Introducción
Varios de los resultados fundamentales de Álgebra Lineal se obtienen al combinar las idea de transformaciones lineales con la de polinomios. El objetivo de esta entrada es introducir el concepto de «aplicar polinomios a matrices» o equivalentemente «aplicar polinomios a transformaciones lineales». La idea fundamental es simple: las potencias en los polinomios se convierten en repetidas aplicaciones de la transformación y las constantes en múltiplos de la identidad. Si bien esta idea es simple, más adelante veremos aplicaciones importantes y con un gran alcance. Uno de los resultados cruciales que surge de esta idea es el conocido teorema de Cayley-Hamilton.
Primeras construcciones
Sea un espacio vectorial sobre un campo
, y sea
una transformación lineal. Definimos a la transformación
para cualquier
inductivamente a través de
donde, recordamos, es la transformación identidad. Intuitivamente,
es la «
-ésima composición» de
. Por ejemplo,
no es más que
y
es simplemente «no usar
para nada», es decir,
. Al componer iteradamente
, sigue siendo una transformación lineal de
a
, así que
es transformación lineal de
a
para todo entero
.
Ya que hablamos de «potencias» de una transformación lineal, podemos rápidamente hacer sentido de un «polinomio evaluado en una transformación lineal». Si

Como las transformaciones lineales de a
son cerradas bajo combinaciones lineales, entonces
también es una transformación lineal de
a
.
Ejemplo. Tomemos a la transformación dada por
. Tomemos al polinomio
. ¿Quién es la transformación
? Calculemos primero las «potencias» de
:
Ahora sí, ya podemos saber qué hace . Tenemos:
Sumas y productos de polinomios
Las operaciones suma y producto de polinomios se traducen, respectivamente, a suma y composición de las evaluaciones en transformaciones lineales. Esta es una linda propiedad que podemos hacer precisa gracias a la siguiente proposición.
Proposición. Si son dos polinomios y
es una transformación lineal, entonces
,
.
Te invitamos a demostrar esta proposición. Advertimos que, sin embargo, no se cumplen identidades como


Dejamos como ejercicio el verificar que la segunda identidad tampoco es cierta en general. Fijando , podemos juntar a todas las transformaciones de la forma
para algún
en la siguiente estructura.
Definición. La -álgebra generada por la transformación
es el conjunto
Una consecuencia de la proposición anterior (es más, ¡una mera traducción!) es la siguiente.
Proposición. Para cualesquiera y
se cumple que
y
Es decir,
es un subespacio del espacio de todas las transformaciones lineales de
en
que además es estable bajo composición.
También puedes verificar que es el subespacio más chico (en el sentido de contención) del espacio de transformaciones lineales en
que contiene a
, a
y que es cerrado bajo composiciones.
Lo mismo pero con matrices
Desde Álgebra Lineal I sabemos que una transformación lineal se corresponde de manera biunívoca (fijando una base) con una matriz. Nuestra discusión previa se puede adaptar a este vocabulario, y eso es lo que haremos ahora.
Si es una matriz cuadrada de orden
con coeficientes en
, podemos entender a
simplemente como el
-ésimo producto de
consigo misma. Luego si
Se cumple que para cualesquiera polinomios
y cualquier matriz
. Similarmente el álgebra generada por
se define como
y es un subespacio de que es cerrado bajo producto de matrices.
Ejemplo. Consideremos la matriz . Consideremos el polinomio
. ¿Quién es la matriz
? Usando la definición, primero nos enfocaremos en encontrar las potencias de
. Puedes verificar por tu cuenta que:
De esta manera,
Este ejemplo se parece mucho al ejemplo que hicimos cuando evaluamos un polinomio en una transformación . Esto no es casualidad, y se puede resumir en la siguiente observación.
Observación. Si es la matriz asociada a
en alguna base, entonces
es la matriz asociada a
en dicha base.
Unos problemas para calentar
A continuación veremos algunos unos cuantos problemas resueltos para que te familiarices con los conceptos que acabamos de ver de manera un poco más teórica.
Problema.
- Si
son matrices con
invertible, demuestra que para cualquier
se cumple
- Demuestra que si
son similares, entonces
y
son similares para cualquier
.
Solución.
- Primero supongamos que
para alguna
. Necesitamos demostrar que
, y esto lo podemos verificar sencillamente pues
donde usamos que. Más generalmente, si
entonces
que es lo que queríamos demostrar. - Como
y
son similares, existe
invertible tal que
. Por el inciso anterior tenemos
Así,y
son similares.
Problema. Considera la matriz
así como el polinomio . Calcula
.
Solución. Es cuestión de hacer los cálculos. Vemos que
y así
Problema. Si es simétrica, demuestra que
es simétrica para cualquier polinomio
.
Solución. La demostración se basa en los siguientes hechos:
- Si
y
son matrices simétricas y
es un escalar, entonces
es simétrica, puesto que
- Si
son simétricas, su producto es una matriz simétrica. De nuevo, basta con hacer el cálculo
- Usando el inciso anterior, se sigue que si
es simétrica, entonces
es simétrica para toda
. Además,
es simétrica y por el primer punto tenemos que toda combinación lineal de matrices simétricas es simétrica. En particular
es simétrica.
Problema. Sea el espacio vectorial de todas las funciones
infinitamente diferenciables. Sea
dada por
. ¿Puedes encontrar un polinomio
distinto de cero tal que
?
Solución. No es posible encontrar dicho polinomio. Suponiendo que sí, tendríamos que es una ecuación diferencial polinomial de orden
, es decir, a cada función la evaluamos en una combinación
donde es la
-ésima derivada. Si
es idénticamente cero, tenemos que toda función suave
satisface esta ecuación. En particular tenemos que la constante
la satisface. Así
y entonces
Concluimos que . Luego, si consideramos a la función identidad
entonces también se tiene que cumplir la ecuación (recordamos que ya eliminamos el término
). Así
donde usamos que y todas las derivadas de orden superior son cero. Continuando con este proceso (evaluando en
) llegamos a que todos los coeficientes
son cero. Esto quiere decir que el polinomio era nulo en primer lugar.
Más adelante
En entradas subsecuentes estudiaremos polinomios de matrices con propiedades especiales, como por ejemplo el polinomio mínimo, que se distinguen por sus deseables propiedades algebraicas. Este es el primer paso hacia el teorema de Cayley-Hamilton.
Tarea moral
Aquí hay unos ejercicios para que practiques lo visto en esta entrada.
- Compara el ejemplo que se dio de evaluar un polinomio en una transformación
con el de evaluar un polinomio en una matriz
. ¿Por qué se parecen tanto?
- Considera
el espacio vectorial de funciones
en el intervalo
y
a la transformación que manda una función a su derivada, es decir
. Encuentra un polinomio
tal que
sea la función cero.
- Demuestra que si
es una matriz diagonal,
también es diagonal.
- Si
y, calcula
.
- Generaliza el último problema de la entrada como sigue: Si
es un espacio vectorial y
es tal que existen elementos
con
que cumplen
y
para
, entonces no existe
no nulo tal que
sea cero.
Hola,
En Problemas para Calentar, el problema 2 usa el polinomio P(x)=x²+2x-1, pero en la solución al usar matrices se usa +Id, en vez del negativo correspondiente -Id. Esto cambia la solución, pero de otra manera esta bien.
Buen día.
Gracias por el comentario Antonio. Ya realizamos la corrección.
Hola, en el ejemplo de «primeras construcciones»
T^3(x,y) = (-2x-10y,7x-5y) y ahí está escrito al revés, entonces igual cambia un poquito las cuentitas para sacar p(T).
En la entrada de polinomio mínimo de transformaciones lineales , hacen referencia a esta entrada en un teorema, pero no veo en donde, y no se me ocurre como puedo resolverlo
Hola Sebastián. Ya vi a cuál te refieres. En realidad, no es consecuencia de algo de esta entrada de aquí, sino más bien de una cosa anterior en la teoría, que es resolver sistemas de ecuaciones con el teorema de Rouché-Capelli. La idea general es que el rango de una matriz es el mismo cuando la piensas con entradas en un campo, que en cualquier extensión del campo. La entrada que te servirá para entender esto mejor es la de acá: https://blog.nekomath.com/algebra-lineal-i-determinantes-en-sistemas-de-ecuaciones-lineales-y-regla-de-cramer/