Introducción

En entradas anteriores hemos estudiado transformaciones lineales que preservan las estructuras entre su dominio y contra dominio. El siguiente paso es estudiar las transformaciones lineales entre espacios euclidianos que preservan las distancias. Veremos que esta condición garantiza que la transformación en cuestión preserva el producto interior de un espacio a otro.

Isometrías y transformaciones ortogonales

Definición. Sean $V_1,V_2$ espacios euclidianos con productos interiores $\langle , \rangle_1$ y $\langle , \rangle_2$, y con correspondientes normas $||\cdot||_1$ y $||\cdot||_2$. Una isometría entre $V_1$ y $V_2$ es un isomorfismo entre $\mathbb{R}$-espacios vectoriales $T:V_1\to V_2$ tal que para cualesquiera $x,y\in V_1$ $$\langle T(x), T(y) \rangle_2 = \langle x,y\rangle_1.$$

Por lo tanto, una isometría es una transformación lineal biyectiva que preserva el producto interior. El siguiente problema nos d a una mejor idea de esta preservación:

1. $\langle T(x),T(y) \rangle_2 = \langle x,y \rangle_1 $ para cualesquiera $x,y\in V_1$.
2. $||T(x)||_2=||x||_1$.

Solución. Supongamos que 1. es cierto. Entonces tomando $y=x$ se obtiene
$$||T(x)||_2^2=||x||_1^2$$ y por lo tanto $||T(x)||_2=||x||_1$, lo cual muestra el inciso 2.

Si 2. es cierto, usando la identidad de polarización y la linealidad de $T$, podemos mostrar que
\begin{align*}
\langle T(x), T(y) \rangle_2 &=\frac{||T(x)+T(y)||_2^2-||T(x)||_2^2 – ||T(y)||_2^2}{2}\\
&= \frac{||T(x+y)||_2^2-||T(x)||_2^2 – ||T(y)||_2^2}{2}\\
&=\frac{||x+y||_2^2-||x||_2^2 – ||y||_2^2}{2}=\langle x,y \rangle_1,
\end{align*} lo cual muestra 1.

$\square$

Observación. Si $T$ es una transformación como la del problema anterior, entonces $T$ es automáticamente inyectiva: si $T(x)=0$, entonces $||T(x)||_2=0$, de donde $||x||_1=0$ y por lo tanto $x=0$.

Definición. a) Sea $V$ un espacio euclidiano. Diremos que una transformación lineal $T:V\to V$ es ortogonal si $T$ es una isometría de $V$ en $V$. En otras palabras, $T$ es ortogonal si $T$ es biyectiva y para cualesquiera $x,y\in V$ $$\langle T(x), T(y) \rangle = \langle x,y \rangle.$$
Nota que la biyectividad de $T$ es consecuencia de la relación anterior, gracias a la observación. Por lo tanto $T$ es ortogonal si y sólo si $T$ preserva el producto interior.

b) Diremos que una matriz $A\in M_n(\mathbb{R})$ es ortogonal si
$$A^tA=I_n.$$

Observación. a) Considera a $\mathbb{R}^n$ con su producto interior canónico, y una matriz $A\in M_n(\mathbb{R})$. $A$ es ortogonal si y sólo si la transformación lineal
\begin{align*}
\mathbb{R}^n &\to \mathbb{R}^n\\
x&\mapsto Ax
\end{align*} es ortogonal.

b) Una transformación lineal $T$ es ortogonal si y sólo si $$||T(x)||=||x||\hspace{1.5mm}\forall x\in V.$$ Por lo tanto, una matriz $A\in M_n(\mathbb{R})$ es ortogonal si y sólo si $$||Ax||=||x||\hspace{1.5mm} \forall x\in \mathbb{R}^n.$$

Equivalencias de transformaciones ortogonales

Volviendo al contexto general de matrices ortogonales vemos que para una matriz $A\in M_n(\mathbb{R})$ ortogonal, si $R_1,\dots,R_n$ son las filas de $A$, la relación
$$A^tA=I_n$$ es equivalente a

$\langle R_i,R_j\rangle=0$ si $i\neq j$, $||R_i||^2=1$ para $1\leq i\leq n.$

Dicho de otra forma, $A$ es una matriz ortogonal su y solo si sus filas forman una base ortonormal de $\mathbb{R}^n$. También cabe mencionar que $A$ es ortogonal si y sólo si $^tA$ es ortogonal. Por lo tanto, hemos probado el siguiente teorema.

Teorema. Sea $A\in M_n(\mathbb{R})$ una matriz y considera a $\mathbb{R}^n$ con el producto interior canónico. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. $A$ es ortogonal.
2. Las filas de $A$ forman una base ortonormal de $\mathbb{R}^n$.
3. Las columnas de $A$ forman una base ortonormal de $\mathbb{R}^n$.
4. Para cualquier $x\in\mathbb{R}^n$ se tiene $$||Ax||=||x||.$$

Problema. Sea $V$ un espacio euclidiano y $T:V\to V$ una transformación lineal. Demuestra que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. $T$ es ortogonal.
2. $\langle T(x),T(y) \rangle = \langle x,y \rangle$ para cualesquiera $x,y\in V$.
3. $||T(x)||=||x||$ para cualquier $x\in V$.
4. $T^*\circ T=Id$.

Demostración. Por definción 1. implica 2. que a su vez es equivalente a 3.
Si 2. se satisface, entonces

\begin{align*}
\langle T^*\circ T(x)-x,y \rangle&=\langle y, T^*(T(x)) \rangle-\langle x,y \rangle\\
&= \langle T(x),T(y) \rangle – \langle x,y \rangle=0
\end{align*}

para cualesquiera $x,y \in V$ y por lo tanto $T^*(T(x))=x$, lo que prueba 4.

Sólo nos falta probar que 4. implica 1. Si 4. se satisface, entonces $T$ es biyectiva, con inversas $T^*$, por lo que bastará con verificar que 2. se satisface. Como 2. es equivalente a 3. bastará con verificar $$||T(x)||^2=\langle T(x),T(x) \rangle =\langle x,T^*(T(x)) \rangle=\langle x,x \rangle=||x||^2$$ para cualquier $x\in V$. Se concluye el resultado deseado.

$\square$

Las transformaciones ortogonales forman un grupo

Teorema. El conjunto de las transformaciones ortogonalles sobre un espacio euclidiano $V$ forma un grupo bajo composición. En otras palabras, la composición de dos transformaciones ortogonales es una transformación ortogonal y la inversa de una transformación ortogonal es una transformación ortogonal.

Demostración. Sean $T_1,T_2$ transformaciones lineales ortogonales, entonces $T_1\circ T_2$ es lineal y además
$$||T_1\circ T_2(x)||=||T_1(T_2(x))||=||T_2(x)||=||x||$$
para todo $x\in V$ y por lo tanto $T_1\circ T_2$ es una transformación lineal ortogonal.

Análogamente tenemos que si $T$ es ortogonal, entonces
$$||x||=||T(T^{-1}(x))||=||T^{-1}(x)||$$
para todo $x\in V$.

$\square$

Definición. El grupo $O(V)$ es el grupo de transformaciones ortogonales (o isometrías) de $V$ y se conoce como el grupo ortogonal de $V$. Es el grupo de automorfimos de un espacio euclidiano $V$ y juega un papel muy importante al momento de entender al espacio $V$.

Más adelante…

Tarea moral

1. Demuestra que la matriz
   $$A=\begin{pmatrix}
   \frac{3}{5} & \frac{4}{5}\\
   -\frac{4}{5} & \frac{3}{5}
   \end{pmatrix}$$ es ortogonal.
2. Sea $e_1,\dots ,e_n$ una base ortnormal de un espacio euclidiano $V$ y sea $e_1′,\dots ,e_n’$ otra base de $V$. Sea $P$ la matriz de cambio de base de $e_1,\dots ,e_n$ a $e_1′,\dots ,e_n’$. Demuestra que $e_1′,\dots ,e_n’$ es ortonormal si y sólo si $P$ es ortogonal.
3. Demuestra que la composición de transfromaciones ortogonales es ortogonal.

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