Introducción

En la entrada anterior defimos las transformaciones ortogonales y probamos algunas propiedas de éstas, relacionadas con el producto interior, la norma y la transformación adjunta de una trasnformación ortogonal cualquiera. En esta ocasión no encargaremos, de manera más general, de estudiar al conjunto de todas las transformaciones lineales ortogonales definidas sobre un espacio euclidiano $V$, de clasificarlas y de estudiar el caso de dimensión $2$.

El lema de los subespacios estables

Lema. Sean $V$ un espacio euclidiano, $T\in O(V)$ y $W$ un subespacio de $V$ estable bajo $T$.

1. Demuestra que $T(W)=W$ y $T(W^\bot)=W^\bot$.
2. Demuestra que $T|_W\in O(W)$ y $T|_{W^\bot}\in W^\bot$.

Demostración. 1. Como $T(W)\subseteq W$ y $T|_W$ es inyectiva (pues $T$ es inyectiva en $V$), se sigue que $T|_W:W\to W$ es suprayectiva y por lo tanto $T(W)=W$. Ahora tomamos $x\in W^\bot$ y $y\in W$. Queremos demostrar que $\langle T(x),y \rangle=0$. Como $T$ es ortogonal, entonces $T^*=T^{-1}$ y por lo tanto
$$\langle T(x),y \rangle=\langle x,T^{-1}(y) \rangle.$$

Como $T$ es estable bajo $T^{-1}$, entonces $T^{-1}(y)\in W$, y como $x\in W^\bot$, entonces $\langle x,T^{-1}(y) \rangle=0$. Por lo tanto $\langle T(x),y \rangle=0$, que es lo que queríamos demostrar.

2. Sea $T_1:=T|_W$, entonces para todo $x\in W$ se tiene que
$$||T_1(x)||=||T(x)||=||x||,$$
lo que significa que $T_1\in O(W)$. De manera análoga se tiene que $T_{W^\bot}\in O(W^\bot)$.

$\square$

El lema de la invarianza de una recta o un plano

Lema. Sea $V$ un espacio euclidiano y $T$ una transformación lineal sobre $V$. Entonces existe una recta o un plano en $V$ estable bajo $T$.

Demostración. El polinomio mínimo de $T$ es un polinomio $P$ con coeficientes reales. Si tiene una raíz real, se sigue que $T$ tiene un eigenvalor y por consiguiente, la recta generada por un eigenvector es estable bajo $T$. Ahora supongamos que $P$ no tiene raíces reales. Sea $z$ una raíz compeja de $P$, como $P$ teien coeficientes reales, entonces $\overline{z}$ también es raíz de $P$ y por lo tanto $Q=(x-z)(x-\overline{z})$ divide a $P$. Más aún, $Q(T)$ no es invertible, pues si lo fuera, entonces $\frac{P}{Q}$ sería un polinomio de grado menor que anula a $T$. Por lo tanto existe $x\in V$ no nulo tal que $Q(T)(x)=0$. Esto se puede escribir como $T^2(x)+aT(x)+bx=0$ para algunos reales $a,b$. se sigue que el subespacio generado por $x$ y $T(x)$ es un plano estable bajo $T$, lo cual termina con la demostración.

$\square$

El lema de las ortogonales sin eigenvectores en el plano

Lema. Sea $V$ un espacio euclidiano de dimensión $2$ y $T\in O(V)$ sin valores propios reales. Entonces existe una base ortonormal de $V$ tal que la matriz asociada a $T$ en dicha base es de la forma
$$R_\theta=\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.$$

Demostración. Sea $B=\{e_1,e_2\}$ una base ortonormal de $V$ y escribimos $T(e_1)=ae_1+be_2$ para algunos números reales $a,b$. Como
$$a^2+b^2=||T(e_1)||^2+||e_1||^2=1,$$ entonces podemos encontrar un número real $\theta$ tal que $(a,b)=(\cos\theta,\sin\theta)$. El complemento ortogonal de $T(e_1)$ está dado por la recta $\mathbb{R}(-\sin\theta e_1 + \cos\theta e_2)$. Como $\langle T(e_1),T(e_2) \rangle=\langle e_1,e_2 \rangle=0$, de donde $T(e_2)\in\mathbb{R}(-\sin\theta e_1 + \cos\theta e_2)$ y por lo tanto
$$T(e_2)=c(-\sin\theta e_1 + \cos \theta e_2)$$ para algún número real $c$. Como $$||T(e_2)||=||e_2||=1, $$ se sigue que $|c|=1$ y así $c\in \{-1,1\}$. Veremos que $c$ no puede ser igual a $-1$, pues si $c=-1$, entonces la matriz de $T$ con respecto a a$B$ es
$$A=\begin{pmatrix}
\cos \theta & \sin \theta\\
\sin \theta & -\cos\theta\end{pmatrix}$$
cuyo polinomio caracterísitco es $x^2-1$, el cual tiene una raíz real, lo cual es absurdo.
Por lo tanto la matriz asociada a $T$ con respecto a la base $B$ es
$$A=\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.$$

El teorema de clasificación

Con lo visto hasta ahora, ya estamos listos para demostrar el teorema fundamental de clasificación de transformaciones lineales ortogonales de un espacio euclidiano.

Teorema (clasificación de ortogonales). (De clasificación) Sea $V$ un espacio euclidiano y $T\in O(V)$. Entonces podemos encontrar una base ortonormal $B$ de $V$ tal que la matriz asociada a $T$ con respecto a la base $B$ es de la forma
\begin{equation}\label{forma}
A=\begin{pmatrix}
I_p & 0 & 0 & \dots & 0\\
0 & -I_q & 0 & \dots & 0\\
0 & 0 & R_{\theta_1} & \dots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 &\dots & R_{\theta_k}
\end{pmatrix},\end{equation}
donde $\theta_1,\dots, \theta_k$ son números reales y
$$R_\theta=\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}.$$

Demostración. Procederemos por inducción sobre $\dim V$.
Si $\dim V=1$, entonces ya terminamos, pues se tendría que $T=\pm id$. Supongamos que $\dim V\geq 2$ y que el resultado se satisface para $n-1$.
Supongamos que $T$ tiene un eigenvalor real $t$ con eigenvector $e_1$. Entonces $$|t|||e_1||=||te_1||=||T(e_1)||=||e_1||,$$
por lo cual $t\in\{-1,1\}$. Sea $W=\mathbb{R}e_1$, entonces $W$ es estable bajo $T$, por la tanto $W^\bot$ es estable bajo $T$ (pues $T$ es ortogonal). Más aún, la restricción de $T$ a $W^\bot$ es una transformación ortogonal ya que $||T(x)||=||x||$ para toda $x\in V$, por lo tanto también para cualquier $x\in W^\bot$. Por hipótesis inductiva, $W^\bot$ tiene una base ortonormal $\{e_2,\dots , e_n\}$ tal que la matriz asociada a dicha base y restringida a $W^\bot$ es de la forma \eqref{forma}. Añadiendo el vector $\frac{e_1}{||e_1||}$ y posiblemente permutando la base ortonormal resultante $\{\frac{e_1}{||e_1||},e_2,\dots ,e_n\}$ de $V$ obtenemos una base ortonormal tal que la matriz asociada a $T$ con respecto a esta base es de la forma \eqref{forma}.

Ahora supongamos que $T$ no tiene valores propios reales. El primer lema nos dice que podemos encontrar un subespacio de dimensión $2$ estable bajo $T$. Como $T$ es ortogonal, el espacio $W^\bot$ también es estable bajo $T$, y las restricciones de $T$ a $W$ y $W^\bot$ son transformaciones otogonales sobre estos espacios. Por hipótesis inductiva, $W^\bot$ tiene una base ortonormal $\{e_3,\dots,e_n\}$ tal que la matriz asociada a $T|_{W^\bot}$ con respecto a esta base es una matriz diagonal de bloques de la forma $R_{\theta_i}$. Por el segundo lema, el subespacio $W$ tiene una base ortonormla $\{e_1,e_2\}$ tal que la matriz asociada a $T|_W$ con respecto a esta base es de la forma $R_\theta$. Entonces la matriz asociada a $T$ con respecto a la base $\{e_1,\dots, e_n\}$ es de la forma \eqref{forma}, con lo cual conlcuimos con la prueba deseada.

$\square$

También podemos enunciar el teorema anterior en términos de matrices:

Corolario. Sea $A\in M_n(\mathbb{R})$ una matriz ortogonal. Entonces existen enteros $p,q,k$ que satisfacen $p+q+2k=n$, una matriz ortogonal $P\in M_n(\mathbb{R})$ y números reales $\theta_1,\dots , \theta_n$ tales que
$$A=P^{-1}\begin{pmatrix}
I_p & 0 & 0 & \dots & 0\\
0 & -I_q & 0 & \dots & 0\\
0 & 0 & R_{\theta_1} & \dots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 &\dots & R_{\theta_k}
\end{pmatrix}P.$$

Observación. El determinante de la matriz
$$\begin{pmatrix}
I_p & 0 & 0 & \dots & 0\\
0 & -I_q & 0 & \dots & 0\\
0 & 0 & R_{\theta_1} & \dots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 &\dots & R_{\theta_k}
\end{pmatrix}$$
es $(-1)^q\in\{1,-1\}$, como $\det R_{\theta_i}=1$ para $1\leq i\leq k$. Se sigue que $$\det T\in\{-1,1\}$$ para cualquier $T\in O(V)$.

Más adelante…

Por lo platicado en esta entrada, ya podemos decir como es cualquier transformación ortogonal, y no es tan complicado: simplemente en alguna base apropiada, se rota en pares de coordenadas, o bien se refleja en coordenadas, o bien no se hace nada en alguna coordenada (o una combinación de estas cosas). Todo esto intuitivamente deja fijas las normas y el teorema de clasificación nos dice que si se fijan normas entonces debe ser así. Por ello, podemos pensar a las transformaciones ortonormales como «sencillas» o por lo menos «entendibles».

Aprovecharemos esto en el siguiente tema, pues enunciaremos el teorema espectral real, que nos dice que las transformaciones simétricas se entienden muy bien a partir de las ortogonales y de las diagonales. Así, las transformaciones simétricas también serán «entendibles». Finalmente, con el teorema de descomposición polar llevaremos este entendimiento a todas, todas las matrices.

Tarea moral

1. Sea $V$ un espacio euclidiano y $T:V\to V$ una transformación lineal. Demuestra que $T$ es ortogonal si y sólo si $||T(x)||=||x||$ siempre que $||x||=1$.
2. Encuentra la matriz de rotación de ángulo $\frac{\pi}{3}$ alrededor de la recta generada por el vector $(1,1,1)$.
3. Describe todas las matrices en $M_3(\mathbb{R})$ que son simultaneamente ortogonales y diagonales.

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