Álgebra Lineal I: Problemas de espacios, subespacios y sumas directas

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Introducción

En esta entrada resolvemos más problemas para reforzar y aclarar los conceptos vistos anteriormente. Específicamente, resolvemos problemas acerca de espacios vectoriales, subespacios vectoriales y sumas directas.

Problemas resueltos

Problema. Muestra que el conjunto de las funciones continuas f:[0,1]\to \mathbb{R} tales que f\left(\frac{1}{2}\right)=0 con las operaciones usuales es un espacio vectorial.

Solución: Primero observamos que nuestras operaciones están bien definidas: sabemos que la suma de funciones continuas es continua y si f es continua y \lambda\in \mathbb{R} es un escalar, entonces \lambdaf es continua. Más aún, si f\left(\frac{1}{2}\right)=0 y g\left(\frac{1}{2}\right)=0, entonces (f+g) \left( \frac{1}{2}\right) =f\left( \frac{1}{2}\right) + g\left( \frac{1}{2}\right)=0+0=0 y \lambda f\left(\frac{1}{2}\right)=\lambda \cdot 0 =0. En otras palabras, estos argumentos muestran que el conjunto es cerrado bajo las operaciones propuestas.

Ahora veamos que se cumplen los axiomas de espacio vectorial. Recuerda que para mostrar la igualdad de dos funciones, basta con mostrar que son iguales al evaluarlas en cada uno de los elementos de su dominio. En las siguientes demostraciones, x es un real arbitrario en [0,1]

  1. Si f,g,h son parte de nuestro conjunto, entonces

        \begin{align*}\left(f+(g+h)\right)(x)&= f(x)+(g+h)(x)\\ &= f(x)+g(x)+h(x) \\ &= (f+g)(x) +h(x)\\ &= ((f+g)+h)(x).\end{align*}


    Aquí estamos usando la asociatividad de la suma en \mathbb{R}
  2. Si f,g son como en las condiciones, dado que la suma en números reales es conmutativa, (f+g)(x)= f(x)+g(x)= g(x)+f(x)=(g+f)(x).
  3. La función constante 0 es un neutro para la suma. Sí está en el conjunto pues la función 0 en cualquier número (en particular en \frac{1}{2}) tiene evaluación 0.
  4. Dada f continua que se anula en \frac{1}{2}, -f también es continua y se anula en \frac{1}{2} y f+(-f)= (-f)+f=0.
  5. Si a,b\in \mathbb{R} entonces a(bf)(x)= a(bf(x))= (ab)f(x), por la asociatividad del producto en \mathbb{R}.
  6. Es claro que la constante 1 satisface que 1\cdot f=f, pues 1 es una identidad para el producto en \mathbb{R}.
  7. (a+b)f(x)= af(x)+bf(x), por la distributividad de la suma en \mathbb{R}
  8. a\cdot (f+g)(x) = a\cdot (f(x)+g(x))= a\cdot f(x)+a\cdot g(x), también por la distributividad de la suma en \mathbb{R}.

Observa como las propiedades se heredan de las propiedades de los números reales: En cada punto usamos que las operaciones se definen puntualmente, luego aplicamos las propiedades para los números reales, y luego concluimos el resultado (como por ejemplo, en la prueba de la conmutatividad).

\square

Problema. Muestra que ninguno de los siguientes es un subespacio vectorial de \mathbb{R}^3.

  1. El conjunto U de los vectores x=(x_1, x_2, x_3) tales que x_1^2+x_2^2+x_3^2=1.
  2. El conjunto V de todos los vectores en \mathbb{R}^3 con números enteros por coordenadas.
  3. El conjunto W de todos los vectores en \mathbb{R}^3 que tienen al menos una coordenada igual a cero.

Solución:

  1. Notamos que el conjunto U no es cerrado bajo sumas: En efecto, el vector (1,0,0)\in U, pues 1^2+0^2+0^2=1, así como (-1,0,0)\in U, pues (-1)^2+0^2+0^2=1. Sin embargo su suma es (0,0,0), que no es un elemento de U.
  2. Mientras que V si es cerrado bajo sumas, no es cerrado bajo producto por escalares. Por ejemplo, (2,8,1)\in V, sin embargo \frac{1}{2} (2,8,1)= \left(1,4,\frac{1}{2}\right)\notin V, pues la última coordenada no es un número entero.
  3. El conjunto si es cerrado bajo producto por escalares, pero no bajo sumas: Tomando (1,1,0) y (0,0,1) en W, tenemos que (1,1,0)+(0,0,1)=(1,1,1)\notin W.

\square

Problema. Sea V el conjunto de todas las funciones f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} dos veces diferenciables (es decir, que tienen segunda derivada) que cumplen para todo x\in \mathbb{R}:

    \begin{align*}f''(x)+x^2 f'(x)-3f(x)=0.\end{align*}

¿Es V un subespacio de las funciones de \mathbb{R} en \mathbb{R} ?

Solución: En efecto, podemos verificar que V cumple las condiciones de subespacio:

  1. Observamos que la función f\equiv 0 es dos veces diferenciable y satisface

        \begin{align*}f''(x)+x^2 f'(x)-3f(x)=0+x^2 \cdot 0 -3\cdot 0=0.\end{align*}


    Es decir 0\in V. Esto muestra que V es no vacío.
  2. Sean f,g\in V. Sabemos que entonces f+g también es dos veces diferenciable (por ejemplo, de un curso de cálculo). Además

        \begin{align*}&(f+g)''(x)+x^2 (f+g)'(x)-3(f+g)(x)\\ & = f''(x)+g''(x)+x^2 f'(x)+x^2 g'(x)-3f(x)-3g(x)\\& = f''(x)+x^2f(x)-3f(x)+ g''(x)+x^2g(x)-3g(x)\\& =0+0=0.\end{align*}


    Así f+g\in V.
  3. Finalmente sea f\in V y sea \lambda \in \mathbb{R} un escalar. Sabemos que \lambda f es dos veces diferenciable, y además

        \begin{align*}&\left(\lambda f\right)''(x)+x^2\left(\lambda f\right)(x)-3(\lambda f)(x)\\ &= \lambda f''(x)+\lambda x^2 f'(x)-\lambda 3f(x)\\ &= \lambda (f''(x)+x^2f'(x)-3f(x))\\ &= \lambda \cdot 0 =0.\end{align*}


    Luego \lambda f\in V.

\square

El ejemplo anterior es crucial para la intuición de tu formación matemática posterior. En él aparece una ecuación diferencial lineal homogénea. La moraleja es que «las soluciones a una ecuación diferencial lineal homogénea son un subespacio vectorial». En este curso no nos enfocaremos en cómo resolver estas ecuaciones, pues esto corresponde a un curso del tema. Sin embargo, lo que aprendas de álgebra lineal te ayudará mucho para cuando llegues a ese punto.

Problema. Sea V el espacio de todas las funciones de \mathbb{R} en \mathbb{R} y sea W el subconjunto de V formado por todas las funciones f tales que f(0)+f(1)=0.

  1. Verifica que W es un subespacio de V.
  2. Encuentra un subespacio S de W tal que V=W\oplus S.

Solución:

  1. Verificamos los axiomas de subespacio vectorial:
    1. Tenemos que 0\in W, pues 0(0)+0(1)=0+0=0. Entonces W no es vacío.
    2. Si f,g\in W entonces (f+g)(0)+(f+g)(1)= f(1)+f(0)+g(1)+g(0)=0+0=0.
    3. Si f\in W y \lambda \in \mathbb{R} entonces \lambda f(0)+\lambda f(1)= \lambda(f(0)+f(1))=\lambda \cdot 0=0.
  2. Proponemos S como el subespacio de todas las funciones h tales que h(x)=ax con a\in \mathbb{R}. Verifiquemos que V=W\oplus S.
    1. Si F\in W\cap S entonces F(0)+F(1)=0, es decir F(0)=-F(1), pero como F(x)=ax para algún a\in \mathbb{R} entonces F(0)=0=F(1)=a. Luego F(x)=0\cdot x=0.
    2. Dada f\in V, definimos

          \begin{align*}\hat{f}(x)= f(x)-(f(0)+f(1))x. \end{align*}


      Observamos que \hat{f}\in W, pues

          \begin{align*}\hat{f}(0)+\hat{f}(1)= f(0)+f(1)-f(0)-f(1)=0.\end{align*}


      Además es claro que

          \begin{align*}f(x)&= f(x)-(f(0)+f(1))x+(f(0)+f(1))x\\&= \hat{f}(x)+\left(f(0)+f(1)\right)x\end{align*}


      donde el sumando de la derecha es de la forma a\cdot x. Así S+W=V.

\square

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

Sea A un conjunto no vacío. Sea \mathcal{P}(A) el conjunto de todos los subconjuntos de A. Definimos las siguientes operaciones:

    \begin{align*}X+Y= X\Delta Y,\hspace{5mm} 1\cdot X=X,\hspace{5mm} 0\cdot X= \emptyset,\end{align*}


dónde \Delta denota la operación de diferencia simétrica. Demuestra que así definido, \mathcal{P}(A) es un espacio vectorial sobre el campo de dos elementos \mathbb{F}_2.

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