Teoría de los Conjuntos I: Suma en los naturales

Por Gabriela Hernández Aguilar

Introducción

Como lo dijimos en la entrada anterior buscamos la manera de definir a la suma en el conjunto de los naturales y esto nos lo permitirá el teorema de recursión. En esta nueva entrada presentaremos la definición formal de la suma y demostraremos algunas de las propiedades que satisface.

Suma

Definición. Dado $n\in \mathbb{N}$ fijo pero arbitrario y $g:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ dada por $g(m)=s(m)$ para cualquier $m\in \mathbb{N}$, existe una única función (esto lo podemos asegurar por el teorema de recursión) tal que $f_n(0)=n$ y $f_n(s(k))=g(f_n(k))=s(f_n(k))$ para cualquier $k\in \mathbb{N}$.

Está definición nos dice como sumar a un número natural con un $n$ fijo, por lo que requerimos definir una operación binaria que nos diga como sumar a dos números naturales cualesquiera.

Definición. Sea $g:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ dada por $g(m)=s(m)$ para cualquier $m\in \mathbb{N}$. Definimos a la suma de los naturales como la función $+: \mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tal que $+(m,n)=m+n=f_n(m)$ para cualesquiera $n,m\in \mathbb{N}$.

La función $+$ satisface las siguientes condiciones:

  1. $0+n=n$ para cualquier $n\in \mathbb{N}$,
  2. $s(m)+n=s(m+n)$ para cualesquiera $m,n\in \mathbb{N}$.

Esto último se sigue de que $+(m,n)=f_n(m)$ y $f_n$ satisface tales condiciones.

Teorema. La función $+$ es única.

Demostración.

Sea $+$ la función que definimos arriba y supongamos que existe $h:\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ que satisface $h(0,n)=n$ y $h(s(m), n)= s(h(m,n))$. Veamos que $+=h$.

Definamos para cada $n\in\mathbb{N}$ la función $h_n:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ por medio de $h_n(0)=h(0,n)$ y $h_n(m)=h(m,n)$. Notemos que para todo $n\in\mathbb{N}$, $h_n(0)=n$ y $h_n(s(m))=h(s(m),n)=s(h(m,n))=s(h_{n}(m))$, y por el teorema de recursión se sigue que $h_n=f_n$.

Así, para $n,m\in\mathbb{N}$ arbitrarios, $+(m,n)=f_n(m)=h_n(m)=h(m,n)$ y en consecuencia, $+=h$.

$\square$

Dado que seguimos trabajando con conjuntos y hemos definido una nueva operación binaria, podemos preguntarnos si esta operación conmuta, es asociativa o si cumple alguna otra propiedad tal como lo hace el producto cartesiano. Notaremos que para demostrar estas propiedades ocuparemos en todo momento el principio de inducción.

Asociatividad de la suma

Teorema. Para cualesquier $m,n,k\in \mathbb{N}$, $m+(n+k)=(m+n)+k$.

Demostración.

Procederemos por inducción sobre $m$ y dejaremos fijos a $n$ y $k$.

Base de inducción. Si $m=0$, $0+(n+k)=n+k=(0+n)+k$.

Hipótesis de inducción. Supongamos que se cumple para $m$, es decir, $m+(n+k)= (m+n)+k$.

Paso inductivo. Veamos que se cumple para $s(m)$, es decir, $s(m)+(n+k)=(s(m)+n)+k$.

\begin{align*}
s(m)+(n+k)&=s(m+(n+k)) \tag{Definición $+$}\\
&= s((m+n)+k) \tag{Hipótesis de inducción}\\
&= s(m+n)+k\tag{Definición $+$}\\
&= (s(m)+n)+k\tag{Definición $+$}.
\end{align*}

Por lo tanto, $+$ es asociativa.

$\square$

Conmutatividad de la suma

Ahora vamos a ver que la suma conmuta, para ello demostraremos los siguientes lemas:

Lema 1. Para cualquier $m\in \mathbb{N}$, $0+m=m+0$.

Demostración.

Procederemos por inducción sobre $n$.

Base de inducción. Si $m=0$, tenemos que $0+0=0+0$.

Hipótesis de inducción. Supongamos que para algún $k\in \mathbb{N}$ se satisface que $0+k=k+0$.

Paso de inductivo. Veamos que se cumple para $s(k)$, es decir, $0+s(k)=s(k)+0$.

\begin{align*}
s(k)+0 &=s(k+0)\tag{Definición $+$}\\
&= s(0+k)\tag{Hipótesis de inducción}\\
&= s(k)\tag{Definición $+$}\\
&= 0+s(k)\tag{Definición $+$}.
\end{align*}

Por lo tanto, $0+m=m+0$, para cualquier $m\in \mathbb{N}$.

$\square$

Lema 2. Para cualesquiera $m,n\in \mathbb{N}$, $s(n)+m=n+s(m)$.

Demostración.

Procederemos por inducción sobre $m$.

Base de inducción. Si $n=0$, tenemos que $s(0)+m=s(0+m)= s(m)=0+s(m)$.

Hipótesis de inducción. Supongamos que para algún $k\in \mathbb{N}$ se satisface que $s(k)+m=k+s(m)$.

Paso de inductivo. Veamos que se cumple para $s(k)$, es decir, $s(s(k))+m=s(k)+s(m)$.

\begin{align*}
s(s(k))+m &=s(s(k)+m) \tag{Definición $+$}\\
&= s(k+s(m)) \tag{Hipótesis de Inducción}\\
&= s(k)+s(m) \tag{Definición $+$}.
\end{align*}

Por lo tanto, para cualesquiera $m,n\in \mathbb{N}$, $s(n)+m=n+s(m)$.

$\square$

Proposición. Para cualesquiera $m,n\in \mathbb{N}$, $n+m=m+n$.

Demostración.

Por inducción sobre $m$.

Base de inducción. Si $m=0$, entonces $n+0=0+n$. (Lo probamos por inducción en el primer lema 1).

Hipótesis de inducción. Supongamos que para $k$ se cumple que $n+k=k+n$.

Paso inductivo. Veamos que para $s(k)$ se satisface que $n+s(k)= s(k)+n$.

\begin{align*}
s(k)+n&= s(k+n)\tag{Definición $+$}\\
&= s(n+k)\tag{Hipótesis de Inducción}\\
&= s(n)+k\tag{Definición $+$}\\
&= n+s(k)\tag{Lema 2}.
\end{align*}

Por lo tanto, $+$ es conmutativa.

$\square$

Ley de cancelación

En álgebra, cuando tenemos una ecuación como la siguiente:

$x+5=y+5$,

dado que $5=5$, entonces ponemos $x=y$, esto tiene una justificación y la llamaremos ley de cancelación de la suma. El teorema dice lo siguiente:

Teorema. Si $n+k=m+k$, entonces $n=m$.

Demostración.

Demostraremos que si $n\not=m$, entonces $n+k\not=m+k$. Procederemos por inducción sobre $k$.

Base de inducción. Supongamos que $n\not=m$. Luego, $n+0=0+n=n$ y $m+0=0+m=m$ y así, $n+0=n\not=m=m+0$.

Hipótesis de inducción. Supongamos que para algún $k\in \mathbb{N}$, se satisface que si $n\not=m$, entonces $n+k\not=m+k$.

Paso inductivo. Veamos que se cumple para $s(k)$, es decir, si $n\not=m$, entonces $n+s(k)\not=m+s(k)$.

Supongamos que $n\not=m$. Luego,

\begin{align*}
n+s(k)&= s(n)+k\tag{Lema 2}\\
&= s(n+k)\tag{Definición $+$}\\
&\not= s(m+k)\tag{Hipótesis de inducción}\\
&= s(m)+k\tag{Definición $+$}\\
&= m+s(k)\tag{Lema 2}.
\end{align*}

Por lo tanto, se cumple la ley de cancelación para la suma.

$\square$

A continuación probaremos un resultado que podría parecer natural para todos, $s(m)=m+1$ para cualquier $m\in \mathbb{N}$.

Teorema. Para cualquier $m\in \mathbb{N}$, $s(m)=m+1$.

Demostración.

Procederemos por inducción sobre $m$.

Base de inducción. Si $m=0$, entonces $s(0)=1=0+1$.

Hipótesis de inducción. Supongamos que para $k\in \mathbb{N}$ se cumple que $s(k)=k+1$.

Paso inductivo. Veamos que la propiedad se satisface para $s(k)$, es decir, $s(s(k))= s(k)+1$.

\begin{align*}
s(k)+1&= s(k+1)\tag{Definición $+$}\\
&= s(s(k))\tag{Hipótesis de inducción}.
\end{align*}

Por lo tanto, $s(m)=m+1$ para cualquier $m\in \mathbb{N}$.

$\square$

A partir de este momento usaremos el hecho de que $s(m)=m+1$.

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitirá reforzar el contenido de esta sección:

  • Demuestra que si $n,m\in \mathbb{N}$ tales que $n\not=m$, entonces $s(n)\not= s(m)$.
  • Demuestra usando el principio de inducción que para cualesquiera $m, n \in \mathbb{N}$, $m + n \geq n$.
  • Prueba que para cualesquiera $m,n\in \mathbb{N}$ tales que $m+n=0$, entonces $m=0$ y $n=0$.

Más adelante…

En la siguiente entrada definiremos al producto en el conjunto de los números naturales. Al igual que en la definición de la suma, podremos notar que usaremos un proceso recursivo para definir esta operación.

Entradas relacionadas

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.