Geometría Analítica I: Introducción a transformaciones

Introducción

Hasta ahora hemos aprendido nuevos conceptos geométricos euclidianos desde producto interior y ortogonal, normas y ángulos entre vectores hasta distancias. Pero también hemos trabajado implícitamente con diversos tipos de funciones, como son las rectas o las cónicas. Las funciones participan en todas las ramas matemáticas e incluso en muchas disciplinas científicas y sociales, por lo que al principio de la unidad brindaremos las nociones de funciones necesarias que les permitirán asimilar de mejor manera los temas que hemos visto y avanzar a los temas esenciales de ésta unidad, los cuales son Transformaciones y Matrices.

Comenzaremos con el tema de transformaciones y vamos a llamar transformación en el plano a toda función que hará corresponder a cada punto del plano otro punto del mismo; es decir, las transformaciones son operaciones geométricas que nos permiten deducir una nueva figura a partir de una que previamente tenemos. La nueva figura se llama transformada de la original.

Podemos dar un primer escenario de la clasificación de transformaciones que veremos:

  • Isometrías: Son cambios de posición (orientación) de una determinada figura que no alteran la forma ni tamaño de ésta. Como ejemplos en este rubro tenemos las traslaciones, las rotaciones o las reflexiones (simetrías).

En la imagen tenemos el caso de una transformación de reflexión (o simetría) con respecto al eje $x=0$. Observemos que cada punto de la figura original y la imagen de cada uno de ellos bajo la reflexión se encuentran a igual distancia de una recta llamada eje de simetría.

  • Isomorfismos: Son cambios en una figura determinada que no alteran la forma pero sí el tamaño de ésta. Entre ellas tenemos a las homotecias y las semejanzas.

La imagen muestra un ejemplo de homotecia, la cual es una transformación del espacio (en este caso el plano) que dilata las distancias con respecto a un punto de origen $O$.

  • Composición de transformaciones: Es el proceso por el cual a una figura se le aplican dos o más transformaciones y éstas transformaciones pueden ser de diferente tipo. Veremos el caso de transformaciones afines.
  • Transformaciones ortogonales: Como las longitudes de vectores y ángulos entre ellos se definen mediante el producto interior; éste tipo de transformaciones preservan las longitudes de los vectores y los ángulos entre ellos.

Tarea moral:

Las gráficas de las funciones senoidales son contracciones y/o dilataciones de las gráficas del seno y el coseno.

\begin{align*}
y &= A sen(Bx + C) + D, & y &= Acos(Bx + C) + D,
\end{align*}

donde $|A|$ representa la amplitud y $|B|$ a la cantidad de veces que se repite un ciclo en el intervalo desde $0$ hasta $2 \pi$. Por otro lado $C$ determina el desplazamiento horizontal de las gráficas y $D$ el desplazamiento vertical de las gráficas. Además, $\dfrac{2 \pi}{|B|}$ es el periodo de la función y nos indica la la longitud de un ciclo.

Ejercicio 1. Identificar la amplitud, el periodo y graficar las funciones:

  • $y = 3 sen (2x),$
  • $y = 2 cos (x),$
  • $y = 2 + sen(x)$
  • $y = \dfrac{1}{2} sen \left( \dfrac{1}{2} x \right)$

Ejercicio 2. Grafiquen las siguientes funciones y analicen el efecto de las constantes con respecto a las gráficas del seno y coseno.

  • $y = sen(x + \pi)$
  • $y = cos(x+2) + 3$

Más adelante:

La tarea moral tiene un propósito, y es que recordemos cómo una función se ve afectada al variar parámetros específicos. Con ello podremos darnos cuenta que no estamos tan enajenados al tema de transformación de funciones que estaremos trabajando en esta unidad.

En la siguiente entrada repasaremos las nociones necesarias de funciones que nos permitirán definir formalmente el concepto de transformaciones y tratar posteriormente con su clasificación.

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