INTRODUCCIÓN
La suma entre espacios vectoriales se construye con la suma de vectores, sin embargo, al ser subespacios, lo que resulta de esta operación, dónde vive y cómo se comporta es algo que que debe analizarse de forma particular.
La suma directa, una vez que aprendemos a distinguirla y manejarla, nos permite expresar a nuestro espacio vectorial en términos de suma de subespacios. De este modo es más clara la estructura que tienen todos los elementos del espacio.
SUMA DE SUBESPACIOS
Definición: Sean $V$ un $K$ – espacio vetorial y $U,W$ subespacios de $V$. La suma de $U$ y $W$ es $U+W=\{u+w|u\in U, w\in W\}$ (donde $+$ es la suma del espacio $V$).
Nota: La generalización para $U_1,U_2,…,U_m$ ($m$ subespacios de $V$) es:
$U_1+U_2+…+U_m=\{u_1+u_2+…+u_m|u_1\in U_1,u_2\in U_2,…,u_m\in U_m\}$
Propiedades
- $U+W\leqslant V$
Justificación. Veamos que $U+W$ contiene a $\theta_V$ y conserva suma y producto por escalar.
- P.D. $\theta_V\in U+W$
Como $U,W\leqslant V$, entonces $\theta_V\in U,W$.
Así, $\theta_V =\theta_V+\theta_V\in U+W$
$\therefore \theta_V\in U+W$
- Sean $u_1+w_1,u_2+w_2\in U+W$ y $\lambda_K$
P.D. $(u_1+w_1)+\lambda(u_2+w_2)\in U+W$
Como $U,W\subseteq V$, entonces $u_1,u_2,w_1,w_2\in V$. Así que $\lambda (u_2+w_2)=\lambda u_2 + \lambda_2 w_2$
Y como $U,W\leqslant V$, entonces tanto $U$ como $W$ conservan suma y producto por escalar. Así que $(u_1+w_1)+(\lambda u_2 + \lambda w_2) \in U+W$
Por lo cual, $(u_1+w_1)+\lambda(u_2+w_2)=(u_1+w_1)+(\lambda u_2 + \lambda w_2) \in U+W$
$\therefore (u_1+w_1)+\lambda(u_2+w_2)\in U+W$
- $U\subseteq U+W$ y $W\subseteq U+W$
Justificación. Recordando que $\theta_V\in U,W$ (porque $U,V\leqslant V$) tenemos que $\forall u\in U(u=u+\theta_V\in U+W)$ y $\forall w\in W(w=\theta_V+w\in U+W)$
- Si $\tilde{V}\leqslant V$ es tal que $U,W\subseteq\tilde{V}$, entonces $U+W\subseteq\tilde{V}$
Justificación. Sea $\tilde{V}\leqslant V$ tal que $U,W\subseteq \tilde{V}$
Sea $u+w\in U+W$.
Entonces $u\in U\subseteq \tilde{V}$ y $w\in W\subseteq \tilde{V}$.
De donde $u,w\in\tilde{V}$ y como $\tilde{V}\leqslant V$, entonces $\tilde{V}$ es cerrada bajo suma. Así, $u+w\in\tilde{V}$.
$\therefore U+W\in\tilde{V}$
Teorema: Sean $V$ un $K$ – espacio vectorial y $U,W$ subespacios de $V$. Entonces $dim_K(U+W)=dim_KU+dim_KW-dim_K(U\cap W)$
Demostración: Sea $\beta=\{v_1,v_2,…,v_m\}$ una base de $U\cap W$.
Podemos completar a una base de $U$ y a una base de $W$.
Sea $A=\{v_1,v_2,…,v_m,u_1,u_2,…,u_r\}$ una base de $U$.
Sea $\Gamma =\{v_1,v_2,…,v_m,w_1,w_2,…,w_s\}$ una base de $W$.
Entonces, $dim_KA=m+r$ y $dim_K\Gamma =m+s$.
Veamos que $\Delta =A\cup\Gamma =\{v_1,v_2,…,v_m,u_1,u_2,…,u_r,w_1,w_2,…,w_s\}$ es base de $U+W$.
- P.D. $\langle\Delta\rangle =U+W$
Tenemos que $A$ es base de $U$, por lo que $A\subseteq U$.
Tenemos que $\Gamma$ es base de $W$, por lo que $\Delta\subseteq W$.
Así, $\Delta =A\cup\Gamma \subseteq U\cup W$. Y como $U,W\subseteq U+W$, entonces $U\cup W\subseteq U+W$
Tenemos que $\Delta\subseteq U+W$ y sabemos que $U+W\leqslant V$, así que $\langle\Delta\rangle\subseteq U+W$
Ahora bien, sea $u+w\in U+W$.
Entonces $u\in U=\langle A\rangle\subseteq\langle A\cup\Gamma\rangle =\langle\Delta\rangle$ y $w\in W=\langle\Gamma\rangle\subseteq\langle A\cup\Gamma\rangle =\langle\Delta\rangle$.
De donde $u,w\in\langle\Delta\rangle$ y como $\langle\Delta\rangle\leqslant V$, entonces $u+w\in\langle\Delta\rangle$
Por lo tanto, $U+W\subseteq\langle\Delta\rangle$
$\therefore\langle\Delta\rangle =U+W$
- P.D. $\Delta$ es linealmente independiente
Sean $\kappa_1,\kappa_2,…,\kappa_m,\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_r,\mu_1,\mu_2,…,\mu_s\in K$ tales que:
$\sum_{i=1}^m(\kappa_iv_i) +\sum_{i=1}^r(\lambda_iu_i) +\sum_{i=1}^s(\mu_iw_i)=\theta_V$ $…(1)$
Como $W\leqslant V$, entonces $\sum_{i=1}^s(\mu_iw_i)\in W$ $…(2)$
Como $U=\langle A\rangle$, entonces $-\sum_{i=1}^m(\kappa_iv_i)-\sum_{i=1}^r(\lambda_iu_i)\in U$ $…(3)$
De $(1)$ tenemos que $\sum_{i=1}^s(\mu_iw_i)=-\sum_{i=1}^m(\kappa_iv_i)-\sum_{i=1}^r(\lambda_iu_i)$ y por $(2)$ y $(3)$ concluímos que $\sum_{i=1}^s(\mu_iw_i)\in U,W$.
Así, $\sum_{i=1}^s(\mu_iw_i)\in U\cap W=\langle\beta\rangle$ y por tanto existen $\gamma_1,\gamma_2,…,\gamma_m\in K$ tales que $\sum_{i=1}^s(\mu_iw_i)=\sum_{i=1}^m(\gamma_iv_i)$ $…(4)$
De $(4)$ tenemos que $\sum_{i=1}^s(\mu_iw_i)-\sum_{i=1}^m(\gamma_iv_i)=\theta_V$, y como $\Gamma$ es l.i. por ser base, entonces $\forall i\in\{1,2,…,s\}(\mu_i=0_K)$ y $\forall i\in\{1,2,…,m\}(-\gamma_i=0_K)$. Por lo tanto, $\sum_{i=1}^s(\mu_iw_i)=\theta_V$ $…(5)$
De $(1)$ y $(5)$ tenemos que $\sum_{i=1}^m(\kappa_iv_i) +\sum_{i=1}^r(\lambda_iu_i) +\theta_V=\sum_{i=1}^m(\kappa_iv_i) +\sum_{i=1}^r(\lambda_iu_i) +\sum_{i=1}^s(\mu_iw_i)=\theta_V$. De donde $\sum_{i=1}^m(\kappa_iv_i) +\sum_{i=1}^r(\lambda_iu_i)=\theta_V$, y como $A$ es l.i. por ser base, entonces $\forall i\in\{1,2,…,m\}(\kappa_i=0_K)$ y $\forall i\in\{1,2,…,r\}(-\lambda_i=0_K)$ $…(6)$
De $(5)$ y $(6)$ tenemos que $\kappa_1,=\kappa_2=…=\kappa_m=\lambda_1=\lambda_2=…=\lambda_r=\mu_1=\mu_2=…=\mu_s=0_K$
$\therefore\Delta$ es l.i.
Por lo tanto $\Delta$ es base de $U+W$.
Como $A$ es base de $U$, ent. $dim_KU=m+r$
Como $\Gamma$ es base de $W$, ent. $dim_KW=m+s$
Como $\beta$ es base de $U\cap W$, ent. $dim_K(U\cap W)=m$
Como $\Delta$ es base de $U+W$, ent. $dim_K(U+W)=m+r+s=(m+r)+(m+s)-m$
Por lo tanto $dim_K(U+W)=dim_KU+dim_KW-dim_K(U\cap W)$
Ejemplos
- Sean $K=\mathbb{R}$ y $V=\mathbb{R}^2$
Sean $U_1=\{(x,0)|x\in\mathbb{R}\}, U_2=\{(0,y)|y\in\mathbb{R}\}, U_3\{(a,a)|a\in\mathbb{R}\}$
Entonces $U_1+U_2=U_2+U_3=U_3+U_2=V$ y $dim_K\{(0,0)\}=0$
Justificación. Es claro que $U_1,U_2,U_3\leqslant V$. Veamos el resultado de cada suma entre estos subespacios.
$U_1+U_2=\{(x,0)+(0,y)|x,y\in\mathbb{R}\}=\{(x,y)|x,y\in\mathbb{R}\}=V$
$U_2+U_3=\{(0,y)+(a,a)|y,a\in\mathbb{R}\}=\{(a,a+y)|a,y\in\mathbb{R}\}=\{(a,b)|a,b\in\mathbb{R}\}=V$
$U_3+U_1=\{(a,a)+(x,0)|a,x\in\mathbb{R}\}=\{(a+x,a)|a,x\in\mathbb{R}\}=\{(b,a)|b,a\in\mathbb{R}\}=V$
Sabemos que $dim_KV=2$
Como $\{(1,0)\}$ es base de $U_1$, entonces $dim_KU_1=1$
Como $\{(0,1)\}$ es base de $U_2$, entonces $dim_KU_2=1$
Así, $2=dim_KV=dim_K(U_1+U_2)=dim_KU_1+dim_KU_2-dim_K(U_1\cap U_2)$$=1+1-dim_K(U_1\cap U_2)=2-dim_K(U_1\cap U_2)$, de donde $0=dim_K(U_1\cap U_2)=dim_K\{(0,0)\}$
- Sean $K=\mathbb{R}$ y $V=\mathbb{R}^3$
Sean $U=\{(x,y,0)|x,y\in\mathbb{R}\}, W=\{(0,y,z)|y,z\in\mathbb{R}\}$
Entonces $U+W=V$
Justificación. Sabemos que $dim_KV=3$
Veamos que $dim_K(U+W)=3$
Como $\{(1,0,0),(0,1,0)\}$ es base de $U$, entonces $dim_KU=2$
Como $\{(0,1,0),(0,0,1)\}$ es base de $W$, entonces $dim_KW=2$
Como $\{(0,1,0)\}$ es base de $U\cap W$, entonces $dim_K(U\cap W)=1$
Así, $dim_K(U+W)=dim_KU+dim_KW-dim_K(U\cap W)$$=2+2-dim_K(U\cap W)=4-1=3$, de donde $dim_K(U+W)=3=dim_KV$
$\therefore U+W=V$.
SUMA DIRECTA
Definición: Sean $V$ un $K$ – espacio vetorial y $U,W$ subespacios de $V$. Decimos que $U+W$ es una suma directa si cada $v\in U+W$ se escribe como $v=u+w$ (con $u\in U,w\in W$) de forma única. En ese caso, escribiremos a $U+W$ como $U\oplus W$.
Nota: La generalización para $U_1,U_2,…,U_m$ ($m$ subespacios de $V$) es:
$U_1+U_2+…+U_m$ es suma directa si cada $v\in U_1+U_2+…+U_m$ se escribe como $v=u_1+u_2+…+u_m$ (con $u_1\in U_1,u_2\in U_2,…,u_m\in U_m\}$) de forma única y se denotaría como $U_1\oplus U_2\oplus …\oplus U_m$.
Ejemplo
- Sean $K=\mathbb{R}$ y $V=\mathbb{R}^2$
Sean $U=\{(x,x)|x\in\mathbb{R}\}, W=\{(y,-y)|y\in\mathbb{R}\}, U_3\{(a,a)|a\in\mathbb{R}\}$
Entonces $U\oplus W=V$.
Justificación. Es claro que $U,W\leqslant V$.
Sea $(a,b)\in\mathbb{R}^2$.
Entonces $a,b\in\mathbb{R}$.
Como $(a,b)=\left( \frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2} ,\frac{a+b}{2}-\frac{a-b}{2}\right)=\left( \frac{a+b}{2} ,\frac{a+b}{2}\right)+\left( \frac{a-b}{2} ,-\frac{a-b}{2}\right)\in U+W$
De donde $\mathbb{R}^2\subseteq U+W$.
Veamos que si $u\in U, w\in W$ son tales que $(a,b)=u+w$, entonces $u,w$ son únicos.
Sean $u\in U, w\in W$ son tales que $(a,b)=u+w$.
Entonces $u=(x,x)$ con $x\in\mathbb{R}$ y $w=(y,-y)$ con $y\in\mathbb{R}$, donde $(a,b)=(x,x)+(y,-y)=(x+y,x-y)$
Entonces $a=x+y$ y $b=x-y$. De donde $x=a-y$ y $b=(a-y)-y=a-2y$.
Así, como $a,b$ son reales arbitrarios pero fijos y $b=a-2y$, entonces $y$ es única.
Así, como $a,y$ son fijos y $x=a-y$, entonces $x$ es única.
Como $u=(x,x)$ y $w=(y,-y)$ con $x$ y $y$ únicos, entonces $u$ y $w$ son únicos.
$\therefore U+W$ es suma directa.
Sabemos que $U+W\subseteq V$ y demostramos que $V\subseteq U+W$
$\therefore U\oplus W=V$
Proposición: Sean $V$ un $K$ – espacio vectorial y $U,W$ subespacios de $V$. Entonces $U+W$ es suma directa si y sólo si $U\cap W=\{\theta_V\}$
Demostración: Veamos ambas implicaciones.
$\Rightarrow )$ Sup. que $U+W$ es suma directa.
Como $U,W\leqslant$, entonces $\theta_V\in U,W$. Por lo que $\{\theta_V\}\subseteq U\cap W$.
Sea $v\in U\cap W\setminus U\oplus W$.
Sabemos que $\theta_V+v,v+\theta_V\in U\oplus W$ y son formas de escribir a $v$.
Como $U+W$ es suma directa, entonces la forma de escribir a $v$ debe ser única.
Por lo tanto, $v=\theta_V$
$\therefore U\cap W=\{\theta_V\}$
$\Leftarrow )$ Sup. que $U\cap W=\theta_V$
Sea $v\in U+W$ tal que $u_1+w_1=v=u_2+w_2$ con $u_1,u_2\in U$ y $w_1,w_2\in W$
Como $U,W\leqslant V$, entonces $u_1-u_2\in U$ y $w_2-w_1\in W$.
Como $u_1+w_1=u_2+w_2$, entonces $u_1-u_2=w_2-w_1$.
Por lo tanto, $u_1-u_2,w_2-w_1\in U\cap W=\{\theta_V\}$
Así, $u_1-u_2=\theta_V\leftarrow u_1=u_2$ y $w_2-w_1=\theta_V\leftarrow w_2=w_1$.
Es decir, cada elementos en $U+W$ se escribe de forma única.
$\therefore U+W$ es suma directa.
Tarea Moral
- Sean $V$ un espacio vectorial y $A,B,C\leqslant V$. Demuestra que:
Si $A\cap B=A\cap C=B\cap C =\{ \theta_V \}$, entonces (A\oplus B)\oplus C = A \oplus (B\oplus C). - Sean $V$ un espacio vectorial y $A,B\leqslant V$. Demuestra que:
Si $A\cap B=\{\theta_V \}$, entonces $A\oplus B=B\oplus A$.
Más adelante…
A partir de la siguiente entrada, analizaremos un tipo de funciones muy especial y útil que va de espacios vectoriales a espacios vectoriales y aunque la definición solo le pide abrir dos operaciones, esto implica muchas propiedades que vuelven a este tipo de función el eje central del Álgebra Lineal.
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