Introducción
En esta entrada resolvemos más problemas para reforzar y aclarar los conceptos vistos anteriormente. Específicamente, resolvemos problemas acerca de espacios vectoriales, subespacios vectoriales y sumas directas.
Problemas resueltos
Problema. Muestra que el conjunto de las funciones continuas tales que
con las operaciones usuales es un espacio vectorial.
Solución: Primero observamos que nuestras operaciones están bien definidas: sabemos que la suma de funciones continuas es continua y si es continua y
es un escalar, entonces
es continua. Más aún, si
y
, entonces
y
. En otras palabras, estos argumentos muestran que el conjunto es cerrado bajo las operaciones propuestas.
Ahora veamos que se cumplen los axiomas de espacio vectorial. Recuerda que para mostrar la igualdad de dos funciones, basta con mostrar que son iguales al evaluarlas en cada uno de los elementos de su dominio. En las siguientes demostraciones, es un real arbitrario en
- Si
son parte de nuestro conjunto, entonces
Aquí estamos usando la asociatividad de la suma en - Si
son como en las condiciones, dado que la suma en números reales es conmutativa,
.
- La función constante
es un neutro para la suma. Sí está en el conjunto pues la función
en cualquier número (en particular en
) tiene evaluación
.
- Dada
continua que se anula en
,
también es continua y se anula en
y
.
- Si
entonces
, por la asociatividad del producto en
.
- Es claro que la constante
satisface que
, pues
es una identidad para el producto en
.
, por la distributividad de la suma en
, también por la distributividad de la suma en
.
Observa como las propiedades se heredan de las propiedades de los números reales: En cada punto usamos que las operaciones se definen puntualmente, luego aplicamos las propiedades para los números reales, y luego concluimos el resultado (como por ejemplo, en la prueba de la conmutatividad).
Problema. Muestra que ninguno de los siguientes es un subespacio vectorial de .
- El conjunto
de los vectores
tales que
.
- El conjunto
de todos los vectores en
con números enteros por coordenadas.
- El conjunto
de todos los vectores en
que tienen al menos una coordenada igual a cero.
Solución:
- Notamos que el conjunto
no es cerrado bajo sumas: En efecto, el vector
, pues
, así como
, pues
. Sin embargo su suma es
, que no es un elemento de
.
- Mientras que
si es cerrado bajo sumas, no es cerrado bajo producto por escalares. Por ejemplo,
, sin embargo
, pues la última coordenada no es un número entero.
- El conjunto si es cerrado bajo producto por escalares, pero no bajo sumas: Tomando
y
en
, tenemos que
.
Problema. Sea el conjunto de todas las funciones
dos veces diferenciables (es decir, que tienen segunda derivada) que cumplen para todo
:
¿Es un subespacio de las funciones de
en
?
Solución: En efecto, podemos verificar que cumple las condiciones de subespacio:
- Observamos que la función
es dos veces diferenciable y satisface
Es decir. Esto muestra que
es no vacío.
- Sean
. Sabemos que entonces
también es dos veces diferenciable (por ejemplo, de un curso de cálculo). Además
Así.
- Finalmente sea
y sea
un escalar. Sabemos que
es dos veces diferenciable, y además
Luego.
El ejemplo anterior es crucial para la intuición de tu formación matemática posterior. En él aparece una ecuación diferencial lineal homogénea. La moraleja es que «las soluciones a una ecuación diferencial lineal homogénea son un subespacio vectorial». En este curso no nos enfocaremos en cómo resolver estas ecuaciones, pues esto corresponde a un curso del tema. Sin embargo, lo que aprendas de álgebra lineal te ayudará mucho para cuando llegues a ese punto.
Problema. Sea el espacio de todas las funciones de
en
y sea
el subconjunto de
formado por todas las funciones
tales que
.
- Verifica que
es un subespacio de
.
- Encuentra un subespacio
de
tal que
.
Solución:
- Verificamos los axiomas de subespacio vectorial:
- Tenemos que
, pues
. Entonces
no es vacío.
- Si
entonces
.
- Si
y
entonces
.
- Tenemos que
- Proponemos
como el subespacio de todas las funciones
tales que
con
. Verifiquemos que
.
- Si
entonces
, es decir
, pero como
para algún
entonces
. Luego
.
- Dada
, definimos
Observamos que, pues
Además es claro que
donde el sumando de la derecha es de la forma. Así
.
- Si
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
Sea un conjunto no vacío. Sea
el conjunto de todos los subconjuntos de
. Definimos las siguientes operaciones:
dónde



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