Álgebra Superior I

Esta es la página del curso Álgebra Superior I que imparto en la Facultad de Ciencias de la UNAM. En este curso cubrimos el temario oficial de la materia viendo varios problemas y ejemplos en el camino.

Organización del curso

El curso está dividido en cuatro unidades temáticas.

  • Unidad 1: Lógica, demostraciones y conjuntos
  • Unidad 2: Relaciones y funciones
  • Unidad 3: Números naturales, inducción y conteo
  • Unidad 4: Espacios vectoriales, matrices y sistemas de ecuaciones

Notas del curso

A continuación están las entradas de blog con el contenido del curso. Se irán llenando los enlaces poco a poco, conforme el material esté disponible.

Unidad 1: Lógica, demostraciones y conjuntos

  • Condicionales y dobles condicionales
  • Cuantificadores existenciales y universales
  • Problemas de condicionales y cuantificadores
  • Negaciones de proposiciones con conectores y cuantificadores
  • Problemas de negaciones de proposiciones con conectores y cuantificadores
  • Demostraciones matemáticas e inferencias
  • Demostraciones directas e indirectas
  • Demostraciones por reducción al absurdo
  • Problemas introductorios a demostraciones
  • Demostración de proposiciones con conectores
  • Demostración de proposiciones con cuantificadores
  • Problemas de demostraciones con conectores y cuantificadores
  • Demostración de condicionales y dobles condicionales
  • Problemas de demostraciones de condicionales y dobles condicionales.
  • Conjuntos y elementos
  • Contención, subconjuntos y conjunto potencia
  • Problemas de conjuntos y subconjuntos
  • Intersecciones, uniones y complementos de conjuntos
  • Leyes de De Morgan y diferencia simétrica de conjuntos
  • Problemas de intersecciones, complementos, uniones y diferencia simétrica

Unidad 2: Relaciones y funciones

  • Parejas ordenadas y producto cartesiano de conjuntos
  • Propiedades del producto cartesiano
  • Problemas de producto cartesiano
  • Relaciones en conjuntos: dominio, codominio y composición
  • Tipos de relaciones en conjuntos
  • Problemas de relaciones y tipos de relaciones
  • Órdenes parciales
  • Relaciones de equivalencia y clases de equivalencia
  • Problemas de órdenes parciales y relaciones de equivalencia
  • Introducción a funciones
  • Composición de funciones
  • Problemas de funciones y composición
  • Funciones inyectivas y suprayectivas
  • Funciones biyectivas e invertibles
  • Problemas de funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas
  • Cardinalidad de conjuntos finitos
  • Varios tamaños de conjuntos infinitos
  • Problemas de cardinalidad de conjuntos finitos

Unidad 3: Números naturales, inducción y conteo

  • Introducción a números naturales
  • Principio de inducción en los números naturales
  • Problemas de inducción
  • Principio de recursión en los números naturales
  • Suma y producto de naturales y sus propiedades
  • Problemas de suma y producto de naturales
  • Variantes del principio de inducción en los naturales
  • Más ejemplos de demostraciones por inducción
  • Introducción a conteo básico y enlistar
  • Regla de la suma y del producto
  • Problemas de enlistar, regla de la suma y del producto
  • Asignaciones y permutaciones
  • Combinaciones y coeficientes binomiales
  • Problemas de asignaciones, permutaciones y coeficientes binomiales
  • Principio de divide y conquista
  • Más problemas de conteo y combinatoria
  • Propiedades de coeficientes binomiales y triángulo de Pascal
  • Fórmula del binomio de Newton
  • Problemas de triángulo de Pascal y binomio de Newton

Unidad 4: Espacios vectoriales, matrices y sistemas de ecuaciones

  • Introducción a vectores y matrices con entradas reales
  • Operaciones de suma y producto escalar con vectores y matrices
  • Problemas de vectores, matrices y sus operaciones
  • Producto de matrices con vectores
  • Producto de matrices con matrices
  • Problemas de producto de matrices con vectores y con matrices
  • Matrices invertibles
  • Transposición de matrices, matrices simétricas y antisimétricas
  • Problemas de matrices invertibles y transposición de matrices
  • Sistemas de ecuaciones lineales
  • Reducción de Gauss-Jordan
  • Problemas de sistemas de ecuaciones y reducción de Gauss-Jordan
  • Traza de matrices y propiedades
  • Problemas de traza y determinante de matrices
  • Determinante de matrices y propiedades
  • Cálculo de determinantes
  • Problemas de determinantes y cálculo de determinantes
  • Espacios vectoriales
  • Introducción a estructuras algebraicas
  • Espacios vectoriales de dimensiones más altas

Videos del curso

Como material adicional, nos apoyaremos en videos. Todos ellos se pueden encontrar en el siguiente canal de YouTube:

Arilin’s Math

Los videos fueron diseñados y grabados por Ariin Haro.

Moodle del curso

Además de las notas y videos del curso, se cuenta con un curso en Moodle en donde hay mucho más material:

  • Foros de discusión divididos por cada unidad temática
  • Cuestionarios de opción múltiple y respuesta numérica para verificar el entendimiento de cada uno de los temas que cubrimos en el curso
  • Tareas y exámenes de versiones anteriores del curso

Para tener acceso a este material, es necesario tener una cuenta en el portal NekoMath Learn y pedir en un correo la inscripción al curso en línea.

Evaluación

La forma específica de evaluar depende de cada vez que se imparte el curso. Hay variantes entre la modalidad en línea y la modalidad presencial.

Bibliografía

En esta página se pueden encontrar las notas que usamos para llevar el curso. Las notas están basadas principalmente en el libro Álgebra Superior de Alejandro Bravo, Hugo Rincón y César Rincón.

Créditos

Las siguientes personas me han ayudado a impartir este curso en la Facultad de Ciencias de la UNAM.

Semestre 2021-1: Carla Abigail Anaya Montaño