Introducción
En entradas anteriores hablamos de transformaciones lineales, cómo actúan en conjuntos especiales de vectores y de cómo se pueden representar con matrices. Hablamos también de cómo cambiar de una base a otra y cómo usar esto para entender transformaciones en varias bases. Estamos listos para introducir un concepto fundamental de álgebra lineal, el de rango de una transformación lineal y de una matriz.
Antes de entrar en las definiciones formales, vale la pena hablar un poco de rango de manera intuitiva. Supongamos que es un espacio vectorial de dimensión
y que
es un espacio vectorial sobre el mismo campo que
. Una transformación lineal
puede «guardar mucha independencia lineal» o «muy poquita». Si
es inyectiva, ya vimos antes que
manda linealmente independientes a linealmente independientes. Si
es la transformación
, entonces se «pierde toda la independencia».
El rango mide algo intermedio entre estos dos extremos. Mientras mayor sea el rango, más independencia lineal se preserva y viceversa. Si mantienes esta intuición en mente, varias de las proposiciones te resultarán más naturales.
Otro buen ejemplo para tener en mente es tomar una transformación lineal . Si es la transformación identidad, la base canónica se preserva. Si es la proyección al plano
, entonces «perdemos» al vector
, pues se va al
. Si es la proyección al eje
, «perdemos» al
y al
pues ambos se van a
. Y si es la transformación
, perdemos a todos. El rango precisamente va a medir esto, y para estos ejemplos tendremos rango
,
,
y
respectivamente.
Rango para transformaciones lineales
Como en otras ocasiones, cuando hablemos de transformaciones lineales entre espacios vectoriales, serán sobre un mismo campo .
Definición. Sean y
espacios de dimensión finita. El rango de una transformación lineal
es la dimensión de la imagen de
, es decir,
Si es una base de
, entonces genera a
. La transformación
es suprayectiva de
a
, de modo que
es generador de
. De esta forma, para encontrar el rango de una transformación lineal
basta:
- Tomar una base
de
- Aplicar
a cada elemento de
- Determinar un conjunto linealmente independiente máximo en
Para hacer este último paso, podemos poner a los vectores coordenada de con respecto a una base de
como los vectores fila de una matriz
y usar reducción gaussiana. Las operaciones elementales no cambian el espacio generado por las filas, así que el rango de
es el número de vectores fila no cero en la forma escalonada reducida
de
.
Ejemplo. Encuentra el rango de la transformación lineal que manda
a
Solución. Tomemos la base canónica de
. Tenemos que
,
y
.
Tomando la base canónica de
, podemos entonces poner a las coordenadas de
como vectores fila de una matriz

Propiedades del rango
Demostremos ahora algunas propiedades teóricas importantes acerca del rango de una transfromación lineal.
Proposición. Sean ,
y
espacios de dimensión finita. Sean
,
,
transformaciones lineales. Entonces:
Demostración. (1) Pensemos a como una transformación
. Haciendo esto,
resulta ser suprayectiva, y por un resultado anterior tenemos que
.
(2) Sabemos que es un subespacio de
, así que
.
(3) La imagen de contiene a la imagen de
, pues cada vector de la forma
es de la forma
(para
). Así,
(4) La función coincide con la restricción
de
a
. Por el inciso (1),
, así que
.
(5) Tenemos que . Además, por un corolario de la fórmula de Grassman, sabemos que
Así,
Proposición. Sean ,
y
transformaciones lineales con
suprayectiva y
inyectiva. Entonces
Dicho de otra forma «composición por la izquierda con transformaciones inyectivas no cambia el rango» y «composición por la derecha con transformaciones suprayectivas no cambia el rango». Un corolario es «composición con transformaciones invertibles no cambia el rango».
Demostración. De la proposición anterior, tenemos que . La restricción
de
a la imagen de
es una transformación lineal de
a
que es inyectiva, de modo que
, que es justo
, de modo que tenemos la igualdad
.
Como es suprayectiva,
, de modo que
. Así,
Teorema de rango-nulidad
Una transformación lineal determina automáticamente dos subespacios de manera natural: el kernel
y la imagen
. Resulta que las dimensiones de
, de
y de
están fuertemente relacionadas entre sí.
Teorema. Sean y
espacios de dimensión finita. Sea
una transformación lineal. Entonces
Demostración. Supongamos que y
. Queremos mostrar que
. Para ello, tomemos una base
de
y tomemos
tal que
sea base de
. Basta mostrar que
es base de
. Sea
el generado por
, de modo que
.
Veamos que es generador de
. Tomemos
en
. Podemos escribir
con
y
. Así,
, y este último está en el generado por
.
Ahora veamos que es linealmente independiente. Si








De esta forma, es linealmente independiente y genera a
, de modo que
.
Ejemplo. Consideremos de nuevo la transformación lineal que manda
a

Solución. Ya determinamos previamente que esta transformación tiene rango . Por el teorema de rango-nulidad, su kernel tiene dimensión
. Así, hay un vector
en el kernel, para el cual
, de modo que
no es inyectiva.
Problema. Demuestra que para cualquier entero existe una terna
con
y tal que
Solución. Podríamos hacer la integral y plantear dos ecuaciones lineales. Sin embargo, daremos argumentos dimensionales para evitar la integral. Consideremos las transformaciones lineales y
dadas por
Notemos que











Rango para matrices
Definición. El rango de una matriz en
es el rango de la transformación lineal asociada de
a
dada por
. Lo denotamos por
.
A partir de esta definición y de las propiedades de rango para transformaciones lineales obtenemos directamente las siguientes propiedades para rango de matrices.
Proposición. Sean ,
y
enteros. Sea
una matriz en
y
,
matrices en
. Sea
una matriz en
cuya transformación lineal asociada es suprayectiva y
una matriz en
cuya transformación lineal asociada es inyectiva. Entonces:
Como discutimos anteriormente, el rango de una transformación se puede obtener aplicando la transformación a una base y viendo cuál es el máximo subconjunto de imágenes de elementos de la base que sea linealmente independiente. Si tomamos una matriz en
, podemos aplicar esta idea con los vectores
de la base canónica de
. Como hemos visto con anterioridad, para cada
tenemos que el vector
es exactamente la
-ésima columna de
. Esto nos permite determinar el rango de una matriz en términos de sus vectores columna.
Proposición. El rango de una matriz en es igual a la dimensión del subespacio de
generado por sus vectores columna.
Problema. Determina el rango de la matriz
Solución. Como es una matriz con filas, el rango es a lo más
. Notemos que entre las columnas están los vectores
,
y
, que son linealmente independientes. De esta forma, el rango de la matriz es
.
A veces queremos ver que el rango de un producto de matrices es grande. Una herramienta que puede servir en estos casos es la desigualdad de Sylvester.
Problema (Desigualdad de Sylvester). Muestra que para todas las matrices ,
en
se tiene que
Solución. Tomemos y
tales que
y
. Lo que tenemos que probar es que
Consideremos como la restricción de
a
. Tenemos que
, así que
. Por el teorema de rango-nulidad en
, tenemos que
Por el teorema de rango-nulidad en tenemos que
Sumando la desigualdad anterior con esta igualdad obtenemos el resultado.
El teorema
(opcional)
El siguiente resultado no se encuentra en el temario usual de Álgebra Lineal I. Si bien no formará parte de la evaluación del curso, recomendamos fuertemente conocerlo y acostumbrarse a usarlo pues tiene amplias aplicaciones a través del álgebra lineal.
Teorema (Teorema PJQ). Sea una matriz en
y
un entero en
. El rango de
es igual a
si y sólo si existen matrices invertibles
y
tales que
, en donde
es la matriz en
cuyas primeras
entradas de su diagonal principal son
y todas las demás entradas son cero, es decir, en términos de matrices de bloque,
No damos la demostración aquí. Se puede encontrar en el libro de Titu Andreescu, Teorema 5.68. Veamos algunas aplicaciones de este teorema.
Problema. Muestra que una matriz tiene el mismo rango que su transpuesta.
Solución. Llamemos al rango de
. Escribimos
usando el teorema
, con
y
matrices invertibles. Tenemos que
, con
y
matrices invertibles. Además,
es de nuevo de la forma de
. Así, por el teorema
, tenemos que
es de rango
.
Combinando el problema anterior con el resultado del rango de una matriz en términos de sus vectores columna obtenemos lo siguiente.
Proposición. El rango de una matriz en es igual a la dimensión del subespacio de
generado por sus vectores renglón.
Terminamos esta entrada con una aplicación más del teorema .
Problema. Muestra que una matriz de rango
se puede escribir como suma de
matrices de rango
. Muestra que es imposible hacerlo con menos matrices.
Solución. Expresamos usando el teorema
. Si definimos
para
, donde
es la matriz cuya entrada
es uno y las demás cero, claramente tenemos que
, por lo que





Veamos que es imposible con menos. Si son matrices de rango
, como el rango es subaditivo tenemos que
. Así, si sumamos menos de
matrices, no podemos obtener a
.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- Termina de hacer la reducción gaussiana del primer ejemplo.
- Sea
una transformación de un espacio vectorial
de dimensión finita a si mismo. Usa el teorema de rango-nulidad para mostrar que si
es inyectiva o suprayectiva, entonces es biyectiva.
- Determina el rango de la matriz
- Demuestra que aplicar operaciones elementales a una matriz no cambia su rango.
- Demuestra que matrices similares tienen el mismo rango.
- Demuestra por inducción que para matrices
del mismo tamaño tenemos que
- Escribe la demostración de la última proposición de la sección del teorema
- Revisa la demostración del teorema de descomposición
en el libro de Titu Andreescu.
Más adelante…
Esta entrada es solamente una breve introducción al concepto de rango y a algunas propiedades que pueden ser de utilidad al momento de calcular el rango de una matriz o una transformación lineal. Más adelante, veremos que el rango de una matriz está también relacionado con las soluciones de su sistema lineal homogéneo asociado.
El teorema de rango-nulidad es fundamental para el álgebra lineal. Muchas veces necesitamos calcular el rango de la imagen de una transformación lineal, pero es mucho más fácil calcular la dimensión de su kernel. O viceversa. En estas situaciones es muy importante recordar la forma en la que dicho teorema las relaciona.
Con este tema termina la segunda unidad del curso. Ahora estudiaremos aspectos un poco más geométricos de espacios vectoriales. En la siguiente unidad, hablaremos de dualidad, ortogonalidad, formas bilineales y productos interiores.
Entradas relacionadas
- Ir a Álgebra Lineal I
- Entrada anterior del curso: Problemas de cambio de base
- Siguiente entrada del curso: Problemas de rango de transformaciones y matrices
Hola!
Creo que hay un error en el primer ejemplo, pues dice ‘vectores columna’ pero en la matriz están en las filas.
Hola Melissa. Gracias, lo corregimos.
Hola, tengo unas dudas ¿el rango de una transformación lineal es un escalar? ¿Qué es «min(m, n)»?
Gracias.
Hola Lorna. El rango de una transformación lineal es un entero no negativo, es decir, puede ser 0,1,2,3,…. La notación min(m,n) se refiere al mínimo de m y n. Por ejemplo, min(1,3)=1, min(0,10)=0, min(7,7)=7.