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Álgebra Lineal II: Transformaciones ortogonales, isometrías y sus propiedades

Por Ayax Calderón

Introducción

En entradas anteriores hemos estudiado algunas transformaciones lineales especiales con respecto a la transformación adjunta asociada. Estudiamos, por ejemplo, las transformaciones normales que son aquellas que conmutan con su adjunta. El siguiente paso es estudiar las transformaciones lineales entre espacios euclidianos que preservan las distancias. Estas transformaciones son muy importantes, pues son aquellas transformaciones que además de ser lineales, coinciden con nuestra intuición de movimiento rígido. Veremos que esta condición garantiza que la transformación en cuestión preserva el producto interior de un espacio a otro.

Isometrías y transformaciones ortogonales

Definición. Sean $V_{1}, V_{2}$ espacios euclidianos con productos interiores $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{1}$ y $⟨ \cdot, \cdot ⟩_{2}$ , y con correspondientes normas $| | \cdot | |_{1}$ y $| | \cdot | |_{2}$ . Una isometría entre $V_{1}$ y $V_{2}$ es un isomorfismo $T : V_{1} \to V_{2}$ tal que para cualesquiera $x, y \in V_{1}$ se cumple que $⟨ T (x), T (y) ⟩_{2} = ⟨ x, y ⟩_{1} .$

Por lo tanto, una isometría es una transformación lineal biyectiva que preserva el producto interior. El siguiente problema nos da una mejor idea de esta preservación.

Problema. Sea $T : V_{1} \to V_{2}$ un isomorfismo de espacios vectoriales. Las siguientes dos condiciones son equivalentes.

$⟨ T (x), T (y) ⟩_{2} = ⟨ x, y ⟩_{1}$ para cualesquiera $x, y \in V_{1}$ .
$| | T (x) | |_{2} = | | x | |_{1}$ para cualquier $x \in V_{1}$ .

Solución. $(1) \Rightarrow (2) .$ Tomando $y = x$ se obtiene
$| | T (x) | |_{2}^{2} = | | x | |_{1}^{2}$ y por lo tanto $| | T (x) | |_{2} = | | x | |_{1}$ , lo cual muestra el inciso 2.

$(2) \Rightarrow (1) .$ Usando la identidad de polarización y la linealidad de $T$ , podemos mostrar que
$\begin{aligned} ⟨ T (x), T (y) ⟩_{2} & = \frac{| | T (x) + T (y) | |_{2}^{2} - | | T (x) | |_{2}^{2} - | | T (y) | |_{2}^{2}}{2} \\ = \frac{| | T (x + y) | |_{2}^{2} - | | T (x) | |_{2}^{2} - | | T (y) | |_{2}^{2}}{2} \\ = \frac{| | x + y | |_{2}^{2} - | | x | |_{2}^{2} - | | y | |_{2}^{2}}{2} = ⟨ x, y ⟩_{1}, \end{aligned}$ lo cual muestra 1.

Observación. Si $T$ es una transformación como la del problema anterior, entonces $T$ es automáticamente inyectiva: si $T (x) = 0$ , entonces $| | T (x) | |_{2} = 0$ , de donde $| | x | |_{1} = 0$ y por lo tanto $x = 0$ . Recuerda que si $T$ es transformación lineal y $ker (T) = {0}$ , entonces $T$ es inyectiva.

Definición. Sea $V$ un espacio euclidiano. Diremos que una transformación lineal $T : V \to V$ es ortogonal si $T$ es una isometría de $V$ en $V$ . En otras palabras, $T$ es ortogonal si $T$ es biyectiva y para cualesquiera $x, y \in V$ se tiene que $⟨ T (x), T (y) ⟩ = ⟨ x, y ⟩ .$

Nota que la biyectividad de $T$ es consecuencia de la relación anterior, gracias a la observación. Por lo tanto $T$ es ortogonal si y sólo si $T$ preserva el producto interior.

Similarmente, diremos que una matriz $A \in M_{n} (R)$ es ortogonal si
$A^{t} A = I_{n} .$

Estas nociones de ortogonalidad parecen algo distintas entre sí, pero la siguiente sección ayudará a entender la conexión que existe entre ellas.

Ejemplo. La matriz $(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})$ es ortogonal, pues $(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) .$

$△$

Equivalencias de transformaciones ortogonales

Entendamos un poco más qué quiere decir que una matriz $A \in M_{n} (R)$ sea ortogonal. Supongamos que sus filas son $R_{1}, \dots, R_{n}$ . Notemos que la entrada $(i, j)$ de la matriz $A^{t} A$ es precisamente el producto punto $⟨ R_{i}, R_{j} ⟩$ . De esta manera, pedir que $A^{t} A = I_{n}$ es equivalente a pedir que $⟨ R_{i}, R_{j} ⟩ = {\begin{cases} 1 & si i = j \\ 0 & en otro caso. \end{cases} .$

Esto es exactamente lo mismo que pedir que los vectores $R_{1}, \dots, R_{n}$ formen una base ortonormal de $R^{n}$ .

También, de la igualdad $A^{t} A = I_{n}$ obtenemos que $A$ y $^{t} A$ son inversas, de modo que también tenemos $^{t} A A = I_{n}$ , de donde $^{t} A$ también es ortogonal. Así, las filas de $^{t} A$ también son una base ortonormal de $R^{n}$ , pero estas filas son precisamente las columnas de $A$ . Por lo tanto, prácticamente hemos probado el siguiente teorema.

Teorema. Sea $A \in M_{n} (R)$ una matriz y considera a $R^{n}$ con el producto interior canónico. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

$A$ es ortogonal.
Las filas de $A$ forman una base ortonormal de $R^{n}$ .
Las columnas de $A$ forman una base ortonormal de $R^{n}$ .
Para cualquier $x \in R^{n}$ se tiene $| | A x | | = | | x | | .$

Las afirmaciones restantes quedan como tarea moral. Tenemos un resultado muy similar para el caso de transformaciones lineales.

Teorema. Sea $V$ un espacio euclidiano y $T : V \to V$ una transformación lineal. Demuestra que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

$T$ es ortogonal, es decir, $⟨ T (x), T (y) ⟩ = ⟨ x, y ⟩$ para cualesquiera $x, y \in V$ .
$| | T (x) | | = | | x | |$ para cualquier $x \in V$ .
$T^{*} \circ T = I d$ .

Demostración. $(1) \Rightarrow (2) .$ Haciendo la sustitución $x = y$ .

$(2) \Rightarrow (3) .$ Usando polarización (haz los detalles de tarea moral)

$(3) \Rightarrow (1) .$ Pensemos que $2$ se satisface. Entonces

$\begin{aligned} ⟨ T^{*} \circ T (x) - x, y ⟩ & = ⟨ y, T^{*} (T (x)) ⟩ - ⟨ x, y ⟩ \\ = ⟨ T (x), T (y) ⟩ - ⟨ x, y ⟩ = 0 \end{aligned}$

para cualesquiera $x, y \in V$ y por lo tanto $T^{*} (T (x)) = x$ , lo que prueba $(4)$ .

$(4) \Rightarrow (1) .$ Si $(4)$ se satisface, entonces $T$ es biyectiva, con inversa $T^{*}$ , por lo que bastará ver que se cumple $(3)$ (pues a su vez implica $(2)$ . Notemos que para cualquier $x \in V$ tenemos: $| | T (x) | |^{2} = ⟨ T (x), T (x) ⟩ = ⟨ x, T^{*} (T (x)) ⟩ = ⟨ x, x ⟩ = | | x | |^{2} .$ Se concluye el resultado deseado.

Las transformaciones ortogonales forman un grupo

Las propiedades anteriores nos hablan de una transformación ortogonal. Sin embargo, al tomar un espacio vectorial $V$ y considerar todas las posibles transformaciones ortogonales, tenemos una estructura algebraica bonita: un grupo. Este es el contenido del siguiente teorema.

Teorema. Sea $V$ un espacio euclideano y $O (V)$ el conjunto de transformaciones ortogonales de $V$ . Se tiene que $O (V)$ es un grupo bajo composición. En otras palabras, la composición de dos transformaciones ortogonales es una transformación ortogonal y la inversa de una transformación ortogonal es una transformación ortogonal.

Demostración. Veamos la cerradura por composición. Sean $T_{1}, T_{2}$ transformaciones lineales ortogonales de $V$ . Entonces $T_{1} \circ T_{2}$ es lineal y además
$| | (T_{1} \circ T_{2}) (x) | | = | | T_{1} (T_{2} (x)) | | = | | T_{2} (x) | | = | | x | |$
para todo $x \in V$ . Por lo tanto $T_{1} \circ T_{2}$ es una transformación lineal ortogonal.

Análogamente tenemos que si $T$ es ortogonal, entonces
$| | x | | = | | T (T^{- 1} (x)) | | = | | T^{- 1} (x) | |$
para todo $x \in V$ , lo que muestra que $T^{- 1}$ es ortogonal.

Definición. A $O (V)$ se le conoce como el grupo ortogonal de $V$ .

Más adelante…

En esta entrada definimos y estudiamos las transformaciones ortogonales. También hablamos de las matrices ortogonales. Dimos algunas caracterizaciones para este tipo de transformaciones. Vimos que las transformaciones ortogonales de un espacio vectorial forman un grupo $O (V)$ .

Las transformaciones que fijan el producto interior también fijan la norma y las distancias, de modo que geométricamente son muy importantes. En cierto sentido, entender quiénes son las transformaciones ortogonales de un espacio vectorial nos ayuda a entender «de qué maneras podemos cambiarlo linealmente, pero sin cambiar su métrica». En las siguientes entradas entenderemos con más profundidad al grupo $O (R^{n})$ , el cual nos dará un excelente ejemplo de este fenómeno.

Tarea moral

Verifica que la matriz
$A = (\begin{matrix} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ - \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix})$ es ortogonal.
Sea $β$ una base ortnormal de un espacio euclidiano $V$ y sea $β^{'}$ otra base de $V$ . Sea $P$ la matriz de cambio de base de $β$ a $β^{'}$ . Demuestra que $β^{'}$ es ortonormal si y sólo si $P$ es ortogonal.
Termina las demostraciones de las caracterizaciones de matrices ortogonales y de transformaciones ortogonales.
Demuestra que el producto de matrices ortogonales es también una matriz ortogonal.
Encuentra todas las posibles transformaciones ortogonales de $R$ .

Entradas relacionadas

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Geometría Analítica I: Introducción a transformaciones

Por Paola Berenice García Ramírez

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Introducción

Hasta ahora hemos aprendido nuevos conceptos geométricos euclidianos desde producto interior y ortogonal, normas y ángulos entre vectores hasta distancias. Pero también hemos trabajado implícitamente con diversos tipos de funciones, como son las rectas o las cónicas. Las funciones participan en todas las ramas matemáticas e incluso en muchas disciplinas científicas y sociales, por lo que al principio de la unidad brindaremos las nociones de funciones necesarias que les permitirán asimilar de mejor manera los temas que hemos visto y avanzar a los temas esenciales de ésta unidad, los cuales son Transformaciones y Matrices.

Comenzaremos con el tema de transformaciones y vamos a llamar transformación en el plano a toda función que hará corresponder a cada punto del plano otro punto del mismo; es decir, las transformaciones son operaciones geométricas que nos permiten deducir una nueva figura a partir de una que previamente tenemos. La nueva figura se llama transformada de la original.

Podemos dar un primer escenario de la clasificación de transformaciones que veremos:

Isometrías: Son cambios de posición (orientación) de una determinada figura que no alteran la forma ni tamaño de ésta. Como ejemplos en este rubro tenemos las traslaciones, las rotaciones o las reflexiones (simetrías).

En la imagen tenemos el caso de una transformación de reflexión (o simetría) con respecto al eje $x = 0$ . Observemos que cada punto de la figura original y la imagen de cada uno de ellos bajo la reflexión se encuentran a igual distancia de una recta llamada eje de simetría.

Isomorfismos: Son cambios en una figura determinada que no alteran la forma pero sí el tamaño de ésta. Entre ellas tenemos a las homotecias y las semejanzas.

La imagen muestra un ejemplo de homotecia, la cual es una transformación del espacio (en este caso el plano) que dilata las distancias con respecto a un punto de origen $O$ .

Composición de transformaciones: Es el proceso por el cual a una figura se le aplican dos o más transformaciones y éstas transformaciones pueden ser de diferente tipo. Veremos el caso de transformaciones afines.
Transformaciones ortogonales: Como las longitudes de vectores y ángulos entre ellos se definen mediante el producto interior; éste tipo de transformaciones preservan las longitudes de los vectores y los ángulos entre ellos.

Tarea moral:

Las gráficas de las funciones senoidales son contracciones y/o dilataciones de las gráficas del seno y el coseno.

$\begin{aligned} y & = A s e n (B x + C) + D, & y & = A c o s (B x + C) + D, \end{aligned}$

donde $| A |$ representa la amplitud y $| B |$ a la cantidad de veces que se repite un ciclo en el intervalo desde $0$ hasta $2 π$ . Por otro lado $C$ determina el desplazamiento horizontal de las gráficas y $D$ el desplazamiento vertical de las gráficas. Además, $\frac{2 π}{| B |}$ es el periodo de la función y nos indica la la longitud de un ciclo.

Ejercicio 1. Identificar la amplitud, el periodo y graficar las funciones:

$y = 3 s e n (2 x),$
$y = 2 c o s (x),$
$y = 2 + s e n (x)$
$y = \frac{1}{2} s e n (\frac{1}{2} x)$

Ejercicio 2. Grafiquen las siguientes funciones y analicen el efecto de las constantes con respecto a las gráficas del seno y coseno.

$y = s e n (x + π)$
$y = c o s (x + 2) + 3$

Más adelante:

La tarea moral tiene un propósito, y es que recordemos cómo una función se ve afectada al variar parámetros específicos. Con ello podremos darnos cuenta que no estamos tan enajenados al tema de transformación de funciones que estaremos trabajando en esta unidad.

En la siguiente entrada repasaremos las nociones necesarias de funciones que nos permitirán definir formalmente el concepto de transformaciones y tratar posteriormente con su clasificación.

Entradas relacionadas

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Álgebra Lineal II: Polinomio característico

Por Julio Sampietro

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Introducción

En el transcurso de esta unidad hemos construido varios de los objetos algebraicos que nos interesan. En primer lugar, dejamos claro qué quería decir evaluar un polinomio en una matriz o transformación lineal. Esto nos llevó a preguntarnos por aquellos polinomios que anulan a una matriz o transformación lineal. De manera natural, descubrimos que aquellos polinomios que anulan son múltiplos de un polinomio especial asociado a la matriz o transformación lineal llamado polinomio mínimo.

De manera un poco separada, comenzamos a estudiar los eigenvalores, eigenvectores y eigenespacios de una transformación lineal y en la entrada anterior nos enfocamos en varias de sus propiedades principales. Uno de los resultados clave que encontramos es que los eigenvalores de una matriz o transformación lineal son las raíces del polinomio mínimo que estén en el campo en el que estemos trabajando.

Aunque este resultado sea interesante de manera teórica, en la práctica debemos hacer algo diferente pues no es tan sencillo encontrar el polinomio mínimo de una matriz o transformación lineal. Es por esto que ahora estudiaremos con profundidad otro objeto que resultará fundamental en nuestro estudio: el polinomio característico. Ya nos encontramos con él anteriormente. Si $A$ es una matriz en $M_{n} (F)$ , dicho polinomio en la variable $λ$ es el determinante $det (λ I_{n} - A)$ .

Esta entrada es más bien una introducción, así que nos enfocaremos en probar las cosas más básicas de este objeto. Lo primero, y más importante, es verificar que en efecto es un polinomio (y con ciertas características específicas). También, aprovecharemos para calcularlo en varios contextos (y campos) diferentes.

Definición de polinomio característico

Comencemos con una matriz $A \in M_{n} (F)$ . Vimos que encontrar los eigenvalores de $A$ se reduce a encontrar las soluciones de la ecuación

$\begin{array}{r} det (λ I_{n} - A) = 0 \end{array}$

en $F$ . Vamos a estudiar más a detalle la expresión de la izquierda.

El siguiente teorema va un poco más allá y de hecho estudia expresiones un poco más generales.

Teorema. Sean $A, B \in M_{n} (F)$ dos matrices. Existe un polinomio $P \in F [X]$ tal que para todo $x \in F$ se cumple

$\begin{array}{r} P (x) = det (x A + B) . \end{array}$

Si denotamos a este polinomio por $P (X) = det (X A + B)$ , entonces

$\begin{array}{r} det (X A + B) = det (A) X^{n} + α_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + α_{1} X + det B \end{array}$

para algunas expresiones polinomiales $α_{1}, \dots, α_{n - 1}$ con coeficientes enteros en las entradas de $A$ y $B$ .

Demostración. Consideremos el siguiente polinomio en la variable $X$ y coeficientes en $F$ , es decir, el siguiente polinomio en $F [X]$ :

$\begin{array}{r} P (X) = \sum_{σ \in S_{n}} sign (σ) (a_{1 σ (1)} X + b_{1 σ (1)}) \dots (a_{n σ (n)} X + b_{n σ (n)}) . \end{array}$

Por construcción, $P$ es un polinomio cuyos coeficientes son expresiones polinomiales enteras en las entradas de $A$ y $B$ . Más aún, se cumple que $P (x) = det (x A + B)$ para $x \in F$ (podría ser útil revisar la entrada sobre determinantes para convencerte de ello). El término constante lo obtenemos al evaluar en $X = 0$ , pero eso no es más que $P (0) = det (0 \cdot A + B) = det (B)$ . Finalmente para cada $σ \in S_{n}$ tenemos que el primer término de cada sumando es

$\begin{array}{r} sign (σ) (a_{1 σ (1)} X + b_{1 σ (1)}) \dots (a_{n σ (n)} X + b_{n σ (n)}) \end{array}$

Notemos que la única manera de obtener un término $X^{n}$ en esta expresión es cuando en cada binomio que se está multiplicando se usa el término $X$ . Así, el coeficiente de $X^{n}$ es $sign (σ) a_{1 σ (1)} \dots a_{n σ (n)} X^{n}$ .

Agrupando todos los sumandos para todas las $σ$ y comparando con la definición del determinante llegamos a que $P (X) = det (A) X^{n} + \dots,$ es decir el término de orden $n$ es en efecto $det (A)$ .

Del teorema se sigue que si $A$ y $B$ tienen entradas enteras o racionales, $det (X A + B)$ tiene coeficientes enteros o racionales respectivamente.

Enseguida podemos definir (gracias al teorema) el siguiente objeto:

Definición. El polinomio característico de la matriz $A \in M_{n} (F)$ es el polinomio $χ_{A} \in F [X]$ definido por

$\begin{array}{r} χ_{A} (X) = det (X \cdot I_{n} - A) . \end{array}$

Una observación inmediata es que, de acuerdo al teorema, el coeficiente principal de $χ_{A} (X)$ tiene coeficiente $det (I_{n}) = 1$ . En otras palabras, acabamos de demostrar la siguiente propiedad fundamental del polinomio característico.

Proposición. El polinomio característico de una matriz en $M_{n} (F)$ siempre tiene grado exactamente $n$ y además es un polinomio mónico, es decir, que el coeficiente que acompaña al término de grado $n$ es igual a $1$ .

Veamos un ejemplo sencillo.

Ejemplo. Si queremos calcular el polinomio característico de

$\begin{array}{r} A = (\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}) \in M_{2} (R) \end{array}$

entonces usamos la definición

$\begin{aligned} χ_{A} (X) & = det (X \cdot I_{2} - A) \\ = | \begin{array}{c} X - 1 & 1 \\ - 1 & X \end{array} | \\ = X (X - 1) + 1. \end{aligned}$

Y así los eigenvalores de $A$ son las raíces reales de $χ_{A} (X)$ . Es decir, tenemos que resolver

$\begin{array}{r} 0 = x (x - 1) + 1 = x^{2} - x + 1. \end{array}$

Sin embargo, el discriminante de esta ecuación cuadrática es $(- 1)^{2} - 4 (1) (1) = - 3$ , el cual es un real negativo, por lo que no tenemos eigenvalores reales. Si estuviéramos trabajando en $C$ tendríamos dos eigenvalores complejos:

$\begin{array}{r} x_{1, 2} = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2} . \end{array}$

De aquí, ¿cómo encontramos los eigenvectores y eigenespacios? Basta con resolver los sistemas lineales homogéneos de ecuaciones $(A - x_{1} I_{2}) X = 0$ para encontrar el $x_{1}$ -eigenespacio y $(A - x_{2}) X = 0$ para encontrar el $x_{2}$ -eigenespacio.

$△$

Algunos cálculos de polinomios característicos

Ya que calcular polinomios característicos se reduce a calcular determinantes, te recomendamos fuertemente que recuerdes las propiedades que tienen los determinantes. Sobre todo, aquellas que permiten calcularlos.

¡A calcular polinomios característicos!

Problema 1. Encuentra el polinomio característico y los eigenvalores de $A$ dónde $A$ es

$\begin{array}{r} A = (\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \end{array}) \in M_{4} (R) . \end{array}$

Solución. Usamos la expansión de Laplace respecto al primer renglón:

$\begin{aligned} χ_{A} (X) & = det (X I_{4} - A) \\ = | \begin{array}{c} X & - 1 & 0 & 0 \\ - 2 & X & 1 & 0 \\ 0 & - 7 & X & - 6 \\ 0 & 0 & - 3 & X \end{array} | \\ = X | \begin{array}{c} X & 1 & 0 \\ - 7 & X & - 6 \\ 0 & - 3 & X \end{array} | + | \begin{array}{c} - 2 & 1 & 0 \\ 0 & X & - 6 \\ 0 & - 3 & X \end{array} | \\ = X (X^{3} - 11 X) - 2 (X^{2} - 18) \\ = X^{4} - 13 X^{2} + 36. \end{aligned}$

Después, para encontrar los eigenvalores de $A$ tenemos que encontrar las raíces reales de la ecuación

$\begin{array}{r} x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0. \end{array}$

Sin embargo, no hay que desalentarse por ver una ecuación de grado $4$ . Si hacemos el cambio $y = x^{2}$ podemos llevar nuestro problema a resolver

$\begin{array}{r} y^{2} - 13 y + 36 = 0. \end{array}$

¡Es una ecuación de segundo orden! Esta la podemos resolver usando ‘la chicharronera’ y obtenemos como soluciones $y_{1} = 4$ y $y_{2} = 9$ . Pero todavía tenemos que resolver $x^{2} = y_{1}$ y $x^{2} = y_{2}$ . Al resolver estas últimas dos ecuaciones obtenemos que $x = \pm 2, \pm 3$ son los eigenvalores de $A$ .

$△$

Problema 2. Calcula el polinomio característico y los eigenvalores de la matriz

$\begin{array}{r} A = (\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}) \in M_{3} (F_{2}) . \end{array}$

Solución. Nota que estamos trabajando en el campo de dos elementos $F_{2}$ , por lo que $- 1 = 1$ . Usando la definición:

$\begin{aligned} χ_{A} (X) & = det (X I_{3} - A) \\ = | \begin{array}{c} X - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & X - 1 & 0 \\ - 1 & 0 & X - 1 \end{array} | \\ = | \begin{array}{c} X + 1 & 0 & 1 \\ 1 & X + 1 & 0 \\ 1 & 0 & X + 1 \end{array} | . \end{aligned}$

Aquí estamos usando repetidamente $- 1 = 1$ . Usamos otra vez la expansión de Laplace en el primer renglón para llegar a

$\begin{aligned} χ_{A} (X) & = (X + 1) | \begin{array}{c} X + 1 & 0 \\ 0 & X + 1 \end{array} | + | \begin{array}{c} 1 & X + 1 \\ 1 & 0 \end{array} | \\ = (X + 1)^{3} - (X + 1) . \end{aligned}$

Luego, si queremos encontrar los eigenvalores de $A$ tenemos que resolver

$\begin{array}{r} (x + 1)^{3} - (x + 1) = 0. \end{array}$

Si bien existen varias maneras de resolver la ecuación, podemos simplemente sustituir los únicos valores posibles de $x$ : $0$ o $1$ . Sustituyendo es fácil ver que ambos satisfacen la ecuación, por lo que los eigenvalores de $A$ son $0$ y $1$ .

$△$

Más adelante…

En la próxima entrada calcularemos el polinomio característico de una variedad de matrices importantes: triangulares superiores, nilpotentes, etc. Esto nos permitirá entender mejor al polinomio característico y lidiar con muchos casos para facilitarnos los cálculos más adelante.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Demuestra que $0$ es un eigenvalor de una matriz $A$ si y sólo si $det (A) = 0$ .
¿Una matriz compleja de tamaño $n$ tiene necesariamente $n$ eigenvalores distintos?
Calcular el polinomio característico y los eigenvalores de
$\begin{array}{r} A = (\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}) \in M_{3} (F_{3}) . \end{array}$
Usando la fórmula del determinante para matrices de tamaño $2$ , encuentra un criterio simple para saber si una matriz con entradas reales de tamaño $2$ tiene dos, uno o ningún eigenvalor real.
Da un criterio simple para saber si una matriz de tamaño $2$ con entradas complejas tiene eigenvalores puramente imaginarios.

Entradas relacionadas

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Lineal II: Eigenvectores y eigenvalores

Por Julio Sampietro

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Introducción

En esta entrada revisitamos los conceptos de eigenvalores y eigenvectores de una transformación lineal. Estos son esenciales para entender a las transformaciones lineales, y tienen un rango de aplicabilidad impresionante: aparecen en la física, las ecuaciones diferenciales parciales, la ciencia de datos, la topología algebraica y la probabilidad.

Primero enunciaremos la definición, después veremos un primer ejemplo para convencernos de que no son objetos imposibles de calcular. Luego daremos un método para vislumbrar una manera más sencilla de hacer dicho cálculo y concluiremos con unos ejercicios.

Eigen-definiciones

Comenzamos con $V$ un espacio vectorial sobre $F$ y $T : V \to V$ una transformación lineal.

Definición. Un eigenvalor (también conocido como valor propio) de $T$ es un escalar $λ \in F$ tal que $λ \cdot Id - T$ no es invertible. Un eigenvector (también conocido como vector propio o $λ$ -eigenvector) correspondiente a $λ$ es un vector no-cero de $\ker (λ \cdot Id - T)$ . A este kernel se le conoce como el eigenespacio correspondiente a $λ$ (o $λ$ -eigenespacio).

Entonces un $λ$ -eigenvector es por definición distinto de cero y satisface

$\begin{array}{r} T (v) = λ v . \end{array}$

Hay que tener cuidado. Sí se permite que $λ = 0$ sea eigenvalor, pero no se permite que $v = 0$ sea eigenvector.

La colección de todos los eigenvectores, junto con el vector cero, es el eigenespacio asociado a $λ$ . Podemos enunciar definiciones análogas con matrices.

Definición. Sea $A \in M_{n} (F)$ una matriz cuadrada. Un escalar $λ \in F$ es un eigenvalor de $A$ si existe un vector $X \in F^{n}$ distinto de cero (un eigenvector) tal que $A X = λ X$ . En este caso el subespacio

$\begin{array}{r} \ker (λ I_{n} - A) := {X \in F^{n} ∣ A X = λ X} \end{array}$

es el $λ$ -eigenespacio de $A$ .

Puedes verificar que ambas definiciones se corresponden en el siguiente sentido:

Si $V$ es un espacio de dimensión finita y $T : V \to V$ es una transformación lineal, podemos escoger cualquier base de $V$ y asociarle a $T$ su forma matricial, digamos $A$ , en esta base. Los eigenvalores de $T$ son precisamente los eigenvalores de $A$ . ¡Pero cuidado! Los eigenvectores de $A$ dependerán de la base elegida.

Un primer ejemplo

Seguimos con un sencillo pero importante ejemplo.

Ejemplo 1. Considera la matriz

$\begin{array}{r} A = (\begin{array}{c} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}) . \end{array}$

Busquemos los eigenvectores y eigenvalores de $A$ , pensando a $A$ como una matriz con entradas complejas. Sea $λ \in C$ un eigenvalor y $X$ un eigenvector asociado. Entonces se cumple la relación $A X = λ X$ . Si $X = (x_{1}, x_{2})$ entonces la condición mencionada es equivalente al par de ecuaciones

$\begin{array}{r} - x_{2} = λ x_{1}, x_{1} = λ x_{2} . \end{array}$

Sustituyendo una en la otra obtenemos

$\begin{array}{r} - x_{2} = λ^{2} x_{2} . \end{array}$

Si $x_{2} = 0$ entonces $x_{1} = 0$ y así $X$ es un vector nulo, lo que es imposible por definición (recuerda que pedimos que los eigenvectores sean distintos de cero). Entonces $x_{2} \neq 0$ y podemos dividir por $x_{2}$ a la ecuación previa, de manera que $λ^{2} = - 1$ , o sea $λ = \pm i$ . Conversamente, $i$ y $- i$ son eigenvalores. En efecto, podemos tomar $x_{2} = 1$ y $x_{1} = λ$ como soluciones del problema anterior y obtener un vector propio asociado. De hecho, el eigenespacio está dado por

$\begin{array}{r} \ker (λ I_{2} - A) = {(λ x_{2}, x_{2}) ∣ x_{2} \in C} \end{array}$

y esto no es más que la recta generada por el vector $v = (λ, 1) \in C^{2}$ . Por lo tanto, vista como una matriz compleja, $A$ tiene dos eigenvalores distintos $\pm i$ y dos eigenespacios, los generados por $(i, 1)$ y $(- i, 1)$ .

Por otro lado, veamos qué pasa si pensamos a $A$ como una matriz con entradas reales. Haciendo las mismas cuentas llegamos a la misma ecuación, $- x_{2} = λ^{2} x_{2}$ . Podemos reescribirla factorizando el término $x_{2}$ :

$\begin{array}{r} (λ^{2} + 1) x_{2} = 0. \end{array}$

Como $λ$ esta vez es un número real, $λ^{2} + 1$ siempre es distinto de cero. Entonces para que el producto sea cero, tiene que ocurrir que $x_{2} = 0$ , ¡pero entonces $x_{1} = 0$ y así $X = 0$ ! En conclusión: vista como una matriz con entradas reales, $A$ no tiene eigenvalores, y por tanto no tiene eigenespacios. La moraleja es que los eigenvalores y eigenvectores dependen mucho del campo en el que trabajemos.

¿Cómo calcularlos?

Si bien el ejemplo anterior resultó simple, no es difícil imaginar que matrices más complicadas y más grandes pueden resultar en procedimientos menos claros. En general:

¿Cómo podemos calcular los eigenvalores?
¿Cómo podemos calcular los eigenespacios de manera eficiente?
¿Cómo podemos calcular los eigenvectores?

Una vez calculados los eigenvalores, calcular los eigenespacios se reduce a resolver el sistema de ecuaciones homogéneo $(A - λ I_{n}) X = 0$ , lo cual ya hemos hecho muchas veces mediante reducción gaussiana. Luego, calcular los eigenvectores simplemente es tomar los elementos no cero del eigenespacio. Sin embargo, el cálculo de eigenvalores involucra encontrar raíces de polinomios lo cual de entrada no es obvio. Un primer paso es la siguiente observación que enunciamos como proposición.

Proposición. Un escalar $λ \in F$ es un eigenvalor de $A \in M_{n} (F)$ si y sólo si

$\begin{array}{r} det (λ I_{n} - A) = 0. \end{array}$

Demostración. El sistema $(λ I_{n} - A) X = 0$ tiene soluciones no triviales si y sólo si la matriz $λ I_{n} - A$ no es invertible. A su vez, la matriz $λ I_{n} - A$ no es invertible si y sólo si su determinante es nulo. El resultado se sigue.

Regresemos a nuestra pregunta. Si

$\begin{array}{r} A = (\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array}) \end{array}$

entonces la proposición nos dice que podemos calcular los valores propios de $A$ resolviendo la ecuación polinomial

$\begin{array}{r} | \begin{array}{c} λ - a_{11} & - a_{12} & \dots & - a_{1 n} \\ - a_{21} & λ - a_{22} & \dots & - a_{2 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ - a_{n 1} & - a_{n 2} & \dots & λ - a_{n n} \end{array} | = 0 \end{array}$

en $F$ . Esta es una ecuación polinomial de grado $n$ , y si el grado es mayor a $4$ en general no existe una fórmula para resolverla en términos de radicales (aunque claro que hay casos particulares que si podemos resolver sin mucho problema).

Problema 2. Queremos calcular los eigenvalores de $A$ , donde $A$ está dada por

$\begin{array}{r} A = (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}) . \end{array}$

Solución. Como vimos en la proposición, esto se reduce a calcular las raíces del polinomio

$\begin{array}{r} | \begin{array}{c} λ - 1 & 0 & 0 \\ 0 & λ & 1 \\ 0 & - 1 & λ \end{array} | = 0. \end{array}$

Calculando el determinante vemos que esto es de hecho

$\begin{array}{r} (λ - 1) (λ^{2} + 1) = 0. \end{array}$

Sin embargo tenemos que recordar que las raíces dependen de nuestro campo de elección. Como no comentamos nada sobre el campo en el cual trabajamos, consideraremos dos casos. Si el campo es $C$ entonces los eigenvalores son $1$ y $\pm i$ . Si trabajamos sobre $R$ entonces tenemos un único eigenvalor: $1$ .

$△$

Ejercicios

Acabamos esta entrada con unos ejercicios para reforzar lo que vimos.

Problema 1. Encuentra todos los números reales $x$ tales que la matriz

$\begin{array}{r} A = (\begin{array}{c} 1 & x \\ 2 & 1 \end{array}) \end{array}$

tiene exactamente dos eigenvalores distintos. La misma pregunta para ningún eigenvalor.

Solución. El número de eigenvalores va a estar dado por el número de raíces del polinomio $det (λ I_{2} - A)$ . Es decir, tenemos que trabajar la ecuación

$\begin{array}{r} det (λ I_{2} - A) = | \begin{array}{c} λ - 1 & - x \\ - 2 & λ - 1 \end{array} | = 0. \end{array}$

Que a su vez se reduce a

$\begin{array}{r} (λ - 1)^{2} - 2 x = 0. \end{array}$

Y para que tenga dos soluciones basta con que $2 x$ sea un número positivo. En efecto, en ese caso podemos despejar y resolver

$\begin{array}{r} λ = 1 \pm \sqrt{2 x} . \end{array}$

Como $2 x$ es positivo solo si $x$ lo es, podemos concluir que la condición necesaria y suficiente es que $x$ sea un real positivo. Similarmente, si $x$ es un número negativo no tendremos ningún eigenvalor.

$△$

Problema 2. Sea $V$ el conjunto de todas las matrices $A \in M_{2} (C)$ tales que $v = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})$ es un eigenvector de $A$ . Demuestra que $V$ es un subespacio de $M_{2} (C)$ y da una base.

Solución. Supongamos que $v$ es un eigenvector de $A$ , con eigenvalor $λ$ , y que es eigenvector de $B$ , con eigenvalor $μ$ . Entonces

$\begin{array}{r} (A + c B) (v) = A v + c B v = λ v + c μ v = (λ + c μ) v \end{array}$

por lo que $v$ es eigenvector de $A + c B$ con eigenvalor $λ + c μ$ . Esto demuestra que $V$ es un subespacio. Para darnos una idea de cómo podría ser una base para $V$ , comencemos con una matriz genérica $A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ tal que $A \in V$ . Entonces $A$ tiene que satisfacer $A v = λ v$ para algún $λ$ . Escribamos esto más explícitamente

$\begin{array}{r} (\begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} a + 2 b \\ c + 2 d \end{array}) = (\begin{array}{c} λ \\ 2 λ \end{array}) . \end{array}$

Así se desprenden dos ecuaciones

$\begin{array}{r} {\begin{cases} a + 2 b = λ \\ c + 2 d = 2 λ \end{cases} . \end{array}$

Sabemos que $λ$ es un parámetro libre, pues puede ser cualquier eigenvalor. Si conocemos a $λ$ entonces necesitamos alguna de las variables, $a$ o $b$ para determinar a la otra y lo mismo con $c$ y $d$ . Entonces escojamos $b$ y $d$ como variables libres. Enseguida nuestra matriz es de la forma (reemplazando a $a$ y $c$ por sus valores en $b$ y $d$ ):

$\begin{aligned} A & = (\begin{array}{c} λ - 2 b & b \\ 2 λ - 2 d & d \end{array}) \\ = b (\begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}) + d (\begin{array}{c} 0 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array}) + λ (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{array}) . \end{aligned}$

Entonces proponemos como base

$\begin{array}{r} β = {(\begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}), (\begin{array}{c} 0 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array}), (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{array})} . \end{array}$

Ya vimos que $β$ genera a $V$ , y dejamos la independencia lineal como ejercicio.

Más adelante…

En las próximas entradas desarrollaremos las propiedades relevantes de los eigenvalores y eigenvectores para eventualmente llegar al polinomio característico y establecer el puente con el polinomio mínimo.

Tarea moral

Aquí unos ejercicios para que repases el material de esta entrada.

Encuentra todos los eigenvalores de la matriz $A = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \in M_{3} (C)$ .
Completa la demostración del último ejercicio de la sección de ejercicios, verificando que las soluciones encontradas son matrices linealmente independientes. ¿Puedes generalizar este ejercicio de alguna manera?
Encuentra los eigenvalores de la matriz $A \in M_{n} (R)$ cuyas entradas son puros $2$ .
Da contraejemplos para cada una de las siguientes afirmaciones:
1. Si $u$ y $v$ son eigenvectores de $A$ , entonces $u + v$ es eigenvector de $A$ .
2. Si $λ$ es eigenvalor de $A$ y $μ$ es eigenvalor de $B$ , entonces $λ μ$ es eigenvalor de $A B$ .
3. Si $A$ y $B$ son formas matriciales de una misma transformación $T$ y $v$ es eigenvector de $A$ , entonces $v$ es eigenvector de $B$ .
Considera la transformación derivada en $R [x]$ . ¿Quienes son sus eigenvectores y eigenvalores? Como sugerencia, estudia el coeficiente de mayor grado.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Lineal II: Polinomio mínimo de transformaciones lineales y matrices

Por Julio Sampietro

11 respuestas

Introducción

Anteriormente definimos qué quiere decir evaluar un polinomio en una matriz o en una transformación lineal. En esta entrada definiremos uno de los objetos más importantes del álgebra lineal: el polinomio mínimo. Si bien al principio nos va a costar un poco calcularlo, esto se compensa por la cantidad de propiedades teóricas que cumple. Comenzaremos dando su definición, y mostrando su existencia y unicidad. Luego exploraremos algunas propiedades y veremos ejemplos, seguido de un pequeño teorema de cambio de campos. Finalmente introduciremos un objeto similar (el polinomio mínimo puntual) y haremos unos ejercicios para cerrar.

El concepto de polinomio mínimo podría resultarle familiar a los más algebraicos de mente: ¡todo se debe a que trabajamos con dominios de ideales principales, o incluso euclidianos! Si has trabajado anteriormente con conceptos como el mínimo común múltiplo en enteros, puede que varios de los argumentos de esta entrada te suenen conocidos.

Existencia y unicidad

Comenzamos con un espacio vectorial $V$ de dimensión $n$ sobre un campo $F$ . Fijando una transformación lineal $T : V \to V$ , queremos entender para qué polinomios se cumple que $P (T) = 0$ . Nota como podríamos haber cambiado la pregunta: si fijamos un polinomio $P$ , podríamos buscar todas las transformaciones $T$ tales que $P (T) = 0$ . Ésta pregunta la estudiaremos más adelante.

Definimos el conjunto

$\begin{array}{r} I (T) = {P \in F [X] ∣ P (T) = 0} . \end{array}$

El polinomio cero pertenece a $I (T)$ de manera trivial. Una cosa importante es que este conjunto $I (T)$ que vamos a estudiar en verdad es «interesante», en el sentido de que debemos ver que hay más polinomios adentro y no es únicamente el conjunto ${0}$ . Una manera de ver esto es sabiendo que el espacio de transformaciones lineales de $V$ en $V$ tiene dimensión $n^{2}$ (lo puedes pensar como el espacio de matrices). Entonces, las $n^{2} + 1$ transformaciones $Id, T, T^{2}, \dots, T^{n^{2}}$ no pueden ser todas linealmente independientes: uno de los corolarios del lema de Steinitz es que en un espacio de dimensión $n$ a lo más se pueden tener $n$ vectores linealmente independientes. Entonces existe una combinación lineal no trivial y nula

$\begin{array}{r} a_{0} Id + a_{1} T + \dots + a_{n^{2}} T^{n^{2}} = 0. \end{array}$

Luego $a_{0} + a_{1} X + \dots + a_{n^{2}} X^{n^{2}}$ es un polinomio no cero tal que $P (T) = 0$ , es decir $P \in I (T)$ .

Con el argumento de arriba vimos que $I (T)$ es «interesante» en el sentido de que tiene polinomios no cero. El siguiente teorema se puede entender como que $I (T)$ se puede describir muy fácilmente.

Teorema. Existe un único polinomio mónico, distinto de cero $μ_{T}$ tal que $I (T)$ es precisamente el conjunto de múltiplos de $μ_{T}$ . Es decir

$\begin{array}{r} I (T) = μ_{T} \cdot F [X] = {μ_{T} \cdot P (X) ∣ P (X) \in F [X]} . \end{array}$

La demostración hará uso del algoritmo de la división para polinomios. Te lo compartimos aquí, sin demostración, por si no lo conoces o no lo recuerdas.

Teorema (algoritmo de la división en $F [x]$ ). Sean $M (x)$ y $N (x)$ polinomios en $F [x]$ , donde $N (x)$ no es el polinomio cero. Entonces, existen únicos polinomios $Q (x)$ y $R (x)$ en $F [x]$ tales que $M (x) = Q (x) N (x) + R (x),$ en donde $R (x)$ es el polinomio cero, o $\deg (R (x)) < \deg (G (x))$ .

Si te interesa saber cómo se demuestra, puedes seguir la teoría de polinomios disponible en la Unidad 4 del curso de Álgebra Superior II.

Demostración. Veamos primero que $I (T)$ es un subespacio de $F [X]$ . Para ello, tomemos polinomios $P (x)$ , $Q (x)$ en $I (T)$ , y un escalar $α \in F$ . Una de las proposiciones de la entrada pasada nos permite abrir la expresión $(P + α Q) (T)$ como $P (T) + α Q (T) = 0 + α \cdot 0 = 0$ , de modo que $P + α Q$ está en $I (T)$ y por lo tanto $I (T)$ es un subespacio de $F [X]$ .

Por otro lado si $P \in I (T)$ y $Q \in F [X]$ entonces

$\begin{array}{r} (P Q) (T) = P (T) \circ Q (T) = 0 \circ Q (T) = 0. \end{array}$

Lo que discutimos antes de enunciar el teorema nos dice que $I (T) \neq {0}$ . Tomemos entonces $P \in I (T)$ un polinomio no cero de grado mínimo. Podemos suponer sin perdida de generalidad que $P$ es mónico, de no serlo, podemos dividir a $P$ por su coeficiente principal sin cambiar el grado.

La ecuación previa nos indica que todos los múltiplos polinomiales de $P$ también están en $I (T)$ . Veamos que todo elemento de $I (T)$ es de hecho un múltiplo de $P$ . Si $S \in I (T)$ , usamos el algoritmo de la división polinomial para escribir $S = Q P + R$ con $Q, R \in F [X]$ . Aquí hay dos casos: que $R$ sea el polinomio cero, o bien que no lo sea y entonces $\deg R < \deg P$ . Nota que $R = S - Q P \in I (T)$ dado que $I (T)$ es un subespacio de $F [X]$ y $S, Q P \in I (T)$ . Si $R \neq 0$ , entonces como $\deg R < \deg P$ llegamos a una contradicción de la minimalidad del grado de $P$ . Luego $R = 0$ y por tanto $S = Q P$ . Entonces $I (T)$ es precisamente el conjunto de todos los múltiplos de $P$ y así podemos tomar $μ_{T} = P$ .

Para verificar la unicidad de $μ_{T}$ , si otro polinomio $S$ tuviera las mismas propiedades, entonces $S$ dividiría a $μ_{T}$ y $μ_{T}$ dividiría a $S$ . Sin embargo, como ambos son mónicos se sigue que deben ser iguales: en efecto, si $μ_{T} = S \cdot Q$ y $S = μ_{T} \cdot R$ entonces $\deg Q = \deg R = 0$ , porlo tanto son constantes, y como el coeficiente principal de ambos es $1$ , se sigue que ambos son la constante $1$ y así $μ_{T} = S$ . Esto completa la demostración.

Definición. Al polinomio $μ_{T}$ se le conoce como el polinomio mínimo de $T$ .

Primeras propiedades y ejemplos

Debido a su importancia, recalcamos las propiedades esenciales del polinomio mínimo $μ_{T}$ :

Es mónico.
Cumple $μ_{T} (T) = 0$ .
Para cualquier otro polinomio $P \in F [X]$ , sucede que $P (T) = 0$ si y sólo si $μ_{T}$ divide a $P$ .

Toda la teoría que hemos trabajado hasta ahora se traduce directamente a matrices usando exactamente los mismos argumentos. Lo enunciamos de todas maneras: si $A \in M_{n} (F)$ es una matriz cuadrada, entonces existe un único polinomio $μ_{A} \in F [X]$ con las siguientes propiedades:

Es mónico.
Cumple $μ_{A} (A) = O_{n}$ .
Si $P \in F [X]$ , entonces $P (A) = O_{n}$ si y sólo si $μ_{A}$ divide a $P$ .

Como jerga, a veces diremos que un polinomio «anula $T$ » si $P (T) = 0$ . En este sentido los polinomios que anulan a $T$ son precisamente los múltiplos de $μ_{T}$ .

Vimos antes de enunciar el teorema que podemos encontrar un polinomio $P$ no cero de grado menor o igual a $n^{2}$ tal que $P (T) = 0$ . Como $μ_{T}$ divide a $P$ se sigue que $\deg μ_{T} \leq n^{2}$ . Esta cota resulta ser débil, y de hecho un objeto que hemos estudiado previamente nos ayudará a mejorarla: el polinomio característico. Este también va a anular a $T$ y con ello obtendremos una mejor cota: $\deg μ_{T} \leq n$ .

Ejemplo 1. Si $A = O_{n}$ , entonces $μ_{A} = X$ . En efecto, $μ_{A} (A) = 0$ y además es el polinomio de menor grado que cumple esto, pues ningún polinomio constante y no cero anula a $O_{n}$ (¿por qué?). Nota como además $I (A)$ es precisamente el conjunto de polinomios sin término constante.

$△$

Ejemplo 2. Considera la matriz $A \in M_{2} (R)$ dada por

$\begin{array}{r} A = (\begin{array}{c} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}) . \end{array}$

Nos proponemos calcular $μ_{A}$ . Nota que $A$ satisface $A^{2} = - I_{2}$ . Por tanto el polinomio $P (X) = X^{2} + 1$ cumple $P (A) = 0$ . Así, $μ_{A}$ tiene que dividir a este polinomio ¡pero este es irreducible sobre los números reales! En efecto, si existiese un factor propio de $P$ sobre $R$ , tendríamos que la ecuación $X^{2} = - 1$ tiene solución, y sabemos que este no es el caso. Entonces $μ_{A}$ tiene que ser $X^{2} + 1$ .

$△$

Ejemplo 3. Sean $d_{1}, \dots, d_{n} \in F$ escalares y $A$ una matriz diagonal tal que $[a_{i i}] = d_{i}$ . Los elementos pueden no ser distintos entre sí, así que escogemos una colección máxima $d_{i_{1}}, \dots, d_{i_{k}}$ de elementos distintos. Para cualquier polinomio $P$ , tenemos que $P (A)$ es simplemente la matriz diagonal con entradas $P (d_{i})$ (esto porque el producto $A^{n}$ tiene como entradas a $d_{i}^{n}$ ). Entonces para que $P (A) = 0$ se tiene que cumplir que $P (d_{i}) = 0$ , y para que esto pase es suficiente que $P (d_{i_{k}}) = 0$ . Eso quiere decir que $P$ tiene al menos a los $d_{i_{k}}$ como raíces, y entonces $(X - d_{i_{1}}) (X - d_{i_{2}}) \dots (X - d_{i_{k}})$ divide a $P$ .

Nota como esto es suficiente: encontramos un polinomio mónico, $(X - d_{i_{1}}) (X - d_{i_{2}}) \dots (X - d_{i_{k}})$ que divide a cualquier $P$ tal que $P (A) = 0$ . Así

$\begin{array}{r} μ_{A} (X) = (X - d_{i_{1}}) \dots (X - d_{i_{k}}) . \end{array}$

$△$

Cambio de campos

En uno de los ejemplos argumentamos que el polinomio mínimo era $X^{2} + 1$ porque este es irreducible sobre $R$ . Pero, ¿qué pasaría si cambiáramos nuestro campo a $C$ ? La situación puede ser incluso más delicada: a una matriz con entradas racionales la podemos considerar como una instancia particular de una matriz con entradas reales, que a su vez podemos considerar como una matriz compleja. ¿Hay tres polinomios mínimos distintos? El siguiente teorema nos da una respuesta tranquilizante.

Teorema. Sean $F_{1} \subset F_{2}$ dos campos y $A \in M_{n} (F_{1})$ una matriz, entonces el polinomio mínimo de $A$ vista como elemento de $M_{n} (F_{1})$ y el polinomio mínimo de $A$ vista como elemento de $M_{n} (F_{2})$ son iguales.

Demostración. Sea $μ_{1}$ el polinomio de $A \in M_{n} (F_{1})$ y $μ_{2}$ el polinomio mínimo de $A \in M_{n} (F_{2})$ . Puesto que $F_{1} [X] \subset F_{2} [X]$ , se tiene que $μ_{1} \in F_{2} [X]$ y además $μ_{1} (A) = 0$ por definición. Luego $μ_{2}$ necesariamente divide a $μ_{1}$ . Sean $d_{1} = \deg μ_{1}$ y $d_{2} = \deg μ_{2}$ , basta verificar que $d_{2} \geq d_{1}$ y para que esto se cumpla basta con encontrar $P \in F_{1} [X]$ de grado a lo más $d_{2}$ tal que $P (A) = 0$ (entonces $μ_{1}$ dividiría a este polinomio y se sigue la desigualdad).

Desarrollando que $μ_{2} (A) = 0$ en todas sus letras (o mejor dicho, en todos sus coeficientes) se tiene

$\begin{array}{r} a_{0} I_{n} + a_{1} A + \dots + a_{d_{2}} A^{d_{2}} = O_{n} . \end{array}$

Esto es equivalente a tener $n^{2}$ ecuaciones homogéneas en las variables $a_{0}, \dots, a_{d_{2}}$ . Como $A$ tiene entradas en $F_{1}$ los coeficientes de estas ecuaciones todos pertenecen a $F_{1}$ . Tenemos un sistema de ecuaciones con coeficientes en $F_{1}$ que tiene una solución no trivial en $F_{2}$ : tiene automáticamente una solución no trivial en $F_{1}$ por un ejercicio de la entrada de Álgebra Lineal I de resolver sistemas de ecuaciones usando determinantes. Esto nos da el polinomio buscado.

Mínimos puntuales

Ahora hablaremos (principalmente a través de problemas resueltos) de otro objeto muy parecido al polinomio mínimo: el polinomio mínimo puntual. Este es, esencialmente un «polinomio mínimo en un punto». Más específicamente si $T : V \to V$ es lineal con polinomio mínimo $μ_{T}$ y $x \in V$ definimos

$\begin{array}{r} I_{x} = {P \in F [X] ∣ P (T) (x) = 0} . \end{array}$

Nota que la suma y diferencia de dos elementos en $I_{x}$ también está en $I_{x}$ .

Problema 1. Demuestra que existe un único polinomio mónico $μ_{x} \in F [X]$ tal que $I_{x}$ es el conjunto de múltiplos de $μ_{x}$ en $F [X]$ . Más aún, demuestra que $μ_{x}$ divide a $μ_{T}$ .

Solución. El caso $x = 0$ se queda como ejercicio. Asumamos entonces que $x \neq 0$ . Nota que $μ_{T} \in I_{x}$ puesto que $μ_{T} (T) = 0$ . Sea $μ_{x}$ el polinomio mónico de menor grado en $I_{x}$ . Demostraremos que $I_{x} = μ_{x} \cdot F [X]$ .

Primero si $P \in μ_{x} \cdot F [X]$ entonces por definición $P = μ_{x} Q$ para algún $Q \in F [X]$ y entonces

$\begin{array}{r} P (T) (x) = Q (T) (μ_{x} (T) (x)) = Q (T) (0) = 0. \end{array}$

Así $P \in I_{x}$ , y queda demostrado que $μ_{x} \cdot F [X] \subset I_{x}$ .

Conversamente, si $P \in I_{x}$ podemos usar el algoritmo de la división para llegar a una expresión de la forma $P = Q μ_{x} + R$ para algunos polinomios $Q, R$ con $\deg R < \deg μ_{x}$ . Supongamos que $R \neq 0$ . Similarmente a como procedimos antes, se cumple que $R = P - Q μ_{x} \in I_{x}$ dado que $I_{x}$ es cerrado bajo sumas y diferencias. Dividiendo por el coeficiente principal de $R$ , podemos asumir que $R$ es mónico. Entonces $R$ es un polinomio mónico de grado estrictamente menor que el grado de $μ_{x}$ , una contradicción a nuestra suposición: $μ_{x}$ es el polinomio de grado menor con esta propiedad. Luego $R = 0$ y $μ_{x}$ divide a $P$ .

Así queda probado que si $P \in I_{x}$ entonces $P \in μ_{x} \cdot F [X]$ , lo que concluye la primera parte del problema. Para la segunda, vimos que $μ_{T} \in I_{x}$ y por tanto $μ_{x}$ divide a $μ_{T}$ .

Problema 2. Sea $V_{x}$ el subespacio generado por $x, T (x), T^{2} (x), \dots$ . Demuestra que $V_{x}$ es un subespacio de $V$ de dimensión $\deg μ_{x}$ , estable bajo $T$ .

Solución. Es claro que $V_{x}$ es un subespacio de $V$ . Además, dado que $T$ manda a generadores en generadores, también es estable bajo $T$ . Sea $d = \deg μ_{x}$ . Demostraremos que $x, T (x), \dots, T^{d - 1} (x)$ forman una base de $V_{x}$ , lo que concluiría el ejercicio.

Veamos que son linealmente independientes. Si $a_{0} x + a_{1} T (x) + a_{2} T^{2} (x) + \dots + a_{d - 1} T^{d - 1} (x) = 0$ para algunos escalares $a_{i}$ no todos cero, entonces el polinomio

$\begin{array}{r} P = a_{0} + a_{1} X + \dots + a_{d - 1} X^{d - 1} \end{array}$

es un elemento de $I_{x}$ , pues $P (T) (x) = 0$ . Luego $μ_{x}$ necesariamente divide a $P$ , pero esto es imposible puesto que el grado de $P$ es $d - 1$ , estrictamente menor que el grado de $μ_{x}$ . Luego los $a_{i}$ deben ser todos nulos, lo que muestra que $x, T (x), T^{2} (x), \dots, T^{d - 1} (x)$ es una colección linealmente independiente.

Sea $W$ el espacio generado por $x, T (x), \dots, T^{d - 1} (x)$ . Afirmamos que $W$ es invariante bajo $T$ . Es claro que $T (x) \in W$ , similarmente $T (T (x)) = T^{2} (x) \in W$ y así sucesivamente. El único elemento «sospechoso» es $T^{d - 1} (x)$ , para el cual basta verificar que $T (T^{d - 1} (x)) = T^{d} (x) \in W$ . Dado que $μ_{x} (T) (x) = 0$ y $μ_{x}$ es mónico de grado $d$ , existen escalares $b_{i}$ (más precisamente, los coeficientes de $μ_{x}$ ) no todos cero tales que

$\begin{array}{r} T^{d} (x) + b_{d - 1} T^{d - 1} (x) + \dots + b_{0} x = 0. \end{array}$

Esto nos muestra que podemos expresar a $T^{d} (x)$ en términos de $x, T (x), \dots, T^{d - 1} (x)$ y por tanto $T^{d} (x)$ pertenece a $W$ .

Ahora, dado que $W$ es estable bajo $T$ y contiene a $x$ , se cumple que $T^{k} (x) \in W$ para todo $k \geq 0$ . En particular $V_{x} \leq W$ . Luego $V_{x} = W$ (la otra contención es clara) y $x, T (x), \dots, T^{d - 1} (x)$ genera a $W$ , o sea a $V_{x}$ .

Mostramos entonces que $x, T (x), \dots, T^{d - 1} (x)$ es una base para $V_{x}$ y así $\dim V_{x} = d$ .

Unos ejercicios para terminar

Presentamos unos últimos ejercicios para calcular polinomios mínimos.

Problema 1. Calcula el polinomio mínimo de $A$ donde

$\begin{array}{r} A = (\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) . \end{array}$

Solución. A estas alturas no tenemos muchas herramientas que usar. Comenzamos con calcular $A^{2}$ :

$\begin{array}{r} A^{2} = (\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) . \end{array}$

Entonces en particular $A^{2} = I_{3}$ . Así, el polinomio mínimo $μ_{A}$ tiene que dividir a $X^{2} - 1$ . Este último se factoriza como $(X - 1) (X + 1)$ , pero es claro que $A$ no satisface ni $A - I_{3} = 0$ ni $A + I_{3} = 0$ . Entonces $μ_{A}$ no puede dividir propiamente a $X^{2} - 1$ , y por tanto tienen que ser iguales.

$△$

Problema 2. Calcula el polinomio mínimo de la matriz $A$ con

$\begin{array}{r} A = (\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array}) . \end{array}$

Solución. Nota como

$\begin{array}{r} A - I_{2} = (\begin{array}{c} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

y es fácil verificar que el cuadrado de la matriz de la derecha es cero. Así $(A - I_{2})^{2} = 0$ , o sea, el polinomio $P (X) = (X - 1)^{2}$ anula a $A$ . Similarmente al problema anterior, $μ_{A}$ tiene que dividir a $P$ , pero $P$ sólo tiene un factor: $X - 1$ . Dado que $A$ no satisface $A - I_{2} = 0$ se tiene que $μ_{A}$ no puede dividir propiamente a $P$ , y entonces tienen que ser iguales. Luego $μ_{A} = (X - 1)^{2} = X^{2} - 2 X + 1$ .

$△$

Más adelante…

En las entradas subsecuentes repasaremos los eigenvalores y eigenvectores de una matriz, y (como mencionamos) ligaremos el polinomio característico de una matriz con su polinomio mínimo para entender mejor a ambos.

Tarea moral

Aquí unos ejercicios para practicar lo que vimos.

Encuentra una matriz $A$ cuyo polinomio mínimo sea $X^{2}$ . Para cada $n$ , ¿puedes encontrar una matriz cuyo polinomio mínimo sea $X^{n}$ ?
Encuentra una matriz $A$ cuyo polinomio mínimo sea $X^{2} - 1$ . Para cada $n$ , ¿puedes encontrar una matriz cuyo polinomio mínimo sea $X^{n} - 1$ ?
Encuentra el polinomio de la matriz $A$ en $M_{n} (F)$ cuyas entradas son todas $1$ .
Si $T : M_{n} (R) \to M_{n} (R)$ es la transformación que manda a cada matriz en su transpuesta, encuentra el polinomio mínimo de $T$ .
Sea $V$ un espacio vectorial y $x, y$ vectores linealmente independientes. Sea $T : V \to V$ una transformación lineal. ¿Cómo son los polinomios $P$ tales que $P (T)$ se anula en todo el subespacio generado por $x$ y $y$ ? ¿Cómo se relacionan con los polinomios mínimos puntuales de $T$ para $x$ y $y$ ?

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»