Álgebra lineal II: Transformaciones lineales normales

Introducción.

Siguiendo con el hilo de la entrada anterior, en esta ocasión estudiaremos las transformaciones lineales normales, algunas de sus propiedades más importantes. En entradas anteriores hemos visto la importancia de los operadores lineales diagonalizables. Para estos operadores, es necesario y suficiente que el espacio vectorial $V$ posea una base de vectores propios. En esta entrada $V$ es un espacio euclidiano, así que es natural buscar condiciones que nos garanticen qu $V$ tiene una base ortogonormal de vectores propios.

Definición. Sea $V$ un espacio euclidiano y $T:V\to V$ una transformación lineal. Diremos que $T$ es normal si $T$ conmuta con su transformación adjunta, es decir, si $$TT^*=T^*T.$$
Similarmente, diremos que una matriz $A\in M_n(F)$ (con $F=\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$) es normal si $$AA^*=A^*A.$$

Problema. Sea $T$ una transformación lineal sobre un espacio euclidiano $V$. Demuestra que los siguientes incisos son equivalentes:

  1. $||T(x)||=||T^*(x)||$ para todo $x\in V$.
  2. $\langle T(x),T(y)\rangle=\langle T^*(x),T^*(y) \rangle$.
  3. $T$ es normal.

Solución. Supongamos que 1. es cierto. Usando la identidad de polarización dos veces y la linealidad de $T$ y $T^*$ obtenemos
\begin{align*}
\langle T(x),T(y) \rangle &=\frac{||T(x+y)||^2-||T(x)||^2-||T(y)||^2}{2}\\
&=\frac{||T(x+y)^*||^2-||T(x)^*||^2-||T(y)^*||^2}{2}\\
&=\langle T(x)^*,T(y)^* \rangle.
\end{align*} lo cual prueba el inciso 2.

Supongamos ahora que 2. es cierto. Entonces para cualesquiera $x,y\in V$ se tiene que
\begin{align*}
\langle (T\circ T^* – T^*\circ T)(x), y \rangle &=\langle T(T^*(x)),y\rangle- \langle T^*(T(x)) ,y\rangle \\
&=\langle T^*(x),T^*(y) \rangle – \langle y,T^*(T(x))\rangle\\
&=\langle T(x),T(y) \rangle – \langle T(y),T(x)\rangle =0.
\end{align*}
De manera que $(T\circ T^*-T^*\circ T)(x)=0$ para cualquier $x\in V$, y así $T$ conmuta con $T^*$.

Finalemente, supongamos que 3. es cierto. Entonces
\begin{align*}
||T(x)||^2&=\langle T(x),T(x)\rangle\\
&=\langle T(x),T(x)\rangle\\
&=\langle x,T^*(T(x))\rangle \\
&= \langle T(T^*(x)),x \rangle\\
&=\langle T^*(x),T^*(x) \rangle = ||T^*(x)||^2,
\end{align*}
y por lo tanto $||T(x)||=||T^*(x)||$ para todo $x\in V$, lo que prueba el inciso 1.

$\square$

Teorema. Sea $V$ un espacio euclidiano y $T:V\to V$ una transformación lineal normal. Si $x$ es un vector propio de $T$, entonces $x$ también es un vector propio de $T^*$. De hecho, si $T(x)=tx$, entonces $T^*(x)=\overline{t}x$.

Demostración. Supongamos que $T(x)=tx$ para algún $x\in V$. Ddenotemos $U:= T-tI$. Entonces $U(x)=0$ y $U$ es normal (ver Tarea moral). Del teorema anterior se sigue que
$$0=||U(x)||=||U^*(x)||=||(T^*-\overline{t}I)(x)||=||T^*(x)-\overline{t}x||.$$

Por lo tanto, $T^*(x)=\overline{t}x$. Es decir, $x$ es un vector propio de $T^*$.

$\square$

Teorema. Sea $V$ un espacio euclidiano y $T:V\to V$ una transformación lineal normal. Si $t_1$ y $t_2$ son valores propios de $T$, distintos, con vectores propios $x_1$ y $x_2$, respectivamente. Entonces $\langle x_1,x_2\rangle =0.$

Demostración. Por el teorema anterior se tiene que
\begin{align*}
t_1\langle x_1,x_2 \rangle &=\langle t_1x_1,x_2 \rangle\\
&=\langle T(x_1),x_2 \rangle\\
&=\langle x_1,T^*(x_2)\rangle\\
&=\langle x_1,\overline{t_2}x_2 \rangle=t_2\langle x_1,x_2 \rangle. \end{align*}

Como $t_1\neq t_2$, entonces $\langle x_1,x_2\rangle=0$.

$\square$

Recordatorio. Sea $V$ un espacio euclidiano de dimensión finita con una base ortonormal $\beta=\{v_1,v_2,\dots, v_n\}$. Sea $T:V\to V$ una transformación lineal y $A$ la matriz asociada a $T$ con respecto a $\beta$. entonces para cualesquiera $i,j\in [1,n]$, $$A_{ij}=\langle T(v_j),v_i \rangle.$$

Teorema. Sea $V$ un $\mathbb{C}$-espacio euclidiano de dimensión finita y $T:V\to V$ una transformación lineal. Entonces $T$ es normal si y sólo si existe una base ortonormal de $V$ formada por vectores propios de $T$.

Demostración. Supongamos que $T$ es normal, por el teorema fundamental del álgebra, tenemos que el polinomio caracterísitco de $T$ se divide. Por lo tanto podemos aplicar el teorema de Schur para obtener una base ortonormal $\beta=\{v_1,v_2, \dots , v_n\}$ para $V$ tal que si $A$ es la matriz asociada a $T$ con respecto a $\beta$, entonces $A$ es triangular superior. Sabemos que $v_1$ es un vector propio de $T$ ya que $A$ es triangular superior. Supongamos que $v_2,\dots,v_{k-1}$ también son vectores propios de $T$. Afirmamos que $v_k$ también es vector propio de $T$. por inducción sobre $K$, se sigue que todos los $v_i$’s son vectores propios de $T$.
Sea $j<k$ y $t_j$ el valor propio asociado a $v_j$. Por el teorema anterior, $T^*(v_j)=\overline{t_j}v_j$. como $A$ es triangular superior,
$$T(v_k)=A_{1k}v_1+A_{2k}v_2+\dots + A_{jk}v_j+\dots+A_{kk}v_k.$$

Más aún, por el recordatorio se tiene que
$$A_{jk}=\langle T(v_k),v_j \rangle=\langle v_k,T^*(v_j) \rangle= \langle v_k, \overline{t_j}v_j \rangle=t_j\langle v_k,v_j \rangle=0.$$
Se sigue que $T(v_k)=A_{kk}v_k$ y por lo tanto $v_k$ es un eigenvector de $T$. por inducción, todos los vectores de $\beta$ son vectores propios de $T$.

Supongamos ahora que existe una base ortonormal de $V$ formada por vectores propios de $T$. Entonces la matriz asociada a $T$ con respecto a esa base, digamos $A$, es diagonal. Entonces la matriz asociada a $T^*$ con respecto a esa base también es diagonal. Como las matrices diagonales conmutan, entonces $T$ y $T^*$ también conmutan. Se concluye el resultado deseado.

$\square$

Tarea moral

  • Sea $T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ un rotación de ángulo $\theta\in(0,\pi)$. La representación matricial de $T$ en la base canónica está dada por
    $$\begin{pmatrix}
    \cos\theta &-\sin\theta\\
    \sin\theta &\cos\theta
    \end{pmatrix}.$$ Verifica que $T$ es normal.
  • Sea $A\in M_n(\mathbb{R})$ una matriz anti-simétrica. Verifica que $A$ es normal.
  • Sea $V$ un espacio euclidiano sobre un campo $F=\mathbb{C}$ o $\mathbb{R}$ y $T:V\to V$ una transformación lineal normal. Prueba que $T-cI$ es normal $\forall c\in F$.

5 comentarios en “Álgebra lineal II: Transformaciones lineales normales

  1. Rodrigo Seels

    Buen día:

    Casi al final de la entrada se encuentra el siguiente recordatorio:

    «Recordatorio. Sea V un espacio euclidiano de dimensión finita con una base ortonormal β={v1,v2,…,vn}. Sea T:V→V una transformación lineal y A la matriz asociada a T con respecto a β. entonces para cualesquiera i,j∈[1,n], Aij=»

    ¿Por qué esto es verdad? No recuerdo haberlo visto antes.

    Un saludo.

    Responder
  2. Rodrigo Seels

    Hola:

    Al principio de la demostración del último teorema de la entrada se dice: «Supongamos que T es normal, por el teorema fundamental del álgebra, tenemos que el polinomio característico de se divide. Por lo tanto podemos aplicar el teorema de Schur para obtener una base ortonormal b={v1,…,vn} para V tal que si A es la matriz asociada a T con respecto a b, entonces A es triangular superior.» ¿Por qué sabemos que la matriz triangular superior está asociada T respecto a esa base?

    Gracias.

    Responder
    1. Ayax Calderón Autor

      Hola Rodrigo,

      Eso es precisamente lo que dice el teorema de Schur para operadores lineales. Lo puedes revisar en la página 370 del libro de Stephen Friedberg.

      Responder
  3. Sebastian

    Hola, en el ultimo teorema no debería ser vk, en en lugar v1, v2, …, vk, cuando descomponemos a T(), pues T(vk) es la k-esima columna de la matriz A?

    Responder

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