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Álgebra Lineal I: Proceso de Gram-Schmidt

Por Blanca Radillo

5 respuestas

Introducción

Durante esta semana hemos introducido el concepto de bases ortogonales y ortonormales, así como algunas propiedades especiales. Para poder aplicar los resultados que hemos visto, es necesario insistir en que las bases sean de este tipo (ortonormales). Ahora veremos cómo encontrar bases ortonormales usando algo llamado el proceso de Gram-Schmidt.

Recordando todos los problemas anteriores de este curso, decíamos que una base es un conjunto de vectores linealmente independientes y que el número de vectores coincide con la dimensión del espacio. Pero hasta este momento no nos interesó determinar si las bases eran ortonormales o no. Si nos pusiéramos a ver si lo eran, es probable que muy pocas lo sean. Entonces surgen dos preguntas, ¿será difícil encontrar una base ortonormal de un espacio vectorial? y ¿habrá alguna manera de construir una base ortonormal?

Proceso de Gram-Schmidt

La respuesta a la primera pregunta es «no, no es difícil», y justo la respuesta de la segunda pregunta es la justificación. Dada una base cualquiera del espacio vectorial, podemos construir una base ortonormal de ese mismo espacio gracias al siguiente teorema.

Teorema (Gram-Schmidt). Sean $v_1,v_2,\cdots,v_d$ vectores linealmente independientes en un espacio vectorial $V$ sobre $\mathbb{R}$ (no necesariamente de dimensión finita), con producto interior $\langle \cdot , \cdot \rangle$. Entonces existe una única familia de vectores ortonormales $e_1,e_2,\ldots,e_d$ en $V$ con la propiedad de que para todo $k=1,2,\ldots,d$, tenemos que

\begin{align*}
\text{span}(e_1,e_2,\cdots,e_k)&=\text{span}(v_1,v_2,\cdots,v_k), \quad \text{y} \quad\\
\langle e_k,v_k \rangle&>0.
\end{align*}

Demostración. Lo haremos por inducción sobre $d$, la cantidad de vectores con la que empezamos.

La base inductiva es cuando $d=1$. Tomamos un vector $e_1\in \text{span}(v_1)$, entonces podemos escribirlo como $e_1=\lambda v_1$ para cierta $\lambda$. Si queremos que $0<\langle e_1,v_1 \rangle=\lambda\norm{v_1}^2$, entonces $\lambda>0$. Además queremos que $e_1$ tenga norma igual a 1, entonces $$1=\norm{e_1}^2=\langle e_1,e_1 \rangle=\lambda^2\norm{v_1}^2,$$ lo cual es posible si $\lambda=\frac{1}{\norm{v_1}}$. Como $e_1$ es un múltiplo escalar de $v_1$, se tiene que $\text{span}(e_1)=\text{span}(v_1)$. Además, la construcción forzó a que $e_1=\frac{1}{\norm{v_1}} v_1$ sea el único vector que satisface las condiciones del teorema.

Hagamos ahora el paso inductivo. Tomemos un entero $d\geq 2$, y supongamos que el teorema es cierto para $d-1$. Sean $v_1,v_2,\cdots,v_d$ vectores en $V$ linelmente independientes. Por hipótesis, sabemos que existe una única familia de vectores ortonormales $e_1,\cdots,e_{d-1}$ que satisfacen las condiciones del teorema respecto a la familia $v_1,\cdots,v_{d-1}$. Es suficiente con probar que existe un único vector $e_d$ tal que $e_1,\cdots,e_d$ satisface el teorema con respecto a $v_1,\cdots,v_d$, esto es
\begin{align*}
\norm{e_d}&=1,\\
\langle e_d,e_i \rangle&=0 \quad \forall 1\leq i\leq d-1,\\
\langle e_d, v_d \rangle &> 0,
\end{align*}

y

$\text{span}(e_1,\cdots,e_d)=\text{span}(v_1,\cdots,v_d),$

ya que, por hipótesis, los casos de $k<d$ se cumplen.

La idea para construir $e_d$ es tomarlo de $\text{span}(v_1,\cdots,v_d)$, expresarlo como combinación lineal de estos y encontrar condiciones necesarias y suficientes sobre los coeficientes de $e_d$ para que satisfaga las conclusiones del teorema. Hagamos esto.

Sea $e_d$ un vector tal que $e_d\in\text{span}(v_1,\cdots,v_d)$. Por ser linealmente independientes y por hipótesis $$\text{span}(v_1,\cdots,v_d)=\text{span}(e_1,\cdots,e_{d-1})+\text{span}(v_d),$$ entonces podemos escribir $e_d$ como

$e_d=\lambda v_d +\sum_{i=1}^{d-1} a_i e_i$

para algunos $\lambda,a_1,\cdots,a_{d-1}$. Si resulta que $\lambda\neq 0$, esto también implicará que $\text{span}(e_1,\cdots,e_d)=\text{span}(v_1,\cdots,v_d)$.

Ahora, dado que $e_d$ debe formar una familia ortonormal con el resto de los vectores, para todo $j=1,\cdots,d-1$, tenemos que


\begin{align*}
0&=\langle e_d,e_j \rangle\\
&=\lambda\langle v_d,e_j\rangle + \sum_{i=1}^{d-1} a_i\langle e_i,e_j \rangle\\
&=\lambda\langle v_d,e_j \rangle +a_j,
\end{align*}

entonces $a_j=-\lambda\langle v_d,e_j \rangle$. Si logramos mostrar que hay un único $\lambda$ con el que se pueda satisfacer la conclusión del teorema, el argumento anterior muestra que también hay únicos $a_1,\ldots,a_{d-1}$ y por lo tanto que hay un único vector $e_d$ que satisface el teorema.

Sustituyendo los coeficientes anteriores, obtenemos que

$e_d=\lambda\left(v_d-\sum_{i=1}^{d-1} \langle v_d,e_i\rangle e_i \right).$

Notemos que si $z:=v_d-\sum_{i=1}^{d-1} \langle v_d,e_i\rangle e_i$ es cero, $v_d$ estaría en $$\text{span}(e_1,\cdots,e_{d-1}) = \text{span}(v_1,\cdots,v_{d-1}),$$ contradiciendo que los vectores $v_i$’s son linealmente independientes, entonces $z\neq 0$.

Ahora como queremos que $1=\norm{e_d}=|\lambda| \norm{z}$, esto implica que $|\lambda|=\frac{1}{\norm{z}}$.

Como además queremos que $\langle e_d,v_d \rangle >0$ y

$\langle e_d,v_d\rangle =\left\langle e_d,\frac{e_d}{\lambda}+\sum_{i=1}^{d-1} \langle v_d,e_i\rangle e_i \right\rangle=\frac{1}{\lambda},$

se deduce que $\lambda$ es único y está determinado por $\lambda=\frac{1}{\norm{z}}.$ Por lo tanto existe (y es único) el vector $e_d$ que satisface el teorema.

$\square$

Este proceso de construcción es mejor conocido como el proceso de Gram-Schmidt. La demostración da a la vez un algoritmo que nos permite encontrar bases ortogonales (y de hecho ortonormales). Veremos ejemplos de esto en la siguiente sección. Antes de eso, enunciaremos formalmente una de las conclusiones más importantes del teorema anterior.

Recuerda que un espacio Euclideano es un espacio vectorial de dimensión finita sobre $\mathbb{R}$ y con un producto interior. Podemos aplicar el proceso de Gram-Schmidt a cualquier base $v_1,\ldots,v_d$ de un espacio Euclideano $V$ y al final obtendremos una familia $e_1,\ldots,e_d$ de vectores ortonormales. Como sabemos que las familias de vectores ortonormales son linealmente independientes, y tenemos $d$ vectores, concluimos que $e_1,\ldots,e_d$ es una base ortonormal. En resumen, tenemos el siguiente resultado.

Corolario. Todo espacio Euclideano tiene una base ortonormal.

Ejemplos de aplicación del proceso de Gram-Schmidt

A continuación veremos algunos ejemplos que nos ayuden a clarificar más este algoritmo.

Ejemplo 1. Sean $v_1,v_2,v_3$ vectores en $\mathbb{R}^3$ (con el producto interior estándar) definidos por

$v_1=(1, 1, 0), \quad v_2=( 1, 1, 1), \quad v_3=( 1, 0, 1)$.

Es fácil ver que estos vectores son linealmente independientes. Entonces construyamos según el proceso de Gram-Schmidt la familia ortonormal de vectores $e_1,e_2,e_3$. Tenemos que

$e_1=\frac{v_1}{\norm{v_1}}=\frac{v_1}{\sqrt{2}}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)$.

Ahora, tomando $z_2=v_2-\langle v_2,e_1\rangle e_1$, tenemos que $e_2$ está definido como $\frac{z_2}{\norm{z_2}}$, entonces

\begin{align*}
z_2&=(1,1,1)-\left[(1,1,1)\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)\right]\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0\right) \\
&=(1,1,1)-\left[\frac{2}{\sqrt{2}}\right]\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0\right) \\
&=(1,1,1)-(2/2,2/2,0)\\
&=(1,1,1)-(1,1,0)=(0,0,1).
\end{align*}

Esto implica que $e_2=\frac{1}{1}(0,0,1)=(0,0,1)$. Finalmente tomando $z_3=v_3-\langle v_3,e_1 \rangle e_1 – \langle v_3,e_2 \rangle e_2$, sabemos que $e_3=\frac{z_3}{\norm{z_3}}$. Entonces

\begin{align*}
z_3&=v_3-\langle v_3,e_1 \rangle e_1 – \langle v_3,e_2 \rangle e_2 \\
&=(1,0,1)-\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)-(0,0,1) \\
&=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0\right).
\end{align*}

Por lo tanto

$e_3=\frac{1}{\sqrt{1/2}}\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2},0\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{-1}{\sqrt{2}},0\right).$

$\triangle$

Ejemplo 2. Sea $V$ el espacio de polinomios en $[0,1]$ con coeficientes reales de grado a lo más 2, con el producto interior

$\langle p,q \rangle =\int_0^1 p(x)q(x) dx.$

Sean $v_1=1$, $v_2=1+x$, $v_3=1+x^2$ vectores en $V$ que claramente son linealmente independientes. Encontraremos los vectores que nos da el proceso de Gram-Schmidt.

Primero calculemos

$\norm{v_1}^2=\int_0^1 1 dx= 1$,

entonces $e_1=\frac{v_1}{\norm{v_1}}=v_1=1$. Ahora calculemos $z_2$:

\begin{align*}
z_2&=v_2-\langle v_2,e_1 \rangle e_1 \\
&=1+x- \int_0^1 (1+x)dx=1+x-\left(1+\frac{1}{2}\right) \\
&=x-\frac{1}{2}.
\end{align*}

Haciendo la integral $$\int_0^1 \left(x-\frac{1}{2}\right)^2 dx$$ se obtiene que $\norm{z_2}=\sqrt{\frac{1}{12}}$, entonces $e_2=\sqrt{12}\left(x-\frac{1}{2}\right)$.

Por último, hay que calcular $z_3$ así como su norma. Primero,

\begin{align*}
z_3&=v_3-\langle v_3,e_1 \rangle e_1 – \langle v_3,e_2 \rangle e_2 \\
&=(1+x^2)-\int_0^1 (1+x^2)dx – 12\left(x-\frac{1}{2}\right)\int_0^1 (1+x^2)\left(x-\frac{1}{2}\right)dx \\
&=1+x^2-\left(1+\frac{1}{3}\right)-12\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{12}\right) \\
&=x^2-\frac{1}{3}-x+\frac{1}{2} \\
&=x^2-x+\frac{1}{6},
\end{align*}

y luego, con la integral $$\int_0^1 \left(x^2-x+\frac{1}{6}\right)^2 dx$$ se calcula que $\norm{z_3}=\frac{1}{6\sqrt{5}}$, por lo tanto $e_3=6\sqrt{5}\left(x^2-x+\frac{1}{6}\right)$.

$\triangle$

Aunque no es un proceso muy eficiente, nos garantiza que podemos encontrar una base ortonormal para cualquier espacio vectorial (con producto interior). Ya con una base ortonormal, podemos usar la descomposición de Fourier de la cual hablamos la entrada anterior y con ella todas las consecuencias que tiene.

Si quieres ver muchos más ejemplos del proceso en $\mathbb{R}^n$, puedes usar una herramienta en línea que te permite ver el proceso paso a paso en el conjunto de vectores que tu elijas. Una posible página es el Gram-Schmid Calculator de eMathHelp.

Más adelante…

En esta última entrada teórica de la unidad 3, vimos el método de Gram-Schmidt para construir una base ortonormal, que es un proceso algorítmico que parte de tener una base de un espacio y al final calcula una base ortonormal. También se vieron algunos ejemplos de la aplicación de este proceso para espacios vectoriales finitos como $\mathbb{R}^3$ y el espacio de polinomios en [0,1] de grado a lo más 2. Aunque no es una manera muy eficaz para encontrar una base ortonormal, sí te garantiza que lo que construye es una.

En la próxima entrada veremos ejercicios resueltos de los temas que hemos estado estudiando a lo largo de esta semana. 

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Verifica que con el valor $\lambda$ que se encontró en la demostración del teorema de Gram-Schmidt en efecto se obtiene un vector $e_d$ que satisface todas las conclusiones que se desean.
  • Revisa que los vectores que se obtuvieron en los ejemplos de aplicación del proceso de Gram-Schmidt en efecto son bases ortogonales de los espacios correspondientes.
  • Aplica el proceso de Gram-Schmidt a los polinomios $1$, $x$, $x^2$ en el espacio Euclideano de los polinomios reales de grado a lo más dos y producto interior $$\langle p, q \rangle = p(0)q(0)+p(1)q(1)+p(2)q(2).$$
  • Aplica el proceso de Gram-Schmidt a los vectores \begin{align*}(1,1,1,1)\\ (0,1,1,1)\\ (0,0,1,1)\\ (0,0,0,1)\end{align*} de $\mathbb{R}^4$ con el producto interior canónico (el producto punto).
  • Usa el Gram-Schmidt Calculator de eMathHelp para ver paso a paso cómo se aplica el proceso de Gram-Schmidt a los vectores \begin{align*}(1,2,1,1,-1)\\ (0,0,1,0,0)\\ (2,0,0,1,1)\\ (0,2,0,0,1)\\ (-3,0,0,1,0)\end{align*} de $\mathbb{R}^5$.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Seminario de Resolución de Problemas: Sucesiones monótonas y acotadas

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

2 respuestas

Introducción

En entradas anteriores hablamos de sucesiones aritméticas y geométricas. También hablamos de sucesiones periódicas y pre-periódicas. Cuando una sucesión es de cualquiera de estos tipos, entonces no es tan compleja pues depende de pocos parámetros. Hay otros dos sentidos en los que podemos restringir una sucesión: orden y en tamaño. Esto nos da, respectivamente, las definiciones de sucesiones monótonas y acotadas.

Por un lado, para hablar de sucesiones acotadas se necesita una noción de distancia. Por otro, para hablar de sucesiones monótonas se necesita de una noción de orden. En las siguientes secciones veremos ejemplos numéricos, pero mucho de lo que discutimos en esta entrada es generalizable a espacios métricos o conjuntos ordenados arbitrarios.

A menos que digamos lo contrario, supondremos que las sucesiones de las que hablamos empiezan con un término de subíndice $0$, aunque esto en realidad no afecta las ideas que discutimos.

Sucesiones acotadas

Las sucesiones acotadas son aquellas que siempre están «cerca de un punto». Cuando estamos hablando de sucesiones de reales, o de elementos en un conjunto linealmente ordenado, podemos hablar de cotas por arriba y por abajo.

Definición. Sea $\{x_n\}$ una sucesión de reales. Decimos que $\{x_n\}$ es:

  • Inferiormente acotada si existe un real $m$ tal que $x_n\geq m$ para todo entero $n\geq 0$.
  • Superiormente acotada si existe un real $M$ tal que $x_n\leq M$ para todo entero $n\geq 0$.
  • Acotada si es inferiormente acotada y superiormente acotada.

Se puede usar como definición alternativa del tercer punto la conclusión de siguiente proposición. Esto permite definir sucesiones acotadas en cualquier espacio normado.

Proposición. Sea $\{x_n\}$ una sucesión de reales. Se tiene que $\{x_n\}$ es acotada si y sólo si existe un real $A\geq 0$ tal que $|x_n|\leq A$ para todo entero $n\geq 0$.

Cualquier sucesión periódica de reales toma sólo una cantidad finita de valores, así que es acotada. ¿Cómo son las sucesiones aritméticas y geométricas que son acotadas?

Problema. La sucesión $\{x_n\}$ está definida para $n\geq 1$ y está dada por $$x_n=3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{\ldots\sqrt{3+\sqrt{3}}}}},$$ en donde tenemos $n$ signos de raíz cuadrada. Muestra que esta sucesión es acotada.

Sugerencia pre-solución. La notación es algo difícil. Usa una mejor notación, conjetura una cota superior trabajando hacia atrás, y pruébala por inducción.

Solución. El primer término es $3+\sqrt{3}$ y para $n\geq 1$ tenemos $$x_{n+1}=3+\sqrt{x_n} \geq 0.$$ Falta ver que la sucesión está acotada superiormente.

Trabajemos hacia atrás, suponiendo que podemos mostrar por inducción que un real $C$ es cota superior. Al hacer el paso inductivo, nos bastaría que $$3+\sqrt{C}\leq C.$$ Esto se cumple para muchos valores de $C$, por ejemplo, podemos tomar $C=9$.

Hagamos la prueba formalmente. Mostraremos que $\{x_n\}$ está acotada superiormente por $9$. El primer término es $3+\sqrt{3}$, que está acotado por $9$. Si $x_n$ está acotado por $9$, entonces $$x_{n+1}=3+\sqrt{x_n}\leq 3+\sqrt{9}\leq 3+3 \leq 9.$$ Esto termina la inducción y muestra que $\{x_n\}$ es acotada.

$\square$

Sucesiones monótonas

Otra forma de limitar los «movimientos» de una sucesión es a través de una noción de orden. Las siguientes definiciones son para sucesiones de reales, pero es sencillo extenderlas a cualquier conjunto parcialmente ordenado.

Definición. Sea $\{x_n\}$ una sucesión de reales. Decimos que $\{x_n\}$ es:

  • Creciente si para todo par de enteros enteros $k>l\geq 0$ se tiene que $x_k\geq x_l$.
  • Estrictamente creciente si para todo par de enteros enteros $k>l\geq 0$ se tiene que $x_k> x_l$.
  • Decreciente si para todo par de enteros enteros $k>l\geq 0$ se tiene que $x_k\leq x_l$.
  • Estrictamente decreciente si para todo par de enteros enteros $k>l\geq 0$ se tiene que $x_k<x_l$.

Las sucesiones monótonas son aquellas que cumplen alguna de las definiciones anteriores.

Aunque la definición requiere que cierta desigualdad se cumpla para todo par de índices $k>l\geq 0$, basta con demostrar que se cumple para $k=n+1$ y $l=n$, es decir, para índices consecutivos. Esto típicamente se reduce a demostrar una desigualdad. Hablaremos más adelante de técnicas para resolver desigualdades, pero por el momento veremos un ejemplo sencillo.

Problema. Muestra que la sucesión $\{x_n\}$ dada por $$x_n=\left(1 +\frac{1}{n}\right)^n$$ es estrictamente creciente.

Sugerencia pre-solución. Basta con que pruebes la desigualdad para subíndices consecutivos. Para hacer esto, usa el binomio de Newton y modifica el problema a comparar ciertos términos.

Solución. Tenemos que mostrar que $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \leq \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}.$$

Para mostrar esto, primero demostraremos la siguiente desigualdad auxiliar para $0\leq k \leq n+1$: \begin{equation}\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}\leq \binom{n+1}{k}\frac{1}{(n+1)^k}.\end{equation}

Si $k=n+1$, la desigualdad se cumple pues el término izquierdo es $0$. Para $0\leq k \leq n$, esta desigualdad es equivalente a la desigualdad $$\frac{\binom{n+1}{k}}{\binom{n}{k}}\geq \left(\frac{n+1}{n}\right)^k.$$ Usando la expresión en términos de factoriales y simplificando el lado izquierdo, tenemos que
\begin{align*}
\frac{\binom{n+1}{k}}{\binom{n}{k}}&=\frac{\frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!}}{\frac{n!}{k!(n-k)!}}\\
&=\left(\frac{n+1}{n}\right)\cdot\left(\frac{n}{n-1}\right)\cdot \ldots\cdot\left(\frac{n+2-k}{n+1-k}\right)
\end{align*}

Afirmamos que cada uno de los $k$ términos de la derecha es mayor o igual a $\frac{n+1}{n}$. Para ello, basta mostrar que la sucesión $\left\{\frac{m+1}{m}\right\}$ definida para $m\geq 1$ es decreciente. Pero esto es fácil de ver, pues cada término es $\frac{m+1}{m}=1+\frac{1}{m}$ que claramente decrece conforme $m$ crece. Con esto terminamos la prueba de la desigualdad auxiliar (1).

Sumando la desigualdad (1) para todos los valores de $k$ de $0$ a $n+1$ y usando el binomio de Newton, obtenemos la desigualdad deseada.

$\square$

Más allá de sucesiones monótonas

De entre las sucesiones monótonas, hay algunas que podemos entender mejor. Una sucesión de reales puede ser estrictamente creciente, y no irse a infinito. Por ejemplo, considera la sucesión: $$0.3, 0.33, 0.333, 0.3333,\ldots$$ en donde de un término al siguiente se agrega un dígito $3$. Esta sucesión es estrictamente creciente, pero todos los términos son menores a $\frac{1}{3}$.

Hay diferentes grados de información que podemos tener de una sucesión con respecto a cuánto crece. En cada uno de los siguientes puntos, cada vez sabemos mejor qué tanto crece la sucesión:

  • Saber que la sucesión es creciente
  • Saber que es estrictamente creciente
  • Determinar si es acotada superiormente
  • Conocer qué tan rápido crece

Por supuesto, hay una jerarquía análoga para funciones decrecientes.

Veamos un ejemplo de entender bien el crecimiento de una sucesión. El siguiente problema apareció en uno de los concursos de matemáticas Pierre Fermat que organiza el IPN.

Problema. Considera una sucesión $\{a_n\}$ de reales tal que $a_0>0$ y para cada $n\geq 0$ se cumple que $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$. Muestra que $a_{200}>20$.

Sugerencia pre-solución. En vez de entender la sucesión $\{a_n\}$, modifica el problema a entender la sucesión $\{a_n^2\}$, que es más fácil de estudiar cómo crece. En cierta forma, tendrás que generalizar el problema, entendiendo qué tan grande es cada término.

Solución. Es fácil ver que la sucesión es creciente. Para ello podemos probar simultáneamente por inducción que cada término es positivo y mayor que el anterior. Sin embargo, esto es todavía muy débil para nuestros fines: aún no sabemos si la sucesión superará $20$ y, peor aún, no sabemos si sucederá antes del término $200$.

Quedémonos con el hecho de que $a_n$ es de términos positivos. Pero en vez de estudiar cómo crece $\{a_n\}$, mejor estudiamos cómo crece $\{a_n^2\}$. Observemos que
\begin{align*}
a_{n+1}^2&=\left(a_n+\frac{1}{a_n}\right)^2\\
&=a_n^2+2+\frac{1}{a_n^2}\\
&>a_n^2+2,
\end{align*}

de modo que podemos probar inductivamente que $a_n^2\geq 2n$. De aquí, deducimos que $a_n\geq \sqrt{2n}$. En particular, $a_{200}\geq \sqrt{400}=20$.

$\square$

Descenso infinito

Una herramienta bastante útil para la resolución de problemas con enteros es el siguiente resultado. En cierto sentido, habla de cómo son las sucesiones monótonas y acotadas de enteros.

Teorema (principio del descenso infinito). No existen sucesiones estrictamente decrecientes e inferiormente acotadas de enteros.

De manera similar, no existen sucesiones estrictamente crecientes y superiormente acotadas de enteros.

Veamos un ejemplo de la Olimpiada Centroamericana de Matemáticas.

Problema. Aplicar un desliz a un entero positivo $n\geq 5$ consiste en cambiar a $n$ por $\frac{n+p^2}{p}$, con $p$ un divisor primo de $n$. Muestra que tras aplicar repetidamente deslices a un entero $n\geq 5$, siempre se llega a $5$.

Sugerencia pre-solución. Usa el principio de descenso infinito.

Solución. Si comenzamos con $n=5$, la única opción es pasar a $\frac{5+25}{5}=6$. Si comenzamos con $n=6$, ambos deslices (con $2$ ó $3$) nos llevan a $5$.

Veremos que a partir de cualquier entero $n\geq 7$, tras aplicar deslices siempre se llega a $5$.

Afirmamos lo siguiente:

  • Si $n$ es primo, sólo tiene un desliz que lo pasa a $n+1$.
  • Para $n\geq 7$ no primo, aplicar un desliz lo disminuye en al menos $2$.
  • Para $n\geq 5$, aplicar un desliz lo lleva a un número mayor o igual a $5$.

La primera afirmación es fácil de ver, pues si $n=p$, el único divisor primo que tiene es $p$ y así, el único desliz que tiene lo manda a $$\frac{p^2+p}{p}=p+1=n+1.$$

Para la segunda afirmación, necesitamos mostrar que si $n\geq 7$ no es primo y $p$ lo divide, entonces $$\frac{n+p^2}{p}\leq n-2.$$ Reescribiendo esta afirmación, necesitamos mostrar que $$np\geq p^2+n+2p.$$ Como $n$ no es primo, $n=pq$ con $q\geq 2$. Como $p$ es primo, $p\geq 2$.

Reescribiendo la desigualdad que queremos mostrar en términos de $p$ y $q$, y cancelando un factor $p$ de ambos lados, lo que necesitamos es $$pq\geq p+q+2.$$ restando $p+q-1$ de ambos lados y factorizando el lado izquierdo, esto es equivalente a $$(p-1)(q-1)\geq 3.$$

Hagamos un análisis de casos para los primos $p$ y $q$

  • Si $p=q=2$ entonces $n=4$, que no es un caso que nos interese.
  • Si $p=2$ y $q=3$, o $p=3$ y $q=2$, entonces $n=6$, pero para la segunda afirmación estamos suponiendo $n\geq 7$.
  • Así, $p\geq 3$ y $q\geq 3$, de modo que $(p-1)(q-1)\geq 4$, que implica la desigualdad que queremos.

Esto prueba la segunda afirmación.

La tercera afirmación se prueba notando que tras el desliz, un número se va a $\frac{n}{p}+p \geq 2\sqrt{n}\geq 2\sqrt{5}>4$, y como esta esta expresión es entera, se tiene $\frac{n}{p}+p\geq 5$.

Estamos listos para dar la prueba. Por la tercer afirmación, la sucesión siempre es $\geq 5$. Si acaso la sucesión crece, fue porque teníamos un primo $p$ que pasó a $p+1$. Pero entonces $p+1$ no es primo y al paso siguiente es menor o igual a $p-1$ por la segunda afirmación. Así, cada dos pasos, la sucesión decrece estrictamente, a menos que pase por $6$. Por el principio de descenso infinito, no es posible que siempre decrezca. Así, en algún momento pasa por $6$, y entonces al paso siguiente será $5$.

$\square$

Más problemas

Esta entrada es una extensión de las secciones 1, 2 y 3 del curso de sucesiones que impartí para los entrenadores de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas. Puedes consultar las notas de este curso en el siguiente PDF, en donde hay más problemas de práctica:

Curso de SucesionesDescarga

Álgebra Lineal I: Aplicaciones de bases ortogonales y descomposición de Fourier

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

3 respuestas

Introducción

En esta entrada continuamos hablando de bases ortogonales. Como recordatorio, para poder hablar de esto, necesitamos un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ equipado con un producto interior, y por lo tanto podemos hablar de normas. Una base ortogonal de $V$ es una base en la cual cada par de vectores tiene producto interior $0$. Es ortonormal si además cada elemento es de norma $1$. Ahora veremos que dada una base ortonormal, podemos hacer una descomposición de Fourier de los vectores de $V$, que nos permite conocer varias de sus propiedades fácilmente.

La teoría que discutiremos está basada en el contenido de la Sección 10.5 del libro Essential Lineal Algebra with Applications de Titu Andreescu. Las últimas dos secciones de esta entrada son un poco abstractas, pero son la puerta a ideas matemáticas interesantes con muchas aplicaciones dentro de la matemática misma y en el mundo real.

Descomposición de Fourier

Es fácil conocer las coordenadas de un vector en términos de una base ortonormal.

Teorema. Si $V$ es un espacio Euclideano de dimensión $n$ con producto interior $\langle\cdot, \cdot\rangle$ y $B=\{e_1,\ldots,e_n\}$ es una base ortonormal con este producto interior, entonces para cualquier vector $v$, la coordenada de $v$ con respecto a $e_i$ es $\langle v, e_i \rangle$.

Demostración. Expresemos a $v$ en la base $B$ como $$v=\alpha_1e_1+\ldots+\alpha_n e_n.$$

Tomemos $j$ en $1,2,\ldots,n$. Usando la linealidad del producto interior, tenemos que
\begin{align*}
\langle v, e_j \rangle &= \left \langle \sum_{i=1}^n \alpha_i e_i, e_j \right \rangle\\
&=\sum_{i=1}^n \alpha_i \langle e_i,e_j \rangle.
\end{align*}

Como $B$ es base ortonormal, tenemos que en el lado derecho $\langle e_j,e_j\rangle = 1$ y que si $i\neq j$ entonces $\langle e_i, e_j\rangle=0$. De esta forma, el lado derecho de la expresión es $\alpha_j$, de donde concluimos que $$\langle v, e_j \rangle = \alpha_j,$$ como queríamos.

$\square$

Definición. Si $V$ es un espacio Euclideano de dimensión $n$ con producto interior $\langle\cdot, \cdot\rangle$ y $B=\{e_1,\ldots,e_n\}$ es una base ortonormal, a $$v=\sum_{i=1}^n \langle v, e_i \rangle e_i$$ le llamamos la descomposición de Fourier de $v$ con respecto a $B$.

Ejemplo. Trabajemos en el espacio vectorial $V=\mathbb{R}_2[x]$ de polinomios reales de grado a lo más $2$. Ya mostramos anteriormente (con más generalidad) que $$\langle p,q \rangle = p(-1)q(-1)+p(0)q(0)+p(1)q(1)$$ es un producto interior en $V$.

Los polinomios $\frac{1}{\sqrt{3}}$, $\frac{x}{\sqrt{2}}$ y $\frac{3x^2-2}{\sqrt{6}}$ forman una base ortonormal, lo cual se puede verificar haciendo las operaciones y queda de tarea moral. ¿Cómo expresaríamos a la base canónica $\{1,x,x^2\}$ en términos de esta base ortonormal? Los primeros dos son sencillos:
\begin{align}
1&=\sqrt{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\\
x&=\sqrt{2}\cdot \frac{x}{\sqrt{2}}.
\end{align}

Para encontrar el tercero, usamos el teorema de descomposición de Fourier. Para ello, calculamos los siguientes productos interiores:

\begin{align*}
\left\langle x^2, \frac{1}{\sqrt{3}}\right\rangle &= \frac{2}{\sqrt{3}},\\
\left \langle x^2, \frac{x}{\sqrt{2}}\right\rangle &=0,\\
\left\langle x^2, \frac{3x^2-2}{\sqrt{6}} \right\rangle &=\frac{2}{\sqrt{6}}.
\end{align*}

De este modo, $$x^2= \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{6}}\cdot \frac{3x^2-2}{\sqrt{6}}.$$

$\triangle$

Norma usando la descomposición de Fourier

Cuando tenemos bases ortogonales u ortonormales, también podemos calcular la norma de un vector fácilmente.

Teorema. Si $V$ es un espacio Euclideano de dimensión $n$ con producto interior $\langle\cdot, \cdot\rangle$ y $B=\{e_1,\ldots,e_n\}$ es una base ortogonal con este producto interior, entonces para cualquier vector $$v=\alpha_1e_1+\ldots+\alpha_ne_n,$$ tenemos que $$\norm{v}^2 = \sum_{i=1}^n \alpha_i^2 \norm{e_i}^2.$$

En particular, si $B$ es una base ortonormal, entonces $$\norm{v}^2 = \sum_{i=1}^n \langle v, e_i \rangle^2.$$

Demostración. Usando la definición de norma y la bilinealidad del producto interior, tenemos que
\begin{align*}
\norm{v}^2 &= \langle v,v \rangle\\
&=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_i \alpha_j \langle e_i, e_j\rangle.
\end{align*}

Como $B$ es base ortogonal, los únicos sumandos que quedan a la derecha son aquellos en los que $i=j$, es decir,
\begin{align*}
\norm{v}^2&=\sum_{i=1}^n \alpha_i^2 \langle e_i, e_i\rangle\\
&=\sum_{i=1}^n \alpha_i^2 \norm{e_i}^2\\
\end{align*}

como queríamos mostrar.

Si $B$ es base ortonormal, cada $\norm{e_i}^2$ es $1$, y por el teorema anterior, $\alpha_i=\langle v, e_i\rangle$. Esto prueba la última afirmación.

$\square$

Ejemplo. Continuando con el ejemplo anterior, como ya escribimos a $x^2$ en términos de la base ortogonal, podemos encontrar fácilmente su norma. Tendríamos que
\begin{align*}
\norm{x^2}^2&=\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\frac{2}{\sqrt{6}}\right)^2\\
&=\frac{4}{3}+\frac{4}{6}\\
&=2.
\end{align*}

De esta forma, $\norm{x^2}=\sqrt{2}$. En efecto, esto es lo que obtendríamos si hubiéramos calculado la norma de $x^2$ con la definición.

$\triangle$

Aplicación de descomposición de Fourier a polinomios

Vamos a continuar con un ejemplo que vimos en la entrada anterior. Recordemos que estábamos trabajando en $V=\mathbb{R}_n[x]$, que habíamos elegido $n+1$ reales distintos $x_0,\ldots,x_n$, y que a partir de ellos definimos $$\langle P, Q\rangle = \sum_{i=0}^n P(x_i)Q(x_i).$$ Mostramos que $\langle \cdot , \cdot \rangle$ es un producto interior y que para $j=0,\ldots,n$ los polinomios $$L_i=\prod_{0\leq j \leq n, j\neq i} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$ forman una base ortonormal de $V$.

Por el teorema de descomposición de Fourier, tenemos que cualquier polinomio $P$ de grado a lo más $n+1$ con coeficientes reales satisface que $$P=\sum_{i=0}^n \langle P, L_i \rangle L_i,$$ lo cual en otras palabras podemos escribir como sigue.

Teorema (de interpolación de Lagrange). Para $P$ un polinomio con coeficientes en los reales de grado a lo más $n$ y $x_0,x_1,\ldots,x_n$ reales distintos, tenemos que $$P(x)=\sum_{i=0}^n P(x_i) \left(\prod_{0\leq j \leq n, j\neq i} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}\right).$$

El teorema de interpolación de Lagrange nos permite decir cuánto vale un polinomio de grado $n$ en cualquier real $x$ conociendo sus valores en $n+1$ reales distintos. Ya habíamos mostrado este teorema antes con teoría de dualidad. Esta es una demostración alternativa con teoría de bases ortogonales y descomposición de Fourier.

Aplicación de ideas de Fourier en funciones periódicas

También ya habíamos visto que $$\langle f,g \rangle = \int_{-\pi}^\pi f(x)g(x)\, dx$$ define un producto interior en el espacio vectorial $V$ de funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ continuas y periódicas de periodo $2\pi$.

En ese ejemplo, definimos \begin{align*}
C_n(x)&=\frac{\cos(nx)}{\sqrt{\pi}}\\
S_n(x)&=\frac{\sin(nx)}{\sqrt{\pi}}.
\end{align*} y $C_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$, y mostramos que $$\mathcal{F}:=\{C_n:n\geq 0\}\cup \{S_n:n\geq 1\}$$ era un conjunto ortonormal.

No se puede mostrar que $\mathcal{F}$ sea una base ortonormal, pues el espacio $V$ es de dimensión infinita, y es bastante más complicado que los espacios de dimensión finita. Sin embargo, la teoría de Fourier se dedica a ver que, por ejemplo, la familia $\mathcal{F}$ es buena aproximando a elementos de $V$, es decir a funciones continuas y periódicas de periodo $2\pi$. No profundizaremos mucho en esto, pero daremos algunos resultados como invitación al área.

Para empezar, restringimos a la familia $\mathcal{F}$ a una familia más pequeña:

$$\mathcal{F}_n:=\{C_m:0\leq m \leq n\}\cup \{S_m:1\leq m \leq n\}$$

Motivados en la descomposición de Fourier para espacios Euclideanos, definimos a la $n$-ésima serie parcial de Fourier de una función $f$ en $V$ a la expresión $$S_n(f)=\sum_{g\in \mathcal{F}_n} \langle f, g \rangle g.$$ Haciendo las cuentas, se puede mostrar que $$S_n(f)=\frac{a_0(f)}{2}+\sum_{k=1}^n \left(a_k(f)\cos(kx)+b_k(f)\sin(kx)\right),$$ en donde para $k\geq 1$ tenemos $$a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(kx)\, dx$$ y $$b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(kx)\, dx.$$

A los números $a_k$ y $b_k$ se les conoce como los $k$-ésimos coeficientes de Fourier. Aunque $\mathcal{F}$ no sea una base para $V$, sí es buena «aproximando» a elementos de $V$. Por ejemplo, un resultado lindo de Dirichlet dice que si $f$ y su derivada son continuas, entonces $$\lim_{n\to \infty} S_n(f)(x) = f(x).$$ Este tipo de teoremas de aproximación se estudian con más a detalle en un curso de análisis matemático avanzado o de análisis de Fourier.

Considera ahora $W_n$ el subespacio de $V$ generado por $\mathcal{F}_n$. Tomemos una función $f$ cualquiera en $V$. La $n$-ésima serie de Fourier de $f$ es un elemento de $W_n$. De hecho, es precisamente la proyección de $f$ en $W_n$. Por esta razón, $$\norm{f_n}^2\leq \norm{f}^2<\infty$$

Podemos calcular la norma de $f_n$, usando el resultado para espacios Euclideanos en el espacio (de dimensión finita) $W_n$. Haciendo esto, podemos reescribir la desigualdad anterior como sigue:

$$\frac{a_0(f)^2}{2}+\sum_{k=1}^n(a_k(f)^2+b_k(f)^2)\leq \frac{1}{\pi} \norm{f}^2.$$

El lado derecho es constante, y en el lado izquierdo tenemos una suma parcial de la serie $$\sum_{k\geq 1}(a_k(f)^2+b_k(f)^2).$$ Los términos son positivos y la sucesión de sumas parciales es acotada, así que la serie converge. Entonces, necesariamente la sucesión de términos debe converger a cero. Acabamos de esbozar la demostración del siguiente teorema.

Teorema (de Riemann-Lebesgue). Sea $f$ una función continua y de periodo $2\pi$. Si $a_n(f)$ y $b_n(f)$ son los coeficientes de Fourier de $f$, entonces $$\lim_{n\to \infty} a_n(f) = \lim_{n\to \infty} b_n(f) = 0.$$

De hecho, se puede mostrar que la desigualdad que mostramos se convierte en igualdad cuando $n\to \infty$. Este es un resultado bello, profundo y cuya demostración queda fuera del alcance de estas notas.

Teorema (de Plancherel). Sea $f$ una función continua y de periodo $2\pi$. Si $a_n(f)$ y $b_n(f)$ son los coeficientes de Fourier de $f$, entonces $$\frac{a_0(f)^2}{2}+\sum_{k=1}^\infty(a_k(f)^2+b_k(f)^2)= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)^2\, dx.$$

Aunque no daremos la demostración de este resultado, en una entrada posterior veremos cómo podemos aplicarlo.

Más adelante…

En esta entrada seguimos estudiando las bases ortogonales. Usamos este concepto para hacer una descomposición de Fourier, para conocer propiedades de V y obtener otra manera de calcular la norma de un vector. Así mismo, vimos aplicaciones de la descomposición a polinomios, viendo el teorema de la interpolación de Lagrange ya previamente demostrado mediante teoría de dualidad.

Hasta ahora solo hemos hablado de cómo ver si una base es ortonomal y algunas propiedades de estas bases y conjuntos, en la siguiente entrada hablaremos de un método pata encontrar estas bases ortonormales usando el proceso de Gram-Schmidt.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Verifica que los tres polinomios del ejemplo de descomposición de Fourier en efecto forman una base ortogonal.
  • Calcula la norma de $x^2$ con el producto interior del ejemplo de descomposición de Fourier usando la definición, y verifica que en efecto es $\sqrt{2}$.
  • Con la misma base ortonormal $B$ de ese ejemplo, calcula las coordenadas y la norma del polinomio $1+x+x^2$.
  • Verifica que todo lo que mencionamos se cumple con el producto punto en $\mathbb{R}^n$ y con la base canónica.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Álgebra Lineal I: Problemas de desigualdades vectoriales

Por Ayax Calderón

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Introducción

En esta entrada practicaremos las dos desigualdades vectoriales que hemos visto anteriormente: la desigualdad de Cauchy – Schwarz y con la desigualdad de Minkowski. Veremos que de ellas se obtiene información valiosa sobre los espacios con producto interior.

Como ya se menciono en otras entradas del blog, estos espacios son muy importantes más allá del álgebra lineal, pues también aparecen en otros áreas como el análisis matemático, variable compleja, probabilidad, etc. Así mismo, los espacios vectoriales con producto interior tienen muchas aplicaciones en el mundo real. Por esta razón es muy importante aprender a detectar cuándo podemos usar desigualdades vectoriales.

Problemas resueltos

Comencemos con algunos problemas de desigualdades vectoriales que usan la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Problema 1. Demuestra que si $f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$ es una función continua, entonces

$$\left(\int_a ^b f(t)dt\right)^2 \leq (b-a)\int_a ^b f(t)^2 dt.$$

Demostración. Sea $V=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})$ el espacio de las funciones continuas de $[a,b]$ en los reales.

Veamos que $\langle \cdot , \cdot \rangle: V\times V \longrightarrow \mathbb{R}$ definido por $$\langle f,g \rangle = \int_a^b f(t)g(t) \, dt$$ es una forma bilineal simétrica.

Sea $f\in V$ fija. Veamos que $g\mapsto \langle f,g \rangle$ es lineal.

Sean $g,h \in V$ y $k\in F$, entonces

\begin{align*}
\langle f,g+hk \rangle &= \int_a ^b f(t)(g(t)+kh(t))dt\\
&=\int_a ^b (f(t)g(t)+kf(t)h(t)) dt\\
&=\int_a ^b f(t)g(t)dt +k \int_a ^b f(t)h(t)dt\\
&=\langle f,g \rangle + k \langle f,h \rangle .
\end{align*}

Análogamente se ve que si $g\in V$ fija, entonces $f\mapsto \langle f,g \rangle$ es lineal.

Luego,
\begin{align*}
\langle f,g \rangle &= \int_a ^b f(t)g(t)\, dt\\
&= \int_a ^b g(t)f(t)\, dt\\
&= \langle g,f \rangle.
\end{align*}
Por lo tanto $\langle \cdot, \cdot \rangle$ es una forma bilineal simétrica.

Ahora observemos que $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ es positiva.
$$\langle f,f \rangle = \int_a ^b f(t)^2 dt \geq 0$$ pues $f^2 (t)\geq 0$. Aunque no lo necesitaremos, mostremos además que que $\langle \cdot, \cdot \rangle$ es positiva definida. Si $f$ tiene algún valor $c$ en el interior de $[a,b]$ en la que $f(c)\neq 0$, como es continua, hay un $\epsilon>0$ tal que en todo el intervalo $(c-\epsilon,c+\epsilon)$ se cumple que $|f|$ es mayor que $|f(c)|/2$, de modo que
\begin{align*}
\langle f, f \rangle &= \int_a^b f^2(t)\, dt\\
&\geq \int_{c-\epsilon}^{c+\epsilon} f^2(t)\, dt\\
&\geq \int_{c-\epsilon}^{c+\epsilon}\frac{f(c)^2}{4} \, dt\\
&=\frac{\epsilon f(c)^2}{2}>0.
\end{align*}

Así, para que $\langle f, f \rangle$ sea $0$, es necesario que $f$ sea $0$ en todo el intervalo $(a,b)$ y por continuidad, que sea cero en todo $[a,b]$.

Sea $q$ la forma cuadrática asociada a $\langle \cdot, \cdot \rangle$.
En vista de todo lo anterior, podemos aplicar la desigualdad de Cauchy -Schwarz tomando $g$ la función constante $1$, es decir, tal que $g(x)=1$ para todo $x$ en $[a,b]$, la cual claramente es continua.

Entonces, $$\langle f,g \rangle &\leq q(f)q(g),$$ que substituyendo las definiciones es
\begin{align*}
\left( \int_a ^b f(t)\, dt\right)^2 &\leq \left(\int_a ^b f(t)^2 \, dt\right)\left(\int_a ^b 1^2\, dt\right)\\
&= (b-a)\int_a ^b f(t)^2 \, dt
\end{align*}

$\square$

Problema 2. a) Sean $x_1, \dots, x_n \in \mathbb{R}$. Demuestra que
$$ (x_1^2+\dots +x_n^2)\left(\frac{1}{x_1^2} + \dots + \frac{1}{x_n^2}\right) \geq n^2.$$
b) Demuestra que si $f:[a,b]\longrightarrow (0,\infty)$ es una función continua, entonces $$\left ( \int_a^b f(t)dt \right) \left (\int_a^b \frac{1}{f(t)}dt \right) \geq (b-a)^2$$

Demostración. a) Considera $\mathbb{R}^n$ con el producto interior usual. Sean $a,b\in\mathbb{R}^n$ dados por
\begin{align*}
a&=(x_1,\dots,x_n)\\
b&=\left( \frac{1}{x_1},\dots, \frac{1}{x_n}\right ).
\end{align*}

La desigualdad de Cauchy-Schwarz afirma que $\lvert \langle a,b \rangle \rvert \leq \norm{a} \norm{b}$. Se tiene que

\begin{align*}
\langle a,b \rangle &= (x_1,\ldots,x_n)\cdot \left(\frac{1}{x_1},\ldots,\frac{1}{x_n}\right)\\
&=1+1+\ldots+1\\
&=n,
\end{align*}

de modo que
\begin{align*}
|n|&\leq \norm{a} \norm{b}\\
&=\sqrt{(x_1^2+\dots +x_n^2)}\sqrt{\left(\frac{1}{x_1^2}+\dots + \frac{1}{x_n^2}\right )}.
\end{align*}

Si elevamos al cuadrado ambos extremos de esta igualdad, obtenemos la desigualdad deseada.

$\square$

b) En el problema 1 de esta entrada vimos que $$\langle f,g \rangle = \int_a^b f(t)g(t) dt$$ es un producto interior para el espacio de funciones continuas en $[a,b]$, y el espacio de este problema es un subespacio del de funciones continuas, así que también define un producto interior aquí.

Para la función $f$ dada, definamos $\phi (t)=\sqrt{f(t)}$ y $\psi (t)=\frac{1}{\sqrt{f(t)}}$.
Notemos que $\phi$ y $\psi$ son continuas, y además como $\forall t\in [a,b]$ se tiene $f(t)\in(0,\infty)$, también tenemos que $\psi (t), \phi (t)\in (0,\infty)$.

Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz $$\langle \phi, \psi \rangle^2 \leq \langle \phi , \phi \rangle \langle \psi , \psi \rangle.$$

Entonces
$$ \left(\int_a^b \phi (t) \psi (t) dt\right)^2 \leq \left(\int_a^b \phi(t)^2 dt \right)\left( \int_a^b\psi (t)^2 dt \right).$$

Luego, substituyendo los valores de $\phi$ y $\psi$:
$$ \left( \int_a^b \sqrt{f(t)}\cdot \frac{1}{\sqrt{f(t)}}dt\right )^2 \leq \left(\int_a^b f(t) dt \right)\left ( \int_a^b\frac{1}{f(t)}dt \right).$$

Finalmente, haciendo la integral a la izquierda:
$$(b-a)^2\leq \left(\int_a^b f(t) dt \right)\left (\int_a^b \frac{1}{f(t)}dt \right).$$

$\square$

Hay algunos problemas de desigualdades en los reales que necesitan que usemos herramientas de desigualdades vectoriales.

Problema 3. Sean $x,y,z$ números mayores que 1, tales que $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}=2$. Muestre que
$$\sqrt{x+y+x} \geq \sqrt{x-1} + \sqrt{y-1} + \sqrt{z-1}.$$


Demostración. Considera $\mathbb{R}^3$ con el producto interior usual y $u,v\in \mathbb{R}^3$ con
\begin{align*}
u&=\left(\sqrt{\frac{x-1}{x}}, \sqrt{\frac{y-1}{y}},\sqrt{\frac{z-1}{z}}\right),\\
v&=(\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z}).
\end{align*}

Aplicamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz a $u$ y $v$:

\begin{align*}
\sqrt{x-1} +& \sqrt{y-1} + \sqrt{z-1}\\
&\leq \sqrt{\frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z}}\sqrt{x+y+z}\\
&=\sqrt{(1+1+1)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}\sqrt{x+y+z}\\
&=\sqrt{3-2} \cdot \sqrt{x+y+z}\\
&=\sqrt{x+y+z}.
\end{align*}

Por lo tanto, $$\sqrt{x+y+x} \geq \sqrt{x-1} + \sqrt{y-1} + \sqrt{z-1}.$$

$\square$

Problema 4. Sea $f:[a,b]\longrightarrow (0,\infty)$ una función continua.
Demuestre que $$\int_a^b f(t)dt \leq \left ( (b-a)\int_a^b f(t)^2dt\right)^\frac{1}{2}.$$

Demostración. Ya vimos que $$\langle f,g \rangle = \int_a^b f(t)g(t)dt$$ es un producto interior para el espacio de funciones continuas.
Considera $g$ la función constante $1$.

Aplicando la desigualdad de Minkowski se tiene que
$$\sqrt{\langle f+g,f+g \rangle}\leq \sqrt{\langle f,f \rangle} + \sqrt{\langle g,g \rangle}$$

Tenemos entonces que:

$$\left ( \int_a^b (f(t)+1)^2 dt \right)^\frac{1}{2} \leq \left( \int_a^b f(t)^2 dt \right)^\frac{1}{2} + \left ( \int_a^b dt\right )^\frac{1}{2}.$$

Desarrollando el cuadrado en el lado izquierdo,
$$\left (\int_a^b f(t)^2 dt +2\int_a^b f(t)dt +(b-a) \right )^\frac{1}{2} \leq \left(\int_a^bf(t)^2dt \right)^\frac{1}{2} + (b-a)^\frac{1}{2}$$

Luego, elevando ambos lados de la ecuación al cuadrado
$$\int_a^b f(t)^2 dt + 2\int_a^b f(t) dt +(b-a)$$
$$\leq \int_a^b f(t)^2 dt +2\sqrt{b-a}\left( \int_a^b f(t)^2 dt\right)^\frac{1}{2} +(b-a)$$

Finalmente, cancelando términos igual en ambos lados, obtenemos la desigualdad deseada

$$\int_a^b f(t) dt \leq \left((b-a) \int_a^b f(t)^2 dt\right)^\frac{1}{2}.$$

$\square$

Tarea Moral

  • Resuelve el problema 2.b usando la desigualdad de Minkowski.

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Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Álgebra Superior II: Problemas de fórmula de De Moivre y raíces n-ésimas

Por Claudia Silva

2 respuestas

Introducción

En una entrada anterior, vimos cómo se comporta la multiplicación en forma polar y cómo podemos aprovechar esto para hacer potencias. Concretamente, el teorema de De Moivre es muy útil para elevar complejos a potencias sin tener que hacer gran cantidad de productos.

Los primeros dos videos son ejercicios que ejemplifican lo anterior. Después, usamos lo que aprendimos en la entrada de raíces $n$-ésimas para resolver dos problemas más.

Al final, compartimos un enlace en el que puedes practicar más con operaciones de números complejos.

Problemas de fórmula de De Moivre

Para empezar, vemos dos problemas de exponenciación completa. El primero es una aplicación directa de la fórmula de De Moivre.

Problema. Usa el teorema de De Moivre para elevar a la potencia indicada $$\left(\sqrt{3}(\cos 25^\circ + i \sin 25^\circ\right)^6.$$

En algunos problemas es posible que sea necesario primero obtener la forma polar de un complejo antes de poder usar la fórmula de De Moivre. El segundo problema es un ejemplo de esto.

Problema. Encuentra el valor de $(\sqrt{3}-i)^{12}$.

Problemas de raíces $n$-ésimas

Si ahora, en vez de querer elevar a cierta potencia, queremos obtener raíces $n$-ésimas, con el uso de un poderoso teorema que dedujimos a partir de la fórmula de De Moivre, sabemos que son exactamente $n$ raíces, y podemos calcularlas explícitamente. A continuación, vemos dos ejercicios que ejemplifican lo anterior.

Problema. Obtén las raíces cúbicas del complejo $3+4i$.

Problema. Obtén las raíces quintas del complejo $16\sqrt{2}(-1+i)$.

Ojo. En algún momento del siguiente video se encuentra que el ángulo es $360^\circ – 45^\circ$. Sin embargo, debe decir $180^\circ – 45^\circ$, pues se debe estar en el cuadrante 2, ya que la parte real es negativa y la compleja es positiva.

Fotos de los ejercicios de hoy

Finalmente, les dejo fotos de lo resuelto en los vídeos, para quienes tengan dificultades para ver los vídeos. En la tercera foto no están tan desarrolladas las cuentas como en el vídeo.

Problemas de fórmula de De Moivre, 1
Problemas de fórmula de De Moivre y de raíces
Problemas de raíces n-ésimas.

Más material de De Moivre y raíces

Puedes practicar más acerca de exponenciación y raíces complejas con los videos y ejercicios del tema en Khan Academy.

Más adelante…

Tarea moral

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Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»