Teoría de los Conjuntos I: Propiedades del producto cartesiano (parte II)

En esta sección vamos a ver otras de las propiedades del producto cartesiano. Estas propiedades hacen referencia al comportamiento del producto cartesiano con respecto a las operaciones que definimos antes: unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica.

Producto cartesiano y unión

Las siguientes dos proposiciones verifican que el producto cartesiano distribuye a la unión:

Proposición: Demuestra que $(A\cup B)\times C=(A\times C)\cup (B\times C)$.

Demostración:

Sea $(x,y)\in (A\cup B)\times C$
si y sólo si $x\in A\cup B$ y $y\in C$
si y sólo si $(x\in A$ o $x\in B)$ y $y\in C$
si y sólo si $(x\in A$ y $y\in C)$ o $(x\in B$ y $y\in C)$
si y sólo si $(x,y)\in A\times C$ o $(x,y)\in B\times C$
si y sólo si $(x, y)\in (A\times C)\cup (B\times C)$.

$\square$

Proposición: Demuestra que $A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$.

Demostración:

Sea $(x,y)\in A\times (B\cup C)$
si y sólo si $x\in A$ y $y\in B\cup C$
si y sólo si $x\in A$ y $(y\in B$ o $y\in C)$
si y sólo si $(x\in A$ y $y\in B)$ o $(x\in A$ y $y\in C)$
si y sólo si $(x,y)\in A\times B$ o $(x,y)\in A\times C$
si y sólo si $(x, y)\in (A\times B)\cup (A\times C)$.

$\square$

Proposición: Demuestra que para cualesquiera $A, B, C, D$ conjuntos no vacíos ocurre que $(A\times C)\cup (B\times D)\subseteq (A\cup B)\times (C\cup D)$.

Demostración:

Sean $A, B, C, D$ conjuntos no vacíos. Tomemos $(x,y)\in (A\times C)\cup (B\times D)$ arbitrario, entonces $(x,y)\in A\times C$ o $(x,y)\in B\times D$.

Si $(x, y)\in A\times C$, entonces $x\in A$ y $y\in C$. Luego, como $A\subseteq A\cup B$ y $C\subseteq C\cup D$ se sigue que $x\in A\cup B$ y $y\in C\cup D$. Así, $(x,y)\in (A\cup B)\times (C\cup D)$.

Si $(x, y)\in B\times D$, entonces $x\in B$ y $y\in D$. Luego, como $B\subseteq A\cup B$ y $D\subseteq C\cup D$ se sigue que $x\in A\cup B$ y $y\in C\cup D$. Así, $(x,y)\in (A\cup B)\times (C\cup D)$.

$\square$

Producto cartesiano e intersección

Con la siguientes dos demostraciones podremos ver que el producto cartesiano se distribuye sobre la intersección:

Proposición: Demuestra que $(A\cap B)\times C=(A\times C)\cap (B\times C)$.

Demostración:

Sea $(x,y)\in (A\cap B)\times C$
si y sólo si $x\in A\cap B$ y $y\in C$
si y sólo si $(x\in A$ y $x\in B)$ y $y\in C$
si y sólo si $(x\in A$ y $y\in C)$ y $(x\in B$ y $y\in C)$
si y sólo si $(x,y)\in A\times C$ y $(x,y)\in B\times C$
si y sólo si $(x, y)\in (A\times C)\cap (B\times C)$.

$\square$

Proposición: Demuestra que $A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)$.

Demostración:

Sea $(x,y)\in A\times (B\cap C)$
si y sólo si $x\in A$ y $y\in B\cap C$
si y sólo si $x\in A$ y $(y\in B$ y $y\in C)$
si y sólo si $(x\in A$ y $y\in B)$ y $(x\in A$ y $y\in C)$
si y sólo si $(x,y)\in A\times B$ y $(x,y)\in A\times C$
si y sólo si $(x, y)\in (A\times B)\cap (A\times C)$.

$\square$

Proposición: Demuestra que para cualesquiera $A, B, C, D$ conjuntos no vacíos ocurre que $(A\times C)\cap (B\times D)= (A\cap B)\times (C\cap D)$.

Demostración:

Sean $A, B, C, D$ conjuntos no vacíos. Tenemos que:
$(x,y)\in (A\times C)\cap (B\times D)$
si y sólo si $(x,y)\in A\times C$ y $(x,y)\in B\times D$
si y sólo si $(x\in A$ y $y\in C)$ y $(x\in B$ y $y\in D)$
si y sólo si $(x\in A$ y $x\in B)$ y $(y\in C$ y $y\in D)$
si y sólo si $x\in A\cap B$ y $y\in C\times D$
si y sólo si $(x,y)\in (A\cap B)\times (C\cap D)$.

$\square$

Producto cartesiano y diferencia

Con los siguientes resultados probamos que el producto cartesiano se distribuye sobre la diferencia:

Proposición: Sean $A, B, C$ conjuntos no vacíos. Prueba que $A\times (B\setminus C)= (A\times B)\setminus (A\times C)$.

Demostración:

$(x,y)\in A\times (B\setminus C)$
si y sólo si $x\in A$ y $y\in B\setminus C$
si y sólo si $x\in A$ y ($y\in B$ y $y\notin C$)
si y sólo si $(x\in A$ y $y\in B)$ y $(x\in A$ y $y\notin C)$
si y sólo si $(x,y)\in A\times B$ y $(x,y)\notin A\times C$
si y sólo si $(x,y)\in (A\times B)\setminus (A\times C)$.

$\square$

Proposición: Demuestra que $(A\setminus B)\times C=(A\times C)\setminus (B\times C)$.

Demostración:

Sea $(x,y)\in (A\setminus B)\times C$
si y sólo si $x\in A\setminus B$ y $y\in C$
si y sólo si $(x\in A$ y $x\notin B)$ y $y\in C$
si y sólo si $(x\in A$ y $y\in C)$ y $(x\notin B$ y $y\in C)$
si y sólo si $(x,y)\in A\times C$ y $(x,y)\notin B\times C$
si y sólo si $(x, y)\in (A\times C)\setminus (B\times C)$.

$\square$

Producto cartesiano y diferencia simetrica

La siguiente proposición demuestra que el producto cartesiano distribuye a la diferencia simétrica:

Proposición: Sean $A, B, C$ conjuntos no vacíos. Prueba que $A\times (B\triangle C)= (A\times B)\triangle (A\times C)$.

Demostración:

$(x,y)\in A\times (B\triangle C)$
si y sólo si $x\in A$ y $y\in B\triangle C$
si y sólo si $x\in A$ y $(y\in (B\setminus C)\cup (C\setminus B))$
si y sólo si $x\in A$ y $((y\in B$ y $y\notin C)$ o $(y\in C$ y $y\notin B))$
si y sólo si $(x\in A$ y $(y\in B$ y $y\notin C))$ o $(x\in A$ y $(y\in C$ y $y\notin B))$
si y sólo si $((x\in A$ y $y\in B)$ y $(x\in A$ y $y\notin C))$ o $((x\in A$ y $y\in C)$ y $(x\in A$ y $y\notin B))$
si y sólo si $((x,y)\in A\times B$ y $(x,y)\notin A\times C)$ o $((x,y)\in A\times C$ y $(x,y)\notin A\times B)$
si y sólo si $(x,y)\in (A\times B)\setminus (A\times C)$ o $(x,y)\in (A\times C)\setminus (A\times B)$.
si y sólo si $(x,y)\in (A\times B)\triangle (A\times C)$.

$\square$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te permitirán aprender otras propiedades del producto cartesiano:

  • Muestra que no siempre se da la igualdad $(A\times C)\cup (B\times D)= (A\cup B)\times (C\cup D)$.
  • Demuestra que $(A\cup B)\times (C\cup D)=(A\times C)\cup (B\times D)\cup (A\times D)\cup (B\times C)$.
  • $(X\times Y)\setminus (B\times C)=((X\setminus B)\times Y)\cup(X\times (Y\setminus C))$.
  • Demuestra que $(A\triangle B)\times C=(A\times C)\triangle (B\times C)$.

Más adelante

En la siguiente sección definiremos a una relación, para ello utilizaremos el concepto de producto cartesiano y pareja ordenada.

Enlaces

Ver lección anterior: Teoría de los Conjuntos I: Parejas ordenadas y producto cartesiano

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