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Álgebra Lineal I: Subespacios vectoriales

Introducción

En la entrada anterior dimos la definición de espacio vectorial y vimos varios ejemplos de espacios vectoriales. Ahora hablaremos de subespacios vectoriales o simplemente, subespacios. A grandes rasgos, podemos pensar a un subespacio como un subconjunto de un espacio vectorial V que también es un espacio vectorial con las mismas operaciones de V.

Definición de subespacios vectoriales y primeras consecuencias

Definición. Sea V un espacio vectorial sobre un campo F. Un subespacio vectorial de V, o simplemente un subespacio de V, es un subconjunto no vacío W de V cerrado bajo las operaciones de suma vectorial y multiplicación escalar de V. En otras palabras, W es un subespacio de V si se cumplen las siguientes dos propiedades:

  1. (Cerradura de la suma vectorial) Para cualesquiera u y v elementos de W, se cumple que u+v está en W.
  2. (Cerradura de la multiplicación por escalar) Para cualquier escalar c en F y vector v en W se cumple que cv está en W.

En la entrada anterior ya vimos un ejemplo. Si tenemos un campo F y nos fijamos el espacio vectorial F[x] de polinomios, entonces para cualquier entero n el subconjunto F_n[x] de F[x] de polinomios de grado a lo más n es cerrado bajo la suma de polinomios y bajo el producto escalar. De esta forma, F_n[x] es un subespacio de F[x]. Más abajo veremos muchos ejemplos de subespacios, pero primero nos enfocaremos en algunas consecuencias de la definición.

Observación. Se cumple todo lo siguiente:

  1. Si W es un subespacio de un espacio vectorial V, entonces W debe tener al vector 0 de V (es decir, la identidad aditiva de la suma vectorial). Esto se debe a que W es no vacío, así que tiene por lo menos un elemento v. Si tomamos al 0 de F y usamos la propiedad (2) de subespacio con 0 y v obtenemos que 0v=0 está en W.
  2. Si W es un subespacio de un espacio vectorial V y v está en W, entonces -v también. Esto se debe a que por la propiedad (2) de subespacio tenemos que (-1)v=-v está en W.
  3. Si V es un espacio vectorial sobre F y W es un subespacio de V, entonces W también es un espacio vectorial sobre F con las mismas operaciones que V. Por un lado, el neutro e inversos aditivos existen por los dos incisos anteriores. Para el resto de las propiedades, se usa que se cumplen para elementos de V y por lo tanto también para los de W (pues es un subconjunto).
  4. Si W_1 y W_2 son dos subespacios de un espacio vectorial V, entonces la intersección W_1\cap W_2 también lo es.

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La primera propiedad nos puede ayudar en algunas ocasiones (no siempre) a darnos cuenta rápidamente si un subconjunto no es subespacio vectorial: si no tiene al vector 0, entonces no es subespacio.

La tercera propiedad tiene una consecuencia práctica muy importante: para mostrar que algo es un espacio vectorial, basta con mostrar que es un subespacio de algo que ya sabemos que es un espacio vectorial.

Problema. Muestra que \mathcal{C}[0,1], el conjunto de funciones continuas de [0,1] a \mathbb{R}, es un espacio vectorial sobre \mathbb{R} con las operaciones de suma de funciones y multiplicación por escalar.

Solución. En la entrada anterior vimos que el conjunto V de funciones de [0,1] a los reales es un espacio vectorial sobre \mathbb{R} con las operaciones de suma de funciones y multiplicación escalar. El conjunto \mathcal{C}[0,1] es un subconjunto de V.

Por argumentos de cálculo, la suma de dos funciones continuas es una función continua. Así mismo, al multiplicar una función continua por un real obtenemos de nuevo una función continua. De esta forma, \mathcal{C}[0,1] es un subespacio de V.

Por la observación (3) de la discusión previa, obtenemos que \mathcal{C}[0,1] es un espacio vectorial sobre \mathbb{R} con las operaciones de suma de funciones y multiplicación por escalar.

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Definiciones alternativas de subespacios vectoriales

Algunos textos manejan definiciones ligeramente distintas a la que nosotros dimos. Sin embargo, todas ellas son equivalentes.

Proposición. Sea V un espacio vectorial sobre el campo F y W un subconjunto de V. Los siguientes enunciados son equivalentes.

  1. W es un subespacio de V de acuerdo a nuestra definición.
  2. Para cualesquiera vectores u y v en W y escalares a y b en F, se tiene que au+bv está en W.
  3. Para cualesquiera vectores u y v en W y cualquier escalar c en F se tiene que cu+v está en W.

Demostración. (1) implica (2). Supongamos que W es un subespacio de V. Tomemos vectores u,v en W y escalares a,b en F. Como W es cerrado bajo producto escalar, se tiene que au está en W. De manera similar, bv está en W. Como W es cerrado bajo sumas, se tiene que au+bv está en W.

(2) implica (3). Supontamos que W satisface (2) y tomemos u,v en W y cualquier escalar c en F. Tomando a=c y b=1 en (2), tenemos que cu+1v=cu+v está en W.

(3) implica (1). Supongamos que W satisface (3). Hay que ver que W es cerrado bajo sumas y producto escalar. Si tomamos u y v en W y al escalar c=1 de F, por (3) obtenemos que cu+v=1u+v=u+v está en W, lo cual muestra la cerradura de la suma. Si tomamos cualquier escalar c y al vector w=0, entonces por (3) se tiene que cu+w=cu+0=cu está en W. Esto muestra la cerradura bajo producto escalar.

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La consecuencia práctica de la proposición anterior es que basta verificar (2) o (3) para garantizar que W es un subespacio.

Problema. Considera V el espacio vectorial de matrices en M_n(F). Muestra que el subconjunto W de matrices simétricas forman un subespacio de V.

Solución. Lo demostraremos probando el punto (3) de la proposición. Sea c un escalar en F y sean A y B matrices en W, es decir, tales que ^tA=A y ^tB = B. Debemos mostrar que cA+B está en W, es decir, que ^t(cA+B)=cA+B. Usando propiedades de la transpuesta y la hipótesis sobre A y B tenemos que:

    \[^t(cA+B) = c \ ^tA+ \ ^tB = cA + B.\]

Con esto termina la demostración.

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Más ejemplos de subespacios vectoriales

A continuación presentamos más ejemplos de subespacios vectoriales. En cada ejemplo damos un espacio vectorial y un subconjunto W. Para cada uno de los casos, piensa por qué la suma de dos elementos de W es de nuevo un elemento de W y por qué el producto de un escalar por un elemento de W es un elemento de W. También puedes usar la última proposición para probar ambas cosas simultáneamente.

  • Si tomamos M_2(\mathbb{R}), el subconjunto W de matrices que cumplen que la suma de entradas en su diagonal principal es igual a 0 es un subespacio.
  • En el espacio vectorial F^4, el subconjunto W de vectores cuya primera y tercer entrada son iguales a 0 forman un subespacio.
  • Las funciones acotadas del intervalo [-3, 3] a \mathbb{R} forman un subconjunto W que es un subespacio de las funciones del intervalo [-3,3] a \mathbb{R}.
  • El subconjunto W de vectores (x,y,z) de \mathbb{R}^3 tales que

        \[\begin{cases}x+y+z &= 0\\ x+ 2y + 3z &= 0 \end{cases}\]

    es un subespacio de \mathbb{R}^3.
  • Si tomamos W=\mathbb{R}_3[x], entonces este es un subespacio de \mathbb{R}_4[x].
  • Si tomamos W=\mathbb{R}_4[x], entonces este es un subespacio de \mathbb{R}_5[x].
  • El subconjunto W de funciones diferenciables de [0,10] a \mathbb{R} tales que su derivada evaluada en 7 es igual a 0 es un subespacio del espacio de funciones continuas de [0,10] a \mathbb{R}.
  • Las matrices triangulares superiores de M_n(F) forman un subespacio W del espacio M_n(F). Las matrices triangulares inferiores también. Como la intersección de estos subespacios es el conjunto de matrices diagonales, obtenemos que las matrices diagonales también son un subespacio (aunque claro, esto también se puede probar directamente de la definición).

Ejemplos de subconjuntos que no son subespacios vectoriales

Aunque ya vimos muchos ejemplos de subespacios, resulta que en realidad es un poco raro que un subconjunto de un espacio vectorial sea un subespacio. Los ejemplos de subconjuntos que no son subespacios vectoriales abundan. Veamos algunos y qué tipo de cosas pueden salir mal.

  • El subconjunto W=\{(x,y,z): x^2+y^2+z^2=1\} no es un subespacio de \mathbb{R}^3. Podemos dar el siguiente argumento: ya demostramos que un subespacio debe tener al vector cero. En este caso, W debería tener a (0,0,0) para ser subespacio. Pero 0^2+0^2+0^2=0\neq 1. Así, (0,0,0) no está en W y por lo tanto W no es subespacio.
  • Alternativamente, en el ejemplo anterior podemos ver que (1,0,0) está en W, pero 2(1,0,0)=(2,0,0) no.
  • El subconjunto W=\{(0,0), (1,2), (-1,2)\} de \mathbb{R}^2 no es un subespacio, pues (1,2) está en W. Tomando u=(1,2) y v=(1,2), vemos que W no es cerrado bajo sumas pues (1,2)+(1,2)=(2,4) no está en W.
  • Las matrices del subconjunto GL_n(F) de M_n(F), es decir, las matrices invertibles, no conforman un subespacio. Por un lado, ya vimos que el neutro aditivo de la suma debe estar en un subespacio, pero la matriz O_n no es invertible, así que no está en GL_n(F).
  • El subconjunto W de funciones f:[-3,3]\to \mathbb{R} diferenciables tales que su derivada en 0 es igual a 2 no es un subespacio de las funciones continuas de [-3,3] a \mathbb{R}. Hay muchas formas de verlo. Podemos darnos cuenta que f(x)=x^2+2x es una de las funciones en W pues f'(x)=2x+2 y f'(0)=2. Sin embargo, 3f no está en W.
  • El subconjunto W de polinomios de \mathbb{R}[x] con coeficientes no negativos no es un subespacio de \mathbb{R}[x]. El polinomio 0 sí está en W y la suma de cualesquiera dos elementos de W está en W. Sin embargo, falla la multiplicación escalar pues x está en W, pero (-1)x=-x no.
  • La unión del eje X, el eje Y y el eje Z de \mathbb{R}^3 es un subconjunto W de \mathbb{R}^3 que no es un subespacio. Cualquier producto escalar queda dentro de W, pero la suma no es cerrada.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Demuestra que los siguientes conjuntos W son subespacios del espacio vectorial indicado.
    • El subconjunto W de vectores (w,x,y,z) de \mathbb{C}^4 tales que w+x+y+z=0.
    • La colección W de funciones continuas f:[0,1]\to \mathbb{R} tales que \int_0^1 f(x) \, dx = 0 es un subespacio del espacio de funciones de [0,1] a \mathbb{R}.
    • W=\left\{\begin{pmatrix} a+b & b\\ -b & c+b \end{pmatrix}: a,b,c \in \mathbb{R} \right\} es un subespacio de las matrices en M_2(\mathbb{R}).
  • Demuestra que los siguientes conjuntos W no son subespacios del espacio vectorial indicado.
    • El subconjunto W de vectores (x,y) de \mathbb{R}^2 tales que xy\geq 0 no es un subespacio de \mathbb{R}^2.
    • El subconjunto W de matrices en M_{3,2}(F) cuyo producto de todas las entradas es igual a 0 no es un subespacio de M_{3,2}
    • Cuando W es un subconjunto finito y con al menos dos polinomios con coeficientes complejos y de grado a lo más 3, es imposible que sea un subespacio de \mathbb{C}_3[x].
  • Sea V un espacio vectorial y n un entero positivo. Demuestra que si W_1, W_2, \ldots, W_n son subespacios de V, entonces la intersección

        \[W_1 \cap W_2 \cap \ldots \cap W_n\]

    también lo es.
  • Escribe por completo la demostración de que cualquier subespacio de un espacio vectorial es también un espacio vectorial con las mismas operaciones.
  • Demuestra que si V es un espacio vectorial, W es un subespacio de V y U es un subespacio de W, entonces U es un subespacio de V.

Más adelante…

En esta entrada definimos el concepto de subespacio de un espacio vectorial. En la siguiente hablaremos de algunas operaciones que se les puede hacer a los subespacios vectoriales para «combinarlos» y obtener más subespacios. Una operación muy imporante es la de suma de subespacios, que puede tener dos o más sumandos. La operación de suma de subespacios es particularmente especial cuando los subespacios están en posición de suma directa. Para irte dando una idea de qué quiere decir esto, dos subespacios están en posición de suma directa si su único elemento en común es el vector 0. El caso general de más subespacios se enuncia de forma distinta y también lo veremos en la siguiente entrada.

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Álgebra Lineal I: Espacios vectoriales

Introducción

En la primer unidad de este curso de álgebra lineal estudiamos a profundidad al conjunto F^n con sus operaciones de suma y multiplicación por escalar. Luego, hablamos de las matrices en M_{m,n}(F) y vimos cómo pensarlas como transformaciones lineales. Les dimos una operación de producto que en términos de transformaciones lineales se puede pensar como la composición. Luego, hablamos de la forma escalonada reducida de una matriz y cómo llevar cualquier matriz a esta forma usando reducción gaussiana. Esto nos permitió resolver sistemas de ecuaciones lineales homogéneos y no homogeneos, así como encontrar inversas de matrices. Las habilidades desarrolladas en la primer parte del curso serán de mucha utilidad para la segunda, en donde hablaremos de espacios vectoriales.

En esta entrada definiremos el concepto de espacio vectorial y vectores. Para hacer esto, tomaremos como motivación el espacio F^n, que ya conocemos bien. Sin embargo, hay muchos otros ejemplos de objetos matemáticos que satisfacen la definición que daremos. Hablaremos de algunos de ellos.

En el transcurso de la unidad también hablaremos de otros conceptós básicos, como la de subespacio. Hablaremos de conjuntos linealmente independientes, de generadores y de bases. Esto nos llevará a establecer una teoría de la dimensión de un espacio vectorial. Las bases son de fundamental importancia pues en el caso de dimensión finita, nos permitirán pensar a cualquier espacio vectorial «como si fuera F^n «. Más adelante precisaremos en qué sentido es esto.

Después, veremos cómo pasar de un espacio vectorial a otro mediante transformaciones lineales. Veremos que las transformaciones entre espacios vectoriales de dimensión finita las podemos pensar prácticamente como matrices, siempre y cuando hayamos elegido una base para cada espacio involucrado. Para ver que estamos haciendo todo bien, debemos verificar que hay una forma sencilla de cambiar esta matriz si usamos una base distinta, y por ello estudiaremos a las matrices de cambio de base.

Esta fuerte relación que existe entre transformaciones lineales y y matrices nos permitirá llevar información de un contexto a otro. Además, nos permitirá definir el concepto de rango para una matriz (y transformación vectorial). Hasta ahora, sólo hemos distinguido entre matrices invertibles y no invertibles. Las matrices invertibles corresponden a transformaciones lineales que «guardan toda la información». El concepto de rango nos permitirá entender de manera más precisa cuánta información guardan las transformaciones lineales no invertibles.

Recordando a F^n

Antes de definir el concepto de espacio vectorial en toda su generalidad, recordemos algunas de las cosas que suceden con F^n. De hecho, puedes pensar en algo mucho más concreto como \mathbb{R}^4.

Como recordatorio, comenzamos tomando un campo F y dijimos que, para fines prácticos, podemos pensar que se trata de \mathbb{R} y \mathbb{C}. A los elementos de F les llamamos escalares.

Luego, consideramos todas las n-adas de elementos de F y a cada una de ellas le llamamos un vector. A F^n le pusimos una operación de suma, que tomaba dos vectores en F^n y nos daba otro. Además, le pusimos una operación de producto por escalar, la cual tomaba un escalar en F y un vector en F^n y nos daba como resultado un vector. Para hacer estas operaciones procedíamos entrada a entrada.

Sin embargo, hay varias propiedades que demostramos para la suma y producto por escalar, para las cuales ya no es necesario hablar de las entradas de los vectores. Mostramos que todo lo siguiente pasa:

  1. (Asociatividad de la suma) Para cualesquiera vectores u,v,w en F^n se cumple que (u+v)+w=u+(v+w).
  2. (Conmutatividad de la suma) Para cualesquiera vectores u,v en F^n se cumple que u+v=v+u.
  3. (Identidad para la suma) Existe un vector 0 en F^n tal que u+0=u=0+u.
  4. (Inversos para la suma) Para cualquier vector u en F^n existe un vector v en F^n tal que u+v=0=v+u.
  5. (Distributividad para la suma escalar) Para cualesquiera escalares a,b en F y cualquier vector v en F^n se cumple que (a+b)v=av+bv.
  6. (Distributividad para la suma vectorial) Para cualquier escalar a en F y cualesquiera vectores v,w en F^n se cumple que a(v+w)=av+aw.
  7. (Identidad de producto escalar) Para la identidad multiplicativa 1 del campo F y cualquier vector v en F^n se cumple que 1v=v.
  8. (Compatibilidad de producto escalar) Para cualesquiera dos escalares a,b en F y cualquier vector v en F^n se cumple que (ab)v=a(bv).

Los primeros cuatro puntos son equivalentes a decir que la operación suma en F^n es un grupo conmutativo. Resulta que hay varios objetos matemáticos que satisfacen todas estas ocho propiedades o axiomas de espacio vectorial, y cuando esto pasa hay muchas consecuencias útiles que podemos deducir. La esencia del álgebra lineal precisamente consiste en deducir todo lo posible en estructuras que tienen las ocho propiedades anteriores. Estas estructuras son tan especiales, que tienen su propio nombre: espacio vectorial.

Definición de espacio vectorial

Estamos listos para la definición crucial del curso.

Definición. Sea F un campo. Un espacio vectorial sobre el campo F es un conjunto V con operaciones de suma y producto por escalar, que denotaremos por

    \begin{align*}+:& V\times V \to V \quad \text{y}\\\cdot:& F\times V \to V,\end{align*}

para las cuales se cumplen las ocho propiedades de la sección anterior. En otras palabras:

  • El conjunto V es un grupo conmutativo con la suma
  • Se tiene asociatividad para la suma escalar y la suma vectorial
  • Se tiene identidad y compatibilidad de la mulltiplicación escalar.

A los elementos de F les llamamos escalares. A los elementos de F^n les llamamos vectores. Para hacer restas, las definimos como u-v=u+(-v), donde -v es el inverso aditivo de v con la suma vectorial. Usualmente omitiremos el signo de producto escalar, así que escribiremos av en vez de a\cdot v para a escalar y v vector.

La definición da la impresión de que hay que verificar muchas cosas. De manera estricta, esto es cierto. Sin embargo, de manera intuitiva hay que pensar que a grandes rasgos los espacios vectoriales son estructuras en donde podemos sumar elementos entre sí y multiplicar vectores por escalares (externos) sin que sea muy complicado.

Como ya mencionamos, el conjunto F^n con las operaciones de suma y multiplicación por escalar que se hacen entrada por entrada es un espacio vectorial sobre F. En lo que resta de la entrada, hablaremos de otros ejemplos de espacios vectoriales que nos encontraremos frecuentemente.

Espacios vectoriales de matrices

Otros ejemplos de espacios vectoriales con los que ya nos encontramos son los espacios de matrices. Dado un campo F y enteros positivos m y n, el conjunto de matrices en M_{m,n}(F) es un espacio vectorial en donde la suma se hace entrada a entrada y la multiplicación escalar también.

¿Qué es lo que tenemos que hacer para mostrar que en efecto esto es un espacio vectorial? Se tendrían que verificar las 8 condiciones en la definición de espacio vectorial. Esto lo hicimos desde la primer entrada del curso, en el primer teorema de la sección «Operaciones de vectores y matrices». Vuelve a leer ese teorema y verifica que en efecto se enuncian todas las propiedades necesarias.

Aquí hay que tener cuidado entonces con los términos que se usan. Si estamos hablando del espacio vectorial F^n, las matrices no forman parte de él, y las matrices no son vectores. Sin embargo, si estamos hablando del espacio vectorial M_{m,n}(F), entonces las matrices son sus elementos, y en este contexto las matrices sí serían vectores.

Ejemplo. Sea \mathbb{F}_2 el campo con 2 elementos. Consideremos M_{2}(\mathbb{F}_2). Este es un espacio vectorial. Tiene 16 vectores de la forma \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, en donde cada entrada es 0 o 1. La suma y la multiplicación por escalar se hacen entrada a entrada y con las reglas de \mathbb{F}_2. Por ejemplo, tenemos

    \[\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.\]

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Espacios vectoriales de funciones

Ahora veremos algunos ejemplos de espacios vectoriales cuyos elementos son funciones. Esto puede parecer algo abstracto, pero en unos momentos veremos algunos ejemplos concretos que nos pueden ayudar a entender mejor.

Sea F un campo y consideremos cualquier conjunto X. Consideremos el conjunto V de todas las posibles funciones de X a F. A este conjunto queremos ponerle operaciones de suma y de multiplicación por escalar.

Para definir la suma, tomemos dos funciones que van de X a F, digamos f:X\to F y g:X\to F. Definiremos a la función f+g como la función que a cada x en X lo manda a f(x)+g(x). Aquí estamos usando la suma del campo F. En símbolos, (f+g):X\to F tiene regla de asignación

    \[(f+g)(x)=f(x)+g(x).\]

Para definir el producto por escalar, tomamos una función f:X\to F y un escalar c en el campo F. La función cf será la función cf:X\to F con regla de asignación

    \[(cf)(x)=cf(x)\]

para todo x en X.

Resulta que el conjunto V de funciones de X a F con estas operaciones de suma y producto, es un espacio vectorial. Podemos probar, por ejemplo, la asociatividad de la suma. Para ello, la primer cosa que necesitamos mostrar es la asociatividad de la suma. Es decir, que si tenemos f:X\to F, g:X\to F y h:X\to F, entonces

    \[(f+g)+h = f+ (g+h).\]

Esta es una igualdad de funciones. Para que sea cierta, tenemos que verificarla en todo el dominio, así que debemos mostrar que para todo x en X tenemos que

    \[((f+g)+h)(x)=(f+(g+h))(x).\]

Para demostrar esto, usemos la definición de suma de funciones y la asociatividad de la suma del campo F. Con ello, podemos realizar la siguiente cadena de igualdades:

    \begin{align*}((f+g)+h)(x)&=(f+g)(x)+h(x)\\&=(f(x)+g(x)) + h(x) \\&=f(x) + (g(x)+h(x)) \\&=f(x) + (g+h)(x)\\&=(f+(g+h))(x).\end{align*}

Así, la suma en V es asociativa. El resto de las propiedades se pueden demostrar con la misma receta:

  • Se enuncia la igualdad de funciones que se quiere mostrar.
  • Para que dicha igualdad sea cierta, se tiene que dar en cada elemento del dominio, así que se evalúa en cierta x.
  • Se prueba la igualdad usando las definiciones de suma y producto por escalar, y las propiedades de campo de F.

Ejemplo. El ejemplo anterior es muy abstracto, pues X puede ser cualquier cosa. Sin embargo, hay muchos espacios de funciones con los cuales se trabaja constantemente. Por ejemplo, si el campo es el conjunto \mathbb{R} de reales y X es el intervalo [0,1], entonces simplemente estamos hablando de las funciones que van de [0,1] a los reales.

Si tomamos f:[0,1]\to \mathbb{R} y g:[0,1]\to \mathbb{R} dadas por

    \begin{align*}f(x)&= \sin x - \cos x\\ g(x) &= \cos x + x^2,\end{align*}

entonces su suma simplemente es la función f+g:[0,1]\to \mathbb{R} definida por (f+g)(x)=\sin x + x^2. Si tomamos, por ejemplo, el escalar 2, entonces la función 2f:[0,1]\to \mathbb{R} no es nada más que aquella dada por

    \[(2f)(x)= 2\sin x - 2\cos x.\]

Así como usamos el intervalo [0,1], pudimos también haber usado al intervalo [-2,2), al (-5,\infty], o a cualquier otro.

\square

Espacios vectoriales de polinomios

Otro ejemplo de espacios vectoriales que nos encontraremos frecuentemente son los espacios de polinomios. Si no recuerdas con precisión cómo se construyen los polinomios y sus operaciones, te recomendamos repasar este tema con material disponible aquí en el blog.

Dado un campo F y un entero positivo n usaremos F[x] para referirnos a todos los polinomios con coeficientes en F y usaremos F_n[x] para referirnos a aquellos polinomios con coeficientes en F y grado a lo más n. Aunque el polinomio cero no tiene grado, también lo incluiremos en F_n[x].

Ejemplo. Si F es \mathbb{C}, el campo de los números complejos, entonces todos los siguientes son polinomios en \mathbb{C}[x]:

    \begin{align*}p(x)&=(2+i)x^6 + (1+i),\\ q(x)&=3x^2+2x+1,\\ r(x)&=5x^7+(1-3i)x^5-1.\end{align*}

Tanto p(x) como q(x) están en \mathbb{C}_6[x], pues su grado es a lo más 6. Sin embargo, r(x) no está en \mathbb{C}_6[x] pues su grado es 7.

El polinomio q(x) también es un elemento de \mathbb{R}[x], pues tiene coeficientes reales. Pero no es un elemento de \mathbb{R}_1[x] pues su grado es demasiado grande.

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Recuerda que para sumar polinomios se tienen que sumar los coeficientes de grados correspondientes. Al hacer multiplicación por escalar se tienen que multiplicar cada uno de los coeficientes. De esta forma, si f(x)=x^2+1 y g(x)=x^3+\frac{x^2}{2}-3x-1, entonces

    \[(f+g)(x)=x^3+\frac{3x^2}{2}-3x,\]

y

    \[(6g)(x)=6x^3+3x^2-18x-6.\]

Resulta que F[x] con la suma de polinomios y con el producto escalar es un espacio vectorial. Puedes verificar cada uno de los axiomas por tu cuenta.

Observa que la suma de dos polinomios de grado a lo más n tiene grado a lo más n, pues no se introducen términos con grado mayor que n. Del mismo modo, si tenemos un polinomio con grado a lo más n y lo multiplicamos por un escalar, entonces su grado no aumenta. De esta forma, podemos pensar a estas operaciones como sigue:

    \begin{align*}+:& F_n[x] \times F_n[x] \to F_n[x]\\\cdot: & F\times F_n[x] \to F_n[x].\end{align*}

De esta forma, F_n[x] con la suma de polinomios y producto escalar de polinomios también es un espacio vectorial.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • A partir de los axiomas de espacio vectorial, muestra lo siguiente para un espacio vectorial V:
    • La identidad de la suma vectorial es única, es decir, que si existe otro elemento e en V tal que u+e=u=e+u para todo u en V, entonces e=0.
    • Que si 0 es la identidad aditiva del campo F y v es cualquier vector en V, entonces 0v es la identidad de la suma vectorial. En símbolos, 0v=0, donde el primer 0 es el de F y el segundo el de V.
    • Se vale la regla de cancelación para la suma vectorial, es decir, que si u,v,w son vectores en V y u+v=u+w, entonces v=w.
    • Se vale la regla de cancelación para el producto escalar, es decir, que si a es un escalar no cero del campo F y u,v son vectores de V para los cuales au=av, entonces u=v.
    • Que el inverso aditivo de un vector v para la suma vectorial en V es precisamente (-1)v, es decir, el resultado de hacer la multiplicación escalar de v con el inverso aditivo del 1 del campo F.
  • Sea V un espacio vectorial sobre \mathbb{R}. Sean u, v y w vectores en V. Justifica la siguiente igualdad enunciando de manera explícita todos los axiomas de espacio vectorial que uses

        \[u+5v-3w+2u-8v= -3(w+v-u).\]

  • Termina de demostrar que en efecto los espacios de funciones con la suma y producto escalar que dimos son espacios de funciones.
  • Enlista todos los polinomios de (\mathbb{F}_2)_3[x]. A continuación hay algunos:

        \[0, x+1, x^2+x, x^3+1.\]

    Para cada uno de ellos, encuentra quien es su inverso aditivo para la suma vectorial de (\mathbb{F}_2)_3[x].

Más adelante…

Ya dimos la definición de espacio vectorial y vimos varios ejemplos. Dentro de algunas entradas veremos como conseguir muchos más espacios vectoriales.

En el último ejemplo pasa algo curioso: el espacio F_n[x] es un subconjunto del espacio F[x] y además es un espacio vectorial con las mismas operaciones que F[x]. Este es un fenómeno muy importante en álgebra lineal. Decimos que F_n[x] es un subespacio de F[x]. En la siguiente entrada definiremos en general qué es un subespacio de un espacio vectorial y veremos algunas propiedades que tienen los subespacios.

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Álgebra Lineal I: Introducción al curso, vectores y matrices

Introducción

Esta es la primer entrada correspondiente a las notas del curso Álgebra Lineal I. En esta serie de entradas, cubriremos todo el temario correspondiente al plan de estudios de la materia en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Las notas están basadas fuertemente en el libro Essential Lineal Algebra with Applications de Titu Andreescu.

El curso se trata, muy a grandes rasgos, de definir espacios vectoriales y estudiar muchas de sus propiedades. Un espacio vectorial con el que tal vez estés familiarizado es \mathbb{R}^n, donde sus elementos son vectores con n entradas. En él se pueden hacer sumas entrada a entrada, por ejemplo, si n=3 una suma sería

    \begin{align*}(5,-1,2)+(1,4,9)=(6,3,11).\end{align*}

También se puede multiplicar un vector por un número real, haciéndolo entrada a entrada, por ejemplo,

    \begin{align*}3(1,5,-2,6)=(3,15,-6,18).\end{align*}

El álgebra lineal estudia espacios vectoriales más generales que simplemente \mathbb{R}^n. Como veremos más adelante, hay muchos objetos matemáticos en los que se puede definir una suma y un producto escalar. Algunos ejemplos son los polinomios, ciertas familias de funciones y sucesiones. La ventaja de estudiar estos espacios desde el punto de vista del álgebra lineal es que todas las propiedades que probemos «en general», se valdran para todos y cada uno de estos ejemplos.

Lo que haremos en la primer unidad del curso es entender muy a profundidad a F^n, una generalización de \mathbb{R}^n en la que usamos un campo arbitrario F. También, entenderemos a las matrices en M_{m,n}(F), que son arreglos rectangulares con entradas en F. La unidad culmina con estudiar sistemas de ecuaciones lineales y el método de reducción Gaussiana.

Más adelante veremos que estudiar estos conceptos primero es muy buena idea pues los espacios vectoriales más generales tienen muchas de las propiedades de F^n, y podemos entender a ciertas transformaciones entre ellos al entender a M_{m,n}(F).

Breve comentario sobre campos

En este curso no nos enfocaremos en estudiar a profundidad las propiedades que tienen los campos como estructuras algebraicas. De manera pragmática, pensaremos que un campo F consiste de elementos que se pueden sumar y multiplicar bajo propiedades bonitas:

  • La suma y el producto son asociativas, conmutativas, tienen neutro (que llamaremos 0 y 1 respectivamente y tienen inversos (i.e. se vale «restar» y «dividir»)
  • La suma y producto satisfacen la regla distributiva

De hecho, de manera muy práctica, únicamente usaremos a los campos \mathbb{Q} de racionales, \mathbb{R} de reales, \mathbb{C} de complejos y \mathbb{F}_2, el campo de dos elementos 0 y 1. Este último sólo lo usaremos para observar que hay algunas sutilezas cuando usamos campos con una cantidad finita de elementos.

Para todos estos campos, supondremos que sabes cómo se suman y multiplican elementos. Si necesitas dar un repaso a estos temas, puedes echarle un ojo a las entradas del curso Álgebra Superior II, que también están aquí en el blog.

Nociones iniciales de álgebra lineal: escalares, vectores y matrices

Quizás te has encontrado con vectores y matrices en otros cursos. Por ejemplo, en geometría analítica es usual identificar a un vector (x,y) con un punto en el plano cartesiano, o bien con una «flecha» que va del origen a ese punto. En álgebra lineal nos olvidaremos de esta interpretación por mucho tiempo. Será hasta unidades posterioresque tocaremos el tema de geometría de espacios vectoriales. Por el momento, sólo nos importan los vectores desde el punto de vista algebraico.

Tomemos un campo F. A los elementos de F les llamaremos escalares. Para un entero positivo n, un vector X en F^n consiste de un arreglo de n entradas a_1,a_2,\ldots,a_n que pueden estar dispuestas en un vector fila

    \[X=(a_1, a_2,\ldots, a_n),\]

o bien un vector columna

    \[X=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}.\]

Para i=1,\ldots,n, a a_i le llamamos la i-ésima coordenada o i-ésima entrada de X.

Como vectores, puedes pensar que el vector fila y el vector columna correspondientes son el mismo. Abajo veremos en qué sentido tenemos que pensarlos como diferentes. Aunque como vectores sean los mismos, los vectores columna tienen varias ventajas conceptuales en álgebra lineal.

Ejemplo. El vector

    \[X=\left(\frac{1}{2}, -1, \frac{2}{3}, 4\right).\]

tiene cuatro entradas, y todas ellas son números racionales. Por lo tanto, es un vector en \mathbb{Q}^4. Su primer entrada es \frac{1}{2}. Está escrito como vector fila, pero podríamos escribirlo también como vector columna:

    \[\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ -1 \\ \frac{2}{3} \\ 4 \end{pmatrix}.\]

El vector

    \[Y=\left(\pi, \frac{3}{4}, 5, 6, \sqrt{2}\right)\]

es un vector fila en \mathbb{R}^5, pero no en \mathbb{Q}^5, pues no todas sus entradas son racionales. A Y también lo podemos pensar como un vector en \mathbb{C}.

\square

Una matriz en M_{m,n}(F) es un arreglo rectangular de elementos en F dispuestos en m filas y n columnas como sigue:

    \[A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n}\\$\vdots & & \ddots & \vdots \\a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}.\]

Al escalar a_{ij} le llamamos la entrada (i,j) de A.

Para cada i=1,\ldots,m, definimos a la i-ésima fila de A como el vector fila

    \[L_i=(a_{i1},a_{i2},\ldots,a_{in}),\]

y para cada j=1,2,\ldots,n definimos a la j-ésima columna de A como el vector columna

    \[C_j=\begin{pmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj}\end{pmatrix}.\]

Veamos algunas aclaraciones de notación. Cuando m=n, las matrices en M_{m,n}(F) tienen la misma cantidad de filas que de columnas. En este caso simplemente usamos la notación M_{n}(F) para ahorrarnos una letra, y si una matriz está en M_{n}(F), le llamamos una matriz cuadrada. También, ocasiones expresamos a una matriz en forma compacta diciendo cuántas filas y columnas tiene y usando la notación A=[a_{ij}].

Ejemplo. Consideremos la matriz A en M_3(\mathbb{R}) dada por A=[a_{ij}]=[i+2j]. Si queremos poner a A de manera explícita, simplemente usamos la fórmula en cada una de sus entradas:

    \begin{align*}A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\\\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}1+2\cdot 1 & 1+2\cdot 2 & 1+2\cdot 3\\2+2\cdot 1 & 2+2\cdot 2 & 2+2\cdot 3\\3+2\cdot 1 & 3+2\cdot 2 & 3+2\cdot 3\\\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}3 & 5 & 7\\4 & 6 & 8\\5 & 7 & 9\\\end{pmatrix}\end{align*}

Esta es una matriz cuadrada. Sin embargo, la matriz B en M_{3,2}(\mathbb{R}) con la misma regla B=[b_{ij}]=[i+2j] no es una matriz cuadrada pues es

    \begin{align*}B=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \\a_{31} & a_{32} \\\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}1+2\cdot 1 & 1+2\cdot 2\\2+2\cdot 1 & 2+2\cdot 2\\3+2\cdot 1 & 3+2\cdot 2\\\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}3 & 5 \\4 & 6 \\5 & 7 \\\end{pmatrix},\end{align*}

la cual es una matriz con 3 filas y 2 columnas.

\square

Cualquier vector fila en F^n lo podemos pensar como una matriz en M_{1n}(F) y cualquier vector columna en F^n lo podemos pensar como una matriz en M_{n1}(F). En este sentido estos dos vectores sí serían distintos. Usualmente será claro si se necesita o no hacer la distinción.

Para que dos vectores o dos matrices sean iguales, tienen que serlo coordenada a coordenada.

Vectores y matrices especiales

Al vector en F^n con todas sus entradas iguales al cero del campo F le llamamos el vector cero y lo denotamos con 0. El contexto nos ayuda a decidir si estamos hablando del escalar cero (el neutro aditivo del campo F) o del vector cero.

De manera similar, a la matriz en M_{m,n} con todas sus entradas iguales al cero del campo F le llamamos la matriz cero y la denotamos con O_{m,n}. Si m=n, la llamamos simplemente O_n.

Otra matriz especial que nos encontraremos frecuentemente es la matriz identidad. Para cada n, es la matriz I_n en M_n(F) tal que cada entrada de la forma a_{ii} es igual a uno (el neutro multiplicativo de F) y el resto de sus entradas son iguales a 0.

Cuando estamos trabajando en M_n(F), es decir, con matrices cuadradas, hay otras familias de matrices que nos encontraremos frecuentemente. Una matriz A=[a_{ij}] en M_{n}(F):

  • Es diagonal si cuando i\neq j, entonces a_{ij}=0.
  • Es triangular superior si cuando i>j, entonces a_{ij}=0.
  • Y es triangular inferior si cuando i<j entonces a_{ij}=0.

A las entradas de la forma a_{ii} se les conoce como las entradas de la diagonal principal de la matriz. En otras palabras, A es diagonal cuando sus únicas entradas no cero están en la diagonal principal. Es triangular superior cuando sus entradas por debajo de la diagonal principal son iguales a cero. Y de manera similar, es triangular inferior cuando sus entradas por encima de la diagonal principal son iguales a cero.

Ejemplo. La matriz O_{3,2} de M_{3,2}(\mathbb{Q}) es la siguiente

    \[O_{3,2}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0& 0 \\ 0 & 0 \\\end{pmatrix}\]

La matriz I_4 de M_{4}(F) es la siguiente

    \[I_4=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.\]

Esta matriz identidad es diagonal, triangular superior y triangular inferior. Una matriz diagonal distinta a la identidad podría ser la siguiente matriz en M_3(\mathbb{Q}):

    \[\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} \\\end{pmatrix}.\]

Una matriz que es triangular superior, pero que no es diagonal (ni triangular inferior), podría ser la siguiente matriz en M_4(\mathbb{R}):

    \[\begin{pmatrix}1 & \sqrt{2} & 2 & \sqrt{5}\\ 0 & 1 & \sqrt{3} & 0\\ 0& 0 & 1 & \sqrt{2}\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.\]

\square

Operaciones de vectores y matrices

Si tenemos dos matrices A=[a_{ij}] y B=[b_{ij}] en M_{m,n}(F), entonces podemos definir a la matriz suma A+B como la matriz cuyas entradas son [a_{ij}+b_{ij}], es decir, se realiza la suma (del campo F) entrada por entrada.

Ejemplo. Si queremos sumar a las matrices A y B en M_{4}(\mathbb{R}) dadas por

    \[A=\begin{pmatrix}1 & \sqrt{2} & 2 & \sqrt{5}\\ 0 & 1 & \sqrt{3} & 2\\  0& 0 & 1 & \sqrt{2}\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.\]

y

    \[B=\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & -3\\ 0 & 1 & 1 & -2\\ 0& 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix},\]

entonces hacemos la suma entrada por entrada para obtener:

    \[A+B=\begin{pmatrix}2 & 1+\sqrt{2} & 1 & -3+\sqrt{5}\\ 0 & 2 & 1+\sqrt{3} & 0\\ 0 & 0 & 2 & 1+\sqrt{2}\\ 0 & 0 & 0 & 2\end{pmatrix}.\]

\square

Es muy importante que las dos matrices tengan la misma cantidad de filas y renglones. Insistiendo: si no coinciden la cantidad de filas o de columnas, entonces las matrices no se pueden sumar.

Si tenemos una matriz A=[a_{ij}] en M_{m,n}(F) y un escalar c en F, podemos definir el producto escalar de A por c como la matriz cA=[ca_{ij}], es decir, aquella que se obtiene al multiplicar cada una de las entradas de A por el escalar c (usando la multiplicación del campo F).

Ejemplo. Al tomar la siguiente matriz en M_{2}(\mathbb{C})

    \[A=\begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{pmatrix}\]

y el escalar i en \mathbb{C}, se tiene que

    \[iA=\begin{pmatrix} i\cdot 1 &i\cdot i \\ i\cdot (-i) & i\cdot 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i & -1 \\ 1 & i \end{pmatrix}.\]

\square

Dada una matriz A, a la matriz (-1)A le llamamos simplemente -A, y definimos A-B:=A+(-B).

Como todo vector en F^n se puede pensar como una matriz, estas operaciones también se pueden definir para vectores para obtener la suma de vectores y la producto escalar en vectores.

En álgebra lineal frecuentemente hablaremos de escalares, vectores y matrices simultáneamente. Cada que veas una una variable es importante que te preguntes de cuál de estos tipos de objeto es. También, cada que veas una operación (por ejemplo, una suma), es importante preguntarte si es una suma de escalares, vectores o matrices.

Muchas de las buenas propiedades de las operaciones de suma y producto en el campo F también se cumplen para estas definiciones de suma y producto escalar de vectores y matrices.

Teorema. Sean A,B,C matrices en M_{m,n}(F) y \alpha,\beta,\gamma escalares en F. Entonces la suma de matrices:

  • Es asociativa: (A+B)+C = A+(B+C)
  • Es conmutativa: A+B=B+A
  • Tiene neutro: A+O_{m,n}=A=O_{m,n}+A
  • Tiene inversos: A+(-A)=O_{m,n}=(-A)+A

Además,

  • La suma de escalares y el producto escalar se distribuyen: (\alpha+\beta)A=\alpha A + \beta A
  • La suma de matrices y el producto escalar se distribuyen: \alpha(A+B)=\alpha A + \alpha B
  • El producto escalar es homogéneo: \alpha(\beta A) = (\alpha \beta) A
  • El 1 es neutral para el producto escalar: 1A = A

Un teorema análogo se vale al cambiar matrices por vectores. La demostración de este teorema se sigue directamente de las propiedades del campo F. La notación de entradas nos ayuda mucha a escribir una demostración sin tener que escribir demasiadas entradas una por una. Veamos, como ejemplo, la demostración de la primera propiedad.

Demostración. Tomemos matrices A=[a_{ij}], B=[b_{ij}] y C=[c_{ij}] en M_{m,n}(F). Para mostrar que

    \[(A+B)+C=A+(B+C),\]

tenemos que mostrar que la entrada (i,j) del lado izquierdo es igual a la entrada (i,j) del lado derecho para cada i=1,\ldots,m y j=1,\ldots,n.

Por definición de suma, A+B=[a_{ij}]+[b_{ij}]=[a_{ij}+b_{ij}]. Por ello, y de nuevo por definicón de suma,

    \[(A+B)+C=[(a_{ij}+b_{ij})+c_{ij}].\]

De manera similar,

    \[A+(B+C)=[a_{ij}+(b_{ij}+c_{ij})].\]

Pero en F la suma es asociativa, de modo que

    \[(a_{ij}+b_{ij})+c_{ij}=a_{ij}+(b_{ij}+c_{ij}).\]

Con esto hemos demostrado que (A+B)+C y A+(B+C) son iguales entrada a entrada, y por lo tanto son iguales como matrices.

\square

La receta para demostrar el resto de las propiedades es la misma:

  1. Usar la definición de suma o producto por escalares para saber cómo es la entrada (i,j) del lado izquierdo y del lado derecho.
  2. Usar las propiedades del campo F para concluir que las entradas son iguales.
  3. Concluir que las matrices son iguales.

Para practicar las definiciones y esta técnica, la demostración del resto de las propiedades queda como tarea moral. A partir de ahora usaremos todas estas propiedades frecuentemente, así que es importante que las tengas en cuenta.

Base canónica de vectores y matrices

Cuando estamos trabajando en F^n, al vector e_i tal que su i-ésima entrada es 1 y el resto son 0 lo llamamos el i-ésimo vector de la base canónica. Al conjunto de vectores \{e_1,\ldots,e_n\} le llamamos la base canónica de F^n.

De manera similar, cuando estamos trabajando en M_{m,n}(F), para cada i=1,\ldots,m y j=1,\ldots,n, la matriz E_{ij} tal que su entrada (i,j) es 1 y todas las otras entradas son cero se le conoce como la matriz (i,j) de la base canónica. Al conjunto de todas estas matrices E_{ij} le llamamos la base canónica de M_{m,n}(F).

Ejemplo. El vector e_2 de F^3 es (0,1,0). Ten cuidado, pues este es distinto al vector e_2 de F^5, que es (0,1,0,0,0).

La matriz E_{12} de M_{2,3}(\mathbb{R}) es

    \[\begin{pmatrix} 0 &  1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.\]

\square

Más adelante veremos el concepto de base en general, cuando hablemos de espacios vectoriales. Por el momento, la intuición para álgebra lineal es que una base es un conjunto que nos ayuda a generar elementos que nos interesan mediante sumas y productos escalares. Los siguientes resultados dan una intuición inicial de este fenómeno.

Teorema. Todo vector X en F^n se puede escribir de manera única de la forma

    \[X=x_1e_1+x_2e_2+\ldots+x_ne_n,\]

en donde x_1,\ldots,x_n son escalares en F y \{e_1,\ldots,e_n\} es la base canónica.

Demostración. Si X es un vector en F^n, entonces es de la forma X=(x_1,x_2,\ldots,x_n). Afirmamos que las coordenadas de X son los x_i buscados.

En efecto, tomemos una i=1,\ldots,n. Como e_i tiene 1 en la i-ésima entrada y 0 en el resto, entonces x_ie_i es el vector con x_i en la i-ésima entrada y 0 en el resto. De esta forma, sumando entrada a entrada, tenemos

    \begin{align*}x_1e_1+x_2e_2+\ldots+x_ne_n&=\begin{pmatrix} x_1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ x_2 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + \ldots + \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=X.\end{align*}

Esto muestra la existencia.

Para demostrar la unicidad, un argumento análogo muestra que si tenemos otros escalares y_1,\ldots,y_n que cumplan, entonces:

    \[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=X=y_1e_1+\ldots+y_ne_n=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix},\]

de modo que x_i=y_i para todo i=1,\ldots,n.

\square

Tenemos un resultado análogo para matrices.

Teorema. Toda matriz A en M_{m,n}(F) se puede escribir de manera única de la forma

    \[A=\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n x_{ij} E_{ij},\]

en donde para i=1,\ldots,m y j=1,\ldots,n, se tiene que x_{ij} son escalares en F y E_{ij} son las matrices de la base canónica.

La demostración es muy similar a la del teorema anterior y como práctica queda como tarea moral.

Ejemplo. La matriz

    \[A=\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & -1 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}\]

en M_{3,2}(\mathbb{C}) se expresa de manera única en términos de la base canónica como

    \[A=2E_{11}-1E_{22}+3E_{31}+5E_{32}.\]

\square

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Explica por qué no puedes sumar la matriz I_5 con la matriz O_4
  • Muestra que la suma de dos matrices diagonales es diagonal. Haz lo mismo para matrices triangulares superiores y para matrices triangulares inferiores.
  • Termina de demostrar el teorema de propiedades de las operaciones de suma y producto escalar.
  • Explica por qué si una matriz es simultáneamente triangular superior y triangular inferior, entonces es diagonal.
  • Expresa a la siguiente matriz como combinación lineal de matrices de la base canónica:

        \[\begin{pmatrix}2 & \frac{1}{2} & 0 & 1\\3 & -3 & 3 & -3\\7 & -8 & -1 & 0\end{pmatrix}.\]

  • Demuestra el teorema de representación de matrices en términos de la base canónica.

Más adelante…

En esta entrada dimos una breve introducción al álgebra lineal. Ya definimos la suma y el producto escalar para vectores y matrices. En la siguiente entrada hablaremos de otro producto que sucede en álgebra lineal: la de una matriz en M_{m,n}(F) por un vector en F^n. Veremos que esta multiplicación nos permite pensar a una matriz A como una función \varphi_A:F^n\to F^m con ciertas propiedades especiales.

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Álgebra Superior II: Construcción de números complejos

Introducción

En una entrada anterior esbozamos las construcciones de los números racionales y los números reales. Es hora de construir a los números complejos. Para ello, debemos definir el conjunto \mathbb{C} sobre el cual trabajaremos, y después definiremos sus operaciones.

La forma intuitiva de pensar a \mathbb{C} es pensando que comenzamos con \mathbb{R}, los reales, y que en ellos introducimos a un nuevo elemento i que satisface que i^2=-1. Este, en efecto, es un nuevo elemento, pues en \mathbb{R} siempre tenemos que x^2\geq 0.

Una vez que introducimos a este elemento i, queremos que las operaciones de suma y producto estén definidas y den también números en \mathbb{C}. De este modo, necesitamos que para cualquier real b se tenga que bi también esté en los complejos, y que para cualesquiera reales a y b también tengamos que a+bi esté en los complejos.

Resulta que esto «es suficiente», en el sentido de que ya no hay que meter más números para que las operaciones estén bien definidas. En efecto si tenemos dos números de la forma a+bi y c+di con a,b,c,d reales, entonces su suma

    \[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\]

también es de esa forma, así como su producto

    \begin{align*}(a+bi)(c+di)&=ac+bci+adi+bdi^2\\&=(ac-bd)+(ad+bc)i.\end{align*}


Por supuesto, por lo pronto esto solamente es una discusión informal. En las siguientes secciones veremos cómo formalizar estas ideas.

Los números complejos se comportan muy bien en términos algebraicos y en términos de análisis. En términos algebraicos, esto se comenzará a notar en la última parte del curso en donde veremos que cualquier polinomio tiene por lo menos una raíz compleja. En cursos posteriores, como el de álgebra lineal, verás otras de las propiedades algebraicas de los polinomios. Más adelante, si llevas un curso de variable compleja verás las bellas propiedades analíticas que tienen los números complejos.

El campo de los números complejos

La construcción del conjunto de números complejos es bastante sencilla. Para hacerla, simplemente consideramos a las parejas de números reales

    \[\mathbb{C}=\{(a,b): a,b\in \mathbb{R}\}.\]

Por el momento a cada (a,b) lo puedes pensar de manera informal como al complejo a+bi. Lo interesante de los números complejos no es el conjunto de sus elementos en sí, sino las operaciones que están definidos en él. Definimos las siguientes operaciones.

Definición. Para (a,b) y (c,d) en \mathbb{C}, definimos su suma como el complejo

    \[(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).\]

Dentro del paréntesis se usa la suma de \mathbb{R}.

Definición. Para (a,b) y (c,d) en \mathbb{C}, definimos su producto como el complejo

    \[(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc).\]

Dentro del paréntesis se usan la suma y producto de \mathbb{R}. La definición de producto está motivada por la discusión que hicimos en la introducción.

Teorema. El conjunto \mathbb{C} con las operaciones suma y producto que definimos es un campo.

Demostración. La suma es conmutativa y asociativa pues está definida entrada a entrada y lo es en \mathbb{R}. Tiene neutro (0,0) pues

    \[(a,b)+(0,0)=(a+0,b+0)=(a,b)\]

y para (a,b) su inverso aditivo es (-a,-b).

Vayamos ahora con el producto. Probemos que es conmutativo. Para dos complejos (a,b) y (c,d) tenemos que

    \[(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)\]

y que

    \[(c,d)(a,b)=(ca-db,cb+da).\]

Ambos resultados son iguales pues la suma y producto en \mathbb{R} son conmutativas.

Probemos que que el producto es asociativo. Para ello tomemos tres complejos (a,b), (c,d) y (e,f). Tenemos que

    \begin{align*}[(a,b)(c,d)](e,f)&=(ac-bd,ad+bc)(e,f)\\&=(ace-bde-adf-bcf,acf-bdf+ade+bce),\end{align*}

y que

    \begin{align*}(a,b)[(c,d)(e,f)]&=(a,b)(ce-df,cf+de)\\&=(ace-adf-bcf-bde,acf+ade+bce-bdf),\end{align*}

Ambas expresiones son iguales pues la suma en \mathbb{R} es conmutativa.

El complejo (1,0) actúa como neutro multiplicativo, pues

    \[(a,b)(1,0)=(a\cdot 1 - b\cdot 0, a\cdot 0 + b\cdot 1)=(a,b).\]

Además, si tomamos un complejo (a,b)\neq (0,0) y lo multiplicamos por \left(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}\right) obtenemos

    \begin{align*}(a,b)\left(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}\right)&= \left(\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}, \frac{-ab}{a^2+b^2}+\frac{ba}{a^2+b^2}\right)\\ &= (1,0),\end{align*}

lo cual muestra que tenemos inversos multiplicativos.

Sólo falta demostrar la propiedad distributiva. Su verificación se deja como tarea moral.

\square

La copia de los reales en los números complejos

Dentro de \mathbb{C} hay una copia de los números reales. Esta consiste en, a cada real a, asociarle el número complejo \varphi(a)=(a,0). Esta asociación es claramente biyectiva. Además, si a y b son números reales, tenemos que

    \[(a,0)+(b,0)=(a+b,0)=\varphi(a+b)\]

y

    \begin{align*}(a,0)(b,0) &= (ab-0\cdot 0, a\cdot 0 + b\cdot 0)\\ &= (ab,0) = \varphi(ab).\end{align*}


Además los neutros se van a neutros y los inversos a inversos. Esto muestra que \varphi es una asociación biyectiva entre \mathbb{R} y los complejos de la forma (a,0) y que respeta la estructura de campo de \mathbb{R}.

Por otro lado, notemos que

    \[(0,1) (0,1)= (0\cdot 0 - 1\cdot 1, 0\cdot 1 + 1\cdot 0).\]

En otras palabras, al elevar el complejo (0,1) al cuadrado obtenemos el número (-1,0), que es precisamente \varphi(-1).

Tras toda esta discusión, estamos justificados entonces en llamar simplemente 1 al complejo (1,0), en llamar i al complejo (0,1), y por lo tanto en llamar a+bi al complejo (a,b). A partir de aquí ya podemos olvidar la notación de parejas y tratar a los números complejos como lo discutimos en la introducción.

Operaciones en la notación a+bi

La notación a+bi para números complejos es bastante práctica. Podemos trabajar con los complejos «igualito que en \mathbb{R}, pero suponiendo que i^2=-1«.

Como i^4=(-1)^2=1, tenemos que las potencias de i se ciclan cada cuatro:

    \[1, i, i^2, i^3, i^4, i^5, i^6, \ldots\]

son

    \[1,i, -1, -i, 1, i,\ldots .\]

Ya mencionamos en la introducción que para complejos a+bi y c+di se tiene que

    \[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\]

y que

    \[(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,\]

de modo que cualquier composición de sumas y productos de números complejos se puede simplificar a la forma x+yi con x y y reales.

Ejemplo. Simplifica la expresión (1+i)(1-i)+(2+i)(3-4i).

Solución. Haciendo el producto del primer sumando tenemos (1+i)(1-i)=1^2-i^2=1-(-1)=2. Haciendo el producto del segundo sumando tenemos

    \begin{align*}(2+i)(3-4i)&=6+3i-8i-4i^2\\&=6-5i+4\\&=10-5i.\end{align*}


De esta forma, el resultado de la operación es

    \[2+(10-5i)=12-5i.\]

\square

En complejos también podemos usar expresiones fraccionales, como \frac{3+2i}{5-i}. Si queremos pasar estas expresiones a la forma x+yi con x y y reales, tenemos que pensar a \frac{1}{5-i} como «el inverso multiplicativo de 5-i«, que como vimos en la demostración de que \mathbb{C} es un campo, es

    \[\frac{5}{5^2+(-1)^2}+\frac{1}{5^2+(-1)^2}i=\frac{5}{26}+\frac{1}{26} i.\]

Una vez hecho esto, tenemos que

    \begin{align*}\frac{3+2i}{5-i}&=(3+2i)\left( \frac{5}{26}+\frac{1}{26} i \right)\\&=\frac{13}{26} + \frac{13}{26} i\\&=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} i.\end{align*}

Otra forma de pensarlo es que a una expresión de la forma \frac{a+bi}{c+di} la podemos simplificar «multiplicando arriba y abajo» por c-di. De esta forma, obtenemos

    \begin{align*}\frac{a+bi}{c+di} \cdot \frac{c-di}{c-di} = \left(\frac{ac+bd}{c^2+d^2}\right) + \left(\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)i.\end{align*}

Ambos métodos dan el mismo resultado.

Lo que viene

Al tomar un número complejo z=a+bi y calcular su inverso, aparecen de manera natural las expresiones a-bi y a^2+b^2. Estas expresiones son fundamentales.

  • A a-bi se le conoce como el conjugado de z, y se denota por \overline{z}.
  • A \sqrt{a^2+b^2} se le conoce como la norma de z y se denota por |z|.

En la siguiente ocasión hablaremos de las propiedades de estas dos operaciones y cómo están relacionadas entre sí. Más adelante veremos cómo nos ayudan a resolver ecuaciones cuadráticas en los números complejos.

Si quieres, puedes revisar esta entrada sobre aplicaciones interesantes de los números complejos en la resolución de problemas. Tiene teoría que no hemos visto, pero te puede servir de motivación para aprender lo que veremos a continuación.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Demuestra que en los complejos se satisface la ley distributiva.
  • Verifica que bajo la asociación \varphi en efecto los neutros se van a los neutros y los inversos a inversos.
  • Realiza la operación (1+i)(2+i)(1+2i)(2+2i) y expresa el resultado de la forma x+yi con x y y reales.
  • Realiza la operación

        \[\frac{3+5i}{2+i}-\frac{1+2i}{4-3i}\]

    y expresa el resultado de la forma x+yi con x y y reales.
  • Realiza la operación

        \[1+(1+i)+(1+i)^2+(1+i)^3+(1+i)^4\]

    y expresa el resultado de la forma x+yi con x y y reales.

Álgebra Superior II: Congruencias y el anillo de enteros módulo n

Esta es una serie de entradas de blog para dar seguimiento a los estudiantes de mi curso de Álgebra Superior II durante la época de cuarentena debida al coronavirus.

Introducción

En clases pasadas hemos platicado del algoritmo de la división, del máximo común divisor, el mínimo común múltiplo, de primos, el teorema fundamental de la aritmética, la infinidad del conjunto de primos y del algoritmo de Euclides para encontrar el máximo común divisor.

En esta entrada platicaremos acerca del anillo de los enteros módulo n. La idea de esta entrada es:

  • Dar la intuición a través de un ejemplo concreto
  • Dar la definición formal de a\equiv b \pmod n
  • Definir a \mathbb{Z}_n, el anillo de enteros módulo n, dando sus elementos y sus operaciones de suma y resta.
  • Dar ejemplos adicionales de operaciones concretas.
  • Hablar de cuáles son los elementos de \mathbb{Z}_n que tienen inversos multiplicativos y cuándo \mathbb{Z}_n es un campo.

A grandes rasgos, el anillo de los enteros módulo n consiste en ver a los enteros «como si sólo nos importara el residuo que dejan al dividirse entre n«.

Ejemplo introductorio

Hablemos de las horas que tiene un día. Un día tiene 24 horas y las podemos llamar del 0 al 24 para no tener que hacer distinción entre AM y PM. Por ejemplo, las 4PM serían las 16. Las 10AM simplemente las 10. La hora 24 vamos a pensarla más bien como la hora 0 del siguiente día.

Si son las 8 (de la mañana, pero ya no hace falta aclarar), entonces tres horas después serán las 11. Si son las 10, entonces cuatro horas después serán las 14. Pero si son las 22 y pasan 7 horas, entonces van a ser las 29, pero conviene pensar a esa hora como las 5 (del día siguiente), pues así es más claro qué hora entre 0 y 23 es. Finalmente si son las 17 y pasan 24 horas, entonces la hora que obtenemos es la 17+24=41, pero justo como pasan 24 horas, siguen siendo las 17: aunque el día cambió, la hora no.

De esta discusión recuperamos lo siguiente:

  • En «el mundo de las horas», la hora 29 es la misma que la hora 5. En símbolos, esto lo ponemos como 29\equiv 5 \pmod {24}.
  • Podemos «sumar en el mundo de las horas». Ahí, 10+4 es 14, pero 22+7 es 5. Vamos a escribir 10+4\equiv 14 \pmod {24} y 22+7\equiv 5 \pmod {24}.
  • En «el mundo de las horas», si sumamos 24 horas no pasa nada.

Definición del anillo \mathbb{Z}_n

En el ejemplo de motivación trabajamos con horas, que «se ciclan cada 24». Pero aquí el 24 no tiene nada de especial y de hecho lo podemos hacer con cualquier número n. Comencemos definiendo qué quiere decir que dos enteros sean iguales «en el mundo de n«.

Definición. Sea n un entero positivo. Sean a y b enteros. Vamos a decir que a es congruente con b módulo n si n divide a a-b. En símbolos:

    \[a\equiv b \pmod n \quad \iff \quad n\mid b-a.\]

Proposición. Para todo entero positivo n la relación en \mathbb{Z} de «ser congruente módulo n » es una relación de equivalencia.

Demostración. Tenemos que probar que dicha relación es reflexiva, simétrica y transitiva.

Para ver que la relación es reflexiva, tomemos a en \mathbb{Z}. Tenemos que n divide a 0=a-a, pues n\cdot 0 =0 (dicho de otra forma, 0 está en n\mathbb{Z}). Así, a\equiv a \pmod n.

Veamos ahora que la relación es simétrica. Si a\equiv b \pmod n, entonces n divide a a-b, pero entonces también divide a su inverso aditivo b-a (aquí estamos usando que n\mathbb{Z} es ideal, y que los ideales son cerrados bajo inversos aditivos), de modo que b\equiv a \pmod n.

Finalmente, veamos que la relación es transitiva. Para ello, a partir de enteros a, b y c tales que a\equiv b \pmod n y b\equiv c \pmod n tenemos que mostrar que a\equiv c \pmod n. Por definición, las primeras dos congruencias quieren decir que n divide a a-b y a b-c. Pero sabemos que si un entero divide a dos enteros, entonces divide a su suma. Así, n\mid (a-b)+(b-c)=a-c, que por definición quiere decir que a\equiv c \pmod n.

\square

Ya que «ser congruente módulo n» es una relación de equivalencia, entonces podemos dividir a todo \mathbb{Z} en las clases de equivalencia de esta relación, y escribir como [a]_n a la clase de equivalencia que tiene al entero a. La siguiente proposición muestra que para cada clase de equivalencia siempre podemos encontrar un representante chiquito.

Proposición. Sea n un entero positivo. Se tiene que a\equiv b \pmod n si y sólo si a y b dejan el mismo residuo al dividirse entre n en el algorimo de la división. En particular, para cada a siempre existe un entero r en \{0,1,\ldots,n-1\} tal que a\equiv r \pmod n.

Demostración. Usemos el algoritmo de la división para escribir a=qn+r y b=pn+s con r y s los residuos de la división, que el algoritmo de la división garantiza que están en \{0,1,\ldots,n-1\}.

Si r=s, entonces a-b=(q-p)n, así que n\mid a-b y así a\equiv b \pmod n. Si a\equiv b \pmod n, entonces

    \[n\mid a-b= (q-p)n+(r-s).\]

Como n\mid (q-p)n, entonces n\mid r-s. Sin embargo, usando que r y s están en \{0,1,\ldots,n-1\}, tenemos que r-s es un número entre -(n-1) y n-1, de modo que la única posibilidad es r-s=0, es decir, r=s. Esto prueba la primer parte de la proposición.

Como a y r dejan el mismo residuo r al dividirse entre n, entonces a\equiv r \pmod n.

\square

Ejemplo. Fijemos n=7. Tenemos que las siguientes clases de equivalencia son la misma: [13]_7, [20]_7, [-1]_7. Esto es ya que, por ejemplo, 7 divide a 20-13=14 y 7 divide a 20-(-1)=21. De hecho, todas estas clases son iguales a la clase [6]_7, pues tanto -1, 6, 13 como 20 son números que al dividirse entre 7 dejan residuo 6.

Estamos listos para presentar a los elementos del anillo de enteros módulo n.

Definición. Para n un entero positivo, definimos a Z_n como el conjunto de clases de equivalencia de la relación «ser congruente módulo n«. Por la proposición anterior, tenemos entonces que

    \[Z_n=\{[0]_n, [1]_n, \ldots, [n-1]_n\}\]

Nota que Z_n tiene exactamente n elementos, uno por cada uno de los posibles residuos de dividir un número entre n. Nota también que \mathbb{Z}_n no es lo mismo que el ideal n\mathbb{Z}, y que hay que ser cuidadosos con la notación. De hecho, el ideal n\mathbb{Z} es uno de los elementos de \mathbb{Z}_n.

Ejemplo. Z_4=\{[0]_4,[1]_4, [2]_4,[3]_4\} tiene 4 elementos. El elemento [3]_4 consiste de todos los enteros que dejan residuo 3 al dividirse entre 4, es decir, [\ldots,-5,-1,3,7,\ldots].

Definición. Sea n un entero positivo y [a]_n y [b]_n clases de equivalencia de la relación «ser congruentes módulo n«. Definimos las siguientes operaciones de suma y producto:

  • [a]_n + [b]_n = [a+b]_n, y
  • [a]_n [b]_n = [ab]_n.

Estas operaciones es decir, esta suma y producto «están bien definidas» y no dependen de los representantes elegidos, como muestra la siguiente proposición:

Proposición. Sea n un entero positivo. Si a\equiv a' \pmod n y b\equiv b' \pmod n, entonces a+b \equiv a'+b' \pmod n y ab\equiv a'b' \pmod n.

Demostración. De la primer congruencia tenemos n\mid a-a' y de la segunda n\mid b-b'. Como n divide a estos dos números, divide a su suma, y reacomodando tenemos que n\mid (a+b) - (a'+b'), que es equivalente a a+b\equiv a'+b' \pmod n, una de las congruencias que queríamos.

Para el producto, de n\mid a-a' podemos obtener

    \[n\mid (a-a')b=ab-a'b\]

y de n\mid b-b' podemos obtener

    \[n\mid a'(b-b')=a'b-a'b'.\]

Así,

    \[n\mid (ab-a'b)+(a'b-a'b')=ab-a'b'.\]

De aqui, ab\equiv a'b' \pmod n, la otra congruencia que queríamos.

\square

El anillo de enteros módulo n es precisamente \mathbb{Z}_n equipado con las operaciones de suma y producto que acabamos de definir.

Ejemplos de operaciones en \mathbb{Z}_n

Estos son algunos ejemplos básicos de operaciones en \mathbb{Z}_7 y en \mathbb{Z}_{11}:

  • [8]_7+[4]_7=[12]_7=[5]_7
  • [4]_{11}[8]_{11}=[32]_{11}=[21]_{11}=[10]_{11}

En una siguiente entrada, preparada por Clau, verán más ejemplos de operaciones en \mathbb{Z}_n.

Inversos multiplicativos en \mathbb{Z}_n

El cero del anillo de enteros módulo n es [0]_n, pues para cualquier entero a se tiene que [a]_n+[0]_n=[a+0]_n=[a]_n. Como [0]_n consiste precisamente de los múltiplos de n, tenemos entonces que [a]_n+[kn]_n=[a]_n.

La multiplicación en este anillo tiene como identidad a [1]_n, de lo cual te puedes convencer con una cuenta similar.

La suma de este anillo tiene inversos aditivos pues para cualquier entero a se tiene que la clase de a y la de -a cumplen

    \[[a]_n+[-a]_n=[a+(-a)]_n=[0]_n.\]

Sin embargo, no es cierto que para cualquier clase [a]_n esta tenga un inverso multiplicativo. A los números que sí tienen un inverso multiplicativo se les conoce como unidades del anillo.

Problema: Muestra que [4]_{12} no tiene inverso multiplicativo en \mathbb{Z}_{12}

Intenta resolver este problema antes de ver la solución.

Solución. Procedamos por contradicción. Si [a]_{12} fuera el inverso multiplicativo de [4]_{12}, tendríamos que [1]_{12}=[4a]_{12} y por lo tanto que 4a\equiv 1 \pmod {12}, es decir, que 12\mid 4a-1. Como 4\mid 12 y 4\mid 4a, tendríamos entonces que 4\mid (4a-1)-4a = -1. Esto es una contradicción.

La siguiente proposición dice exactamente quienes son los elementos en \mathbb{Z}_n que tienen inversos multiplicativos en \mathbb{Z}_n.

Teorema. Sea n un entero positivo. La clase [a]_n de \mathbb{Z}_n tiene inverso multiplicativo si y sólo si a y n son primos relativos.

Demostración. Recordemos que por definición a y n son primos relativos si su máximo común divisor MCD(a,n) es igual a 1. Recordemos también que MCD(a,n) puede escribirse como combinación lineal entera de a y n.

Si a y n son primos relativos, entonces existen p y q enteros tales que 1=ap+nq. Así,

    \[[ap]_n=[ap+nq]_n=[1]_n,\]

de modo que la clase [a]_n tiene como inverso multiplicativo a la clase [p]_n.

Si a y n no son primos relativos y suponemos que [a]_n tiene inverso multiplicativo, entonces llegaremos a una contradicción similar a la del problema anterior. Verifica los detalles.

\square

Recuerda que un campo es un anillo conmutativo en el cual todo elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo. Terminamos esta sesión con un resultado que nos dice cuándo \mathbb{Z}_n es un campo.

Proposición. Sea n un entero. El conjunto \mathbb{Z}_n con las operaciones de suma y producto que definimos es un campo si y sólo si n es un número primo.

Demostración. Como ya sabemos que es un anillo conmutativo, basta con determinar cuándo sucede que todos los elementos distintos de cero tienen un inverso multiplicativo. Estos elementos son son [1]_n, \ldots, [n-1]_n. Por la proposición anterior, estos tienen inversos si y sólo si cada uno de los números 1,2,\ldots,n-1 es primos relativos con n.

Si n es primo, entonces todos esos números son primos relativos con n pues el único factor en común que tienen con n es 1. Si n no es primo, entonces tiene un divisor d que satisface 1<d<n, y por lo tanto n y d no son primos relativos, así que [d]_n no tiene inverso multiplicativo.

De esta forma, \mathbb{Z}_n es un campo si y sólo si n es primo.

\square

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Argumenta por qué «el mundo de los minutos» también es un ejemplo de enteros módulo n.
  • Muestra que n\mathbb{Z} es uno de los elementos de \mathbb{Z}_n.
  • Muestra que las operaciones de suma y producto en \mathbb{Z}_n en efecto satisfacen la definición de anillo conmutativo. Sugerencia: aprovecha que \mathbb{Z} es un anillo conmutativo con sus operaciones de suma y producto.
  • Muestra que [1]_n es identidad para el producto en \mathbb{Z}_n.
  • Completa la prueba del teorema de inversos multiplicativos.