Para esta entrada del blog haremos uso de las propiedades vistas en la entrada de propiedades de determinantes para facilitar las cuentas a la hora de calcular determinantes de matrices que un primera instancia podrían parecer complicadas. Asimismo, haciendo uso de estas propiedades, se demostrará el teorema de expansión de Laplace.
Problemas resueltos
Problema. Considera la siguiente matriz
y calcula .
Solución. Como el determinante es multiplicativo, sabemos que , por lo que nos bastará con calcular
.
Es fácil ver que
Así, .
Problema. Sea
- Muestra que si
entradas de
son iguales a
, entonces
.
- Muestra que se puede escoger
de tal manera que
tiene
entradas iguales.
- Muestra que si
entradas de
son iguales, entonces
.
Demostración.
- Afirmamos que la matriz
tiene una columna en la que todas las entradas son cero. Supongamos que cada columna de
tiene a los más
ceros, entonces la matriz
tiene a lo más
ceros, lo cuál contradice nuestra hipótesis, por lo tanto existe una columna en la cuál todas las entradas son iguales a cero. Por lo tanto
.
- Consideremos la matriz
dado por
si
y
si
. De esta manera nos aseguramos de que
entradas son iguales a
, pero
, pues si sustraemos el primer renglón de cada uno de los siguientes renglones obtenemos una matriz triangular superior con entradas diagonales distintas de cero, por lo que
.
- Si
tiene
entradas iguales (digamos a un número
), entonces
tiene a lo más
entradas distintas a
. Por lo tanto, a lo más
columnas de
contienen una entrada distinta de
, es decir, al menos dos columnas de
tienen todas sus entradas iguales a
, entonces
. Por consiguiente
.
Teorema de Expansión de Laplace
Sea una matriz y sea
el cofactor de
.
(a) (Expansión con respecto a una columna ) Para cada
tenemos
(b) (Expansión con respecto a una columna ). Para cada
tenemos
Demostración. (a) Tomemos fija , y sea
la base canónica de
y sea
las columnas de
, tales que
para toda
. Se sigue que
Nos falta ver que . Mediante una serie de
intercambios de columnas, podemos poner la
ésima columna del determinante
en la última posición, y mediante una sucesión de
intercambios de renglones podemos poner el
ésimo renglón en la última posición, lo que nos da
El último determinante es precisamente , y como
se sigue el resultado deseado.
(b) La prueba para este inciso se sigue del inciso anterior y tomando en cuenta que .
Problema 3. Sean ,
y . Calcula el determinante de la matriz
Solución. Note que , entonces
. Calculemos
Además notemos que
o bien, .
Así,
Entradas relacionadas
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- Entrada anterior del curso: Técnicas básicas de cálculo de determinantes
- Siguiente entrada del curso: Determinantes en sistemas de ecuaciones lineales y regla de Cramer
hola, dos preguntas, la primera es que no entendí el problema 2 y quería ver si podíamos platicarlo en la clase, y la segunda es que por qué en la demostracion de Laplace, cuando lo pasan a matriz la ultima columna es 0 y 1 gracias
Hola Vale. Sip, podemos verlos en clase ambos. Por favor, recuérdame y ponlo luego luego que llegues a la sesión, para que me acuerde y lo vea pronto. Para el problema 2, mientras tanto te voy recomendando que hagas un cuadrado de 4×4 en tu cuaderno y que intentes poner una tache en 13 de los cuadraditos sin que se ocupe totalmente ninguna columna. ¿Se puede? Y con 12 cuadraditos, ¿se puede? Esto es parte de la idea detrás del problema.
Hola.
En el primer problema, en la segunda igualdad… es 3-1-1=1
Va un 3 en lugar de un 2. (: