Introducción
En esta entrada hablaremos acerca de funciones biyectivas entre conjuntos ordenados, algunas con una propiedad muy especial. Las llamaremos isomorfismos. Puedes recordar la definición de función biyectiva en la entrada Teoría de los Conjuntos I: Funciones sobreyectivas y biyectivas.
Isomorfismos de órdenes parciales
Definición. Sean $(A, \leq_A)$ y $(B, \leq_B)$ conjuntos parcialmente ordenados. Decimos que $A$ es isomorfo a $B$ si existe $f:A\to B$ una función biyectiva tal que $f$ preserva el orden, es decir,
$a_1\leq_A a_2$ si y sólo si $f(a_1)\leq_B f(a_2)$.
A dicha función $f$ le llamamos un isomorfismo de órdenes parciales de $A$ en $B$ o simplemente un isomorfismo de $A$ en $B$.
Ejemplo.
Sea $(A, \leq_A)$ un conjunto parcialmente ordenado. Resulta que $A$ es isomorfo a sí mismo, pues la función identidad $id_A:A\to A$ es una función biyectiva que preserva el orden en $A$. Efectivamente, la función $id_A$ es claramente biyectiva de $A$ en $A$ y, además, $a_1\leq_Aa_2$ si y sólo si $id_A(a_1)\leq_Aid_A(a_2)$.
$\square$
Ejemplo.
Tomemos $A=\{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}\}$. Consideremos al conjunto parcialmente ordenado $(A, \subseteq_A)$. Consideremos también $B=\{1,2,3\}$ con el orden parcial $R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(3,2)\}$.
Se tiene que $(A,\subseteq_A)$ y $(B,R)$ son isomorfos. En efecto, puedes verificar por tu cuenta que $f:A\to B$ dada por $f(\emptyset)=1$, $f(\{\emptyset\})=3$ y $f(\{\emptyset, \{\emptyset\}\})=2$ es un isomorfismo de $A$ en $B$.
$\square$
Teorema. Sean $(A, \leq_A)$ y $(B, \leq_B)$ conjuntos parcialmente ordenados y sea $f:A\to B$ un isomorfismo de $A$ en $B$. Entonces, $f^{-1}$ es un isomorfismo de $B$ en $A$.
Demostración.
Sean $(A, \leq_A)$ y $(B, \leq_B)$ conjuntos parcialmente ordenados y supongamos que $f:A\to B$ es un isomorfismo de $A$ en $B$, es decir, $f:A\to B$ es una función biyectiva y preserva el orden.
Dado que $f$ es una función biyectiva, entonces es invertible y más aún, $f^{-1}:B\to A$ es biyectiva. Resta ver que $f^{-1}$ preserva el orden, es decir,
$b_1\leq_B b_2$ si y sólo si $f^{-1}(b_1)\leq_A f^{-1}(b_2)$.
$\rightarrow$] Sean $b_1, b_2\in B$ tales que $b_1\leq_B b_2$. Entonces $(f\circ f^{-1})(b_1)\leq_B (f\circ f^{-1})(b_2)$, es decir, $f(f^{-1}(b_1))\leq_B f(f^{-1}(b_2))$ y dado que $f$ es isomorfismo, se tiene que $f^{-1}(b_1)\leq_A f^{-1}(b_2)$.
$\leftarrow$] Sean $b_1, b_2\in B$ tales que $f^{-1}(b_1)\leq_A f^{-1}(b_2)$. Entonces, $f (f^{-1}(b_1))\leq_B f( f^{-1}(b_2))$ y así $b_1\leq_B b_2$.
Por lo tanto, $f^{-1}$ es un isomorfismo de $B$ en $A$.
$\square$
Teorema. Sean $(A, \leq_A), (B, \leq_B)$ y $(C, \leq_C)$ conjuntos parcialmente ordenados y $f:A\to B$ y $g:B\to C$ isomorfismos. Entonces, $g\circ f:A\to C$ es un isomorfismo de $A$ en $C$.
Demostración.
Sean $(A, \leq_A), (B, \leq_B)$ y $(C, \leq_C)$ conjuntos parcialmente ordenados y supongamos que $f$ es un isomorfismo de $A$ en $B$ y $g$ un isomorfismo de $B$ en $C$, es decir, $f:A\to B$ es una función biyectiva y preserva el orden y $g:B\to C$ es una función biyectiva y preserva el orden.
Dado que $f$ y $g$ son funciones biyectivas, entonces $g\circ f: A\to C$ es una función biyectiva. Resta ver que $g\circ f$ preserva el orden, es decir,
$a_1\leq_A a_2$ si y sólo si $(g\circ f)(a_1)\leq_C (g\circ f)(a_2)$.
$\rightarrow$] Sean $a_1, a_2\in A$ tales que $a_1\leq_A a_2$, entonces $f(a_1)\leq_B f(a_2)$. Luego, $f(a_1), f(a_2)\in B$ y como $f(a_1)\leq_B f(a_2)$ se sigue que $g(f(a_1))\leq_C g(f(a_2))$.
$\leftarrow$] Sean $a_1, a_2\in A$ tales que $(g\circ f)(a_1)\leq_C (g\circ f)(a_2)$, lo que es equivalente a $g(f(a_1))\leq_C g(f(a_2))$. Luego, como $g$ es un isomorfismo preserva el orden y, por ende, $f(a_1)\leq_Bf(a_2)$. Finalmente, como $f$ es isomorfismo preserva el orden y, en consecuencia, $a_1\leq_A a_2$.
Por lo tanto, $g\circ f$ es un isomorfismo de $A$ en $C$.
$\square$
Tarea moral
- Encuentra todos los posibles órdenes parciales distintos que se le pueden poner al conjunto $\{1,2,3\}$, en donde dos órdenes parciales se consideran el mismo si son isomorfos.
- Sean $(A,\leq_A)$ y $(B,\leq_B)$ conjuntos parcialmente ordenados e isomorfos.
- Muestra que $(A,\leq_A)$ es un orden total si y sólo si $(B,\leq_B)$ lo es.
- Muestra que $(A,\leq_A)$ es un buen orden si y sólo si $(B,\leq_B)$ lo es.
- Muestra que en $(A,\leq_A)$ se tiene que $A$ tiene mínimo si y sólo si en $(B,\leq_B)$ se tiene que $B$ tiene mínimo.
- Da un ejemplo de dos conjuntos ordenados $A$ y $B$, tales que existe $f:A\to B$ función biyectiva tal que si $a\leq_A b$, entonces $f(a)\leq_B f(b)$, pero que $f^{-1}$ no preserva el orden, es decir, existen $c,d\in B$ tal que $c\leq_B d$ pero $f^{-1}(c)\leq_A f^{-1}(d)$.
- Este es un ejercicio un poco informal pues no hemos establecido varios conceptos. Pero usa las propiedades que conoces de los números naturales y su divisibilidad. Podemos dar dos órdenes parciales distintos al conjunto $\{1,2,\ldots,10\}$. Por un lado, está el orden $\leq$ de siempre. Por otro lado, está el orden $|$ en el que $a|b$ si y sólo si $a$ divide a $b$. Estos son órdenes distintos pues, por ejemplo, $2\leq 5$ pero no es cierto que $2|5$. Sin embargo, ¿será que estos órdenes parciales son isomorfos?
Más adelante
En la siguiente entrada comenzaremos a construir al conjunto de los números naturales. Para ello será de gran importancia el contenido acerca de conjuntos ordenados que hemos visto hasta este momento.
Entradas relacionadas
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Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»
