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Investigación de Operaciones: El problema de producción e inventario (7)

Por Aldo Romero

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Introducción

Ya hemos visto algunos ejemplos en los que se plantea un problema de programación lineal a partir de un contexto específico. Hemos visto el problema de la dieta, el problema de la mochila y el problema del transporte. Hay algunos problemas que parecen un poco más complicados y que no es tan evidente desde el inicio que se pueden plantear como problemas de programación lineal. En esta ocasión veremos uno de ellos: el problema de producción e inventario.

A grandes rasgos, el problema consiste en modelar una fábrica que necesita tener lista cierta cantidad de inventario de un producto en determinados momentos del año. La fábrica puede producir cierta cantidad de producto que depende de la temporada del año. Quizás haya temporadas en las que puede producir más de lo que necesita, pero si hace eso incurrirá en costos de almacenaje. ¿Cómo puede distribuir su producción, almacenaje y despacho la fábrica para minimizar el costo y cumplir con su compromiso de inventario? Veamos a continuación que esta situación se puede plantear en términos de un problema de programación lineal.

Ejemplo del problema de producción e inventario

Una empresa productora de videojuegos indie acaba de finalizar su último gran lanzamiento y está lista para producirlo en masa en su formato físico. La siguiente tabla indica la demanda de los primeros 5 meses de lanzamiento.

Meses transcurridos a
partir del lanzamiento		01234
Demanda en miles de copias
del mes en curso		8065503010
Productividad disponible del
mes en curso		11560402010

Como el primer mes de lanzamiento es el más importante, la empresa decide que se pueden producir hasta 115 mil copias ese mes, y gradualmente va a reducir su productividad a 60 mil copias el segundo mes, 40 mil el tercer mes, 20 mil el cuarto mes y 10 mil el quinto mes; esto con la finalidad de enfocar más tiempo y recursos en otras producciones.

El costo de producción de cada copia es de \$20. El costo de almacenamiento en las tiendas donde distribuyen sus juegos es de \$2000 por cada mil copias almacenadas. Se desea determinar el plan de producción e inventario que satisfaga el contrato con estas tiendas a fin de minimizar los costos.

Variables de decisión

De manera intuitiva, vamos a hacer nuestras variables de decisión el número de copias que se van a producir el mes en curso desde su lanzamiento.

$x_i$ = cantidad de copias que copias a producir en el mes $i$ desde el lanzamiento del juego $(i \in \{1, 2, 3, 4, 5\})$.

Función objetivo

Como se mencionó, el plan de producción tiene que minimizar los costos para la empresa, tanto los gastos de producción de sus videojuegos como el almacenamiento de estos.

El costo de producción es simplemente el número de copias producidas por cada mes, multiplicado por el costo de fabricación de cada copia ($\$20$). Esto es: $$20(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5)$$.

Restricciones del problema de producción e inventario

Una primera cosa a observar es que el alimento de gato que sobre de un periodo a otro puede ser usado para cubrir la demanda del segundo periodo, claro, con la desventaja de que esto incurrirá en un costo. ¿Cómo podemos determinar la cantidad de alimento que sobra? Por ejemplo, el alimento que sobra del primer al segundo periodo sería $x_1+y_1-100$, pues a lo producido y comprado habrá que quitar lo que sí se vendió. De manera similar podemos calcular otros sobrantes.

Con esto en mente, vamos a plantear primero las restricciones de demanda. Lo que requerimos es que todo el alimento sobrante, producido y comprado de cada periodo sea suficiente para cubrir la demanda. De esta manera, tenemos las siguientes restricciones.

\begin{align}
x_1 + y_1 &\geq 100\\
x_2 + y_2 + (x_1 + y_1 – 100) &\geq 150\\
x_3 + y_3 + (x_2 + y_2 + (x_1 + y_1 – 100) – 150) &\geq 480\\
x_4 + y_4 + (x_3 + y_3 + (x_2 + y_2 + (x_1 + y_1 – 100) – 150) – 480) &\geq 350.\\
\end{align}

Si bien estas desigualdades reflejan correctamente lo requerido, las condiciones anteriores son un poco complicadas de escribir. Por esta razón, vamos a introducir algunas variables auxiliares. Estas serán variables que no se deciden sino que están totalmente determinadas por lo que se produce y compra al competidor. De cualquier forma, es útil introducirlas en el modelo, y para dejar claro que dependen de las variables $x_i$, tendremos que establecer algunas restricciones dadas por igualdades. Hagamos esto. Definamos las siguientes variables.

  • $w_i$ = cantidad de fertilizante (en toneladas) en inventario al final del trimestre $i$, $i=1, \ldots , 4.$

Como comentamos arriba, estas variables dependen de las variables $x_i$ y $y_i$; de hecho, por ejemplo: $$w_1 = x_1 + y_1 – 100.$$

Si reescribimos esta restricción obtenemos

$$x_1 + y_1 – w_1 = 100.$$

Análogamente:

\begin{align*}
x_2 + y_2 + w_1 – w_2 = 150\\
x_3 + y_3 + w_2 – w_3 = 480\\
x_4 + y_4 + w_3 – w_4 = 350.\\
\end{align*}

Tenemos una gran ventaja de usar estas restricciones. Es exactamente lo mismo «que se cubra la demanda en cada periodo» a que «lo que nos sobre en cada periodo sea $\geq 0$». Intenta convencerte de esto intuitivamente y luego verifica esto algebraicamente. Por ejemplo, nota que la primera condición de demanda ($x_1+y_1\geq 100$) es exactamente lo mismo que pedir $w_1=0$, y lo mismo para las demás. De esta manera, las restricciones (1),(2),(3) y (4) pueden cambiarse por pedir que cada $w_i\geq 0$.

Con esto terminamos con las restricciones de demanda. Tenemos otras restricciones dadas por la cantidad de toneladas de alimento que se pueden producir cada mes. Estas quedan expresadas en las siguientes desigualdades:

\begin{align*}
x_i \leq 150, i = 1,3\\
x_i \leq 260, i = 2,4.\\
\end{align*}

Finalmente, hay condiciones de no negatividad. Ya dijimos que $w_i\geq 0$ para $i=1,2,3,4$. Además de esto, claramente necesitamos

\begin{align*}
x_i, y_i,\geq 0 \quad i=1, \ldots , 4.
\end{align*}

En cada periodo tenemos ciertas toneladas que se producen, ciertas que se compran y ciertas que se obtuvieron por almacenar de periodos anteriores. Cada una de ellas incurre en un costo.

Como cada tonelada producida cuesta \$50,000, el total de gasto por toneladas de alimento de gato producidas es de $50000(x_1+x_2+x_3+x_4)$. Como cada tonelada comprada a un competidos cuesta \$52,000, el total de gasto por toneladas de alimento de gato adquiridas a un competidor es de $52000(y_1+y_2+y_3+y_4)$. De manera similar, el costo incurrido por almacenar sobrantes es de $8000(w_1+w_2+w_3+w_4)$. Si juntamos todo en notación suma obtenemos que el costo total a minimizar es el siguiente:

\begin{align*}
z = 50000\sum_{i=1}^4 x_i + 52000\sum_{i=1}^4y_i + 8000\sum_{i=1}^4w_i.
\end{align*}

Resumen de formulación del problema de producción e inventario

En resumen, el PPL que obtenemos es:

\begin{align*}
Min \quad z &= 50000\sum_{i=1}^4 x_i + 52000\sum_{i=1}^4y_i + 8000\sum_{i=1}^4w_i.
&\\
s.a.&\\
x_1&+y_1-w_1 &= 100\\
x_2&+y_2+w_1-w_2 &= 150\\
x_3&+y_3+w_2-w_3 &= 480\\
x_4&+y_4+w_3-w_4 &= 350\\
&x_i \leq 150, i =1,3, \quad x_i \leq 260, i = 2,4\\
x_i, &y_i,w_i \geq 0, i=1, 2, 3, 4.\\
\end{align*}

Más adelante…

En este problema introducimos las variables $w_i$, y ese es uno de los trucos para ampliar el tipo de situaciones que se pueden atender con problemas de programación lineal. La siguiente entrada muestra nuestro último ejemplo introductorio: el problema de la ruta más corta. Como veremos, en este problema también es necesario aprovechar la situación del problema de manera creativa para poder llevarlo a un contexto lineal.

Tarea moral

  1. El problema se vuelve mucho más sencillo si únicamente hay un periodo, pues en ese caso no sobra inventario de un periodo a otro. Plantea un problema que refleje esta situación en el caso particular de la entrada y resuélvelo. Es decir, determina en ese (único periodo) cuál es la cantidad correcta de unidades a producir y cuál es la cantidad correcta de unidades a comprar al competidor, para optimizar el costo total.
  2. Cambia el planteamiento dado en la entrada por uno en el que el costo de almacenaje es de \$0. En ese caso, ¿cuál sería el plan de producción, inventario y compra óptimo?
  3. Estudia el planteamiento dado en la entrada y realiza cambios ya sea en las variables o restricciones para reflejar las siguientes situaciones:
    1. No hay ningún competidor al que se le pueda comprar producto para ayudar a cumplir la demanda.
    2. Hay un competidor, pero sólo permite comprarle 100 toneladas por periodo.
  4. En esta entrada dimos la formulación de un caso particular del problema de producción e inventario. Sin embargo, ya tienes todas las herramientas para plantear el problema de manera general. Realiza una formulación general en la que:
    1. Se tengan periodos $p_1, p_2, \ldots, p_n$ con requisitos de contrato $r_1, r_2, \ldots, r_n$ unidades a cubrir.
    2. Se tengan capacidades de producción $c_1, c_2, \ldots, c_n$ unidades en cada periodo.
    3. Se tengan costos $P$, $C$ y $A$ de producir, comprar al competidor y almacenar una unidad de producto, respectivamente.
  5. En un problema general de producción e inventario. ¿Por qué podría ser mala idea producir todo lo que se necesita vender? ¿Por qué podría ser mala idea producir mucho más de lo necesario en las temporadas en las que se puede? ¿Por qué podría ser mala idea cubrir toda la demanda con unidades compradas al competidor? Intenta justificar intuitivamente, y luego encuentra algunos casos particulares del problema que apoyen tus argumentos.

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Investigación de Operaciones (5): El problema de la mochila

Por Aldo Romero

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Introducción

En la entrada anterior hablamos del problema de la dieta, en donde queríamos cumplir ciertas restricciones alimenticias creando un menú de bajo costo. En esta entrada veremos otro ejemplo conocido de PPL: el problema de la mochila. La idea general es que queremos transportar ciertos bienes mediante un contenedor que tiene cierta capacidad. Este contenedor puede ser algo tan sencillo como una mochila, o algo tan complicado como un tren. A continuación veremos un ejemplo intermedio.

Ejemplo del problema de la mochila

Cesar es un fabricante de botanas que vende 3 de sus productos a varios distribuidores dentro de su localidad. Cada caja de sus productos tiene un peso diferente y generan diferentes ganancias al ser vendidas. Esta información está reflejada en la siguiente tabla:

—Peso por caja
en kilogramos		Ganancia en pesos
por caja vendida
Producto 110150
Producto 212200
Producto 315300

Cesar tiene una camioneta que aguanta hasta 800 kilos de carga sin contar al conductor. Cesar quiere saber cuales son los productos que debe llevar con tal de satisfacer sus ganancias.

Variables de decisión

Nuestra variable de decisión es bastante intuitiva.

$x_i$ = número de cajas del producto $i$ que Cesar va a llevar en su camioneta. $i \in \{1, 2, 3\}$

Función objetivo

Como el objetivo de Cesar es maximizar las ganancias, la función objetivo va a ser:

$$Max \quad z = 150x_1 + 200x_2 + 300x_3$$

Restricciones

En este problema, la única condición que nos dan es que el peso total de las cajas a llevar no exceda la capacidad de carga de la camioneta. Es decir:

\begin{align*}
10x_1 + 12x_2 + 15x_3 \leq 800\\
x_i \geq 0, i \in \{1, 2, 3\}\\

Resumen

El PPL que obtenemos es en resumen:

\begin{align*}
Max \quad z= 150x_1&+ 200x_2 + 300x_3\\
s.a.&\\
10x_1&+12x_2+15x_3 \leq 800\\
x_i& \geq 0,i \in \{1, 2, 3\}\\
\end{align*}

Formulación general del problema de la mochila

Un modelo como el anterior recibe el nombre de problema de la mochila pues originalmente fue formulado del siguiente modo: un excursionista desea determinar la cantidad de latas de ciertos comestibles que llevará en su mochila. Las latas tienen cierto peso $p_i$, cierto valor $v_i$ para el excursionista y su mochila tiene capacidad $P$. Si hay $n$ alimentos disponibles y usamos como variables de decisión a $x_1,\ldots,x_n$, donde $x_i$ es el número de latas de alimento $i$ que el excursionista llevarán, entonces el problema de la mochila es:

\begin{align*}
Max \quad z &= \sum_{n}^{i=1} v_ix_i\\
s.a.&\\
\sum_{n}^{i=1} p_ix_i &\leq P\\
x_i &\geq 0, x_i \in \mathbb Z, i=1, \ldots, n.\\
\end{align*}

Este es un problema de programación lineal, pero más específicamente se le conoce como un problema de programación lineal entera (PPLE), o bien un modelo lineal entero, pues las variables $x_i$ están sujetas a tomar sólo valores en los números enteros. Sorpresivamente, aunque los problemas de programación entera parezcan «más fáciles» dado que sus posibilidades están más restringidas, esto no es así. Han sido objeto de mucho estudio pues agregar la condición de integralidad (que las variables sean enteras) crea complicaciones adicionales y hacen que los métodos generales no funcionen tan bien. Los problemas de programación lineal entera son difíciles incluso en términos de una noción computacional muy precisa del tiempo requerido para obtener la mejor solución.

Un caso particular de este modelo, también difícil de resolver, es el problema binario de la mochila en el cual las variables sólo pueden tomar los valores $0$ o $1$. Esto se traduce, en el caso de la excursión, simplemente a decidir si se incluye o no una lata de alimento $i$.

Más adelante…

Aún tenemos algunos problemas conocidos por explorar. El siguiente que veremos es el problema del transporte, en donde queremos saber cómo distrubuir productos a través distintas posibilidades de transporte para economizar costos.

En algunas entradas más también hablaremos de cómo llevar cualquier PPL a una forma estándar, que nos permitirá desarrollar la teoría general necesaria para resolverlo.

Tarea moral

  1. Para entender un poco las dificultades de los PPLE considera el siguiente ejemplo. Imagina que el saco de arroz pesa 5 kilogramos, que el saco de azucar pesa 3 kilogramos, que el primero de ellos da un ahorro de \$12 y que el segundo da un ahorro de \$10. El vehículo que tenemos ahora es un coche que sólo puede cargar 300 kilogramos. ¿Cómo cargarías en este caso el coche para maximizar el ahorro? Plantea el PPLE e intenta resolver el problema con las herramientas con las que cuentes hasta ahora.
  2. Para entender un poco el problema binario de la mochila, considera el siguiente ejemplo. Se tienen 10 posibles artículos con peso $7,10,12,4,5,9,11$ y con valor correspondiente $23,25,28,17,19,25,26$. Sólo podemos decidir si llevar o no llevar cada artículo, y el peso total que se cargará no puede exceder $40$. ¿Cuáles artículos hay que llevar para maximizar el valor? Plantea el PPLE e intenta resolverlo con las herramientas con las que cuentes hasta ahora.
  3. Considera el problema ejemplo de la entrada. ¿Qué crees que pase con la respuesta del problema si pasan las siguientes cosas? ¿El ahorro óptimo aumentará o dismunuirá? Considera cada caso por separado, uno por uno.
    • El programa compró una mejor camioneta, que ahora puede transportar 2.5 toneladas.
    • El café se volvió más caro y ahora cada saco sólo ahorra 25 pesos al consumidor.
    • La fábrica de frijol ya cambió las presentaciones de sus productos y ahora sólo vende sacos de 30 kilos, que le dan un ahorro de 50 pesos al comprador.
    • Por una nueva política de salud, se quitó el azucar de los productos beneficiados por el programa social.
  4. ¿Notaste que en la entrada anterior no dimos la formulación general del problema de la dieta, sino sólo un ejemplo? Es tu turno de plantear una versión general. Regresa a la entrada anterior y plantea la versión general del problema de la dieta.

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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Introducción al curso y definiciones básicas

Por Eduardo Vera Rosales

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Imágen Ecuaciones Diferenciales I

Introducción

Hola a todos. Esta es la primer entrada de una serie de videos correspondientes a un curso completo de Ecuaciones Diferenciales I, tomando como base el temario oficial de la Facultad de Ciencias de la UNAM, el cual podrás encontrar en el siguiente enlace (temario oficial).

En esta primer entrada daremos una pequeña introducción donde hablaremos a grandes rasgos sobre lo que tratará el curso. Posteriormente daremos un primer vistazo a lo que son las ecuaciones diferenciales y motivaremos su estudio mediante ejemplos donde juegan un papel fundamental. Finalmente veremos las definiciones básicas que necesitamos conocer para poder comenzar un estudio formal de las ecuaciones diferenciales.

¡Vamos a comenzar!

¿De qué trata el curso?

El curso pretende introducirte al mundo de las ecuaciones diferenciales ordinarias. A grandes rasgos una ecuación diferencial ordinaria es una relación entre una variable independiente $t$, una función que depende de $t$, y las derivadas de distintos órdenes de la función. Cuando la relación involucra más de una variable independiente hablaremos de una ecuación en derivadas parciales, sin embargo en este curso no abordaremos ese caso.

Principalmente veremos las distintas técnicas de resolución de ecuaciones, especialmente de primer y segundo orden, así como sistemas de ecuaciones de primer orden. Sin embargo, como el conjunto de ecuaciones diferenciales que se pueden resolver por métodos analíticos es muy pequeño, también analizaremos las ecuaciones desde un punto de vista cualitativo, es decir, realizaremos una descripción lo más completa posible de las soluciones a una ecuación diferencial sin conocerlas explícitamente. También abordaremos el Teorema de Existencia y Unicidad, el cual nos brinda las herramientas para poder resolver problemas con condiciones iniciales, bajo ciertas condiciones.

Motivación y ejemplos de modelos matemáticos mediante ecuaciones diferenciales

Comenzamos el curso con un par de aplicaciones a problemas de dinámica de poblaciones. Revisamos cómo modelar matemáticamente dichos fenómenos mostrando la importancia de las ecuaciones diferenciales.

Definiciones básicas

En el primer video, damos las definiciones de ecuación diferencial ordinaria, soluciones y orden de una ecuación, con sus respectivos ejemplos para que tengas claros estos conceptos.

En el segundo video, revisamos el concepto de problema de condición inicial, también llamado problema de valor inicial, y mediante un ejemplo analizaremos la importancia que tiene en la búsqueda de soluciones particulares de una ecuación. Por último clasificamos a las ecuaciones en lineales y no lineales, ya que en próximos videos comenzaremos a ver las técnicas para resolver este tipo de ecuaciones.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Investiga acerca de algún problema de la vida real que se modele mediante una ecuación diferencial.
  • Comprobar que cuando $P<N$, entonces la tasa de cambio del tamaño de la población en el ejemplo del modelo logístico ( visto en el segundo video) es positiva, es decir, $\frac{dP}{dt}=k(1-\frac{P}{N})P>0$, por lo cual el tamaño de la población crece.

Verificar si las siguientes funciones son solución a su respectiva ecuación diferencial:

  • $\frac{d^{2}y}{dt}+y=0, \,\,\,\,\, y(t)=\sin t$.
  • $y'{}’+5y’+6y=0, \,\,\,\,\, y(t)=e^{-2t}$.
  • $\frac{dy}{dt}+y=te^{t}, \,\,\,\,\, y(t)=ce^{-t}+\frac{te^{t}}{2}-\frac{e^{t}}{4}$.
  • Sabemos que $y(t)=\frac{1}{k-t}$ es solución a la ecuación $\frac{dy}{dt}=y^{2}$ (verifícalo). Encuentra la solución al problema si agregamos la condición inicial $y(0)=1$.

¿Cuál es el orden de las siguientes ecuaciones diferenciales? ¿Son lineales o no?

  • $3ty+y^{2}+(t^{2}+ty)\frac{dy}{dt}=0$.
  • $\alpha t\frac{d^{5}y}{dt}+\sin(t)\frac{d^{2}y}{dt}-\frac{dy}{dt}+t^{5}y=t$.
  • $\cos(t^{2})-y'{}'{}’+37e^{t}y'{}’+y’-\cosh(y)=100e^{\cos(t^{3})}$.

Más adelante

En la próxima entrada analizaremos un poco de la geometría de soluciones de una ecuación de primer orden mediante algunas técnicas bastante sencillas.

Primero veremos cómo asociar un campo de pendientes a una ecuación, y conoceremos cuál es la relación que tiene este campo con las soluciones a la ecuación. Posteriormente veremos el método de las isóclinas para encontrar el campo de pendientes asociado a una ecuación y sus soluciones en el plano $t-y$.

¡No se los pierdan!

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Seminario de Resolución de Problemas: Series telescópicas

Por Fabian Ferrari

2 respuestas

Introducción

En la entrada anterior vimos las series geométricas y su uso para la resolución de problemas específicos. En esta sección trataremos otro tipo de series que resultan de utilidad al momento de resolver problemas, este tipo de series son muy utilizadas en problemas de cálculo.

Series Telescópicas

Dada una sucesión $\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ decimos que la serie $\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-a_{n+1})$ es telescópica por la forma de sus sumas parciales.

\begin{align*}
\sum_{n=1}^N(a_n-a_{n+1})&=(a_1-a_2)+(a_2-a_3)+…+(a_{N-1}-a_N)+(a_N-a_{N+1})\\
&=a_1-a_{N+1}
\end{align*}

Notemos que la serie $\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-a_{n+1})$ converge solo si la sucesión es convergente.

Ejemplos de series telescópicas convergentes y no convergentes.

Determina el resultado de la serie $\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n(n+1)} \right)$.

A simple vista, la serie que se nos presenta no parece ser telescópica. Sin embargo, si cambiamos un poco la estructura de $\frac{1}{n(n+1)}$ podemos notar que

\begin{equation*}
\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}
\end{equation*}

Con esto tenemos que

\begin{equation*}
\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n(n+1)}\right)=\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)
\end{equation*}

Con esta última expresión, podemos observar que la serie es telescópica dado que su suma parcial queda de la siguiente manera

\begin{align*}
\sum_{n=1}^N \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)&=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{N-1}-\frac{1}{N}+\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1}\\
&=1-\frac{1}{N+1}
\end{align*}

Pero como queremos la serie con límite superior infinito, basta con que calculemos el límite cuando $N\to\infty$ de la suma parcial.

\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n(n+1)}\right)&=\lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\\
&=\lim_{N\to\infty} \left( 1-\frac{1}{N+1}\right)=1
\end{align*}

En este ejemplo la serie resulta ser convergente dado que la sucesión $\{ \frac{1}{n(n+1)} \}$ es convergente.

$\square$

Un segundo ejemplo es si queremos calcular la $\sum_{n=1}^\infty (3n^2+3n+1)$.

La serie diverge ya que la sucesión$\{3n^2+3n+1\}$ diverge. Sin embargo, eso no nos impide poder calcular la suma parcial $\sum_{n=1}^N (3n^2+3n+1)$

En principio, $\sum_{n=1}^N (3n^2+3n+1)$ no parece ser telescópica, pero podemos modificar el problema, para verla como una serie telescópica.

Tenemos que
\begin{equation*}
\sum_{n=1}^N (3n^2+3n+1)=\sum_{n=1}^N (n^3-n^3+3n^2+3n+1)
\end{equation*}

Como estamos sumando un cero a la expresión, no alteramos el problema.

Así que

\begin{align*}
\sum_{n=1}^N (n^3-n^3+3n^2+3n+1)&=\sum_{n=1}^N (n^3+3n^2+3n+1-n^3)\\
&=\sum_{n=1}^N [(n+1)^3-n^3]
\end{align*}

La serie $\sum_{n=1}^N [(n+1)^3-n^3]$ tiene forma telescópica, así que

\begin{equation*}
\sum_{n=1}^N [(n+1)^3-n^3]=(N+1)^3-1=N^3+3N^2+3N
\end{equation*}

$\square$

La suma de los primeros $n$ números naturales impares.

Sabemos que un número impar es de la forma $2n+1$ o $2n-1$. y podemos conjeturar observando el patrón de las sumas parciales de $\sum_{n=1}^N(2n-1)$, lo siguiente.

\begin{align*}
&1=1\\
&1+3=4\\
&1+3+5=9\\
&1+3+5+7=16\\
&\vdots\\
&1+3+5+…+(2N-1)=N^2
\end{align*}

Ahora, la idea es probar que esto es cierto aplicando el concepto de series telescópicas.

Tenemos que $\sum_{n=1}^N(2n-1)=1+\sum_{n=1}^{N-1}(2n+1)$

Fijémonos en $\sum_{n=1}^{N-1}(2n+1)$, la cual podemos expresar de la siguiente manera

\begin{align*}
\sum_{n=1}^{N-1}(2n+1)&=\sum_{n=1}^{N-1}(n^2+2n+1-n^2)
&=\sum_{n=1}^{N-1}[(n+1)^2-n^2]
\end{align*}

Observemos que $\sum_{n=1}^{N-1}[(n+1)^2-n^2]$ es telescópica y tenemos que

\begin{align*}
\sum_{n=1}^{N-1}[(n+1)^2-n^2]&=(N-1)+1)^2-1\\
&=N^2-1
\end{align*}

Así,

$\sum_{n=1}^N(2n-1)=1+N^2-1=N^2$

Por lo tanto nuestra conjetura queda probada y resulta ser verdadera.

$\square$

Un problema en el que intervienen las fracciones parciales

Problema: Determina la serie $\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{4n^2-1}\right)$

Solución: Notemos que

\begin{align*}
\frac{1}{4n^2-1}&=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\\
&=\frac{A}{2n-1}+\frac{B}{2n+1}
\end{align*}

Resolviendo un sistema de ecuaciones, tenemos que $A=1/2$ y $B=-1/2$, por lo que

\begin{align*}
\frac{1}{4n^2-1}&=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)
\end{align*}

Así, tenemos que

\begin{equation*}
\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{4n^2-1}\right)=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)
\end{equation*}

Tenemos que $\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)$ es telescópica, por lo que

\begin{equation*}
\sum_{n=1}^N\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)=1-\frac{1}{2N+1}
\end{equation*}

Y tenemos que

\begin{equation*}
\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1} \right)=\lim_{N\to\infty} \left(1-\frac{1}{2N+1}\right)=1
\end{equation*}

Por lo tanto

\begin{equation*}
\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{4n^2-1} \right)=\frac{1}{2}(1)=\frac{1}{2}
\end{equation*}

$\square$



Más problemas

Puedes encontrar más problemas de series telescópicas en la sección 5.3 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Seminario de Resolución de Problemas: Series geométricas

Por Fabian Ferrari

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Introducción

En esta entrada y en otras subsecuentes, trataremos el tema de series aplicado a la resolución de problemas matemáticos. Recordemos que en entradas anteriores ya se estudiaron los conceptos de sucesiones. Para esta entrada aprovecharemos lo que hemos aprendido de sucesiones geométricas.

Series geométricas

Si consideramos una sucesión geométrica $\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}$, recordemos que se cumple que existe una razón $r$ de tal manera que $a_n=ra_{n-1}$, expresado en el primer término, tenemos que $a_n=r^{n}a_0$. Ahora bien, nos interesará saber o conocer las suma de los elementos de una sucesión geométrica. A esta suma se le conoce como serie geométrica y puede realizarse considerando una cantidad finita de elementos de la sucesión, así como una cantidad infinita de elementos de la sucesión.

Si queremos obtener la serie geométrica de los primeros $n+1$ elementos de la sucesión $\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}$, tenemos lo siguiente

\begin{equation*}
\sum_{i=0}^n a_i=a_0+a_1+a_2 +a_3+\ldots+a_n.
\end{equation*}

Al multiplicar ambos lados de la igualdad por la razón de la sucesión tenemos que

\begin{align}
\sum_{i=0}^n a_i&=a_0+a_1+a_2 +a_3+\ldots+a_n\\
r\sum_{i=0}^n a_i&=ra_0+ra_1+ra_2 +ra_3+\ldots+ra_n\\
&=a_1+a_2+\ldots+a_{n+1}
\end{align*}

Y si calculamos $r\sum_{i=0}^n a_i-\sum_{i=0}^n a_i$, se cancelan todos los términos excepto el último de la primer suma, y el primero de la segunda. Obtenemos entonces:

\begin{align*}
r\sum_{i=0}^n a_i-\sum_{i=0}^n a_i&=a_{n+1}-a_0.
\end{align*}

Así,
\begin{equation*}
\sum_{i=0}^na_i=\frac{a_{n+1}-a_0}{r-1}=a_0\frac{r^{n+1}-1}{r-1}.
\end{equation*}

Ahora bien, si tenemos la sucesión geométrica $\{a_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ y queremos calcular la serie infinita de todos sus elementos basta con que calculemos el límite cuando $n\to \infty$ tiende a infinito de $$\sum_{i=0}^na_i=a_0\frac{r^{n+1}-1}{r-1}.$$

Supogamos que $a_0\neq 0$, pues en otro caso la suma de los términos es igual a $0$. Si $|r|>1$, el numerador diverge y por lo tanto la serie también. Cuando $r=1$, la serie diverge pues cada sumando es igual a $a_0\neq 0$. Cuando $r=-1$, tenemos una serie de términos alternante que no converge, pues es, iteradamente, $a_0,0,a_0,0,\ldots$.

Por otro lado, si $|r|<1$, entonces $r^{n+1}\to 0$. En este caso, la serie converge a $\frac{a_0}{1-r}$.

Aplicación de series geométricas a áreas

Si consideramos la sucesión $\{x^i\}_{i\in\mathbb{N}}$ tenemos que dicha sucesión está dada por $\left\{1, x, x^2, x^3,\ldots\right\}$ la sucesión es geométrica, dado que la razón es $r=x$.

De acuerdo al análisis que hicimos arriba, la serie geométrica finita está dada por

\begin{equation*}
\sum_{i=0}^n x^i=(1)\frac{x^{n+1}-1}{x-1}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}
\end{equation*}

A partir de aquí deducimos que la serie geométrica infinita está dada por

\begin{equation*}
\sum_{i=0}^{\infty} x^i=\lim_{n\to\infty}\frac{1-x^{n+1}}{1-x}=\frac{1}{1-x}
\end{equation*}

solo si $|x|< 1$. En otro caso, la serie diverge.

$\square$

Un problema aplicado a la geometría

Consideremos la siguiente figura, en donde $\triangle ABC$ es un triángulo equilatero y $OA=16$.


Imaginemos que la figura continúa internamente de manera infinita, resultando en una cantidad infinita de triángulos, todos ellos equiláteros. ¿Cuál sería la suma de las áreas de todos los triángulos?

Para ello, primero tendríamos que ver el área de cada triángulo como elemento de una sucesión, la cual parece que será geométrica.

Comencemos calculando el área del $\triangle ABC$. Para ello tenemos que determinar el valor de la altura. Notemos que $CE$ es altura del triángulo, a su vez, $CE=OC+OE$. Como $OC$ es radio de la circunferencia, tenemos que $OC=16$. Sólo falta determinar el valor del segmento $OE$.

Si nos fijamos en $\triangle AOE$, tenemos que es un triángulo rectángulo, además que $AO$ es bisectriz del $\angle A$, así que $\angle OAE=30^o$. Como $\sin30^o=OE/16=1/2$ tenemos entonces que $OE=8$.

Por lo anterior, tenemos que que la altura del $\triangle ABC$ está dada por $h=24$. De una manera similar podemos calcular la base del triángulo, la cual está dada por $b=16\sqrt{3}$. Así, el área del $\triangle ABC$ es $A_0=192\sqrt{3}$.

El área del triángulo inscrito en el $\triangle ABC$ es la cuarta parte de $A_0$, es decir $A_1=\frac{1}{4}A_0$. De manera sucesiva $A_2=\frac{1}{4}A_1$, $A_3=\frac{1}{4}A_2, \ldots$.

Si nos fijamos en la sucesión de las áreas de los triángulos$\{A_i\}_{i\in\mathbb{N}$ tenemos que es geométrica de razón $r=1/4$.

De esta forma, la suma de las áreas de todos los triángulos es una serie geométrica dada por

\begin{align*}
\sum_{i=0}^{\infty} A_i&=\lim_{x\to\infty}(192\sqrt{3})\frac{1-(1/4)^{n+1}}{1-(1/4)}\\
&=(192\sqrt{3})\frac{1}{1-(1/4)}=(192\sqrt{3})(4/3)\\
&=256\sqrt{3}
\end{align*}

$\square$

Aplicación de series geométricas a números perfectos

Un número entero positivo $n$ se dice que es perfecto si la suma de sus divisores sin incluir al mismo $n$ da como resultado $n$. Por ejemplo, el número $6$ es un número perfecto ya que sus divisores sin incluir al mismo $6$ son $1, 2, 3$ y su suma $1+2+3=6$.

Ahora veamos un problema que relaciona a los números perfectos y a las series geométricas.

Problema: Sea $n=2^{p-1}(2^p-1)$, donde $2^p-1$ es primo. Prueba que $n$ es un número perfecto.

Solución: Tenemos que todos los divisores de $n$ sin contar al mismo $n$ están conformados por la unión de las siguientes dos sucesiones finitas.

\begin{align*}
&\{2^i\}_{i=0}^{p-1}=1, 2, 2^2,…,2^{p-1}\\
&\{(2^p-1)2^i\}_{i=0}^{p-2}=(2^p-1), 2^2(2^p-1), 2^3(2^p-1),…, 2^{p-2}(2^p-1)
\end{align*}

Si consideramos la suma de los elementos de cada sucesión

\begin{align*}
&\sum_{i=0}^{p-1}2^i=\frac{2^p-1}{2-1}=2^p-1\\
&\sum_{i=0}^{p-2}2^i(2^p-1)=(2^p-1)\frac{2^p-1}{2-1}=(2^p-1)(2^{p-1}-1)
\end{align*}

Así la suma de todos los divisores de $n$ sin incluir al propio $n$ es

\begin{align*}
(2^p-1)+(2^p-1)(2^{p-1}-1)&=(2^p-1)(1+2^{p-1}-1)\\
&=2^{p-1}(2^p-1)\\
&=n.
\end{align*}

Por lo tanto, tenemos que $n$ es un número perfecto.

$\square$

Otro problema interesante

Problema: Una sucesión está definida por $a_1=2$ y $a_n=3a_{n-1}+1$, encuentra el valor de la suma $$a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n.$$

Solución: Notemos que la sucesión que nos dan no es geométrica, dado que no es posible encontrar un número $r$ que funcione como razón. Así que busquemos un patrón que aparezca al realizar las primeras sumas.

\begin{align*}
a_1&=2\\
a_2&=3a_1+1\\
&=3(2)+1\\
a_3&=3a_2+1\\
&=3(3(2)+1)+1\\
&=3^2(2)+3+1\\
a_4&=3a_3+1\\
&=3(3^2(2)+3+1)+1\\
&=3^3(2)+3^2+3+1\\
a_5&=3a_4+1\\
&=3(3^3(2)+3^2+3+1)\\
&=3^4(2)+3^3+3^2+3+1.
\end{align*}

De manera sucesiva, podemos conjeturar y mostrar por inducción que
\begin{align*}
a_n&=3^{n-1}(2)+3^{n-2}+\ldots+3+1\\
&=3^{n-1}(2)+\frac{3^{n-1}-1}{2}\\
&=\frac{5\cdot 3^{n-1}-1}{2}.
\end{align*}

Así que

\begin{align*}
\sum_{i=1}^na_i&=\sum_{i=1}^n \frac{5\cdot 3^{i-1}-1}{2}\\
&=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n 5\cdot 3^{i-1}-1\\
&=\frac{1}{2}\left(5\cdot \frac{3^n-1}{2} – n\right).
\end{align*}

$\square$

Más problemas

Puedes encontrar más problemas de series geométricas en la sección 5.2 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.