Introducción

En esta nueva unidad comenzaremos a hablar acerca de conjuntos infinitos, para ello necesitamos hablar acerca de la cantidad de elementos que poseen estos conjuntos. En esta sección comenzaremos a entablar una relación entre los elementos de un conjunto y otro, veremos que si podemos establecer una función biyectiva entre dos conjuntos diremos que tales conjuntos son equipotentes.

Equipotencia

Definición: Sean $A$ y $B$ conjuntos. Decimos que $A$ y $B$ son equipotentes si existe una función $f:A\to B$ tal que $f$ es biyectiva. Denotaremos $A$ equipotente a $B$ como $A\sim B$.

Ejemplo:

Sea $A=\mathbb{N}$ y $B=\set{x: x=2k\ \text{para algún}\ k\in\mathbb{N}}$.

Afirmación: $A$ y $B$ son equipotentes.

Demostración de la afirmación:

Sea $f:\mathbb{N}\to B$ dada por $f(n)=2n$ para todo $n\in \mathbb{N}$. Primero veamos que $f$ es función.

Sean $(a,b), (a,c)\in f$, entonces $(a,b)=(x, 2x)$ y $(a,c)=(y, 2y)$ para algunos $x,y\in\mathbb{N}$. Como $(a,b)=(x,2x)$, entonces $a=x$ y $b=2x$; asimismo, como $(a,c)=(y,2y)$, entonces $a=y$ y $c=2y$. Así, $x=y$, pues $a=x$ y $a=y$. Luego, $b=2x=2y=c$. Por lo tanto, $f$ es función.

Ahora veamos que $f$ es biyectiva.

1. Inyectividad:
   Sean $x,y\in \mathbb{N}$ tales que $f(x)= f(y)$, esto es $2x=2y$. Luego, por ley de la cancelación para el producto tenemos que $x=y$ y, por tanto, $f$ es inyectiva.
2. Sobreyectividad:
   Si $y\in B$, entonces $y=2k$ para algún $k\in \mathbb{N}$. Así, existe $k\in \mathbb{N}$ tal que $f(k)=2k=y$ y, por consiguiente, $f$ es sobreyectiva.

Por lo tanto, $f$ es biyectiva, de modo que $A\sim B$.

$\square$

Teorema: Sean $A,B$ y $C$ conjuntos. Entonces se satisfacen los siguientes enunciados:

1. $A$ es equipotente a $A$.
2. Si $A$ es equipotente a $B$, entonces $B$ es equipotente a $A$.
3. Si $A$ es equipotente a $B$ y $B$ es equipotente a $C$, entonces $A$ es equipotente a $C$.

Demostración:

1. La función $Id_A$ es una función biyectiva, por lo que podemos concluir que $A\sim A$.
2. Supongamos que $A\sim B$, entonces existe $f:A\to B$ tal que $f$ es una función biyectiva. Luego, $f^{-1}:B\to A$ es una función biyectiva y por lo tanto, $B\sim A$.
3. Supongamos que $A\sim B$ y $B\sim C$, esto es, existe $f:A\to B$ biyectiva y $g:B\to C$ biyectiva. Luego, consideremos $g\circ f: A\to C$, como $f$ y $g$ son biyectivas, entonces $g\circ f$ es biyectiva.
   Así, $A\sim C$.

$\square$

Dominancia

Hemos visto que para que un conjunto sea equipotente a otro se requiere que exista una función biyectiva, por lo que podemos preguntarnos si hay una forma en que los conjuntos se comparen si solo existe una función inyectiva pero no sobreyectiva. Así va a ser y viene descrito en la siguiente definición:

Definición: Sean $A$ y $B$ conjuntos. Decimos que $B$ domina a $A$ si existe $f: A\to B$ tal que $f$ es inyectiva. Lo denotaremos como $A\lesssim B$.

Ejemplo:

Sean $A=\set{1,2,3}$ y $B=\mathbb{N}$. Tenemos que $A\lesssim B$ pues existe $f=\set{(1,1), (2,2), (3,3)}$ tal que $f$ es función inyectiva. Sin embargo, no existe $h:A\to B$ tal que $h$ sea sobreyectiva.

$\square$

Teorema: Sean $A,B$ y $C$ conjuntos. Entonces se satisfacen los siguientes enunciados:

1. $A\lesssim A$.
2. Si $A\lesssim B$ y $B\lesssim C$, entonces $B\lesssim C$.

Demostración:

1. La función $Id_A$ es una función biyectiva, en paticular es una función inyectiva por lo que podemos concluir que $A\lesssim A$.
2. Supongamos que $A\lesssim B$ y $B\lesssim C$, esto es, existe $f:A\to B$ inyectiva y $g:B\to C$ inyectiva. Luego, consideremos $g\circ f: A\to C$, como $f$ y $g$ son inyectivas, entonces $g\circ f$ es inyectiva.
   Así, $A\sim C$.

$\square$

Lo siguiente que podemos probar es que si $A$ y $B$ son conjuntos tales que $A\lesssim B$ y $B\lesssim A$, entonces $A\sim B$. Este resultado corresponde al teorema de Cantor-Schröder-Bernstein que demostraremos en la próxima entrada.  

Tarea moral

• Demuestra que si $n$ y $m$ son números naturales, entonces, o bien $n$ domina a $m$ o bien $m$ domina a $n$.
• Demuestra que si $A$ es un conjunto, entonces su conjunta potencia lo domina; esto es, muestra que existe una función inyectiva de $A$ en $P(A)$.
• Si $A$, $B$, $C$ y $D$ son conjuntos tales que $A\sim B$ y $C\sim D$, ¿será cierto que $A\cup C\sim B\cup D$? Argumenta tu respuesta.
• Demuestra que si $A\subseteq B$, entonces $B$ domina a $A$.

Más adelante…

En la siguiente entrada abordaremos el tema de conjuntos finitos. Probaremos el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein.

Enlaces

Entrada anterior: Teoría de los Conjuntos I: Producto en los naturales

Siguiente entrada: Conjuntos finitos