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Geometría Analítica II: Cilindros sobre cónicas

Por Brian Manzano

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Introducción

Con esta entrada comenzamos nuestra exploración de los objetos en el espacio de tres dimensiones. Lo primero que haremos es estudiar los cilindros que se construyen sobre cónicas. La mayoría de nosotros tiene una noción bastante buena sobre ellos, o por lo menos de los «cilindros usuales», en donde las secciones horizontales son círculos. Sin embargo, si bien entendemos muy bien su forma de manera intuitiva, ¿cómo los podemos representar en el lenguaje matemático?

A continuación definiremos qué entenderemos por un cilindro sobre una cónica. Veremos algunos ejemplos y luego haremos cilindros con objetos que hemos estudiado en el curso de Geometría Analítica I: con cónicas.

Definición de cilindros sobre curvas

Los cilindros que conocemos de manera intuitiva comienzan con una circunferencia y luego esta se extiende sin cambios a lo largo de un eje. Los cilindros con los que nos encontramos cotidianamente (por ejemplo, un vaso) se extienden sólo de manera acotada. Pero podemos pensar en qué sucedería si los extendemos indefinidamente. Si hacemos esto, llegamos a la siguiente definición.

Definición. Un cilindro es una superficie en $\mathbb{R}^3$ que se pueda obtener tomando un plano $\Pi$, tomando en él una curva $\mathcal{C}$ y tomando para cada punto $p$ de $\mathcal{C}$ una recta ortogonal a $\Pi$ que pase por $p$. La unión de estas rectas son el cilindro. A cada una de las rectas le llamamos una directriz del cilindro y a la curva $\mathcal{C}$ le llamamos la curva generatriz del cilindro.

Así, un cilindro es un conjunto de lineas paralelas que se encuentran «guiadas» o «dirigidas» de acuerdo a una curva plana. Podemos imaginarlo como sigue: dibujamos la curva sobre un papel, y luego sobre ella pegamos palos perpendiculares a la hoja

Cilindros a partir de cónicas

La definición de cilindro, tal y como está arriba, no restringe el tipo de cónicas que podemos tener. Sin embargo, hay una familia de cónicas que conocemos bien debido a cursos anteriores: las cónicas. Ya que podemos elegir con libertad la curva plana, pensemos en lo que sucede si usamos de las cónicas que conocemos. Para simplificar la situación, supondremos que dibujamos la cónica en el plano XY y entonces que las directrices son perpendiculares al plano $XY$, es decir, paralelas al eje $Z$. Podemos entonces hacer ejemplos de acuerdo a subfamilia de cónicas que usemos.

Cilindros elípticos

Recordemos que una elipse en el plano $XY$ puede pensarse (salvo rotaciones y traslaciones) como el lugar geométrico de los puntos $(x,y)$ que satisfacen una ecuación del estilo $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} =1,$$ donde $a$ y $b$ son parámetros que determinan la longitud de los ejes de la elipse.

Si ahora pensamos en todo $\mathbb{R}^3$ y nos preguntamos por el lugar geométrico de los puntos $(x,y,z)$ que satisfacen la ecuación, la respuesta es similar. Los valores de $(x,y)$ están dados por la ecuación y el valor de $z$ no está restringido de ninguna manera por la ecuación, de modo que puede ser lo que sea. ¡Hemos logrado «levantar la cónica» a líneas perpendiculares al plano $XY$!

De tener $a=b$, tendremos un cilindro circular en el origen. Si $a=b=1$, entonces es un cilindro mucho más especial, pues es uno que se obtiene de levantar la circunferencia unitaria canónica.

Por supuesto, pudimos haber comenzado con una elipse en el plano $YZ$, que tendría una ecuación del estilo $$\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2} =1.$$ En este caso, el valor de $x$ sería libre, así que puede valer lo que sea. Así, esta ecuación pensada en todo $\mathbb{R}^3$ nos daría un cilindro cuya curva directriz es una elipse, y cuyas generatrices son paralelas al eje $x$.

Cilindros parabólicos

Para crear cilindros parabólicos podemos proceder de la misma manera. Para ellos, comenzamos con una parábola, por ejemplo, en el plano $XY$. Sabemos que una parábola así está dada, salvo rotaciones y traslaciones, por una ecuación del siguiente tipo: $$y^2 = 2px.$$ Una vez más, si en vez de pensar en esto como una ecuación en $\mathbb{R}^2$, la pensamos como una ecuación en $\mathbb{R}^3$, entonces el valor de $z$ es arbitrario y entonces al tomar el lugar geométrico en efecto obtenemos una línea perpendicular al plano $XY$ por cada punto de la parábola.

Cilindros hiperbólicos

La tercer familia sería la de cilindros hiperbólicos. En este caso, la curva generatriz es una hipérbola. Recordemos que salvo rotaciones y traslaciones, una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos $(x,y)$ del plano $XY$ tales que satisfacen una ecuación del estilo $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} =1.$$ Al pensar a esta ecuación como una restricción para puntos $(x,y,z)$ de $\mathbb{R}^3$, obtenemos entonces un cilindro hiperbólico.

Problemas ejemplo de cilindros

Para aterrizar las ideas anteriores, veamos algunos ejemplos concretos.

Ejemplo. Tomemos el lugar geométrico de los puntos $(x,y,z) \in $ $\mathbb{R} ^3$ que cumplen con la siguiente ecuación: $$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{25} = 1.$$

Podemos comenzar detectando la ausencia de la variable $z$, con lo que las generatrices serán rectas paralelas al eje $Z$. De hecho, el eje del cilindro precisamente será será el eje $Z$. Esto no siempre ocurre ya que no necesariamente el centro de la curva dada está en el origen del plano $XY$, pero debido a que no tenemos constantes que acompañen los valores $x$ o $y $ su centro no se encontrará desplazado.

¿Qué nos dicen los valores $4,25$ que acompañan a sus variables correspondientes ?Con todo en mente veamos su gráfica

Gráfica de la ecuación en el plano XY

Veamos desde otra perspectiva, no solo sobre el plano, sino con una vista incluyendo el otro eje coordenado obtenemos la siguiente gráfica.

Gráfica de la ecuación en 3D
Ejemplo

$\square$

Ejemplo. Tomemos el lugar geométrico en $\mathbb{R}^3$ de los puntos $(x,y,z)$ que cumplen la siguiente ecuación: $$y^2=6x.$$

De manera muy similar notamos que la ausencia de la variable $z$ llevara a que su directriz se encuentre en el plano $XY$ de forma que vista desde este plano:

¿Puedes decir a que cónica pertenece esta gráfica?

Agregando la perspectiva con el eje faltante obtenemos:

Nota importante. Como habrás notado al graficar obtenemos estas representaciones que parecen estar cortadas o seccionadas por planos paralelos al $XY$ , en realidad estos cilindros se extienden sin límite.

$\square$

Ejemplo. Para la siguiente ecuación: $$\frac{z^2}{4}-\frac{y^2}{9} = 1,$$ ¿cuál es el lugar geométrico de los puntos $(x,y,z)$ en $\mathbb{R}^3$ que la cumplen?

Notemos ahora que además de representar otro tipo de cónica tenemos ahora un cambio importante, ya no contamos de manera explicita con la $y$ en la ecuación, ¿Qué cambios conllevara esto? ¿En que plano podremos observar la cónica correspondiente?

Veamos si tu intuición fue correcta

Gráfica de la ecuación en el plano YZ

Desde otra perspectiva donde podremos ver su profundidad, tenemos ahora que las generatrices se extienden desde $- \infty$ hasta $\infty$.

$\square$

Más adelante…

En esta primer entrada del curso hablamos de los primeros objetos geométricos de tres dimensiones que nos interesan: los cilindros con cierta curva generatriz. En la siguiente entrada veremos otra manera con la cual podemos crear un objeto de tres dimensiones a partir de rectas: las superficies de revolución. Un poco más adelante estudiaremos una versión más general de objetos que podemos obtener de esta manera: los conjuntos cero de ecuaciones de segundo grado en tres variables.

Tarea moral

Estos ejercicios te ayudaran a comprender de mejor forma los conceptos vistos.

  1. Reescribe las ecuaciones de los ejemplos que dimos para que sus directrices se encuentren en diferentes planos.
    Sugerencia: Nota qué pasa con el tercer ejemplo.
  2. Ahora que hemos cambiado los planos donde se encuentran las directrices, grafica estas ecuaciones, ¿Cómo cambian los cilindros? Realiza un cambio de variable para el segundo ejemplo haciendo el reemplazo $x\to x-3$. ¿Qué cambia? ¿pasa lo mismo para el primer ejemplo?
  3. Determina la ecuación para un cilindro parabólico cuya parábola directriz esté contenida en el plano XY y cuyo foco sea el punto $(2, 0)$ de este plano. Hay varias de estas parábolas. Puedes usar la que gustes.
  4. Gráfica los cilindros asociados a cada una de las siguientes ecuaciones:
    1. $x^2-z^2=0$.
    2. $(y-9)^2+(z-4)^2=0$.
    3. $x^2=y$.

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Geometría Analítica I: Teoremas de clasificación de polinomios cuadráticos y curvas cuadráticas

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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Introducción

Nos hemos estado preparando para enunciar formalmente los resultados de clasificación que nos dirán «cómo son todas las cónicas algebraicamente», o bien que nos dirán «cómo se ven conjuntos de ceros de cualquier polinomio cuadrático en dos variables». En una entrada anterior hablamos de qué es un resultado de clasificación en matemáticas. Después, definimos con toda precisión cuáles son los objetos que clasificaremos: los polinomios cuadráticos en dos variables y las curvas cuadráticas. Finalmente, establecimos las nociones de equivalencia afín y equivalencia isométrica que usaremos para dar nuestra clasificación.

En esta entrada finalmente enunciaremos con toda precisión los teoremas de clasificación que nos interesan. La demostración de estos teoremas no es directa, así que nos tomará algunas entradas más preparar la teoría necesaria para poder hacerlo.

Teoremas de clasificación isométrica

Los primeros teoremas que demostraremos serán bajo la equivalencia dada por las isometrías. Daremos teoremas para clasificar tanto polinomios cuadráticos en dos variables, como curvas cuadráticas.

El resultado para PCDVs es un poco más abstracto. La clasificación es un poco aparatosa, pues habrá muchos posibles parámetros involucrados. Pero tiene la ventaja de que es el que podremos demostrar a partir de las técnicas de matrices que ya conocemos y de algunas más que desarrollaremos sobre la marcha.

El resultado para curvas cuadráticas es muy intuitivo, pues lo podemos pensar en términos puramente geométricos: nos dirá que cualquier curva cuadrática se puede llevar, sin alterar su métrica, a una curva cuadrática mucho más fácil de describir, que viene de una «lista corta» de posibilidades. Como las transformaciones permitidas son las isometrías, esto es lo que más se parece a nuestro entendimiento de «ser la misma figura».

Veamos qué dice cada resultado. El primer teorema clasifica PCDVs a través de isometrías.

Teorema. Cualquier polinomio cuadrático en dos variables es isométricamente equivalente a exactamente alguno de los siguientes polinomios:

  1. A algún polinomio de la forma $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1$ para $a\geq b$ reales distintos de cero
  2. A algún polinomio de la forma $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-1$ para $a\geq b$ reales distintos de cero
  3. A algún polinomio de la forma $y^2-cx$ para $c$ real distinto de cero
  4. A algún polinomio de la forma $c^2x^2-y^2$ para $c$ real distinto de cero
  5. A algún polinomio de la forma $c^2x^2-1$ para $c$ real disinto de cero
  6. Al polinomio $x^2$
  7. A algún polinomio de la forma $c^2x^2+y^2$ para $c$ real distinto de cero
  8. A algún polinomio de la forma $\frac{x^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}+1$ para $a,b$ reales distintos de cero
  9. A algún polinomio de la forma $c^2x^2+1$ para $c$ real distinto de cero

El segundo teorema clasifica curvas cuadráticas bajo isometrías, y será un corolario del teorema anterior.

Teorema. Cualquier curva cuadrática del plano es isométricamente equivalente a exactamente una de las siguientes:

  1. A alguna elipse canónica con centro en $(0,0)$ y focos en el eje $x$
  2. A alguna hipérbola canónica con centro en $(0,0)$ y focos en el eje $x$
  3. A alguna parábola canónica de vértice $(c,0)$ y directriz $y=-c$
  4. A dos rectas que se intersectan en el origen
  5. A dos rectas paralelas de la forma $x=c$ y $x=-c$
  6. A la recta $x=0$
  7. Al origen $(0,0)$
  8. Al conjunto vacío

Teoremas de clasificación afín

Después de realizar la clasificación isométrica, agrandaremos un poco el conjunto de transformaciones que usaremos: permitiremos utilizar cualquier transformación afín. Al hacer esto, tenemos más transformaciones y por lo tanto deberíamos esperar que nuestra clasificación tenga menos posibilidades. En efecto este es el caso.

De hecho, la razón por la cual hacemos esto es que al permitir a todas las transformaciones afines nuestros polinomios cuadráticos en dos variables (o curvas cuadráticas) quedan clasificadas en muy muy pocos tipos: una cantidad finita. A continuación enunciamos los resultados concretos.

El primer teorema es para polinomios cuadráticos en dos variables.

Teorema. Cualquier polinomio cuadrático en dos variables es afínmente equivalente a exactamente uno de los siguientes polinomios:

  1. $x^2+y^2-1$
  2. $x^2-y^2-1$
  3. $y^2-x$
  4. $x^2-y^2$
  5. $x^2+1$
  6. $x^2$
  7. $x^2+y^2$
  8. $x^2+y^2+1$
  9. $x^2+1$

¡Este resultado es fantástico! Existen muchísimas expresiones de la forma $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F$ y el teorema anterior nos dice que, en realidad, podemos «resumirlas» únicamente en nueve posibilidades muy fáciles de enunciar.

Como corolario, obtendremos el segundo resultado para clasificación mediante transformaciones afines: el correspondiente a las curvas cuadráticas.

Teorema. Cualquier curva cuadrática del plano es afínmente equivalente a exactamente una de las siguientes posibilidades:

  1. La circunferencia unitaria
  2. La hipérbola unitaria
  3. La parábola unitaria
  4. Las rectas $y=x$ y $y=-x$
  5. Las rectas $x=1$ y $x=-1$
  6. La recta $x=0$
  7. El origen
  8. El conjunto vacío

Una vez más, es increible que existiendo tantísimas curvas cuadráticas en el plano, sea posible resumirlas a tan solo ocho posibilidades.

Y, ¿por qué sirve esta clasificación?

En el transcurso de las siguientes entradas nos encontraremos con muchas situaciones concretas en las que clasificar una cónica será de utilidad. Mientras tanto discutimos esto de manera un poco informal. Imagina que comenzamos con el siguiente polinomio cuadrático en dos variables: $$P((x,y))=x^2-5xy-y^2+2x-y+5.$$

Tras hacer una figura en el plano usando alguna herramienta computacional, obtenemos que la curva cuadrática definida por $P$ se ve como en la siguiente figura.

Parece ser que esta es una hipérbola. Una de las ventajas del teorema de clasificación isométrica de curvas cuadráticas es que nos dirá que, en efecto, esto es una hipérbola. De hecho, tendremos una manera práctica de encontrar de manera explícita la transformación $T$ que manda el polinomio $P$ que define esta hipérbola $\mathcal{H}$ a un polinomio isométricamente equivalente $P’$ de una hipérbola canónica $\mathcal{H}’$.

¿Cuáles son los focos de $\mathcal{H}$? ¿Cuál es el centro de $\mathcal{H}$? ¿Cuál es la longitud de sus ejes? Esto no se aprecia claramente a partir del polinomio $P$. Sin embargo, la hipérbola $\mathcal{H}’$ tiene ecuación canónica, así que en $P’$ podemos leer fácilmente los focos, ejes y centro de $\mathcal{H’}$. Y luego usando precisamente la transformación $T$ podemos transferir esta información que sabemos de $\mathcal{H}’$ a $\mathcal{H}$. Por ejemplo, usando que $T$ es isometría obtenemos que $\mathcal{H}$ y $\mathcal{H}’$ tienen la misma longitud de ejes.

Más adelante…

En las siguientes entradas nos enfocaremos en demostrar los teoremas de clasificación aquí enunciados. Antes de hacer esto, debemos desarrollar un poco más de teoría. Por un lado, necesitamos comprender cómo las traslaciones nos pueden ayudar a «eliminar los términos lineales» de algunos polinomios cuadráticos. Luego, necesitamos comprender cómo las rotaciones nos pueden ayudar a «eliminar el término cruzado $xy$».

Las traslaciones las podremos entender fácilmente. Sin embargo, las rotaciones que «eliminan el término cruzado» requierirán que entendamos un nuevo procedimiento para matrices simétricas: el de diagonalizarlas. Esto nos llevará a discutir los eigenvalores, eigenvectores y el polinomio característico de la matriz.

Tarea moral

  1. Demuestra que cualesquiera dos segmentos del plano son afínmente equivalentes.
  2. Demuestra que cualesquiera dos rectángulos del plano son afínmente equivalentes.
  3. Resuelve los siguientes incisos:
    1. Prueba que dos cuadrados del plano son isométricamente equivalentes si y sólo si tienen la misma longitud de lado.
    2. Demuestra que cualquier cuadrado es isométricamente equivalente a algún cuadrado de vértices $(0,0)$, $(c,0)$, $(0,c)$ y $(c,c)$ para $c>0$.
    3. Demuestra que el cuadrado de vértices $(0,0)$, $(c,0)$, $(0,c)$ y $(c,c)$ tiene diagonal de longitud $\sqrt{2}c$.
    4. Usa todo lo anterior para demostrar que en cualquier cuadrado de lado $c$ se tiene que la diagonal mide $\sqrt{2}c$.
  4. En el teorema de clasificación afín de PCDV tenemos que cualquier PCDV es afínmente equivalente a exactamente una de las posibilidades enunciadas. En particular, esto implica que de esos nueve polinomios, no hay dos de ellos que sean afínmente equivalentes entre sí. Demuestra esto.
  5. Enuncia y demuestra un teorema de clasificación isométrico y un teorema de clasificación afín para triángulos en el plano.

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Geometría Analítica I: Forma vectorial de círculos, tangentes y polares

Por Héctor Morales

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Introducción

En la entrada anterior construimos un puente entre la intuición que tenemos de las circunferencias y el estudio formal que podemos hacer de ellas utilizando las herramientas de la geometría analítica. Ahora queremos ir más allá de las propiedades básicas del círculo, como lo son su centro y su radio, para abordar propiedades un poco más avanzadas; sus rectas tangentes y polares.

Veremos a lo largo de esta entrada cómo la ecuación vectorial de la circunferencia nos prueba su utilidad al abordar problemas geométricos tales como encontrar puntos de tangencia sobre una circunferencia, hacer demostraciones que involucren las secantes de un círculo, entre otros.

Líneas tangentes a un círculo

Antes de abordar el tema de las líneas tangentes a un círculo, mecionaremos brevemente un problema físico que nos puede motivar a estudiarlo. El problema de la polea consiste en encontrar la longitud de un cable que conecta a dos circunferencias de radio $r_1$ y $r_2$ que no se cruzan; cuyos centros están separados por una distancia $P$. Aunque sea un problema en apariencia sencillo su solución requiere de herramientas como líneas bitangentes, ángulos verticales y congruencia. Pese a que la su solución no es trivial, es un problema de ingeniería bastante importante, pues se usa en el diseño de aeroplanos, bicicletas, autos, etc. No escribiremos explícitamente la solución a este problema, por el momento sólo diremos que para resolverlo es fundamental utilizar el concepto de línea tangente.

Problema de la polea

Ahora que comentamos una motivación, empezaremos a discutir el concepto de línea tangente. Intuitivamente podemos pensar que las líneas tangentes son las que tocan a una circuferencia en uno solo de sus puntos. Esto tiene varias implicaciones; la primera de ellas es que podemos pensar en las tangentes como las normales a los radios (los segmentos del centro a sus puntos). Empezaremos proponiendo la definición de las líneas tangentes y haremos una discusión detallada de cada uno de los elementos de esta definición.

Definición. Si $\mathbf{a}$ es un punto del círculo $\mathcal{C}$ dado por la ecuación vectorial

\begin{equation}
(\boldsymbol{x}-\mathbf{p}) \cdot(\boldsymbol{x}-\mathbf{p})=\mathrm{r}^{2}
\end{equation}

entonces su línea tangente es la recta $\ell$ normal a $(\mathbf{a} – \mathbf{p})$ y que pasa por $\mathbf{a}$.

Esta definición tiene algunas implicaciones interesantes que para los elementos que la constituyen que vale la pena observar con detalle. La primera es que, puesto que $\mathbf{a}$ es el punto más cercano a $\mathbf{p}$ en esta recta, para cualquier otro punto $x \in \ell$ se tiene que $\mathrm{d}(\boldsymbol{x}, \mathbf{p})>\mathrm{r}$. Dicho de una forma más sencilla: cualquier otro punto que no sea el punto de tangencia estará alejado del centro del círculo una distancia mayor que el radio. Puedes observar la figura para convencerte de este hecho.

Línea tangete del círculo y punto de tangencia.

Continuando nuestra exploración de los elementos de la definición que acabamos de presentar, observa que el círculo $\mathcal{C}$ parte el plano en dos pedazos; el interior donde $\mathrm{d}(\boldsymbol{x}, \mathbf{p})<\mathrm{r}$, y el exterior donde $\mathrm{d}(\boldsymbol{x}, \mathbf{p})>\mathrm{r}$, de esta forma $\ell$ está contenida en el exterior salvo por el punto $a \in \mathcal{C}$.

Para obtener una expresión analítica de las líneas tangentes conviene recordar las herramientas vectoriales que fueron presentadas durante la primera unidad, te podrás dar cuenta que si utilizamos la forma de la ecuación normal de recta con los elementos de nuestra definición, podemos ver que la recta $\ell$ está dada por la ecuación

\begin{equation}
\boldsymbol{x} \cdot(\boldsymbol{a}-\mathbf{p})=\boldsymbol{a} \cdot(\boldsymbol{a}-\mathbf{p}),
\end{equation}

esta ecuación tiene una manera más interesante de escribirse; si restamos $\mathbf{p} \cdot(\mathbf{a}-\mathbf{p})$ a ambos lados, se obtiene:

$$
\mathbf{x} \cdot(\mathbf{a}-\mathbf{p})-\mathbf{p} \cdot(\mathbf{a}-\mathbf{p})=\mathbf{a} \cdot(\mathbf{a}-\mathbf{p})-\mathbf{p} \cdot(\mathbf{a}-\mathbf{p})
$$

$$
(\mathbf{x}-\mathbf{p}) \cdot(\mathbf{a}-\mathbf{p})=(\mathbf{a}-\mathbf{p}) \cdot(\mathbf{a}-\mathbf{p})
$$

$$
(\mathbf{x}-\mathbf{p}) \cdot(\mathbf{a}-\mathbf{p})=r^{2}
$$

Esta forma de escribir la ecuación será importante en la siguiente sección cuando abordemos las rectas polares, sin embargo, antes de pasar a la siguiente sección hagamos un ejemplo sobre cómo encontrar la tangente de una circuferencia.

Ejemplo. Supongamos que tenemos un círculo con centro en $(4,-3)$ y radio $5$. Encuentre la línea de tangencia que pasa por el punto $(4,2)$.

Primero tenemos que verificar que el punto está dentro de la circunferencia. Si escribimos la ecuación cartesiana de nuestro círculo

\begin{equation}
(x-4)^{2} + (x+3)^{2}=25
\end{equation}

y sustuimos el punto $(4,2)$. Podemos darnos cuenta que el punto sí está en la circunferencia. Como ya vimos que está sobre el círculo, sólo tenemos que sustituir en la expresión analítica de la línea tangente

\begin{equation}
\boldsymbol{x} \cdot(\boldsymbol{a}-\mathbf{p})=\boldsymbol{a} \cdot(\boldsymbol{a}-\mathbf{p})
\end{equation}

los valores del punto de tangencia y el centro de la circunferencia. Haciendo esto tenemos que:

\begin{equation}
\boldsymbol{x} \cdot ((4,2)-(4,-3)) =\boldsymbol{a} \cdot ((4,2)-(4,-3))
\end{equation}

Por lo tanto, la ecuación de la línea tangente será:

\begin{equation}
\boldsymbol{x} \cdot (0,5) =\boldsymbol{a} \cdot (0,5)
\end{equation}

Escrito en forma cartesiana, tenemos que la recta tangente a nuestra circunferencia a través de ese punto es $y=2$.

Como vimos en nuestro ejemplo, obtener la expresión analítica de la línea tangente a través de un punto es muy fácil si recordamos la definición vectorial. Para terminar esta sección utiliza el siguiente recuadro interactivo para explorar diferentes líneas tangentes de una circunferencia. Nota cómo el punto de tangencia siempre se encuentra en los «bordes» del círculo. ¿Podríamos generalizar vecotrialmente el concepto de tangencia para puntos que no se encuentran sobre la circunferencia?

Líneas polares de un círculo

Para empezar nuestro estudio de las líneas polares de un círculo, recuerda el último desarrollo algebraico que hicimos en la sección anterior: ese en el cual sustituimos $\mathbf{a}$ en una de las instancias de $\mathbf{x}$ en la ecuación vectorial. Recuerda cómo en el caso de la línea tangente, consideramos que el punto $\mathbf{a}$ estaba sobre la circunferencia. Con esto en mente, estamos listos para dar una definición de línea polar.

Definición. Consideremos un punto $\mathbf{a}$ en el plano, diferente del centro $(\mathbf{a} \neq \mathbf{p})$, diremos que $\ell_{a}$ es la recta polar de $\mathbf{a}$ respecto al círculo $\mathcal{C}$ y definiremos $\ell_{a}$ como

\begin{equation}
\ell_{\mathbf{a}}: \quad(\boldsymbol{x}-\mathbf{p}) \cdot(\boldsymbol{a}-\mathbf{p})=\mathrm{r}^{2}
\end{equation}

De la definición, se sigue que cuando $\boldsymbol{a} \in \mathcal{C}$ su polar $\ell_{\mathbf{a}}$ es su tangente. Como te puedes dar cuenta, las líneas polares son algo así como una generalización de las líneas tangentes; estamos repitiendo los desarrollos algebraicos que utilizamos en la primera sección sin restringirnos a los puntos que están sobre la circunferencia. Nuestra definición de líneas polares tiene varias consecuencias interesantes; una de ellas es que si el punto $\mathbf{a}$ está en el interior del círculo, entonces $\ell_{a}$ no lo intersecta (está totalmente contenida en el exterior), y que si está en el exterior (el punto $\mathbf{b}$ en la siguiente figura), entonces lo corta, y además lo corta en los dos puntos de $\mathcal{C}$ a los cuales se pueden trazar tangentes.

Existen tres posibles casos, que el punto polar esté dentro de la circunferencia, fuera o que esté sobre ella. El último caso se exploró a detalle en la primera parte de esta entrada.

Vamos a demostrar los enunciados que presentamos en el párrafo anterior. Para esto, expresemos las ecuación $\ell_{a}$ en su forma normal; desarrollando [numero de ecuacion de la definición] se obtiene:

\begin{equation}
\boldsymbol{x} \cdot(\boldsymbol{a}-\mathbf{p})=\mathrm{r}^{2}+\mathbf{p} \cdot(\boldsymbol{a}-\mathbf{p})
\end{equation}

Esto indica que $\ell_{a}$ es perpendicular al vector que va de $\mathbf{p}$ a $\mathbf{a}$. Ahora veamos cuál es su punto de intersección con la recta que pasa por $\mathbf{p}$ y $\mathbf{a}$. Parametricemos esta última recta con $\mathbf{p}$ de cero y $\mathbf{a}$ de uno (es decir como $\mathbf{p}+\mathbf{t}(\mathbf{a}-\mathbf{p})$) y podemos despejar $t$ al sustituir en la variable $\mathbf{x}$ de la ecuación anterior (o bien, esto se ve más directo al sustituir en la [numero de ecuacion de la definición] ), para obtener

\begin{equation}
t=\frac{r^{2}}{(\mathbf{a}-\mathbf{p}) \cdot(\mathbf{a}-\mathbf{p})}=\frac{r^{2}}{d(\mathbf{p}, \mathbf{a})^{2}} .
\end{equation}

Entonces la distancia de $\mathbf{p}$ a $\ell_{a}$ es

\begin{equation}
\mathrm{d}\left(\mathbf{p}, \ell_{a}\right)=\mathrm{t} \mathrm{d}(\mathbf{p}, \mathbf{a})=\frac{\mathrm{r}^{2}}{\mathrm{~d}(\mathbf{p}, \mathbf{a})}=\left(\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{d}(\mathbf{p}, \mathbf{a})}\right) \mathrm{r}
\end{equation}

y tenemos lo primero que queríamos probar: si $\mathrm{d}(\mathbf{p}, \boldsymbol{a})<\mathrm{r}$ entonces $\mathrm{d}\left(\mathbf{p}, \ell_{\mathbf{a}}\right)>\mathrm{r}$; y al revés, si $\mathrm{d}(\mathbf{p}, \mathbf{a})>\mathrm{r}$ entonces $\mathrm{d}\left(\mathbf{p}, \ell_{\mathbf{a}}\right)<\mathrm{r}$. Dicho de otra manera, si el punto $\mathbf{a}$ está muy cerca de $\mathbf{p}$, su polar está muy lejos, y al revés, sus distancias al centro $\mathbf{p}$ se comportan como inversos «alrededor de r».

Para demostrar la segunda de nuestras afirmaciones, supongamos ahora que $\mathrm{d}(\mathbf{p}, \mathbf{a})>\mathrm{r}$, y sea $\mathbf{c}$ un punto en $\ell_{a} \cap \mathcal{C}$ (que sabemos que existe pues $\ell_{a}$ pasa por el interior de $\mathcal{C}$). Puesto que $\mathbf{c} \in \ell_{\mathrm{a}}$, se cumple la ecuación

\begin{equation}
(\mathbf{c}-\mathbf{p}) \cdot(\mathbf{a}-\mathbf{p})=\mathbf{r}^{2}
\end{equation}

Pero entonces $\mathbf{a}$ cumple la ecuación de $\ell_{c}$ que es la tangente a $\mathcal{C}$ en $\mathbf{c}$; es decir, la línea de $\mathbf{a}$ a $\mathbf{c}$ es tangente al círculo. Este argumento, visto de una forma todavía más general nos dice que para cualesquiera dos puntos $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ (distintos de $\mathbf{p}$) se tiene que

\begin{equation}
a \in \ell_{b} \Leftrightarrow \mathbf{b} \in \ell_{a}
\end{equation}

Y los puntos del círculo son los únicos para los cuales se cumple que $\mathbf{a} \in \ell_{a}$. Puedes apoyarte en la siguiente figura para seguir el desarollo anterior.

Date cuenta cómo a lo largo de este procedimiento sin querer aprendimos a calcular los puntos de tangencia a un círculo desde un punto exterior $\mathbf{a}$. A saber, de la ecucación lineal de su polar, $\ell_{a}$, se despeja alguna de las dos variables y se sustituye en la ecuación del círculo. Esto nos da una ecuación de segundo grado en la otra variable que se puede resolver, y nos da dos raíces. Sustituyéndolas de nuevo en la ecuación de la polar se obtiene el otro par de coordenadas.

Para dejar bien claro este procedimiento, hagamos un ejercicio sobre cómo encontrar los puntos de tangencia desde un punto fuera de la circunferencia.

Ejemplo. Supongamos que tenemos un círculo con centro en $(3,-1)$ y radio $2$, encontraremos los puntos de tangencia desde el punto $\mathbf{a}=(1,3)$.

Podemos iniciar de dos maneras diferentes: la primera es utilizando lo que aprendimos en la entrada anterior, escribiendo directamente la ecuación vectorial de la circunferencia. Si hacemos esto, encontraremos que la circunferencia tiene la siguiente expresión vectorial

\begin{equation}
((x, y)-(3,-1)) \cdot((x, y)-(3,-1))=4 .
\end{equation}

Otra alternativa sería primero escribir la ecuación cartesiana y luego desarrollarla para pasarla a su forma vectorial; de ambas maneras, lo importante es escribir a la circunferencia en su forma vectorial. Ahora, para conocer los puntos de tangencia desde $\mathbf{a}=(1,3)$ sustituimos en la forma alternativa de la ecuación de la tangente:

$$((x, y)-(3,-1)) \cdot((1,3)-(3,-1))=4$$
$$(x-3, y+1) \cdot(-2,4)=4$$
$$-2 x+4 y+10=4$$
$$x-2 y=3 .$$

De aquí, para encontrar $\ell_{a} \cap \mathcal{C}$, conviene sustituir $x=3+2 y$ en la ecuación original del cícurlo para obtener

\begin{equation}
\begin{aligned}
(3+2 y)^{2}+y^{2}-6(3+2 y)+2 y &=-6 \
5 y^{2}+2 y-3 &=0
\end{aligned}
\end{equation}

Las raíces de esta ecuación cuadrática se pueden obtener utilizando la fórmula general:

\begin{equation}
y=\frac{-2 \pm \sqrt{4+60}}{10}=\frac{-2 \pm 8}{10}
\end{equation}

que nos da los valores $y_{0}=-1$ y $y_{1}=\frac{3}{5}$. Y estos, al sustituir de nuevo la ecuación de la polar nos dan los puntos de tangencia de $\mathbf{a}$; que son $(1,-1)$ y $\frac{1}{5}(21,3)$. Puedes verificar que satisfacen la ecuación del círculo sustituyendo en la ecuación lineal de la polar, y que efectivamente sus tangentes pasan por $\mathbf{a}$.

Para finalizar esta entrada te invito a que experimentes un momento con el recuadro interactivo. Nota cómo las líneas polares se convierten en las líneas tangentes cuando haces que el punto $\mathbf{a}$ esté sobre la circunferencia.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Encuentra los puntos de tangencia: al círculo $x^{2}-2 x+y^{2}-4 y=-3$ desde el punto $(-1,2)$. Sugerencia: puedes consultar el segundo ejercicio realizado en esta entrada.
  • Demuestra que si $\mathbf{c}$ es un punto exterior (al círculo $\mathcal{C}$ con centro $P$ ) entonces su recta a $P$ biseca sus dos tangentes a $\mathcal{C}$. Y además que las distancias a sus pies en $\mathcal{C}$ (es decir, a los puntos de tangencia) son iguales. Sugerencia: Puedes utilizar la siguiente figura para tu demostración y pensar en el teorema de Pitágoras y en el criterio de congruencia LLL.

Más adelante…

En esta entrada finalizamos nuestra discusión de las circunferencias; la primera de las secciones cónicas que abordamos en nuestro curso. En la siguiente entrada podrás ver una serie de ejercicios para familiriazarte con la manipulación algebrica o vectorial de los conceptos que hemos introducido hasta ahora. En las siguientes entradas continuaremos nuestro estudio de las secciones cónicas hablando de parábolas, hipérbolas y elipses. Veremos cómo no es tan fácil dar una ecuación vectorial para el resto de las secciones cónicas; esto lo entenderemos tan pronto como empecemos a hablar de parábolas.

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Geometría Analítica I: Círculos

Por Héctor Morales

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Introducción

En nuestra vida cotidiana podemos encontrar muchos ejemplos de circunferencias. Desde la forma de una rueda, hasta el contorno de una taza y por supuesto en muchos fenómenos físicos como la trayectoria de una partícula en un campo magnético o el movimiento de un satélite alrededor de un planeta. Esta familiariadad que tenemos con las circunferencias, hacen que ésta sea la sección cónica más fácil de reconocer, pues incluso sin estudios formales en geometría estamos familiarizados con sus propiedades.

En esta entrada del blog propondremos una definición formal para la circunferencia; partiendo de la definición de la circunferencia como lugar geométrico, llegaremos a la ecuación cartesiana con la que probablemente ya estés familiarizado. Abordaremos la ecuación vectorial del círculo y vamos a ver qué ventajas tiene sobre la ecuación cartesiana.

Ecuación cartesiana de circunferencia

Probablemente en algún curso previo de álgebra o de geometría te hayas encontrado con el círculo unitario $\mathbb{S}^{1}$, definido por la ecuación

\begin{equation}
x^{2}+y^{2}=1
\end{equation}

Para generalizar las nociones que tenemos del círculo unitario a una circunferencia arbitraria, consideremos ahora a cualquier otro círculo $\mathcal{C}$. Tiene un centro $\mathbf{p}=(h, k)$, un radio $r>0$ y es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a $\mathbf{p}$ es $r$. Es decir, $\mathcal{C}=\left\lbrace\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{2} \mid d(\mathbf{x}, \mathbf{p})=r\right\rbrace$; o bien, $\mathcal{C}$ está definido por la ecuación

\begin{equation}
d(\mathbf{x}, \mathbf{p})=r.
\end{equation}

La información geométrica clave de una circunferencia son su centro y su radio. Ambos se pueden pensar en términos de sus coordenadas cartesianas, o bien como vectores.

Puesto que ambos lados de esta ecuación son positivos, es equivalente a la igualdad de sus cuadrados que en coordenadas cartesianas toma la forma

\begin{equation}
(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}
\end{equation}

Así, todos los círculos de $\mathbb{R}^{2}$ están determinados por una ecuación cuadrática en las variables $x$ y $y$. Cuando la ecuación tiene la forma anterior, podemos leer inmediatamente toda la información geométrica (el centro y el radio). Lamentable, la mayoría de las veces que nos encontremos con ecuaciones de circunferencias las encontraremos «disfrazadas» como

\begin{equation}
x^{2}+y^{2}-2 h x-2 k y=\left(r^{2}-h^{2}-k^{2}\right)
\end{equation}

Es fácil ver que esta forma de escribir la circunferencia se obtiene al desarrollar la primera expresión. Véamos un ejemplo de cómo pasar una ecuación de circunferencia a su forma reducida.

Ejemplo. Consideremos la ecuación

\begin{equation}
x^{2}+y^{2}-6 x+2 y=-6 \text { . }
\end{equation}

Tenemos que determinar si la ecuación anterior define un círculo, y en caso de que así sea, qué características tiene. Lo primero que tenemos que hacer es completar los cuadrados, sumando en ambos lados las constantes que faltan

\begin{equation}
(x^{2}-6 x+9)+(y^{2}+2 y+1) =-6+9+1 \rightarrow (x-3)^{2}+(y+1)^{2} =4
\end{equation}

Claramente si desarrollamos esta última ecuación obtenemos la original. Así, podemos concluir que la ecuación define al círculo con centro en $(3,-1)$ y radio $2$.

Para terminar esta sección, puedes utilizar la ventana interactiva de GeoGebra para familiarizarte con la ecuación cartesiana de la circunferencia. Varía el radio y el centro del círculo y observa cómo cambia la ecuación. Intenta hacer una circunferencia por cada uno de los cuadrantes del plano poniendo mucha atención cómo cambian los signos dentro de los sumandos. Prueba casos límite ¿qué pasa si el radio el cero? ¿Un punto es una circunferencia?

Ecuación vectorial de circunferencia

Si nuestra ecuación cartesiana de circunferencia ya nos permitía «leer» toda la información geométrica de un círculo completando cuadrados, te puede parecer superfluo proponer una definición vectorial de la circunferencia. La motivación que tenemos para hacer esto es que una definición vectorial, al no hacer referencia a las coordenadas, tiene sentido en cualquier dimensión. Esto quiere decir que a diferencia de la ecuación cartesiana que sólo nos sirve para $\mathbb{R}^{2}$, una ecuación vectorial nos permitirá definir esferas en $\mathbb{R}^{3}$ y en dimensiones mayores.

Sin más preámbulo, diremos que el círculo $C$ con centro $\mathbf{p}$ y radio $r$ está definido por la ecuación

\begin{equation}
(\mathbf{x}-\mathbf{p}) \cdot(\mathbf{x}-\mathbf{p})=r^{2}
\end{equation}

Si tienes dificultades entendiendo por qué se utilizó el producto punto, te ayudará recordar que en la primera unidad de nuestro curso definimos la distancia euclidiana entre dos vectores (o norma) como el producto punto (o producto interior) del vector consigo mismo. En nuestro caso, sólo partimos de la definición de circunferencia como el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un mismo punto y aplicamos la definición vectorial de distancia.

La ecuación, que llamaremos ecuación vectorial del círculo, se puede también reescribir como

\begin{equation}
\mathbf{x} \cdot \mathbf{x}-2 \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}+\mathbf{p} \cdot \mathbf{p}=r^{2}
\end{equation}

Veamos un ejemplo de la ecuación vectorial del círculo para familirizarnos con ella.

Ejemplo. Considere la circunferencia con centro en $(3,1)$ y radio $2$. Encuentre su ecuación vectorial y su ecuación cartesiana. Demuestre que ambas ecuaciones son equivalentes.

Lo primero que tenemos que hacer es obtener la ecuación vectorial de la circunferencia. Utilizando la definición que acabamos de escribir en esta entrada, podemos ver que la ecuación que buscamos es

\begin{equation}
(\mathbf{x}-(3,1)) \cdot(\mathbf{x}-(3,1))= 4
\end{equation}

También utilizando la definición para la ecuación cartesiana

\begin{equation}
(x-3)^{2}+(y-1)^{2}=4
\end{equation}

Estas dos expresiones, son las ecuaciones que buscamos. Sólo nos falta demostrar su equivalencia. Recordando las propiedades del producto punto que introducimos en la unidad anterior

\begin{equation}
\begin{array}{l}
(\mathbf{x}-(3,1)) \cdot (\mathbf{x}-(3,1)) = 4 \\
((x,y)-(3,1)) \cdot ((x,y)-(3,1)) = 4 \\
(x-3,y-1) \cdot (x-3,y-1) = 4 \\
(x-3)^{2}+(y-1)^{2}=4
\end{array}
\end{equation}

¡Listo! Ya nos convencimos que la ecuación cartesiana y la ecuación vectorial son equivalentes cuando estamos trabajando en $\mathbb{R}^{2}$. Por el momento, conservemos la idea de que la ecuación vectorial es un poco más general y de ella se puede extraer mucha información geométrica interesante.

Para finalizar esta sección, utiliza el siguiente recuadro interactivo para familiziarte con la ecuación vectorial del círculo. Manipula el centro y el radio para ver cómo se reescribe la ecuación y entiende muy bien cómo el producto punto es la operación clave de la definición. ¿Puedes encontrar los parámetros adecuados para hacer que en ambos interactivos tengamos círculos equivalentes con diferentes formas de escribir la ecuación?

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son ecuaciones de un círculo? Y en su caso, ¿de cuál?

\begin{equation}
\begin{array}{l}
x^{2}-6 x+y^{2}-4 y=12 \\
x^{2}+4 x+y^{2}+2 y=11 \\
2 x^{2}+8 x+2 y^{2}-4 y=-8 \\
x^{2}-4 x+y^{2}-2 y=-6 \\
4 x^{2}+4 x+y^{2}-2 y=4
\end{array}
\end{equation}

  • ¿Cuál es el lugar geométrico de los centros de los círculos que pasan por dos puntos (distintos) $a$ y $b$? Sugerencia: considera la definición geométrica de la circunferencia como el conjunto de puntos que equidistan de un centro y ten en cuenta la definición vectorial de la mediatriz.
  • Sean $p$ y $q$ dos puntos distintos en el plano. ¿Para cuáles números reales $c$, se tiene que la sigueinte ecuación define un círculo? En su caso, ¿cuál es el radio y dónde está su centro?

\begin{equation}
(\mathbf{x}-\mathbf{p}) \cdot(\mathbf{x}-\mathbf{q})=c
\end{equation}

  • Determinar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por los tres puntos $A(-1,1)$, $B(3,5)$ y $C(5,-3)$. Sugerencia: considera que la ecuación buscada tiene la forma $x^2 + y^2 + Dx+ Ey + F= 0$, luego sustituye la información que te ofrece el problema para llegar a un sistema de ecuaciones y resuélvelo.

Más adelante…

En esta entrada discutimos detalladamente las definiciones cartesianas y vectorial de la circunferencia, propusimos algunos ejemplos para familirizarnos con estas expresiones y aprendimos a «leer» la información geométrica que guardan. Sin embargo, no hemos acabado nuestro estudio de las circunferencias. En las siguientes entradas abordaremos el tema de las rectas tangentes y polares y resolveremos algunos ejercicios relacionados a estas secciones cónicas.

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Seminario de Resolución de Problemas: Introducción a problemas de geometría y geometría euclideana

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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Introducción

En esta semana veremos algunas herramientas para resolver problemas de geometría. Como con otros temas que hemos visto, sería imposible tratar a profundidad el área. En vez de eso, lo que haremos es ver un poco de varias de las herramientas que se pueden usar en la solución de problemas geométricos, comenzando con geometría euclideana. Veremos ideas de lo siguiente:

  • Geometría triángulos y circunferencias
  • Geometría analítica
  • Vectores en geometría
  • Números complejos en geometría
  • Geometría discreta

En esta entrada comenzaremos con la parte de geometría euclideana. Más adelante hablaremos de las demás ideas.

Geometría euclideana

Cuando en geometría nos referimos a una solución por geometría euclideana o geometría sintética nos referimos a un argumento que no use parametrizaciones de los objetos del plano en términos de coordenadas, vectores o complejos. Simplemente usamos conceptos geométricos como ángulos, distancias, semejanza, congruencia, etc. Todas estas se pueden pensar como propiedades que se mantienen invariantes bajo movimientos rígidos del plano. Dentro de los resultados más versátiles del área tenemos los siguientes.

Teorema (de Tales). Tomemos puntos $P$ y $Q$ sobre los lados $AB$ y $AC$ de $\triangle ABC$. Se tiene que $AP/AQ = AB/AC$ si y sólo si la recta $PQ$ es paralela a la recta $BC$.

El teorema de Tales
Teorema de Tales

Teorema (criterios de congruencia). Sean $\triangle ABC$ y $\triangle DEF$ triángulos. Cualquiera de las siguientes condiciones (o sus simétricos) implican que $\triangle ABC$ y $\triangle DEF$ son congruentes:

  • (LLL) $AB=DE$, $BC=EF$ y $CA=FD$
  • (LAL) $AB=DE$, $\angle BAC = \angle EDF$ y $CA=FD$
  • (ALA) $\angle BAC = \angle EDF$, $CA=FD$ y $\angle BCA – \angle EFD$.

Teorema (criterios de semejanza). Sean $\triangle ABC$ y $\triangle DEF$ triángulos. Cualquiera de las siguientes condiciones (o sus simétricos) implican que $\triangle ABC$ y $\triangle DEF$ son semejantes.

  • (LLL) $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}$.
  • (LAL) $\frac{AB}{DE}=\frac{CA}{FD}$ y $\angle BAC = \angle EDF$.
  • (AA) $\angle BAC = \angle EDF$ y $\angle BCA – \angle EFD$.

Veamos un ejemplo en el que se usan estos hechos básicos.

Problema. Sobre los lados $AB$ y $AC$ de un triángulo $ABC$ se construyen cuadrados $ABPQ$ y $ACRS$ como en la figura. Muestra que $CQ=BS$.

Sugerencia pre-solución. En geometría es típico modificar un problema. En vez de intentar medir los segmentos requeridos, es útil preguntarse si forman parte de triángulos que sean congruentes, o que sea pueda ver que son congruentes por algún criterio. Por supuesto, en todo problema de geometría es útil hacer muchas figuras.

Problema de geometría euclidiana con cuadrados
Figura auxiliar para problema de cuadrados en un triángulo.

Solución. Consideremos los triángulos $ABS$ y $AQC$. Tenemos que $AB=AQ$ pues ambos son lados del cuadrado $ABPQ$. De manera similar, $AC=AS$. Finalmente, tenemos que $\angle BAS = \angle QAC$, pues ambos ángulos son iguales a $$90^\circ + \angle BAC.$$

Por esta razón, podemos usar el criterio de congruencia $LAL$ en estos triángulos para concluir que son congruentes. De aquí se concluye que $CQ=BS$, como queríamos.

$\square$

Recordatorio de puntos notables en triángulos

Otro tema relevante para la geometría euclideana es la geometría de triángulos. Tomemos un triángulo $\triangle ABC$. Hay algunos puntos y rectas notables en el triángulo, que se usan en varios problemas. A continuación enunciamos las más importantes.

  • Si $L$, $M$ y $N$ son los puntos medios de $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente, entonces a cada una de las rectas $AL$, $BM$ y $CN$ se le conoce como una mediana. Las medianas de un triángulo concurren en un punto llamado el gravicentro o baricentro, que usualmente se denota por $G$.
Medianas de un triángulo y su gravicentro
Medianas de un triángulo y su gravicentro
  • Si $D$, $E$ y $F$ son las proyecciones desde $A$, $B$, $C$ a los lados $BC$, $CA$ y $AB$ respectivamente, entonces a cada una de las rectas $AD$, $BE$ y $CF$ se le conoce como una altura. Las alturas de un triángulo concurren en un punto llamado el ortocentro, que usualmente se denota por $H$.
Alturas de un triángulo y su ortocentro
Alturas de un triángulo y su ortocentro
  • Las rectas que cortan a la mitad a cada uno de los ángulos internos de $\triangle ABC$ se les conoce como las bisectrices internas del triángulo. Concurren en un punto llamado el incentro, usualmente denotado por $I$. El incentro sirve como centro para la única circunferencia que es tangente a los segmentos $AB$, $BC$ y $CA$.
Bisectrices de un triángulo y su incentro
Bisectrices de un triángulo y su incentro
  • Las rectas perpendiculares a los lados del triángulo y que pasan por sus puntos medios se les llama mediatrices y concurren en un punto llamado el circuncentro, que se suele denotar $O$. Este punto sirve como centro de la única circunferencia que pasa por los tres vértices $A$, $B$ y $C$.
Mediatrices de un triángulo y su circuncentro
Mediatrices de un triángulo y su circuncentro

Veamos las demostraciones de algunas de estas afirmaciones, para repasar algunos argumentos geométricos.

Una idea útil es caracterizar a una recta como el conjunto de puntos que satisfacen cierta propiedad. Por ejemplo, probemos primero la siguiente caracterización de las mediatrices.

Proposición. La recta perpendicular $\ell$ a un segmento $BC$ que pasa por su punto medio $L$ consiste exactamente de los puntos $P$ tales que $PB=PC$.

Demostración. Para ver que cualquier punto en $\ell$ satisface esto, se puede usar el criterio LAL de congruencia en los triángulos $PBL$ y $PCL$, usando el ángulo recto que comparten. Para ver que cualquier punto tal que $PB=PC$ está en $\ell$, se usa que $\angle PBC = \angle PCB$ (por el triángulo isósceles $PBC$), y entonces al bajar la perpendicular desde $P$ a $BC$ a un punto $L’$, los triángulos $PBL’$ y $PCL’$ comparten dos ángulos (y por lo tanto los tres), de donde se puede usar de nuevo el criterio LAL para concluir que $L=L’$.

$\square$

Demostrar que las mediatrices concurren es entonces muy sencillo. Si $P$ es la intersección de la mediatriz en $BC$ y en $CA$, entonces por el resultado anterior tenemos $PB=PC=PA$, y entonces también por el resultado anterior se tiene que $P$ está en la mediatriz de $AB$. De manera análoga se puede mostrar que una bisectriz consiste de los puntos que equidistan de los lados que la definen, y con ello mostrar que las bisectrices internas de un triángulo concurren.

Veamos ahora un problema de geometría euclideana que involucra a las alturas y a las medianas. Es el Problema 1 del Concurso Nacional de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas de 2009.

Problema. Sea $ABC$ un triángulo y $D$ el pie de la altura desde $A$. Con centro en $D$ se traza una circunferencia de radio $DA$. Esta circunferencia corta a los lados $AB$ y $AC$ del triángulo en puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Muestra que los triángulos $AQP$ y $ABC$ son semejantes.

Sugerencia pre-solución. Para mostrar que estos triángulos son semejantes, basta con mostrar que tienen ángulos iguales.

Solución. Tracemos además los pies de altura $E$ y $F$ desde $B$ y $C$ respectivamente.

Ángulos creados por alturas de un triángulo.
Ángulos creados por alturas de un triángulo.

Observemos que $\triangle ABD$ y $\triangle CBF$ comparten los ángulos rectos y el ángulo en $B$, de modo que son semejantes y por lo tanto su tercer ángulo es igual. Este y argumentos análogos muestran que
\begin{align*}
\alpha&:=\angle ABE = \angle ACF\\
\beta&:=\angle BAD = \angle BCF\\
\gamma&:= \angle CBE = \angle CAD.
\end{align*}

De esta forma, los ángulos internos de $\triangle ABC$ miden $\angle A= \beta+\gamma$, $\angle B = \gamma+\alpha$ y $\angle C = \alpha+\beta$. Ya que la suma interna de los ángulos de un triángulo es $180^\circ$, concluimos que $\alpha+\beta+\gamma = 90^\circ$.

Ahora, usando los triángulos isósceles $\triangle ADP$ y $\triangle ADQ$ del problema, tenemos que
\begin{align*}
\angle DPA &= \angle DAP = \beta\\
\angle DQA &= \angle DAQ = \gamma.
\end{align*}

Figura auxiliar para el problema
Figura auxiliar para el problema

Como $\triangle PDQ$ también es isósceles con $PD=DQ$, tenemos que $$\alpha’=:\angle DPQ = \angle DQP.$$ Por la suma de ángulos en el triángulo $APQ$, tenemos que $\alpha’+\beta + \gamma = 90^\circ$. Así, $\alpha = \alpha’$. Concluimos entonces que en el $\triangle PAQ$ los ángulos internos son $\angle A = \beta+ \gamma$, $\angle P = \alpha+\beta$ y $\angle Q = \gamma + \alpha$.

De esta forma, los triángulos $ABC$ y $AQP$ son semejantes por el criterio AA.

$\square$

Otra técnica útil para resolver problemas de geometría consiste en mostrar que un punto está en dos rectas notables (por ejemplo, en las medianas $AL$ y $BM$), deducir que entonces es el punto notable correspondiente (en este caso el gravicentro $G$), y usar la información de que entonces la recta por el tercer vértice y el punto es la tercer recta notable (que en el ejemplo diría que $CG$ es la mediana).

Recordatorio de geometría del círculo

Un tercer ingrediente básico para la geometría euclideana es entender qué pasa con las circunferencias. Tomemos una circunferencia $\Gamma$ y dos puntos fijos $A$ y $B$ sobre ella. Tomemos $C$ y $D$ otros dos puntos sobre $\Gamma$ distintos de $A$ y $B$ sobre el mismo arco definido por $A$ y $B$ y sea $E$ otro punto sobre $\Gamma$, en el arco opuesto. Entonces

  • Los ángulos $\angle ACB$ y $\angle ADB$ son iguales.
  • Los ángulos $\angle ACB$ y $\angle AEB$ son suplementarios, es decir, suman $180^\circ$.
Ángulos en cuadriláteros cíclicos
Ángulos en cuadriláteros cíclicos

De hecho, este resultado es un si y sólo si. Para $A$, $B$, $C$, $D$ puntos distintos en el plano:

  • Si $\angle ACB$ y $\angle ADB$ son iguales, entonces $A$, $B$, $C$, $D$ son puntos sobre una circunferencia y $C$ y $D$ están en el mismo arco definido por $A$ y $B$ y
  • Si los ángulos $\angle ACB$ y $\angle ADB$ son suplementarios, entonces $A$, $B$, $C$, $D$ son puntos sobre una circunferencia y $C$ y $D$ están en arcos opuestos definidos por $A$ y $B$.

Cuando $A$, $B$, $C$ y $D$ son puntos distintos que yacen sobre una misma circunferencia, en ese orden, decimos que $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico.

Teorema (potencia de un punto). Sea $P$ un punto y $\Gamma$ una circunferencia. Tomemos dos rectas por $P$ que corten a la circunferencia en puntos $A$, $B$, $C$ y $D$ como en alguna de las figuras. Entonces $PA\cdot PB = PC \cdot PD$.

Diagrama para teorema de potencia de un punto
Diagrama para teorema de potencia de un punto

Veamos un problema de la Olimpiada Matemática de la Cuenca del Pacífico en donde confluyen algunas de estas ideas. Es el problema 1 de la edición de 2016.

Problema. Un triángulo $ABC$ es grandioso si para cualquier punto $D$ en el lado $BC$, cuando se toman los pies de las perpendiculares $P$ y $Q$ de $D$ a las rectas $AB$ y $AC$, respectivamente, sucede que la reflexión de $D$ en la recta $PQ$ cae sobre el circuncírculo del triángulo $ABC$.

Muestra que un triángulo $ABC$ es grandioso si y sólo si $\angle A = 90^\circ$ y $AB=AC$.

Sugerencia pre-solución. El problema dice que cierta condición se debe cumplir para todo punto $D$ en el lado $BC$. Considera algunos casos extremos de lo que puede ser $D$, de los que puedas obtener información de cómo debe ser el triángulo.

Solución. Para cualquier punto $D$ en el lado $BC$, vamos a llamar $D’$ a la reflexión de $D$ en la recta $PQ$. Primero veremos que si $ABC$ es grandioso, entonces es isósceles y con ángulo recto en $A$.

Como la hipótesis se cumple para cualquier punto $D$, en particular se cumple para cuando elegimos $D$ como el punto donde la bisectriz desde $A$ intersecta a $BC$. Nota que $P$ y $Q$ están en los rayos $AB$ y $AC$. Además, $P$ y $Q$ son reflexiones entre sí con respecto a la recta $AD$, de modo que $PQ$ es perpendicular a $AD$. Por esto, se tiene que $D’$ está en la recta $AD$, así que o es $A$, o es el segundo punto de intersección de la bisectriz en $A$ con el circuncírculo del triángulo. Como además $APDQ$ es un cuadrilátero cíclico, se tiene que $AD$ intersecta a $PQ$ y por lo tanto $D’=A$.

Imagen auxiliar para problema APMO
Imagen auxiliar para problema APMO

Tenemos entonces las igualdades de ángulos
\begin{align*}
\angle BAC &= \angle PD’Q \\
&= \angle PDQ \\
&= 180^\circ – \angle BAC.
\end{align*}

Concluimos entonces que $\angle BAC = 90^\circ$, que muestra que el triángulo es rectángulo en $A$.

Ahora tomamos a $D$ como el punto medio de $BC$, lo cual hace que $P$ y $Q$ sean los puntos medios de $AB$ y $AC$ respectivamente. Pero entonces $PQ$ es paralelo a $BC$ y por lo tanto $DD’$ es perpendicular a $BC$. La distancia de $D’$ a $BC$ es igual al circunradio del triángulo (pues $D’$ debe caer en el circuncírculo), y es igual a la distancia de $A$ a $BC$. Esto sólo puede suceder cuando $ABC$ es isósceles y con ángulo recto en $A$, como queríamos.

Veamos ahora que si $ABC$ es isósceles y de ángulo recto en $A$, entonces se cumple la propiedad para todo punto $D$ en $BC$. Como $D$ es la reflexión en $PQ$, tendríamos $D’P=DP=BP$. De manera similar, $D’Q=DQ=CQ$.

El cuadrilátero $APDQD’$ es cíclico de diámetro $PQ$, pues todos los ángulos $\angle PAQ$, $\angle PD’Q$ y $\angle PDQ$ son de $90^\circ$. De aquí, $\angle APD’= \angle AQD’$, de donde obtenemos que $\angle BPD’= \angle CQD’$. Con esto concluimos que $\triangle D’PB$ y $\triangle D’QC$ son semejantes. De aquí se sigue que

\begin{align*}
\angle PD’Q &= \angle PD’C+ \angle CD’Q\\
&=\angle PD’C + \angle BD’P\\
&= \angle BD’C.
\end{align*}

Como además tenemos $\frac{D’P}{D’Q}= \frac{D’B}{D’C}$, concluimos que también $\triangle D’PQ$ y $\triangle D’BC$ son semejantes. Pero como $\triangle DPQ$ y $\triangle D’PQ$ son congruentes, se obtiene que $$\angle BD’C=\angle PD’Q = \angle PDQ = 90^\circ.$$ Con esto concluimos que $D’$ yace en la circunferencia de diámetro $BC$, que es precisamente el circuncírculo de $\triangle ABC$.

$\square$

Más problemas

Puedes encontrar más problemas de geometría euclideana en la sección 8.1 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson. Para tener buenos fundamentos en geometría euclideana, se pueden revisar algunos textos en el área, como los cuadernos de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas de Geometría y de Geometría: Ejercicios y problemas.