Introducción
En esta sección damos un primer acercamiento al concepto de sistemas de ecuaciones lineales. Este es un concepto de fundamental importancia en muchas áreas de las matemáticas, como las ecuaciones diferenciales o incluso la geometría algebraica.
Los sistemas de ecuaciones lineales nos son familiares. Desde la educación secundaria se aprende a resolver ecuaciones «de «, y más adelante «de
«. Estos sistemas también aparecen en cursos de la licenciatura, como geometría analítica. Sin embargo, es en un curso de álgebra lineal que se estudian con toda generalidad. Las herramientas de esta área de las matemáticas permiten determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución y, en caso de que sí, ver cómo se ven todas las soluciones.
Como veremos a continuación, un sistema de ecuaciones lineales se puede ver en términos de matrices. Esta conexión es fundamental. La información acerca de una matriz nos permite obtener información acerca del sistema de ecuaciones lineales asociado. A la vez, la información sobre un espacio o matriz se puede determinar a partir de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Sistemas de ecuaciones lineales
Una ecuación lineal en variables es una ecuación de la forma
donde son escalares dados y
es un entero positivo. Las incógnitas
suponen ser elementos de
.
Un sistema de ecuaciones lineales en las variables es una familia de ecuaciones lineales, usualmente escrito como
Aquí de nuevo los y los
son escalares dados. Resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste en describir todos los posibles valores que pueden tener
de modo que todas las ecuaciones anteriores se satisfagan simultáneamente.
La notación que usamos no es mera coincidencia y nos permite describir de manera mucho más concisa el sistema: Si es un vector columna con entradas
,
es la matriz en
con entradas
y
es un vector columna en
con entradas
entonces el sistema se reescribe como
Puedes verificar esto usando la definición de como transformación lineal y comparando los vectores en ambos lados de la igualdad entrada a entrada. Resolver el sistema se traduce entonces a responder cómo son todos los vectores
en
que satisfacen la igualdad anterior.
Ejemplo. A continuación tenemos un sistema de ecuaciones en tres variables (o incógnitas) ,
y
:
Si tomamos al vector en
, al vector de incógnitas
y a la matriz


También podríamos describir nuestro sistema en términos solo de vectores. Recordando un resultado visto en la entrada de producto de matrices, si son las columnas de
, vistos como vectores columna en
, el sistema es equivalente a
Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos
Hay un tipo de sistemas de ecuaciones lineales muy especiales: aquellos en los que . Son tan importantes, que tienen un nombre especial.
Definición.
- El sistema de ecuaciones lineales
se dice homogéneo si
(es decir si
).
- Dado un sistema
, el sistema lineal homogéneo asociado es el sistema
.
Así, un sistema es homogéneo si es de la forma para alguna matriz
.
Ejemplo. Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
Este es un sistema de ecuaciones que en representación matricial se ve así:
Como el vector en el lado derecho de la igualdad no es el vector cero, entonces este no es un sistema homogéneo. Sin embargo, tiene asociado el siguiente sistema lineal homogéneo:
Para la resolución de sistemas lineales en general, el sistema homogéneo asociado juega un papel crucial gracias al siguiente resultado, que nos dice esencialmente que para resolver un sistema basta con encontrar un vector solución
y resolver el sistema homogéneo asociado.
Proposición. (Principio de superposición) Sea y
. Sea
el conjunto de soluciones del sistema homogéneo asociado
. Si el sistema
tiene una solución
, entonces el conjunto de soluciones del sistema
no es más que
Demostración: Por hipótesis, . Ahora al sustituir,
si y sólo si
, o bien
. Es decir, un vector
es solución de
si y sólo si
es solución de
, de otra manera, si y sólo si
. Pero esto último es equivalente a decir que existe
tal que
, luego
. Esto prueba el resultado.
Consistencia de sistemas lineales
Definición. Un sistema lineal es dicho consistente si tiene al menos una solución. Se le llama inconsistente si no es consistente (es decir, si no existe una solución).
Presentamos una última definición para esta entrada.
Definición.
- Dos sistemas lineales se dicen equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones
- Sean
y
dos matrices del mismo tamaño. Si los sistemas
y
son equivalentes, escribiremos
.
Ejemplo. Un ejemplo clásico de un sistema inconsistente es
o bien
Observación. Observamos que todo sistema homogéneo siempre es consistente, ya que el vector cero (cuyas coordenadas son todas cero) satisface el sistema. A esta solución la conocemos como solución trivial. Se sigue de la proposición que un sistema consistente tiene una única solución si y sólo si el sistema homogéneo asociado tiene como única solución la solución trival.
Tarea moral
- Muestra que el sistema
es inconsistente. Para ello, puedes proceder por contradicción, suponiendo que existe una solución. - Rescribe el primer ejemplo de sistemas de ecuaciones lineales en términos de vectores.
- Sea
un vector en
y
la matriz identidad en
. ¿Cómo se ve de manera explícita el sistema de ecuaciones
? ¿Cuáles son todas sus soluciones?
- Sean
matrices de tamaño
tales que el sistema
solo tiene como solución la solución trivial. Demuestre que el sistema
también tiene como única solución a la solución trivial.
- Sea
y considere el sistema homogéneo
. Demuestre que son equivalentes:
- El sistema tiene una única solución, la solución trivial.
es invertible.
Más adelante
El principio de superposicion dice que para entender las soluciones de los sistemas lineales de la forma , basta con entender a los homogéneos, es decir, los de la forma
.
Nuestro siguiente paso será ver cómo podemos entender las soluciones de los sistemas lineales homogéneos. Para ello, tenemos que hablar de los sistemas que corresponden a matrices en forma escalonada reducida. La ventaja de estos sistemas es que sus soluciones son muy fáciles de entender, y para cualquier sistema de ecuaciones , hay uno de la forma
, con
una matriz escalonada reducida, y equivalente a
.
Más adelante, ya que tengamos a nuestra disposición herramientas de determinantes, hablaremos de otra forma en la que se pueden resolver sistemas de ecuaciones lineales usando la regla de Cramer.
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Hola,
En la observación :
«Se sigue de la proposición que un sistema consistente AX=b tiene una única solución si y sólo si el sistema homogéneo asociado tiene como única solución la solución trival.»
Creo que debería ser enunciado así:
Si Ax=b es consistente.
Tiene única solución syss el sistema homogéneo asociado tiene como única solución la solución trivial.
Independientemente de si es correcto, no me queda claro como hacer la «ida».