Introducción
Como lo dijimos en la entrada anterior, buscamos la manera de definir a la suma en el conjunto de los naturales y esto nos lo permitirá el teorema de recursión. En esta nueva entrada presentaremos la definición formal de la suma y demostraremos algunas de las propiedades que satisface.
Suma de naturales
El teorema de recursión nos garantiza que la siguiente definición es correcta.
Definición. Dado $n\in \mathbb{N}$ fijo pero arbitrario, la función sumar $n$ es la una única función $f_n:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tal que $f_n(0)=n$ y $f_n(s(m))=s(f_n(m))$ para cualquier $m\in \mathbb{N}$.
Está definición nos dice cómo sumar a un número natural con un $n$ fijo. Sin embargo, usualmente entendemos a la suma como una operación binaria, que toma dos sumandos y nos da un resultado. A continuación hacemos esto.
Definición. Definimos a la suma de los naturales como la función $+: \mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tal que $+(m,n)=f_m(n)$ para cualesquiera $n,m\in \mathbb{N}$. Definimos también la notación $m+n:=+(m,n)$.
Como la función $+$ está basada en las funciones $f_n$, obtenemos de manera inmediata que se satisfacen las siguientes propiedades:
- $0+n=n$ para cualquier $n\in \mathbb{N}$,
- $s(m)+n=s(m+n)$ para cualesquiera $m,n\in \mathbb{N}$.
¿Habrá otra función que satisfaga esto?
Teorema. La función $+$ es la única función de $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ en $\mathbb{N}$ que satisface las propiedades 1) y 2) de arriba.
Demostración.
Sea $+$ la función que definimos arriba y supongamos que existe $h:\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ que satisface $h(0,n)=n$ y $h(s(m), n)= s(h(m,n))$ para cualesquiera $m,n\in \mathbb{N}$. Veamos que $+=h$.
Definamos para cada $n\in\mathbb{N}$ la función $h_n:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ por medio de $h_n(0)=h(n,0)$ y $h_n(m)=h(n,m)$. Notemos que para todo $n\in\mathbb{N}$, $h_n(0)=n$ y $h_n(s(m))=h(n,s(m))=s(h(n,m))=s(h_{n}(m))$, y por el teorema de recursión se sigue que $h_n=f_n$.
Así, para $n,m\in\mathbb{N}$ arbitrarios, $+(m,n)=f_n(m)=h_n(m)=h(n,m)$ y en consecuencia, $+=h$.
$\square$
Dado que seguimos trabajando con conjuntos y hemos definido una nueva operación binaria, podemos preguntarnos si esta operación conmuta, es asociativa o si cumple alguna otra propiedad algebraica. Notaremos que para demostrar estas propiedades ocuparemos en todo momento el principio de inducción.
Asociatividad de la suma
Teorema. Para cualesquiera $m,n,k\in \mathbb{N}$, se tiene que $m+(n+k)=(m+n)+k$.
Demostración.
Procederemos por inducción sobre $m$ y dejaremos fijos a $n$ y $k$.
Base de inducción. Si $m=0$, $0+(n+k)=n+k=(0+n)+k$.
Hipótesis de inducción. Supongamos que se cumple para $m$, es decir, $m+(n+k)= (m+n)+k$.
Paso inductivo. Veamos que se cumple para $s(m)$, es decir, $s(m)+(n+k)=(s(m)+n)+k$.
\begin{align*}
s(m)+(n+k)&=s(m+(n+k)) \tag{Definición $+$}\\
&= s((m+n)+k) \tag{Hipótesis de inducción}\\
&= s(m+n)+k\tag{Definición $+$}\\
&= (s(m)+n)+k\tag{Definición $+$}.
\end{align*}
Por lo tanto, $+$ es asociativa.
$\square$
Conmutatividad de la suma
Ahora vamos a ver que la suma conmuta, para ello demostraremos los siguientes lemas:
Lema 1. Para cualquier $m\in \mathbb{N}$, se tiene que $0+m=m+0$.
Demostración.
Procederemos por inducción sobre $m$.
Base de inducción. Si $m=0$, tenemos que $0+0=0=0+0$.
Hipótesis de inducción. Supongamos que para algún $k\in \mathbb{N}$ se satisface que $0+k=k+0$.
Paso de inductivo. Veamos que se cumple para $s(k)$, es decir, $0+s(k)=s(k)+0$.
\begin{align*}
s(k)+0 &=s(k+0)\tag{Definición $+$}\\
&= s(0+k)\tag{Hipótesis de inducción}\\
&= s(k)\tag{Definición $+$}\\
&= 0+s(k)\tag{Definición $+$}.
\end{align*}
Por lo tanto, $0+m=m+0$, para cualquier $m\in \mathbb{N}$.
$\square$
Lema 2. Para cualesquiera $m,n\in \mathbb{N}$, se tiene que $s(n)+m=n+s(m)$.
Demostración.
Procederemos por inducción sobre $m$.
Base de inducción. Si $n=0$, tenemos que $s(0)+m=s(0+m)= s(m)=0+s(m)$.
Hipótesis de inducción. Supongamos que para algún $k\in \mathbb{N}$ se satisface que $s(k)+m=k+s(m)$.
Paso de inductivo. Veamos que se cumple para $s(k)$, es decir, $s(s(k))+m=s(k)+s(m)$.
\begin{align*}
s(s(k))+m &=s(s(k)+m) \tag{Definición $+$}\\
&= s(k+s(m)) \tag{Hipótesis de Inducción}\\
&= s(k)+s(m) \tag{Definición $+$}.
\end{align*}
Por lo tanto, para cualesquiera $m,n\in \mathbb{N}$, se tiene que $s(n)+m=n+s(m)$.
$\square$
Proposición. Para cualesquiera $m,n\in \mathbb{N}$, se tiened que $n+m=m+n$.
Demostración.
Por inducción sobre $m$.
Base de inducción. Si $m=0$, entonces $n+0=0+n$. (Lo probamos por inducción en el primer lema 1).
Hipótesis de inducción. Supongamos que para $k$ se cumple que $n+k=k+n$.
Paso inductivo. Veamos que para $s(k)$ se satisface que $n+s(k)= s(k)+n$.
\begin{align*}
s(k)+n&= s(k+n)\tag{Definición $+$}\\
&= s(n+k)\tag{Hipótesis de Inducción}\\
&= s(n)+k\tag{Definición $+$}\\
&= n+s(k)\tag{Lema 2}.
\end{align*}
Por lo tanto, $+$ es conmutativa.
$\square$
Ley de cancelación
En álgebra, cuando tenemos una ecuación como la siguiente:
$x+5=y+5$,
dado que $5=5$, entonces ponemos $x=y$. Esto tiene una justificación y la llamaremos ley de cancelación de la suma. El teorema dice lo siguiente:
Teorema. Si se tienen números naturales $n,m,k$ tales que $n+k=m+k$, entonces $n=m$.
Demostración.
Demostraremos que si $n\not=m$, entonces $n+k\not=m+k$. Procederemos por inducción sobre $k$.
Base de inducción. Supongamos que $n\not=m$. Luego, $n+0=0+n=n$ y $m+0=0+m=m$ y así, $n+0=n\not=m=m+0$.
Hipótesis de inducción. Supongamos que para algún $k\in \mathbb{N}$, se satisface que si $n\not=m$, entonces $n+k\not=m+k$.
Paso inductivo. Veamos que se cumple para $s(k)$, es decir, si $n\not=m$, entonces $n+s(k)\not=m+s(k)$.
Supongamos que $n\not=m$. Luego,
\begin{align*}
n+s(k)&= s(n)+k\tag{Lema 2}\\
&= s(n+k)\tag{Definición $+$}\\
&\not= s(m+k)\tag{Hipótesis de inducción e inyectividad de $s$}\\
&= s(m)+k\tag{Definición $+$}\\
&= m+s(k)\tag{Lema 2}.
\end{align*}
Por lo tanto, se cumple la ley de cancelación para la suma.
$\square$
Como último resultado de esta entrada, probaremos que $s(m)=m+1$ para cualquier $m\in \mathbb{N}$.
Teorema. Para cualquier $m\in \mathbb{N}$, se tiene que $s(m)=m+1$.
Demostración.
Procederemos por inducción sobre $m$.
Base de inducción. Si $m=0$, entonces $s(0)=1=0+1$.
Hipótesis de inducción. Supongamos que para $k\in \mathbb{N}$ se cumple que $s(k)=k+1$.
Paso inductivo. Veamos que la propiedad se satisface para $s(k)$, es decir, $s(s(k))= s(k)+1$.
\begin{align*}
s(k)+1&= s(k+1)\tag{Definición $+$}\\
&= s(s(k))\tag{Hipótesis de inducción}.
\end{align*}
Por lo tanto, $s(m)=m+1$ para cualquier $m\in \mathbb{N}$.
$\square$
A partir de este momento usaremos el hecho de que $s(m)=m+1$.
Tarea moral
La siguiente lista de ejercicios te permitirá reforzar el contenido de esta entrada.
- Verifica totalmente a partir de las definiciones que $2+2=4$.
- Reflexiona sobre por qué sí se tiene que usar inducción para demostrar que $n+0=n$ para todo número natural $n$, pero no es necesario usar inducción para demostrar que $0+n=n$ para todo número natural $n$.
- Demuestra que si $n,m\in \mathbb{N}$ tales que $n\not=m$, entonces $s(n)\not= s(m)$.
- Demuestra usando el principio de inducción que para cualesquiera $m, n \in \mathbb{N}$, se tiene que $m + n \geq n$.
- Prueba que para cualesquiera $m,n\in \mathbb{N}$ tales que $m+n=0$, se cumple que $m=0$ y $n=0$.
- Demuestra usando únicamente las definiciones dadas que no existe un entero $n$ tal que $4+n = 2$.
Más adelante…
En la siguiente entrada definiremos al producto en el conjunto de los números naturales. Al igual que en la definición de la suma, podremos notar que usaremos un proceso recursivo para definir esta operación.
Entradas relacionadas
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Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»