Introducción
Ya definimos a los determinantes para vectores, para transformaciones y para matrices. Además, mostramos algunas propiedades básicas de determinantes y las usamos para resolver varios problemas. Como hemos discutido, los determinantes guardan información importante sobre una transformación lineal o sobre una matriz. También ayudan a implementar la técnica de diagonalización la cual introdujimos hace algunas entradas y en la cual profundizaremos después. Es por esta razón que es importante tener varias técnicas para el cálculo de determinantes.
Fuera de este curso, los determinantes sirven en muchas otras áreas de las matemáticas. Cuando se hace cálculo de varias variables ayudan a enunciar el teorema del cambio de variable. En combinatoria ayudan a calcular el número de árboles generadores de una gráfica. Más adelante en tu formación matemática es probable que te encuentres con otros ejemplos.
Calculo de determinantes de 
Como ya discutimos anteriormente, una matriz en , digamos
tiene determinante
.
Problema. Calcula el determinante de la matriz
Solución. Por la fórmula para el determinante de las matrices de , se tiene que
Como el determinante es multiplicativo, , e inductivamente se puede mostrar que para todo entero positivo
se tiene que
. De esta forma, el determinante que buscamos es
.
Observa que hubiera tomado más trabajo elevar la matriz a la octava potencia. Aunque esto usualmente no es recomendable, en este problema hay algo interesante que sucede con esta matriz. Llamémosla . Haciendo las cuentas para las primeras potencias, se tiene que
Aquí aparece la sucesión de Fibonacci, dada por ,
y
para
, cuyos primeros términos son
Así, por un lado el determinante de la matriz es
, usando la fórmula de determinante de
. Por otro lado, es
, por el argumento del problema. Con esto hemos demostrado que para cualquier entero
tenemos la siguiente identidad para los números de Fibonacci:
Cálculo de determinantes de 
Para calcular el determinante de una matriz en por definición, digamos de
, tenemos que hacer una suma de
términos. Si se hacen las cuentas de manera explícita, el valor que se obtiene es
Esto se puede recordar mediante el siguiente diagrama, en el cual se ponen la primera y la segunda columna de nuevo, a la derecha. Las diagonales hacia abajo son términos positivos y las diagonales hacia arriba son términos negativos.


Veamos un ejemplo de un problema en el que se puede aprovechar esta técnica.
Problema. Determina para qué reales se tiene que los vectores
,
y
son una base de
.
Solución. Para que estos vectores sean una base de , basta con que sean linealmente independientes, pues son
. Como hemos visto en entradas anteriores, para que sean linealmente independientes, es necesario y suficiente que el determinante de la matriz
sea distinto de cero.
Usando la técnica de arriba, hacemos siguiente diagrama:

De aquí, vemos que el determinante es



Ten mucho cuidado. Esta técnica no funciona para matrices de o más. Hay una forma sencilla de convencerse de ello. Por ejemplo, el determinante de una matriz de
debe tener
sumandos. Si intentamos copiar la técnica de arriba, tendremos solamente
sumandos (
en una diagonal y
en otra). Para cuando tenemos matrices de
o más, tenemos que recurrir a otras técnicas.
Reducción gaussiana para determinantes
Cuando vimos el tema de sistemas de ecuaciones hablamos del algoritmo de reducción gaussiana, y vimos que este siempre lleva una matriz en a su forma escalonada reducida mediante operaciones elementales. Cuando aplicamos el algoritmo a matrices en
, siempre llegamos a una matriz triangular, en donde sabemos fácilmente calcular el determinante: es simplemente el producto de las entradas en la diagonal. Nota cómo lo anterior también se cumple para las matrices diagonales, pues son un caso particular de matrices triangulares.
Por esta razón, es fundamental para el cálculo de determinantes saber qué le hacen las operaciones elementales al determinante de una matriz.
Teorema. Las operaciones elementales tienen el siguiente efecto en el determinante de una matriz :
- Si todos los elementos de un renglón o columna de
se multiplican por
, entonces el determinante se multiplica por
.
- Cuando se intercambian dos renglones o columnas de
, el determinante se multiplica por
.
- Si a un renglón de
se le suma un múltiplo escalar de otro renglón, entonces el determinante no cambia. Sucede algo análogo para columnas.
Demostración. El punto ya lo demostramos en la entrada anterior, en donde vimos que el determinante es homogéneo.
Para los puntos y
, usemos que si
es la base canónica de
, el determinante de una matriz con renglones
es
Intercambiar los renglones y
es hacer
para la transposición
que intercambia
y
. Como el determinante es antisimétrico y
tiene signo
, obtenemos la conclusión.
Hagamos ahora el tercer punto. Tomemos y un escalar
. Si al
-ésimo renglón de
le sumamos
veces el
-ésimo renglón de
, esto es lo mismo que multiplicar a
por la izquierda por la matriz
que tiene unos en la diagonal y
en la entrada
. La matriz
es triangular, de modo que su determinante es el producto de las entradas, que es
. De esta forma,
Así, una estrategia para calcular el determinante de una matriz es hacer reducción gaussiana hasta llegar a una matriz diagonal (incluso es suficiente que sea triangular superior) de determinante . Si en el camino se hicieron
intercambios de renglones y se multiplicaron los renglones por escalares
, entonces el determinante de
será
Otras propiedades para calcular determinantes
Aquí recolectamos otras propiedades de determinantes que pueden ayudar a calcularlos. Ya mostramos todas ellas, salvo la número . Esta la mostramos después de la lista.
- Si se descompone una columna de una matriz como suma de dos columnas, entonces el determinantes es la suma de los determinantes en los que ponemos cada columna en vez de la original.
- Si
es una matriz en
, entonces el determinante de la matriz conjugada
es el conjugado del determinante de
.
- El determinante es multiplicativo.
- Si
es una matriz en
, el determinante de
es
veces el determinante de
.
- El determinante de una matriz triangular es el producto de sus entradas en la diagonal.
- El determinante de una matriz invertible es el inverso multiplicativo del determinante de la matriz.
- Una matriz tiene el mismo determinante que su transpuesta.
Proposición. Si es una matriz en
, entonces el determinante de la matriz conjugada
es el conjugado del determinante de
.
Demostración. La conjugación compleja abre sumas y productos. Aplicando esto repetidas veces obtenemos la siguiente cadena de igualdades:
Hay una última técnica que es fundamental para el cálculo de determinantes: la expansión de Laplace. En algunos textos incluso se usa para definir el determinante. Probablemente la conoces: es la que consiste en hacer el determinante «con respecto a una fila o columna» y proceder de manera recursiva. Hablaremos de ella más adelante y veremos por qué funciona.
Dos problemas de cálculo de determinantes
Problema. Considera la matriz
Solución. Hagamos primero el determinante de la matriz . Para ello, haremos operaciones elementales como sigue
En el primer paso sumamos veces el primer renglón al último. Luego, sumamos
veces el segundo renglón al último. Finalmente, sumamos
veces el tercer renglón al último. De esta forma, nunca cambiamos el determinante de la matriz. Así, del determinante de
es el mismo que el de la matriz final, que por ser triangular superior es el producto de las entradas en su diagonal. De este modo,
El determinante de una matriz es igual al de su transpuesta, así que . El determinante
es el inverso multiplicativo de
, así que es
.
Como el determinante es multiplicativo,
Finalmente, usando que el determinante es homogéneo y que estamos en , tenemos que
Problema. Sean números complejos. Calculando el determinante de la matriz

Solución. Usando la técnica para determinantes de tenemos que por un lado,
Por otro lado, el determinante no cambia si al primer renglón le sumamos los otros dos, así que el determinante de también es

Aplicando de nuevo la fórmula de determinantes de , tenemos que
Concluimos entonces que

Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- Sea
un número real. Encuentra el determinante de la matriz
- Determina para qué valores de
la matriz
- Encuentra el determinante de la matriz
- Sea
un número complejo. Muestra que el determinante de la matriz
. Sugerencia. Hay una solución simple, factorizando a la matriz como el producto de dos matrices triangulares, una superior y una inferior, una transpuesta de la otra.
- Muestra que si
, entonces
es la sucesión de Fibonacci. Muestra que para los números de Fibonacci se satisface que
Más adelante…
En esta entrada vimos varias formas para calcular el determinante de una matriz. Cuando nos enfrentemos con un problema que requiere el cálculo de un determinante, tenemos que elegir la que más nos convenga (o la que requiera menos pasos). La mejor forma de desarrollar un poco de «intuición» al momento de elegir el mejor método para calcular determinantes es haciendo ejercicios.
A continuación pondremos en práctica lo que aprendimos en esta entrada haciendo varios ejercicios de cálculo de determinantes.
Entradas relacionadas
- Ir a Álgebra Lineal I
- Entrada anterior del curso: Problemas de definición y propiedades de determinantes
- Siguiente entrada del curso: Problemas de cálculo de determinantes
Creo que falta la palabra «determinante» en el punto 6 de la sección «otras propiedades para calcular determinantes»
Agregado, gracias.
Hola.
En el penúltimo problema donde se calcula det(-2A) hay un error al evaluar (-2)^4 debería ser 16.
Hola Daniela, gracias por el comentario. Ya quedó la corrección.
En el problema donde se calculan una lista de determinantes en relación a la matriz A… en la expresión:
detA=5x1x5x189 el último termino debe ser 1/189
Hola Juan Pablo,
La última debe ser 189/25.