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Álgebra Superior II: Definición del producto y sus propiedades básicas

Introducción

En la entrada anterior, nos dedicamos a buscar una definición apropiada para la suma de números naturales, y después nos dedicamos a probar las propiedades más elementales que esta operación satisface.

Ahora es el turno de la multiplicación o producto, que se definirá de forma similar a la suma, ya que ocuparemos el teorema de Recursión Débil, y para probar sus propiedades ocuparemos el principio de Inducción.

Te motivamos a releer la entrada anterior y pensar unos momentos en el ejercicio 5 de la entrada anterior.

Definición del producto.

Así como con la suma, recurriremos a una definición recursiva, la cual existe en virtud del teorema de Recursión.

Definición: Sea $m\in\mathbb{N}$, defnimos la función $p_{m}:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N}$, como la función que satisface las propiedades siguientes:

  1. $p_{m}(0)=0$
  2. $p_{m}(\sigma(n))=s_{m}((p_{m}(n))$.

Denotaremos a $p_{m}(n)$ como $m\cdot n$, o simplemente como $mn$

Ejemplo: Para aclarar la definición anterior, consideremos $p_{7}$ y realicemos el diagrama conmutativo correspondiente a su definición recursiva.

Recordemos que las flechas indican a donde es mandado cada elemento bajo cada función, entonces las flechas verticales, justamente son las que nos indican los valores de $p_{7}$ en cada número natural, observemos que estos valores coinciden con la conocida tabla del $7$.

Aprendiendo a multiplicar por uno

En este momento, demostraremos las propiedades más importantes del producto. Tenemos la fortuna de que contamos con una buena cantidad de propiedades de las funciones $s_{n}$, las cuales ya podremos usar sin ningún problema, más aún, para simplificar la notación haremos uso de la notación $m+n$, en vez de la notación $s_{m}(n)$, cada vez que se pueda.

Siguiendo la idea anterior, mencionamos la siguiente identidad, que es solo una reformulación del punto (2) de la definición del producto, pero que nos servirá para esclarecer la mayor parte de las pruebas.

Observación: $a\cdot\sigma(n)=a+(a\cdot n)$

Para referir a esta observación en una demostración ocuparemos el símbolo $\overset{*}{=}$

Proposición: Para toda $n\in\mathbb{N}$, se tiene que $p_{1}(n)=n$, es decir, $1\cdot n=n$

Demostración. Como se esperaba, la prueba es por inducción sobre $n$.

Base inductiva: Por la definición de $p_{1}$, tenemos que $p_{1}(0)=0$

Hipótesis de inducción: Supongamos que para algún $n$, se tiene que $p_{1}(n)=n$

Paso inductivo: Debemos demostrar que $p_{1}(\sigma(n))=\sigma(n)$, esto se sigue por las siguientes igualdades

\begin{align*}
p_{1}(\sigma(n))&\overset{*}{=}1+(p_{1}(n))\\ &\overset{\text{H.I.}}{=}1+n=\sigma(n).
\end{align*}

Donde la última igualdad se da recordando que en la entrad a anterior probamos que $s_{1}(n)=\sigma(n)$

$\square$

Con esto hemos aprendido a multiplicar por $1$.

Aprendiendo a multiplicar por cero

Proposición: Para toda $n\in\mathbb{N}$, se tiene que $p_{0}(n)=n$

Demostración. Procedamos por inducción sobre $n$, la base inductiva es directa de la definición, ya que $p_{0}(0)=0$.

Nuestra hipótesis de inducción consiste en suponer que para alguna $n$ se tiene que $p_{0}(n)=0$. Entonces queda demostrar que $p_{0}(\sigma(n))=0$. Esto se sigue de las siguientes igualdades.

\begin{align*}
p_{0}(\sigma(n))&\overset{*}{=}0+p_{0}(n)\\ &\overset{\text{H.I.}}{=}0+0=0
\end{align*}

$\square$

La propiedad distributiva izquierda

La siguiente propiedad es una de las más famosas, ya que nos permitirá relacionar la suma y el producto, además jugará un papel importante en la demostración de las siguientes propiedades.

Proposición (propiedad distributiva izquierda): Si $a,b,n$ son números naturales, entonces $p_{s_{a}(b)}(n)=s_{p_{a}(n)}(p_{b}(n))$, u ocupando la notación familiar $(a+b)\cdot n=(a\cdot n)+(b\cdot n)$.

Demostración: Procedamos por inducción, como podrás notar con todas estas demostraciones, la inducción será sobre la variable que aparezca más a la derecha de nuestras expresiones, es decir, la inducción será sobre $n$

Base inductiva: Por la definición del producto tenemos que, $(a+b)\cdot 0=0$, y por las propiedades que demostramos para la suma, concluimos que $0=0+0$, sin embargo; de nuevo por la definición del producto, $0=(a\cdot n)$ y $0=(b\cdot n)$, uniendo todas estas igualdades concluimos que $(a+b)\cdot 0=(a\cdot n)+(b\cdot n)$, justo como queremos.

Hipótesis de inducción: Supongamos que para algún $n$ se tiene que $(a+b)\cdot n=(a\cdot n)+(b\cdot n)$.

Paso inductivo: Debemos probar que $(a+b)\cdot\sigma(n)=(a\cdot\sigma(n))+(b\cdot\sigma(n))$. Por la observación que hicimos, tenemos

\begin{align*}
(a+b)\cdot\sigma(n)&\overset{*}{=}(a+b)+((a+b)\cdot n)\\ &\overset{\text{H.I.}}{=}(a+b)+((a\cdot n)+(b\cdot n))
\end{align}

A partir de aquí, el resultado se seguirá usando la asociatividad y la conmutatividad de la suma, en la siguiente cadena de igualades detallamos la demostración paso a paso ¿Puedes identificar cómo ocupamos las propiedades de la suma?.

\begin{align*}
(a+b)+((a\cdot n)+(b\cdot n))&=a+(b+((a\cdot n)+(b\cdot n)))\\
&=a+((b+(a\cdot n))+(b\cdot n))\\
&=a+(((a\cdot n)+b)+(b\cdot n))\\
&=a+((a\cdot n)+(b+(b\cdot n)))\\
&=(a+(a\cdot n))+(b+(b\cdot n))\\
&\overset{*}{=}(a\cdot \sigma (n))+(b\cdot \sigma (n))
\end{align*}

$\square$

Aunque la prueba anterior fue un poco más confusa que las anteriores, las consecuencias que tendrá esta proposición serán sumamente importantes.

El producto es conmutativo

Como mencionamos, la asociatividad y la conmutatividad, serán una consecuencia de las propiedades distributivas, por el momento veamos que en efecto la suma conmuta.

Proposición (conmutativiad): Si $m,n\in \mathbb{N}$, entonces $m\cdot n=n\cdot m$

Demostración. Una vez más hagamos la prueba por inducción sobre $n$

Base inductiva: Por definición tenemos que $m\cdot 0 =0$, además $p_{0}(m)=0$ por lo demostrado antes, es decir que $m\cdot 0=0=0\cdot m$

Hipótesis de inducción: Supongamos que para alguna $n$, se tiene que $m\cdot n=n\cdot m$

Paso inductivo: Debemos probar que $m\cdot\sigma(n)=\sigma(n)\cdot m$. Esto se sigue ya que

\begin{align*}
m\cdot\sigma(n)&\overset{*}{=}m+(m\cdot n)\\
&\overset{\text{H.I.}}{=}m+(n\cdot m)
\end{align*}

Pero ya demostramos que $m=1\cdot m$, usando esto y la propiedad ditributiva, podemos concluir que

\begin{align*}
m+(n\cdot m)&=(1\cdot m )+(n\cdot m)\\
&=(1+n)\cdot m=\sigma(n)\cdot m
\end{align*}

$\square$

Con la conmutatividad, podemos probar de manera inmediata el siguiente resultado

Corolario (propiedad distributiva derecha): Si $a,b,n$ son números naturales, entonces $a\cdot(b+ n)=(a\cdot b)+(a\cdot n)$.

La prueba queda como un ejercicio moral, en parte porque su prueba no requiere Inducción. Con este resultado, podemos probar la propiedad asociativa del producto.

El producto es asociativo

Con la propiedad asociativa derecha , podemos dar la demostración de la propiedad asociativa del producto

Proposición (asociatividad): Si $a,b,n$ son números naturales, se tiene que $a\cdot(b\cdot n)=(a\cdot b)\cdot n$.

Demostración. De nuevo procedamos por inducción sobre $n$

Base inductiva: Notemos que por definición, para cualquier número natural $m$ se tiene que $0=p_{m}(0)=m\cdot 0$. Con esto en mente tenemos que, $(a\cdot b)\cdot(0)=0=a\cdot 0=a\cdot(b\cdot 0)$ que es justo la base de inducción.

Hipótesis de Inducción: Supongamos que para alguna $n\in \mathbb{N}$, tenemos que $(a\cdot b)\cdot n=a\cdot(b\cdot n)$

Paso Inductivo: Demostremos que $(a\cdot b)\cdot\sigma(n)=a\cdot(b\cdot \sigma(n))$. Como

\begin{align*}
a\cdot b)\cdot\sigma(n)&\overset{*}{=}(a\cdot b)+(a\cdot b)\cdot n\\
&\overset{\text{H.I.}}{=}(a\cdot{b})+a\cdot(b\cdot n)\\
&=a\cdot (b+b\cdot n)\\
&\overset{*}{=}a\cdot(b\cdot \sigma (n))
\end{align*}

la igualdad que no está justificada es la aplicación de la propiedad distributiva.

$\square$

Ley de la cancelación

Para concluir con las propiedades del producto, enunciamos la propiedad de la cancelación del producto, recordemos que esta propiedad también es válida para la suma. Para hacer esta prueba necesitamos trabajar un poco.

Recordemos el ejercicio 2 de la Tarea moral de la entrada Principio de inducción y teoremas de recursión, el cual ya hemos ocupado anteriormente:

Si $n\neq0$, entonces existe $a\in \mathbb{N}$ tal que $n=\sigma(a)$

De la misma forma, el ejercicio 1 de la Tarea moral de la entrada pasada dice que:

Si $a,b\in\mathbb{N}$ son tales que $a+b=0$, entonces $a=b=0$

Con estos resultados en mente probamos el siguiente lema.

Lema: Si $n\neq 0$ y $m\in \mathbb{N}$ es tal que $m\cdot n=0$, entonces $m=0$.

Demostración. Como $n\neq0$, entonces existe $a\in \mathbb{N}$, tal que $n=\sigma(a)$, entonces tenemos que

\begin{align*}
0&=m\cdot n\\
&=m\cdot\sigma(a)\\
\overset{*}{=}m+(m\cdot a).
\end{align*}

Entonces tenemos que $m\cdot a=0$ y que $m=0$ que es lo que debíamos probar

$\square$

Es común usar una equivalencia lógica del enunciado anterior, la cual dice:

Si $n,m\in \mathbb{N}\setminus\{0\}$, entonces $n\cdot m\in \mathbb{N}\setminus\{0\}$

Proposición (ley de cancelación): Si $m,n$ son números naturales y $a\neq0$ y cunplen que $a\cdot n=a\cdot m$, entonces, $n=m$

Demostración. De nuevo, procedamos por inducción sobre $n$

Base inductiva: Supongamos que $n=0$ y $a\neq0$, entonces $a\cdot m=a\cdot n=a\cdot0 =0,$ por el Lema tenemos que $m=0=n$.

Hipótesis de inducción: Supongamos que para algún $n$, tenemos que si $a\neq0$ y $a\cdot n=a\cdot m$, entonces $n=m$

Paso inductivo: Probemos para $\sigma(n)$, sea $a\neq 0$ y supongamos que $a\cdot\sigma(n)=a\cdot m$

Como $\sigma(n)\neq 0$, y por hipótesis, $a\neq0$, entonces por la equivalencia del lema, concluimos que $a\cdot\sigma(n)\neq 0$, de donde $a\cdot m\neq 0$, esto implica que $m\neq 0$, por lo que existe $b$ tal que $m=\sigma(b)$, entonces podemos escribir

\begin{align*}
a+a\cdot n& \overset{*}{=}a\cdot\sigma(n)\\
&=a\cdot m\\
&=a\cdot\sigma(b)\\
&\overset{*}{=}a+a\cdot b
\end{align*}

Ocupando la ley de cancelación de la suma, tenemos que $a\cdot n=a\cdot b$

Pero por hipótesis de inducción debemos de tener que $n=b$, esto quiere decir que $\sigma(n)=\sigma(b)=m$, justo como debíamos probar.

$\square$

Con esta prueba concluimos las propiedades más fundamentales del producto.

Resumen de las propiedades del producto

Para finalizar con la entrada, haremos un compendio de las propiedades que demostramos

  • Para todo $n$ natural, se tiene que $1\cdot n=n=n \cdot 1$
  • Para todo $n$ natural, se tiene que $0\cdot n=0=n \cdot 0$
  • Para $l,m,n$ naturales cualesquiera se tiene que $(l+m)\cdot n=(l\cdot n)+(m\cdot n)$
  • Para $m,n$ naturales se tiene que $m\cdot n=n\cdot m$
  • Para $l,m,n$ naturales cualesquiera se tiene que $l\cdot(m+n)=(l\cdot m)+(l\cdot n)$
  • Para $l,m,n$ naturales cualesquiera se tiene que $(l\cdot m)\cdot n=l\cdot(m\cdot n)$
  • Para $m,n$ naturales con $m\neq 0$, si $m\cdot n=0$, entonces $n=0$
  • Para $l,m,n$ naturales con $l\neq 0$, si $l\cdot n=l\cdot m$, entonces $n=m$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios y problemas te ayudarán a reforzar lo aprendido en esta entrada.

  1. Prueba la Propiedad distributiva derecha
  2. Usando únicamente la ley de cancelación el producto, demuestra el Lema previo a la demostración de la ley de cancelación
  3. ¿Qué pasa si en el enunciado de la ley de la cancelación, no asumimos que $a\neq 0$?
  4. Demuestra usando el Lema previo a la demostración de la ley de cancelación que si $n,m\in \mathbb{N}\setminus\{0\}$, entonces $n\cdot m\in \mathbb{N}\setminus\{0\}$
  5. Da una definición recursiva de las funciones $\eta_{m} (n)=m^n$ y prueba las leyes de los exponentes.

Más adelante…

Con las propiedades de la suma y del producto en nuestra bolsa de herramientas, tenemos ya una rica teoría que desarrollar; nos falta aún definir una relación muy familiar en el conjunto $\mathbb{N}$, el orden, al cual ya hemos apelado en la demostración del teorema de la Recursión Débil.

Por el momento estudiaremos con mayor detalle los conjuntos infinitos, donde veremos la importancia de los naturales dentro de esta clase de conjuntos.

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Álgebra Lineal I: Determinantes de vectores e independencia lineal

Introducción

En este cuarto y último bloque del curso comenzamos hablando de transformaciones multilineales y de permutaciones. Luego, nos enfocamos en las transformaciones multilineales antisimétricas y alternantes. Con la teoría que hemos desarrollado hasta ahora, estamos listos para definir determinantes de vectores, de transformaciones lineales y de matrices.

En esta entrada comenzaremos con la definición de determinantes de vectores. En la siguiente entrada hablaremos acerca de determinantes de matrices y de transformaciones lineales. Después de definir determinantes, probaremos varias de las propiedades que satisfacen. Posteriormente, hablaremos de varias técnicas que nos permitirán calcular una amplia variedad de determinantes para tipos especiales de matrices.

Determinantes de vectores

Para empezar, definiremos qué es el determinante de un conjunto de vectores en un espacio de dimensión finita con respecto a una base.

Definición. Sea $B=(b_1,\ldots,b_n)$ una base de un espacio vectorial $V$ de dimensión finita $n$ y $x_1,\ldots,x_n$ vectores de $V$. Cada uno de los $x_i$ se puede escribir como $$x_i=\sum_{j=1}^n a_{ji}b_j.$$

El determinante de $x_1,\ldots,x_n$ con respecto a $(b_1,\ldots,b_n)$ es $$\sum_{\sigma \in S_n} \text{sign}(\sigma)a_{1\sigma(1)}\cdot\ldots\cdot a_{n\sigma(n)},$$ y lo denotamos por $\det_{(b_1,\ldots,b_n)} (x_1,\ldots,x_n)$.

Observa que estamos sumando tantos términos como elementos en $S_n$. Como existen $n!$ permutaciones de un conjunto de $n$ elementos, entonces la suma de la derecha tiene $n!$ sumandos.

Ejemplo. Consideremos la base $b_1=1$, $b_2=1+x$ y $b_3=1+x+x^2$ del espacio vectorial $\mathbb{R}_2[x]$ de polinomios con coeficientes reales y grado a lo más $2$. Tomemos los polinomios $v_1=1$, $v_2=2x$ y $v_3=3x^2$. Vamos a calcular el determinante de $v_1, v_2, v_3$ con respecto a la base $(b_1,b_2,b_3)$.

Para hacer eso, lo primero que tenemos que hacer es expresar a $v_1, v_2, v_3$ en términos de la base. Hacemos esto a continuación:
\begin{align*}
v_1&= 1\cdot b_1 + 0 \cdot b_2 + 0 \cdot b_3\\
v_2&= -2\cdot b_1 + 2 \cdot b_2 + 0 \cdot b_3\\
v_3&= 0 \cdot b_1 – 3 \cdot b_2 +3 b_3.
\end{align*}

De aquí, obtenemos
\begin{align*}
a_{11}&=1, a_{21}=0, a_{31}=0,\\
a_{12}&=-2, a_{22}=2, a_{32}=0,\\
a_{13}&=0, a_{23}=-3, a_{33}=3.
\end{align*}

Si queremos calcular el determinante, tenemos que considerar las $3!=3\cdot 2 \cdot 1 = 6$ permutaciones en $S_3$. Estas permutaciones son

\begin{align*}
\sigma_1 &= \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3\end{pmatrix}\\
\sigma_2 &= \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2\end{pmatrix}\\
\sigma_3 &= \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3\end{pmatrix}\\
\sigma_4 &= \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1\end{pmatrix}\\
\sigma_5 &= \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1\end{pmatrix}\\
\sigma_6 &= \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2\end{pmatrix}.
\end{align*}

Los signos de $\sigma_1,\ldots,\sigma_6$ son, como puedes verificar, $1$, $-1$, $-1$, $1$, $-1$ y $1$, respectivamente.

El sumando correspondiente a $\sigma_1$ es
\begin{align}
\text{sign}(\sigma_1) &a_{1\sigma_1(1)}a_{2\sigma_1(2)}a_{3\sigma_1(3)}\\
&= 1 \cdot a_{11}a_{22}a_{33}\\
&=1\cdot 1\cdot 2 \cdot 3 = 6.
\end{align}

El sumando correspondiente a $\sigma_2$ es
\begin{align}
\text{sign}(\sigma_2) &a_{1\sigma_2(1)}a_{2\sigma_2(2)}a_{3\sigma_2(3)}\\
&= (-1) \cdot a_{11}a_{23}a_{32}\\
&=(-1) \cdot 1\cdot (-3) \cdot 0 = 0.
\end{align}

Continuando de esta manera, se puede ver que los sumandos correspondientes a $\sigma_1,\ldots,\sigma_6$ son $$+6,-0,-0,+0,-0,+0,$$ respectivamente de modo que el determinante es $6$.

$\square$

La expresión de determinante puede parecer algo complicada, pero a través de ella podemos demostrar fácilmente algunos resultados. Consideremos como ejemplo el siguiente resultado.

Proposición. Sea $B=(b_1,\ldots,b_n)$ una base de un espacio vectorial $V$ de dimensión finita $n$. El determinante de $B$ con respecto a sí mismo es $1$.

Demostración. Cuando escribimos a $b_i$ en términos de la base $b$, tenemos que $$b_i=\sum_{j=1}^n a_{ji} b_j.$$ Como la expresión en una base es única, debemos tener $a_{ii}=1$ y $a_{ji}=0$ si $j\neq i$. Ahora, veamos qué le sucede al determinante $$\sum_{\sigma \in S_n} \text{sign}(\sigma)a_{1\sigma(1)}\cdot\ldots\cdot a_{n\sigma(n)}.$$

Si $\sigma$ es una permutación tal que $\sigma(i)\neq i$ para alguna $i$, entonces en el producto del sumando correspondiente a $\sigma$ aparece $a_{i\sigma(i)}=0$, de modo que ese sumando es cero. En otras palabras, el único sumando no cero es cuando $\sigma$ es la permutación identidad.

Como el signo de la identidad es $1$ y cada $a_{ii}$ es $1$, tenemos que el determinante es
\begin{align*}
\sum_{\sigma \in S_n} \text{sign}&(\sigma)a_{1\sigma(1)}\cdot\ldots\cdot a_{n\sigma(n)} \\
&=a_{11}\cdot\ldots\cdot a_{nn}\\
&= 1\cdot\ldots\cdot 1 \\
& = 1.
\end{align*}

$\square$

El determinante es una forma $n$-lineal alternante

La razón por la cual hablamos de transformaciones $n$-lineales antisimétricas y alternantes antes de hablar de determinantes es que, en cierto sentido, los determinantes de vectores son las únicas transformaciones de este tipo. Los siguientes resultados formalizan esta intuición.

Teorema. Sea $B=(b_1,\ldots,b_n)$ una base de un espacio vectorial $V$ sobre $F$. Entonces la transformación $\det_{(b_1,\ldots,b_n)}:V^n \to F$ es una forma $n$-lineal y alternante.

Demostración. La observación clave para demostrar este resultado es que $\det_{(b_1,\ldots,b_n)}$ se puede reescribir en términos de la base dual $b_1^\ast, \ldots, b_n^\ast$. En efecto, recuerda que $b_i^\ast$ es la forma lineal que «lee» la coordenada de un vector $v$ escrito en la base $B$. De esta forma,

\begin{align*}
\det_{(b_1,\ldots,b_n)}&(v_1,\ldots,v_n)\\
&=\sum_{\sigma\in S_n}\left(\text{sign}(\sigma) \prod_{j=1}^n b_j^\ast(v_{\sigma(j)})\right)\\
\end{align*}

Para cada permutación $\sigma$, el sumando correspondiente es una forma $n$-lineal, pues es producto de $n$ formas lineales evaluadas en los distintos vectores. Así que $\det_{(b_1,\ldots,b_n)}$ es suma de formas $n$-lineales y por lo tanto es forma $n$-lineal.

Para mostrar que el determinante es alternante, tenemos que mostrar que es igual a $0$ cuando algún par de sus entradas son iguales. Supongamos que $i\neq j$ y que $v_i=v_j$. Tomemos $\tau$ a la transposición que intercambia a $i$ y a $j$. Cuando se compone una permutación con una transposición, su signo cambia. Así, para cualquier permutación $\sigma$, tenemos que $\sigma\tau$ tiene signo diferente.

Además, para cualquier $\sigma$ tenemos que $$a_{1\sigma(1)}\cdot\ldots\cdot a_{n\sigma(n)}$$ y $$a_{1\sigma\tau(1)}\cdot\ldots\cdot a_{n\sigma\tau(n)}$$ son iguales, pues $v_i=v_j$. Combinando ambas ideas, podemos emparejar a cada sumando del determinante con otro con el cual sume cero. Esto muestra que el determinante es $0$.

$\square$

Usando la teoría que desarrollamos en la entrada anterior, tenemos el siguiente corolario.

Corolario. La forma $n$-lineal $\det_{(b_1,\ldots,b_n)}$ es antisimétrica.

Los determinantes de vectores son las «únicas» formas $n$-lineales alternantes

Ya vimos que el determinante es una forma $n$-lineal alternante. Veamos ahora por qué decimos que es «la única». El siguiente resultado dice que cualquier otra forma $n$-lineal alternante varía de $\det_{(b_1,\ldots,b_n)}$ únicamente por un factor multiplicativo.

Teorema. Sea $B=(b_1,\ldots,b_n)$ una base de un espacio vectorial $V$. Si $f:V^n \to F$ es cualquier forma $n$-lineal y alternante, entonces $$f=f(b_1,\ldots,b_n)\det_{(b_1,\ldots,b_n)}.$$

Demostración. Para mostrar la igualdad del teorema, que es una igualdad de transformaciones, tenemos que ver que es cierta al evaluar en cualesquiera vectores $x_1,\ldots,x_n$. Escribamos a cada $x_i$ en términos de la base $B$: $$x_i=\sum_{j=1}^n a_{ij}b_j.$$

Usando la $n$-linealidad de $f$ en cada una de las entradas, tenemos que
\begin{align*}
f(x_1,\ldots,x_n)&=\sum_{i=1}^n a_{1i} f(b_i,x_2,\ldots,x_n)\\
&=\sum_{i,j=1}^n a_{1i}a_{2i} f(b_i,b_j,x_3,\ldots,x_n)\\
&=\ldots\\
&=\sum_{i_1,\ldots,i_n = 1}^n a_{1i_1}\ldots a_{ni_n} f(b_{i_1},\ldots,b_{i_n}).
\end{align*}

Aquí hay muchos términos, pero la mayoría de ellos son $0$. En efecto, si $b_{i_k}=b_{i_l}$, como $f$ es alternante tendríamos que ese sumando es $0$. Así, los únicos sumandos que pueden ser no cero son cuando la elección de subíndices es una permutación, es decir cuando existe $\sigma$ en $S_n$ tal que para $i_k=\sigma(k)$.

Por lo tanto, podemos simplificar la expresión anterior a
$$f(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{\sigma \in S_n}a_{1 \sigma(1)}\ldots a_{n\sigma(n)} f(b_{\sigma(1)},\ldots,b_{\sigma(n)}).$$

Como $f$ es alternante, entonces es antisimétrica. De este modo, podemos continuar la igualdad anterior como
\begin{align*}
&=\sum_{\sigma \in S_n} \text{sign}(\sigma) a_{1 \sigma(1)}\ldots a_{n\sigma(n)} f(b_1,\ldots,b_n)\\
&=f(b_1,\ldots,b_n) \det_{(b_1,\ldots,b_n)}(x_1,\ldots, x_n).
\end{align*}

Esto es justo lo que queríamos probar.

$\square$

Los determinantes de vectores caracterizan bases

Como consecuencia del último teorema de la sección anterior, los determinantes de vectores caracterizan totalmente a los conjuntos de vectores que son bases. A continuación enunciamos esto formalmente.

Corolario. En un espacio vectorial $V$ de dimensión $n$ son equivalentes las siguientes tres afirmaciones para vectores $x_1,\ldots,x_n$ de $V$:

  1. El determinante de $x_1,\ldots,x_n$ con respecto a toda base es distinto de $0$.
  2. El determinante de $x_1,\ldots,x_n$ con respecto a alguna base es distinto de $0$.
  3. $x_1,\ldots,x_n$ es una base de $V$.

Demostración. La afirmación (1) es más fuerte que la (2) y por lo tanto la implica.

Ahora, probemos que la afirmación (2) implica la afirmación (3). Como $x_1,\ldots,x_n$ son $n$ vectores y $n$ es la dimensión de $V$, para mostrar que forman una base basta mostrar que son linealmente independientes. Anteriormente, vimos que cualquier forma alternante manda vectores linealmente dependientes a $0$. Como la hipótesis de (2) es que existe alguna forma alternante que no se anula en $x_1,\ldots, x_n$, entonces deben ser linealmente independientes y por lo tanto formar una base.

Finalmente, probemos que (3) implica (1). Tomemos $B=(b_1,\ldots,b_n)$ otra base de $V$. Como $\det_{(x_1,\ldots,x_n)}$ es una forma $n$-lineal, podemos aplicar el teorema anterior y evaluar en $x_1,\ldots,x_n$ para concluir que
\begin{align*}
\det_{(x_1,\ldots,x_n)}&(x_1,\ldots,x_n)&\\
&=\det_{(x_1,\ldots,x_n)}(b_1,\ldots,b_n) \det_{(b_1,\ldots,b_n)}(x_1,\ldots,x_n).
\end{align*}

El término de la izquierda es igual a $1$, de modo que ambos factores a la derecha deben ser distintos de $0$.

$\square$

Ejemplo. En el ejemplo que dimos de polinomios vimos que el determinante de $1$, $2x$ y $3x^2$ con respecto a la base $1$, $1+x$ y $1+x+x^2$ es igual a $6$. De acuerdo al teorema anterior, esto implica que $1$, $2x$ y $3x^2$ es un conjunto linealmente independiente de polinomios, y de hecho una base.

Además, el teorema anterior también implica que sin importar que otra base $B$ de $\mathbb{R}_2[x]$ tomemos, el determinante de $1$, $2x$ y $3x^2$ con respecto a $B$ también será distinto de $0$.

$\square$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios y problemas te ayudarán a reforzar lo aprendido en esta entrada.

  • ¿Cuántos sumandos tendrá el determinante de $5$ vectores en un espacio vectorial de dimensión $5$ con respecto a cualquier base? Da el número de manera explícita.
  • Verifica que en el primer ejemplo de determinantes de esta entrada, en efecto los sumandos correspondientes a $\sigma_1,\ldots,\sigma_6$ son los que se enuncian.
  • Encuentra el determinante de los vectores $(3,1)$ y $(2,4)$ con respecto a la base $((5,1), (2,3))$ de $\mathbb{R}^2$.
  • Muestra que los vectores $(1,4,5,2)$, $(0,3,2,1)$, $(0,0,-1,4)$ y $(0,0,0,1)$ son linealmente independientes calculando por definición su determinante con respecto a la base canónica de $\mathbb{R}^4$.
  • Usa un argumento de determinantes para mostrar que los vectores $(1,4,3)$, $(2,-2,9)$, $(7,8,27)$ de $\mathbb{R}^3$ no son linealmente independientes. Sugerencia. Calcula su determinante con respecto a la base canónica.

Más adelante…

A lo largo de esta entrada estudiamos la definición de determinantes para un conjunto de vectores y enunciamos sus principales propiedades. En las siguientes entradas vamos a hablar cómo se define el determinante para matrices y para transformaciones lineales. Después de las definiciones, pasaremos a estudiar cómo se calculan los determinantes y veremos cómo se aplican a diferentes problemas de álgebra lineal.

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Álgebra Superior II: Problemas de operaciones con polinomios

Introducción

En una entrada anterior ya construimos el anillo de polinomios con coeficientes reales. Para hacer esto, tomamos las sucesiones que consisten casi de puros ceros, después les definimos las operaciones de suma y producto. Ahora practicaremos estos nuevos conceptos, resolviendo algunos problemas de operaciones con polinomios.

Problema de suma de polinomios

Comenzamos con un ejemplo de suma de polinomios del libro de Álgebra Superior de Bravo, Rincón y Rincón.

Ejercicio 399. Haz la suma de los siguientes polinomios:
\begin{align*}
p(x)&=(-85,0,-37,-35, 97, 50, \overline{0})\\
q(x)&=(56,49,0,57,\overline{0}).
\end{align*}

En el video se hace la suma de dos formas distintas. Primero, se hace la suma directamente de la definición, es decir, sumando los polinomios entrada a entrada como sucesiones. Después, se hace la suma en la notación de $x$ y potencias, que tal vez conozcas mejor.

Es importante entender que la notación de sucesiones sirve para establecer los fundamentos de los polinomios, pero no es práctica para hacer operaciones con polinomios concretas. Dependiendo del tipo de problema que se quiere resolver, a veces hay que usar una notación u otra.

Suma de polinomios

Problemas de producto de polinomios

A continuación se resuelven dos ejercicios de producto de polinomios.

Ejercicio. Multiplicar los polinomios $(2,0,3,\overline{0})$ y $(0,1,\overline{0})$.

En el video se hace la multiplicación usando directamente la definición, paso a paso. Sin embargo, los pasos para realizar la multiplicación se pueden realizar en una tabla, como la que usamos en entradas anteriores. Después del video ponemos la tabla correspondiente a la multiplicación.

Para hacer la multiplicación con una tabla, ponemos a las entradas del primer polinomio en la primer fila de una tabla, y a las del segundo polinomio en la primer columna de la tabla. Luego, hacemos las multiplicaciones «en cada casilla» como sigue:

$2$$0$$3$
$0$$0$$0$$0$
$1$$2$$0$$3$

De aquí, se puede leer el producto «por diagonales». La primer diagonal es $0$, la segunda $2+0=2$, la tercera $0+0=0$ y la cuarta $3$. Concluimos que el polinomio es $$(0,2,0,3,\overline{0}).$$

Veamos un ejemplo más, usando la notación de $x$ y sus potencias.

Ejercicio. Encuentra el producto de polinomios $(1+3x)(1-2x+3x^2)$.

Problema de división de polinomios

Finalmente, hacemos un ejemplo de división de polinomios. La técnica que se hace en el video es la de «dividir con casita», que es una forma visual de representar el algoritmo de la división para polinomios. Hablaremos un poco más adelante de este algoritmo, y de por qué siempre nos da un residuo cero o de grado menor.

Cuando se hace la «división con casita», hay que recordar dejar los espacios correspondientes a los términos que tengan coeficiente $0$.

Ejercicio. Divide el polinomio $x^5+x^3+3x$ entre el polinomio $x^2-x+1$.

División de polinomios

Tarea moral

Los siguientes ejercicios y problemas te ayudarán a reforzar lo aprendido en esta entrada.

  • Realiza la suma $(-10,0,3,-4,1,\overline{0})+(14,0,0,0,-5,0,3,\overline{0})$.
  • Realiza el producto $(-1,1,\overline{0})(1,1,1,1,\overline{0})$.
  • Realiza el producto $(x^3+4x^2-3)(2x^2+x-3)$.
  • Realiza la división $(x^5+3x^4+x^3+5x^2-5x+1)/(x^2+3x-1)$.
  • Realiza la división $(x^4+2x^3+2x^2+11x)/(x^2+3)$.

Más adelante

Aunque esta entrada la dedicamos para que pudieras practicar tus habilidades operando polinomios, te recomendamos seguir practicando, ya que estas operaciones serán la base de la teoría. A partir de aquí veremos los teoremas importantes sobre los polinomios.

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Álgebra Superior II: El anillo de polinomios con coeficientes reales

Introducción

Estamos listos para la cuarta y última parte del curso, en donde construiremos el anillo de polinomios con coeficientes reales. Los elementos de este anillo son polinomios, los cuales aparecen en numerosas áreas de las matemáticas. Tras su construcción, aprenderemos varias herramientas para trabajar con ellos.

En las tres primeras partes del curso ya trabajamos con otras estructuras algebraicas. Hasta ahora, hemos hablado de lo siguiente:

  • Naturales: Construimos a partir de teoría de conjuntos al conjunto $\mathbb{N}$ de números naturales, sus operaciones y orden. De lo más relevante es que dentro de los naturales podemos hacer definiciones por recursión y pruebas por indución.
  • Enteros: Con $\mathbb{N}$ construimos a los enteros $\mathbb{Z}$, sus operaciones y orden. Hablamos de divisibilidad y factorización. Esto dio pie a construir $\mathbb{Z}_n$, los enteros módulo $n$, junto con su aritmética. Aprendimos a resolver ecuaciones en $\mathbb{Z}$ y sistemas de congruencias.
  • Racionales y reales: Mencionamos brevemente cómo se construye $\mathbb{Q}$ a partir de $\mathbb{Z}$ y cómo se construye $\mathbb{R}$ a partir de $\mathbb{Q}$. Tanto $\mathbb{R}$ como $\mathbb{Q}$ son campos, así que ahí se pueden hacer sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.
  • Complejos: A partir de $\mathbb{R}$ construimos el campo $\mathbb{C}$ de los números complejos. Definimos suma, multiplicación, inversos, norma y conjugados. Luego, desarrollamos herramientas para resolver varios tipos de ecuaciones en $\mathbb{C}$. Finalmente, construimos las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.

Quizás a estas alturas del curso ya veas un patrón de cómo estamos trabajando. Aunque varias de estas estructuras ya las conocías desde antes, hay una primer parte importante que consiste en formalizar cómo se construyen. Luego, vimos cómo se definen las operaciones en cada estructura y qué propiedades tienen. Haremos algo muy parecido con los polinomios.

Intuición de los polinomios

La idea de esta entrada es llegar a los polinomios que ya conocemos, es decir, a expresiones como la siguiente: $$4+5x+\frac{7}{2}x^2-x^4+3x^5.$$ Lo que tenemos que formalizar es qué significa esa «x», y cómo le hacemos para sumar y multiplicar expresiones de este tipo.

Intuitivamente, lo que queremos ese que en la suma «se sumen términos del mismo grado» y que en el producto «se haga la distribución y se agrupen términos del mismo grado». Por ejemplo, queremos que la suma funcione así

\begin{align*}
(1+&x-x^2+3x^3)+(-7+3x+x^2+2x^3+x^4)\\
&=(1-7)+(1+3)x+(-1+1)x^2+(3+2)x^3+(0+1)x^4\\
&=-6+4x+0x^2+5x^4+x^4\\
&=-6+4x+5x^3+x^4,
\end{align*}

y que la multiplicación funcione así

\begin{align*}
(2&+3x)(5+x+x^2)\\
&=2(5+x+x^2)+3x(5+x+x^2)\\
&=(10+2x+2x^2)+(15x+3x^2+3x^3)\\
&=10+(2+15)x+(2+3)x^2+3x^3\\
&=10+17x+5x^2+3x^3.
\end{align*}

El exponente más grande de una $x$ puede ser tan grande como queramos, pero no se vale que los polinomios tengan una infinidad de términos. Así, queremos descartar cosas del estilo $$1+x+x^2+x^3+x^4+\ldots,$$ en donde sumamos indefinidamente.

Construcción de polinomios

Para construir polinomios formalmente, tenemos que elegir de dónde van a venir sus coeficientes. Puede ser $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{Z}$ o incluso $\mathbb{Z}_7$, digamos. Nosotros nos enfocaremos en construir los polinomios con coeficientes en $\mathbb{R}$, que tiene la ventaja de ser un campo. Algunas de las propiedades que probaremos se valen para cualquier elección de coeficientes, pero otras no. No profundizaremos en estas diferencias, pero es bueno que lo tengas en mente para tu formación matemática posterior.

Una buena idea para formalizar el concepto de polinomio, es notar que un polinomio está determinado por la lista de sus coeficientes, con esta idea en mente, podemos relacionar nuestra búsqueda con un concepto conocido de Cálculo.

Definición. Dado un conjunto $X$, una sucesión de elementos de $X$ es una función $a:\mathbb{N}\to X$. Para $n$ en $\mathbb{N}$, a $a(n)$ usualmente lo denotamos simplemente por $a_n$, y a la sucesión $a$ por $\{a_n\}$.

Definición. El soporte de una sucesión es el conjunto de naturales $n$ tales que $a_n\neq 0$.

Podemos «visualizar» los primeros términos de una sucesión así: $$(a_0, a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, \ldots),$$ en donde podemos poner tantos términos como queramos y los puntos suspensivos indican que «sigue y sigue». Por supuesto, usualmente esta visualización no puede guardar toda la información de la sucesión, pero puede ayudarnos a entenderla un poco mejor.

Ejemplo. Si tomamos la función identidad $\text{id}:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$, obtenemos la sucesión $$(0,1,2,3,4,5,6,7,\ldots).$$

Al tomar la función $a:\mathbb{N}\to \mathbb{Z}$ tal que $a_n=(-1)^n$, obtenemos la sucesión $$(1,-1,1,-1,1,-1,\ldots).$$

$\square$

Los polinomios son aquellas sucesiones de reales que «después de un punto tienen puros ceros».

Definición. Un polinomio con coeficientes reales es una sucesión $\{a_n\}$ de reales tal que $a_n\neq 0$ sólo para una cantidad finita de naturales $n$.

En otras palabras, un polinomio es una sucesión con soporte finito. Si visualizamos a un polinomio como una sucesión, entonces es de la forma $$(a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,\ldots),$$ en donde a partir de un punto ya tenemos puros ceros a la derecha. Por conveniencia, marcaremos ese punto con un $\overline{0}$.

Ejemplo. La sucesión $$\left(5,7,\frac{7}{2},0,-1,3,0,0,0,\ldots\right),$$ en la que después del $3$ ya todos los términos son ceros, representa a un polinomio. Con la convención de arriba, podemos escribirlo como $$\left(5,7,\frac{7}{2},0,-1,3,\overline{0}\right).$$ Su soporte consiste de aquellas posiciones en las que la sucesión no es cero, que son $0,1,2,4,5$.

La sucesión $$(1,-1,1,-1,1,-1,\ldots)$$ dada por $a_n=(-1)^n$ no es un polinomio, pues podemos encontrar una infinidad de términos no cero.

$\square$

Para que las definiciones de la siguiente sección te hagan sentido, puedes pensar de manera informal que la sucesión $$(a_0, a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, \ldots),$$ representa al polinomio $$a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5+\ldots.$$ La última condición en la definición de polinomio es la que garantiza que «tenemos un número finito de sumandos».

Definición. Definimos al conjunto de polinomios con coeficientes reales como $$\mathbb{R}[x]:=\{ p: p \text{ es polinomio con coeficientes reales}\}.$$

La igualdad de polinomios de define término a término, es decir.

Definición. Sean $a=\{a_n\}$ y $b=\{b_n\}$ en $\mathbb{R}[x]$. Decimos que $a=b$ si para todo natural se tiene $a_n=b_n$.

En las siguientes secciones definiremos las operaciones de suma y producto en $\mathbb{R}[x]$.

Suma y producto de polinomios

Los polinomios se suman «entrada a entrada».

Definición. Dados dos polinomios $a=\{a_n\}$ y $b=\{b_n\}$ en $\mathbb{R}[x]$, definimos su suma como el polinomio $$a+b:=\{a_n+b_n\},$$ o bien, en términos de sucesiones, como la sucesión $a+b:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$ tal que $(a+b)(n)=a(n)+b(n)$.

Observa que nos estamos apoyando en la suma en $\mathbb{R}$ para esta definición.

Ejemplo. Los polinomios $$\left(0,2,0,4,-1,\frac{2}{3},\overline{0}\right)$$ y $$\left(1,-2,-1,-4,-2,\overline{0}\right)$$ tienen como suma al polinomio $$\left(0+1,2-2,0-1,4-4,-1-2,\frac{2}{3}+0,0+0,\ldots\right),$$ que es $$\left(1,0,-1,0,-3,\frac{2}{3},\overline{0}\right).$$

$\square$

La suma de dos polinomios sí es un polinomio pues claramente es una sucesión, y su soporte se queda contenido en la union de los soportes de los sumandos.

La siguiente definición guarda la idea de que para multiplicar queremos distribuir sumandos y agrupar términos del mismo grado. Tiene sentido si piensas en la asociación intuitiva informal que discutimos al final de la sección anterior.

Definición. Dados dos polinomios $a=\{a_n\}$ y $b=\{b_n\}$ en $\mathbb{R}[x]$, definimos su producto como el polinomio $$ab:=\{c_n\},$$ en donde $c_n$ está dado por $$c_n:=\sum_{i+j=n} a_ib_j,$$ en otras palabras, $$c_n=a_0b_n+a_1b_{n-1}+\ldots+a_{n-1}b_1+a_nb_0.$$

Aquí nos estamos apoyando en la suma y producto en $\mathbb{R}$ para definir la multiplicación de polinomios.

Una forma práctica de hacer el producto es mediante una tabla. En la primer fila ponemos al primer polinomio y en la primer columna al segundo. Las entradas interiores son el producto de la fila y columna correspondiente. Una vez que hacemos esto, la entrada $c_j$ del producto es la suma de los elementos en la $j$-ésima «diagonal».

Ejemplo. Multipliquemos a los polinomios $$a=(3,-2,0,1,\overline{0})$$ y $$b=(0,2,7,\overline{0}).$$

Ponemos a $a$ y $b$ en la primer fila y columna respectivamente de la siguiente tabla:

$3$$-2$$0$$1$
$0$
$2$
$7$

Luego, en cada entrada interior de la tabla ponemos el producto de los coeficientes correspondientes:

$3$$-2$$0$$1$
$0$$3 \cdot 0$$-2 \cdot 0$$0\cdot 0$$1\cdot 0$
$2$$3 \cdot 2$$-2 \cdot 2$$0\cdot 2$$1\cdot 2$
$7$$3 \cdot 7$$-2 \cdot 7$$0\cdot 7$$1\cdot 7$

Después, hacemos las operaciones:

$3$$-2$$0$$1$
$0$$0$$0$$0$$0$
$2$$6$$-4$$0$$2$
$3$$21$$-14$$0$$7$

Finalmente, para encontrar el coeficiente $c_j$ del producto, hacemos la suma de las entradas en la $j$-ésima diagonal dentro de la tabla, es decir:
\begin{align*}
c_0&=0\\
c_1&=6+0=6\\
c_2&=21-4+0=17\\
c_3&=-14+0+0=-14\\
c_4&=0+2=2\\
c_5&=7.
\end{align*}

De esta forma, el polinomio producto es $$(0,6,17,-14,2,7,\overline{0}).$$ Es muy recomendable que notes que esto coincide con el producto (por ahora informal) \begin{align*}(3-&2x+x^3)(2x+7x^2)\\&=6x+17x^2-14x^3+2x^4+7x^5.\end{align*}

$\square$

El anillo de polinomios con coeficientes reales

Los polinomios y los enteros se parecen, en el sentido de que como estructura algebraica comparten muchas propiedades. La idea de esta sección es formalizar esta afirmación.

Teorema. El conjunto $\mathbb{R}[x]$ con las operaciones de suma y producto arriba definidos forman un anillo.

Demostración. Por una parte, tenemos que mostrar que la suma es asociativa, conmutativa, que tiene neutro e inversos aditivos. Por otra parte, tenemos que mostrar que el producto es asociativo. Finalmente, tenemos que mostrar que se vale la ley distributiva.

Tomemos dos polinomios $a=\{a_n\}$, $b=\{b_n\}$ y un natural $n$. El término $n$ de $a+b$ es $a_n+b_n$ y el de $b+a$ es $b_n+a_n$, que son iguales por la conmutatividad de la suma en $\mathbb{R}$. De manera similar, se muestra que la suma es asociativa.

El polinomio $(\overline{0})$ es la identidad de la suma. Esto es sencillo de mostrar y se queda como tarea moral. Además, si $a=\{a_n\}$ es un polinomio, entonces $\{-a_n\}$ es una sucesión con el mismo soporte (y por lo tanto finito), que cumple que $$\{a_n\}+\{-a_n\}=(0,0,0,\ldots)=(\overline{0}),$$ así que la suma tiene inversos aditivos.

Ahora probemos la asociatividad del producto. Tomemos tres polinomios $a=\{a_n\}$, $b=\{b_n\}$, $c=\{c_n\}$ y un natural $n$. Hagamos el producto $(ab)c$. Para cada $i$, el $i$-ésimo término de $ab$ es un cierto $d_i$ dado por $$d_i = \sum_{k+l=i} a_k b_l.$$ El $n$-ésimo término de $(ab)c$ es entonces
\begin{align*}
\sum_{i+j=n}d_ic_j &= \sum_{i+j=n}\sum_{k+l=i} a_kb_lc_j\\
&=\sum_{k+l+j=n}a_kb_lc_j.
\end{align*}

Un argumento análogo muestra que el $n$-esimo término de $a(bc)$ es también \begin{align*}
\sum_{k+l+j=n}a_kb_lc_j,
\end{align*}

lo cual muestra que la multiplicación es asociativa.

Lo último que nos queda por probar es la ley distributiva. Tomemos tres polinomios $a=\{a_n\}$, $b=\{b_n\}$, $c=\{c_n\}$ y un natural $n$. Usamos las propiedades de las operaciones en $\mathbb{R}$ para ver que el $n$-ésimo término de $a(b+c)$ es
\begin{align*}
\sum_{i+j=n} a_i(b_j+c_j)&=\sum_{i+j=n} (a_ib_j+ a_i c_j)\\
&=\sum_{i+j=n} a_ib_j + \sum_{i+j=n} a_ic_j.
\end{align*}

A la derecha tenemos el $n$-ésimo término de $ab$ sumado con el $n$-ésimo término de $ac$, así que coincide con el $n$-ésimo término de la suma $ab+ac$. Esto muestra que $a(b+c)$ y $ab+ac$ son iguales término a término y por lo tanto son iguales como polinomios.

$\square$

Como de costumbre, al inverso aditivo de un polinomio $a$ le llamamos $-a$, y definimos $a-b:=a+(-b)$.

Proposición. La multiplicación en $\mathbb{R}[x]$ es conmutativa.

Demostración. Tomemos dos polinomios $a=\{a_n\}$ y $b=\{b_n\}$. Tenemos que ver que $ab$ y $ba$ son iguales término a término. Tomemos entonces un natural $n$. El término $c_n$ de $ab$ es $$c_n=\sum_{i+j=n} a_ib_j,$$ y el término $d_n$ de $ba$ es $$d_n=\sum_{i+j=n} b_ia_j.$$ Por la conmutatividad de la suma y el producto en $\mathbb{R}$, tenemos que $c_n=d_n$.

$\square$

Proposición. La multiplicación en $\mathbb{R}[x]$ tiene identidad.

Demostración. El polinomio $(1,\overline{0})$ es la identidad multiplicativa. Esto es sencillo de mostrar y se queda como tarea moral.

$\square$

Proposición. Si $a$ y $b$ son polinomios en $\mathbb{R}[x]$ distintos del polinomio $(\overline{0})$, entonces su producto también.

Demostración. Para ello, tomemos el mayor natural $m$ tal que $a_m\neq 0$ y el mayor natural $n$ tal que $b_n\neq 0$. Estos existen pues $a$ y $b$ no son el polinomio $(\overline{0})$, y su soporte es finito.

Cualquier pareja de naturales $k$ y $l$ tales que $k+l=m+n$ con $k\leq m-1$ cumple $l\geq n+1.$ Así, si $k+l=m+n$ tenemos que:

  • Si $k\leq m-1$, entonces $b_l=0$ y por lo tanto $a_kb_l=0$
  • Si $k\geq m+1$, entonces $a_k=0$ y por lo tanto $a_kb_l=0$
  • Finalmente, si $k=m$, entonces $l=n$ y $$a_kb_l=a_mb_n\neq 0.$$

De esta forma, el $(m+n)$-ésimo término de $ab$ es $$\sum_{k+l=m+n} a_k b_l=a_mb_n\neq 0,$$ de modo que $ab$ no es el polinomio $(\overline{0})$.

$\square$

Corolario. En $\mathbb{R}[x]$ se vale la regla de cancelación, es decir, si $a,b,c$ son polinomios, $a\neq 0$ y $ab=ac$, entonces $b=c$.

Demostración. De la igualdad $ab=ac$ obtenemos la igualdad $a(b-c)=0$. Como $a\neq 0$, por la proposición anterior debemos tener $b-c=0$, es decir, $b=c$.

$\square$

A un anillo conmutativo cuya multiplicación tiene identidad y en donde se vale la regla de cancelación se le conoce como un dominio entero.

Teorema. El anillo $\mathbb{R}[x]$ es un dominio entero.

Con esto terminamos la construcción de $\mathbb{R}[x]$ y de sus operaciones. Cuando trabajamos con los polinomios de manera práctica resulta engorroso mantener esta notación de sucesiones. En la siguiente entrada justificaremos el uso de la notación «usual» de los polinomios, en la que usamos la letra «x» y exponentes.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios y problemas te ayudarán a reforzar lo aprendido en esta entrada.

  • Justifica por qué el soporte del producto de dos polinomios es finito.
  • Muestra que la suma en $\mathbb{R}[x]$ es asociativa.
  • Verifica que el polinomio $(\overline{0})$ es la identidad aditiva en $\mathbb{R}[x]$.
  • Verifica que el polinomio $(1,\overline{0})$ es la identidad multiplicativa en $\mathbb{R}[x]$.
  • Considera los polinomios $a=\left(\frac{1}{3},4,\frac{5}{7},8,\overline{0}\right)$ y $b=\left(0,0,\frac{2}{5},\frac{3}{4},\overline{0}\right)$. Determina $a+b$ y $a\cdot b$.

Más adelante

Ya que definimos el anillo de polinomios con coeficientes en los reales, y sus operaciones, el siguiente paso que haremos será practicar como operar polinomios.

Después de esto empezaremos a desarrollar la teoría sobre los polinomios. Como ya hemos mencionado, y como te podrás dar cuenta en las siguientes entradas, esta teoría será muy similar a la que desarrollamos para los números enteros cuando vimos los temas de teoría de números.

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Álgebra Superior II: Norma y distancia en los complejos

Introducción a norma en los complejos

Ya definimos a $\mathbb{C}$ y sus operaciones. También definimos y dimos las propiedades de la conjugación compleja. Ahora hablaremos de la norma en los números complejos.

Definición. Dado el número complejo $w=a+bi$, su norma es $\sqrt{a^2+b^2}$. Denotamos a la norma de $w$ por $\Vert w \Vert$.

Ejemplo. La norma del complejo $\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i$ es $$\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt 2}\right)^2+ \left(\frac{1}{\sqrt 2}\right)^2}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)}=\sqrt{1}=1.$$ La norma del complejo $-3i$ es $$\sqrt{0^2+(-3)^2}=\sqrt{9}=3.$$

$\square$

Cuando pensamos a los números complejos como elementos del plano, identificando al complejo $a+bi$ con el punto $(a,b)$, la norma es una forma de medir qué tan alejado está del origen.

A partir de la noción de norma podemos definir la noción de distancia, que dice qué tan lejos están dos complejos entre sí.

Definición. Para dos números complejos $w$ y $z$ definimos la distancia entre $w$ y $z$ como la norma de $w-z$, es decir, $\Vert w-z\Vert$. La denotamos por $d(w, z)$

Propiedades básicas de la norma en los complejos

La norma en los complejos está relacionada con otras operaciones definidas como sigue:

Teorema 1. Sean $w$ y $z$ números complejos. Entonces:

  1. La norma es la raíz del producto de un complejo por su conjugado, es decir, $\Vert z \Vert = \sqrt{z\overline{z}}.$
  2. $\Vert z \Vert$ es un número real no negativo.
  3. $\Vert z \Vert = 0$ si y sólo si $z=0$.
  4. La norma es multiplicativa, es decir, $\Vert zw \Vert = \Vert z \Vert \Vert w \Vert$.

Demostración. Si $z=a+ib$, entonces $\overline{z}=a-ib$, y por lo tanto

\begin{align*}
\sqrt{z\overline{z}}&=\sqrt{a^2-(ib)^2}\\
&=\sqrt{a^2+b^2}\\
&=\Vert z \Vert.
\end{align*}

La norma de $z=a+ib$ es la suma del cuadrado de dos reales. Cada uno de ellos es no negativo, así que esa suma es no negativa. De este modo, al sacar raíz cuadrada obtenemos un número real y no negativo. Para que este número sea cero, necesitamos que $a^2=b^2=0$, es decir, que $a=b=0$, lo cual sucede justo cuando $z=0$.

Para mostrar la última propiedad, se pueden tomar dos números complejos explícitos y hacer las cuentas. Sin embargo, también podemos probarla usando la primer propiedad y la conmutatividad del producto, de números complejos, como sigue:

$$\Vert zw \Vert ^2= zw\overline{zw} = z\overline{z} w\overline{w}= \Vert z \Vert^2 \Vert w \Vert ^2.$$

Sacando raíz cuadrada de ambos lados obtenemos el resultado deseado.

$\square$

Ejercicios que usan las propiedades básicas

Veamos algunas formas en las que podemos usar las propiedades anteriores, de la norma, en los complejos.

Ejercicio. Muestra que $z$ y $\overline{z}$ tienen la misma norma.

Solución. Usando que $\overline{\overline{z}}=z$, la propiedad 1 del Teorema 1 y la conmutatividad del producto en $\mathbb{C}$ tenemos que $$\Vert \overline{z}\Vert = \sqrt{\overline{z}z}=\sqrt{z\overline{z}} = \Vert z \Vert.$$

$\square$

El siguiente es un corolario de la propiedad 4 del Teorema 1, que se puede mostrar usando inducción. La prueba de este corolario se deja como tarea moral.

Corolario. Para $z$ un complejo y $n$ un natural, se tiene que $$\Vert z^n \Vert = \Vert z \Vert ^n.$$

Ejercicio. Determina la norma del complejo $$\left(3+4i\right)^{20}.$$

Solución. Tomemos $u=3+4i$. El problema nos pide determinar $\Vert u^{20} \Vert$. Una forma de hacerlo es realizar primero la operación $u^{20}$, pero esto parece ser complicado. En vez de eso, usamos el Corolario anterior. Para ello, notamos que $$\Vert u \Vert = \sqrt{3^2+4^2}= \sqrt{25}=5.$$

De este forma, por el corolario, la norma que buscamos es $$\Vert u^{20} \Vert = \Vert u \Vert ^{20}= 5^{20}.$$

$\square$

Ejercicio. Sea $z$ un número complejo. Muestra que los siguientes números complejos tienen la misma norma: $$z, -z, iz, -iz.$$

Solución. Se sigue de la propiedad $4$ del Teorema 1 y de que $$\Vert -1 \Vert = \Vert i \Vert = \Vert -i \Vert = 1.$$

$\square$

Ejercicio. Muestra que para un número real, $r$, su norma compleja coincide con su valor absoluto.

Solución. Usando la propiedad 1 del Teorema 1 y que $\overline{r}=r$, tenemos que $$\Vert r \Vert = \sqrt{\overline{r}r}=\sqrt{r^2}=|r|.$$

$\square$

La desigualdad del triángulo

¿Cómo se comporta la norma con la suma de los complejos? Lo responderemos en esta sección. Pero antes, de pasar al teorema 2 que contiene la respuesta, veamos un pequeño resultado auxiliar.

Lema. Si $z$ es un número complejo, entonces $|\text{Re}(z)| \leq \Vert z \Vert$ y $|\text{Im}(z)|\leq \Vert z \Vert$. La primer igualdad se da si y sólo si $z$ es un número real y la segunda si y sólo si $z$ es un número imaginario puro, es decir, si su parte real es $0$.

Demostración. Tomemos $z=a+ib$. Tenemos que $a^2\leq a^2+b^2$, de modo que sacando raíces cuadradas tenemos que $$|\text{Re}(z)| = |a| = \sqrt{a^2}\leq \sqrt{a^2+b^2}=\Vert z \Vert.$$ La igualdad se da si y sólo si $b=0$, lo cual sucede si y sólo si $z$ es real.

$\square$

La demostración de la segunda parte es análoga, y queda como tarea moral.

Teorema 2 (desigualdad del triángulo). Para dos números complejos $w$ y $z$ se tiene que $$\Vert w+z \Vert \leq \Vert w \Vert + \Vert z \Vert.$$ La igualdad se da si y sólo si $w$ es un múltiplo real de $z$, es decir, si y sólo si existe un real $r$ tal que $w=rz$.

Demostración. Tenemos que:
\begin{align*}
\Vert w+z \Vert^2 &= (w+z)\overline{(w+z)}\\
&=(w\overline{w}+w\overline{z}+\overline{w}z+z\overline{z})\\
&=\Vert w \Vert^2 + 2\text{Re}(w\overline{z}) + \Vert z \Vert^2.
\end{align*}

Podemos continuar usando la desigualdad del Lema anterior (notemos que se obtiene la igualdad si y sólo si $w\overline{z}$ es real)

\begin{align*}
&\leq \Vert w \Vert^2 + 2\Vert w\overline{z}\Vert + \Vert z \Vert^2\\
&=\Vert w \Vert ^2 + 2 \Vert w \Vert \Vert z \Vert + \vert z \Vert^2\\
&=\left(\Vert w \Vert + \Vert z \Vert \right)^2.
\end{align*}

Esta cadena de desigualdades se resume a $$ \Vert w+z \Vert^2 \leq \left(\Vert w \Vert + \Vert z \Vert \right)^2, $$ de donde sacando raíz cuadrada en ambos lados, obtenemos lo deseado.

Como observamos durante la demostración, la igualdad se da si y sólo si $w\overline{z}$ es un número real, es decir, si y sólo si existe un real $s$ tal que $w\overline{z}=s$. Multiplicando por $z$ de ambos lados, obtenemos que $$w\Vert z \Vert^2 = sz.$$ Si $z=0$, entonces $w=0$ y por lo tanto $w$ es trivialmente un múltiplo real de $z$. Si $z\neq 0$, entonces $w=\frac{s}{\Vert z \Vert ^2}\cdot z$ también es un múltiplo real de $z$, con $r=\frac{s}{\Vert z \Vert ^2}$. Esto termina el análisis, de los casos, de la igualdad.

$\square$

Propiedades de la distancia

En la introducción definimos la distancia entre dos números complejos $w$ y $z$ como la norma de $w-z$, en símbolos, $d(w,z)=\Vert w-z \Vert$. Para formalizar ideas veamos la siguiente definición.

Definición. Sea $X$ un conjunto y $e: X\times X\rightarrow \mathbb{R}^{+}\cup \lbrace 0\rbrace$ una función, $e$ es una métrica en $X$ si, para todo $x$, $y$ y $z\in X$, satisface que:

  1. $e(x, y)\geq 0$.
  2. $e(x, y)=0$ si, y sólo si, $x=y$.
  3. $e(x, y)=e(y, x)$.
  4. $e(x, y)\leq e(x, z) + e(y, z).$

Observa que a partir de los teoremas 1 y 2, la distancia $d$ cumple las propiedades de esta definición, por lo que decimos que $d$ es una métrica en $\mathbb{C}$. Así tenemos el siguiente teorema.

Teorema 3. Sean $w$ y $z$ dos números complejos cualesquiera y $d(w, z)=\vert\vert w- z\vert\vert$. Entonces $d$ es una métrica en $\mathbb{C}$.

Demostrar este teorema es sencillo a partir de lo que ya vimos, así que su demostración queda como tarea moral.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios y problemas te ayudarán a reforzar lo aprendido en esta entrada.

  • Muestra la propiedad 4 del Teorema 1 usando de manera explícita las partes reales e imaginarias de los complejos $z$ y $w$.
  • Demuestra el corolario de normas de potencias de complejos.
  • Determina la norma del complejo $(12-5i)^{10}$.
  • Determina la norma del complejo $(1+2i)(-3+4i)(5-6i)(-7-8i)$.
  • Demuestra la segunda parte del Lema.
  • Demuestra el Teorema 3.
  • Sean $w=(3+4i)(5-i)$ y $z=(5-i)(4+2i)$. Determina $d(w,z)$.