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Álgebra lineal II: Repaso de producto interior

Introducción

Como mencionamos en la entrada anterior, una de las aplicaciones más útiles de las formas cuadráticas es que a base de ellas se puede definir un concepto sumamente importante, el producto interior (también llamado producto interno o producto punto en algunos casos específicos).

Utilizando esto podemos introducir otro par de conceptos igualmente importantes (si no es que más), siendo estos norma y distancia, estos sin embargo salen del interés de esta materia por lo que sólo los mencionaremos sin abundar en ellos.

Producto interior

Antes de empezar con esta definición, debemos agregar un par de condiciones extra a las formas cuadráticas.

Definición

Sea $V$ un espacio vectorial en $\mathbb{R}$, $b: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ una forma bilineal simétrica y $q: V \rightarrow \mathbb{R}$

Diremos que $b$ es positiva si
\begin{align*} \forall x \in V \text{ se tiene que } b(x,x) \geq 0. \end{align*}
Diremos que $b$ es definida positiva si
\begin{align*} \forall x \in V-\{ 0 \} \text{ se tiene que } b(x,x) > 0 \end{align*}
Dándose la igualdad únicamente si $v=0$.

De una manera semejante

Diremos que $q$ es positiva si su forma polar es positiva.

Diremos que $q$ es definida positiva si su forma polar es definida positiva.

Notemos que para saber si una forma cuadrática NO es positiva (ni definida positiva) no siempre es necesario conocer su polar, basta encontrar un vector tal que al calcular $q(x)$ este sea negativo, ya que esto garantiza que al calcular $b(x,x)$ será igualmente negativa.

En los siguientes ejemplos sea $V=\mathbb{R}^3$ espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$.

Ejemplo

$q (x_1, x_2, x_3) = x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1$.

Notemos que esta no es positiva, ya que tomando al vector $(-1,1,0) $ tenemos que
\begin{align*} q(-1,1,0)= -1 \end{align*}
Ejemplo

$q (x_1, x_2, x_3) = x_1^2+2(x_2-x_3) ^2+3(x_3-x_1) ^2$.

Calculemos la polar de esto, para ello recordemos la identidad de polarización que vimos aquí
\begin{align*} b(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}{2} \end{align*}
Calculemos por separado $q(x+y)$ y $-q(x)-q(y)$
\begin{align*} q(x+y)=(x_1+y_1)^2+2(x_2+y_2-x_3-y_3)^2+3(x_3+y_3-x_1-y_1)^2 \\
-q(x)-q(y)=-x_1^2-2(x_2-x_3)^2-3(x_3-x_1)^2-y_1^2-2(y_2-y_3)^2-3(y_3-y_1)^2 \end{align*}
y notamos que por la desigualdad del triángulo tenemos que, para cualesquiera $x,y \in \mathbb{R}$
\begin{align*}(x_1+y_1)^2 \geq x_1^2 +y_1^2 \end{align*}
y también
\begin{align*}2(x_2+y_2-x_3-y_3) ^2 \geq 2(x_2-x_3)^2+2(y_2-y_3)^2 \\
3(x_3+y_3-x_1-y_1)^2 \geq 3(x_3-x_1)^2+3(y_3-y_1)^2 \end{align*}
Al juntar estas 3 desigualdades obtenemos
\begin{align*}q(x+y) \geq q(x) + q(y) \end{align*}
Por lo que
\begin{align*} b(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}{2} \geq 0 \end{align*}
Para cualesquiera $x,y \in \mathbb{C}$, entonces $b$ es positiva, por lo que $q$ es positiva, finalmente, revisemos si es definida positiva, para esto, veamos si hay un vector no cero tal que $q (x_1, x_2, x_3) =0$.

Sea $x \in \mathbb{C}$ tal que $q(x)=0$ esto nos arrojaría el siguiente sistema
\begin{align} x_1=0 \nonumber \\
x_2-x_3=0 \nonumber \\
x_3-x_1=0 \nonumber \end{align}
De donde se concluye que $x_1=x_2=x_3=0$ y finalmente $x=0$ por lo que el único vector que anula esta forma cuadrática es el $0$, por lo tanto $q$ es definida positiva.

Teniendo una buena idea de las formas cuadráticas, prosigamos con la definición titular de esta entrada.

Definición

Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$, llamaremos a $b: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ un producto interno si $b$ es una forma bilineal, simétrica y definida positiva.

Diremos que $V$ es un espacio euclidiano si es un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ de dimensión finita y con un producto interno.

Como una curiosidad, abundemos un poco sobre este nombre, el término espacio euclidiano originalmente se refería al espacio tridimensional con la geometría euclidiana, usado para modelar el espacio alrededor de nosotros. Tras la introducción de geometrías no euclidianas, se redefinió axiomáticamente, otra forma de definirlo es como lo hemos hecho aquí que se ha mostrado ser equivalente a su antigua definición axiomática. Fuente.

Generalmente, cuando se habla de productos internos la notación usual es $<x,y>$ en vez de $b(x,y)$.

Finalmente, definamos un concepto sumamente importante, la norma.

Definición

Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ con $b$ un producto interno en $V$, la norma de $x \in V$ es
\begin{align*} ||x||=\sqrt{b(x,x)}=\sqrt{q(x)} \end{align*}
Con $q$ la forma cuadrática con polar $b$.

Ejemplos

  • $\mathbb{R}^n$ con el producto interno canónico
    \begin{align} <x,y>= \sum_{i=1}^nx_iy_i. \nonumber \end{align}
  • Sea $V=\mathcal{C}^0[a,b]$ el espacio de funciones reales continuas en [a,b].
    \begin{align} <f,g>= \int_a^bf(x)g(x)dx. \nonumber \end{align}

Algo que vale la pena notar es que esta definición difiere un poco de la definición usual de norma, como es de esperarse, al final ambas describen el mismo objeto, pero eso lo abordaremos un poco más adelante.

Desigualdades de Cauchy-Schwarz y Minkowski

Ya con esto, procedamos a las desigualdades prometidas.

Proposición (Desigualdad de Cauchy-Schwarz)

Sea $q: V \rightarrow \mathbb{R}$ una forma cuadrática y $b$ su polar.

  • Si $b$ es positiva, entonces para cualesquiera $x,y \in V$
    \begin{align*} b(x,y)^2 \leq q(x)q(y). \end{align*}
  • Más aún, si $b$ es definida positiva y $b(x,y)^2=q(x)q(y)$ para algún par $x,y \in V$ entonces $x,y$ son linealmente dependientes.

Demostración

Definamos una nueva función como sigue
\begin{align*} F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text{ dada por } F(t)=q(x+ty) \end{align*}
Aplicando que $b$ es bilinear y simétrica
\begin{align*} F(t)=b(x+ty, x+ty)=b(x,x)+2tb(x,y)+t^2b(y,y) \end{align*}
De aquí notemos que $F(t)$ es un polinomio de segundo grado en la variable $t$, además como $b$ es positiva tenemos que
\begin{align*} F(t) \geq 0 \end{align*}
Por lo que, calculando el discriminante de $F(t)$
\begin{align*} 4b(x,y)^2 -4b(x,x)b(y,y)=4b(x,y)^2 -4q(x)q(y) \leq 0 \end{align*}
Que finalmente, pasando $4q(x)q(y)$ y dividiendo entre $4$ obtenemos la desigualdad deseada
\begin{align*} b(x,y)^2 \leq q(x)q(y). \end{align*}
Para el inciso b), si $x=0$ o $y=0$ sabemos que $x,y$ son linealmente dependientes, por lo que supongamos que $x,y \neq 0 $, por lo que $q(y)>0$ ya que $q$ es definida positiva, lo que nos asegura que $F(t)$ es una ecuación de segundo grado en $t$, así volviendo a calcular su discriminante tenemos
\begin{align*} 4b(x,y)^2 -4q(x)q(y) = 0 \end{align*}
Ya que $b(x,y)^2=q(x)q(y)$, que a su vez nos indica que $F(t)$ tiene una única solución real, sea esta $t_1$ entonces
\begin{align*} F(t_1)=q(x+t_1y)=0 \end{align*}
Finalmente, como $q$ es definida positiva se debe tener que
\begin{align*} x+t_1y = 0 \end{align*}
Que nos da una combinación lineal de $0$ con coeficientes no todos cero, por lo tanto $x,y$ son linealmente dependientes.

$\square$

Si ya has visto previamente esta desigualdad, probablemente la forma de plantearla y demostrarla no resulte muy familiar, veamos un corolario y un par de ejemplos que tal vez te ayuden a reconocer mejor esta desigualdad y sus usos.

Corolario

Sea $V=$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ con producto interno $<,>$, entonces para cualesquiera $x,y \in V$
\begin{align*}|<x,y>| \leq ||x|| \cdot ||y||. \end{align*}

Ejemplos

Recordando el ejemplo usado arriba, tenemos que $\mathcal{C}^0[a,b]$ el espacio de funciones reales continuas en $[a,b]$ tiene un producto interno y por lo tanto una norma, así, aplicando el corolario tenemos que
\begin{align*} (\int_a^bf(x)g(x))^2 \leq (\int_a^bf(x)^2dx) \cdot (\int_a^bg(x)^2dx).\end{align*}
Que es como probablemente estudiarás esta desigualdad en cursos posteriores.

Otro ejemplo, sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ con producto interno $<,>$ por el corolario tenemos que
\begin{align*} -1 \leq \frac{<u,v>}{||u||\cdot||v||} \leq 1 \end{align*}
Para cualesquiera $u,v \in \mathbb{V} – \{0\}$, por lo que existe un único ángulo $\theta \in [0, \pi]$ tal que
\begin{align*} cos \theta =\frac{<u,v>}{||u||\cdot||v||}\end{align*}
De donde se definía a $\theta$ como el ángulo entre los vectores $u,v$.
Con esto, procedamos a la siguiente desigualdad.

Proposición (Desigualdad de Minkowski)
Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ y $q$ una forma cuadrática positiva en $V$, entonces, para cualesquiera $x,y \in V$
\begin{align} \sqrt{q(x)} + \sqrt{q(y)} \geq \sqrt{q(x+y)}. \nonumber \end{align}
Demostración

Sea $b$ la polar de $q$, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz tenemos que
\begin{align*} b(x,y)^2 \leq q(x)q(y) \end{align*}
Que sacando raíz de ambos lados y ya que $b$ es positiva, nos arroja
\begin{align*} b(x,y) \leq \sqrt{q(x)q(y)} \end{align*}
Además, recordando la identidad de polarización, sabemos que
\begin{align*} q(x+y)=q(x)+q(y)+2b(x,y) \end{align*}
Utilizando la desigualdad anterior, se tiene
\begin{align*} q(x+y)=q(x)+q(y)+2b(x,y) \leq q(x)+q(y)+2\sqrt{q(x)q(y)} \end{align*}
Factorizando el lado derecho obtenemos
\begin{align*} q(x+y) \leq (\sqrt{q(x)}+\sqrt{q(y)})^2 \end{align*}
que finalmente, despejando el lado derecho arroja
\begin{align*} \sqrt{q(x+y)} \leq \sqrt{q(x)}+\sqrt{q(y)}.\end{align*}

$\square$

Finalicemos hablando rápidamente de la otra definición de norma que seguramente ya has visto o verás proximamente.

Definición

Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ llamaremos norma a $|| \cdot ||: V \rightarrow \mathbb{R}$ una función que cumple las siguientes propiedades:

  • $||v|| \geq 0$ para todo $v \in V$, la igualdad se da si y solo si $v=0$.
  • $||av||=|a|\cdot||v||$ para todo $v \in V$ y para todo $a \in \mathbb{R}$.
  • $||v+w||\leq ||v||+||w||$ para todo $v,w \in V$.

Notemos que en nuestra definición de norma cumple estas tres propiedades, recordemos que $||v||=\sqrt{b(x,x)} $, así la primera se cumple debido a que $b$ se pidió definida positiva, la segunda debido a que $b$ es bilineal y la desigualdad de Minkowski nos garantiza la tercera propiedad.
Más aún, estas dos definiciones son equivalentes, esto de nuevo sale del interés de nuestro curso, pero no estaría de más que lo intentaras demostrar por tu cuenta.

Más adelante

Con esto concluimos nuestro pequeño repaso de producto interno y una de las grandes aplicaciones de las formas bilineales. Como probablemente sabes, los conceptos de producto interno y norma dan pie a un sin fin de teoría muy interesante y útil y poder llegar a ellos desde un enfoque puramente algebraico nos muestra el poder que tiene este campo de estudio.

Procederemos volviendo a la raíz del álgebra lineal y empezaremos a estudiar la relación entre formas bilineales y matrices, brindándonos tal vez un mejor entendimiento de ambas.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso. Sin embargo, sirven de ayuda para repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. Sea $V=\mathbb{R}^3$ espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ y definamos $q: V \rightarrow \mathbb{R}$
    \begin{align*} q(x,y,z)= x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz. \end{align*}
    ¿Es $q$ positiva? ¿Es definida positiva?
  2. Sea $V$ el espacio de polinomios con coeficientes reales cuyos grados no excedan $n \in \mathbb{N}$ prueba que
    \begin{align*} <P.Q>=\sum_{i=0}^nP(i)Q(i) \end{align*}
    Es un producto interno en $V$.
  3. Demuestra el corolario de la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
  4. Sea $V$ un $\mathbb{C}$-espacio vectorial, y $\Phi$ una forma cuadrática hermitiana en $V$, asumamos que $\Phi$ es definida positiva ($\Phi(v) >0$ para todo $v$ no cero) con $\varphi$ su polar.
    Prueba la desigualdad de Cauchy-Schwarz, es decir, para todo $x,y \in V$
    \begin{align*} |\varphi(x,y)|^2 \leq \Phi(x)\Phi(y) \end{align*}
    Y la igualdad sucede si y sólo si $x,y$ son linealmente dependientes.
  5. Con la misma notación del ejercicio anterior, prueba la desigualdad de Minkowski, es decir, para todos $x,y \in V$
    \begin{align*} \sqrt{\Phi(x+y)} \leq \sqrt{\Phi(x)} + \sqrt{\Phi(y)}. \end{align*}

Entradas relacionadas

Álgebra Lineal I: Problemas de desigualdades vectoriales

Introducción

En esta entrada practicaremos las dos desigualdades vectoriales que hemos visto anteriormente: la desigualdad de Cauchy – Schwarz y con la desigualdad de Minkowski. Veremos que de ellas se obtiene información valiosa sobre los espacios con producto interior.

Como ya se menciono en otras entradas del blog, estos espacios son muy importantes más allá del álgebra lineal, pues también aparecen en otros áreas como el análisis matemático, variable compleja, probabilidad, etc. Así mismo, los espacios vectoriales con producto interior tienen muchas aplicaciones en el mundo real. Por esta razón es muy importante aprender a detectar cuándo podemos usar desigualdades vectoriales.

Problemas resueltos

Comencemos con algunos problemas de desigualdades vectoriales que usan la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Problema. Demuestra que si $f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$ es una función continua, entonces

$$\left(\int_a ^b f(t)dt\right)^2 \leq (b-a)\int_a ^b f(t)^2 dt.$$

Demostración. Sea $V=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})$ el espacio de las funciones continuas de $[a,b]$ en los reales.

Veamos que $\langle \cdot , \cdot \rangle: V\times V \longrightarrow \mathbb{R}$ definido por $$\langle f,g \rangle = \int_a^b f(t)g(t) \, dt$$ es una forma bilineal simétrica.

Sea $f\in V$ fija. Veamos que $g\mapsto \langle f,g \rangle$ es lineal.

Sean $g,h \in V$ y $k\in F$, entonces

\begin{align*}
\langle f,g+hk \rangle &= \int_a ^b f(t)(g(t)+kh(t))dt\\
&=\int_a ^b (f(t)g(t)+kf(t)h(t)) dt\\
&=\int_a ^b f(t)g(t)dt +k \int_a ^b f(t)h(t)dt\\
&=\langle f,g \rangle + k \langle f,h \rangle .
\end{align*}

Análogamente se ve que si $g\in V$ fija, entonces $f\mapsto \langle f,g \rangle$ es lineal.

Luego,
\begin{align*}
\langle f,g \rangle &= \int_a ^b f(t)g(t)\, dt\\
&= \int_a ^b g(t)f(t)\, dt\\
&= \langle g,f \rangle.
\end{align*}
Por lo tanto $\langle \cdot, \cdot \rangle$ es una forma bilineal simétrica.

Ahora observemos que $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ es positiva.
$$\langle f,f \rangle = \int_a ^b f(t)^2 dt \geq 0$$ pues $f^2 (t)\geq 0$. Aunque no lo necesitaremos, mostremos además que que $\langle \cdot, \cdot \rangle$ es positiva definida. Si $f$ tiene algún valor $c$ en el interior de $[a,b]$ en la que $f(c)\neq 0$, como es continua, hay un $\epsilon>0$ tal que en todo el intervalo $(c-\epsilon,c+\epsilon)$ se cumple que $|f|$ es mayor que $|f(c)|/2$, de modo que
\begin{align*}
\langle f, f \rangle &= \int_a^b f^2(t)\, dt\\
&\geq \int_{c-\epsilon}^{c+\epsilon} f^2(t)\, dt\\
&\geq \int_{c-\epsilon}^{c+\epsilon}\frac{f(c)^2}{4} \, dt\\
&=\frac{\epsilon f(c)^2}{2}>0.
\end{align*}

Así, para que $\langle f, f \rangle$ sea $0$, es necesario que $f$ sea $0$ en todo el intervalo $(a,b)$ y por continuidad, que sea cero en todo $[a,b]$.

Sea $q$ la forma cuadrática asociada a $\langle \cdot, \cdot \rangle$.
En vista de todo lo anterior, podemos aplicar la desigualdad de Cauchy -Schwarz tomando $g$ la función constante $1$, es decir, tal que $g(x)=1$ para todo $x$ en $[a,b]$, la cual claramente es continua.

Entonces, $$\langle f,g \rangle &\leq q(f)q(g),$$ que substituyendo las definiciones es
\begin{align*}
\left( \int_a ^b f(t)\, dt\right)^2 &\leq \left(\int_a ^b f(t)^2 \, dt\right)\left(\int_a ^b 1^2\, dt\right)\\
&= (b-a)\int_a ^b f(t)^2 \, dt
\end{align*}

$\square$

Problema. a) Sean $x_1, \dots, x_n \in \mathbb{R}$. Demuestra que
$$ (x_1^2+\dots +x_n^2)\left(\frac{1}{x_1^2} + \dots + \frac{1}{x_n^2}\right) \geq n^2.$$
b) Demuestra que si $f:[a,b]\longrightarrow (0,\infty)$ es una función continua, entonces $$\left ( \int_a^b f(t)dt \right) \left (\int_a^b \frac{1}{f(t)}dt \right) \geq (b-a)^2$$

Demostración. a) Considera $\mathbb{R}^n$ con el producto interior usual. Sean $a,b\in\mathbb{R}^n$ dados por
\begin{align*}
a&=(x_1,\dots,x_n)\\
b&=\left( \frac{1}{x_1},\dots, \frac{1}{x_n}\right ).
\end{align*}

La desigualdad de Cauchy-Schwarz afirma que $\lvert \langle a,b \rangle \rvert \leq \norm{a} \norm{b}$. Se tiene que

\begin{align*}
\langle a,b \rangle &= (x_1,\ldots,x_n)\cdot \left(\frac{1}{x_1},\ldots,\frac{1}{x_n}\right)\\
&=1+1+\ldots+1\\
&=n,
\end{align*}

de modo que
\begin{align*}
|n|&\leq \norm{a} \norm{b}\\
&=\sqrt{(x_1^2+\dots +x_n^2)}\sqrt{\left(\frac{1}{x_1^2}+\dots + \frac{1}{x_n^2}\right )}.
\end{align*}

Si elevamos al cuadrado ambos extremos de esta igualdad, obtenemos la desigualdad deseada.

$\square$

b) En el problema 1 de esta entrada vimos que $$\langle f,g \rangle = \int_a^b f(t)g(t) dt$$ es un producto interior para el espacio de funciones continuas en $[a,b]$, y el espacio de este problema es un subespacio del de funciones continuas, así que también define un producto interior aquí.

Para la función $f$ dada, definamos $\phi (t)=\sqrt{f(t)}$ y $\psi (t)=\frac{1}{\sqrt{f(t)}}$.
Notemos que $\phi$ y $\psi$ son continuas, y además como $\forall t\in [a,b]$ se tiene $f(t)\in(0,\infty)$, también tenemos que $\psi (t), \phi (t)\in (0,\infty)$.

Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz $$\langle \phi, \psi \rangle^2 \leq \langle \phi , \phi \rangle \langle \psi , \psi \rangle.$$

Entonces
$$ \left(\int_a^b \phi (t) \psi (t) dt\right)^2 \leq \left(\int_a^b \phi(t)^2 dt \right)\left( \int_a^b\psi (t)^2 dt \right).$$

Luego, substituyendo los valores de $\phi$ y $\psi$:
$$ \left( \int_a^b \sqrt{f(t)}\cdot \frac{1}{\sqrt{f(t)}}dt\right )^2 \leq \left(\int_a^b f(t) dt \right)\left ( \int_a^b\frac{1}{f(t)}dt \right).$$

Finalmente, haciendo la integral a la izquierda:
$$(b-a)^2\leq \left(\int_a^b f(t) dt \right)\left (\int_a^b \frac{1}{f(t)}dt \right).$$

$\square$

Hay algunos problemas de desigualdades en los reales que necesitan que usemos herramientas de desigualdades vectoriales.

Problema. Sean $x,y,z$ números mayores que 1, tales que $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}=2$. Muestre que
$$\sqrt{x+y+x} \geq \sqrt{x-1} + \sqrt{y-1} + \sqrt{z-1}.$$


Demostración. Considera $\mathbb{R}^3$ con el producto interior usual y $u,v\in \mathbb{R}^3$ con
\begin{align*}
u&=\left(\sqrt{\frac{x-1}{x}}, \sqrt{\frac{y-1}{y}},\sqrt{\frac{z-1}{z}}\right),\\
v&=(\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z}).
\end{align*}

Aplicamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz a $u$ y $v$:

\begin{align*}
\sqrt{x-1} +& \sqrt{y-1} + \sqrt{z-1}\\
&\leq \sqrt{\frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z}}\sqrt{x+y+z}\\
&=\sqrt{(1+1+1)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}\sqrt{x+y+z}\\
&=\sqrt{3-2} \cdot \sqrt{x+y+z}\\
&=\sqrt{x+y+z}.
\end{align*}

Por lo tanto, $$\sqrt{x+y+x} \geq \sqrt{x-1} + \sqrt{y-1} + \sqrt{z-1}.$$

$\square$

Problema. Sea $f:[a,b]\longrightarrow (0,\infty)$ una función continua.
Demuestre que $$\int_a^b f(t)dt \leq \left ( (b-a)\int_a^b f(t)^2dt\right)^\frac{1}{2}.$$

Demostración. Ya vimos que $$\langle f,g \rangle = \int_a^b f(t)g(t)dt$$ es un producto interior para el espacio de funciones continuas.
Considera $g$ la función constante $1$.

Aplicando la desigualdad de Minkowski se tiene que
$$\sqrt{\langle f+g,f+g \rangle}\leq \sqrt{\langle f,f \rangle} + \sqrt{\langle g,g \rangle}$$

Tenemos entonces que:

$$\left ( \int_a^b (f(t)+1)^2 dt \right)^\frac{1}{2} \leq \left( \int_a^b f(t)^2 dt \right)^\frac{1}{2} + \left ( \int_a^b dt\right )^\frac{1}{2}.$$

Desarrollando el cuadrado en el lado izquierdo,
$$\left (\int_a^b f(t)^2 dt +2\int_a^b f(t)dt +(b-a) \right )^\frac{1}{2} \leq \left(\int_a^bf(t)^2dt \right)^\frac{1}{2} + (b-a)^\frac{1}{2}$$

Luego, elevando ambos lados de la ecuación al cuadrado
$$\int_a^b f(t)^2 dt + 2\int_a^b f(t) dt +(b-a)$$
$$\leq \int_a^b f(t)^2 dt +2\sqrt{b-a}\left( \int_a^b f(t)^2 dt\right)^\frac{1}{2} +(b-a)$$

Finalmente, cancelando términos igual en ambos lados, obtenemos la desigualdad deseada

$$\int_a^b f(t) dt \leq \left((b-a) \int_a^b f(t)^2 dt\right)^\frac{1}{2}.$$

$\square$

Tarea Moral

  • Resuelve el problema 2.b usando la desigualdad de Minkowski.

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Álgebra Lineal I: Ángulos, norma, distancia y desigualdad de Minkowski

Introducción

Estamos listos para hablar de varias nociones geométricas como ángulo, norma, distancia y de la desigualdad de Minkowski. Antes de hacer eso, hagamos un breve repaso de qué hemos hecho en estas últimas entradas.

Primero, hablamos de formas bilineales y de su formas cuadráticas asociadas. Segundo, vimos cómo a través de la identidad de polarización podemos asignar una única forma bilineal simétrica a una forma cuadrática. Finalmente, en la última entrada nos enfocamos en las formas bilineales simétricas que cumplían cierta condición de positividad.

En esa misma entrada definimos producto interior, que simplemente es una forma bilineal simétrica y positiva definida. También definimos la norma de un vector en un espacio con producto interior $\langle \cdot, \cdot \rangle$, que era $$\Vert x \Vert = \sqrt{\langle x, x \rangle}.$$

Finalmente, en la entrada anterior probamos la siguiente versión general de la desigualdad de Cauchy-Schwarz:

Teorema (desigualdad de Cauchy-Schwarz). Sea $b:V\times V\to \mathbb{R}$ una forma bilineal simétrica y $q$ su forma cuadrática asociada.

  • Si $b$ es positiva, entonces para todo $x$ y $y$ en $V$ tenemos que $$b(x,y)^2\leq q(x)q(y).$$ Si $x$ y $y$ son linealmente dependientes, se da la igualdad.
  • Además, si $b$ es positiva definida y $x$ y $y$ son linealmente independientes, entonces la desigualdad es estricta.

Ángulos

Fijemos $V$ un espacio vectorial sobre los reales con producto interior. En la entrada anterior vimos que la desigualdad de Cauchy-Schwarz implica que para cualesquiera vectores $x$ y $y$ en $V$ tenemos que $$|\langle x, y \rangle| \leq \Vert x \Vert \cdot \Vert y \Vert.$$

Si $x$ y $y$ son vectores distintos de cero, podemos reescribir la desigualdad anterior como $$-1\leq \frac{\langle x, y \rangle}{\Vert x \Vert \cdot \Vert y \Vert}\leq 1.$$ Esto justifica la siguiente definición.

Definición. Sean $x$ y $y$ vectores no nulos. Definimos al ángulo entre $x$ y $y$ como el único ángulo $\theta$ en el intervalo $[0,\pi]$ tal que $$\cos \theta = \frac{\langle x, y \rangle}{\Vert x \Vert \cdot \Vert y \Vert}.$$

Observa que $\theta=\frac{\pi}{2}$ si y sólo si $\frac{\langle x, y \rangle}{\Vert x \Vert \cdot \Vert y \Vert}=0$. Esto ocurre si y sólo si $\langle x, y \rangle=0$. Este caso es particularmente importante, y por ello recibe una definición especial.

Definición. Decimos que $x$ y $y$ son ortogonales si $\langle x, y \rangle=0$.

Para empezar, veamos un ejemplo sencillo de ortogonalidad.

Ejemplo. Tomemos $\mathbb{R}^5$ con el producto interior canónico, es decir, el producto punto. Los vectores $u=(1,0,-4,0,5)$ y $v=(0,3,0,-2,0)$ tienen producto punto $$\langle u, v \rangle}=1\cdot 0 + 0\cdot 3 + (-4)\cdot 0 + 0 \cdot (-2) + 5 \cdot 0=0,$$ así que son ortogonales.

$\square$

Ahora, veamos un ejemplo un poco más elaborado, del cálculo de un ángulo en un espacio vectorial de funciones.

Ejemplo. Anteriormente vimos que $\mathcal{C}[0,1]$ tiene un producto interior $$\langle f, g \rangle=\int_0^1 f(x)g(x)\, dx.$$ Calculemos el ángulo entre $f(x)=x^2$ y $g(x)=x^3$ con este producto interior. Primero, calculamos $\Vert f \Vert$ y $\Vert g \Vert$ como sigue
\begin{align*}
\Vert f \Vert^2 &= \int_0^1 x^4 \,dx = \frac{1}{5}\\
\Vert g \Vert^2 &= \int_0^1 x^6 \,dx = \frac{1}{7},
\end{align*}

de donde $\Vert f \Vert = \frac{1}{\sqrt{5}}$ y $\Vert g \Vert = \frac{1}{\sqrt{7}}$.

Luego, calculamos
\begin{align*}
\langle f,g \rangle &=\int_0^1 f(x)g(x) \, dx\\
&=\int_0^1 x^5 \, dx\\
&=\frac{1}{6}.
\end{align*}

Como esperaríamos por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, tenemos la siguiente desigualdad:
\begin{align*}
\langle f,g \rangle &= \frac{1}{6}\leq \frac{1}{\sqrt{35}}=\Vert f \Vert \Vert g \Vert.
\end{align*}

El ángulo entre $f$ y $g$ es entonces
\begin{align*}
\theta &= \arccos\left(\frac{\langle f, g \rangle}{\Vert f \Vert \cdot \Vert g \Vert}\right)\\
&=\arccos\left(\frac{1/6}{1/\sqrt{35}}\right)\\
&=\arccos\left(\frac{\sqrt{35}}{6}\right).
\end{align*}

$\square$

Desigualdad de Minkowski

Hay una forma un poco distinta de escribir la desigualdad de Cauchy-Schwarz. La enunciamos a continuación.

Teorema (desigualdad de Minkowski). Sean $x$ y $y$ vectores de un espacio vectorial $V$ con una forma cuadrática positiva $q$. Entonces $$\sqrt{q(x)}+\sqrt{q(y)}\geq \sqrt{q(x+y)}.$$

Demostración. Sea $b$ la forma polar de $q$. Recordemos que $$q(x+y)=q(x)+2b(x,y)+q(y).$$

Como $q$ es forma cuadrática positiva, la desigualdad que queremos mostrar es equivalente a la siguiente desigualdad obtenida de elevar ambos lados al cuadrado:

\begin{align*}
q(x)+2\sqrt{q(x)q(y)}+q(y)&\geq q(x+y)\\
&=q(x)+2b(x,y)+q(y).
\end{align*}

Cancelando $q(x)+q(y)$ de ambos lados y dividiendo entre $2$, obtenemos la desigualdad equivalente
\begin{align*}
\sqrt{q(x)q(y)}\geq b(x,y).
\end{align*}

Si $b(x,y)<0$, esta desigualdad es claramente cierta. Si $b(x,y)\geq 0$, esta desigualdad es equivalente a la obtenida de elevarla al cuadrado, es decir, $$q(x)q(y)\geq b(x,y)^2,$$ que es precisamente la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

$\square$

De producto interior a norma

Estamos listos para mostrar algunas propiedades importantes de la noción de norma que definimos para espacios vectoriales reales con producto interior.

Proposición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ con producto interior con norma asociada $\Vert \cdot \Vert$. Se cumple que

  1. $\Vert v \Vert \geq 0$ para todo $v$ en $V$, con igualdad si y sólo si $v=0$.
  2. $\Vert cv \Vert =|c|\Vert v \Vert$ para todo $v$ en $V$ y real $c$.
  3. (Desigualdad del triángulo) $\Vert v \Vert + \Vert w \Vert \geq \Vert v+w \Vert$ para todo par de vectores $v$ y $w$ en $V$.

Demostración. Sea $b$ el producto interior de $V$. El punto 1 se sigue de que $b$ es positiva definida. El punto 2 se sigue de que $b$ es bilineal, pues $b(cv,cv)=c^2b(v,v)$, de modo que $$\Vert cv \Vert = \sqrt{c^2} \Vert v \Vert =|c| \Vert v \Vert.$$ El punto 3 es la desigualdad de Minkowski.

$\square$

En general, si tenemos un espacio vectorial $V$ sobre los reales y una función $\Vert \cdot \Vert:V \to \mathbb{R}$ que satisface los puntos 1 a 3 de la proposición anterior, decimos que $\Vert \cdot \Vert$ es una norma para $V$. Hay algunas normas que no se pueden obtener a través de un producto interior.

Ejemplo. Consideremos $V=M_n(\mathbb{R})$. El producto de Frobenius de las matrices $A$ y $B$ está dado por $$\langle A,B\rangle = \text{tr}(^tA B).$$ Se puede mostrar que el producto de Frobenius es un producto interior. La norma de Frobenius es la norma inducida por este producto, es decir, $$\Vert A \Vert = \sqrt{\text{tr}(^tAA)}.$$

Por la desigualdad de Minkowski, tenemos que para cualesquiera dos matrices $A$ y $B$ tenemos que $$\sqrt{\text{tr}(^t(A+B)(A+B))}\leq \sqrt{\text{tr}(^tAA)} + \sqrt{\text{tr}(^tBB)}.$$

En particular, si tomamos a la identidad $I$, tenemos que su norma de Frobenius es $\sqrt{n}$. Esto muestra la siguiente desigualdad, válida para cualquier matriz $A$ en $M_n(\mathbb{R})$:

$$\sqrt{\text{tr}((^tA+I)(A+I))}\leq \sqrt{\text{tr}(^tAA)}+ \sqrt{n}.$$

$\square$

De norma a distancia

Podemos pensar a la norma de un vector $v$ como qué tan lejos está del vector $0$. También nos gustaría poder hablar de qué tan lejos están cualesquiera dos vectores de un espacio vectorial con producto interior. Por esta razón, introducimos la siguiente definición.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ con producto interior de norma $\Vert \cdot \Vert$. La distancia asociada a este producto interior es la función $d:V\times V\to \mathbb{R}$ tal que $d(x,y)=\Vert x-y\Vert.$ A $d(x,y)$ le llamamos la distancia entre $x$ y $y$.

El siguiente resultado se sigue de las propiedades de la norma de un producto interior. Su demostración queda como tarea moral.

Proposición. Si $V$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ con producto interior de distancia $d$, entonces:

  1. $d(x,y)\geq 0$ para todos $x$ y $y$ en $V$ y es igual a $0$ si y sólo si $x=y$.
  2. $d(x,y)=d(y,x)$ para todos $x$ y $y$ en $V$.
  3. $d(x,z)+d(z,y)\geq d(x,y)$ para todos $x$, $y$ y $z$ en $V$.

En general, si tenemos cualquier conjunto $X$ (no hace falta que sea un espacio vectorial), a una función $d$ que satisface los puntos 1 a 3 de la proposición anterior se le conoce como una métrica para $X$. Cualquier norma en un espacio vectorial $V$ (no sólo las de producto interior) induce una métrica en $V$. Sin embargo, hay métricas de espacios vectoriales que no vienen de una norma.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios y problemas te ayudarán a reforzar lo aprendido en esta entrada.

  • Toma $\mathbb{R}^4$ con el producto interior canónico (producto punto). Determina la norma de $(3,4,0,1)$. Encuentra el ángulo entre los vectores $(1,0,2,5)$ y $(4,5,0,-3)$.
  • Muestra que el producto de Frobenius es un producto interior en $M_n(\mathbb{R})$.
  • Demuestra la proposición de propiedades de la distancia

Considera $V=\mathbb{R}_3[x]$ el espacio vectorial de polinomios con coeficientes reales y grado a lo más $3$. Definimos $$\langle p,q \rangle = \sum_{j=1}^5 p(j)q(j).$$

  • Muestra que $\langle \cdot, \cdot \rangle$ así definido es un producto interior.
  • Encuentra el ángulo entre los polinomios $1+x^2$ y $2x-3x^3$.
  • Para cada entero positivo $n$, determina la norma del polinomio $1+nx^3$.
  • Determina la distancia entre los polinomios $1$ y $1+x+x^2+x^3$.

Más adelante…

Retomando conceptos ya definidos como la norma de un vector, en esta entrada vimos cómo encontrar el ángulo entre dos vectores no-nulos y se llegó a una forma natural de introducir la ortogonalidad entre dos vectores. Así mismo, se demostraron algunas propiedades de la norma asociada a un producto interior, siendo la última una forma distinta de expresar la desigualdad de Cauchy-Schwarz, usando la desigualdad de Minkowski. Finalmente, se definió el concepto de distancia entre dos vectores.

En entradas posteriores, usaremos estos conceptos para estudiar bases ortogonales, que tienen usos en conceptos matemáticos más avanzados como el análisis de Fourier o la teoría de polinomios ortogonales.

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