y $x\in B)$ y $y\in C$
si y sólo si $(x\in A$ y $y\in C)$ y $(x\in B$ y $y\in C)$
si y sólo si $(x,y)\in A\times C$ y $(x,y)\in B\times C$
si y sólo si $(x, y)\in (A\times C)\cap (B\times C)$.

$\square$

Proposición: Demuestra que $A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)$.

Demostración:

Sea $(x,y)\in A\times (B\cap C)$
si y sólo si $x\in A$ y $y\in B\cap C$
si y sólo si $x\in A$ y $(y\in B$ y $y\in C)$
si y sólo si $(x\in A$ y $y\in B)$ y $(x\in A$ y $y\in C)$
si y sólo si $(x,y)\in A\times B$ y $(x,y)\in A\times C$
si y sólo si $(x, y)\in (A\times B)\cap (A\times C)$.

$\square$

Proposición: Demuestra que para cualesquiera $A, B, C, D$ conjuntos no vacíos ocurre que $(A\times C)\cap (B\times D)= (A\cap B)\times (C\cap D)$.

Demostración:

Sean $A, B, C, D$ conjuntos no vacíos. Tenemos que:
$(x,y)\in (A\times C)\cap (B\times D)$
si y sólo si $(x,y)\in A\times C$ y $(x,y)\in B\times D$
si y sólo si $(x\in A$ y $y\in C)$ y $(x\in B$ y $y\in D)$
si y sólo si $(x\in A$ y $x\in B)$ y $(y\in C$ y $y\in D)$
si y sólo si $x\in A\cap B$ y $y\in C\times D$
si y sólo si $(x,y)\in (A\cap B)\times (C\cap D)$.

$\square$

Producto cartesiano y diferencia

Con los siguientes resultados probamos que el producto cartesiano se distribuye sobre la diferencia:

Proposición: Sean $A, B, C$ conjuntos no vacíos. Prueba que $A\times (B\setminus C)= (A\times B)\setminus (A\times C)$.

Demostración:

$(x,y)\in A\times (B\setminus C)$
si y sólo si $x\in A$ y $y\in B\setminus C$
si y sólo si $x\in A$ y ($y\in B$ y $y\notin C$)
si y sólo si $(x\in A$ y $y\in B)$ y $(x\in A$ y $y\notin C)$
si y sólo si $(x,y)\in A\times B$ y $(x,y)\notin A\times C$
si y sólo si $(x,y)\in (A\times B)\setminus (A\times C)$.

$\square$

Proposición: Demuestra que $(A\setminus B)\times C=(A\times C)\setminus (B\times C)$.

Demostración:

Sea $(x,y)\in (A\setminus B)\times C$
si y sólo si $x\in A\setminus B$ y $y\in C$
si y sólo si $(x\in A$ y $x\notin B)$ y $y\in C$
si y sólo si $(x\in A$ y $y\in C)$ y $(x\notin B$ y $y\in C)$
si y sólo si $(x,y)\in A\times C$ y $(x,y)\notin B\times C$
si y sólo si $(x, y)\in (A\times C)\setminus (B\times C)$.

$\square$

Producto cartesiano y diferencia simetrica

La siguiente proposición demuestra que el producto cartesiano distribuye a la diferencia simétrica:

Proposición: Sean $A, B, C$ conjuntos no vacíos. Prueba que $A\times (B\triangle C)= (A\times B)\triangle (A\times C)$.

Demostración:

$(x,y)\in A\times (B\triangle C)$
si y sólo si $x\in A$ y $y\in B\triangle C$
si y sólo si $x\in A$ y $(y\in (B\setminus C)\cup (C\setminus B))$
si y sólo si $x\in A$ y $((y\in B$ y $y\notin C)$ o $(y\in C$ y $y\notin B))$
si y sólo si $(x\in A$ y $(y\in B$ y $y\notin C))$ o $(x\in A$ y $(y\in C$ y $y\notin B))$
si y sólo si $((x\in A$ y $y\in B)$ y $(x\in A$ y $y\notin C))$ o $((x\in A$ y $y\in C)$ y $(x\in A$ y $y\notin B))$
si y sólo si $((x,y)\in A\times B$ y $(x,y)\notin A\times C)$ o $((x,y)\in A\times C$ y $(x,y)\notin A\times B)$
si y sólo si $(x,y)\in (A\times B)\setminus (A\times C)$ o $(x,y)\in (A\times C)\setminus (A\times B)$
si y sólo si $(x,y)\in (A\times B)\triangle (A\times C)$.

$\square$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te permitirán aprender otras propiedades del producto cartesiano:

  • Muestra que no siempre se da la igualdad $(A\times C)\cup (B\times D)= (A\cup B)\times (C\cup D)$.
  • Demuestra que $(A\cup B)\times (C\cup D)=(A\times C)\cup (B\times D)\cup (A\times D)\cup (B\times C)$.
  • $(X\times Y)\setminus (B\times C)=((X\setminus B)\times Y)\cup(X\times (Y\setminus C))$.
  • Demuestra que $(A\triangle B)\times C=(A\times C)\triangle (B\times C)$.

Más adelante…

En la siguiente sección definiremos a una relación, para ello utilizaremos el concepto de producto cartesiano y pareja ordenada.

Enlaces

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Teoría de los Conjuntos I: Álgebra de conjuntos

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En esta nueva entrada abordaremos a las operaciones entre conjuntos desde una perspectiva diferente: el álgebra. Veremos que existe otra forma de probar la igualdad entre conjuntos sin necesidad de usar la demostración por doble contención.

Algunos recordatorios

Más adelante haremos algunas pruebas en las que utilizaremos los siguientes resultados:

Sean $A$, $B$, $C$ y $X$ conjuntos tales que $A, B,C\subseteq X$. Entonces:

  1. $A\cup \emptyset=A$,
  2. $A\cup A=A$,
  3. $A\cap \emptyset =\emptyset$,
  4. $A\cap A=A$,
  5. $A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$,
  6. $A\cap (B\cup C)= (A\cap B)\cup (A\cap C)$,
  7. $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$,
  8. $A\setminus \emptyset=A$,
  9. $A\setminus A=\emptyset$,
  10. $A\setminus B= A\cap (X\setminus B)$,
  11. $A\cap (X\setminus A)=\emptyset$,
  12. $A\cup (X\setminus A)=X$
  13. $X\setminus (A\cap B)= (X\setminus A)\cup (X\setminus B)$,
  14. $X\setminus (A\cup B)= (X\setminus A)\cap (X\setminus B)$,
  15. $X\setminus (X\setminus A)= A$,
  16. Si $A\subseteq B$. entonces $A\cap B=A$.

Demostraciones con álgebra de conjuntos

Proposición 1: Sean $A, B\subseteq X$ conjuntos. Prueba que $A\setminus B= A\setminus (A\cap B)$.

Demostración:

\begin{align*}
A\setminus (A\cap B)&= A\cap (X\setminus (A\cap B)) \tag{usando 10}\\
&=A\cap((X\setminus A)\cup(X\setminus B)) \tag{usando 13} \\
&=(A\cap (X\setminus A))\cup (A\cap (X\setminus B)) \tag{usando 6} \\
&=\emptyset\cup (A\cap (X\setminus B)) \tag{usando 11} \\
&=A\cap (X\setminus B) \tag{usando 1} \\
&=A\setminus B \tag{usando 10}.
\end{align*}

$\square$

Proposición 2: Prueba que si $A$, $B\subseteq X$ son conjuntos, entonces $A\setminus B= (A\cup B)\setminus B$.

Demostración:

\begin{align*}
(A\cup B)\setminus B &= (A\cup B)\cap (X\setminus B) \tag{usando 10}\\
&= (A\cap (X\setminus B))\cup (B\cap (X\setminus B)) \tag{usando 6}\\
&= (A\cap (X\setminus B))\cup \emptyset \tag{usando 11}\\
&=A\cap (X\setminus B) \tag{usando 1}\\
&=A\setminus B \tag{usando 10}.
\end{align*}

$\square$

Proposición 3: Para $A$, $B$, $X$ conjuntos tales que $A, B\subseteq X$, prueba que $(A\cap B)\cup (A\setminus B)= A$.

Demostración:

\begin{align*}
(A\cap B)\cup (A\setminus B)&= (A\cap B)\cup (A\cap (X\setminus B)) \tag{usando 10}\\
&=A\cap (B\cup (X\setminus B)) \tag{usando 6}\\
&=A\cap X \tag{usando 12}\\
&=A \tag{usando 16}.
\end{align*}

$\square$

Proposición 4: Prueba que $A\cap (B\setminus C)=(A\cap B)\setminus C$.

Demostración:

\begin{align*}
(A\cap B)\setminus C &=(A\cap B)\cap (X\setminus C) \tag{usando 10}\\
&=A\cap (B\cap X\setminus C) \tag{usando 5}\\
&= A\cap (B\setminus C) \tag{usando 10}.
\end{align*}

$\square$

Proposición 5: Prueba que $(A\cap B)\setminus C=(A\setminus C)\cap (B\setminus C)$.

Demostración:

\begin{align*}
(A\cap B)\setminus C&= (A\cap B)\cap (X\setminus C) \tag{usando 10}\\
&=(A\cap X\setminus C)\cap (B\cap X\setminus C)\\
&= (A\setminus C)\cap (B\setminus C) \tag{usando 10}.
\end{align*}

$\square$

Proposición 6: Prueba que $(A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup (B\setminus C)$.

Demostración:

\begin{align*}
(A\cup B)\setminus C&= (A\cup B)\cap (X\setminus C) \tag{usando 10}\\
&=(A\cap X\setminus C)\cup (B\cap X\setminus C) \tag{usando 6}\\
&= (A\setminus C)\cup (B\setminus C) \tag{usando 10}.
\end{align*}

$\square$

Proposición 7: Prueba que $(A\setminus B)\setminus C=(A\setminus C)\setminus (B\setminus C)$.

Demostración:

\begin{align*}
(A\setminus C)\setminus (B\setminus C)&= (A\setminus C)\cap (X\setminus (B\setminus C)) \tag{usando 10}\\
&=(A\setminus C)\cap (X\setminus (B\cap (X\setminus C)) \tag{usando 10}\\
&=(A\setminus C)\cap ((X\setminus B)\cup (X\setminus (X\setminus C))) \tag{usando 13}\\
&=(A\setminus C)\cap ((X\setminus B)\cup C) \tag{usando 15}\\
&=(A\setminus C\cap (X\setminus B))\cup ((A\setminus C)\cap C) \tag{usando 6}\\
&=((A\cap(X\setminus C))\cap (X\setminus B))\cup ((A\cap(X\setminus C))\cap C) \tag{usando 10}\\
&=((A\cap(X\setminus B))\cap (X\setminus C))\cup (A\cap((X\setminus C)\cap C)) \tag{usando 5}\\
&=((A\cap(X\setminus B))\cap (X\setminus C))\cup (A\cap\emptyset) \tag{usando 11}\\
&=((A\setminus B)\setminus C)\cup \emptyset \tag{usando 10 y 3}\\
&=(A\setminus B)\setminus C \tag{usando 1}.
\end{align*}

$\square$

Proposición 8: Sean $A$, $B$, $C$ subconjuntos de $X$. Prueba que $A\setminus (B\setminus C)=(A\setminus B)\cup (A\cap C)$.

Demostración:

\begin{align*}
A\setminus (B\setminus C)&= A\cap (X\setminus (B\setminus C)) \tag{usando 10}\\
&=A\cap (X\setminus (B\cap (X\setminus C))) \tag{usando 10}\\
&=A\cap((X\setminus B)\cup (X\setminus(X\setminus C))) \tag{usando 13}\\
&=A\cap((X\setminus B)\cup C) \tag{usando 15}\\
&=(A\cap (X\setminus B))\cup (A\cap C) tag{usando 6}\\
&=(A\setminus B)\cup (A\cap C) tag{usando 10}.
\end{align*}

$\square$

Tras realizar estas demostraciones es importante notar que muchas veces hacer el uso del álgebra nos ayuda a ahorrar tiempo. Sin embargo, el trabajo que hicimos hasta este momento nos fue útil para esta sección.

Tarea moral

Realiza las siguientes demostraciones haciendo uso del álgebra de conjuntos:

  • Prueba que para $A, B, C, X$ conjuntos tales que $A, B, C\subseteq X$ se cumple que: $(A\setminus B)\setminus (A\setminus C)= (A\cap C)\setminus B$.
  • Prueba que $(A\setminus B)\setminus (A\setminus C)=A\cap (C\setminus B)$.
  • Si $A, B\subseteq X$, entonces $(X\setminus A)\setminus (X\setminus B)=B\setminus A$.
  • Sean $A$ y $B$ conjuntos. Entonces $A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)$.

Más adelante…

En la siguiente sección definiremos una nueva operación entre conjuntos: la diferencia simétrica. Retomaremos los resultados que hemos visto hasta ahora y seguiremos haciendo uso del álgebra de conjuntos para demostrar algunas propiedades de esta operación.

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Teoría de los Conjuntos I: El axioma de buena fundación

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En esta entrada hablaremos acerca del axioma de buena fundación. Este axioma nos permitirá decir cuando un conjunto esta bien fundado, es decir, bien construido. Además daremos otro argumento para probar que el conjunto de todos los conjuntos no existe.

Acerca del axioma

Axioma de buena fundación: Para cualquier conjunto $X$ no vacío, existe $u\in X$ tal que $u\cap X=\emptyset$.

Ejemplos:

  • Sea $A=\set{\emptyset}$, el único elemento que tiene $A$ es $\emptyset$ y en efecto, $A\cap \emptyset=\emptyset$. Esto último ocurre pues no existe ningún conjunto $x$ tal que $x\in \set{\emptyset}$ y $x\in \emptyset$.
  • Consideremos al conjunto $B=\set{\emptyset, \set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}}$. Veamos que existe $u\in B$ tal que $u\cap B=\emptyset$. Dado que $B$ es un conjunto pequeño podemos explorar que ocurre con cada uno de sus elementos:
    – Para $\emptyset\in B$ tenemos que $\emptyset\cap \set{\emptyset, \set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}}=\emptyset$.
    – Ahora, para $\set{\emptyset}\in B$ ocurre que $\set{\emptyset}\cap \set{\emptyset, \set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}}=\set{\emptyset}\not=\emptyset$. Por lo tanto, $\set{\emptyset}$ no es el conjunto que nos funciona.
    – Si consideramos $\set{\set{\emptyset}}\in B$ ocurre que $\set{\set{\emptyset}}\cap \set{\emptyset, \set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}}=\set{\set{\emptyset}}\not=\emptyset$. Por lo tanto, $\set{\set{\emptyset}}$ tampoco funciona.
    Por lo tanto, existe $u=\emptyset\in B$ tal que $u$ y $B$ no tienen elementos en común.
  • Si $C=\set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\emptyset}}}$. Haciendo un análisis de los elementos del conjunto $C$ tenemos lo siguiente:
    – Para $\set{\emptyset}\in C$ tenemos que $\set{\emptyset}\cap \set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\emptyset}}}=\emptyset$ pues $\emptyset\in\set{\emptyset}$ pero $\emptyset\notin \set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\emptyset}}}$.
    – Ahora, para $\set{\emptyset,\set{\emptyset}}\in C$ ocurre que $\set{\emptyset,\set{\emptyset}}\cap \set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\emptyset}}}= \set{\set{\emptyset}}\not=\emptyset$. Por lo tanto, $\set{\emptyset}$ no es el conjunto que nos funciona.
    Por lo tanto, existe $u=\emptyset\in C$ tal que $u$ y $C$ no tienen elementos en común.

$\square$

Conjuntos que no existen

El axioma de buena fundación juega un papel importante para decir que conjuntos no pueden existir. Veamos los siguientes resultados:

Teorema: Para cualquier conjunto $x\not=\emptyset$, no es cierto que $x\in x$. Es decir, ningún conjunto se puede pertenecer a si mismo.

Demostración:
Supongamos que si existe un conjunto $x\not=\emptyset$ tal que $x\in x$. Luego, $\set{x}$ es un conjunto por el axioma de par y es tal que $x\in \set{x}$.
De lo anterior tenemos que $x\cap \set{x}=x$ lo cuál contradice al axioma de buena fundación. Dado que la contradicción vino de suponer que existe $x\not=\emptyset$ tal que $x\in x$ va a resultar que no existe un conjunto que haga tal cosa.

$\square$

Teorema: Sean $a$ y $b$ conjuntos no vacíos. No existen ciclos de la forma $a\in b\in a$.

Demostración:
Supongamos que si existen ciclos de $a\in b\in c$. Luego, por el axioma de par podemos considerar al conjunto $\set{a,b}$. Dado que $\set{a,b}$ es un conjunto pequeño podemos analizar que pasa con cada uno de sus elementos:
– Para $a\in\set{a,b}$ tenemos que $a\cap\set{a,b}\not=\emptyset$ pues $b\in a$ y $b\in \set{a,b}$,
– Si tomamos a $b\in\set{a,b}$ tenemos que $b\cap\set{a,b}\not=\emptyset$ pues $a\in b$ y $a\in \set{a,b}$.

Sin embargo, en todas las posibilidades obtenemos una contradicción al axioma de fundación. Así, no existen ciclos de la forma $a\in b\in a$.

$\square$

El conjunto de todos los conjuntos

Antes probamos que la colección que tiene como elementos a todos los conjuntos no es un conjunto con ayuda de la paradoja de Russell. En esta sección también probaremos que no es un conjunto pero esta vez apoyados del axioma de buena fundación.

Proposición: Para cualquier conjunto $x$, $\mathcal{P}(x)\not\subseteq x$.

Demostración:

Supongamos que $\mathcal{P}(x)\subseteq x$, entonces para cualquier $y\in \mathcal{P}(x)$, $y\in x$. Dado que $x\subseteq x$, entonces $x\in \mathcal{P}(x)$. Así, $x\in x$ y por lo tanto, $x\cap \mathcal{P}(x)\not=\emptyset$. Esto último contradice al axioma de buena fundación. Por lo tanto, para cualquier conjunto $x$, $\mathcal{P}(x)\not\subseteq x$.

$\square$

Teorema: Demuestra que el conjunto de todos los conjuntos no existe.

Demostración:

Supongamos que si existe. Sea $V$ el conjunto de todos los conjuntos. Por axioma de conjunto potencia tenemos que $\mathcal{P}(V)$ es un conjunto y es tal que $\mathcal{P}(V)\not\subseteq V$. Así, existe $x\in \mathcal{P}(V)$ tal que $x\notin V$ lo que comtradice que $V$ tiene a todos los conjuntos.

Por lo tanto, el conjunto de todos los conjuntos no existe.

$\square$

La intersección del conjunto vacío

Así como existen diversas formas de escribir al conjunto vacío, también hay varias formas de escribir a la colección de todos los conjuntos. Resulta que si queremos intersecar al conjunto vacío no obtenemos al vacío, sino que obtenemos dicha colección, al conjunto universo.

$\bigcap \emptyset$ no es un conjunto.

Demostración: Supongamos que $\bigcap\emptyset$ si es un conjunto. Sea $x\in \bigcap\emptyset$, entonces para cualquier $y$ tal que $y\in \emptyset$ implica que $x\in y$. Sin embargo, $y\in \emptyset$ es falso para cualquier conjunto $y$ y por lo tanto, para cualquier $y$ tal que $y\in \emptyset$ implica que $x\in y$ es verdadero. (Ver tabla de verdad del conectivo implicación: Teoría de los Conjuntos I: Repaso sobre lenguaje de la Teoría de los Conjuntos)

Esto significa que cualquier conjunto que demos va a pertenecer a $\bigcap \emptyset$, es decir, este conjunto tiene como elementos a todos los conjuntos. Es decir, $\bigcap \emptyset= V$, y por tanto no es un conjunto.

$\square$

Tarea moral

  • Prueba que para $A_1, A_2,\cdots A_n$ conjuntos, el ciclo $A_0\in A_1\in A_2\in\cdots\in A_n\in A_0$ no existe.
  • Sea $A=\set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}}$. Exhibe $u\in A$ tal que $u\cap A=\emptyset$.
  • Sea $B=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}}$. Exhibe $u\in B$ tal que $u\cap B=\emptyset$.
  • Da una propiedad que describa al conjunto de todos los conjuntos.
  • Prueba que para cualquier conjunto $X$, $X\cap \emptyset=\emptyset$.

Más adelante…

En la siguiente sección hablaremos acerca de los axiomas débiles de la teoría de los conjuntos. Así mismo veremos como dichos axiomas junto con el de esquema de comprensión implican los axiomas que hemos visto hasta ahora. De modo que la siguiente entrada nos servirá para hacer un recordatorio sobre todo lo que hemos visto hasta este momento.

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Teoría de los Conjuntos I: Operaciones entre conjuntos

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

A continuación definiremos algunas de las operaciones que hay entre conjuntos como lo son la unión, intersección y diferencia. Retomaremos algunas axiomas como el de unión y el axioma esquema de comprensión, para ver que estas operaciones definen nuevos conjuntos.

Unión

Definición: Si $A$ y $B$ son conjuntos, entonces definimos la unión de $A$ y $B$ como:


$A\cup B=\bigcup\set{A,B}$

o bien,

$A\cup B= \set{x: x\in A\ o\ x\in B}$

Ejemplos:

  1. Consideremos los conjuntos $A= \set{\emptyset}$ y $B= \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$. Luego, $A\cup B=\bigcup\set{A,B} = \bigcup\set{\emptyset, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}=B$.
  2. Ahora, consideremos $A=\set{\set{\emptyset}}$ y $B=\set{\set{\set{\emptyset}}}$. Tendremos que $A\cup B=\set{\set{\emptyset}}\cup \set{\set{\set{\emptyset}}}=\set{\set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}}$.

$\square$

Propiedades de la unión

Proposición: Para cualquier conjunto $A$ se tiene que $A\subseteq A\cup B$. Además, $A\cup B= B\cup A$.

Demostración:
Primero veamos que $A\subseteq A\cup B$. Supongamos que $x\in A$, entonces $x\in A$ o $x\in B$ es verdadero para cualquier conjunto $B$, dado que estamos suponiendo que $x\in A$ si ocurre.
Si $x\in B$ es verdadero, tendremos que $x\in A$ o $x\in B$ es verdadero, y si $x\in B$ es falso, entonces $x\in A$ o $x\in B$ es verdadero. (Ver tablas de verdad en Teoría de los Conjuntos I: Repaso sobre lenguaje de la Teoría de los Conjuntos).

Por lo que no importa el valor de verdad que tenga la proposición $x\in B$, siempre que ocurra $x\in A$ va a resultar que $x\in A$ o $x\in B$ es verdadero, y así $x\in A\cup B$.

La unión es conmutativa

Luego, para ver que $A\cup B= B\cup A$ tenemos que $x\in A\cup B$ si y sólo si $x\in A$ o $x\in B$, si y sólo si $x\in B$ o $x\in A$ (pues la tabla de verdad de «$p\vee q$» es equivalente a la de «$q\vee p$»), si y sólo si $x\in B\cup A$. Esto prueba que la unión es conmutativa.

$\square$

Proposición: Sea $A$ un conjunto tal que $A\in S$, entonces $A\subseteq \bigcup S$.

Demostración:
Supongamos que $A\in S$ y sea $x\in A$, tenemos que $x\in \bigcup S$. En efecto, para $x\in A$ arbitrario existe $y\in S$ tal que $x\in y$, a saber $y=A$. Por lo tanto, $A\subseteq S$.

$\square$

Intersección

Definición: Sean $A$ y $B$ conjuntos. La intersección de dos conjuntos estará definida como sigue:

$A\cap B=\set{x:x\in A\ y\ x\in B}$.

Proposición: Demuestra que $A\cap B$ es un conjunto.

Demostración: Sean $A$ y $B$ conjuntos.

Definamos la propiedad «$P(x)=x\in B$». Por el axioma esquema de comprensión se tiene que

$\set{x\in A:P(x)}=\set{x\in A:x\in B}$

es un conjunto.

Luego, $\set{x\in A:x\in B}=A\cap B$. En efecto, $x\in A\cap B$ si y sólo si $x\in A$ y $x\in B$ si y sólo si $x\in \set{x\in A:x\in B}$.

Por lo tanto, $A\cap B$ es conjunto.

$\square$

Ejemplos:

  1. Consideremos $A=\set{\emptyset}$ y $B=\set{\set{\emptyset}}$, tenemos que $A\cap B=\emptyset$ esto último debido a que no existe ningún elemento $x$ tal que $x\in \set{\emptyset}$ y $x\in\set{\set{\emptyset}}$ al mismo tiempo. De ocurrir, tendriamos que $x=\emptyset$ y $x=\set{\emptyset}$ y por lo tanto, $\emptyset=\set{\emptyset}$ lo cual sabemos que no ocurre. Por lo tanto, $A\cap B=\emptyset$.
  2. Sean $A=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$ y $B=\set{\emptyset}$ conjuntos. Notemos que en este ejemplo el único elemento que está tanto en el conjunto $A$ como en el conjunto $B$ es $x=\emptyset$. De este modo, $A\cap B=\set{\emptyset}$

$\square$

Definición: Sea $A$ un conjunto no vacío, definimos a la intersección de $A$ como el conjunto:

$\bigcap A=\set{x: \forall y\in A(x\in y)}$.

Ejemplo:

Sea $A=\set{\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$, tenemos que $\bigcap A=\emptyset$. En efecto, ya que no existe ningún elemento $x$ que pertenezca a todos los elementos de $A$.

$\square$

Propiedades de la intersección

Teorema: Para cualesquiera $A$, $B$ conjuntos, tenemos que:

  1. $A\cap B\subseteq A$,
  2. $A\cap A=A$,
  3. $A\cap B=B\cap A$.

Demostración:

  1. Sea $x\in A\cap B$. Veamos que $x\in A$.
    Como $x\in A\cap B$ tenemos por definición de intersección que $x\in A$ y $x\in B$. En particular, $x\in A$. Por lo tanto, $A\cap B\subseteq A$.
  2. Tomemos $x\in A\cap A$. Veamos que $x\in A$.
    Que $x\in A\cap A$ es equivalente a decir que $x\in A$ y $x\in A$ si y sólo si $x\in A$. Por lo tanto, $A\cap A=A$.
  3. $A\cap B=B\cap A$ pues $x\in A\cap B$ arbitrario si y sólo si $x\in A$ y $x\in B$, si y sólo si $x\in B$ y $x\in A$, si y sólo si $x\in B\cap A$.

$\square$

Diferencia

Definición: Sean $A$ y $B$ conjuntos. La diferencia de $A$ con $B$ estará definida como sigue:

$A\setminus B=\set{x:x\in A\ y\ x\notin B}$.

Proposición: Demuestra que $A\setminus B$ es un conjunto.

Demostración: Sean $A$ y $B$ conjuntos.

Definamos la propiedad «$P(x)=x\notin B$». Por el axioma esquema de comprensión se tiene que

$\set{x\in A:P(x)}=\set{x\in A:x\notin B}$

es un conjunto.

Luego, $\set{x\in A:x\notin B}=A\setminus B$. En efecto, $x\in A\setminus B$ si y sólo si $x\in A$ y $x\notin B$ si y sólo si $x\in \set{x\in A:x\notin B}$.

$\square$

Ejemplos:

  1. Consideremos $A=\set{\emptyset}$ y $B=\set{\set{\emptyset}}$, tenemos que $A\setminus B=\set{\emptyset}$ pues el único elemento que cumple estar en $A$ y no pertenecer al conjunto $B$ es $\emptyset$.
  2. Sea $A=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y $B=\set{\emptyset}$. Luego,
    $A\setminus B=\set{x\in A:x\notin B}=\set{x\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}}: x\notin\set{\emptyset}}= \set{\emptyset}$.

Propiedades de la diferencia

Teorema: Para cualesquiera $A$, $B$ conjuntos, tenemos que:

  1. $A\setminus \emptyset= A$,
  2. $A\setminus A=\emptyset$,
  3. $A\setminus B=A\setminus (A \cap B)$.

Demostración:

  1. Sea $x\in A\setminus \emptyset$., entonces $x\in A$ y $x\notin \emptyset$. En particular $x\in A$, por lo tanto $A\setminus \emptyset\subseteq A$.
    Luego, supongamos que $x\in A$. Como $x\notin \emptyset$ es verdadero para cualquier conjunto $x$, tenemos que $x\in A$ y $x\notin \emptyset$ es verdadero. Por lo tanto, $x\in A\setminus \emptyset$ y así $A\subseteq A\setminus \emptyset$.
    De lo anterior tenemos que $A=A\setminus \emptyset$.
  2. Supongamos que $A\setminus A\not=\emptyset$, es decir, existe al menos un elemento $x\in A\setminus A$. Entonces $x\in A$ y $x\notin A$, lo cual no puede ocurrir. Dado que la contradicción provino de suponer que $A\setminus A\not=\emptyset$, concluimos que $A\setminus A=\emptyset$.
  3. Veamos que $A\setminus B=A\setminus (A \cap B)$.
    $\subseteq$] Sea $x\in A\setminus B$, entonces $x\in A$ y $x\notin B$. Luego, como $x\notin B$ entonces $x\notin A$ o $x\notin B$ es verdadero. Lo que equivale a decir que $x\notin (A\cap B)$. Por lo tanto, $x\in A$ y $x\notin (A \cap B)$ y así, $A\setminus B\subseteq A\setminus(A\cap B)$.
    $\supseteq$] Sea $x\in A\setminus (A\cap B)$, entonces $x\in A$ y $x\notin (A\cap B)$. Lo que equivale a decir que $x\in A$ y ($x\notin A$ o $x\notin B$). Dado que $x\notin A$ no puede ocurrir pues $x\in A$, entonces $x\notin B$. Por lo tanto, $x\in A$ y $x\notin B$ y así, $A\setminus(A\cap B)\subseteq A\setminus B$.
    Por lo tanto, $A\setminus(A\cap B)= A\setminus B$

$\square$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te servirán para poner en practica los conocimientos que has adquirido en este sección, en la siguiente lista podrás probar las siguientes propiedades de la unión, intersección y diferencia de conjuntos:

  • Verifica que si $p$ y $q$ son proposiciones, entonces $p\vee q\equiv q\vee p$.
  • Verifica que si $p$ y $q$ son proposiciones, entonces $\neg(p\land q)\equiv (\neg p\vee \neg q)$.
  • Prueba que para cualesquiera $A$, $B$ y $C$ conjuntos, $A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C$.
  • $A\cap (B\cap C)= (A\cap B)\cap C$.
  • Prueba que para cualesquiera $A$, $B$ y $C$ conjuntos:
    – $A\cup (B\cap C)= (A\cup B)\cap(A\cup C)$,
    – $A\cap (B\cup C)= (A\cap B)\cup(A\cap C)$.
  • Si $A\subseteq C$ y $B\subseteq C$ entonces $A\cap B\subseteq C\cap D$.
  • Demuestra que $A\setminus B=A$ si y sólo si $A\cap B=\emptyset$.

Más adelante…

En la siguiente sección retomaremos la definición de intersección de conjuntos y mencionaremos el axioma de buena fundación. Además abordaremos el tema de la colección de todos los conjuntos apoyados de este último axioma. Finalmente, veremos que la intersección del conjunto vacío resulta ser la clase de todos los conjuntos.

Enlaces

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Álgebra Superior I: Propiedades del producto cartesiano

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Introducción

La vez pasada dimos la definición de parejas ordenadas y el producto cartesiano. Estas ideas tenían que ver con «relacionar» dos conjuntos mediante las parejas ordenadas, ahora exploraremos más sobre el producto cartesiano. En esta entrada revisaremos algunas propiedades interesantes e importantes sobre el producto cartesiano entre dos conjuntos, viendo cómo se comporta con el conjunto vacío y algunos operadores de conjuntos.

Propiedades del producto cartesiano

Algunas de las preguntas que nos pueden surgir al momento de trabajar con los productos cartesianos es cómo estos se comportan con algunos operadores. Por ejemplo la unión y la intersección o la relación de contención. En esta entrada revisaremos algunos resultados útiles a la hora de trabajar con el producto cartesiano.

Trabajando con el vacío

Considera a un conjunto $X$. ¿Cómo será su producto cartesiano con el conjunto vacío?. Pues recuerda que:

$$ X \times \emptyset = \{(x,y): x\in X \land y \in \emptyset\}$$

Pareciera ser que este conjunto no tendría ningún elemento, ¿no? Pues al observar alguna pareja ordenada $(x,y)$ de este conjunto, resultaría que $y \in \emptyset$. Lo cuál es una contradicción, pues recordemos que el conjunto vacío no tiene elementos.

Proposición. Sea $X$ un conjunto, entonces $X \times \emptyset = \emptyset$.

Demostración. Para demostrar la igualdad de conjuntos, deberíamos demostrar que el conjunto de la izquierda está contenido en la derecha, pero notemos que el conjunto de la derecha es el conjunto vacío, y como recordarás, el conjunto vacío, siempre será subconjunto de cualquier conjunto. Esto nos ahorra una contención, y solo habrá que demostrar la contención que falta.

$\subset$. Para demostrar que cada elemento $(x,y) \in X \times \emptyset$ está contenido en el conjunto vacío, será suficiente demostrar que no podemos tomar ningún elemento de dicho conjunto, pues no tiene elementos, ya que ningún elemento cumplirá la definición del conjunto: $x\in X \land y \in \emptyset$. Cuando queremos demostrar que un conjunto es vacío, lo que haremos es hacerlo por reducción al absurdo, suponiendo que sí tiene elementos para llegar a una contradicción.

Para ello, supón $(x,y) \in X \times \emptyset$ (existe algún elemento en el conjunto). Entonces $x \in X$ y $y \in \emptyset$, pero esto es una contradicción, pues el conjunto vacío no tiene elementos por definición. Así, concluímos que $X \times \emptyset \subset \emptyset$.

Más aún, hemos demostrado la igualdad entre conjuntos, pues como dijimos al principio, todo conjunto tiene como subconjunto al vacío. De esta manera $X \times \emptyset = \emptyset$.

$\square$

El mismo argumento puede ser usado para demostrar que $\emptyset \times X = \emptyset$, pues no existen elementos que cumplan la definición de pertenencia del lado derecho.

Contención entre productos cartesianos

Para la siguiente propiedad, veremos cómo es que se comporta el producto cartesiano con la contención de conjuntos. Consideraremos ahora dos conjuntos $X,Y$. Notemos que un elemento del producto cartesiano de $X \times Y$ es de la forma $(x,y)$ donde $x \in X \land y \in Y$. Ahora nota que si $X \subset W \land Y \subset Z$, entonces $(x,y)$ también serán parte del producto cartesiano entre $W$ y $Z$, pues $x \in W \land y \in Z$. Esto es lo que nos dice la siguiente proposición:

Proposición. Sean $W,Z$ dos conjuntos y $X \subset W$, $Y \subset Z$. Entonces: $$X \times Y \subset W \times Z$$

Demostración. Para la demostración, consideremos $(x,y) \in X \times Y$. Lo que habrá que demostrar es que $(x,y) \in W \times Z$. Para ello, nota que si $(x,y) \in X \time Y$ entonces $x \in X$ y al tener la hipótesis $X \subset W$, concluímos que $x \in W$. De manera análoga, $y \in Z$. de esta manera $(x,y) \in W \times Z$

$\square$

Corolario. Sean $X,Y$ dos conjuntos, entonces $X \times X = Y \times Y$ si y solo si $X=Y$.

Esta última demostración no se va a resolver aquí, pero es sencillo notar que la igualdad entre productos cartesianos implica que $X \times X$ es subconjunto de $Y \times Y$ y viceversa, lo cual se puede utilizar para demostrar la contención entre conjuntos.

Propiedades con la unión e intersección

Las siguientes propiedades que vamos a probar serán las referentes a la unión y a la intersección. Para la primera idea de la unión, consideremos al conjunto $$X = \{1,2\}$$ y a los conjuntos $$Y_1 = \{a\}, Y_2 = \{b\}. $$

Entonces el conjunto $$X \times Y_1 = \{(1,a),(2,a)\}.$$ Y el conjunto $$X \times Y_2 = \{(1,b),(2,b)\}. $$De tal manera que si juntamos estos productos cartesianos, nos queda el siguiente conjunto:

$$X \times Y_1 \cup X \times Y_2 = \{(1,a),(2,a),(1,b),(2,b)\}.$$

Nota ahora que si hacemos el producto cartesiano de $X$ con $Y_1 \cup Y_2$, resulta que:

$$X \times (Y_1 \cup Y_2) = \{1,2\} \times \{a,b\}= \{(1,a),(2,a),(1,b),(2,b)\}.$$

De esta manera, $$X \times (Y_1 \cup Y_2)= X \times Y_1 \cup X \times Y_2 .$$

Esto es lo que nos dice la siguiente proposición:

Proposción. Sean $X,Y,Z$ tres conjuntos, entonces $$X \times (Y \cup Z) = X \times Y \cup X \times Z.$$

Demostración.

$\subset.$ Considera $(x,y) \in X \times (Y \cup Z)$. Entonces $x \in X$ y $y \in Y \cup Z$. Nota entonces que tenemos dos casos para $y$.

Caso 1. $y \in Y$

En este caso, $(x,y) \in X \times Y \subset X \times Y \cup X \times Z$, al tener esta última contención, concluimos que se cumple que $X \times (Y \cup Z) \subset X \times Y \cup X \times Z.$

Caso 2. $y \in Z$

Esta demostración es análoga al caso anterior, esto quiere decir que seguimos un razonamiento muy similar que no requiere de pasos muy distintos a los que hicimos. Podemos dejarlo así, pero pondremos el razonamiento análogo para que veas por qué decimos que es análogo.
En este caso, $(x,y) \in X \times Z \subset X \times Y \cup X \times Z$, al tener esta última contención, concluimos que se cumple que $X \times (Y \cup Z) \subset X \times Y \cup X \times Z.$

En cualquiera de los casos, es cierto que $X \times (Y \cup Z) \subset X \times Y \cup X \times Z.$

$\supset.$ Para demostrar la otra contención, simplemente notemos que tanto $X \times Y$ como $X \times Z$ están contenidos en $X \times (Y \cup Z)$. (Recuerda que si dos conjuntos están contenidos en otro conjunto, entonces su unión queda contenida en el conjunto). Para ello, nota que:

$$\begin{align*}
X \times Y &= \{(x,y):x \in X \land y \in Y\}\\
&\subset\{(x,y):x \in X \land y \in (Y \cup Z)\}\\
&= X \times (Y \cup Z)
\end{align*} $$

De igual manera:

$$\begin{align*}
X \times Z &= \{(x,y):x \in X \land y \in Z\}\\
&\subset\{(x,y):x \in X \land y \in (Z \cup Y)\}\\
&=\{(x,y):x \in X \land y \in (Y \cup Z)\}\\
&= X \times (Y \cup Z)
\end{align*} $$

De esta manera $X \times Y \subset X \times (Y \cup Z)$ y $X \times Z \subset X \times (Y \cup Z)$ de manera que $X \times Y \cup X \times Z\subset X \times (Y \cup Z)$

Por lo tanto $X \times Y \cup X \times Z = X \times (Y \cup Z)$

$\square$

Otra propiedad interesante es con la intersección, pues de manera similar si $$X = \{1,2\}$$ y los conjuntos $$Y_1 = \{a,b,c,d,e,1,f\}, Y_2 = \{1,2,3,4,5,a,6\} $$ entonces se cumple que $$X \times Y_1 \cap X \times Y_2 = \{(1,a),(2,a),(1,1),(2,1)\}.$$
Y $$X \times (Y_1 \cap Y_2) = \{(1,a),(2,a),(1,1),(2,1)\}.$$ De esta manera, $X \times Y_1 \cap X \times Y_2 = X \times (Y_1 \cap Y_2)$. Esto es otra proposición:

Proposición. Sean $X,Y,Z$ tres conjuntos, entonces $$X \times Y \cap X \times Z = X \times (Y \cap Z)$$

Demostración. Podemos hacer la demostración como en la proposición anterior, pero vamos a demostrarlo ahora por la definición de los conjuntos. Para esto, nota que:

$$\begin{align*}
X \times (Y \cap Z) &= \{(x,y):x \in X \land y \in (Y \cap Z)\} \\
&= \{(x,y):(x \in X \land y \in Y) \land (x \in X \land y \in Z)\}\\
&= \{(x,y):x \in X \land y \in Y\} \cap \{(x,y):x \in X \land y \in Z\}\\
&= X \times Y \cap X \times Z
\end{align*}$$

$\square$

Es con esto que tenemos algunas de las propiedades del producto cartesiano. Más aún, también hemos continuado con algunas distintas formas de demostrar conjuntos. Ambas formas de demostración de las proposiciones son válidas y son diferentes formas de demostrar.

Como pudiste observar, en general el producto cartesiano se comporta bien con los operadores entre conjuntos, siendo el producto cartesiano de la intersección, la intersección de los productos cartesianos y lo mismo sucede con la unión.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Demuestra que si $X$ es un conjunto, entonces $\emptyset \times X = \emptyset$.
  2. Demuestra que si $X,Y$ son dos conjuntos, entonces $X \times X = Y \times Y$ si y solo si $X=Y.$
  3. Sean $X,Y,Z$ tres conjuntos. Demuestra que:
    • $(X \cup Y) \times Z = X \times Z \cup Y \times Z$
    • $(X \cap Y) \times Z = X \times Z \cap Y \times Z$
  4. Demuestra que si $X,Y,Z$ son tres conjuntos, entonces:
    • $X \times (Y \triangle Z) = X \times Y \triangle X \times Z$
    • $(X \triangle Y) \times Z = X \times Z \triangle Y \times Z$

Más adelante…

Ahora que hemos visto algunas propiedades del producto cartesiano, procederemos a definir el siguiente concepto: las relaciones binarias entre conjuntos. Como pudiste observar con el producto cartesiano, este nos permite «unir» elementos de un conjunto con otro. Pues las relaciones serán un subconjunto del producto cartesiano y estudiaremos las distintas formas de relaciones.

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