Archivo del Autor: Guillermo Oswaldo Cota Martínez

Acerca de Guillermo Oswaldo Cota Martínez

Soy Guillermo. Soy pasante de la Licenciatura en Matemáticas en la Facultad de Ciencias de la UNAM, y estudiante de la Licenciatura en Ciencia de Datos del IIMAS, UNAM. Me interesan los problemas referente al análisis de datos y a la docencia.

Álgebra Superior I: Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas

Introducción

En la entrada anterior, hemos revisado la definición de las funciones matemáticas. Siguiendo con este tema, ahora vamos a estudiar tres tipos de funciones: las inyectivas, suprayectivas y finalmente las inyectivas. Hemos hablado anteriormente de las primeras dos, ahora estudiaremos algunas equivalencias de las definiciones vistas en un principio y algunos resultados interesantes.

Inyectividad entre funciones

Las definiciones que daremos al estar hablando de inyectividad y supreyactividad de funciones serán las mismas que dimos al hablar de los tipos de relaciones. Primero empezaremos hablando de la inyectividad.

Cuando estemos hablando de funciones, diremos que una función inyectiva es aquella que manda a elementos distintos en el dominio a elementos distintos en el contradominio.

Definición. Diremos que una función $f: X \rightarrow Y$ es inyectiva, si $f$ es una relación inyectiva. Es decir para cada elemento $y \in Im[f]$, existe un único $x$ tal que $(x,y) \in f$

Nota que esta es la definición de inyectividad que dimos anteriormente. El hecho de que $f$ sea una función, nos permitirá tener otra forma de ver la inyectividad, para darte cuenta de ello, observa la siguiente proposición:

Proposición. Sea $f: X \rightarrow Y$ una función. Entonces son equivalentes:

  1. $f$ es inyectiva.
  2. Para cualesquiera tres elementos $x,w \in X$ y $y \in Im[f]$ sucede que si $f(x) = y \land f(w) = y$ entonces $x=w$.

Demostración.

$1) \Rightarrow 2)$. Recordemos que una equivalencia de la inyectividad en relaciones es que si $(x,y) \in f$ y $(w,y) \in R$ entonces $x=w$. Usaremos esta equivalencia para nuestra demostración. Ahora nota que si $f(x)=y$ y $f(w)=y$ entonces $(x,f(x)) \in f$ y $(w,f(w)) \in f$. Como $f$ es inyectiva entonces $x=w$.

$2) \Rightarrow 1)$.Sean $(x,y) \in f$ y $(w,y) \in f$. Para demostrar el inciso, bastará demsotrar que $x=w$, para ello note que como $f$ es una función entonces $(x,y) = (x,f(x))$ y $(w,y) =(w,f(w))$. Ahora notemos que $f(x)=f(w)$, por hipótesis, esto significa que $x=w$.

$\square$

.

Esta última equivalencia deja más claro que una función inyectiva es aquella que envía a elementos distintos en el dominio a elementos distintos en el contradominio.

Ejemplos de funciones inyectivas son:

  • La función $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ donde $f(x)=x+1$, esto es debido a que si $f(x)=f(w)$ entonces $x+1=w+1$, lo que implicaría que $x=w$.
  • La función $f:\{1,2,3\} \rightarrow \{a,b,c,d,e\}$ dada por: $f=\{(1,e),(2,b),(3,c)\}$.
  • La función identidad entre cualquier conjunto $X$, dada por $f: X \Rightarrow X $ donde $f(x)=x$.

Suprayectividad entre funciones

Siguiendo con la lista de conceptos a revisar hoy, nos encontramos nuevamente con la suprayectividad, el concepto en donde todo el contradominio de la función coincide con su imagen:

Definición. diremos que una función $f:X \rightarrow Y$ es suprayectiva si $f$ es una relación suprayectiva. Es decir, si para cada $y \in Y$, existe un $x \in X$ tal que $f(x)=y$

Esta última definición es una derivación de una equivalencia que mostramos con anterioridad. Puesto que decir que para cada $y \in Y$, existe un $x \in X$ tal que $f(x)=y$, es equivalente a decir que para cada elemento $y \in Y$, existe un elemento $x \in X$ tal que $(x,y) \in f$, basta con notar que $f(x)=y$ produce la equivalencia deseada.

Algunos ejemplos de funciones suprayectivas son:

  • La función identidad $f: X \rightarrow X$. Para ello, nota que para cada $y \in X$, sucede que $(y,f(y)) \in f$, por lo que es suprayectiva, pues $f(y)=y$.
  • Sea $X =\{0\}$, entonces la función $f: \mathbb{Z} \rightarrow X$ dada por $f(n)=0$ es una función suprayectiva.
  • La función proyección $f: \mathbb{Z}^2 \rightarrow \mathbb{Z}$ dada por $f((x,y)) = x$ es suprayectiva.

Funciones biyectivas

El último concepto que revisaremos será el de funciones biyectivas. Estas funciones serán importantes porque en pocas palabras podrán «trasladar» un conjunto a otro. Definiremos a estas funciones como aquellas que son inyectivas y suprayectivas al mismo tiempo.

Definición. Sea $f: X \rightarrow Y$ una función. Diremos que $f$ es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.

Si una función es inyectiva, entonces manda distintos elementos del dominio a distintos elementos del contradominio. Mientras que si es suprayectiva, entonces todo el contradominio tiene su correspondencia. Así que si una función es biyectiva, entonces todo elemento del contradominio vendrá de uno y solamente un elemento del dominio. Esto significa que una función biyectiva «transforma» un conjunto en otro. A cada elemento del dominio lo vuelve uno del contradominio.

Por ejemplo, considera la función $f: X \rightarrow Y$ donde $X=\{1,2,3\}$ y $Y=\{a,b,c\}$ donde $f = \{(1,a),(2,b),(3,c)\}$. Nota que la función va de un conjunto $X$ y «traduce» cada uno de sus elementos a un elemento del conjunto $Y$. Esta es una forma en que las biyecciones nos dan información de cómo «traducir» un conjunto en otro.

Ahora considera la función $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ dada por $f(n)=n+1$. Esta es una función biyectiva. Y «traduce» cada número a su sucesor.

Otro ejemplo sería la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x)=2x$. Nota que lo que hace esta función es «alejar» puntos del origen. Mientras que $f(0)=0$, a todos los números positivos los «aleja» más del origen del lado derecho, y a los número negativos los «aleja» del origen por la izquierda. Así que esta función biyectiva se podría pensar como una liga que pegamos a la mitad y jalamos por ambos lados hasta que cada lado mida el doble de lo que medía antes. Esta es una forma en que pasamos de una liga normal a una liga estirada, si cada punto de la recta real, fuera un pedazo de la liga, entonces «traducimos» ese punto estirando la liga.

Con estos ejemplos, vimos como una función biyectiva es una traductora de puntos, mandando cada punto del dominio a uno del contradominio, y cada punto del dominio tiene su propia traducción en el contradominio sin que otro punto del dominio comparta su traducción.

Así es como hemos revisado los tres tipos de funciones principales que usarás en muchas áreas de las matemáticas. La inyectividad nos dice que a cada elemento de la imagen de una función solo le corresponde una del dominio. La supreyactividad nos dice que la imagen de una función es igual al contradominio de la función. Mientras que la biyectividad nos habla de traducciones, o formas de ver un conjunto reflejado en otro conjunto.

Tarea moral

  1. Da un ejemplo de una función inyectiva pero no suprayectiva.
  2. Sea $X$ un conjunto y $Y$ un subconjunto de $X$. La función inclusión está dada por $f: Y \rightarrow X$ donde $f(y)=y$.
    1. Demuestra que la función inclusión es inyectiva.
    2. Da condiciones necesarias para que la función inclusión sea biyectiva.
  3. Considera la función $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ dada por $f(n) = an +b$. ¿Para qué valores $a,b$ la función es biyectiva?
  4. Demuestra que una función $f: X \rightarrow Y$ es biyectiva si y solo si para cualquier subconjunto $A \subset X$ sucede que $f[X \setminus A] = Y \setminus f[A] $.

Más adelante…

En la siguiente entrada daremos el paso de hablar de una función a más de una función, y esto lo haremos componiendo funciones. En un principio se pueden pensar las composiciones como mandar un elemento de un conjunto a otro conjunto mediante una función y después mandar este elemento a otro conjunto mediante otra función. Verás que será útil las composiciones cuando estemos hablando de distintas funciones entre conjutnos.

Entradas relacionadas

Álgebra Superior I: Introducción a funciones

Introducción

En esta entrada empezaremos a estudiar un tipo de relación muy específica, que son las funciones. Este concepto es fundamental en casi todas las áreas de las matemáticas, y aprender su uso será fundamental a partir de ahora.

La importancia de las funciones

Antes de empezar a hablar de las funciones, es importante que desde ahora entiendas que el concepto de la función es un concepto casi omnipresente en la tarea de estudiar las matemáticas. Para tener idea de la profundidad de esto, observa los siguientes ejemplos:

  • La base del cálculo son las funciones en una variable.
  • La base del cálculo en varias variables son las funciones de distintas variables.
  • En análisis se estudian las funciones entre espacios numéricos.
  • En probabilidad, se trabaja con las funciones entre espacios de probabilidad.
  • Las secuencias numéricas son funciones.
  • En álgebra moderna, el concepto de grupo es un tipo de función.
  • En topología muchas veces se estudian familias de funciones.

Los ejemplos podrían seguir y seguir, y es que nosotros al estudiar las matemáticas, es muy importante entender que la mayor parte de estudiarla será el analizar funciones.

La primera noción que daremos de lo que son las funciones son unas máquinas que reciben una entrada y devuelven una salida.

Un ejemplo de esto es una función que toma de entrada cualquier número entero y devuelve el número multiplicado por dos. Para traducir cómo escribiremos esto, recordemos que al principio hemos dicho que las funciones van a ser relaciones, entonces la forma en que definirimos esta función será con una pareja ordenada $(x,y)$. Como tenemos la idea de que las funciones son máquinas que reciben una entrada y arrojan una salida, entonces diremos que $x$ es la variable de entrada y $y$ la de salida. De manera que podemos representar a la función que toma cualquier número entero y devuelve el número multiplicado por dos, es de la siguiente manera: $$f = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2: y = 2x\} $$ En donde al mencionar que $y=2x$, estamos diciendo que la salida es dos veces la entrada.

Algunos de los elementos que pertenecen a la función son $$\{(0,0),(1,2),(-1,-2),(5,10),(-7,-14), \dots\}.$$

Cuando hablemos de funciones habrán dos cosas importantes que tendrá que cumplir la relación:

  • Deberemos de usar todo el dominio para crear la relación. Esto quiere decir que si estamos hablando de una función entre números enteros, entonces no importa de qué número entero estemos hablando, siempre podrá tener su correspondencia según la función. En nuestro ejemplo, nota que dijimos que la función toma «cualquier número entero», no estamos diciendo que solo toma algunos números enteros.
  • Cada elemento del dominio tendrá uno y solo un correspondiente del contradominio. Esto quiere decir que si $(x,y)$ pertenecen a la función, entonces no existe otra pareja distinta $(x,w)$ en la función. En nuestro ejemplo, nota que las parejas son de la forma $(x,2x)$, y esto implica que cada elemento del dominio solo aparece una vez, si no fuera así, habría dos elementos $(x,2x),(x,w)$ en la función en donde $2x \neq w$, lo cual es imposible, puesto que los elementos del contradominio son los elementos del dominio multiplicados por $2$, es decir $w = 2x$, generando una contradicción.

Estas serán las propiedades que le pediremos a una relación para ser función.

Definición. Sea $f$ una relación entre dos conjuntos $X,Y$. Diremos que $f$ es una función si cumple las siguientes propiedades:

  • $Dom(f) = X$
  • Si $(x,y) \in f$ y $(x,w) \in f$, entonces $y=w$.

Esta última propiedad quiere decir que solo existe una pareja que tenga a $x$ en el lugar de los elementos del dominio.

Como hemos dicho antes, una función será una correspondencia entre elementos de $X$ con elementos de $Y$ de manera que a cada elemento de $X$ le corresponderá uno y únicamente un elemento del contradominio.

Ejemplos de funciones

Algunos ejemplos de funciones son:

  • La función identidad. Esta función de un conjunto $X$ en sí mismo, es el conjunto $$\{(x,y) \in X^2:x=y\}.$$ Y son las parejas de la forma $(x,x)$.
  • Si $X = \{1,2,3\}, Y=\{a,b\}$, entonces $\{(1,a),(2,a),(3,b)\}$ es una función.
  • La función que corresponde a cada persona de la tierra con su cumpleaños, es una función.
  • La función proyección. Supongamos que tenemos dos conjuntos $X,Y$, la proyección es la función entre el producto cartesiano $X \times Y$ y el conjunto $X$ que asocia cada pareja ordenada $(x,y)$ con el primer elemento de la pareja $x$. Esto quiere decir que la función «se olvida» del elemento $y$. De esta forma, $f$ toma elementos del producto $X \times Y$ y su contradominio es el conjunto $X$ que manda cada pareja ordenada a su proyección sobre la primer entrada, esto quiere decir que $f((x,y)) = x$. Así, observa que los elementos de esta función son de la forma $((x,y),x).$ Esta es una función que se utiliza en áreas como la geometría analítica, cuando se tiene el plano cartesiano y se define la proyección de un vector sobre algún eje o incluso sobre la dirección de otro vector.

Un ejemplo de una relación que no es función es la función entre $X = \{1,2,3\}$ y $Y=\{a,b\}$, donde la relación es $\{(1,a),(2,a),(1,b)\}$. Esto es por dos razones: Se utiliza más de una vez el elemento del dominio $1$, aparecen las parejas $(1,a),(1,b)$, pero no es cierto que $a=b$, además nota que no se utiliza el elemento $3$ del dominio, por lo que se rompen las dos condiciones que pedimos para que fuera función.

Más sobre funciones

Al momento de estar hablando de una función $f$ entre dos conjuntos $X$ y $Y$ , es común hacer uso de la notación $f:X \rightarrow Y$ que se lee como «$f$ es una función que va de $X$ a $Y$». Y si $x \in X$, al único elemento $y$ tal que $(x,y) \in f$, lo podremos denotar por $f(x)$ de manera que las parejas serán de la forma $(x,f(x))$.

A continuación definiremos algunos conceptos que usaremos al hablar de funciones.

Definición. Diremos que dos funciones $f: X \rightarrow Y$ y $g: W \rightarrow Z$ son iguales si las relaciones son la misma, es decir si $X=W$ y $Y=Z$ y para cada elemento $x \in X$, $f(x)=g(x)$.

Esto nos quiere decir que si dos funciones son iguales, entonces mandan a todo elemento $x$ al mismo elemento en el contradominio.

Con esto, hemos cubierto la noción de las funciones. Lo importante que recuerdes ahora es que las funciones son un tipo de relación que usan todo el contradominio y que mandan cualquier elemento del dominio a uno y solamente un elemento del contradominio. Verás que conforme avances en distintas ramas de la matemática, serán muy importante saber qué son las funciones.

Tarea moral

  1. Demuestra que la relación «ser menor o igual» en los números enteros no es una función.
  2. Dado cualquier conjunto $X$ no vacío, ¿Cuál es la única función que es relación de equivalencia?
  3. Demuestra que no existe ninguna función $f:X \rightarrow \emptyset$
  4. Sean $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ y $g: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$. Definamos $f(x) = x ^2$ y $g(x) = (x+1)(x-1)+1$. Demuestra que $f=g$.

Más adelante…

Hasta ahora hemos hablado únicamente de la definición de las funciones y cuándo dos funciones son iguales. En las siguiente entrada platicaremos acerca de las funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas. Que si recuerdas los términos, alguna vez definimos los dos primeros en el contexto de relaciones. Volveremos a explorar estos términos pero ahora desde el punto de vista de las funciones.

Entradas relacionadas

  • Ir a Álgebra Superior I
  • Entrada anterior del curso: Problemas de órdenes parciales y relaciones de equivalencia
  • Siguiente entrada del curso: Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas

Álgebra Superior I: Relaciones de equivalencia y clases de equivalencia

Introducción

Siguiendo la revisión de algunas relaciones de un conjunto en sí mismo, ahora vamos a hablar de un tipo especial de relaciones, que se llamarán de equivalencia. Este es un concepto que aparece frecuentemente en las matemáticas y es un tipo de relación que permite «agrupar» distintos elementos de un conjunto según alguna propiedad que tengan.

Relación de equivalencia

La relación que veremos en esta entrada es la de equivalencia. Para entender propiedades de este tipo de relaciones, consideremos al conjunto de todas las personas $X$ y la relación $\sim$ como:$$\sim = \{(x,y) \in X^2:x\text{ tiene el mismo cumpleaños que }y\}.$$ Y como es costumbre, escribiremos $x \sim y$ si $(x,y) \in \sim$. Esta relación será de equivalencia, y antes de definirla, vamos a hacer algunas observaciones de ella.

Observa que este tipo de relación nos permite «agrupar» a las personas según su cumpleaños, pues al haber $365$ días en el año, cada persona $x$ tendrá su cumpleaños en alguno de esos días. Nota que podríamos hablar de «el subconjunto» de $X$ formado de las personas las cuales cumplen años el $14$ de febrero, y esto lo haríamos con ayuda de la relación $\sim$, pues considerando alguna persona $x$ que cumpla años ese día, podríamos considerar a todas las personas $y$ tales que $x \sim y$. Y todas las personas que estén relacionadas con $x$, serán las que tienen su cumpleaños ese día. Retomaremos esta idea de las «agrupaciones» más adelante, lo importante ahora es que veas que este tipo de relaciones (aún no hemos dicho qué significa que sea de equivalencia o porqué esta es una relación de equivalencia) nos permiten «agrupar» elementos de un conjunto según los elementos que se relacionan entre sí.

Ahora, veamos algunas propiedades que tiene esta relación que la hará de equivalencia:

  • $\sim$ es reflexiva. Nota que toda persona $x$ cumple el mismo día años que la persona $x$. Esto es porque estamos hablando de la misma persona.
  • $\sim$ es simétrica. Considera dos personas $x,y$ relacionadas ($x \sim y$). Entonces es cierto que $x$ tiene el mismo cumpleaños que $y$. Pero también es cierto que $y$ tiene el mismo cumpleaños que $x$, de esta manera $y \sim x$.
  • $\sim$ es transitiva. Ahora supón que $x \sim y$ y que $y \sim z$. Entonces es cierto que $x$ y $y$ comparten cumpleaños, pero como $y \sim z$ entonces $z$ tiene el mismo cumpleaños que $y$ y esto solo puede significar que $x$ tiene el mismo cumpleaños que $z$, pues no puede suceder que $y$ tenga dos cumpleaños distintos.

Estas son las propiedades que decimos que cumple una relación de equivalencia.

Definición. Sea $X$ un conjuntos y $\sim$ una relación de $X$ en sí mismo. Diremos que $\sim$ es una relación de equivalencia si $\sim$ es reflexiva, simétrica y transitiva.

Este es un concepto que se aparecerá muchas veces en distintas áreas de las matemáticas, veamos a continuación algunos ejemplos de relaciones de equivalencia, no importa que ahora no sepas muy bien qué son estos conceptos, lo importante es que veas que aparecen en distintas áreas de las matemáticas:

  1. En $\mathbb{R}$, la relación $x \sim y \Leftrightarrow |x|=|y|$ es de equivalencia.
  2. Si $X=\{a,b,c\}$ y $\sim=\{(a,a),(b,b),(a,b),(b,a),(c,c)\}$, entonces $\sim$ es una relación de equivalencia.
  3. En el espacio de matrices reales $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$, la siguiente es una relación de equivalencia: $A \sim B \Leftrightarrow \exists \lambda \in \mathbb{R}, \lambda \neq 0(A = \lambda B)$
  4. En espacios topológicos, la relación $X \sim Y \Leftrightarrow X \text{ es homeomorfo a } Y$ es una relación de equivalencia.
  5. La congruencia entre triángulos, es una relación de equivalencia.
  6. Diremos que un número entero $x$ es congruente con $y$ módulo $n$ si el residuo de dividir $x$ entre $n$ es el mismo que el residuo de dividir $y$ entre $n$ y lo escribiremos como $x \equiv_n y$. $\equiv_n$ es una relación de equivalencia.

Algunos ejemplos de relaciones que no son de equivalencia:

  1. La relación «ser menor o igual» en números enteros $\leq$ no es de equivalencia.
  2. La relación «ser padre/madre de» no es una relación de equivalencia.
  3. Si $X=\{a,b,c\}$ y $\sim=\{(a,a),(a,b),(b,a),(c,c)\}$, entonces $\sim$ no es de equivalencia.

Clases de equivalencia

Volvamos al ejemplo de la relación $\sim$ «tener el mismo cumpleaños». Ahora veremos porqué desde el principio hemos dicho que las relaciones de equivalencias nos ayudan a «agrupar» elementos de un conjunto de acuerdo a los elementos que se relacionan con él. Considera de nuevo el ejemplo de las personas que cumplen años el $14$ de febrero. La relación $\sim$ nos ayuda a encontrar a todas las personas que cumplen años ese día. Pues solo tendríamos que considerar una persona que cumpla años ese día y enseguida encontrar todas las personas que se relacionan con esta persona. Claramente este grupo, será distinto al grupo de personas que cumple años el $17$ de Junio, y a su vez estos do serán distintos al grupo de personas que cumplen el $10$ de Enero. En total podríamos «partir» el conjunto de personas $X$ en $365$ grupos de acuerdo al día en que cumplen años.

Si partimos de una persona $x$, entonces podemos considerar el conjunto $$[x]_{\sim}=\{y \in X: x \sim y\}.$$ Este conjunto representa a todas las personas que tienen el mismo cumpleaños que $x$, y recordando lo que dijimos en el párrafo anterior, si $x$ cumple el $14$ de febrero, entonces $[x]_{\sim}$ es el conjunto de personas que cumplen años ese día. Pues con esto en mente, hemos llegado al siguiente concepto: clase de equivalencia.

Definición. Sea $\sim$ una relación de equivalencia en $X$ y $x \in X$. La clase de equivalencia de $x$ es: $$[x]_{\sim}=\{y \in X: x \sim y\}.$$

Algunas veces cuando estemos hablando de una relación de equivalencia $\sim$ y no haya ambigüedad en qué relación de equivalencia estemos hablando, es común únicamente escribir $[x]$ para la clase de equivalencia del elemento $x$ en lugar de escribir $[x]_\sim$.

Veamos a continuación algunas propiedades que tienen estas clases de equivalencia que nos permiten asegurar que «parten» un conjunto agrupando sus elementos en distintos subconjuntos.

Proposición. Sea $\sim$ una relación de equivalencia en $X$ y $x,y \in X$. Son equivalentes:

  1. $x \sim y$
  2. $[x]=[y]$
  3. $[x] \cap [y] \neq \emptyset$

Demostración.

$(1) \Rightarrow (2)$ Para demostrar la igualdad entre conjuntos, demostraremos que cada clase equivalencia está contenida en la otra.

$\subset )$ Sea $w \in [x]$. Por definición del conjunto, $w \sim x$ y por hipótesis, $x \sim y$. Ahora, como $\sim$ es de equivalencia, entonces $w \sim y$. De esta forma, $w \in [y]$.

$\supset )$ De manera análoga a la contención anterior, si $w \in [y]$ entonces $w \sim y \land w \sim x$ de manera que $w \in [x]$.

$(2) \Rightarrow (3)$. Notemos que si $[x]=[y]$ entonces $[x] \cap [y]=[x]$ y $x \in [x]$, de esta manera, la intersección no es vacía.

$(3) \Rightarrow (1)$. Como $[x] \cap [y] \neq \emptyset$ entonces existe un elemento $w \in [x] \cap [y]$. De esta forma $x \sim w \land y \sim w$. Como $\sim$ es una relación de equivalencia, entonces $x \sim y$.

$\square$

Corolario. Sea $\sim$ una relación de equivalencia en $X$ y $x,y \in X$. Entonces $[x]=[y] \lor [x] \cap [y] = \emptyset.$

Demostración. Sean $x,y$ dos elementos de $X$. Entonces tenemos dos casos para $x,y$.

Caso 1) $x \sim y$. En este caso, por la proposición anterior, $[x]=[y]$.

Caso 2) $x \not \sim y$. Notemos que en este caso $[x]\cap [y]= \emptyset$, pues si no fuera cierto, la intersección no sería vacía y por la proposición anterior, esto significaría que $x \sim y$, contradiciendo la hipótesis de este caso.

$\square$

Particiones

El siguiente concepto nos permite hablar de «partir» un conjunto en distintos subconjuntos. En términos simples, una partición será una forma de dividir un conjunto en subconjuntos que no comparten elementos en común entre sí. Por ejemplo, considera a los números enteros. Podemos dividir el conjunto en dos particiones: el de los número pares y el de los impares. Denotemos al conjunto de los números pares como $P$ y al de los impares como $I$ entonces:

  • $P \cap I=\emptyset$
  • $P \cup I = \mathbb{Z}$

Entonces podemos observar algunos puntos para definir qué es una partición:

  • Cada uno de los subconjuntos que forman la partición son no vacíos. Nota que tanto $P$ como $I$ tienen al menos un elemento.
  • La intersección entre cada una de los subconjuntos de la partición es vacía. Esto significa que las particiones no comparten elementos, en el ejemplo, es claro que ningún número par es impar y viceversa.
  • La unión de los subconjuntos de la partición forman de nuevo el conjunto. Esto significa que todo elemento del conjunto pertenece a una única partición, en nuestro ejemplo esto significa que cualquier número entero es impar o es par, no ambos al mismo tiempo.

Estas son las tres propiedades que pediremos para definir una partición.

Definición. Sea $X$ un conjunto y $F = \{X_i\}_{i \in \mathcal{F}}$ una colección de subconjuntos, entonces diremos que $F$ es una partición de $X$ si:

  • Para cada $X_i \in F, X_i \neq \emptyset$.
  • Para $X_i,X_j \in F$ dos subconjuntos distintos, $X_i \cap X_j = \emptyset$.
  • $\bigcup F = X$

Resulta que esta definición no es al azar, pues cada relación de equivalencia induce una partición.

Proposición. Sea $\sim$ una relación de equivalencia sobre un conjunto $X$. Entonces las distintas clases de equivalencia forman una partición.

Demostración. Denotemos a $P$ como el conjunto de todas las clases de equivalencia de $X$, es decir $$P = \{[x]: x \in X\}$$. Ahora demostraremos que $P$ es una partición. Para ello, notemos que:

  1. Cada elemento de la partición $P$ es distinta al vacío. Observemos que si $[x] \in P$ entonces existe al menos un elemento en esa clase de equivalencia, de manera explícita, $x \in [x]$.
  2. Si $[x], [y] \in P$ son dos clases distintas, entonces $[x] \cap [y]$ es vacía. Este punto sale directamente del corolario demostrado anteriormente, pues $[x]=[y]$ o $[x] \cap [y]=\emptyset$.
  3. $\bigcup P = X$. De manera clara sucede que $\bigcup P \subset X$, pues cada elemento de $P$ es un subconjunto de $X$, y la unión de subconjuntos de un conjunto siempre está contenida en el conjunto. Para demostrar que $X \subset \bigcup P$, notemos que si $x \in X$, entonces $x \in [x]$ y $[x] \in P$, de esta manera, $x \in \bigcup P$.

De esta manera, $P$ es una partición.

$\square$

Este concepto de relaciones de equivalencia aparece muy seguido en distintas ramas de las matemáticas, será importante conforme avances en tu carrera del área matemática, pues muchas veces será útil ver que algunas relaciones son de equivalencias de manera en que sabremos que son particiones y podremos ver el conjunto en sus distintas partes de acuerdo a la relación.

Tarea moral

  1. Demuestra que la relación «ser igual a» $=$ en $\mathbb{Z}^2$ es una relación de equivalencia.
  2. Demuestre que la relación «ser menor o igual» en números enteros no es una relación de equivalencia.
  3. Demuestra que cualquier orden parcial no es una relación de equivalencia.
  4. Demuestra que si $x \in [y]_{\sim} \Leftrightarrow [x]_{\sim}=[y]_{\sim}$.

Más adelante…

En la siguiente entrada volveremos a hablar de relaciones entre conjuntos que en un inicio, no deben ser el mismo. Y el siguiente tipo de relación será fundamental, pues es el concepto de función entre dos conjuntos. No solo aparecerá aquí, sino que es una base para hablar en otras materias como en cálculo, geometría, entre otras.

Entradas relacionadas

Álgebra Superior I: Órdenes parciales y totales

Introducción

En la entrada pasada, hemos introducido algunos tipos de relaciones de un conjunto en sí mismo. En esta entrada y en la siguiente, veremos algunos ejemplos de este tipo de relaciones, y lo haremos con un concepto que puede que te suene muy familiar desde algunas ideas básicas de los números: el órden.

Ordenes

En la vida cotidiana muchas veces nos surge la necesidad de comparar distintas cosas. Por ejemplo, podemos comparar qué tan lejos está un lugar a comparación de otros. Podemos decir que si una plaza comercial nos queda a dos kilómetros, está más cerca de un parque que queda a tres kilómetros de distancia. ¿Por qué pasa esto? Pues nosotros tenemos alguna noción de que dos kilómteros es menor distancia que tres. O al comparar el tamaño del disco duro de alguna computadora, podemos decir que $512$ Gb es mejor que $256$ Gb, puesto que el de $512$ tiene una mayor capacidad del de $256$. ¿Ves como es que usamos las palabras de mayor y menor? Cuando nosotros estamos usando la noción de ser mayor que o menor que, estamos hablando de un orden. Que es un tipo de relación entre un conjunto consigo mismo, por ahora veremos dos tipos de órdenes entre conjuntos: el orden parcial y el orden total.

Órdenes parciales

Piensa en la relación de $\mathbb{Z}^2$ dada por «ser menor o igual a», es decir la relación:

$$ \leq = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2: x \text{ es menor o igual a } y\}$$

Por ejemplo, $(1,2) \in \leq$ pues $1$ es menor o igual a $2$. Si dos elementos $x,y$ están relacionados mediante $\leq$, simplemente escribiremos $x\leq y$ en lugar de $(x,y) \in \leq$. Veamos algunas propiedades que tiene esta relación:

  1. $\leq$ es simétrica. Nota que para cualquier $x \in \mathbb{Z}$ sucede que $x=x$, en general $x \leq x$, pues la relación $\leq$ está dada por «ser menor o igual», y $x$ es igual a sí mismo.
  2. $\leq$ es antisimétrica. Para ver esto, nota que si sucede al mismo tiempo que $x \leq y$ y $y \leq x$, entonces estamos diciendo que $x$ es igual o menor a $y$ al mismo tiempo que $y$ es menor o igual a $x$. De tal forma que sucede que $$(x<y \lor x=y) \land (y<x \lor y=x) \Leftrightarrow (x<y \land y<x) \lor (x=y).$$ Nota que la primera condición no se cumple, entonces tiene que pasar que $x=y$
  3. $\leq$ es transitiva. Considera tres números $x,y,z \in \mathbb{Z}$ Y nota que si $x \leq y \land y \leq z$ entonces $x \leq z$.

Es por estas propiedades que decimos que la relación $\leq$ es un orden parcial.

Definición. Sea $X$ un conjunto y $R$ una relación de $X$ consigo misma. Diremos que $R$ es un orden parcial sobre $X$ si $R$ es relfexica, antisimétrica y transitiva a la vez.

Otro ejemplo de un orden parcial es la relación de inclusión $\subset$ dentro de los subconjuntos de algún conjunto $X$. Pues recordemos que esta relación está dada por «estar contenido en». Ahora, considera $A,B,C \in \mathcal{P}(X)$, entonces:

  • $\subset$ es reflexiva. Nota que como $A=A$, entonces $A \subset A$.
  • $\subset$ es antisimétrica. Si $A \subset B \land B \subset A$, entonces:$$\forall x ((x \in A \Rightarrow x \in B) \land (x \in B \Rightarrow x \in A)).$$ La cual es una equivalencia de $$\forall x (x \in A \Leftrightarrow x \in B) .$$ Es decir $A=B$.
  • $\subset$ es transitiva. Si $A \subset B \land B \subset C$ entonces:
    $$\begin{align*}
    \forall x((x \in A \Rightarrow x \in B) \land (x \in B \Rightarrow x \in C))
    \end{align*}$$ Y recordemos que podemos aplicar la regla de inferencia usada en demostraciones directas para demostrar que esto significa que
    $$\begin{align*}
    \forall x((x \in A \Rightarrow x \in B) \land (x \in B \Rightarrow x \in C)) &\Rightarrow \forall x(x \in A \Rightarrow x \in C)\\
    &\Leftrightarrow A \subset C.
    \end{align*}$$

Órdenes totales

Ahora, vamos a ver el siguiente concepto que es el de órdenes totales, que en pocas palabras son órdenes parciales con la propiedad de la tricotomía. Veamos de qué trata.

Cuando estemos hablando de un órden total, necesitamos que además de ser un orden parcial, tengamos siempre alguna forma de comparar los elementos de dicho conjunto. Por ejemplo, cuando tengamos dos números enteros $x,y$ siempre podemos decir que $x < y \lor x=y \lor x>y$, es decir, se cumple la propiedad de la tricotomía.

Definición. Sea $X$ un conjunto y $R$ una relación de $X$ en sí misma. Diremos que $R$ tiene la propiedad de la tricotomía, si para cada par de elementos $x,y \in X$ pasa que $x=y$ ó $(x,y) \in R$ ó $(y,x) \in R$.

Esta última definición hace que se nos permita poder «comparar» los elementos de $X$, siempre podemos decir cuál es el orden entre cada par de elementos. Piénsalo como un: si una relación tiene la tricotomía, entonces podemos siempre saber cómo se relacionan todos los elementos entre sí. Un orden total será un orden parcial que tiene esta propiedad.

Definición. Sea $X$ un conjunto y $R$ una relación de $X$ en sí misma. Diremos que $R$ es un orden total si es parcial y tiene la propiedad de la tricotomía.

Algunos ejemplos de órdenes totales son:

  • El orden de $\leq$ en $\mathbb{Z}^2$.
  • Las letras del abecedario con el orden usual. $A<B<C<\dots<Z$
  • Las palabras del diccionario forman un orden de acuerdo a cómo son las letras en las palabras, por ejemplo, si buscamos la palabra «oso», esta vendrá antes que la palabra «ratón», pues antes viene la letra «o» que la «r». A su vez, «casa» viene antes que la palabra «caspa», pues todas las letras «cas» son iguales, pero «a» viene antes que la «p». A este orden se le conoce como el orden lexicográfico. Si quieres saber más, revisa la tarea moral.

Otras definiciones sobre el orden

Dentro de un conjunto $X$ total o parcialmente ordenado mediante una relación $\leq$, podemos tener elementos especiales que tendrán nombres particulares. Como por ejemplo:

Definición. Sea $X$ un conjunto con un orden parcial $\leq$ y $x \in X$. Diremos que:

  • $x$ es un elemento maximal si para cualquier $y \in X$ distinta que $x$ no se cumple que $y \leq x$.
  • $x$ es un elemento minimal si para cualquier $y \in X$ distinta que $x$ no se cumple que $x \leq y$.
  • $x$ es un elemento máximo si para cualquier $y \in X$ se cumple que $y \leq x$.
  • $x$ es un elemento mínimo si para cualquier $y \in X$ se cumple que $x \leq y$.

Lo que nos quieren decir estas definiciones es que un elemento es maximal (o minimal) si no existe algún elemento por «arriba (o debajo)» de $x$. Es decir que no podemos encontrar un elemento que esté «después (o antes)» con respecto al orden $\leq$. Lo que nos dice un elemento máximo (o mínimo) es que todo elemento va a ser «menor o igual (mayor o igual)» a $x$. Si lo piensas, pueden sonar a definiciones muy parecidas, y de hecho siempre que un elemento sea máximo (o mínimo), será maximal (o minimal), pero el inverso puede no ser cierto.

La diferencia entre maximal y máximo está en que un máximo $x$ nos indica que siempre podemos comparar cualquiera otro de los elementos $y$ con el máximo y siempre resultará que $y \leq x$. Mientras que un maximal solo nos dice que no existirá un elemento $y$ tal que $x \leq y$, es decir no encontraremos una comparación en el que $x$ resulte ser menor. Lo mismo pasará con el minimal y mínimo.

Por ejemplo, piensa en el conjunto $X=\{1,2,3\}$ y el orden parcial $\leq = \{(1,1),(2,2),(3,3),(1,3),(2,3)\}$. Nota que aquí $3$ es un máximo, pues pasa que $1 \leq 3, 2 \leq 3, 3 \leq 3 $, pero $1$ es minimal, pues $1 \leq 3$ y como $2$ no se compara con $1$, entonces se cumple que no existe algún elemento por «debajo» de él. De la misma manera, $2$ es minimal.

Ahora, considera otro orden parcial sobre el mismo conjunto, dado por $\leq* = \{(1,1),(2,2),(3,3),(1,3),(1,2)\}$. Y nota que ahora sucede que bajo este orden, $1$ es mínimo y $2,3$ son elementos maximales.

Tarea moral

  1. Define la relación de orden lexicográfico $\leq_{lex}$ en $\mathbb{Z}^2 \times \mathbb{Z}^2$ en donde $(x,y) \leq_{lex} (w,z)$ si $x \leq y \lor (x=y \land (b \leq d))$. Muestra que $\leq_{lex}$ es un orden total.
  2. Demuestra que si un conjunto con un orden parcial tiene máximo (o mínimo), este es único.
  3. Considera al conjunto $X=\{1,2,3,6,18\}$ y a la relación $|$ «dividir a » dada por:
    $$\begin{align*}
    |=\{&(1,1),(1,2),(1,3),(1,6),(1,18),\\
    &(2,2),(2,6),(2,18),(3,3),(3,6),\\
    &(3,18),(6,6),(6,18),(18,18)\}.
    \end{align*}$$ Y resuelve lo siguiente:
    • Demuestra que $X$ es un orden parcial pero no total.
    • Encuentra el elemento mínimo.
    • Encuentra el elemento máximo.

Más adelante…

En esta entrada nos hemos enfocado en dos tipos de orden, que son los parciales y totales, y estos no solo serán útiles en este curso, pues será un concepto recurrente en temas de cálculo, geometría y demás materias. Por ahora, introdujimos este concepto y pasaremos a otro que igual se usarán mucho, que son las relaciones de equivalencia, que nos permite «partir conjuntos» de acuerdo a elementos que se relacionen entre sí.

Entradas relacionadas

Álgebra Superior I: Tipos de relaciones en conjuntos

Introducción

Hemos hablado ya de relaciones entre conjuntos, sobre imagen, dominio y composición. Ahora vamos a ver algunas relaciones especiales entre conjuntos, que son la inyectividad, la suprayectividad y relaciones de un conjunto en sí mismo.

Inyectividad de una relación

Las ideas de los dos tipos de relación que vamos a exponer son inyectividad y suprayactividad. La inyectividad es una idea que nos va a hablar de cómo podemos relacionar un elemento de la imagen de una relación con un elemento del dominio. En pocas palabras lo que nos dirá la inyectividad es: Una relación inyectiva es aquella en la que los distintos elementos del dominio van a elementos de la imagen distintos. Veamos esto con calma con un ejemplo.

Supongamos que a nosotros nos interesa recuperar los elementos del dominio con los de la imagen, es decir, quisiéramos ver para cada pareja $y$ de la imagen, de qué $x$ proviene. En el caso de que haya dos relaciones distintas $(x,y),(z,y)$ nos causaría conflicto, pues podríamos decir que $y$ «viene» de dos distintos elementos del dominio.

Una relación inyectiva es aquella en donde para cada elemento de la imagen, existe un único elemento del dominio que se relaciona con esta. Es decir, una relación inyectiva $R$ será aquella en donde para cada $y \in Im(R)$, solo existe un elemento $x \in Dom(R)$ tal que $(x,y) \in R$. Otra forma de verlo es con la siguiente definición:

Definición. Sean $X,Y$ dos conjuntos y $R$ una relación de $X$ en $Y$. Diremos que $R$ es inyectiva si $$\forall y \in Im(R) (\exists ! x \in X:(x,y) \in R)$$

Observa ahora que esto significa que si $R$ es una relación inyectiva y dos parejas $(x,y),(z,y)$ pertenecen a la relación $R$, entonces no les queda de otra que ser la misma pareja, esto implica que $x=z$.

Proposición. Sea $R$ una relación entre dos conjuntos $X$ y $Y$. Entonces son equivalentes:

  1. $R$ es una relación inyectiva.
  2. Si $(x,y) \in R$ y $(w,y) \in R$ entonces $x=w$.

Demostración.

$1) \Rightarrow 2)$. Consideremos $(x,y) \in R$ y $(w,y) \in R$. Lo que queremos demostrar es que $x=w$, para ello notemos que $R$ es inyectiva, lo que quiere decir que existe una única pareja $(x,y) \in R$. Esto quiere decir que $(x,y)=(w,y)$ y esto solo sucede si $y=y$ y $x=w$. Siendo la segunda igualdad la buscada.

$2) \Rightarrow 1)$. Ahora supongamos que si $(x’,y’) \in R$ y $(w’,y’) \in R$ entonces $x’=w’$. Y supongamos que $y$ es un elemento de la imagen de $R$. Demostremos ahora que existe un único elemento $x$ tal que $(x,y) \in R$. Para ello mostraremos que existe al menos un elemento $x$ tal que $(x,y)$ y cualquier otro elemento $w$ no cumple tal propiedad. Para demostrar lo primero, notemos que $y$ es un elemento del contradominio, lo que quiere decir que existe al menos un elemento $x \in X$ tal que $(x,y) \in R$. Y finalmente para demostrar que $x$ es único, supongamos existe un elemento $w \in X$ distinto a $x$ tal que $(w,y) \in R$. Pero por hipótesis, si pasa esto entonces $x=w$, lo cual es una contradicción pues hemos dicho que $x$ es distinto a $w$. De esta manera, $x$ sí es único.

$\square$

También es análogo pensar que si una relación $R$ es inyectiva, entonces para cada elemento de la imagen $y$, sucede que $Im^{-1}[\{y\}]$ tiene un único elemento, pues la definición nos dice que solo existe un elemento $x$ del dominio que se relaciona con $y$.

Ahora observa por ejemplo a los conjuntos de animales $X$ y el tipo de animales $Y$. Podríamos decir que en tipos de animales, tenemos aquellos que viven en la tierra (terrestres) y los que viven en el agua (acuáticos). Entonces una parte de la relación $R$ que relaciona el animal con el hábitat que tiene, se vería de la siguiente manera:

Ahora, si nos preguntamos, cuáles son los animales terrestres, deberíamos observar que al menos los animales terrestres son los perros, gatos, camellos, etc. Una relación que no es inyectiva, no nos regresa un único elemento, sino que un subconjunto del dominio de más de un elemento. Así que esta relación no es inyectiva.

Por otro lado, una relación que sí es inyectiva entre los conjuntos $X=\{a,b,c,d,e,f\}$ y $\mathbb{Z}$ es la relación $R$:

$$R=\{(a,y): y \in Z\} $$

Es inyectiva pues los elementos de esta relación se ven como: $R=\{\dots,(a,-1),(a,0),(a,1),(a,2),\dots\}$ Y si agarramos cualquier número en la imagen de la relación, solo vendrá de un elemento, el elemento $a$.

Otros ejemplos de relaciones inyectivas son:

$R = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2:x=y\}$
$R = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2:x=2y\}$
$R = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2:(0,y) \text{ si }y\text{ es par,}(1,y)\text{ en otro caso}\}$

Relaciones suprayectivas

Otro concepto que será interesante es el de la suprayactividad. Este en términos simples nos dice que una relación $R$ es suprayectiva entre dos conjuntos $X,Y$ si cada elemento de $Y$ se relaciona con algún elemento de $X$. Es así como la siguiente definición nos lo menciona:

Definción. Sean $X,Y$ dos conjuntos y $R$ una relación de $X$ en $Y$. Diremos que $R$ es suprayectiva si $Im[Y]=Y$.

Una forma alterna de verlo es como en la siguiente proposición nos lo demuestra, siendo que siempre podremos encontrar una pareja para cada elemento $y$ de $Y$:

Proposición. Una relación $R$ es suprayectiva si y solo si $\forall y\in Y(\exists x \in X:(x,y) \in Y)$

Demostración Sean $X,Y$ dos conjuntos y $R$ una relación de $X$ en $Y$

$\Rightarrow$] Por hipótesis, $R$ es suprayectiva. Para demostrar que $\forall y\in Y(\exists x \in X:(x,y) \in Y)$ consideraremos un elemento $y \in Y$ arbitrario y demostraremos que existe algún elemento $x \in X$ tal que $(x,y)$ sea un elemento de la relación.
Como hipótesis, sabemos que la imagen de $R$ es igual a $Y$, esto quiere decir que:$$Y=Im(R)=\{y \in Y: \exists x \in X \text{ tal que }(x,y)\in R\}.$$ De esta manera, $$y \in \{y \in Y: \exists x \in X \text{ tal que }(x,y)\in R\}.$$ De manera que $\exists x \in X \text{ tal que }(x,y)\in R$. Por lo tanto, $\forall y\in Y(\exists x \in X:(x,y) \in Y)$

$\Leftarrow$]. Ahora supongamos por hipótesis que para cada elemento $y \in Y$, existe un elemento $x \in X$ tal que $(x,y) \in R$. Ahora, demostremos que $R$ es suprayectiva, es decir $Im(R)=Y$. Para esto, tendremos que demostrar que $Y$ está contenido en $Im(R)$ y viceversa. Pero nota que $Im(R)$ siempre es un subconjunto de $Y$ (pues por definición, sus elementos son elementos de $Y$). Así que bastará demostrar que $Y \subset Im[R]$. Para ello, considera un elemento $y \in Y$. Por hipótesis, para aquel elemento, existirá $x \in X$ tal que $(x,y) \in R$. Pero esto significa que $y \in Im[Y]$. Así, $Y \subset Im[R]$.

$\square$

Un ejemplo de una función suprayectiva sobre los conjuntos $X = \{1,2,3\}, Y=\{0\}$ es la relación $R=\{(1,0),(3,0)\}$. Esto puesto que hay solo un elemento en el conjunto $Y$ y hay al menos una relación para cada elemento del conjunto $Y$. Esto quiere decir que «cubrimos» a todo el contradominio. Otros ejemplos de funciones suprayectivas son:
$R = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2:x=y\}$
$R = \{(x,y) \in \mathbb{Z} \times \{0,1,2,3,4\} : x =1 \land y \in \{0,1,2,3,4\}\}$
Si $R$ es una relación entre dos conjuntos, $X,Y$, la relación $R=X \times Y$ es suprayectiva.

Relaciones de un conjunto en sí mismo

Hemos estado hablando ya de un conjunto muy particular, $\mathbb{Z}^2$ que lo definimos como $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$, es decir de relaciones en el conjunto de los números enteros en sí mismo. Este tipo de relaciones, como ya lo hemos mencionado, se les acostumbra a poner un subíndice $^2$ para indicar que estamos hablando del producto cartesiano de un conjunto sobre él mismo. Por ejemplo si $X$ es un conjunto, entonces $X^2=X \times X$. Vamos a concentrarnos ahora en algunas relaciones especiales de un conjunto en sí mismo.

La primera relación que veremos será la reflexividad, y esto se da cuando un elemento está relacionado consigo mismo. Por ejemplo, en $\mathbb{Z}^2$, la relación cuyos elementos son de la forma $(x,x)$ siempre será reflexiva, pues cada elemento $x$ está relacionado consigo mismo.

La segunda relación se llama la simetría, que nos indica que para cada pareja $(x,y)$ de la relación, sucederá que igual $(y,x)$ estará en la relación. Si te das cuenta, algo que nos dice esta relación es que el orden «no importa», pues da igual cuál elemento escribamos del lado izquierdo y del lado derecho, pues su homónimo simétrico estará igual en la relación.

La tercera es un concepto similar al segundo pero en su antónimo. Diremos que una relación es antisimétrica si para cada pareja que tengamos en la relación $(x,y) \in R$, no sucederá que $(y,x) \in R$ a menos que $x=y$. Piensa por ejemplo para esto, en la relación «ser menor o igual a un número» $\leq$. Sucede que $1 \leq 2$ pero no que $2 \leq 1$

Finalmente, la cuarta propiedad es llamada la transitividad. Esto lo que nos indica es que la composición de la relación también es parte de la relación. En otras palabras, si $(x,y),(y,z) \in R$ entonces $(x,z) \in R$. Para pensar en un ejemplo, piensa en la igualdad entre números, si $1+1=2$ y $2=4-2$, entonces $1+1=4-2$.

Anotaremos este tipo de relaciones como una definición

Definición. Sea $R$ una relación de un conjunto $X$ en sí mismo. Diremos que:

  • $R$ es reflexiva si $\forall x \in X,(x,x) \in R$
  • $R$ es simétrica si $\forall x \in X \forall y \in X\big( (x,y) \in R \Rightarrow (y,x) \in R \big)$
  • $R$ es antisimétrica si $\forall x \in X \forall y \in X\big( ((x,y) \in R \land (y,x) \in R) \Rightarrow (x=y) \big)$
  • $R$ es transitiva si $\forall x \in X \forall y \in X \forall z \in Z \big( ((x,y) \in R \land (y,z) \in R ) \Rightarrow (x,z) \in R \big)$

Tarea moral

  1. Sean $X,Y$ dos conjuntos y $R$ una relación de $X$ en $Y$.Demuestra que son equivalentes:
    1. $R$ es inyectiva
    2. $\forall y \forall x \big(((x,y)\in R \land (z,y) \in R) \Rightarrow x=z\big)$
    3. $\forall y \in Im(R) \big( Im^{-1}[\{y\}] \text{ tiene un solo elemento}\big)$
  2. Demuestra que las siguientes relaciones son inyectivas:
    • $R = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2:x=y\}$
    • $R = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2:x=2y\}$
    • $R = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2:(0,y) \text{ si }y\text{ es par,}(1,y)\text{ en otro caso}\}$
  3. Sea la relación $R$ sobre el conjunto $X$ de los seres humanos dada por: $$R=\{(x,y) \in X^2:x \text{ tiene el mismo cumpleaños que }y\}.$$ Demuestra que $R$ es una relación reflexiva, simétrica y transitiva.

Más adelante…

En la siguiente entrada entraremos a los ordenes parciales, los cuales son relaciones de un conjunto sobre sí mismo que cumplen algunas de las clases especiales de relaciones que hemos revisado en esta entrada. De hecho quizá ya tengas una idea intuitiva de qué es un orden, concepto que ampliaremos más en lo que sigue.

Entradas relacionadas