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Seis herramientas fundamentales para concursos matemáticos en tiempos de pandemia

La Olimpiada Mexicana de Matemáticas (OMM) se organiza en varios niveles: estatal, nacional y participación en concursos internacionales. Los estudiantes comienzan con la etapa estatal, en donde realizan varios exámenes y además se les prepara mediante entrenamientos. Después de repetir esto algunas veces, algunos estudiantes son elegidos para ir al Concurso Nacional de la OMM, para el cual se preparan adicionalmente.

A grandes rasgos, la forma en la que se organiza una olimpiada estatal se ve así:

En la parte de arriba se ve el flujo de los estudiantes. En la parte de abajo se ven varias actividades que realizan los comités estatales.

En esta época de la pandemia de COVID19, es muy importante encontrar alternativas para realizar muchas de estas actividades de manera digital. La idea de esta entrada de blog es ser un mini-curso introductorio a material y tecnologías de educación a distancia que pueden ser usadas para realizar estas actividades. Si bien está pensada originalmente como una entrada para ayudar a la organización de los concursos estatales de la OMM, el contenido puede:

  • Ser de utilidad incluso cuando salgamos de la pandemia, para tener más alcance.
  • Apoyar a otros concursos de otras ciencias, y otros países, a encontrar alternativas.

Para cada tecnología también hay un video, para ver cada uno de los recursos más en acción. El video introductorio es el siguiente.

Página de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas

La página de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas es uno de los mejores lugares para encontrar material de entrenamiento gratuito, de calidad, de acceso libre y con soluciones. Además, en esta página están disponibles en versión digital todos los números de la revista Tzaloa, que tiene otro tanto de material.

Otras cosas que se pueden encontrar en la página son los datos de contacto de los organizadores, resultados históricos de México en las olimpiadas internacionales y un sistema para pedir libros de la serie Cuadernos de Olimpiada.

La página de la OMM es http://www.ommenlinea.org. En el siguiente video se exploran con más detalle las distintas secciones.

El blog de Leo

El blog de Leo es precisamente esta página, en donde está esta entrada de blog. Forma parte de los recursos que propongo pues aquí en el blog hay también bastante material para preparar a olímpicos y entrenadores de la Olimpiada. Algunas secciones que pueden ser de utilidad son:

En el siguiente video se explora el blog más a detalle.

Facebook

La red social más popular es Facebook, y una de sus misiones es conectar a las personas. Se puede aprovechar todo el potencial que tienen sus herramientas para dar difusión a los concursos de matemáticas, para estar en contacto con los concursantes y para entrar en contacto con otras comunidades.

Dentro de Facebook, los dos lugares más indicados para ir y estar cerca de la comunidad olímpica matemática de México son:

  • La página de FB de la OMM: Página oficial, manejada por el Comité. Ahí se sube información de eventos, se publican resultados a nivel nacional y se informa de la participación de México en concursos internacionales.
  • El grupo Insommnia: El ambiente es más relajado. Es un grupo extraoficial, pero con una comunidad enorme de olímpicos y ex-olímpicos. Hay chistes, problemas propuestos, videos, discusiones de mejora del proyecto, mini-exámenes, etc.

Cada Comité Estatal puede aprovechar que en Facebook se pueden hacer grupos privados para estar en contacto con organizadores, papás o concursantes.

Hablo más de Facebook y su papel en concursos matemáticos en el siguiente video.

Overleaf

LaTeX es un lenguaje para escribir matemáticas y que se produzca un documento en el cual las matemáticas se vean bonito. Con él se pueden hacer exámenes selectivos, notas de entrenamiento e incluso libros.

Típicamente, para usar LaTeX en una computadora es necesario instalar una distribución y un editor. Overleaf es una página de internet en la cual se puede escribir y compliar LaTeX sin necesidad de instalar nada adicional.

Una ventaja de Overleaf es que lo que se trabaja se queda en la nube, así que se puede acceder a los documentos desde cualqueir computadora con internet. Esto tiene la desventaja de que se necesita tener internet, pero es fácilmente arreglable ya que, de ser necesario, se pueden bajar a una computadora todos los archivos fuente.

Otra ventaja de Overleaf es que se puede hacer colaboración simultánea en un mismo documento. Esto es muy útil para cuando se tiene que escribir matemáticas con otras personas: al hacer notas, escribir artículos de investigación y textos más grandes como libros o tesis.

En el siguiente video hablo más acerca de Overleaf.

Moodle

Un LMS es una plataforma que tiene todo lo que necesita un curso a distancia: herramientas para hacer exámenes, definir actividades, calendarizar, contactar a estudiantes, etc. Uno de los LMS más importantes y de más uso en la docencia a distancia es Moodle.

La principal dificultad con usar Moodle reside en que es necesario descargar un software e instalarlo en un servidor. Esto puede ser muy difícil para alguien que no conoce del tema. Sin embargo, una vez que Moodle queda instalado, es muy facil de usar para profesores y estudiantes (o en este contexto, delegados, entrenadores y concursantes).

El tipo de cosas que se pueden hacer en Moodle incluyen:

  • Tener un sistema de registro de nuevos concursantes
  • Subir notas
  • Subir mini-libros
  • Crear exámenes con límites de tiempo
  • Crear actividades de aprendizaje
  • Hacer cuestionarios
  • Tener foros personalizados

En el siguiente video hablo más a detalle de algunas de estas cosas.

Zoom, Hangouts y otras plataformas de videollamada

Finalmente, me gustaría platicar un poco acerca de opciones para tener videollamadas hoy en día. Sobre todo, me gustaría enfocarme en Zoom y en Hangouts. Ambas son buenas opciones para tener llamadas con grupos de varias personas.

Zoom agarró mucha popularidad en esta época de pandemia, y tiene sentido. Es una herramienta fácil de usar y de instalar que permite:

  • Armar reuniones con muchas personas
  • Compartir la pantalla con los asistentes (por ejemplo, puede servir para dar entrenamientos)
  • Programar reuniones y avisar a los participantes
  • Tener mecanismos de participación por chat, reacciones de “levantar la mano” o “aplaudir”

La versión gratuita de Zoom tiene algunas limitaciones, como que sólo se puede usar por 40 minutos de manera simultánea. La versión de paga permite hacer varias cosas como dividir a un grupo en sub-grupos.

Google Hangouts es una herramienta muy similar. También permite reuniones con muchas personas y compartir la pantalla. Se integra mejor con todo el ecosistema de Google y puede ser muy útil para quienes ya tengan una cuenta ahí.

En el siguiente video hablo de estas y un par de opciones más.

Reflexión final

Esta entrada fue un mini-curso al material y las tecnologías que se pueden usar para seguir organizando concursos matemáticos a distancia. El material que se presentó toma en mente el flujo de participantes en un modelo básico del concurso. También toma en cuenta el tipo de tecnología que podría necesitar un comité organizador local para hacer todas las actividades que se necesitan.

Hay una hipótesis muy fuerte que estamos haciendo: que los organizadores y participantes tienen acceso estable y bueno a internet. Al realizar actividades que aprovechen la tecnología hay que tener en cuenta que esta hipótesis es posible que no se cumpla. Puede suceder que:

  • Haya personas sin acceso a internet
  • Haya personas con acceso sólo con datos, para quienes ver videos es impermisiblemente caro
  • Haya personas con computadora y acceso a internet en su casa, pero de los cuales no puedan disponer
  • Haya personas con todos los recursos tecnológicos, pero viviendo muchas dificultades debido a la pandemia.

Así como muchos otros aspectos de la docencia, es importante tener empatía en el aspecto digital.

Seminario de Resolución de Problemas: Desigualdades básicas

Introducción

En las entradas correspondientes a esta parte del curso aprenderemos varias técnicas que nos permitirán resolver problemas que involucren desigualdades. El área es enorme y hay libros enteros dedicados a ello. Nosotros sólo veremos algunas técnicas. Comenzaremos con desigualdades básicas y nos enfocaremos en los siguientes temas:

  • Desigualdad x^2\geq 0 y desigualdad del triángulo
  • Desigualdades de medias
  • La desigualdad de Cauchy-Schwarz
  • Técnicas de cálculo en desigualdades

En esta entrada veremos el primer inciso, que consiste de dos ideas muy sencillas:

Desigualdad x^2\geq 0. El cuadrado de cualquier número real es mayor o igual a cero. Es cero si y sólo si el número es cero.

Desigualdad del triángulo. Si V es un espacio vectorial con norma \norm{\cdot}, entonces para cualesquiera vectores u y v se tiene que

    \[\norm{u}+\norm{v}\geq \norm{u+v}.\]

La desigualdad x^2\geq 0 parece muy inocente. Sin embargo, es una herramienta muy versátil cuando se combina con manipulaciones algebraicas creativas. La desigualdad del triángulo la estamos enunciando para espacios vectoriales con norma en general. Dos casos particulares que a lo mejor te son más familiares son los siguientes:

Desigualdad del triángulo para \mathbb{R}. Si a y b son números reales, entonces |a|+|b| \geq |a+b|.

Desigualdad del triángulo en \mathbb{R}^n. Si ABC es un triángulo en el plano (o dimensiones más altas) , de lados de longitudes \overline{AB}=c, \overline{BC}=a y \overline{CA}=b, entonces

    \begin{align*}a+b&\geq c\\b+c &\geq a\\c+a &\geq b.\end{align*}

Si una de las igualdades se da, ABC es un triángulo degenerado, es decir, con sus tres vértices alineados. En otro caso, todas las desigualdades son estrictas.

Veamos aplicaciones de estas desigualdades básicas.

La desigualdad \frac{a^2+b^2}{2}\geq \sqrt{ab}

Comenzaremos probando de dos formas distintas una desigualdad que también resulta útil en otras ocasiones.

Problema. Sean a y b números reales mayores o iguales a cero. Muestra que

    \[\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab},\]

y que la igualdad se da si y sólo si a y b son iguales.

A esta desigualdad se le conoce como la desigualdad MA-MG para dos números reales. También forma parte de las desigualdades básicas que te ayudará conocer. Se llama así pues en el lado izquierdo tenemos a la media aritmética de los números a y b, y al lado derecho tenemos la media geométrica de los números a y b. En realidad la desigualdad se vale para más reales no negativos, pero esto lo veremos en otra entrada.

Sugerencia pre-solución. El problema se puede resolver tanto de manera algebraica, (usando x^2\geq 0) como de manera geométrica (usando la desigualdad del triángulo).

Para resolverlo de la primera forma, trabaja hacia atrás. Haz manipulaciones algebraicas para formular problemas equivalentes hasta que llegues a una desigualdad obvia.

Para resolverlo de la segunda forma, haz una figura en la que puedas representar tanto a la media geométrica como a la aritmética. Una forma de hacerlo es comenzar con una semicircunferencia de diámetro a+b.

Para identificar el caso de igualdad, haz un análisis de casos.

Solución algebraica. Queremos mostrar que

    \[\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}.\]

Pasando el dos multiplicando, y luego 2\sqrt{ab} restando al lado izquierdo, esta desigualdad igualdad ocurre si y sólo si

    \[a+b-2\sqrt{ab}\geq 0.\]

En el lado izquierdo identificamos un binomio al cuadrado, que se puede factorizar para dar la desigualdad equivalente

    \[\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\geq 0.\]

Esta desigualdad es de la forma x^2\geq 0, así que es claramente cierta. La igualdad ocurre si y sólo si \sqrt{a}-\sqrt{b}=0, lo cual sucede si y sólo si a=b. Todos los pasos que hicimos son reversibles. Esto termina la solución.

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Solución geométrica. Consideremos la siguiente figura, en donde tenemos una semicircunferencia de diámetro \overline{AB}=a+b y centro O. Aquí C es un punto en AB tal que \overline{AC}=a y entonces \overline{CB}=b. Además, D es un punto sobre la circunferencia tal que DC es perpendicular a AB. Llamemos d=\overline{CD}.

Prueba visual de la desigualdad entre la media aritmética y media geométrica usando desigualdades básicas
Prueba visual de MA-MG

Como \triangle AOD y \triangle BOD son isósceles por tener dos lados iguales al radio de la circunferencia, tenemos que \angle ADO = \angle DAO y \angle BDO = \angle DBO. Usando estas igualdades y que la suma de los ángulos internos de \triangle ABD es 180^\circ, se puede mostrar que el ángulo ADB es de 90^\circ.

De este modo, \triangle ACD y \triangle DCB son semejantes (por ser ambos semejantes a \triangle ABD por criterio AA). Por la semejanza, tenemos que

    \[\frac{a}{d}=\frac{d}{b},\]

de donde d=\sqrt{ab}.

Para terminar la demostración, tomamos un punto E sobre DO tal que \angle EOC = \angle ECO. Por la desigualdad del triángulo en \triangle DEC, tenemos que

    \begin{align*}\sqrt{ab}&=\overline{DC}\\&\leq \overline{DE} + \overline{EC}\\&= \overline{DE} + \overline {EO}\\&= \overline{DO}\\&=\frac{a+b}{2}.\end{align*}

Con esto demostramos la desigualdad. Para terminar el problema, necesitamos ver cuándo se dan los casos de igualdad. Se tiene la igualdad si y sólo si \triangle DEC es un triángulo degenerado, lo cual sucede si y sólo si E está en el segmento DC. Esto sólo es posible cuando DO es perpendicular a AB, lo cual sucede si y sólo si C=O, si y sólo si AC=CB, si y sólo si a=b.

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Desigualdades básicas aplicadas a un problema de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas

El siguiente problema apareció como parte de los exámenes selectivos que el Comité Nacional de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas envía a los estados para seleccionar a sus estudiantes en distintas etapas. Tiene muchas formas de resolverse, pero veamos cómo se puede resolver con desigualdades básicas.

Problema. Sean a,b,c,d reales positivos con a^2+b^2+c^2+d^2=4. Muestra que

    \[a^5+b^5+c^5+d^5 \geq a+b+c+d\]

Sugerencia pre-solución. Modifica el problema a mostrar como desigualdad auxiliar que para un real no negativo x se tiene que

    \[x^5-2x^2-x+2\geq 0.\]

Esta desigualdad se puede demostrar usando que los cuadrados son no negativos.

Solución. Vamos a probar primero la desigualdad

    \[x^5-2x^2-x+2\geq 0.\]

Para que sea un poco más fácil, factorizaremos la expresión del lado izquierdo.

Notemos que 1 es una raíz de x^5-2x^2-x+2, de modo que por el teorema del factor podemos factorizar x-1 del polinomio. Obtenemos que

    \[x^5-2x^2-x+2=(x-1)(x^4+x^3+x^2-x-2).\]

Notemos que, nuevamente, 1 es una raíz de (x^4+x^3+x^2-x-2). Al factorizar x-1 de nuevo, obtenemos que

    \[x^5-2x^2-x+2=(x-1)^2(x^3+2x^2+3x+2).\]

Ya estamos listos para probar la desigualdad que queremos. Notemos que (x-1)^2\geq 0 y que x^3+2x^2+3x+2 es mayor o igual que cero para x\geq 0 pues es un polinomio con puros coeficientes positivos. Esto prueba la desigualdad auxiliar. Reescribiéndola, tenemos que

    \[x^5\geq 2x^2+x-2.\]

Aplicándola en esta forma a los cuatro reales positivos a,b,c,d del problema, y usando que la suma de cuadardos es 4, obtenemos que

    \begin{align*}a^5 & + b^5+c^5+d^5\\&\geq 2(a^2+b^2+c^2+d^2)+a+b+c+d-8\\&=2\cdot 4 + a+b+c+d-8\\&=a+b+c+d.\end{align*}

Esto termina el problema.

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El primer paso parece un poco artificial. ¿Por qué queremos probar esa desigualdad auxiliar? En otra entrada de blog escribí cómo se puede llegar a las ideas de esta solución.

Desigualdad del triángulo aplicada a la construcción de tetraedros

Si pegamos cuatro triángulos equiláteros en el espacio se hace un tetraedro regular. De manera similar, si pegamos cuatro triángulos como el siguiente, también se hace un tetraedro en el espacio:

Pegar cuatro triángulos congruentes para hacer un tetraedro

La intuición nos dice que debería poderse con cualquier triángulo. Pero esta intuición está mal.

Problema. Sea ABC un triángulo con un ángulo mayor a 90^\circ. Muestra que no existe ningún tetraedro en el espacio tal que sus cuatro caras sean congruentes a ABC.

Sugerencia pre-solución. Procede por contradicción. Por simetría, puedes asumir que el ángulo mayor a 90^\circ es el ángulo en A. Usa como punto auxiliar al punto medio de BC y usa desigualdades.

Solución. Una observación inicial es que si ABC es un triángulo, M es el punto medio de BC y su ángulo interno en A es mayor a 90^\circ, entonces 2\overline{AM}<\overline{BC}. Esto se muestra trazando una circunferencia de diámetro BC.

Desigualdad para la mediana en términos del ángulo que hace.

De hecho,

  • Un punto X está sobre la circunfencia si y sólo si \angle BXC = 90 ^\circ, si y sólo si \overline{OX}=\overline{OA}.
  • X está dentro de la circunferencia si y sólo si \angle BXC > 90^\circ, si y sólo si \overline{OX}<\overline{OA} y
  • X está fuera de la circunferencia si y sólo si \anble BXC < 90^\circ, si y sólo si \overline{OX}>\overline{OA}.

Resolvamos el problema. Sin pérdida de generalidad, el ángulo en A es mayor a 90^\circ. Entonces \overline{AM}<\frac{\overline{BC}}{2}, de donde 2\overline{AM}<\overline{BC}.

Supongamos que se pudiera hacer en el espacio un tetraedro WXYZ tal que cada una de las caras es congruente al triángulo ABC. Sin pérdida de generalidad, tenemos que

    \begin{align*}\overline{WX}&=\overline{YZ}=\overline{AB}\\\overline{XY}&=\overline{ZW}=\overline{BC}\\\overline{WY}&=\overline{XZ}=\overline{CA}.\end{align*}

Tomemos el punto medio M de XY. En \triangle ZMW, tenemos que

    \begin{align*}\overline{ZM}&=\overline{AM}\\\overline{WM}&=\overline{AM}.\end{align*}

Así, usando la desigualdad del triángulo en \triangle ZMW tenemos que

    \begin{align*}2\overline{AM}&=\overline{ZM}+\overline{WM}\\&\geq \overline{ZW}\\&=\overline{BC}.\end{align*}

Esto es una contradicción con la desigualdad 2\overline{AM}<\overline{BC} que ya habíamos mostrado.

\square

Más problemas

Puedes encontrar más problemas de desigualdades básicas en la sección 7.1 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson. También puedes consultar más técnicas y problemas en el libro Desigualdades de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas.

Las plantas que necesitan fuego

Hoy les voy a contar algo que aprendí en la Olimpiada Internacional de Matemáticas que se llevó a cabo en Sudáfrica, hace ya varios años.

Resulta que allá hay una franja de vegetación que se llama fynbos. En ella hay muchas especies de plantas. Pero algunas de ellas tienen una característica especial: para que las semillas germinen tienen que ser expuestas a altas temperaturas. Esto usualmente se hace con fuego directo.

Es lindo y anti-intuitivo que a veces, para que pueda germinar una planta, se tenga que exponer a un incendio.

Pueden leer más de la convivencia fuego-plantas aquí:
https://www.britannica.com/list/5-amazing-adaptations-of-pyrophytic-plants?

Carta abierta a Reforma

Alejandro Junco Elizondo 
Juan E. Pardinas 
Consejos Editoriales de Reforma 
CC. Representantes de otros medios de comunicación 

Buen día: 

He seguido su periódico tangencialmente. Conozco a personas valiosas que trabajan y han trabajado ahí. Entiendo que desde 1993 han intentado mantener en espíritu una posición plural y que su forma de trabajo en consejos editoriales da voz a un rango relativamente amplio del espectro político. Más de una vez han dado voz a mi trabajo como investigador y al trabajo que cientos de voluntarios y participantes hacen en la Olimpiada Mexicana de Matemáticas. Por estas razones sé que dentro de sus filas hay gente con el compromiso serio de informar. 

En vista de esto, me llama mucho la atención su titular de primera plana “Con AMLO repuntan 65% asesinatos” y la nota aclaratoria posterior. Es una base de datos interesante, pero las conclusiones presentan poco rigor metodológico. Considero también poco serio que presenten sus datos en crudo, pero en un formato PDF difícil de acceder. Estoy seguro de que conocen el amplio impacto positivo que tiene el uso de Datos Abiertos en la información y participación ciudadana. Mantener los secretos es una práctica quizás defendible en la industria, pero poco ética cuando son datos que podrían ayudar a resolver problemas de interés social y sobre todo uno tan grave como los homicidios.  

Entiendo a la perfección que son un diario y no un laboratorio científico o una casa de estadística. Del mismo modo entiendo que existen aspectos financieros detrás. Sin embargo, vivimos en una época en donde la polarización se regala en redes sociales. La alta oferta de espectacularidad ha llevado su precio a los suelos. En este mundo cada vez más lleno de noticias, por lo que se paga es por la información certera. Por datos bien tomados, seriamente analizados y bajo titulares fieles a los hechos. Las redes sociales ya son muchos espejos. Hay que dejar de cambiarlos por oro. 

Termino dando dos ejemplos. En términos de labor estadístico, la Asociación Gallup International recientemente presentó su encuesta de optimismo, donde muestra que México pasó del 26% al 66% en este año. Su alcance es amplio, sus definiciones claras y su información pública. En términos de labor periodístico, está el reportaje La Estafa Maestra de Animal Político, cuya información será usada para colaborar con el Gobierno de México en la prevención de fraudes y corrupción. Una labor sensacional de Salvador Camarena, Daniel Moreno y su equipo. 

Agradezco el tiempo tomado en leer esta carta. No requiero una respuesta, pero extiendo dos sinceras invitaciones. La primera, a una profunda reflexión. Y la segunda, a la apertura de sus bases de datos que puedan ser útiles para el bienestar común. 

Sinceramente, 
Dr. Leonardo Ignacio Martínez Sandoval 
www.nekomath.com

V Concurso Galois-Noether: 1a etapa

Ken 2 CC-BY - Editada2

La Primera Etapa del V Concurso Universitario de Matemáticas Galois-Noether fue todo un éxito. Por primera vez en la historia del concurso se llevaron a cabo sedes simultáneas y se abrió la convocatoria a todos los estudiantes universitarios. Esto permitió extender el alcance del evento, llegando a más universidades, más estados y un país más. En esta entrada contaré algunos detalles de la aplicación de la primera etapa.

Además de esto, en esta entrada se puede encontrar el examen que se aplicó, sus soluciones y los ganadores que pasan a la siguiente etapa.

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