Definición y ejemplos de COMBINACIÓN LINEAL

INTRODUCCIÓN

Tenemos nuestros ingredientes: los vectores y los escalares.
Tenemos nuestras parejas: resultado del producto un vector por un escalar.
Tenemos nuestros equipos: resultado de la suma de parejas.

La combinación lineal es el «equipo» que formamos por medio de nuestras «parejas» (puede ser una pareja solita). Por medio de este concepto, entrelazamos todo lo que hemos visto: campos y espacios vectoriales (con sus operaciones y propiedades).

COMBINACIÓN LINEAL

Definición: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial. Consideremos $m\in \mathbb{N}^{+}$ y $v_1,…,v_m\in V$. Una combinación lineal de $v_1,…,v_m$ es una expresión de la forma
$\lambda_1v_1+…+\lambda_mv_m$ con $\lambda_1,…,\lambda_m\in K$.

Nota: De modo más general, si $S$ es un subconjunto de $V$, entonces una combinación lineal de vectores de $S$ es un vector de la forma
$\lambda_1v_1+…+\lambda_mv_m$ con $v_1,…,v_m\in S$ y $\lambda_1,…,\lambda_m\in K$.

Ejemplos:

  • Sea $S=\{(1,0,0),(1,-1,0),(1,1,-1)\}$.
    $2(1,0,0)-(1,-1,0)+5(1,1,-1)=(6,6,-5)$;
    $-3(1,0,0)+0(1,-1,0)+(1,1,-1)=(-2,1,-1)$;
    $0(1,0,0)+(1,-1,0)+0(1,1,-1)=(1,-1,0)$
    son combinaciones lineales de vectores de $S$.
  • Sea $S=\{(\frac{1}{n},\frac{1}{n})|n\in\mathbb{N}^{+}\}$.
    $2(\frac{1}{2},\frac{1}{2})+3(\frac{1}{6},\frac{1}{6})-4(\frac{1}{12},\frac{1}{12})=(\frac{7}{6},\frac{7}{6})$
    es una combinación lineal de vectores de $S$.
  • Sea $S=\mathcal{P}_2(\mathbb{R})=\{a+bx+cx^2|a,b,c\in\mathbb{R}\}$.
    $\frac{1}{2}x+(1-2x+5x^2)-(8+3x)+3(4-2x+x^2)=5-\frac{21}{2}x+8x^2$
    es una combinación lineal de vectores de $S$.

Nota: Aun cuando el conjunto $S$ sea infinito, sólo consideraremos combinaciones lineales en las que se use una cantidad finita de vectores de $S$.

Observación: A menudo, uno o más vectores en un conjunto dado pueden expresarse como combinaciones lineales de otros vectores en el conjunto.

Proposición: Sean $V$ un $K$ – espacio vectorial, $S\not=\emptyset$ un subconjunto de $V$. El conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores de $S$ cumple lo siguiente:

i) es un subespacio de $V$.

ii) contiene a $S.$

iii) está contenido en cualquier subespacio de $V$ que contenga a $S$.

Demostración: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial, $S\subseteq V$, $S\not=\emptyset$.
Denotemos por $\mathcal{C}(S)$ al conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores de $S$.

i) P.D. $\mathcal{C}(S)\leqslant V$

  • Primero, como $S\not=\emptyset$, podemos tomar $v\in S$.
    $\therefore\theta_V=0v\in \mathcal{C}(S)$.
  • Luego, sean $v,w\in\mathcal{C}(S)$.
    Es decir, existen $n,m\in \mathbb{N}^{+}$, $\lambda_1,…,\lambda_n, \mu_1,…,\mu_m\in K$, $v_1,…,v_n,\omega_1,…,\omega_m\in S$ tales que:
    $v=\lambda_1v_1+…+\lambda_nv_n$
    $w=\mu_1\omega_1+…+\mu_m\omega_m$
    Veamos que $v+w\in\mathcal{C}(S)$.
    $v+w=(\lambda_1v_1+…+\lambda_nv_n)+(\mu_1\omega_1+…+\mu_m\omega_m)\in \mathcal{C}(S).$.
  • Por último, sean $v\in\mathcal{C}(S)$, $\lambda\in K$.
    Es decir, existen $n\in \mathbb{N}^{+}$, $\lambda_1,…,\lambda_n\in K$ tales que
    $v=\lambda_1v_1+…+\lambda_nv_n$
    Veamos que $\lambda v\in K$.
    $\begin{align*} \lambda v & =\lambda(\lambda_1v_1+…+\lambda_nv_n) \\ & =\lambda(\lambda_1v_1)+…+\lambda(\lambda_nv_n) \\ & =(\lambda\lambda_1)v_1+…+(\lambda\lambda_n)v_n\in\mathcal{C}(S) \end{align*}.$

ii) P.D. $S\subseteq\mathcal{C}(S)$

Sea $v\in S$.
Tenemos que $v=1v\in\mathcal{C}(S).$

iii) P.D. Si $W \leq V$ es tal que $S\subseteq W$, entonces $\mathcal{C}(S)\subseteq W$.

Sea $W \leq V$ tal que $S\subseteq W$.
Tomaremos $v$ un elemento arbitrario de $\mathcal{C}(S)$:
Sean $v_n \in\mathcal{C}(S)$, existen $n\in\mathbb{N}^{+}$ y $v_1,\dots, v_n \in\mathcal{C}(S)$ de manera que
$v=\lambda_1v_1+…+\lambda_nv_n$
donde $\lambda_1,…,\lambda_n\in K$ y $v_1,…,v_n\in S$.
Tenemos que $\forall i$ $(v_i\in S\subseteq W)$
$\therefore v_i\in W$ para toda $i.$
Gracias a que $W$ es un subespacio y a que el producto por escalar y la suma son cerrados en los subespacios, se cumple que $\lambda_iv_i\in W$ para toda $i$ y por ende, $v=\lambda_1v_1+…+\lambda_nv_n\in W.$

Tarea Moral

  1. Describe (en lenguaje natural o algebraico) los elementos que se pueden obtener mediante combinaciones lineales de $S=\{(1,-1,0),(2,-2,0),(3,-3,0),…\}$.
  2. Obtén $\begin{pmatrix} i & 3i \\ 2 & 1-i \end{pmatrix}$ como combinación lineal de $\begin{pmatrix} 2i & 6i \\ 4 & 2-2i \end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix} i & 3i \\ 2 & 1-i \end{pmatrix}$ de 5 maneras distintas.
  3. ¿Existe algún conjunto $S$ infinito donde al menos un elemento no se pueda escribir como combinación lineal de otros elementos del conjunto? Puedes construirlo pensando en el ejercicio 1 – agregando un elemento -.

Más adelante…

Ahora que podemos tomar un subconjunto finito de vectores y obtener, por medio de combinaciones lineales, tanto conjuntos finitos como infinitos, analizaremos una propiedad muy peculiar del conjunto que resulta a partir de ello y el nombre que recibe.

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