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Teoría de los Conjuntos I: Isomorfismos de conjuntos parcialmente ordenados

Por Gabriela Hernández Aguilar

Introducción

En esta entrada hablaremos acerca de funciones biyectivas entre conjuntos ordenados, algunas con una propiedad muy especial. Las llamaremos isomorfismos. Puedes recordar la definición de función biyectiva en la entrada Teoría de los Conjuntos I: Funciones sobreyectivas y biyectivas.

Isomorfismos de órdenes parciales

Definición. Sean $(A, \leq_A)$ y $(B, \leq_B)$ conjuntos parcialmente ordenados. Decimos que $A$ es isomorfo a $B$ si existe $f:A\to B$ una función biyectiva tal que $f$ preserva el orden, es decir,

$a_1\leq_A a_2$ si y sólo si $f(a_1)\leq_B f(a_2)$.

A dicha función $f$ le llamamos un isomorfismo de órdenes parciales de $A$ en $B$ o simplemente un isomorfismo de $A$ en $B$.

Ejemplo.

Sea $(A, \leq_A)$ un conjunto parcialmente ordenado. Resulta que $A$ es isomorfo a sí mismo, pues la función identidad $id_A:A\to A$ es una función biyectiva que preserva el orden en $A$. Efectivamente, la función $id_A$ es claramente biyectiva de $A$ en $A$ y, además, $a_1\leq_Aa_2$ si y sólo si $id_A(a_1)\leq_Aid_A(a_2)$.

$\square$

Ejemplo.

Tomemos $A=\{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}\}$. Consideremos al conjunto parcialmente ordenado $(A, \subseteq_A)$. Consideremos también $B=\{1,2,3\}$ con el orden parcial $R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(3,2)\}$.

Se tiene que $(A,\subseteq_A)$ y $(B,R)$ son isomorfos. En efecto, puedes verificar por tu cuenta que $f:A\to B$ dada por $f(\emptyset)=1$, $f(\{\emptyset\})=3$ y $f(\{\emptyset, \{\emptyset\}\})=2$ es un isomorfismo de $A$ en $B$.

$\square$

Teorema. Sean $(A, \leq_A)$ y $(B, \leq_B)$ conjuntos parcialmente ordenados y sea $f:A\to B$ un isomorfismo de $A$ en $B$. Entonces, $f^{-1}$ es un isomorfismo de $B$ en $A$.

Demostración.

Sean $(A, \leq_A)$ y $(B, \leq_B)$ conjuntos parcialmente ordenados y supongamos que $f:A\to B$ es un isomorfismo de $A$ en $B$, es decir, $f:A\to B$ es una función biyectiva y preserva el orden.

Dado que $f$ es una función biyectiva, entonces es invertible y más aún, $f^{-1}:B\to A$ es biyectiva. Resta ver que $f^{-1}$ preserva el orden, es decir,

$b_1\leq_B b_2$ si y sólo si $f^{-1}(b_1)\leq_A f^{-1}(b_2)$.

$\rightarrow$] Sean $b_1, b_2\in B$ tales que $b_1\leq_B b_2$. Entonces $(f\circ f^{-1})(b_1)\leq_B (f\circ f^{-1})(b_2)$, es decir, $f(f^{-1}(b_1))\leq_B f(f^{-1}(b_2))$ y dado que $f$ es isomorfismo, se tiene que $f^{-1}(b_1)\leq_A f^{-1}(b_2)$.

$\leftarrow$] Sean $b_1, b_2\in B$ tales que $f^{-1}(b_1)\leq_A f^{-1}(b_2)$. Entonces, $f (f^{-1}(b_1))\leq_B f( f^{-1}(b_2))$ y así $b_1\leq_B b_2$.

Por lo tanto, $f^{-1}$ es un isomorfismo de $B$ en $A$.

$\square$

Teorema. Sean $(A, \leq_A), (B, \leq_B)$ y $(C, \leq_C)$ conjuntos parcialmente ordenados y $f:A\to B$ y $g:B\to C$ isomorfismos. Entonces, $g\circ f:A\to C$ es un isomorfismo de $A$ en $C$.

Demostración.

Sean $(A, \leq_A), (B, \leq_B)$ y $(C, \leq_C)$ conjuntos parcialmente ordenados y supongamos que $f$ es un isomorfismo de $A$ en $B$ y $g$ un isomorfismo de $B$ en $C$, es decir, $f:A\to B$ es una función biyectiva y preserva el orden y $g:B\to C$ es una función biyectiva y preserva el orden.

Dado que $f$ y $g$ son funciones biyectivas, entonces $g\circ f: A\to C$ es una función biyectiva. Resta ver que $g\circ f$ preserva el orden, es decir,

$a_1\leq_A a_2$ si y sólo si $(g\circ f)(a_1)\leq_C (g\circ f)(a_2)$.

$\rightarrow$] Sean $a_1, a_2\in A$ tales que $a_1\leq_A a_2$, entonces $f(a_1)\leq_B f(a_2)$. Luego, $f(a_1), f(a_2)\in B$ y como $f(a_1)\leq_B f(a_2)$ se sigue que $g(f(a_1))\leq_C g(f(a_2))$.

$\leftarrow$] Sean $a_1, a_2\in A$ tales que $(g\circ f)(a_1)\leq_C (g\circ f)(a_2)$, lo que es equivalente a $g(f(a_1))\leq_C g(f(a_2))$. Luego, como $g$ es un isomorfismo preserva el orden y, por ende, $f(a_1)\leq_Bf(a_2)$. Finalmente, como $f$ es isomorfismo preserva el orden y, en consecuencia, $a_1\leq_A a_2$.

Por lo tanto, $g\circ f$ es un isomorfismo de $A$ en $C$.

$\square$

Tarea moral

  1. Encuentra todos los posibles órdenes parciales distintos que se le pueden poner al conjunto $\{1,2,3\}$, en donde dos órdenes parciales se consideran el mismo si son isomorfos.
  2. Sean $(A,\leq_A)$ y $(B,\leq_B)$ conjuntos parcialmente ordenados e isomorfos.
    • Muestra que $(A,\leq_A)$ es un orden total si y sólo si $(B,\leq_B)$ lo es.
    • Muestra que $(A,\leq_A)$ es un buen orden si y sólo si $(B,\leq_B)$ lo es.
    • Muestra que en $(A,\leq_A)$ se tiene que $A$ tiene mínimo si y sólo si en $(B,\leq_B)$ se tiene que $B$ tiene mínimo.
  3. Da un ejemplo de dos conjuntos ordenados $A$ y $B$, tales que existe $f:A\to B$ función biyectiva tal que si $a\leq_A b$, entonces $f(a)\leq_B f(b)$, pero que $f^{-1}$ no preserva el orden, es decir, existen $c,d\in B$ tal que $c\leq_B d$ pero $f^{-1}(c)\leq_A f^{-1}(d)$.
  4. Este es un ejercicio un poco informal pues no hemos establecido varios conceptos. Pero usa las propiedades que conoces de los números naturales y su divisibilidad. Podemos dar dos órdenes parciales distintos al conjunto $\{1,2,\ldots,10\}$. Por un lado, está el orden $\leq$ de siempre. Por otro lado, está el orden $|$ en el que $a|b$ si y sólo si $a$ divide a $b$. Estos son órdenes distintos pues, por ejemplo, $2\leq 5$ pero no es cierto que $2|5$. Sin embargo, ¿será que estos órdenes parciales son isomorfos?

Más adelante

En la siguiente entrada comenzaremos a construir al conjunto de los números naturales. Para ello será de gran importancia el contenido acerca de conjuntos ordenados que hemos visto hasta este momento.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Geometría Analítica I: Introducción a transformaciones

Por Paola Berenice García Ramírez

Introducción

Hasta ahora hemos aprendido nuevos conceptos geométricos euclidianos desde producto interior y ortogonal, normas y ángulos entre vectores hasta distancias. Pero también hemos trabajado implícitamente con diversos tipos de funciones, como son las rectas o las cónicas. Las funciones participan en todas las ramas matemáticas e incluso en muchas disciplinas científicas y sociales, por lo que al principio de la unidad brindaremos las nociones de funciones necesarias que les permitirán asimilar de mejor manera los temas que hemos visto y avanzar a los temas esenciales de ésta unidad, los cuales son Transformaciones y Matrices.

Comenzaremos con el tema de transformaciones y vamos a llamar transformación en el plano a toda función que hará corresponder a cada punto del plano otro punto del mismo; es decir, las transformaciones son operaciones geométricas que nos permiten deducir una nueva figura a partir de una que previamente tenemos. La nueva figura se llama transformada de la original.

Podemos dar un primer escenario de la clasificación de transformaciones que veremos:

  • Isometrías: Son cambios de posición (orientación) de una determinada figura que no alteran la forma ni tamaño de ésta. Como ejemplos en este rubro tenemos las traslaciones, las rotaciones o las reflexiones (simetrías).

En la imagen tenemos el caso de una transformación de reflexión (o simetría) con respecto al eje $x=0$. Observemos que cada punto de la figura original y la imagen de cada uno de ellos bajo la reflexión se encuentran a igual distancia de una recta llamada eje de simetría.

  • Isomorfismos: Son cambios en una figura determinada que no alteran la forma pero sí el tamaño de ésta. Entre ellas tenemos a las homotecias y las semejanzas.

La imagen muestra un ejemplo de homotecia, la cual es una transformación del espacio (en este caso el plano) que dilata las distancias con respecto a un punto de origen $O$.

  • Composición de transformaciones: Es el proceso por el cual a una figura se le aplican dos o más transformaciones y éstas transformaciones pueden ser de diferente tipo. Veremos el caso de transformaciones afines.
  • Transformaciones ortogonales: Como las longitudes de vectores y ángulos entre ellos se definen mediante el producto interior; éste tipo de transformaciones preservan las longitudes de los vectores y los ángulos entre ellos.

Tarea moral:

Las gráficas de las funciones senoidales son contracciones y/o dilataciones de las gráficas del seno y el coseno.

\begin{align*}
y &= A sen(Bx + C) + D, & y &= Acos(Bx + C) + D,
\end{align*}

donde $|A|$ representa la amplitud y $|B|$ a la cantidad de veces que se repite un ciclo en el intervalo desde $0$ hasta $2 \pi$. Por otro lado $C$ determina el desplazamiento horizontal de las gráficas y $D$ el desplazamiento vertical de las gráficas. Además, $\dfrac{2 \pi}{|B|}$ es el periodo de la función y nos indica la la longitud de un ciclo.

Ejercicio 1. Identificar la amplitud, el periodo y graficar las funciones:

  • $y = 3 sen (2x),$
  • $y = 2 cos (x),$
  • $y = 2 + sen(x)$
  • $y = \dfrac{1}{2} sen \left( \dfrac{1}{2} x \right)$

Ejercicio 2. Grafiquen las siguientes funciones y analicen el efecto de las constantes con respecto a las gráficas del seno y coseno.

  • $y = sen(x + \pi)$
  • $y = cos(x+2) + 3$

Más adelante:

La tarea moral tiene un propósito, y es que recordemos cómo una función se ve afectada al variar parámetros específicos. Con ello podremos darnos cuenta que no estamos tan enajenados al tema de transformación de funciones que estaremos trabajando en esta unidad.

En la siguiente entrada repasaremos las nociones necesarias de funciones que nos permitirán definir formalmente el concepto de transformaciones y tratar posteriormente con su clasificación.

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