Introducción
En esta entrada nos apoyaremos fuertemente en las nociones de espacios y subespacios vectoriales que estudiamos en entradas anteriores. Lo primero que haremos has hablar de cómo podemos sumar subespacios. Esta es una operación distinta a la suma del espacio vectorial, pues sucede en términos de subconjuntos. Luego, veremos cómo mediante una elección cuidadosa de subespacios, podemos expresar a un espacio vectorial en términos de ĺa suma de subespacios más sencillos. A una descomposición de este tipo le llamamos suma directa. Estudiaremos también algunas de sus propiedades.
Suma de subespacios
En esta sección hablamos de cómo sumar subespacios de un espacio vectorial. Para entender la intución, pensemos primero en el caso de dos subespacios y
de un espacio vectorial. Queremos definir un conjunto
. Para hacer esto, lo que haremos es sumar cada elemento de
con cada elemento de
.
Ejemplo. Si estamos en el espacio vectorial , podemos considerar los siguientes dos subespacios:
Para encontrar el conjunto , lo que haremos es sumar a cada elemento de
con cada elemento de
, considerando todas las posiblidades. En general, tenemos que una de estas sumas es de la forma
Para más subespacios la intución es similar. A continuación damos la definición formal para la suma de una cantidad finita de subespacios.
Definición. Sea un entero positivo y
subespacios de un espacio vectorial
. Su suma



La definición anterior sólo habla de cómo sumar una cantidad finita de subespacios. También se puede dar una definición para una familia arbitraria de subespacios de
, pero tenemos que ser más cuidadosos para que la teoría posterior funcione bien. Lo que se hace es considerar todas las sumas «con una cantidad finita de términos». Esto lo decimos de manera formal como sigue. El conjunto
consiste de todas las sumas
con
para todo
y todos los vectores
salvo una cantidad finita son iguales a cero. Esto ayuda a dar una definición incluso si
es finito.
La mayor parte de los resultados que demostraremos para la suma de una cantidad finita de subespacios también se vale para la suma de una cantidad infinita. Por simplicidad, usualmente nos enfocaremos en el caso finito, pero te recomendamos pensar en cómo serían los argumentos para el caso infinito.
La suma de subespacios es subespacio
El siguiente resultado dice que «la suma de subespacios es subespacio».
Proposición. Si son subespacios de un espacio vectorial
, entonces
es un subespacio de
.
Demostración. Para facilitar la escritura denotaremos . Sean
y
un escalar. Por una equivalencia de subespacios, basta demostrar que
.
Por definición de , existen
con
para
, tales que
Entonces
Como












De hecho la suma de subespacios no sólo es un subespacio de
, sino que además es especial, en el sentido de que es el subespacio «más chiquito» de
que contiene a cada subespacio
. El siguiente problema enuncia esto de manera formal.
Problema. Sean subespacios de un espacio vectorial
. Sea
. Demuestra que:
- Para cada
, se tiene que
.
- Si se tiene un subespacio
tal que para cada
se tiene que
entonces
Demostración.
- En vista de que cada vector
puede ser escrito como
y
, entonces
para todo
.
- Sea
un subespacio de
tal que
contiene a los subespacios
. Mostremos que
contiene a la suma
. Sea
. Por definición,
para algunos
. Como
contiene a los subespacios
, entonces
. Como
es cerrado bajo sumas (por ser subespacio) entonces
y así
.
Subespacios en posición de suma directa
Ya definimos qué es la suma de subespacios. Ahora queremos definir qué es la suma directa. En realidad, la suma directa es simplemente una suma de subespacios en la que los subespacios son especiales en un sentido muy específico. Comenzamos dando esta definición. Es un concepto muy importante que nos será útil varias veces en el curso.
Definición. Sean subespacios de un espacio vectorial
. Decimos que
están en posición de suma directa si la única forma de obtener la igualdad
con


Ejemplo. Consideremos el espacio vectorial de polinomios en , es decir, aquellos de la forma
con
reales. Consideremos los siguientes subespacios de
:
Los tres subespacios están en posición de suma directa, pues si tomamos
en
,
en
y
en
, la única forma de que su suma
sea igual al polinomio cero es si
, y por lo tanto en realidad sólo estamos tomando el vector
de cada uno de los subespacios.
Los subespacios ,
y
no están en posición de suma directa, pues hay formas de tomar elementos no cero en cada uno de ellos, cuya suma sí es el vector cero. Por ejemplo, el polinomio
está en
, el polinomio
está en
y el polinomio
está en
. Ninguno de estos vectores es el polinomio cero, pero la suma de los tres sí es cero.
Existen otras manera de expresar la condición anterior, una de ellas es la siguiente.
Proposición. Los subespacios del espacio vectorial
están en posición de suma directa si y sólo si cada elemento de


Demostración. Primero supongamos que los subespacios están en posición de suma directa y tomemos un elemento
de








Sea









Ahora supongamos que cada elemento de puede ser escrito de manera única como suma de elementos de
. En particular el cero se descompone de manera única como





Suma directa de subespacios
Estamos listos para dar una definición clave.
Definición. a) Decimos que un espacio vectorial es suma directa de sus subespacios
si
están en posición de suma directa y
. En símbolos, escribimos y escribimos
b) Si




Por los resultados anteriores se tiene que si y sólo si cada vector
puede ser escrito de manera única como una suma de la forma
, con
para todo
. Por consiguiente, si
son subespacios de
, entonces
es complemento de
si y sólo si cada vector
puede ser escrito de manera única como
con
.
El siguiente resultado es extremadamente útil a la hora de resolver problemas con sumas directas con dos subespacios.
Problema. Demuestra que es complemento de
si y sólo si
y
.
Demostración. Supongamos que es complemento de
, entonces
. Falta mostrar que
.
Sea , entonces
, y por la unicidad que ya se demostró en la proposición anterior se tiene que
, entonces
. Como
son subespacios de
, cada uno de ellos tiene al vector
. Así,
. Por lo tanto
.
Ahora supongamos que y
. Supongamos que existe un vector
tal que
con


Entonces
El lado izquierdo de la igualdad anterior pertenece a





Más ejemplos de suma y suma directa de subespacios.
- El espacio vectorial
es suma directa de los subespacios
y
En efecto, cadapuede ser escrito de manera única en la forma
via - Sea
el espacio vectorial de las matrices de
con entradas reales. Si
son los subespacios de las matrices simétricas y de las matrices antisimétricas, respectivamente, entonces
.
En efecto, cada matrizpuede ser escrita de manera única como suma de una matriz simétrica y de una matriz antisimétrica de la siguiente forma:
con
- Sea
el espacio vectorial de funciones de
en
. Sea
el subespacio de todas las funciones pares (recuerda que una función es par si satisface
para toda
) y
el subespacio de todas las funciones impares (las que satisfacen
para toda
).
Entonces.
En efecto, dada, la única manera de expresarla como
con
par y
impar es tomando
Un problema de suma directa de subespacios
Problema. Sea Sean
y


a) Demuestra que


b) Demuestra que

Demostración. a) Sean y
, entonces
es continua y
por lo tanto



De manera similar veamos que es subespacio. Sean
y
, entonces
y
para toda
. Luego
para toda



b) Por el problema de la sección anterior, basta con demostrar que y
. Sea
una función en
. Por un lado tenemos que
es constante, y por otro lado que
integra
sobre
Digamos que
para todo
, entonces
De aquí,



Ahora, para probar que tomamos
y tratemos de escribirla como
con
constante y
. Queremos asegurarnos de que
esto es
Esto ya nos dice cómo proponer a


Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- Verifica en todos los ejemplos de la entrada que los subespacios que se mencionan en efecto son subespacios.
- Sea
el conjunto de las matrices triangulares superiores de
y sea
el espacio de las matrices diagonales. Demuestra que
es espacio vectorial,
es subespacio de
y que
, donde
cuando
.
- Sea
un campo de característica distinta de
,
yel conjunto de todas las matrices simétricas de
con entradas en
. Demuestra que
- En el ejemplo 2, verifica que
es una matriz simétrica y
una matriz antisimétrica.
- En el ejemplo 3 ,verifica
es par y
es impar.
Más adelante…
Los conceptos de suma y suma de subespacios serán utilizados repetidamente. Por ejemplo, a partir de la suma de subespacios se pueden definir las proyecciones, un tipo de transformaciones lineales particulares.
El concepto de suma directa de subespacios también es muy importante en el sentido de que permite descomponer a un espacio en espacios vectoriales más pequeños. Esta idea será de mucha utilidad cuando hablemos de la teoría de dualidad y de diagonalización de matrices.
Entradas relacionadas
- Ir a Álgebra Lineal I
- Entrada anterior del curso: Subespacios vectoriales
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¡Hola! En la ultima parte de la demostración de que la suma de subespacios vectoriales es un subespacio vectorial falta la pertenecia de w_i , w_i’ a W_i pues solo está escrito <>
«Como W_i es un subespacio de V y w_i,w_i’, entonces[…]» (Perdón, no se porqué no aparecía completo :/ )
Hola Luis Ángel. Cierto, faltaba esa pertenencia. Gracias por el comentario, ya lo corregimos.
una prergunta, por que en el problema de suma directa de subespacios, cuando tomamos v en la interseccion de V1 y V2, podemos deducir que v=0?
Hola Vale,
Eso se debe a que cuando tomas una suma en V_1 + V_2 el primer sumando está en V_1 y el segundo en V_2. Como ya vimos un vector v en la suma puede ser escrito de manera única como v_1+v_2 con v_i en V_i, pero a su vez v=0+v y v= v+0 , entonces el primer sumando de 0+v es igual al primer sumando de v+0 y el segundo sumando de 0+v es igual al segundo sumando de v+0, es decir que v=0.
Hola! en la demostración de que Los subespacios del espacio vectorial V están en posición de suma directa si y sólo si cada elemento de W1 + W2 + …+Wn puede ser escrito de manera única como una suma
w11+…. + wn el regreso no me queda claro ): tengo entendido que por el enunciado se cumplen que Wn son subespacios pero no me parece claro lo de que W1+…Wn=V y la intersección de subespacios es {0}