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Geometría Analítica I: Propiedades de círculos

Introducción

En la entrada anterior construimos un puente entre la intuición que tenemos de las circunferencias y el estudio formal que podemos hacer de ellas utilizando las herramientas de la geometría analítica. Ahora queremos ir más allá de las propiedades básicas del círculo, como lo son su centro y su radio, para abordar propiedades un poco más avanzadas; sus rectas tangentes y polares.

Veremos a lo largo de esta entrada cómo la ecuación vectorial de la circunferencia nos prueba su utilidad al abordar problemas geométricos tales como encontrar puntos de tangencia sobre una circunferencia, hacer demostraciones que involucren las secantes de un círculo, entre otros.

Líneas tangentes a un círculo

Antes de abordar el tema de las líneas tangentes a un círculo, mecionaremos brevemente un problema físico que nos puede motivar a estudiarlo. El problema de la polea consiste en encontrar la longitud de un cable que conecta a dos circunferencias de radio $r_1$ y $r_2$ que no se cruzan; cuyos centros están separados por una distancia $P$. Aunque sea un problema en apariencia sencillo su solución requiere de herramientas como líneas bitangentes, ángulos verticales y congruencia. Pese a que la su solución no es trivial, es un problema de ingeniería bastante importante, pues se usa en el diseño de aeroplanos, bicicletas, autos, etc. No escribiremos explícitamente la solución a este problema, por el momento sólo diremos que para resolverlo es fundamental utilizar el concepto de línea tangente.

Problema de la polea

Ahora que comentamos una motivación, empezaremos a discutir el concepto de línea tangente. Intuitivamente podemos pensar que las líneas tangentes son las que tocan a una circuferencia en uno solo de sus puntos. Esto tiene varias implicaciones; la primera de ellas es que podemos pensar en las tangentes como las normales a los radios (los segmentos del centro a sus puntos). Empezaremos proponiendo la definición de las líneas tangentes y haremos una discusión detallada de cada uno de los elementos de esta definición.

Definición. Si $\mathbf{a}$ es un punto del círculo $\mathcal{C}$ dado por la ecuación vectorial

\begin{equation}
(\boldsymbol{x}-\mathbf{p}) \cdot(\boldsymbol{x}-\mathbf{p})=\mathrm{r}^{2}
\end{equation}

entonces su línea tangente es la recta $\ell$ normal a $(\mathbf{a} – \mathbf{p})$ y que pasa por $\mathbf{a}$.

Esta definición tiene algunas implicaciones interesantes que para los elementos que la constituyen que vale la pena observar con detalle. La primera es que, puesto que $\mathbf{a}$ es el punto más cercano a $\mathbf{p}$ en esta recta, para cualquier otro punto $x \in \ell$ se tiene que $\mathrm{d}(\boldsymbol{x}, \mathbf{p})>\mathrm{r}$. Dicho de una forma más sencilla: cualquier otro punto que no sea el punto de tangencia estará alejado del centro del círculo una distancia mayor que el radio. Puedes observar la figura para convencerte de este hecho.

Línea tangete del círculo y punto de tangencia.

Continuando nuestra exploración de los elementos de la definición que acabamos de presentar, observa que el círculo $\mathcal{C}$ parte el plano en dos pedazos; el interior donde $\mathrm{d}(\boldsymbol{x}, \mathbf{p})<\mathrm{r}$, y el exterior donde $\mathrm{d}(\boldsymbol{x}, \mathbf{p})>\mathrm{r}$, de esta forma $\ell$ está contenida en el exterior salvo por el punto $a \in \mathcal{C}$.

Para obtener una expresión analítica de las líneas tangentes conviene recordar las herramientas vectoriales que fueron presentadas durante la primera unidad, te podrás dar cuenta que si utilizamos la forma de la ecuación normal de recta con los elementos de nuestra definición, podemos ver que la recta $\ell$ está dada por la ecuación

\begin{equation}
\boldsymbol{x} \cdot(\boldsymbol{a}-\mathbf{p})=\boldsymbol{a} \cdot(\boldsymbol{a}-\mathbf{p}),
\end{equation}

esta ecuación tiene una manera más interesante de escribirse; si restamos $\mathbf{p} \cdot(\mathbf{a}-\mathbf{p})$ a ambos lados, se obtiene:

$$
\mathbf{x} \cdot(\mathbf{a}-\mathbf{p})-\mathbf{p} \cdot(\mathbf{a}-\mathbf{p})=\mathbf{a} \cdot(\mathbf{a}-\mathbf{p})-\mathbf{p} \cdot(\mathbf{a}-\mathbf{p})
$$

$$
(\mathbf{x}-\mathbf{p}) \cdot(\mathbf{a}-\mathbf{p})=(\mathbf{a}-\mathbf{p}) \cdot(\mathbf{a}-\mathbf{p})
$$

$$
(\mathbf{x}-\mathbf{p}) \cdot(\mathbf{a}-\mathbf{p})=r^{2}
$$

Esta forma de escribir la ecuación será importante en la siguiente sección cuando abordemos las rectas polares, sin embargo, antes de pasar a la siguiente sección hagamos un ejemplo sobre cómo encontrar la tangente de una circuferencia.

Ejemplo. Supongamos que tenemos un círculo con centro en $(4,-3)$ y radio $5$. Encuentre la línea de tangencia que pasa por el punto $(4,2)$.

Primero tenemos que verificar que el punto está dentro de la circunferencia. Si escribimos la ecuación cartesiana de nuestro círculo

\begin{equation}
(x-4)^{2} + (x+3)^{2}=25
\end{equation}

y sustuimos el punto $(4,2)$. Podemos darnos cuenta que el punto sí está en la circunferencia. Como ya vimos que está sobre el círculo, sólo tenemos que sustituir en la expresión analítica de la línea tangente

\begin{equation}
\boldsymbol{x} \cdot(\boldsymbol{a}-\mathbf{p})=\boldsymbol{a} \cdot(\boldsymbol{a}-\mathbf{p})
\end{equation}

los valores del punto de tangencia y el centro de la circunferencia. Haciendo esto tenemos que:

\begin{equation}
\boldsymbol{x} \cdot ((4,2)-(4,-3)) =\boldsymbol{a} \cdot ((4,2)-(4,-3))
\end{equation}

Por lo tanto, la ecuación de la línea tangente será:

\begin{equation}
\boldsymbol{x} \cdot (0,5) =\boldsymbol{a} \cdot (0,5)
\end{equation}

Escrito en forma cartesiana, tenemos que la recta tangente a nuestra circunferencia a través de ese punto es $y=2$.

Como vimos en nuestro ejemplo, obtener la expresión analítica de la línea tangente a través de un punto es muy fácil si recordamos la definición vectorial. Para terminar esta sección utiliza el siguiente recuadro interactivo para explorar diferentes líneas tangentes de una circunferencia. Nota cómo el punto de tangencia siempre se encuentra en los «bordes» del círculo. ¿Podríamos generalizar vecotrialmente el concepto de tangencia para puntos que no se encuentran sobre la circunferencia?

Líneas polares de un círculo

Para empezar nuestro estudio de las líneas polares de un círculo, recuerda el último desarrollo algebraico que hicimos en la sección anterior: ese en el cual sustituimos $\mathbf{a}$ en una de las instancias de $\mathbf{x}$ en la ecuación vectorial. Recuerda cómo en el caso de la línea tangente, consideramos que el punto $\mathbf{a}$ estaba sobre la circunferencia. Con esto en mente, estamos listos para dar una definición de línea polar.

Definición. Consideremos un punto $\mathbf{a}$ en el plano, diferente del centro $(\mathbf{a} \neq \mathbf{p})$, diremos que $\ell_{a}$ es la recta polar de $\mathbf{a}$ respecto al círculo $\mathcal{C}$ y definiremos $\ell_{a}$ como

\begin{equation}
\ell_{\mathbf{a}}: \quad(\boldsymbol{x}-\mathbf{p}) \cdot(\boldsymbol{a}-\mathbf{p})=\mathrm{r}^{2}
\end{equation}

De la definición, se sigue que cuando $\boldsymbol{a} \in \mathcal{C}$ su polar $\ell_{\mathbf{a}}$ es su tangente. Como te puedes dar cuenta, las líneas polares son algo así como una generalización de las líneas tangentes; estamos repitiendo los desarrollos algebraicos que utilizamos en la primera sección sin restringirnos a los puntos que están sobre la circunferencia. Nuestra definición de líneas polares tiene varias consecuencias interesantes; una de ellas es que si el punto $\mathbf{a}$ está en el interior del círculo, entonces $\ell_{a}$ no lo intersecta (está totalmente contenida en el exterior), y que si está en el exterior (el punto $\mathbf{b}$ en la siguiente figura), entonces lo corta, y además lo corta en los dos puntos de $\mathcal{C}$ a los cuales se pueden trazar tangentes.

Existen tres posibles casos, que el punto polar esté dentro de la circunferencia, fuera o que esté sobre ella. El último caso se exploró a detalle en la primera parte de esta entrada.

Vamos a demostrar los enunciados que presentamos en el párrafo anterior. Para esto, expresemos las ecuación $\ell_{a}$ en su forma normal; desarrollando [numero de ecuacion de la definición] se obtiene:

\begin{equation}
\boldsymbol{x} \cdot(\boldsymbol{a}-\mathbf{p})=\mathrm{r}^{2}+\mathbf{p} \cdot(\boldsymbol{a}-\mathbf{p})
\end{equation}

Esto indica que $\ell_{a}$ es perpendicular al vector que va de $\mathbf{p}$ a $\mathbf{a}$. Ahora veamos cuál es su punto de intersección con la recta que pasa por $\mathbf{p}$ y $\mathbf{a}$. Parametricemos esta última recta con $\mathbf{p}$ de cero y $\mathbf{a}$ de uno (es decir como $\mathbf{p}+\mathbf{t}(\mathbf{a}-\mathbf{p})$) y podemos despejar $t$ al sustituir en la variable $\mathbf{x}$ de la ecuación anterior (o bien, esto se ve más directo al sustituir en la [numero de ecuacion de la definición] ), para obtener

\begin{equation}
t=\frac{r^{2}}{(\mathbf{a}-\mathbf{p}) \cdot(\mathbf{a}-\mathbf{p})}=\frac{r^{2}}{d(\mathbf{p}, \mathbf{a})^{2}} .
\end{equation}

Entonces la distancia de $\mathbf{p}$ a $\ell_{a}$ es

\begin{equation}
\mathrm{d}\left(\mathbf{p}, \ell_{a}\right)=\mathrm{t} \mathrm{d}(\mathbf{p}, \mathbf{a})=\frac{\mathrm{r}^{2}}{\mathrm{~d}(\mathbf{p}, \mathbf{a})}=\left(\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{d}(\mathbf{p}, \mathbf{a})}\right) \mathrm{r}
\end{equation}

y tenemos lo primero que queríamos probar: si $\mathrm{d}(\mathbf{p}, \boldsymbol{a})<\mathrm{r}$ entonces $\mathrm{d}\left(\mathbf{p}, \ell_{\mathbf{a}}\right)>\mathrm{r}$; y al revés, si $\mathrm{d}(\mathbf{p}, \mathbf{a})>\mathrm{r}$ entonces $\mathrm{d}\left(\mathbf{p}, \ell_{\mathbf{a}}\right)<\mathrm{r}$. Dicho de otra manera, si el punto $\mathbf{a}$ está muy cerca de $\mathbf{p}$, su polar está muy lejos, y al revés, sus distancias al centro $\mathbf{p}$ se comportan como inversos «alrededor de r».

Para demostrar la segunda de nuestras afirmaciones, supongamos ahora que $\mathrm{d}(\mathbf{p}, \mathbf{a})>\mathrm{r}$, y sea $\mathbf{c}$ un punto en $\ell_{a} \cap \mathcal{C}$ (que sabemos que existe pues $\ell_{a}$ pasa por el interior de $\mathcal{C}$). Puesto que $\mathbf{c} \in \ell_{\mathrm{a}}$, se cumple la ecuación

\begin{equation}
(\mathbf{c}-\mathbf{p}) \cdot(\mathbf{a}-\mathbf{p})=\mathbf{r}^{2}
\end{equation}

Pero entonces $\mathbf{a}$ cumple la ecuación de $\ell_{c}$ que es la tangente a $\mathcal{C}$ en $\mathbf{c}$; es decir, la línea de $\mathbf{a}$ a $\mathbf{c}$ es tangente al círculo. Este argumento, visto de una forma todavía más general nos dice que para cualesquiera dos puntos $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ (distintos de $\mathbf{p}$) se tiene que

\begin{equation}
a \in \ell_{b} \Leftrightarrow \mathbf{b} \in \ell_{a}
\end{equation}

Y los puntos del círculo son los únicos para los cuales se cumple que $\mathbf{a} \in \ell_{a}$. Puedes apoyarte en la siguiente figura para seguir el desarollo anterior.

Date cuenta cómo a lo largo de este procedimiento sin querer aprendimos a calcular los puntos de tangencia a un círculo desde un punto exterior $\mathbf{a}$. A saber, de la ecucación lineal de su polar, $\ell_{a}$, se despeja alguna de las dos variables y se sustituye en la ecuación del círculo. Esto nos da una ecuación de segundo grado en la otra variable que se puede resolver, y nos da dos raíces. Sustituyéndolas de nuevo en la ecuación de la polar se obtiene el otro par de coordenadas.

Para dejar bien claro este procedimiento, hagamos un ejercicio sobre cómo encontrar los puntos de tangencia desde un punto fuera de la circunferencia.

Ejemplo. Supongamos que tenemos un círculo con centro en $(3,-1)$ y radio $2$, encontraremos los puntos de tangencia desde el punto $\mathbf{a}=(1,3)$.

Podemos iniciar de dos maneras diferentes: la primera es utilizando lo que aprendimos en la entrada anterior, escribiendo directamente la ecuación vectorial de la circunferencia. Si hacemos esto, encontraremos que la circunferencia tiene la siguiente expresión vectorial

\begin{equation}
((x, y)-(3,-1)) \cdot((x, y)-(3,-1))=4 .
\end{equation}

Otra alternativa sería primero escribir la ecuación cartesiana y luego desarrollarla para pasarla a su forma vectorial; de ambas maneras, lo importante es escribir a la circunferencia en su forma vectorial. Ahora, para conocer los puntos de tangencia desde $\mathbf{a}=(1,3)$ sustituimos en la forma alternativa de la ecuación de la tangente:

$$((x, y)-(3,-1)) \cdot((1,3)-(3,-1))=4$$
$$(x-3, y+1) \cdot(-2,4)=4$$
$$-2 x+4 y+10=4$$
$$x-2 y=3 .$$

De aquí, para encontrar $\ell_{a} \cap \mathcal{C}$, conviene sustituir $x=3+2 y$ en la ecuación original del cícurlo para obtener

\begin{equation}
\begin{aligned}
(3+2 y)^{2}+y^{2}-6(3+2 y)+2 y &=-6 \
5 y^{2}+2 y-3 &=0
\end{aligned}
\end{equation}

Las raíces de esta ecuación cuadrática se pueden obtener utilizando la fórmula general:

\begin{equation}
y=\frac{-2 \pm \sqrt{4+60}}{10}=\frac{-2 \pm 8}{10}
\end{equation}

que nos da los valores $y_{0}=-1$ y $y_{1}=\frac{3}{5}$. Y estos, al sustituir de nuevo la ecuación de la polar nos dan los puntos de tangencia de $\mathbf{a}$; que son $(1,-1)$ y $\frac{1}{5}(21,3)$. Puedes verificar que satisfacen la ecuación del círculo sustituyendo en la ecuación lineal de la polar, y que efectivamente sus tangentes pasan por $\mathbf{a}$.

Para finalizar esta entrada te invito a que experimentes un momento con el recuadro interactivo. Nota cómo las líneas polares se convierten en las líneas tangentes cuando haces que el punto $\mathbf{a}$ esté sobre la circunferencia.

Tarea moral

  • Encuentra los puntos de tangencia: al círculo $x^{2}-2 x+y^{2}-4 y=-3$ desde el punto $(-1,2)$. Sugerencia: puedes consultar el segundo ejercicio realizado en esta entrada.
  • Demuestra que si $\mathbf{c}$ es un punto exterior (al círculo $\mathcal{C}$ con centro $P$ ) entonces su recta a $P$ biseca sus dos tangentes a $\mathcal{C}$. Y además que las distancias a sus pies en $\mathcal{C}$ (es decir, a los puntos de tangencia) son iguales. Sugerencia: Puedes utilizar la siguiente figura para tu demostración y pensar en el teorema de Pitágoras y en el criterio de congruencia LLL.

Más adelante…

En esta entrada finalizamos nuestra discusión de las circunferencias; la primera de las secciones cónicas que abordamos en nuestro curso. En la siguiente entrada podrás ver una serie de ejercicios para familiriazarte con la manipulación algebrica o vectorial de los conceptos que hemos introducido hasta ahora. En las siguientes entradas continuaremos nuestro estudio de las secciones cónicas hablando de parábolas, hipérbolas y elipses. Veremos cómo no es tan fácil dar una ecuación vectorial para el resto de las secciones cónicas; esto lo entenderemos tan pronto como empecemos a hablar de parábolas.

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Geometría Analítica I: Círculos

Introducción

En nuestra vida cotidiana podemos encontrar muchos ejemplos de circunferencias. Desde la forma de una rueda, hasta el contorno de una taza y por supuesto en muchos fenómenos físicos como la trayectoria de una partícula en un campo magnético o el movimiento de un satélite alrededor de un planeta. Esta familiariadad que tenemos con las circunferencias, hacen que ésta sea la sección cónica más fácil de reconocer, pues incluso sin estudios formales en geometría estamos familiarizados con sus propiedades.

En esta entrada del blog propondremos una definición formal para la circunferencia; partiendo de la definición de la circunferencia como lugar geométrico, llegaremos a la ecuación cartesiana con la que probablemente ya estés familiarizado. Abordaremos la ecuación vectorial del círculo y vamos a ver qué ventajas tiene sobre la ecuación cartesiana.

Ecuación cartesiana de circunferencia

Probablemente en algún curso previo de álgebra o de geometría te hayas encontrado con el círculo unitario $\mathbb{S}^{1}$, definido por la ecuación

\begin{equation}
x^{2}+y^{2}=1
\end{equation}

Para generalizar las nociones que tenemos del círculo unitario a una circunferencia arbitraria, consideremos ahora a cualquier otro círculo $\mathcal{C}$. Tiene un centro $\mathbf{p}=(h, k)$, un radio $r>0$ y es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a $\mathbf{p}$ es $r$. Es decir, $\mathcal{C}=\left\lbrace\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{2} \mid d(\mathbf{x}, \mathbf{p})=r\right\rbrace$; o bien, $\mathcal{C}$ está definido por la ecuación

\begin{equation}
d(\mathbf{x}, \mathbf{p})=r.
\end{equation}

La información geométrica clave de una circunferencia son su centro y su radio. Ambos se pueden pensar en términos de sus coordenadas cartesianas, o bien como vectores.

Puesto que ambos lados de esta ecuación son positivos, es equivalente a la igualdad de sus cuadrados que en coordenadas cartesianas toma la forma

\begin{equation}
(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}
\end{equation}

Así, todos los círculos de $\mathbb{R}^{2}$ están determinados por una ecuación cuadrática en las variables $x$ y $y$. Cuando la ecuación tiene la forma anterior, podemos leer inmediatamente toda la información geométrica (el centro y el radio). Lamentable, la mayoría de las veces que nos encontremos con ecuaciones de circunferencias las encontraremos «disfrazadas» como

\begin{equation}
x^{2}+y^{2}-2 h x-2 k y=\left(r^{2}-h^{2}-k^{2}\right)
\end{equation}

Es fácil ver que esta forma de escribir la circunferencia se obtiene al desarrollar la primera expresión. Véamos un ejemplo de cómo pasar una ecuación de circunferencia a su forma reducida.

Ejemplo. Consideremos la ecuación

\begin{equation}
x^{2}+y^{2}-6 x+2 y=-6 \text { . }
\end{equation}

Tenemos que determinar si la ecuación anterior define un círculo, y en caso de que así sea, qué características tiene. Lo primero que tenemos que hacer es completar los cuadrados, sumando en ambos lados las constantes que faltan

\begin{equation}
(x^{2}-6 x+9)+(y^{2}+2 y+1) =-6+9+1 \rightarrow (x-3)^{2}+(y+1)^{2} =4
\end{equation}

Claramente si desarrollamos esta última ecuación obtenemos la original. Así, podemos concluir que la ecuación define al círculo con centro en $(3,-1)$ y radio $2$.

Para terminar esta sección, puedes utilizar la ventana interactiva de GeoGebra para familiarizarte con la ecuación cartesiana de la circunferencia. Varía el radio y el centro del círculo y observa cómo cambia la ecuación. Intenta hacer una circunferencia por cada uno de los cuadrantes del plano poniendo mucha atención cómo cambian los signos dentro de los sumandos. Prueba casos límite ¿qué pasa si el radio el cero? ¿Un punto es una circunferencia?

Ecuación vectorial de circunferencia

Si nuestra ecuación cartesiana de circunferencia ya nos permitía «leer» toda la información geométrica de un círculo completando cuadrados, te puede parecer superfluo proponer una definición vectorial de la circunferencia. La motivación que tenemos para hacer esto es que una definición vectorial, al no hacer referencia a las coordenadas, tiene sentido en cualquier dimensión. Esto quiere decir que a diferencia de la ecuación cartesiana que sólo nos sirve para $\mathbb{R}^{2}$, una ecuación vectorial nos permitirá definir esferas en $\mathbb{R}^{3}$ y en dimensiones mayores.

Sin más preámbulo, diremos que el círculo $C$ con centro $\mathbf{p}$ y radio $r$ está definido por la ecuación

\begin{equation}
(\mathbf{x}-\mathbf{p}) \cdot(\mathbf{x}-\mathbf{p})=r^{2}
\end{equation}

Si tienes dificultades entendiendo por qué se utilizó el producto punto, te ayudará recordar que en la primera unidad de nuestro curso definimos la distancia euclidiana entre dos vectores (o norma) como el producto punto (o producto interior) del vector consigo mismo. En nuestro caso, sólo partimos de la definición de circunferencia como el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un mismo punto y aplicamos la definición vectorial de distancia.

La ecuación, que llamaremos ecuación vectorial del círculo, se puede también reescribir como

\begin{equation}
\mathbf{x} \cdot \mathbf{x}-2 \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}+\mathbf{p} \cdot \mathbf{p}=r^{2}
\end{equation}

Veamos un ejemplo de la ecuación vectorial del círculo para familirizarnos con ella.

Ejemplo. Considere la circunferencia con centro en $(3,1)$ y radio $2$. Encuentre su ecuación vectorial y su ecuación cartesiana. Demuestre que ambas ecuaciones son equivalentes.

Lo primero que tenemos que hacer es obtener la ecuación vectorial de la circunferencia. Utilizando la definición que acabamos de escribir en esta entrada, podemos ver que la ecuación que buscamos es

\begin{equation}
(\mathbf{x}-(3,1)) \cdot(\mathbf{x}-(3,1))= 4
\end{equation}

También utilizando la definición para la ecuación cartesiana

\begin{equation}
(x-3)^{2}+(y-1)^{2}=4
\end{equation}

Estas dos expresiones, son las ecuaciones que buscamos. Sólo nos falta demostrar su equivalencia. Recordando las propiedades del producto punto que introducimos en la unidad anterior

\begin{equation}
\begin{array}{l}
(\mathbf{x}-(3,1)) \cdot (\mathbf{x}-(3,1)) = 4 \\
((x,y)-(3,1)) \cdot ((x,y)-(3,1)) = 4 \\
(x-3,y-1) \cdot (x-3,y-1) = 4 \\
(x-3)^{2}+(y-1)^{2}=4
\end{array}
\end{equation}

¡Listo! Ya nos convencimos que la ecuación cartesiana y la ecuación vectorial son equivalentes cuando estamos trabajando en $\mathbb{R}^{2}$. Por el momento, conservemos la idea de que la ecuación vectorial es un poco más general y de ella se puede extraer mucha información geométrica interesante.

Para finalizar esta sección, utiliza el siguiente recuadro interactivo para familiziarte con la ecuación vectorial del círculo. Manipula el centro y el radio para ver cómo se reescribe la ecuación y entiende muy bien cómo el producto punto es la operación clave de la definición. ¿Puedes encontrar los parámetros adecuados para hacer que en ambos interactivos tengamos círculos equivalentes con diferentes formas de escribir la ecuación?

Tarea moral

  • ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son ecuaciones de un círculo? Y en su caso, ¿de cuál?

\begin{equation}
\begin{array}{l}
x^{2}-6 x+y^{2}-4 y=12 \\
x^{2}+4 x+y^{2}+2 y=11 \\
2 x^{2}+8 x+2 y^{2}-4 y=-8 \\
x^{2}-4 x+y^{2}-2 y=-6 \\
4 x^{2}+4 x+y^{2}-2 y=4
\end{array}
\end{equation}

  • ¿Cuál es el lugar geométrico de los centros de los círculos que pasan por dos puntos (distintos) $a$ y $b$? Sugerencia: considera la definición geométrica de la circunferencia como el conjunto de puntos que equidistan de un centro y ten en cuenta la definición vectorial de la mediatriz.
  • Sean $p$ y $q$ dos puntos distintos en el plano. ¿Para cuáles números reales $c$, se tiene que la sigueinte ecuación define un círculo? En su caso, ¿cuál es el radio y dónde está su centro?

\begin{equation}
(\mathbf{x}-\mathbf{p}) \cdot(\mathbf{x}-\mathbf{q})=c
\end{equation}

  • Determinar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por los tres puntos $A(-1,1)$, $B(3,5)$ y $C(5,-3)$. Sugerencia: considera que la ecuación buscada tiene la forma $x^2 + y^2 + Dx+ Ey + F= 0$, luego sustituye la información que te ofrece el problema para llegar a un sistema de ecuaciones y resuélvelo.

Más adelante…

En esta entrada discutimos detalladamente las definiciones cartesianas y vectorial de la circunferencia, propusimos algunos ejemplos para familirizarnos con estas expresiones y aprendimos a «leer» la información geométrica que guardan. Sin embargo, no hemos acabado nuestro estudio de las circunferencias. En las siguientes entradas abordaremos el tema de las rectas tangentes y polares y resolveremos algunos ejercicios relacionados a estas secciones cónicas.

Entradas relacionadas

Seminario de Resolución de Problemas: Introducción a problemas de geometría y geometría euclideana

Introducción

En esta semana veremos algunas herramientas para resolver problemas de geometría. Como con otros temas que hemos visto, sería imposible tratar a profundidad el área. En vez de eso, lo que haremos es ver un poco de varias de las herramientas que se pueden usar en la solución de problemas geométricos, comenzando con geometría euclideana. Veremos ideas de lo siguiente:

  • Geometría triángulos y circunferencias
  • Geometría analítica
  • Vectores en geometría
  • Números complejos en geometría
  • Geometría discreta

En esta entrada comenzaremos con la parte de geometría euclideana. Más adelante hablaremos de las demás ideas.

Geometría euclideana

Cuando en geometría nos referimos a una solución por geometría euclideana o geometría sintética nos referimos a un argumento que no use parametrizaciones de los objetos del plano en términos de coordenadas, vectores o complejos. Simplemente usamos conceptos geométricos como ángulos, distancias, semejanza, congruencia, etc. Todas estas se pueden pensar como propiedades que se mantienen invariantes bajo movimientos rígidos del plano. Dentro de los resultados más versátiles del área tenemos los siguientes.

Teorema (de Tales). Tomemos puntos $P$ y $Q$ sobre los lados $AB$ y $AC$ de $\triangle ABC$. Se tiene que $AP/AQ = AB/AC$ si y sólo si la recta $PQ$ es paralela a la recta $BC$.

El teorema de Tales
Teorema de Tales

Teorema (criterios de congruencia). Sean $\triangle ABC$ y $\triangle DEF$ triángulos. Cualquiera de las siguientes condiciones (o sus simétricos) implican que $\triangle ABC$ y $\triangle DEF$ son congruentes:

  • (LLL) $AB=DE$, $BC=EF$ y $CA=FD$
  • (LAL) $AB=DE$, $\angle BAC = \angle EDF$ y $CA=FD$
  • (ALA) $\angle BAC = \angle EDF$, $CA=FD$ y $\angle BCA – \angle EFD$.

Teorema (criterios de semejanza). Sean $\triangle ABC$ y $\triangle DEF$ triángulos. Cualquiera de las siguientes condiciones (o sus simétricos) implican que $\triangle ABC$ y $\triangle DEF$ son semejantes.

  • (LLL) $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}$.
  • (LAL) $\frac{AB}{DE}=\frac{CA}{FD}$ y $\angle BAC = \angle EDF$.
  • (AA) $\angle BAC = \angle EDF$ y $\angle BCA – \angle EFD$.

Veamos un ejemplo en el que se usan estos hechos básicos.

Problema. Sobre los lados $AB$ y $AC$ de un triángulo $ABC$ se construyen cuadrados $ABPQ$ y $ACRS$ como en la figura. Muestra que $CQ=BS$.

Sugerencia pre-solución. En geometría es típico modificar un problema. En vez de intentar medir los segmentos requeridos, es útil preguntarse si forman parte de triángulos que sean congruentes, o que sea pueda ver que son congruentes por algún criterio. Por supuesto, en todo problema de geometría es útil hacer muchas figuras.

Problema de geometría euclidiana con cuadrados
Figura auxiliar para problema de cuadrados en un triángulo.

Solución. Consideremos los triángulos $ABS$ y $AQC$. Tenemos que $AB=AQ$ pues ambos son lados del cuadrado $ABPQ$. De manera similar, $AC=AS$. Finalmente, tenemos que $\angle BAS = \angle QAC$, pues ambos ángulos son iguales a $$90^\circ + \angle BAC.$$

Por esta razón, podemos usar el criterio de congruencia $LAL$ en estos triángulos para concluir que son congruentes. De aquí se concluye que $CQ=BS$, como queríamos.

$\square$

Recordatorio de puntos notables en triángulos

Otro tema relevante para la geometría euclideana es la geometría de triángulos. Tomemos un triángulo $\triangle ABC$. Hay algunos puntos y rectas notables en el triángulo, que se usan en varios problemas. A continuación enunciamos las más importantes.

  • Si $L$, $M$ y $N$ son los puntos medios de $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente, entonces a cada una de las rectas $AL$, $BM$ y $CN$ se le conoce como una mediana. Las medianas de un triángulo concurren en un punto llamado el gravicentro o baricentro, que usualmente se denota por $G$.
Medianas de un triángulo y su gravicentro
Medianas de un triángulo y su gravicentro
  • Si $D$, $E$ y $F$ son las proyecciones desde $A$, $B$, $C$ a los lados $BC$, $CA$ y $AB$ respectivamente, entonces a cada una de las rectas $AD$, $BE$ y $CF$ se le conoce como una altura. Las alturas de un triángulo concurren en un punto llamado el ortocentro, que usualmente se denota por $H$.
Alturas de un triángulo y su ortocentro
Alturas de un triángulo y su ortocentro
  • Las rectas que cortan a la mitad a cada uno de los ángulos internos de $\triangle ABC$ se les conoce como las bisectrices internas del triángulo. Concurren en un punto llamado el incentro, usualmente denotado por $I$. El incentro sirve como centro para la única circunferencia que es tangente a los segmentos $AB$, $BC$ y $CA$.
Bisectrices de un triángulo y su incentro
Bisectrices de un triángulo y su incentro
  • Las rectas perpendiculares a los lados del triángulo y que pasan por sus puntos medios se les llama mediatrices y concurren en un punto llamado el circuncentro, que se suele denotar $O$. Este punto sirve como centro de la única circunferencia que pasa por los tres vértices $A$, $B$ y $C$.
Mediatrices de un triángulo y su circuncentro
Mediatrices de un triángulo y su circuncentro

Veamos las demostraciones de algunas de estas afirmaciones, para repasar algunos argumentos geométricos.

Una idea útil es caracterizar a una recta como el conjunto de puntos que satisfacen cierta propiedad. Por ejemplo, probemos primero la siguiente caracterización de las mediatrices.

Proposición. La recta perpendicular $\ell$ a un segmento $BC$ que pasa por su punto medio $L$ consiste exactamente de los puntos $P$ tales que $PB=PC$.

Demostración. Para ver que cualquier punto en $\ell$ satisface esto, se puede usar el criterio LAL de congruencia en los triángulos $PBL$ y $PCL$, usando el ángulo recto que comparten. Para ver que cualquier punto tal que $PB=PC$ está en $\ell$, se usa que $\angle PBC = \angle PCB$ (por el triángulo isósceles $PBC$), y entonces al bajar la perpendicular desde $P$ a $BC$ a un punto $L’$, los triángulos $PBL’$ y $PCL’$ comparten dos ángulos (y por lo tanto los tres), de donde se puede usar de nuevo el criterio LAL para concluir que $L=L’$.

$\square$

Demostrar que las mediatrices concurren es entonces muy sencillo. Si $P$ es la intersección de la mediatriz en $BC$ y en $CA$, entonces por el resultado anterior tenemos $PB=PC=PA$, y entonces también por el resultado anterior se tiene que $P$ está en la mediatriz de $AB$. De manera análoga se puede mostrar que una bisectriz consiste de los puntos que equidistan de los lados que la definen, y con ello mostrar que las bisectrices internas de un triángulo concurren.

Veamos ahora un problema de geometría euclideana que involucra a las alturas y a las medianas. Es el Problema 1 del Concurso Nacional de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas de 2009.

Problema. Sea $ABC$ un triángulo y $D$ el pie de la altura desde $A$. Con centro en $D$ se traza una circunferencia de radio $DA$. Esta circunferencia corta a los lados $AB$ y $AC$ del triángulo en puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Muestra que los triángulos $AQP$ y $ABC$ son semejantes.

Sugerencia pre-solución. Para mostrar que estos triángulos son semejantes, basta con mostrar que tienen ángulos iguales.

Solución. Tracemos además los pies de altura $E$ y $F$ desde $B$ y $C$ respectivamente.

Ángulos creados por alturas de un triángulo.
Ángulos creados por alturas de un triángulo.

Observemos que $\triangle ABD$ y $\triangle CBF$ comparten los ángulos rectos y el ángulo en $B$, de modo que son semejantes y por lo tanto su tercer ángulo es igual. Este y argumentos análogos muestran que
\begin{align*}
\alpha&:=\angle ABE = \angle ACF\\
\beta&:=\angle BAD = \angle BCF\\
\gamma&:= \angle CBE = \angle CAD.
\end{align*}

De esta forma, los ángulos internos de $\triangle ABC$ miden $\angle A= \beta+\gamma$, $\angle B = \gamma+\alpha$ y $\angle C = \alpha+\beta$. Ya que la suma interna de los ángulos de un triángulo es $180^\circ$, concluimos que $\alpha+\beta+\gamma = 90^\circ$.

Ahora, usando los triángulos isósceles $\triangle ADP$ y $\triangle ADQ$ del problema, tenemos que
\begin{align*}
\angle DPA &= \angle DAP = \beta\\
\angle DQA &= \angle DAQ = \gamma.
\end{align*}

Figura auxiliar para el problema
Figura auxiliar para el problema

Como $\triangle PDQ$ también es isósceles con $PD=DQ$, tenemos que $$\alpha’=:\angle DPQ = \angle DQP.$$ Por la suma de ángulos en el triángulo $APQ$, tenemos que $\alpha’+\beta + \gamma = 90^\circ$. Así, $\alpha = \alpha’$. Concluimos entonces que en el $\triangle PAQ$ los ángulos internos son $\angle A = \beta+ \gamma$, $\angle P = \alpha+\beta$ y $\angle Q = \gamma + \alpha$.

De esta forma, los triángulos $ABC$ y $AQP$ son semejantes por el criterio AA.

$\square$

Otra técnica útil para resolver problemas de geometría consiste en mostrar que un punto está en dos rectas notables (por ejemplo, en las medianas $AL$ y $BM$), deducir que entonces es el punto notable correspondiente (en este caso el gravicentro $G$), y usar la información de que entonces la recta por el tercer vértice y el punto es la tercer recta notable (que en el ejemplo diría que $CG$ es la mediana).

Recordatorio de geometría del círculo

Un tercer ingrediente básico para la geometría euclideana es entender qué pasa con las circunferencias. Tomemos una circunferencia $\Gamma$ y dos puntos fijos $A$ y $B$ sobre ella. Tomemos $C$ y $D$ otros dos puntos sobre $\Gamma$ distintos de $A$ y $B$ sobre el mismo arco definido por $A$ y $B$ y sea $E$ otro punto sobre $\Gamma$, en el arco opuesto. Entonces

  • Los ángulos $\angle ACB$ y $\angle ADB$ son iguales.
  • Los ángulos $\angle ACB$ y $\angle AEB$ son suplementarios, es decir, suman $180^\circ$.
Ángulos en cuadriláteros cíclicos
Ángulos en cuadriláteros cíclicos

De hecho, este resultado es un si y sólo si. Para $A$, $B$, $C$, $D$ puntos distintos en el plano:

  • Si $\angle ACB$ y $\angle ADB$ son iguales, entonces $A$, $B$, $C$, $D$ son puntos sobre una circunferencia y $C$ y $D$ están en el mismo arco definido por $A$ y $B$ y
  • Si los ángulos $\angle ACB$ y $\angle ADB$ son suplementarios, entonces $A$, $B$, $C$, $D$ son puntos sobre una circunferencia y $C$ y $D$ están en arcos opuestos definidos por $A$ y $B$.

Cuando $A$, $B$, $C$ y $D$ son puntos distintos que yacen sobre una misma circunferencia, en ese orden, decimos que $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico.

Teorema (potencia de un punto). Sea $P$ un punto y $\Gamma$ una circunferencia. Tomemos dos rectas por $P$ que corten a la circunferencia en puntos $A$, $B$, $C$ y $D$ como en alguna de las figuras. Entonces $PA\cdot PB = PC \cdot PD$.

Diagrama para teorema de potencia de un punto
Diagrama para teorema de potencia de un punto

Veamos un problema de la Olimpiada Matemática de la Cuenca del Pacífico en donde confluyen algunas de estas ideas. Es el problema 1 de la edición de 2016.

Problema. Un triángulo $ABC$ es grandioso si para cualquier punto $D$ en el lado $BC$, cuando se toman los pies de las perpendiculares $P$ y $Q$ de $D$ a las rectas $AB$ y $AC$, respectivamente, sucede que la reflexión de $D$ en la recta $PQ$ cae sobre el circuncírculo del triángulo $ABC$.

Muestra que un triángulo $ABC$ es grandioso si y sólo si $\angle A = 90^\circ$ y $AB=AC$.

Sugerencia pre-solución. El problema dice que cierta condición se debe cumplir para todo punto $D$ en el lado $BC$. Considera algunos casos extremos de lo que puede ser $D$, de los que puedas obtener información de cómo debe ser el triángulo.

Solución. Para cualquier punto $D$ en el lado $BC$, vamos a llamar $D’$ a la reflexión de $D$ en la recta $PQ$. Primero veremos que si $ABC$ es grandioso, entonces es isósceles y con ángulo recto en $A$.

Como la hipótesis se cumple para cualquier punto $D$, en particular se cumple para cuando elegimos $D$ como el punto donde la bisectriz desde $A$ intersecta a $BC$. Nota que $P$ y $Q$ están en los rayos $AB$ y $AC$. Además, $P$ y $Q$ son reflexiones entre sí con respecto a la recta $AD$, de modo que $PQ$ es perpendicular a $AD$. Por esto, se tiene que $D’$ está en la recta $AD$, así que o es $A$, o es el segundo punto de intersección de la bisectriz en $A$ con el circuncírculo del triángulo. Como además $APDQ$ es un cuadrilátero cíclico, se tiene que $AD$ intersecta a $PQ$ y por lo tanto $D’=A$.

Imagen auxiliar para problema APMO
Imagen auxiliar para problema APMO

Tenemos entonces las igualdades de ángulos
\begin{align*}
\angle BAC &= \angle PD’Q \\
&= \angle PDQ \\
&= 180^\circ – \angle BAC.
\end{align*}

Concluimos entonces que $\BAC = 90^\circ$, que muestra que el triángulo es rectángulo en $A$.

Ahora tomamos a $D$ como el punto medio de $BC$, lo cual hace que $P$ y $Q$ sean los puntos medios de $AB$ y $AC$ respectivamente. Pero entonces $PQ$ es paralelo a $BC$ y por lo tanto $DD’$ es perpendicular a $BC$. La distancia de $D’$ a $BC$ es igual al circunradio del triángulo (pues $D’$ debe caer en el circuncírculo), y es igual a la distancia de $A$ a $BC$. Esto sólo puede suceder cuando $ABC$ es isósceles y con ángulo recto en $A$, como queríamos.

Veamos ahora que si $ABC$ es isósceles y de ángulo recto en $A$, entonces se cumple la propiedad para todo punto $D$ en $BC$. Como $D$ es la reflexión en $PQ$, tendríamos $D’P=DP=BP$. De manera similar, $D’Q=DQ=CQ$.

El cuadrilátero $APDQD’$ es cíclico de diámetro $PQ$, pues todos los ángulos $\angle PAQ$, $\angle PD’Q$ y $\angle PDQ$ son de $90^\circ$. De aquí, $\angle APD’= \angle AQD’$, de donde obtenemos que $\angle BPD’= \angle CQD’$. Con esto concluimos que $\triangle D’PB$ y $\triangle D’QC$ son semejantes. De aquí se sigue que

\begin{align*}
\angle PD’Q &= \angle PD’C+ \angle CD’Q\\
&=\angle PD’C + \angle BD’P\\
&= \angle BD’C.
\end{align*}

Como además tenemos $\frac{D’P}{D’Q}= \frac{D’B}{D’C}$, concluimos que también $\triangle D’PQ$ y $\triangle D’BC$ son semejantes. Pero como $\triangle DPQ$ y $\triangle D’PQ$ son congruentes, se obtiene que $$\angle BD’C=\angle PD’Q = \angle PDQ = 90^\circ.$$ Con esto concluimos que $D’$ yace en la circunferencia de diámetro $BC$, que es precisamente el circuncírculo de $\triangle ABC$.

$\square$

Más problemas

Puedes encontrar más problemas de geometría euclideana en la sección 8.1 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson. Para tener buenos fundamentos en geometría euclideana, se pueden revisar algunos textos en el área, como los cuadernos de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas de Geometría y de Geometría: Ejercicios y problemas.

Usa la paridad

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Cuando en un problema observamos nada más la paridad, estamos cubriendo una gran cantidad de casos nada más analizando pocos. En estos videos vemos cómo se aplica la idea de paridad en varios problemas de tableros, juegos, álgebra y teoría de números.

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Trabajar hacia atrás

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Así mismo, en algunos problemas se tiene que seguir un cierto proceso y la pregunta es acerca de algunos estados alcanzables. En vez de empezar con un estado y ver a dónde llega, es mejor preguntarse cómo pudimos llegar al estado buscado.

Estas ideas también sirven para saber «en donde estás» mientras resuelves un problema: ¿Qué es lo que quieres y qué es lo que sabes?

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