Esta es la página del curso Geometría Analítica I que imparto en la Facultad de Ciencias de la UNAM. En este curso cubrimos el temario oficial de la materia viendo varios problemas y ejemplos en el camino.
Organización del curso
El curso está dividido en seis unidades temáticas
- Unidad 1: Introducción intuitiva a la geometría
- Unidad 2: Coordenadas en el plano
- Unidad 3: Vectores en el plano
- Unidad 4: Transformaciones geométricas
- Unidad 5: Cónicas
- Unidad 6: El espacio
Notas del curso
Durante el semestre 2022-2, elaboraremos notas para ir llenando las siguientes secciones.
Unidad 1: Introducción intuitiva a la geometría
- Introducción al curso
- Repaso de conceptos geométricos elementales
- Suma de ángulos internos de triángulos y desigualdad del triángulo.
- Semejanza y congruencia de triángulos
- Teorema de Pitágoras y su demostración
- Ley de senos y ley de cosenos
Unidad 2: Coordenadas en el plano
- Las ideas de Euclides y Descartes
- Coordenadas cartesianas
- Distancia al origen y distancia entre puntos
- Lugares geométricos del plano definidos por ecuaciones y desigualdades elementales
- Unión e intersección de lugares geométricos como conjuntos
- Circunferencia unitaria. Funciones trigonométricas y sus inversas.
- Coordenadas polares.
- Ejemplos de curvas en coordenadas polares.
Unidad 3: Vectores en el plano
- El espacio vectorial $\mathbb{R}^2$
- Propiedades de suma y producto escalar
- Problemas del espacio vectorial $\mathbb{R}^2$
- Rectas en forma paramétrica
- Rectas en forma baricéntrica
- Problemas de rectas paramétricas y baricéntricas
- Pro
- Rectas paralelas e intersección de rectas
- Problemas de rectas paralelas e intersección de rectas
- Producto interior y el ortogonal canónico
- Rectas en forma normal y sus intersecciones
- Problemas de producto interior y rectas en forma normal
- Cauchy-Schwarz, normas y distancias
- Ángulos
- Problemas de Cauchy-Schwarz, normas, distancias y ángulos
- Trigonometría básica
- Problemas de trigonometría básica
Unidad 4: Transformaciones geométricas
- Introducción a transformaciones
- Recordatorio de funciones
- Grupos de transformaciones
- Problemas de funciones y grupos de transformaciones
- Isometrías en $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^2$
- Traslaciones
- Rotaciones
- Reflexiones
- Problemas de traslaciones, rotaciones y reflexiones
- Transformaciones ortogonales
- Funciones lineales
- Problemas de transformaciones ortogonales
- Matrices, suma de matrices y producto escalar
- Producto matriz-vector y entre matrices
- Problemas de matrices y sus operaciones básicas
- La matriz de una función lineal (y viceversa)
- Matriz inversa, trasposición y matrices simétricas
- Problemas de matrices de funcioens lineales y matrices especiales
- Determinantes y traza
- Transformaciones afines
- Problemas de determinantes y transformaciones afines
- Aplicaciones a clasificar isometrías del plano
- Aplicaciones a determinar áreas y a sistemas de ecuaciones
Unidad 5: Cónicas
- Introducción a cónicas
- Círculos y su forma canónica
- Forma vectorial de círculos, tangentes y polares
- Problemas de círculos
- Elipses y su forma canónica
- El problema del bombero y la propiedad focal de la elipse
- Problemas de elipses
- Hipérbolas y su forma canónica
- La propiedad focal de la hipérbola
- Problemas de hipérbolas
- Parábolas y su forma canónica
- La propiedad focal de la parábola
- Problemas de parábolas
- Polinomios cuadráticos y curvas cuadráticas
- Equivalencias afines e isométricas
- Problemas de polinomios cuadráticos, curvas cuadráticas y sus equivalencias
- Traslaciones y el centro de una cónica
- Problemas de traslaciones y centros de cónicas
- Eigenvalores, eigenvectores y polinomio característico
- Diagonalización ortogonal de matrices simétricas
- Problemas de eigenvalores, eigenvectores y diagonalización
- Rotaciones y la forma canónica de una cónica
- Problemas de rotaciones y forma canónica de una cónica
- Clasificación isométrica de polinomios cuadráticos y curvas cuadráticas
- Clasificación afín de polinomios cuadráticos y curvas cuadráticas
Unidad 6: El espacio
Videos del curso
Como material adicional, nos apoyaremos en videos diseñados y grabados por Arilín Haro y Luis Jorge Sánchez. Todos ellos se pueden encontrar en la siguiente página:
Arilin’s Math World: Geometría Analítica
Moodle del curso
Además de las notas y videos del curso, se encuentra en construcción un curso en Moodle en donde hay mucho más material:
- Foros de discusión divididos por cada unidad temática
- Cuestionarios de opción múltiple y respuesta numérica para verificar el entendimiento de cada uno de los temas que cubrimos en el curso
- Tareas y exámenes
Para tener acceso a este material, es necesario tener una cuenta en el portal NekoMath Learn y pedir en un correo la inscripción al curso en línea.
Evaluación
La forma específica de evaluar depende de cada vez que se imparte el curso. Hay variantes entre la modalidad en línea y la modalidad presencial.
Bibliografía
En esta página se pueden encontrar las notas que usamos para llevar el curso.
Créditos
Las siguientes personas me han ayudado a impartir este curso en la Facultad de Ciencias de la UNAM.
Semestre 2021-2:
- Héctor Jair Morales Gómez
- Elsa Fernanda Torres Feria
- Paola Lizeth Rojas Salazar
- Paola Berenice García Ramírez