Álgebra Lineal I: Suma y suma directa de subespacios

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Introducción

En esta entrada nos apoyaremos fuertemente en las nociones de espacios y subespacios vectoriales que estudiamos en entradas anteriores. Lo primero que haremos has hablar de cómo podemos sumar subespacios. Esta es una operación distinta a la suma del espacio vectorial, pues sucede en términos de subconjuntos. Luego, veremos cómo mediante una elección cuidadosa de subespacios, podemos expresar a un espacio vectorial en términos de ĺa suma de subespacios más sencillos. A una descomposición de este tipo le llamamos suma directa. Estudiaremos también algunas de sus propiedades.

Suma de subespacios

En esta sección hablamos de cómo sumar subespacios de un espacio vectorial. Para entender la intución, pensemos primero en el caso de dos subespacios W_1 y W_2 de un espacio vectorial. Queremos definir un conjunto W_1+W_2. Para hacer esto, lo que haremos es sumar cada elemento de W_1 con cada elemento de W_2.

Ejemplo. Si estamos en el espacio vectorial \mathbb{R}^3, podemos considerar los siguientes dos subespacios:

    \begin{align*}W_1&= \{(a,0,0): a\in \mathbb{R}\}\\W_2&=\{(0,b,0): b \in \mathbb{R}\}.\end{align*}

Para encontrar el conjunto W_1+W_2, lo que haremos es sumar a cada elemento de W_1 con cada elemento de W_2, considerando todas las posiblidades. En general, tenemos que una de estas sumas es de la forma

    \[(a,0,0)+(0,b,0)=(a,b,0).\]

Así, concluimos que

    \[W_1+W_2=\{(a,b,0): a,b \in \mathbb{R}\}.\]

\square

Para más subespacios la intución es similar. A continuación damos la definición formal para la suma de una cantidad finita de subespacios.

Definición. Sea n un entero positivo y W_1, W_2, \dots , W_n subespacios de un espacio vectorial V. Su suma

    \[W_1+ W_2+ \dots + W_n\]

es el subconjunto de V que consiste de todos los vectores de la forma

    \[w_1+w_2+\dots + w_n\]

con w_i \in W_i para todo 1\leq i \leq n.

La definición anterior sólo habla de cómo sumar una cantidad finita de subespacios. También se puede dar una definición para una familia arbitraria (W_i)_{i\in I} de subespacios de V, pero tenemos que ser más cuidadosos para que la teoría posterior funcione bien. Lo que se hace es considerar todas las sumas “con una cantidad finita de términos”. Esto lo decimos de manera formal como sigue. El conjunto \displaystyle\sum_{i\in I}W_i consiste de todas las sumas \displaystyle\sum_{i\in I}w_i con w_i\in W_i para todo i \in I y todos los vectores w_i salvo una cantidad finita son iguales a cero. Esto ayuda a dar una definición incluso si I es finito.

La mayor parte de los resultados que demostraremos para la suma de una cantidad finita de subespacios también se vale para la suma de una cantidad infinita. Por simplicidad, usualmente nos enfocaremos en el caso finito, pero te recomendamos pensar en cómo serían los argumentos para el caso infinito.

La suma de subespacios es subespacio

El siguiente resultado dice que “la suma de subespacios es subespacio”.

Proposición. Si W_1, W_2, \dots , W_n son subespacios de un espacio vectorial V, entonces W_1 + W_2 + \dots + W_n es un subespacio de V.

Demostración. Para facilitar la escritura denotaremos S=W_1+ W_2 + \dots + W_n. Sean s,s'\in S y c un escalar. Por una equivalencia de subespacios, basta demostrar que s+cs'\in S.

Por definición de S, existen w_1,\dots, w_n, w_1',\dots , w_n' con w_i, w_i'\in W_i para 1\leq i \leq n, tales que

    \begin{align*}s&=w_1+ w_2+ \dots + w_n\\ s'&=w_1'+ w_2'+ \dots + w_n'.\end{align*}


Entonces

    \begin{align*}s+cs'&=w_1+w_2+\dots + w_n + c(w_1'+w_2'+\dots + w_n')\\&=w_1+w_2+\dots + w_n + cw_1'+cw_2'+\dots + cw_n'\\&=(w_1 +cw_1')+ \dots + (w_n+cw_n').\end{align*}


Como W_i es un subespacio de V y w_i,w_i' son elementos de W_i, entonces (w_i+cw_i')\in W_i para cada 1\leq i \leq n. Así, la expresión que encontramos es la suma de un vector en W_1, uno en W_2, … , uno en W_n y por lo tant s+cs'\in S. Esto muestra lo que queríamos y así S es subespacio de V.

\square

De hecho la suma de subespacios W_1+\ldots+W_n no sólo es un subespacio de V, sino que además es especial, en el sentido de que es el subespacio “más chiquito” de V que contiene a cada subespacio W_1,\ldots,W_n. El siguiente problema enuncia esto de manera formal.

Problema. Sean W_1,\ldots,W_n subespacios de un espacio vectorial V. Sea S=W_1+W_2+ \dots + W_n. Demuestra que:

  • Para cada i=1,\ldots,n, se tiene que W_i\subseteq S.
  • Si se tiene un subespacio W tal que para cada i=1,\ldots,n se tiene que W_i\subseteq W entonces S\subseteq W

Demostración.

  • En vista de que cada vector w_i\in W_i puede ser escrito como 0+0+\dots + 0 + w_i +0+\dots +0 y 0 \in \displaystyle\bigcap_{i=1}^n W_i, entonces W_i \subset W_1+ \dots +W_n para todo 1\leq i \leq n.
  • Sea W un subespacio de V tal que W contiene a los subespacios W_1, \dots W_n. Mostremos que W contiene a la suma S. Sea v\in S = W_1 +\dots + W_n. Por definición, v=w_1+\dots + w_n para algunos w_i\in W_i. Como W contiene a los subespacios W_1, \dots W_n, entonces w_1, \dots w_n\in W. Como W es cerrado bajo sumas (por ser subespacio) entonces w_1+\dots + w_n\in W y así W_1 + \dots +W_n \subset W.

\square

Subespacios en posición de suma directa

Ya definimos qué es la suma de subespacios. Ahora queremos definir qué es la suma directa. En realidad, la suma directa es simplemente una suma de subespacios en la que los subespacios son especiales en un sentido muy específico. Comenzamos dando esta definición. Es un concepto muy importante que nos será útil varias veces en el curso.

Definición. Sean W_1, W_2, \dots , W_n subespacios de un espacio vectorial V. Decimos que W_1,W_2,\dots, W_n están en posición de suma directa si la única forma de obtener la igualdad

    \begin{align*}w_1+w_2+\dots+w_n=0\end{align*}


con w_i\in W_i para todo 1\leq i \leq n, es cuando

    \begin{align*}w_1=w_2=\dots =w_n =0.\end{align*}

Ejemplo. Consideremos el espacio vectorial de polinomios en \mathbb{R}_2[x], es decir, aquellos de la forma ax^2+bx+c con a,b,c reales. Consideremos los siguientes subespacios de \mathbb{R}_2[x]:

    \begin{align*}W_1&=\{ax^2: a \in \mathbb{R}\}\\W_2&=\{bx: b \in \mathbb{R}\}\\W_3&=\mathbb{R}=\{c: c \in \mathbb{R}\}\\W_4&=\mathbb{R}_1[x]=\{bx+c: b,c \in \mathbb{R}\}\\W_5&=\{ax^2+c: a,c \in \mathbb{R}\}\\W_6&=\{ax^2+bx: a,b \in \mathbb{R}\}\\\end{align*}

Los tres subespacios W_1, W_2, W_3 están en posición de suma directa, pues si tomamos ax^2 en W_1, bx en W_2 y c en W_3, la única forma de que su suma ax^2+bx+c sea igual al polinomio cero es si a=b=c=0, y por lo tanto en realidad sólo estamos tomando el vector 0 de cada uno de los subespacios.

Los subespacios W_4, W_5 y W_6 no están en posición de suma directa, pues hay formas de tomar elementos no cero en cada uno de ellos, cuya suma sí es el vector cero. Por ejemplo, el polinomio x-8 está en W_4, el polinomio -5x^2+8 está en W_5 y el polinomio 5x^2-x está en W_6. Ninguno de estos vectores es el polinomio cero, pero la suma de los tres sí es cero.

\square

Existen otras manera de expresar la condición anterior, una de ellas es la siguiente.

Proposición. Los subespacios W_1, \dots W_n del espacio vectorial V están en posición de suma directa si y sólo si cada elemento de

    \[W_1+W_2+\dots +W_n\]

puede ser escirto de manera única como una suma

    \[w_1+\dots + w_n\]

con w_i\in W_i para todo 1\leq i \leq n.

Demostración. Primero supongamos que los subespacios W_1,W_2, \dots, W_n están en posición de suma directa y tomemos un elemento v de

    \[W_1+\dots + W_n.\]

Por definición, dicho elemento puede ser expresado como v=w_1 + \dots + w_n con w_i \in W_i para todo 1\leq i \leq n. Supongamos también que v puede ser escrito como v=w_1'+\dots + w_n' con w_i' \in W_i. Queremos demostrar que w_i=w_i' para todo 1 \leq i \leq n. Restando las dos relaciones anteriores se tiene

    \begin{align*}0=v-v=\displaystyle\sum_{i=1}^n (w_i-w_i').\end{align*}


Sea u_i=w_i-w_i'. Como W_i es subespacio de V, entonces es cerrado bajo inversos y bajo suma, por lo tanto u_i\in W_i. Así u_1 + \dots + u_n es una suma de elementos igual a cero.Como W_1, \dots, W_n están en posición de suma directa, entonces necesariamente u_1=\dots =u_n=0 y así w_i=w_i' para todo 1 \leq i \leq n.

Ahora supongamos que cada elemento de W_1+\dots + W_n puede ser escrito de manera única como suma de elementos de W_1, \dots , W_n. En particular el cero se descompone de manera única como

    \[0=0+0+\ldots +0.\]

De manera que dados w_i \in W_i con 1 \leq i \leq n tales que w_1+w_2+ \dots + w_n =0, necesariamente w_1=w_2=\dots =w_n=0. Por lo tanto W_1, W_2, \dots ,W_n están en posición de suma directa.

\square

Suma directa de subespacios

Estamos listos para dar una definición clave.

Definición. a) Decimos que un espacio vectorial V es suma directa de sus subespacios W_1, W_2, \dots , W_n si W_1, W_2, \dots , W_n están en posición de suma directa y V=W_1+W_2 + \dots + W_n. En símbolos, escribimos y escribimos

    \begin{align*}V=W_1 \oplus W_2 \oplus \dots \oplus W_n.\end{align*}


b) Si V_1, V_2 son subespacios de un espacio vectorial V, decimos que V_2 es complemento de V_1 si

    \begin{align*}V=V_1 \oplus V_2.\end{align*}

Por los resultados anteriores se tiene que V=W_1 \oplus \dots \oplus W_n si y sólo si cada vector v\in V puede ser escrito de manera única como una suma de la forma w_1+ \dots + w_n, con w_i \in W_i para todo i. Por consiguiente, si V_1, V_2 son subespacios de V, entonces V_2 es complemento de V_1 si y sólo si cada vector v \in V puede ser escrito de manera única como v=v_1+v_2 con v_1 \in V_1, \hspace{2mm} v_2 \in V_2.

El siguiente resultado es extremadamente útil a la hora de resolver problemas con sumas directas con dos subespacios.

Problema. Demuestra que V_2 es complemento de V_1 si y sólo si V_1+V_2=V y V_1 \cap V_2 = \{0\}.

Demostración. Supongamos que V_2 es complemento de V_1, entonces V=V_1+V_2. Falta mostrar que V_1\cap V_2 = \{0\}.

Sea v\in V_1 \cap V_2, entonces v=v+0=0+v, y por la unicidad que ya se demostró en la proposición anterior se tiene que v=0, entonces V_1\cap V_2\subset\{0\}. Como V_1, V_2 son subespacios de V, cada uno de ellos tiene al vector 0. Así, \{0\}\subset V_1 \cap V_2. Por lo tanto V_1\cap V_2=\{0\}.

Ahora supongamos que V_1 + V_2 =V y V_1\cap V_2=\{0\}. Supongamos que existe un vector v \in V tal que

    \begin{align*}v_1+v_2=v=v_1'+v_2'\end{align*}


con v_1,v_1'\in V_1 y v_2,v_2'\in V_2.
Entonces

    \begin{align*}v_1-v_1'=v_2'-v_2\end{align*}


El lado izquierdo de la igualdad anterior pertenece a V_1, mientras que el lado derecho pertenece a V_2, pero como son iguales, necesariamente ambos pertencen a V_1 \cap V_2=\{0\} y así v_1=v_1' y v_2=v_2', que es lo que queríamos demostrar.

\square

Más ejemplos de suma y suma directa de subespacios.

  1. El espacio vectorial V=\mathbb{R}^2 es suma directa de los subespacios

        \begin{align*}V_1=\{(x,0)|x \in \mathbb{R} \}\end{align*}


    y

        \begin{align*}V_2=\{(0,y)|y \in \mathbb{R} \}.\end{align*}


    En efecto, cada (x,y)\in \mathbb{R}^2 puede ser escrito de manera única en la forma

        \begin{align*}(a,0)+(0,b)\end{align*}


    via a=x, \hspace{2mm} b=y.
  2. Sea V=M_n(\mathbb{R}) el espacio vectorial de las matrices de n\times n con entradas reales. Si V_1,V_2 son los subespacios de las matrices simétricas y de las matrices antisimétricas, respectivamente, entonces V=V_1 \oplus V_2.
    En efecto, cada matriz A\in V puede ser escrita de manera única como suma de una matriz simétrica y de una matriz antisimétrica de la siguiente forma:
    A=B+C con

        \begin{align*}B&=\frac{1}{2}(A+ \ ^tA)\\C&=\frac{1}{2}(A- \ ^tA).\end{align*}

  3. Sea V=\{f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} \} el espacio vectorial de funciones de \mathbb{R} en \mathbb{R}. Sea V_1 el subespacio de todas las funciones pares (recuerda que una función es par si satisface f(x)=f(-x) para toda x) y V_2 el subespacio de todas las funciones impares (las que satisfacen f(x)=-f(-x) para toda x).
    Entonces V=V_1 \oplus V_2.
    En efecto, dada f\in V, la única manera de expresarla como f=g+h con g par y h impar es tomando

        \begin{align*}g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2} \hspace{2mm} y \hspace{2mm} h(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}.\end{align*}

\square

Un problema de suma directa de subespacios

Problema. Sea V=\{f:[-1,1]\to \mathbb{R}: \text{f es continua}\}. Sean

    \begin{align*}V_1=\left\{f\in V: \int_{-1}^1 f(t)dt=0\right\} \end{align*}


y V_2 el subconjunto de V de todas las funciones constantes.
a) Demuestra que V_1, V_2 son subespacios de V.
b) Demuestra que V=V_1\oplus V_2.

Demostración. a) Sean f_1,f_2 \in V_1 y c\in \mathbb{R}, entonces cf_1+f_2 es continua y

    \begin{align*}\int_{-1}^1(cf_1+f_2)(t)dt = c\int_{-1}^1f_1(t)dt + \int_{-1}^1 f_2(t) dt =0,\end{align*}


por lo tanto cf_1+f_2\in V_1 y así V_1 es un subespacio de V.

De manera similar veamos que V_2 es subespacio. Sean f,g\in V_2 y c\in \mathbb{R}, entonces f(x)=a y g(x)=b para toda x. Luego

    \begin{align*}(f+c\cdot g)(x)=a+c\cdot b\end{align*}


para toda x. Por lo tanto V_2 es subespacio de V.

b) Por el problema de la sección anterior, basta con demostrar que V_1\cap V_2=\{0\} y V=V_1+V_2. Sea f una función en V_1 \cap V_2. Por un lado tenemos que f es constante, y por otro lado que f integra 0 sobre [-1,1] Digamos que f(t)=c para todo t\in [-1,1], entonces

    \begin{align*}0=\int_{-1}^1f(t)dt=2c.\end{align*}


De aquí, c=0 y así f=0 (la función cero). Por lo tanto V_1\cap V_2=\{0\}.

Ahora, para probar que V=V_1 + V_2 tomamos f\in V y tratemos de escribirla como f=c+g con c constante y g\in V_1. Queremos asegurarnos de que

    \begin{align*}\int_{-1}^1 g(t)dt=0,\end{align*}


esto es

    \begin{align*}\int_{-1}^1 (f(t)-c)dt=0\\\int_{-1}^1f(t)dt=2c.\end{align*}


Esto ya nos dice cómo proponer a c y a g. Lo hacemos a continuación.

    \begin{align*}c&=\frac{1}{2}\int_{-1}^1f(t)dt \\ g&=f-c.\end{align*}

\square

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Verifica en todos los ejemplos de la entrada que los subespacios que se mencionan en efecto son subespacios.
  • Sea V el conjunto de las matrices triangulares superiores de n\times n y sea W_1 el espacio de las matrices diagonales. Demuestra que V es espacio vectorial, W_1 es subespacio de V y que V=W_1\oplus W_2, donde W_2=\{A\in V | A_{ij}=0 cuando i \geq j \}.
  • Sea F un campo de característica distinta de 2,

        \begin{align*}W_1=\{A\in M_n(F)|A_{ij}=0, i\leq j\}\end{align*}


    y W_2 el conjunto de todas las matrices simétricas de n \times n con entradas en F. Demuestra que M_n(F)=W_1\oplus W_2
  • En el ejemplo 2, verifica que B es una matriz simétrica y C una matriz antisimétrica.
  • En el ejemplo 3 ,verifica g es par y h es impar.

Más adelante…

Los conceptos de suma y suma de subespacios serán utilizados repetidamente. Por ejemplo, a partir de la suma de subespacios se pueden definir las proyecciones, un tipo de transformaciones lineales particulares.

El concepto de suma directa de subespacios también es muy importante en el sentido de que permite descomponer a un espacio en espacios vectoriales más pequeños. Esta idea será de mucha utilidad cuando hablemos de la teoría de dualidad y de diagonalización de matrices.

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5 comentarios en “Álgebra Lineal I: Suma y suma directa de subespacios”

  1. Luis Ángel Quiroz López

    ¡Hola! En la ultima parte de la demostración de que la suma de subespacios vectoriales es un subespacio vectorial falta la pertenecia de w_i , w_i’ a W_i pues solo está escrito <>

    Responder ↓
  2. Vale Sauz

    una prergunta, por que en el problema de suma directa de subespacios, cuando tomamos v en la interseccion de V1 y V2, podemos deducir que v=0?

    Responder ↓
    1. Ayax Calderón Autor

      Hola Vale,
      Eso se debe a que cuando tomas una suma en V_1 + V_2 el primer sumando está en V_1 y el segundo en V_2. Como ya vimos un vector v en la suma puede ser escrito de manera única como v_1+v_2 con v_i en V_i, pero a su vez v=0+v y v= v+0 , entonces el primer sumando de 0+v es igual al primer sumando de v+0 y el segundo sumando de 0+v es igual al segundo sumando de v+0, es decir que v=0.

      Responder ↓

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