Álgebra Lineal II: Transformaciones lineales simétricas, antisimétricas y normales

Introducción

A partir de la noción de adjunción que definimos en la entrada anterior, es posible definir ciertos tipos especiales de transformaciones lineales.

Primero veremos las transformaciones lineales simétricas y antisimétricas. Estos nombres quizás te recuerden a las matrices simétricas y antisimétricas. Existe una relación importante entre ambos conceptos, aunque no es tan directo enunciarla. Veremos esto con calma.

Después, hablaremos de las transformaciones normales. Este tipo de transformaciones están motivadas por la pregunta de qué sucede cuando una transformación conmuta con su adjunta. Definiremos esto de manera adecuada y demostraremos algunas propiedades que cumplen las transformaciones normales.

En esta entrada $V$ es un espacio euclidiano. En particular, estaremos trabajando únicamente en espacios vectoriales sobre los reales. Más adelante discutiremos los análogos complejos de los resultados que veremos.

Tranformaciones simétricas y antisimétricas

Definición. Sea $(V,\langle , \rangle)$ un espacio euclidiano de dimensión finita. Decimos que una transformación $T:V\to V$ es simétrica o auto-adjunta si $T^*=T$ y que es alternante o anti-simétrica si $T^*=-T$.

Tal vez estos nombres te parezcan familiares. El siguiente problema nos ayudará a explicar la relación entre las transformaciones simétricas y las matrices que llevan el mismo nombre. Lo mismo para las anti-simétricas.

Problema. Demuestra que cualesquiera dos eigenespacios distintos de una transformación lineal simétrica son ortogonales.

Solución. Sean $t_1,t_2$ dos eigenvalores distintos de $T$ y sean $x,y\in V\backslash\{0\}$ los correspondientes eigevectores. Como $T$ es simétrica, tenemos que
\begin{align*}
\langle T(x),y\rangle &=\langle x,T(y)\rangle\\
t_1\langle x,y \rangle &= t_2\langle x,y \rangle .
\end{align*}
Como por hipótesis $t_1\neq t_2$, entonces necesariamente $\langle x,y \rangle=0$. Se concluye el resultado deseado.

Transformaciones normales

Definición. Sea $V$ un espacio euclidiano y $T:V\to V$ una transformación lineal. Diremos que $T$ es normal si $T$ conmuta con su transformación adjunta, es decir, si $$TT^*=T^*T.$$
Similarmente, diremos que una matriz $A\in M_n(F)$ (con $F=\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$) es normal si $$AA^*=A^*A.$$

Problema. Sea $T$ una transformación lineal sobre un espacio euclidiano $V$. Demuestra que los siguientes incisos son equivalentes:

  1. $||T(x)||=||T^*(x)||$ para todo $x\in V$.
  2. $\langle T(x),T(y)\rangle=\langle T^*(x),T^*(y) \rangle$.
  3. $T$ es normal.

Solución. Supongamos que 1. es cierto. Usando la identidad de polarización dos veces y la linealidad de $T$ y $T^*$ obtenemos
\begin{align*}
\langle T(x),T(y) \rangle &=\frac{||T(x+y)||^2-||T(x)||^2-||T(y)||^2}{2}\\
&=\frac{||T(x+y)^*||^2-||T(x)^*||^2-||T(y)^*||^2}{2}\\
&=\langle T(x)^*,T(y)^* \rangle.
\end{align*} lo cual prueba el inciso 2.

Supongamos ahora que 2. es cierto. Entonces para cualesquiera $x,y\in V$ se tiene que
\begin{align*}
\langle (T\circ T^* – T^*\circ T)(x), y \rangle &=\langle T(T^*(x)),y\rangle- \langle T^*(T(x)) ,y\rangle \\
&=\langle T^*(x),T^*(y) \rangle – \langle y,T^*(T(x))\rangle\\
&=\langle T(x),T(y) \rangle – \langle T(y),T(x)\rangle =0.
\end{align*}
De manera que $(T\circ T^*-T^*\circ T)(x)=0$ para cualquier $x\in V$, y así $T$ conmuta con $T^*$.

Finalemente, supongamos que 3. es cierto. Entonces
\begin{align*}
||T(x)||^2&=\langle T(x),T(x)\rangle\\
&=\langle T(x),T(x)\rangle\\
&=\langle x,T^*(T(x))\rangle \\
&= \langle T(T^*(x)),x \rangle\\
&=\langle T^*(x),T^*(x) \rangle = ||T^*(x)||^2,
\end{align*}
y por lo tanto $||T(x)||=||T^*(x)||$ para todo $x\in V$, lo que prueba el inciso 1.

$\square$

Recordatorio. Sea $V$ un espacio euclidiano de dimensión finita con una base ortonormal $\beta=\{v_1,v_2,\dots, v_n\}$. Sea $T:V\to V$ una transformación lineal y $A$ la matriz asociada a $T$ con respecto a $\beta$. entonces para cualesquiera $i,j\in [1,n]$, $$A_{ij}=\langle T(v_j),v_i \rangle.$$

Teorema. Sea $V$ un $\mathbb{C}$-espacio euclidiano de dimensión finita y $T:V\to V$ una transformación lineal. Entonces $T$ es normal si y sólo si existe una base ortonormal de $V$ formada por vectores propios de $T$.

Demostración. Supongamos que $T$ es normal, por el teorema fundamental del álgebra, tenemos que el polinomio caracterísitco de $T$ se divide. Por lo tanto podemos aplicar el teorema de Schur para obtener una base ortonormal $\beta=\{v_1,v_2, \dots , v_n\}$ para $V$ tal que si $A$ es la matriz asociada a $T$ con respecto a $\beta$, entonces $A$ es triangular superior. Sabemos que $v_1$ es un vector propio de $T$ ya que $A$ es triangular superior. Supongamos que $v_2,\dots,v_{k-1}$ también son vectores propios de $T$. Afirmamos que $v_k$ también es vector propio de $T$. por inducción sobre $K$, se sigue que todos los $v_i$’s son vectores propios de $T$.
Sea $j<k$ y $t_j$ el valor propio asociado a $v_j$. Por el teorema anterior, $T^*(v_j)=\overline{t_j}v_j$. como $A$ es triangular superior,
$$T(v_k)=A_{1k}v_1+A_{2k}v_2+\dots + A_{jk}v_j+\dots+A_{kk}v_k.$$

Más aún, por el recordatorio se tiene que
$$A_{jk}=\langle T(v_k),v_j \rangle=\langle v_k,T^*(v_j) \rangle= \langle v_k, \overline{t_j}v_j \rangle=t_j\langle v_k,v_j \rangle=0.$$
Se sigue que $T(v_k)=A_{kk}v_k$ y por lo tanto $v_k$ es un eigenvector de $T$. por inducción, todos los vectores de $\beta$ son vectores propios de $T$.

Supongamos ahora que existe una base ortonormal de $V$ formada por vectores propios de $T$. Entonces la matriz asociada a $T$ con respecto a esa base, digamos $A$, es diagonal. Entonces la matriz asociada a $T^*$ con respecto a esa base también es diagonal. Como las matrices diagonales conmutan, entonces $T$ y $T^*$ también conmutan. Se concluye el resultado deseado.

$\square$

Más adelante…

Tarea moral

  1. Sea $T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ un rotación de ángulo $\theta\in(0,\pi)$. La representación matricial de $T$ en la base canónica está dada por
    $$\begin{pmatrix}
    \cos\theta &-\sin\theta\\
    \sin\theta &\cos\theta
    \end{pmatrix}.$$ Verifica que $T$ es normal.
  2. Sea $A\in M_n(\mathbb{R})$ una matriz anti-simétrica. Verifica que $A$ es normal.
  3. Sea $V$ un espacio euclidiano sobre un campo $F=\mathbb{C}$ o $\mathbb{R}$ y $T:V\to V$ una transformación lineal normal. Prueba que $T-cI$ es normal $\forall c\in F$.

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5 comentarios en “Álgebra Lineal II: Transformaciones lineales simétricas, antisimétricas y normales

  1. Rodrigo Seels

    Buen día:

    Casi al final de la entrada se encuentra el siguiente recordatorio:

    «Recordatorio. Sea V un espacio euclidiano de dimensión finita con una base ortonormal β={v1,v2,…,vn}. Sea T:V→V una transformación lineal y A la matriz asociada a T con respecto a β. entonces para cualesquiera i,j∈[1,n], Aij=»

    ¿Por qué esto es verdad? No recuerdo haberlo visto antes.

    Un saludo.

    Responder
  2. Rodrigo Seels

    Hola:

    Al principio de la demostración del último teorema de la entrada se dice: «Supongamos que T es normal, por el teorema fundamental del álgebra, tenemos que el polinomio característico de se divide. Por lo tanto podemos aplicar el teorema de Schur para obtener una base ortonormal b={v1,…,vn} para V tal que si A es la matriz asociada a T con respecto a b, entonces A es triangular superior.» ¿Por qué sabemos que la matriz triangular superior está asociada T respecto a esa base?

    Gracias.

    Responder
    1. Ayax Calderón Autor

      Hola Rodrigo,

      Eso es precisamente lo que dice el teorema de Schur para operadores lineales. Lo puedes revisar en la página 370 del libro de Stephen Friedberg.

      Responder
  3. Sebastian

    Hola, en el ultimo teorema no debería ser vk, en en lugar v1, v2, …, vk, cuando descomponemos a T(), pues T(vk) es la k-esima columna de la matriz A?

    Responder

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