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Investigación de Operaciones: El problema de producción e inventario

Por Aldo Romero

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Introducción

Ya hemos visto algunos ejemplos en los que se plantea un problema de programación lineal a partir de un contexto específico. Hemos visto el problema de la dieta, el problema de la mochila y el problema del transporte. Hay algunos problemas que parecen un poco más complicados y que no es tan evidente desde el inicio que se pueden plantear como problemas de programación lineal. En esta ocasión veremos uno de ellos: el problema de producción e inventario.

A grandes rasgos, el problema consiste en modelar una fábrica que necesita tener lista cierta cantidad de inventario de un producto en determinados momentos del año. La fábrica puede producir cierta cantidad de producto que depende de la temporada del año. Quizás haya temporadas en las que puede producir más de lo que necesita, pero si hace eso incurrirá en costos de almacenaje. ¿Cómo puede distribuir su producción, almacenaje y despacho la fábrica para minimizar el costo y cumplir con su compromiso de inventario? Veamos a continuación que esta situación se puede plantear en términos de un problema de programación lineal.

Ejemplo del problema de producción e inventario

Una fábrica de alimento para gatos tiene un contrato para entregar las siguientes cantidades de alimento al final de cada uno de los trimestres indicados.

Trimestre1234
Demanda en
toneladas		100150480350

Debido a la estacionalidad de los ingredientes involucrados en la producción de alimento para gato, la fábrica tiene una capacidad de producción trimestral de 150 toneladas en los semestres 1 y 3; y de 260 toneladas en los trimestres 2 y 4.

El costo de producción de cada tonelada de alimento para gato es de \$50,000. Por otro lado, es posible almacenar el producto de un trimestre a otro incurriendo en un costo de \$8,000 por unidad. También se tiene la opción, con objeto de cumplir el contrato, de comprar a un competidor alimento para gato a \$52,000 la tonelada.

Se desea determinar un plan de producción, inventario y compra que satisfaga el contrato a costo mínimo.

Variables de decisión del problema de producción e inventario

Lo que se puede decidir en este problema es cuánto alimento producir en cada semestre, y cuánto alimento comprar a un competidor en cada semestre. De esta manera, planteamos las variables de decisión como sigue:

  • $x_i$ = cantidad de alimento de gato (en toneladas) a producir en el trimestre $i$ , $i=1, \ldots ,4.$
  • $y_i$ = cantidad de alimento de gato (en toneladas) a comprar al competidor en el trimestre $i$, $i=1, \ldots , 4.$

Restricciones del problema de producción e inventario

Una primera cosa a observar es que el alimento de gato que sobre de un periodo a otro puede ser usado para cubrir la demanda del segundo periodo, claro, con la desventaja de que esto incurrirá en un costo. ¿Cómo podemos determinar la cantidad de alimento que sobra? Por ejemplo, el alimento que sobra del primer al segundo periodo sería $x_1+y_1-100$, pues a lo producido y comprado habrá que quitar lo que sí se vendió. De manera similar podemos calcular otros sobrantes.

Con esto en mente, vamos a plantear primero las restricciones de demanda. Lo que requerimos es que todo el alimento sobrante, producido y comprado de cada periodo sea suficiente para cubrir la demanda. De esta manera, tenemos las siguientes restricciones.

\begin{align}
x_1 + y_1 &\geq 100\\
x_2 + y_2 + (x_1 + y_1 – 100) &\geq 150\\
x_3 + y_3 + (x_2 + y_2 + (x_1 + y_1 – 100) – 150) &\geq 480\\
x_4 + y_4 + (x_3 + y_3 + (x_2 + y_2 + (x_1 + y_1 – 100) – 150) – 480) &\geq 350.\\
\end{align}

Si bien estas desigualdades reflejan correctamente lo requerido, las condiciones anteriores son un poco complicadas de escribir. Por esta razón, vamos a introducir algunas variables auxiliares. Estas serán variables que no se deciden sino que están totalmente determinadas por lo que se produce y compra al competidor. De cualquier forma, es útil introducirlas en el modelo, y para dejar claro que dependen de las variables $x_i$, tendremos que establecer algunas restricciones dadas por igualdades. Hagamos esto. Definamos las siguientes variables.

  • $w_i$ = cantidad de fertilizante (en toneladas) en inventario al final del trimestre $i$, $i=1, \ldots , 4.$

Como comentamos arriba, estas variables dependen de las variables $x_i$ y $y_i$; de hecho, por ejemplo: $$w_1 = x_1 + y_1 – 100.$$

Si reescribimos esta restricción obtenemos

$$x_1 + y_1 – w_1 = 100.$$

Análogamente:

\begin{align*}
x_2 + y_2 + w_1 – w_2 = 150\\
x_3 + y_3 + w_2 – w_3 = 480\\
x_4 + y_4 + w_3 – w_4 = 350.\\
\end{align*}

Tenemos una gran ventaja de usar estas restricciones. Es exactamente lo mismo «que se cubra la demanda en cada periodo» a que «lo que nos sobre en cada periodo sea $\geq 0$». Intenta convencerte de esto intuitivamente y luego verifica esto algebraicamente. Por ejemplo, nota que la primera condición de demanda ($x_1+y_1\geq 100$) es exactamente lo mismo que pedir $w_1=0$, y lo mismo para las demás. De esta manera, las restricciones (1),(2),(3) y (4) pueden cambiarse por pedir que cada $w_i\geq 0$.

Con esto terminamos con las restricciones de demanda. Tenemos otras restricciones dadas por la cantidad de toneladas de alimento que se pueden producir cada mes. Estas quedan expresadas en las siguientes desigualdades:

\begin{align*}
x_i \leq 150, i = 1,3\\
x_i \leq 260, i = 2,4.\\
\end{align*}

Finalmente, hay condiciones de no negatividad. Ya dijimos que $w_i\geq 0$ para $i=1,2,3,4$. Además de esto, claramente necesitamos

\begin{align*}
x_i, y_i,\geq 0 \quad i=1, \ldots , 4.
\end{align*}

Función objetivo del problema de producción e inventario

En cada periodo tenemos ciertas toneladas que se producen, ciertas que se compran y ciertas que se obtuvieron por almacenar de periodos anteriores. Cada una de ellas incurre en un costo.

Como cada tonelada producida cuesta \$50,000, el total de gasto por toneladas de alimento de gato producidas es de $50000(x_1+x_2+x_3+x_4)$. Como cada tonelada comprada a un competidos cuesta \$52,000, el total de gasto por toneladas de alimento de gato adquiridas a un competidor es de $52000(y_1+y_2+y_3+y_4)$. De manera similar, el costo incurrido por almacenar sobrantes es de $8000(w_1+w_2+w_3+w_4)$. Si juntamos todo en notación suma obtenemos que el costo total a minimizar es el siguiente:

\begin{align*}
z = 50000\sum_{i=1}^4 x_i + 52000\sum_{i=1}^4y_i + 8000\sum_{i=1}^4w_i.
\end{align*}

Resumen de formulación del problema de producción e inventario

En resumen, el PPL que obtenemos es:

\begin{align*}
Min \quad z &= 50000\sum_{i=1}^4 x_i + 52000\sum_{i=1}^4y_i + 8000\sum_{i=1}^4w_i.
&\\
s.a.&\\
x_1&+y_1-w_1 &= 100\\
x_2&+y_2+w_1-w_2 &= 150\\
x_3&+y_3+w_2-w_3 &= 480\\
x_4&+y_4+w_3-w_4 &= 350\\
&x_i \leq 150, i =1,3, \quad x_i \leq 260, i = 2,4\\
x_i, &y_i,w_i \geq 0, i=1, 2, 3, 4.\\
\end{align*}

Más adelante…

En este problema introducimos las variables $w_i$, y ese es uno de los trucos para ampliar el tipo de situaciones que se pueden atender con problemas de programación lineal. La siguiente entrada muestra nuestro último ejemplo introductorio: el problema de la ruta más corta. Como veremos, en este problema también es necesario aprovechar la situación del problema de manera creativa para poder llevarlo a un contexto lineal.

Tarea moral

  1. El problema se vuelve mucho más sencillo si únicamente hay un periodo, pues en ese caso no sobra inventario de un periodo a otro. Plantea un problema que refleje esta situación en el caso particular de la entrada y resuélvelo. Es decir, determina en ese (único periodo) cuál es la cantidad correcta de unidades a producir y cuál es la cantidad correcta de unidades a comprar al competidor, para optimizar el costo total.
  2. Cambia el planteamiento dado en la entrada por uno en el que el costo de almacenaje es de \$0. En ese caso, ¿cuál sería el plan de producción, inventario y compra óptimo?
  3. Estudia el planteamiento dado en la entrada y realiza cambios ya sea en las variables o restricciones para reflejar las siguientes situaciones:
    1. No hay ningún competidor al que se le pueda comprar producto para ayudar a cumplir la demanda.
    2. Hay un competidor, pero sólo permite comprarle 100 toneladas por periodo.
  4. En esta entrada dimos la formulación de un caso particular del problema de producción e inventario. Sin embargo, ya tienes todas las herramientas para plantear el problema de manera general. Realiza una formulación general en la que:
    1. Se tengan periodos $p_1, p_2, \ldots, p_n$ con requisitos de contrato $r_1, r_2, \ldots, r_n$ unidades a cubrir.
    2. Se tengan capacidades de producción $c_1, c_2, \ldots, c_n$ unidades en cada periodo.
    3. Se tengan costos $P$, $C$ y $A$ de producir, comprar al competidor y almacenar una unidad de producto, respectivamente.
  5. En un problema general de producción e inventario. ¿Por qué podría ser mala idea producir todo lo que se necesita vender? ¿Por qué podría ser mala idea producir mucho más de lo necesario en las temporadas en las que se puede? ¿Por qué podría ser mala idea cubrir toda la demanda con unidades compradas al competidor? Intenta justificar intuitivamente, y luego encuentra algunos casos particulares del problema que apoyen tus argumentos.

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Geometría Analítica I: Polinomios cuadráticos y curvas cuadráticas

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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Introducción

Lo primero que queremos determinar en un problema de clasificación es cuáles son los objetos que clasificaremos. En esta entrada los definimos con toda precisión: serán los polinomios cuadráticos en dos variables y las curvas cuadráticas.

Los primeros son expresiones algebraicas que mezclan a dos variables $x$ y $y$ mediante sumas y productos, pero teniendo grado dos. Las segundas son aquellos conjuntos del plano en donde se anula un polinomio cuadrático.

Polinomios cuadráticos en dos variables

Comencemos con una definición algebraica.

Definición. Un polinomio cuadrático en dos variables $P$ es una función $P:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ de la forma $$P((x,y))=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F,$$ para algunos reales $A,B,C,D,E,F$, en donde alguno de $A$, $B$ ó $C$ es distinto de cero.

En ocasiones, para abreviar «polinomio cuadrático en dos variables» simplemente usaremos las siglas «PCDV».

Ejemplo. Todas las expresiones que aparecen en las cónicas canónicas que hemos estudiado son PCDVs. Por ejemplo, la ecuación canónica de la elipse $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ puede reescribirse como $$b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2=0.$$ Del lado izquierdo de esta igualdad tenemos un PCDV. De manera similar, la ecuación canónica de la parábola $y^2=4px$ puede reescribirse como $y^2-4px=0$. Una vez más al lado izquierdo nos aparece un PCDV.

$\square$

Ejemplo. Si consideramos las dos rectas $3x+5y+1=0$ y $2x-2y+1=0$ y «multiplicamos» sus ecuaciones, entonces obtenemos de nuevo un PCDV pues el producto es:

\begin{align*}
(3x+5y+1)(2x-2y+1)&=6x^2-6xy+3x+10xy-10y^2+5y+2x-2y+1\\
&=6x^2+4xy-10y^2+5x+3y+1.
\end{align*}

$\square$

Curvas cuadráticas

Cuando tenemos una expresión algebraica que depende de dos variables $x$ y $y$, entonces podemos preguntarnos por cómo es la figura geométrica que se obtiene al considerar los puntos $(x,y)$ del plano que hacen que la expresión algebraica sea igual a cero. Un ejemplo de esto es cuando consideramos las expresiones del estilo $Ax+By+C$. Las parejas $(x,y)$ que hacen que esta expresión sea igual a cero forman una recta en el plano. En efecto, forman la recta en forma normal dada por la ecuación $(A,B)\cdot (x,y)=-C$, como puedes verificar.

Esta idea es mucho más general. A partir de los polinomios cuadráticos en dos variables también podemos hacernos la misma pregunta: ¿cómo se ven las parejas $(x,y)$ que anulan un polinomio cuadrático? La respuesta será importante, así que las figuras que se construyen así les damos su propio nombre.

Definición. Una curva cuadrática es el conjunto de puntos $(x,y)$ del plano que anulan a un polinomio cuadrático en dos variables $P$. En otras palabras, es un conjunto de la forma $$\mathcal{C}:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F = 0\}.$$

A $P$ le llamamos el polinomio asociado a $\mathcal{C}$. A $\mathcal{C}$ le llamamos la curva descrita (o dada) por $P$. Quizás usaremos terminología un poco distinta, pero que siga dejando evidente que $P$ y $\mathcal{C}$ están relacionados.

Ejemplo. Ya hemos estudiado anteriormente algunas curvas cuadráticas: las cónicas canónicas. Por ejemplo, si tomamos el PCDV $P((x,y))=4x^2-9y^2-36$ y nos preguntamos para cuáles parejas $(x,y)$ esto es igual a cero, como respuesta tenemos que son aquellas parejas $(x,y)$ tales que $ 4x^2-9y^2-36=0$, lo cual podemos reescribir como $$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1.$$ Esta es la hipérbola canónica de semieje mayor $3$ y semieje menor $2$. Podemos verla en la siguiente figura.

$\square$

Ejemplo. ¿Qué sucede si nos fijamos en la curva descrita por el polinomio cuadrático en dos variables $$ 6x^2+4xy-10y^2+5x+3y+1$$ que construimos en un ejemplo anterior? Si recuerdas, obtuvimos este polinomio cuadrático en dos variables a partir de multiplicar dos expresiones. De esta forma, tenemos que $$ 6x^2+4xy-10y^2+5x+3y+1=0$$ si y sólo si $$ (3x+5y+1)(2x-2y+1) =0.$$ Pero el producto de dos cosas es igual a cero si y sólo si alguna es igual a cero. Así, alguna de las expresiones $3x+5y+1$ y $2x-2y+1$ debe ser igual a cero. Si la primera es cero, entonces $(x,y)$ es un punto en la recta normal $\ell_1$ de ecuación $(3,5)\cdot (x,y) = -1$. Si la segunda es cero, entonces $(x,y)$ es un punto en la recta normal $\ell_2$ de ecuación $(2,-2)\cdot(x,y) = -1$. Así, la curva cuadrática descrita por el PCDV es la unión de $\ell_1$ con $\ell_2$. Podemos verla en la siguiente figura.

$\square$

Forma matricial de polinomios cuadráticos en dos variables

Cuando trabajamos con rectas, nos convenía tener varias formas de expresarlas: la forma paramétrica ayudaba a determinar fácilmente el paralelismo, la forma baricéntrica nos daba fórmulas sencillas para los puntos medios, la forma normal nos permitía encontrar distancias, etc. Así mismo, cuando trabajamos con polinomios cuadráticos en dos variables es de ayuda tener más de una expresión.

Podemos reescribir un polinomio cuadrático en dos variables $$P((x,y))=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F$$ de una manera más compacta usando multiplicación matricial. Para ello, definimos $$M=\begin{pmatrix} A & \frac{B}{2} \\ \frac{B}{2} & C \end{pmatrix}, k=\begin{pmatrix} D \\ E \end{pmatrix}, v=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.$$ Con esta notación, e interpretando a las matrices de $1\times 1$ como reales, tenemos que $P$ se puede reescribir de la siguiente manera: $$P(v)=v.$$

En efecto, al realizar las operaciones en el lado derecho obtenemos:

\begin{align*}
v^t M v + k^t v + F &=\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & \frac{B}{2} \\ \frac{B}{2} & C \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} D & E \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + F\\
&=\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} Ax + \frac{B}{2} y \\ \frac{B}{2} x + C y \end{pmatrix} + Dx + Ey + F\\
&=Ax^2 + Bxy + Cy^2+Dx+Ey+F.
\end{align*}

Observa que cuando pasamos un polinomio cuadrático en dos variables a forma matricial entonces siempre obtenemos una matriz $M$ simétrica.

Ejemplo. La forma matricial del PCDV que encontramos anteriormente $$6x^2+4xy-10y^2+5x+3y+1$$ es

$$ \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ 2 & 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + 1.$$

nota que el coeficiente de $xy$ se tuvo que dividir entre $2$ para llegar a las entradas de la matriz. Es importante recordar esto al pasar de la forma en coordenadas a la forma matricial.

$\square$

En caso de ser necesario, también podemos pasar fácilmente de la forma matricial de un polinomio cuadrático en dos variables a su forma en coordenadas.

Ejemplo. Si comenzamos con el polinomio cuadrático en dos variables con forma matricial $$ \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} – 1, $$

entonces su forma en coordenadas es $$2x^2-2xy+3y^2 – 3y -1.$$

Observa que las entradas $-1$ fuera de la diagonal principal de la matriz al salir se duplican para conformar el coeficiente de $xy$. Es importante recordar esto al pasar de forma matricial a forma en coordenadas.

$\square$

Más adelante…

En esta entrada definimos qué son los polinomios cuadráticos en dos variables y qué son las curvas cuadráticas.

Por un lado, mencionamos que todas las ecuaciones de cónicas canónicas que hemos visto tienen polinomios cuadráticos en dos variables. ¿Será que todas las ecuaciones de cónicas también tienen polinomios cuadráticos en dos variables? Por otro lado, vimos que algunas curvas cuadráticas son cónicas. Pero nos pasó algo un poco raro: en un ejemplo salieron dos rectas que se intersectan, que quizás estrictamente no pensamos como una cónica usual (elipse, hipérbola, parábola).

¿Cómo serán todas las curvas cuadráticas? ¿Serán sólo las cónicas usuales y algunas excepciones o podrán tener formas muy extrañas? Eso lo estudiaremos después.

También en esta entrada vimos la forma matricial de un polinomio cuadrático en dos variables. De momento, no hemos hablado de la utilidad que tiene pensar a un PCDV así. Sin embargo, en la siguiente entrada veremos que esta expresión es fundamental para ver qué sucede cuando «combinamos» un polinomio cuadrático con una transformación afín.

Tarea moral

  1. Usa alguna herramienta tecnológica (como GeoGebra) para trazar las curvas cuadráticas descritas por los siguientes polinomios cuadráticos en dos variables:
    • $x^2-2xy+3y^2+x-5y+7$
    • $3y^2+5y+x$
    • $x^2+y^2-5x-5y+3$
    • $xy-x-y+7$
    • $-x^2+2xy-3y^2-x+5y-7$
  2. Sea $P:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ dada por $P((x,y))=(Ax+By+C)(Dx+Ey+F)$. Demuestra que $P$ es un polinomio cuadrático en dos variables. Luego, demuestra que:
    1. Si $AE-BD\neq 0$, entonces la curva cuadrática dada por $P$ es la unión de dos rectas que se intersectan.
    2. Si $AE-BD=0$, entones la curva cuadrática dada por $P$ es la unión de dos rectas paralelas (no necesariamente distintas).
  3. Demuestra que la intersección de una recta con una curva cuadrática sólo puede ser:
    1. Vacía,
    2. Un punto,
    3. Dos puntos, o
    4. Una infinidad de puntos.
  4. Demuestra que cualquier curva cuadrática $\mathcal{C}$ puede ser descrita a través de una infinidad de polinomios cuadráticos en dos variables.
  5. Considera la gráfica de la función $f(x)=\sin(x)$. ¿Será que esta gráfica es una curva cuadrática? Intenta demostrar por qué sí o por qué no.

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Álgebra Superior I: Cuantificadores existenciales y universales

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

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Introducción

Hasta ahora hemos visto proposiciones y sus conectores. Por ello, ya podemos decir cómo se manejan las proposiciones al combinarlas, al tener un valor de verdad dado o qué significa que dos proposiciones sean equivalentes.

Sin embargo, hasta ahora hemos trabajado con cierto rigor los objetos a los que nos referimos dentro de una proposición. Por ejemplo cuando decimos la proposición «Este número es impar» puede que sea o no verdadera, pero esto depende de una cosa: el contexto. ¿A qué número nos estamos refiriendo? Podríamos estar en la siguiente conversación: «Hay números distintos a los múltiplos de 2, por ejemplo el 3. Este número es impar. » A esto último, estando en contexto, ya le podríamos asociar un valor de verdad.

En general esto no es así. Podemos ir variando a qué número nos referimos. En ocasiones las proposiciones tienen una variable y, dependiendo el valor de esa variable, cambian su significado o su valor de verdad. En esta entrada formalizamos estas ideas y hablamos de cuantificadores, que nos permitirán «recorrer» todos los valores posibles de una variable.

Términos variables

Volvamos a nuestro ejemplo. Al tomar la proposición $P$ «el número es impar», podríamos referirnos al $1$, $2$, $3$, $80$ o $20,000$. Así, es más conveniente pensar en que la proposición depende de una variable como sigue:

$P(\text{el número})$ = «$\text{el número}$ es impar».

Visto de esta manera, $P(2)$ es la proposición «$2$ es impar». En general $P(x)$ es la proposición «$x$ es impar» y esta hace referencia a que el número es una variable que puede tomar distintos valores «permitidos». Observa que en este caso no tendría sentido decir si $P(\text{azul})$ es verdadero o falso. A este tipo de proposiciones que tienen una variable (o más), se les llama predicados o esquemas proposicionales. La palabra «esquema» viene del hecho de que podríamos estar refiriéndonos a distintas «cosas» dependiendo del valor que tome nuestra variable.

¿Notas que tenemos que ponernos de acuerdo sobre cuál es el contexto sobre el que estamos hablando al momento de asignarle un valor a nuestra variable? Esto debido a que no podríamos decir que «azul es impar» o «la luna es impar». A este «conjunto» dentro del cual pueden tomar valores nuestras variables le llamamos universo de discurso. Aunque suena algo sofisticado, puedes pensarlo como el contexto al que nos estamos acoplando en el sentido del esquema proposicional.

Es muy importante siempre tener claro el universo de discurso de proposiciones con variables. No será lo mismo estar hablando de número pares, que de números enteros. Sabemos que todos los números pares no son impares. Mientras que algunos números enteros son impares. Estas palabras enfatizadas son las que nos van a permitir hablar más sobre cómo es nuestro universo de discurso. No es lo mismo que solo un objeto del universo cumpla un predicado (tenga valor de verdad verdadero) a que todos los objetos de nuestro universo las cumplan.

Cuantificador «para todo»

Introducimos ahora la idea de cuantificadores. Estas son palabras o ideas que nos ayudarán a identificar cuándo se cumplen los predicados o esquemas proposicionales. Por ejemplo, supongamos que dentro de nuestro universo de discurso, todo posible valor de la variable $x$ cumple el predicado $P(x)$. En este caso diremos «para todo $x$ en nuestro universo de discurso, se cumple $P(x)$». Podemos decir simplemente «para todo $x$, $P(x)$, pero es muy importante que el universo de discurso sea claro.

Veamos un ejemplo. Sabemos que todo número par es múltiplo de $2$. En el caso en que nuestro universo de discurso sean los números pares y tengamos al predicado

$P(x)$=$x$ es múltiplo de $2$

podremos decir «para todo $x$, $P(x)$», pues en cualquier asignación de la variable que consideremos en nuestro universo de discurso, se cumplirá el predicado.

Este cuantificador se expresa mediante el símbolo $\forall$ y se lee: para todo. De esta manera:

«para todo $x$, $P(x)$»=$\forall xP(x)$

Algunos ejemplos de cómo podemos usar este cuantificador son los siguientes. Observa cómo se deja claro el universo de discurso.

  • $\forall x$ número par, $x$ es múltiplo de 2.
  • $\forall x$ grupo cíclico, $x$ es generado por un único elemento.
  • $\forall x$ año bisiesto, $x$ tiene 366 días.
  • $\forall (x,y)$ vector en $\mathbb{R}^2$, $\norm{x+y}\leq\norm{x}+\norm{y}.$ *

Recuerda que ahora no es necesario que conozcamos a la perfección el universo de discurso del que estamos hablando en estos ejemplos. En estas entradas no nos interesa estudiar a los pares, a los grupos cíclicos, o a los años bisiestos. Los ponemos como ejemplos únicamente para ver que las ideas de lógica aplican a todos ellos. Por ejemplo para el segundo ejemplo el objetivo es que entiendas que siempre que consideremos un grupo cíclico (sea lo que signifique un grupo o un grupo cíclico), ese grupo es generado por un único elemento (sea lo que signifique que un grupo se genere por un único elemento). En este caso nuestro universo de discurso serán los grupos cíclicos, mientras que $P(x)$=«$x$ es generado por un único elemento». En estos renglones solo nos interesa entender cuándo estamos hablando de un universo de discurso, un cuantificador y un esquema proposicional.

Cuantificadores «existe» y «existe un único»

El cuantificador «para todo» establece que una proposición es verdadera para todos los objetos de un universo de discurso. Pero esto no siempre pasa. Por ejemplo, pensemos en que nuestro universo de discurso es $$A=\{\text{pescados, reptiles, aves, piedras, felinos}\}$$ y nuestro predicado $P(x)$ es «Los gatos son $x$». En este caso no todas las formas de asignar un objeto del universo a la variable $x$ darán proposiciones verdaderas. Los gatos no son pescados, reptiles ni mucho menos piedras o aves. Pero los gatos sí son felinos. En este caso la asignación $x=\text{felinos}$ será la única en la que se cumpla el esquema proposicional.

Cuando tenemos la situación en la que uno de los objetos de nuestro universo de discurso (o más) hagan que se cumpla la proposición, diremos que «para algún $x$ en el universo de discurso se cumple $P(x)$». Es un poco más usual ver esto escrito como «existe $x$ en el universo de discurso que cumple $P(x)$», o simplemente como «existe $x$, $P(x)$», cuando el universo de discurso se sobreentiende.

En matemáticas, escribiremos este «existe» de la siguiente manera: «$\exists$». Algunos ejemplos del uso de este cuantificador son los siguientes:

  • $\exists n$ número entero que es solución a $n^2=4$.
  • $\exists n$ número entero que cumple $e^{i\pi}+n=0.$ **

El cuantificador «existe» tiene una variante más restrictiva. Cuando decimos que existe al menos un elemento en nuestro universo de discurso que cumple una propiedad, también tenemos que puede haber $2$, $3$ o $20$ elementos que lo cumplen. Por ejemplo: «$\exists n$ número entero que es solución a $n^2=4$» tiene dos posibilidades, pues al tomar $n=-2$ o $n=2$ se cumple el predicado.

Pero es muy frecuente en matemáticas que se busque que uno y sólo un elemento cumpla un predicado. Para referirnos a estas ocasiones, usamos el cuantificador «$\exists!$», que se lee como «existe un único«. Por ejemplo, sabemos que el único número primo par es 2. Así que podríamos decir: «$\exists! x$ número entero que es primo y par». Otros ejemplos de su uso son:

  • $\exists!x$ día de la semana tal que $x$ empieza con la letra L
  • $\exists!x$ número real tal que $x$ es neutro aditivo. ***
  • $\exists!n$ número entero que cumple $e^{i\pi}+n=0.$

¿Observas que la última oración se parece mucho al último ejemplo del cuantificador anterior? Y con esto no estamos contradiciendo nada, en el ejemplo anterior solo estamos diciendo «Existe un número entero $n$ que es solución a $e^{i\pi}+n=0$» con lo que queremos decir que existe al menos uno, mientras que en el último ejemplo, decimos «Existe un único número entero $n$ que es solución a $e^{i\pi}+n=0$». Aquí, el objetivo solo es ser más específicos, lo que quiere decir que solo estamos dando información extra acerca de la proposición.

¿Qué sucede si ningún objeto del universo hace que el predicado sea cierto? En ese caso, podremos decir que «no existe $x$, $P(x)$». En símbolos, «$\nexists$». La siguiente tabla resume los cuantificadores de los que hemos hablado.

Para todos los casos$\forall$
Para al menos un caso$\exists$
Para un único caso$\exists!$
Para ningún caso$\nexists$

Combinando conectores y cuantificadores

Habiendo conocido los distintos cuantificadores, podríamos hacer afirmaciones un poco más extensas considerando cómo funcionan. Por ejemplo, pensemos en que nuestro universo de discurso son los números enteros. Consideremos los predicados $P(x)=x<0$ y $Q(x)=x<1$. Entonces podríamos decir:

$\forall x$ número entero $(P(x) \Rightarrow Q(x))$

En palabras: «Para todo número entero $x$, si $x$ es menor a 0, entonces $x$ es menor a 1».

También podemos tener predicados con más de una variable. Por ejemplo, consideremos a los números enteros como nuestro universo de discurso y $P(x,y)$ al predicado $x+y=0$. No hay problema con que dos variables estén en el mismo predicado, y con la notación $(x,y)$ solo estamos diciendo que la proposición depende de dos variables, por ejemplo $P(1,2)$ es la proposición $1+2=0$. Ahora, con este predicado en mente, podríamos enunciar $$\forall x, (\exists! y, P(x,y)).$$

Sólo estaríamos diciendo «para cada número entero $x$, existe un único número entero $y$ tal que $x+y=0$». Dicho de otra forma, cada vez que consideramos un número entero $x$, digamos $3$, existirá un único número entero $y$ que cumplirá la ecuación $x+y=0$. En este caso ese número $y$ es $-3$, pues dijimos que $x=3$ y solo hay un número que al sumarlo a $3$ nos da $0$.

Notas

Estas son algunas anotaciones del artículo y no es necesario que las sepas, únicamente son curiosidades o temas por aparte que forman parte de la cultura matemática.

* Esta se conoce como la desigualdad del triángulo y nos dice básicamente: que la suma de la longitud de dos lados de un triángulo siempre será mayor a la longitud del otro lado.

** Esta identidad se conoce como la identidad de Euler y algunos piensan que es una de las ecuaciones más hermosas de las matemáticas. En otros cursos como Álgebra Superior 2 o Variable Compleja puede que vuelvas a ver esta identidad con su demostación.

*** El único neutro aditivo es el $0$, y esto quiere decir que al sumarle este a cualquier otro número, dará el mismo número.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Imagina que definitivamente quieres comprar un helado. Cuando vas a la heladería, sólo venden un sabor. Esto tiene desventajas, por supuesto. Pero, ¿qué ventajas tiene que sólo haya un sabor de helado? Enlista todas las que puedas.
  2. En los ejemplos siguientes encuentra el universo de discurso y su predicado.
    1. $\forall x$ número par,$x$ es múltiplo de 2.
    2. $\forall x$ año bisiesto, $x$ tiene 366 días.
    3. $\forall (x,y)$ vector en $\mathbb{R}^2$, $\norm{x+y}\leq\norm{x}+\norm{y}$.
  3. Considera el predicado $P(x)=«x$ es múltiplo de 11». Da cuatro universos de discurso tales que los siguientes enunciados sean ciertos:
    • $\forall x P(x)$
    • $\exists x P(x)$
    • $\exists! x P(x)$
    • $\nexists x P(x)$
  4. Considera la proposición: $P(x,y,z)$ = «$x^3+y^3=z^3$». ¿Cuál de los siguientes enunciados representa la oración «No existen números enteros $x,y,z$ que cumplen $P(x,y,z)$»?:
    • $\forall x (\exists y (\exists z P(x,y,z)))$
    • $\nexists (x,y,z)P(x,y,z)$
    • $\forall x (\nexists(y,z)P(x,y,z))$
    • $\nexists x (\forall (x,y) P(x,y,z))$
  5. ¿El ejercicio anterior sólo tiene una solución? Si hay más de una opción correcta, ¿cómo argumentarías que dos enunciados representan el mismo enunciado?

Más adelante…

Cuando estamos hablando de cuantificadores, también nos van a interesar las negaciones de aquellos cuantificadores, por ejemplo, ¿a qué nos referiremos cuando digamos $\neg (\forall x P(x))$? ¿o cuando digamos $\neg (\exists x (P(x) \Rightarrow Q(x)))$? Para esta tarea primero deberemos hacer un análisis de qué nos dice cada uno de estos cuantificadores en su negación y es justamente lo que estudiaremos en la siguiente entrada.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Generalizar el problema

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

1 respuesta

HeuristicasA veces tener un problema concreto es más difícil que tener un problema más general. En los problemas concretos puede haber números grandes, o un brinco muy difícil, o bien simplemente no existen herramientas para atacarlo por separado. Cuando generalizamos podemos aprovechar más teoría, por ejemplo el principio de inducción.

En estos videos veremos algunos ejemplos en los cuales es más fácil resolver un problema que aparentemente debería de ser más difícil.

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