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Álgebra Lineal I: Problemas de dualidad y base dual

Por Blanca Radillo

10 respuestas

Introducción

En esta ocasión, comenzaremos a resolver problemas sobre un nuevo tema: espacio dual. La parte teórica ya la hemos cubierto en entradas anteriores. En la entrada de introducción a dualidad definimos el espacio dual y las formas coordenadas. Después, en una siguiente entrada, de bases duales vimos que las formas coordenadas son una base del espacio dual, hablamos de ciertos problemas prácticos para resolver, y vimos un teorema que relaciona bases, bases duales y una matriz invertible.

Problemas resueltos

Uno de los problemas de dualidad que discutimos la ocasión anterior es expresar a una base dual de vectores en $V$ en términos de la base dual de la base canónica. Veamos un ejemplo de esto.

Problema 1. Sean $v_1,v_2,v_3,v_4$ los vectores en $\mathbb{R}^4$ definidos como $$v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}, v_3=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, v_4=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}.$$ Demuestra que $V:=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ es una base de $\mathbb{R}^4$ y encuentra la base dual de $V$ en términos de $e_i^\ast$, donde $e_i^\ast$ es la base dual de la base canónica de $\mathbb{R}^4$.

Solución. Dado que $V$ está conformado por cuatro vectores y la dimensión de $\mathbb{R}^4$ es $4$, basta con probar que son vectores linealmente independientes. Hay dos maneras de hacerlo.

Manera 1: Sean $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ tales que $0=av_1+bv_2+cv_3+dv_4$. Esto da cuatro ecuaciones

\begin{align*}
0&=a+b+d\\
0&=a+2b\\
0&=a+3b+c\\
0&=a+4b+2c+5d.
\end{align*}

De la segunda obtenemos que $a=-2b$, sustituyendo en la primera y en la tercera
\begin{align*}
d&=2b-b=b,\\
c&=2b-3b=-b,
\end{align*}
y sustituyendo ésto en la cuarta, tenemos que $0=-2b+4b-2b+5b=5b$. Por lo tanto $a=b=c=d=0$, implicando que los vectores en $V$ son linealmente independientes, y por consiguiente forman una base de $\mathbb{R}^4$.

Manera 2: También podemos hacer la reducción gaussiana en la matriz $(A|I)$ donde $A$ es la matriz cuyas columnas son los vectores de $V$. Esta forma tiene la ventaja de que a la vez calcularemos la matriz inversa que nos interesa encontrar.
$$\left( \begin{array}{cccc|cccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$

$$\to \left( \begin{array}{cccc|cccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 4 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$

$$\to \left( \begin{array}{cccc|cccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 7 & 2 & -3 & 0 & 1 \end{array} \right)$$

$$\to \left( \begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 2 & -7/5 & 4/5 & -2/5 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 6/5 & -2/5 & 1/5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -11/5 & 7/5 & -1/5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1/5 & -2/5 & 1/5 \end{array} \right)$$


Como podemos reducir a la identidad, los vectores iniciales son linealmente independientes y forman una base. Más aún, ya obtuvimos la inversa de $A$.

Ahora, para obtener la base dual $V^{\ast}:=\{v_1^\ast,v_2^\ast,v_3^\ast,v_4^\ast\}$ de la base $V$, por lo visto en la última entrada, podemos escribir a cada elemento de $V^\ast$ como combinación lineal de $e_i^\ast$, donde los coeficientes del vector $v_i^\ast$ están en la $i$-ésima fila de $A^{-1}$. Por lo tanto,
\begin{align*}
v_1^\ast &= 2e_1^\ast -\frac{7}{5} e_2^\ast +\frac{4}{5} e_3^\ast -\frac{2}{5}e_4^\ast\\
v_2^\ast &= -e_1^\ast +\frac{6}{5} e_2^\ast -\frac{2}{5} e_3^\ast +\frac{1}{5}e_4^\ast\\
v_3^\ast &= e_1^\ast -\frac{11}{5} e_2^\ast +\frac{7}{5} e_3^\ast -\frac{1}{5}e_4^\ast\\
v_4^\ast &= \frac{1}{5} e_2^\ast -\frac{2}{5} e_3^\ast +\frac{1}{5}e_4^\ast.
\end{align*}

$\square$

Otro tipo de problemas de dualidad consisten en determinar algunos vectores en $V$ cuya base dual sea una base dada de $V^\ast$.

Problema 2. Considera las siguientes formas lineales en $\mathbb{R}^3$: \begin{align*}
l_1(x,y,z)&=x-y, \\
l_2(x,y,z)&=y-z, \\
l_3(x,y,z)&=x+y-z.
\end{align*}

  1. Prueba que $l_1,l_2,l_3$ forman una base del dual de $\mathbb{R}^3$.
  2. Encuentra una base de $\mathbb{R}^3$ cuya base dual es $l_1,l_2,l_3$.

Solución. (1) Por el último teorema de la entrada de bases duales, sabemos que $l_1,l_2,l_3$ forman una base si la matriz $A=[l_i(e_j)]$ es invertible, donde $e_j$ es la base canónica de $\mathbb{R}^3$.

Para mostrar que $A$ es invertible, calcularemos la forma escalonada reducida de la matríz $(A|I)$. Entonces,

\begin{align*}
&\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\ \to &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right) \\
\to &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -2 & 1 \end{array} \right) \\ \to &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -2 & 1 \end{array} \right)
\end{align*}

Con esto concluimos que $A$ es invertible, y por lo tanto $l_1,l_2,l_3$ forman una base del dual de $\mathbb{R}^3$.

(2) En el inciso anterior, calculamos la inversa de $A$, obteniendo $$A^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ -1 & -2 & 1 \end{pmatrix}.$$
Recordemos que la base $v_1,v_2,v_3$ de $\mathbb{R}^3$ está determinada por las columnas de $B=A^{-1}$, entonces $$v_1=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}, \ v_2=\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}, \ v_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.$$

$\square$

Veamos otro ejemplo, en el que veremos formas lineales un poco más interesantes, relacionadas con cálculo.

Problema 3. Sea $V=\mathbb{C}_2[X]$ el espacio vectorial de polinomios de grado a lo más 2 con coeficientes complejos, y para cada $P\in V$ definimos
\begin{align*}
l_1(P)&=P(0), \\ l_2(P)&=\int_0^1 P(x) \, dx, \\ l_3(P)&=\int_0^1 P(x)e^{-2\pi ix}\, dx.
\end{align*}

  1. Prueba que $l_1,l_2,l_3$ pertenecen a $V^*$. Más aún, forman una base de $V^*$.
  2. Encuentra una base $v_1,v_2,v_3$ de $V$ cuya base dual es $l_1,l_2,l_3$.

Solución. (1) No es difícil ver que son formas lineales. Para $l_1$, notamos que \begin{align*}
l_1(P+Q)&=P(0)+Q(0)=l_1(P)+l_1(Q)\\
l_1(aP)&=aP(0)=al_1(P)
\end{align*} para cualesquiera polinomios $P$ y $Q$, y cualquier escalar $a$ en $\mathbb{C}$. Para $l_2$ y $l_3$, la linealidad se sigue por las propiedades de la integral.

Para probar que $l_1, l_2,l_3$ forman una base de $V^\ast$, lo haremos de manera similar al problema anterior. Sabemos que $1,x,x^2$ forman la base canónica de $V$, entonces $L:=\{l_1,l_2,l_3\}$ es una base de $V^\ast$ si la matriz $A=[l_i(e_j)]$ es invertible. Calculando $$l_1(1)=1, \ l_1(x)=l_1(x^2)=0,$$ $$l_2(1)=1, \ l_2(x)=\int_0^1 xdx=\frac{1}{2},$$ $$ l_2(x^2)=\int_0^1 x^2 dx=\frac{1}{3},$$ $$l_3(1)=\int_0^1 e^{-2\pi i x}dx=0, \ l_3(x)=\int_0^1 xe^{-2\pi i x}dx=\frac{i}{2\pi},$$ $$l_3(x^2)=\int_0^1 x^2e^{-2\pi i x}dx=\frac{1+i\pi}{2\pi^2}.$$
(Para calcular $l_3(x),l_3(x^2)$ se usa integración por partes). Entonces la matriz es $$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1/2 & 1/3 \\ 0 & \frac{i}{2\pi} & \frac{1+i\pi}{2\pi^2} \end{pmatrix}.$$

Ahora, reduciremos la matriz $(A|I)$ para simultáneamente probar que $A$ es invertible y encontrar $A^{-1}$. Tenemos que

\begin{align*}
&\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1/2 & 1/3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{i}{2\pi} & \frac{1+i\pi}{2\pi^2} & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\\
\to &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 1/3 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & i\pi & 1+i\pi & 0 & 0 & 2\pi^2 \end{array} \right)\\
\to & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & -6 & 6 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1+i\pi}{i\pi} & 0 & 0 & -2i\pi \end{array} \right)\\
\to &\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{-6-6\pi i}{3+\pi i} & \frac{6+6\pi i}{3+\pi i} & \frac{-4\pi^2}{3+\pi i} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{6\pi i}{3+\pi i} & \frac{-6\pi i}{3+\pi i} & \frac{6\pi^2}{3+\pi i} \end{array} \right)
\end{align*}

Por lo tanto $A$ es invertible, implicando que $L$ es una base de $V^*$.

(2) Ya calculada en el inciso anterior, tenemos que $$A^{-1}=\frac{1}{3+\pi i} \begin{pmatrix} 3+\pi i & 0 & 0 \\ -6-6\pi i & 6+6\pi i & -4\pi^2 \\ 6\pi i & -6 \pi i & 6\pi^2 \end{pmatrix}.$$ De esta matriz leemos a las coordenadas de la base que estamos buscando en términos de la la base canónica $\{1,x,x^2\}$. Las columnas son los vectores de coordenadas. Por lo tanto, la base de $V$ tal que $L$ es la base dual es:

\begin{align*}
v_1&= \frac{1}{3+\pi i} \left(3+\pi i – (6+6\pi i) x + 6\pi i x^2\right) \\
v_2&= \frac{1}{3+\pi i} \left((6+6\pi i)x-6\pi i x^2 \right) \\
v_3&= \frac{1}{3+\pi i} \left( -4\pi^2 x+6\pi^2x^2 \right).
\end{align*}

$\square$

Fórmula de interpolación de Lagrange

La teoría de dualidad tiene amplias aplicaciones. Con ella se puede probar un resultado clásico: podemos construir un polinomio de grado $n$ que pase por $n+1$ puntos que nosotros queramos. En el siguiente ejercicio vemos los detalles.

Problema. (Interpolación de Lagrange) Sea $V=\mathbb{R}_n[X]$ el espacio vectorial de polinomios de grado a lo más $n$ con coeficientes reales. Sean $x_0,\dots,x_n$ números reales distintos. Para $0\leq i \leq n$ definimos $$L_i(x)=\prod_{0\leq j\leq n, j\neq i} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}.$$

  1. Demuestra que $L_i(x_j)=\delta_{ij}$ para todo $1\leq i,j \leq n$, donde $\delta_{ij}$ es igual a 1 si $i=j$ y es igual a 0 si $i\neq j$.
  2. Prueba que $L_0,\dots,L_n$ forman una base de $V$.
  3. Encuentra la base dual de $L_0,\dots,L_n$.
  4. Prueba la Fórmula de Interpolación de Lagrange: para todo $P\in V$ tenemos que $$P=\sum_{i=0}^n P(x_i)L_i.$$
  5. Demuestra que para cualquiera $b_0,\dots,b_n \in\mathbb{R}$, podemos encontrar un único polinomio $P\in V$ tal que $P(x_i)=b_i$ para todo $0\leq i \leq n$. Este polinomio $P$ es llamado el polinomio de interpolación de Lagrange asociado a $b_0,\dots,b_n$.

Solución. (1) Si $j\neq i$, entonces $$L_i(x_j)=\frac{x_j-x_j}{x_i-x_j}\cdot\prod_{k\neq j,i} \frac{x_j-x_k}{x_i-x_k}=0.$$ Por otro lado si $i=j$, $$L_i(x_j)=L_i(x_i)=\prod_{k\neq i} \frac{x_i-x_k}{x_i-x_k} =1 .$$

(2) Dado que $\text{dim}(V)=n+1$, cuya base canónica es $1,x,\ldots,x^n$ y $L_0,\dots,L_n$ son $n+1$ vectores, para probar que son base, basta con demostrar que son linealmente independientes. Sean $a_0,\dots,a_n$ tales que $a_0L_0+\dots+a_nL_n=0$. Evaluando en $x_i$ y usando el inciso anterior, tenemos que $$0=\sum_{j=0}^n a_jL_j(x_i)=\sum_{j=0}^n a_j\delta_{ij}=a_i,$$ pero esto pasa cualquier $0\leq i \leq n$. Por lo tanto $L_0,\dots,L_n$ son linealmente independientes, y por consiguiente, son base de $V$.

(3) Por definición de la base dual $L_i^*(L_j)=\delta_{ij}$, y por el inciso (a) tenemos que $L_j(x_i)=\delta_{ij}$, entonces $L_i^*(L_j)=L_j(x_i)$, para toda $i,j$. Ahora, fijamos $i$. Dado que $L_0,\dots, L_n$ forman una base de $V$ y dado que $L_i^*$ es lineal, para todo polinomio $P$ en $V$, escrito en términos de la base como $$P(x)=a_0L_0+a_1L_1+\ldots+a_nL_n,$$ tenemos que
\begin{align*}
L_i^*(P)&=a_0L_i^*(L_0)+\ldots+a_nL_i^\ast(L_n)\\
&=a_0L_0(x_i)+\ldots+a_nL_n(x_i)\\
&=P(x_i).
\end{align*}

Por lo tanto la base dual es $L_i^*=\text{ev}_{x_i}$. Dicho de otra forma, la $i$-ésima forma coordenada consiste en evaluar en $x_i$.

(4) Sabemos que la base dual satisface que $$P=\sum_{i=0}^n \langle L_i^*,P \rangle L_i.$$ Pero por el inciso anterior, $\langle L_i^*,P\rangle =L_i^*(P)=P(x_i)$, entonces $P=\sum_i P(x_i)L_i$.

(5) Definimos $P=\sum_{i=0}^n b_iL_i$. Por el inciso (1), tenemos que $$P(x_j)=\sum_i b_iL_i(x_j)=\sum_i b_i\delta_{ij}=b_j.$$ Entonces el polinomio existe. Falta probar la unicidad.

Suponemos que existe $Q\in V$ tal que $Q(x_i)=b_i$ para todo $i$. Notemos que $P-Q$ es un polinomio de grado a lo más $n$ (por definición) y $(P-Q)(x_i)=0$ para todo $i$, esto implica que $P-Q$ tiene $n+1$ raíces distintas, lo cual es imposible si $P-Q \neq 0$, por lo tanto, $P-Q=0$, es decir $P=Q$.

$\square$

El último argumento viene de la teoría de polinomios. Puedes repasarla en otro curso que tenemos en el blog. Observa que este problema también se satisface para los polinomios con coeficientes complejos, $V=\mathbb{C}_n[X]$. Intenta reproducir la demostración por tu cuenta.

Expresar integral como suma de evaluaciones

Terminamos esta entrada con el siguiente problema. El enunciado no menciona dualidad, pero podemos usar la teoría desarrollada hasta ahora para resolverlo.

Problema. Sean $x_0,x_1,x_2\in [0,1]$, y sea $V=\mathbb{R}_2[X]$. Definimos el mapeo $$l(P)=\int_0^1 P(x)e^{-x} dx.$$ Demuestra que $l$ es una forma lineal en $V$ y prueba que existe una única tercia $(a_0,a_1,a_2)$ de números reales tales que para todo polinomio $P$ en $V$ se cumple que $$\int_0^1 P(x)e^{-x}dx=a_0P(x_0)+a_1P(x_1)+a_2P(x_2).$$

Solución. Debido a las propiedades de la integral, es fácil ver que $l$ es lineal, ya que

\begin{align*}
l(aP+Q)&=\int_0^1 (aP(x)+Q(x))e^{-x} dx \\
&= a\int_0^1 P(x)e^{-x}dx+\int_0^1 Q(x)e^{-x}dx \\
&=al(P)+l(Q).
\end{align*}

Usando el problema anterior, tenemos que $L_0^*=\text{ev}_{x_0}$, $L_1^*=\text{ev}_{x_1}$ y $L_2^*=\text{ev}_{x_2}$ forman una base de $V^$. Por lo tanto existen $(a_0,a_1,a_2)$ tales que $l=a_0L_0^*+a_1L_1^*+a_2L_2^*.$ Entonces

\begin{align*}
\int_0^1 P(x)e^{-x}&=l(P)=a_0L_0^*(P) + a_1L_1^*(P) + a_2L_3^*(P) \\
&= a_0P(x_0) + a_1P(x_1) + a_2P(x_2).
\end{align*}

Es fácil ver que es única esa tercia, ya que, si existiera otra $(b_0,b_1,b_2)$ tal que $$l=b_0L_0^*+b_1L_1^*+b_2L_2^*,$$ esto implica que $$0=(a_0-b_0)L_0^*+(a_1-b_1)L_1^*+(a_2-b_2)L_2^*,$$ y dado que $L_i^*$ son una base, tendríamos $a_i=b_i$ para $i=0,1,2$.

$\square$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Álgebra Superior II: Simplificación, suma y producto de complejos

Por Claudia Silva

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Introducción

En una entrada de blog anterior, construimos el campo de los números complejos y definimos sus operaciones básicas. Ahora resolveremos algunos problemas de operaciones con complejos.

Haremos dos tipos de problemas. El primer tipo se trata de simplificar expresiones en números complejos para que se vuelvan de la forma $x+yi$ con $x$ y $y$ números reales. El segundo tipo es de realizar operaciones de suma, resta, producto y división de complejos, y luego simplificar.

Simplificación de expresiones complejas

Comenzamos con un vídeo de simplificar expresiones de números complejos.

Expresar en la forma $a+bi$ las expresiones…

Problemas de operaciones con complejos

Ahora vemos varios ejemplos de realizar sumas con números complejos.

Sumar números complejos

En todos los ejemplos del vídeo, realizamos sólo sumas de dos números, pero se podrían realizar sumas con cualquier cantidad de sumandos. Por ejemplo, podemos considerar la suma $$(5+2i)+(8+i)-(1-7i).$$ ¿Cuál sería el resultado de esta operación?

Finalmente, a continuación se muestra un vídeo en donde se realizan operaciones de productos y de divisiones de números complejos.

Productos y divisiones de números complejos

En el vídeo se define al conjugado del número complejo $z=a+bi$, que se denota por $\overline{z}$ y se obtiene de cambiarle el signo a la parte imaginaria. Por ejemplo, $\overline{4-5i}=4+5i$. Si multiplicas a un número complejo $a+bi$ por su conjugado, obtienes el real $a^2+b^2$. Esto es útil para quitar las partes imaginarias de los denominadores de expresiones fraccionales con complejos.

Más ejemplos y práctica extra

En otro curso, el Seminario de Resolución de Problemas, escribimos una entrada de cómo se pueden usar los números complejos para la resolución de problemas matemáticos. Ahí hay teoría más avanzada, pero puedes echarle un ojo para que veas lo que veremos más adelante en el curso.

En la página de Khan Academy en Español, puedes aprender más acerca de los números complejos, así como hacer muchos ejercicios de práctica.

Más adelante…

Tarea moral

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Seminario de Resolución de Problemas: El teorema del valor extremo

Por Fabian Ferrari

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Introducción

En una entrada anterior, acerca de funciones continuas, mencionamos dos teoremas fundamentales que estas funciones satisfacen: el teorema del valor intermedio y el teorema del valor extremo. Ya hablamos acerca del teorema del valor intermedio en una entrada anterior. El objetivo de esta entrada es mencionar aplicaciones del teorema del valor extremo.

Como recordatorio, el teorema del valor extremo o teorema de los valores extremos nos dice que si una función $f(x)$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$, entonces existen valores $c$ y $d$ en $[a, b]$ tales que $f(c) \leq f(x) \leq f(d)$ para toda $x$ en el intervalo $[a, b]$.

En otras palabras, lo que nos dice el teorema es que si una función es continua en un intervalo cerrado, tenemos que la función debe alcanzar un valor máximo y un valor mínimo dentro del intervalo.

Dos teoremas para funciones derivables

Aprovecharemos para mencionar dos teoremas importantes que se ocuparán más adelante. Las demostraciones de dichos teoremas tienen que ver con la aplicación del teorema del valor extremo, estos teoremas son el teorema de Rolle y el teorema del valor medio (no confundir con el teorema del valor intermedio).

Teorema de Rolle. Sean $a<b$ reales y $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ una función continua en el intervalo $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$. Se tiene que si $f(a)=f(b)$, entonces existe $c$ en $(a, b)$ tal que $f^\prime(c)=0$.

Sugerencia pre-demostración. Por el teorema del valor extremo, la función debe alcanzar un máximo y un mínimo en el intervalo. Divide en casos de acuerdo a dónde están estos valores, si en los extremos o no.

Demostración: Como $f(x)$ es una función continua en $[a, b]$, por el teorema del valor extremo tenemos que $f(x)$ alcanza un valor máximo y un valor mínimo en el intervalo $[a, b]$. Tenemos entonces los siguientes casos.

  • Caso i: Si el valor máximo y mínimo se encuentran en los extremos del intervalo, tenemos que la función $f(x)$ tiene que ser constante dado que $f(a)=f(b)$. y se tiene que $f^\prime(c)=0$ para todo $c$ en $[a, b]$.
  • Caso ii: Si el valor mínimo o máximo no están en los extremos. Sean $c_1$ y $c_2$ en $(a, b)$, los valores en los que la función alcanza su mínimo y máximo respectivamente. Alguno de estos no está en los extremos. Como $f(x)$ es derivable en $(a, b)$, tenemos que también va a ser derivable en alguno de los puntos $c_1$ y $c_2$, teniendo que $f^\prime(c_1)=0$ o $f^\prime(c_2)=0$, así que basta con tomar $c=c_1$ o $c=c_2$.

$\square$

Teorema del valor medio. Sean $a<b$ reales y $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ una función continua en $[a, b]$ y diferenciable en $(a, b)$. Entonces existe un número $c$ en $(a, b)$ tal que

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^\prime(c)$.

Demostración: Consideremos la siguiente función auxiliar:

$g(x)=(f(b)-f(a))x-(b-a)f(x)$

Tenemos que $g(x)$ es continua en $[a, b]$ y además es derivable en $(a,b)$. La derivada de $g(x)$ está dada por

$g^\prime(x)=f(b)-f(a)-(b-a)f^\prime(x)$

Como $g(x)$ es continua en $[a, b]$, tenemos que por el teorema del valor extremo, la función alcanza un máximo y un mínimo en el intervalo $[a, b]$. Haciendo las cuentas, $g(a)=g(b)$, de modo que si el máximo y mínimo ocurren en los extremos, entonces $g$ es constante y toda $c\in (a,b)$ satisface $g'(c)=0$

En otro caso, sea $c\in(a, b)$ el valor en donde $g(x)$ alcanza su mínimo o su máximo. Tenemos que $g^\prime(c)=0$.

Así, como $g^\prime(c)=f(b)-f(a)-(b-a)f^\prime(c)$, tenemos que:

$0=f(b)-f(a)-(b-a)f^\prime(c)$

$(b-a)f^\prime(c)=f(b)-f(a)$

$f^\prime(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

$\square$

Alternativamente, en la función anterior pudimos haber aplicado el teorema de Rolle directamente a la función $g$. En las siguientes entradas veremos aplicaciones de estos resultados a problemas concretos.

Aplicación del teorema del valor extremo a un problema

Problema. Se tiene un circulo de radio $r$, y una tangente $L$ que pasa por un punto $P$ de la circunferencia. De un punto cualquiera $R$ en la circunferencia se traza una paralela a $L$ que corta a la circunferencia en $Q$. Determina el área máxima que puede tener el triángulo $PQR$.

Sugerencia pre-solución. Antes que nada, haz una figura. Usa el teorema del valor extremo para asegurar la existencia del valor máximo. Para ello, necesitarás construir una función continua cuyo valor sea el área buscada. Puedes usar argumentos de simetría para conjeturar cuándo se alcanza el valor máximo.

Solución. Hacemos el siguiente diagrama para entender mejor el problema.

Diagrama del enunciado del problema

Fijémonos que las condiciones de la altura y la base del triángulo $PQR$ se pueden describir mediante la siguiente figura:

Condiciones para la altura y base del triángulo

Notemos que la altura del triángulo está dada por $r+h$, donde $h$ puede variar entre $-r$ y $r$. Este dibujo también nos es de ayuda para determinar el valor de la base. Por el teorema de Pitágoras y sabiendo que la distancia del centro $C$ a los puntos $R$ y $Q$ es igual a $r$, tenemos que la base del triángulo es igual a $2\sqrt{r^2-h^2}$.

Así, el área del triángulo está dada por $(\sqrt{r^2-h^2})(r+h)$, pero como $h$ varía, nos conviene ver el área en función de $h$.

$A(h)=\sqrt{r^2-h^2}(r+h),$

La función $A(h)$ es una función continua en el intervalo $[-r, r]$.

Notemos que cuando $h$ toma los valores de $-r$ y $r$, el valor del área es nulo, es decir que en estos valores alcanza el mínimo, lo cual quiere decir que por el teorema del valor extremo, el valor máximo lo alcanza en algún valor en $(-r, r)$.

Si derivamos la función $A(h)$, tenemos

$A^\prime(h)=\frac{r^2-rh-2h^2}{\sqrt{r^2-h^2}}.$

Como sabemos que hay un máximo en el intervalo $(-r, r)$ y la derivada en este punto máximo debe ser igual a cero, hacemos $A^\prime(h)=0$.

Así,

$\frac{r^2-rh-2h^2}{\sqrt{r^2-h^2}}=0.$

Resolviendo la ecuación tenemos que

$h=\frac{r}{2}.$

Así, el área máxima del triángulo $PQR$ es $$A=\sqrt{r^2-\left(\frac{r}{2}\right)^2}\left(r+\frac{r}{2}\right)=\frac{3\sqrt{3}r^2}{4}.$$

$\square$

Más ejemplos

Se pueden encontrar más problemas de aplicación del teorema del vaalor extremo en la Sección 6.4 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Álgebra Lineal I: Problemas de rango de transformaciones y matrices.

Por Ayax Calderón

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Introducción

Con anterioridad vimos el concepto de rango de una matriz y rango de una transformación lineal, además del muy importante teorema de rango-nulidad y la desigualdad de Sylvester. Vimos también, como contenido optativo, el versátil teorema de la factorización $PJQ$. En esta ocasión nos enfocaremos en resolver problemas de rango que nos servirán para repasar dichos conceptos.

Problemas resueltos

Problema 1. Encuentra el kernel y el rango de la transformación lineal $T:\mathbb{R}_2[x] \longrightarrow \mathbb{R}_3[x]$ definida por $$T(f(x))=2f'(x) + \int _{0}^{x} 3f(t)dt.$$

Antes de comenzar a leer la solución, es conveniente que te convenzas de que $T$ es una transformación lineal y que está bien definida, es decir, que en efecto toma un polinomio de grado a lo más dos con coeficientes reales y lo lleva a un polinomio de grado a lo más tres con coeficientes reales.

Solución. Consideremos $\mathcal{B}=\{1, x, x^2\}$ la base canónica de $\mathbb{R}_2[x]$.
Entonces
\begin{align*}
\Ima(T)&=\text{span}(\{T(1),T(x),T(x^2)\})\\
&= \text{span}(\{3x,2+\frac{3}{2}x^2,4x+x^3\}).
\end{align*}

Para determinar el rango de $\Ima{T}$, colocamos a las coordenadas de estas imágenes en la siguiente matriz $A$,

$$A=\begin{pmatrix}
0 & 3 & 0 & 0\\
2 & 0 & \frac{3}{2} & 0\\
0 & 4 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

y con el algoritmo de reducción gaussiana llegamos a que

$$A_{red}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & \frac{3}{4} & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Como $A_{red}$ tiene $3$ pivotes se sigue que $\rank(T)=3$.

Luego, por el teorema de rango nulidad se tiene que

\begin{align*}
3&=\dim(\mathbb{R}_2[x])\\
&= \dim (\ker (T))+\rank(T)\\
&=\dim(\ker(T))+3.
\end{align*}

Así, $\dim(\ker(T))=0$, por lo tanto $\ker(T)=\{0\}$.

$\triangle$

La desigualdad de Sylvester nos ayuda a acotar el rango de una suma de matrices por abajo. La desigualdad $$\rank(A+B)\leq \rank(A)+\rank(B)$$ nos ayuda a acotarlo por arriba. Combinar ambas ideas puede ser útil en problemas de rango de matrices.

Problema 2. Sea $A\in M_n(\mathbb{C})$ una matriz idempotente. Prueba que $$\rank(A)+\rank(I_n-A)=n.$$

Recuerda que una matriz es idempotente si $A^2=A$.

Solución. Como $A^2=A$, entonces $A(I_n – A)=O_n$.
Luego, por la desigualdad de Sylvester se tiene que
\begin{align*}
0&=\rank(O_n)\\
&=\rank(A(I_n-A))\\
&\geq \rank(A) + \rank(I_n-A)-n,
\end{align*}

entonces $$\rank(A)+\rank(I_n-A)\leq n.$$

Por otro lado, como para cualesquiera matrices $X,Y$ se tiene
$\rank(X+Y)\leq \rank(X)+\rank(Y)$, entonces
$$n=\rank(I_n)\leq \rank(A) + \rank(I_n-A),$$
de modo que $$n\leq \rank(A)+\rank(I_n – A).$$

Combinando ambas desigualdades, $$\rank(A)+\rank(I_n-A)=n.$$

$\square$

Problema 3. Encuentra el rango de la transformación lineal $T:\mathbb{R}_2[x]\longrightarrow M_2(\mathbb{R})$ definida por
$$T(f(x))=\begin{pmatrix}
f(1)-f(2) & 0\\
0 & f(0)\end{pmatrix}.$$

Solución. Para determinar el rango, basta tomar una base, encontrar la imagen de sus elementos bajo $T$ y determinar cuántos de estos elementos son linealmente independientes. Considera $\mathcal{B}=\{1,x,x^2\}$ la base canónica de $\mathbb{R}_2[x]$. Tenemos que

\begin{align*}
\Ima(T)&=\text{span}(T(\mathcal{B}))\\
&=\text{span}(\{T(1), T(x), T(x^2)\})\\
&=\text{span}\left(\left\{ \begin{pmatrix}
0 & 0\\
0 & 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
-3 & 0\\
0 & 0\end{pmatrix} \right\} \right )\\
&=\text{span}\left (\left\{ \begin{pmatrix}
0 & 0\\
0 & 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & 0\end{pmatrix} \right\} \right ).
\end{align*}

Notemos también que $\mathcal{C}=\left\{ \begin{pmatrix}
0 & 0\\
0 & 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & 0\end{pmatrix}} \right\}$ es linealmente independiente.

Por lo tanto $\mathcal{C}$ es una base para $\Ima(T)$ y así $\rank(T)=2$.

$\triangle$

Problema 4. Sean $A\in M_{3,2}(\mathbb{R})$ y $B\in M_{2,3}(\mathbb{R})$ matrices tales que
$$AB=\begin{pmatrix}
2 & -2 & -4\\
-1 & 3 & 4\\
1 & -2 & -3\end{pmatrix} $$

Muestra que $BA$ es la identidad.

El enunciado no parece mostrar que este sea uno de los problemas de rango de matrices. Sin embargo, para poder resolverlo usaremos las herramientas que hemos desarrollado hasta ahora.

Partiremos el problema en los siguientes pasos.

  1. Verificar que $(AB)^2=AB$ y que $\rank(AB)=2$.
  2. Probar que $BA$ es invertible.
  3. Probar que $(BA)^3=(BA)^2$ y deducir que $BA=I_2$.

Solución.

1. Realizamos la operación matricial:

$$\begin{pmatrix}
2 & -2 & -4\\
-1 & 3 & 4\\
1 & -2 & -3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 & -2 & -4\\
-1 & 3 & 4\\
1 & -2 & -3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2 & -2 & -4\\
-1 & 3 & 4\\
1 & -2 & -3\end{pmatrix}$$

Ahora, aplicando reducción gaussiana en $AB$ obtenemos que $$(AB)_{red}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}.$$

Como $(AB)_{red}$ tiene sólo dos pivotes, entonces $\rank(AB)=2$.

2. Usando la desigualdad de rango para producto de matrices, obtenemos que
\begin{align*}
\rank(BA)&\geq \rank(A(BA)B)\\
&=\rank((AB)^2)\\
&=\rank(AB)=2.
\end{align*}

Entonces, $\rank(BA)\geq 2$. Por otro lado, como $BA\in M_2(\mathbb{R})$, entonces $\rank(BA)\leq 2$. Así, $\rank(BA)=2$ y $BA$ es una matriz en $M_2(\mathbb{R})$, así que es invertible.

3. Como $(AB)^2=AB$, entonces $B(AB)^2 A=B(AB)A=(BA)^2$. Por consiguiente $BABABA=(BA)^2$ y así $(BA)^3=(BA)^2$ y como $BA$ es invertible, podemos multiplicar en ambos lados de esta última igualdad por $((BA)^{-1})^2$ para obtener $BA=I_2$.

$\square$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Seminario de Resolución de Problemas: El teorema del valor intermedio

Por Fabian Ferrari

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Introducción

El teorema del valor intermedio nos dice que si $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ es una función continua, entonces para todo $y$ entre $f(a)$ y $f(b)$, existe un número $c \in [a, b]$ tal que $f(c)=y$. La forma de pensar este teorema es que «las funciones continuas no se pueden saltar valores que quedan entre dos valores que ya tomaron», o bien «las funciones continuas no dan brincos en su imagen».

Veamos algunos problemas que se resuelven usando este teorema

Una aplicación directa del teorema del valor intermedio

Problema 1. Muestra que la ecuación $2x^3+7x^2-27x=-18$ tiene una solución en el intervalo $[-7,-5]$.

Sugerencia pre-solución. Formula un problema equivalente definiendo una función continua $f$ para la cual si $f(x)=0$, entonces $x$ es solución a la ecuación.

Solución. La ecuación la podemos ver como $2x^3+7x^2-27x+18=0$. Consideremos la función $$f(x)=2x^3+7x^2-27x+18.$$ Como $f(x)$ es una función polinomial, sabemos que es continua en $\mathbb{R}$, así que es continua en el intervalo $[-7,-5]$. Lo que queremos ver es que existe un $c$ entre $-7$ y $-5$, tal que $f(c)=0$. Para esto, tenemos que evaluar la función en $-7$ y en $-5$.

Tenemos que:

$f(-7)=-136$ y $f(-5)=78$.

Tenemos que $0$ está entre $-136$ y $78$. Así, por el teorema del valor intermedio, debe de existir un número $c$ entre $-7$ y $-5$ de tal forma que $f(c)=0$. Por lo tanto $2x^3+7x^2-27x=-18$ tiene una solución entre $-5$ y $-7$.

$\square$

Notemos que no se encontró el valor de la raíz de la ecuación, sin embargo mostramos la existencia de esta. Esta es una de las características del teorema del valor intermedio: exhibir la existencia de algo sin necesidad de encontrarlo explícitamente.

Definir una buena función

En ocasiones podemos definir dos funciones para un problema y hacerlas interactuar para obtener una sola función continua que nos permite resolver un problema.

Problema 2. Un montañista empezó a escalar una montaña el sábado a las 8:00 hrs y llegó a la cima a las 18:00 hrs del mismo día. Decidió pasar la noche en la cima de la montaña. El día domingo empezó a descender a las 8:00 hrs y llegó al punto de partida a las 18:00 hrs. Prueba que hubo una hora en la que en ambos días estuvo a la misma altura de la montaña.

Sugerencia pre-solución. Plantea el problema usando dos funciones continuas que denoten la altura conforme pasa el tiempo en ambos días. Tienes mucha flexibilidad, así que usa notación efectiva para simplificar los cálculos.

Solución. Veamos que para este problema, podemos establecer dos funciones continuas para describir el cambio de altura con respecto al tiempo en horas, una para el ascenso y otra para el descenso del montañista en ambos días.

Sean $h_1(t)$, y $h_2(t)$ las funciones que representan el ascenso y el descenso del montañista respectivamente. En otras palabras, $h_1(t)$ y $h_2(t)$ denotan la altura en la que está el montañista tras $t$ horas después de haber comenzado su ascenso y descenso, respectivamente. Como amabas funciones son continuas en el intervalo de tiempo $[0, 10]$ (esto es porque tardó $10$ horas para ascender y $10$ horas para descender), tenemos que la función $g(t)=h_2(t)-h_1(t)$ tiene que ser continua en $[0, 10]$ también.

Ahora bien, sea $M$ la altura en la cima de la montaña. Tenemos lo siguiente:

$h_1(0)=0$, $h_1(10)=M$ y $h_2(0)=M$, $h_2(10)=0$.

Así, $g(0)=M$ y $g(10)=-M$. A su vez, $0$ está entre $-M$ y $M$, por lo que aplicando el teorema del valor intermedio, debe de existir un $t_0$ en el intervalo $[0, 10]$ tal que $g(t_0)=0$.

Y como

$g(t)=h_2(t)-h_1(t)$,

entonces

$g(t_0)=h_2(t_0)-h_1(t_0)$

$0=h_2(t_0)-h_1(t_0)$

$h_1(t_0)=h_2(t_0).$

Con esto podemos concluir que en el tiempo $t_0$ el día domingo estuvo a la misma altura que el día sábado al tiempo $t_0$.

$\square$

Definir un buen intervalo

En algunas ocasiones no es directo qué valores tenemos que usar como los extremos del intervalo al que aplicaremos el teorema del valor intermedio. Un ingrediente adicional que se necesita en el siguiente problema es elegir de manera correcta el extremo derecho.

Problema 3. Prueba que si $n$ es un entero positivo y $x_0 > 0$, entonces existe un único número positivo $x$ tal que $x^n=x_0$.

Sugerencia pre-solución. Necesitarás modificar el problema un poco. Se quiere encontrar una solución a $x^n=x_0$. Limítate a encontrarla en el intervalo $[0,c]$ para una buena elección de $c$.

Solución. Sea $c$ un número mayor que $1$ de tal forma que $0<x_0<c$. Si consideramos la función $f(x)=x^n$, tenemos que dicha función es continua en el intervalo $[0, c]$, y tenemos que

$f(0)=0$ y $f(c)=c^n.$

Como $$0<x_0<c<c^n,$$ tenemos que $x_0$ está en el intervalo $(0,c)$, y por el teorema del valor intermedio, tenemos que existe $x$ en el intervalo $(0,c)$ tal que $f(x)=x_0$, que usando la definición de $f$ quiere decir que $$x^n=x_0.$$

No puede existir otro además de $x_0$ ya que la función $f(x)=x^n$ es creciente en el intervalo $[0,c]$.

$\square$

Más ejemplos

Puedes encontrar más problemas que se pueden resolver usando el teorema del valor intermedio en el libro Problem Solving Strategies de Loren Larson, en la Sección 6.2.