Esta es la página del curso Geometría Analítica I que imparto en la Facultad de Ciencias de la UNAM. En este curso cubrimos el temario oficial de la materia viendo varios problemas y ejemplos en el camino.
Organización del curso
El curso está dividido en seis unidades temáticas
- Unidad 1: Introducción intuitiva a la geometría
- Unidad 2: Coordenadas en el plano
- Unidad 3: Vectores en el plano
- Unidad 4: Transformaciones geométricas
- Unidad 5: Cónicas
- Unidad 6: El espacio
Notas del curso
Durante el semestre 2022-2, elaboraremos notas para ir llenando las siguientes secciones.
Unidad 1: Introducción intuitiva a la geometría
- Introducción al curso
- Repaso de conceptos geométricos elementales: punto, recta, ángulo, distancia, área, perímetro, transformaciones.
- Semejanza y congruencia de triángulos.
- Desigualdad del triángulo y suma de ángulos internos.
- Teorema de Pitágoras y su demostración
- Ley de senos y ley de cosenos
- Seno y coseno de una suma de ángulos.
Unidad 2: Coordenadas en el plano
- Las ideas de Euclides y Descartes
- Introducción de coordenadas cartesianas en el plano y distancia entre puntos.
- Lugares geométricos del plano definidos por ecuaciones y desigualdades elementales.
- Unión e intersección de lugares geométricos como conjuntos.
- Circunferencia unitaria, funciones trigonométricas y sus inversas.
- Coordenadas polares y ejemplos de curvas.
Unidad 3: Vectores en el plano
- El espacio vectorial R²
- Propiedades de suma y producto escalar
- Interpretación geométrica de las operaciones vectoriales.
- Rectas en forma paramétrica
- Opcional: Rectas en forma baricéntrica
- Producto interior y el ortogonal canónico
- Norma, distancia y ángulo entre vectores (Cauchy-Schwarz).
- Formulación vectorial del teorema de Pitágoras, ley de senos y ley de cosenos.
- Rectas en forma normal y semiplanos
- Descomposiciones ortogonales, proyecciones y distancia de puntos a rectas.
- Intersección de rectas y relación con sistemas de ecuaciones
- Intersección de semiplanos y sistemas de desigualdades.
Unidad 4: Transformaciones geométricas
- Isometrías del plano: traslaciones, rotaciones y reflexiones.
- Transformaciones lineales y afines: efecto en rectas, mallas y circunferencias.
- Composición de transformaciones.
- Matrices de 2×2: suma, producto por escalar.
- Transformación asociada a una matriz.
- Relación entre transformaciones lineales y matrices.
- Determinante de una matriz y su interpretación geométrica (áreas).
Unidad 5: Cónicas
- Introducción histórica, definiciones, trazado y nomenclatura.
- Círculos y su forma canónica
- Elipses y su forma canónica
- Hipérbolas y su forma canónica
- Parábolas y su forma canónica
- Traslaciones y rotaciones de cónicas: efecto en la ecuación e invariantes.
- Definición general mediante excentricidad.
- Propiedades focales y tangentes
- Correspondencia con ecuaciones de segundo grado y clasificación
Unidad 6: El espacio
- Vectores en el espacio: suma, producto escalar e interpretación geométrica.
- Normas, distancias, ángulos y producto punto en R³.
- Producto cruz y producto triple: interpretación geométrica.
- Rectas y planos en el espacio
- Ecuaciones paramétricas y normales para planos.
- Distancia de puntos a planos
- Independencia lineal, generadores y bases en el espacio.
- Intersección de planos y relación con sistemas de ecuaciones.
- Ángulos entre planos
- Introducción a transformaciones lineales y matrices de 3×3.
- Cuádricas en posición canónica: esferas, conos y cilindros.
- Ejemplos de transformaciones rígidas del espacio.
Videos del curso
Como material adicional, nos apoyaremos en videos diseñados y grabados por Arilín Haro y Luis Jorge Sánchez. Todos ellos se pueden encontrar en la siguiente página:
Arilin’s Math World: Geometría Analítica
Moodle del curso
Además de las notas y videos del curso, se encuentra en construcción un curso en Moodle en donde hay mucho más material:
- Foros de discusión divididos por cada unidad temática
- Cuestionarios de opción múltiple y respuesta numérica para verificar el entendimiento de cada uno de los temas que cubrimos en el curso
- Tareas y exámenes
Para tener acceso a este material, es necesario tener una cuenta en el portal NekoMath Learn y pedir en un correo la inscripción al curso en línea.
Evaluación
La forma específica de evaluar depende de cada vez que se imparte el curso. Hay variantes entre la modalidad en línea y la modalidad presencial.
Bibliografía
En esta página se pueden encontrar las notas que usamos para llevar el curso.
Créditos
Las siguientes personas me han ayudado a impartir este curso en la Facultad de Ciencias de la UNAM.
Semestre 2021-2:
- Héctor Jair Morales Gómez
- Elsa Fernanda Torres Feria
- Paola Lizeth Rojas Salazar
- Paola Berenice García Ramírez