INTRODUCCIÓN
El ser humano ha hecho un fascinante trabajo construyendo modelos para facilitar la resolución de problemas concretos. Muchos de estos problemas tienen un carácter lineal, es decir, pueden plantearse mediante ecuaciones lineales con coeficientes en algún «conjunto especial» de números y con unas cuantas variables.
Así es, nos facilitamos la vida reduciendo casi todo a «talachita»: operaciones. Y como buena rama de las matemáticas, esto de «operar» vamos a abstraerlo. Ya no sólo se tratará de números, si no de conjuntos (de «lo que sea») y operaciones («las que sean») que cumplan ciertas condiciones.
CAMPO
Definición: Sea $K$ un conjunto con dos operaciones binarias $+: K \times K \longrightarrow K$ y $\cdot: K \times K \longrightarrow K$. Decimos que $K$ es un campo (y a sus elementos los llamamos escalares) si se cumplen las siguientes propiedades:
- $+$ es asociativa
$\forall \alpha ,\beta ,\gamma \in K:$
$\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma$ - $+$ es conmutativa
$\forall \alpha,\beta \in K:$
$\alpha+\beta=\beta+\alpha$ - Existe un neutro aditivo
$\exists 0_K \in K:$
$\forall \alpha \in K (0_K + \alpha = \alpha + 0_K = \alpha)$ - Todo elemento $\alpha \in K$ tiene un inverso aditivo
$\forall \alpha \in K:$
$\exists (-\alpha) \in K (\alpha+ (-\alpha) = (-\alpha)+\alpha = 0_K)$ - $\cdot$ distribuye a $+$
$\forall \alpha,\beta,\gamma \in K:$
$\alpha\cdot(\beta + \gamma)=\alpha\cdot\beta + \alpha\cdot\gamma$
- $\cdot$ es asociativa
$\forall \alpha,\beta,\gamma \in K:$
$\alpha\cdot(\beta\cdot\gamma)=(\alpha\cdot\beta)\cdot\gamma$ - $\cdot$ es conmutativa
$\forall \alpha,\beta \in K:$
$\alpha\cdot\beta=\beta\cdot\alpha$ - Existe un neutro multiplicativo
$\exists 1_K \not= 0_K \in K:$
$\forall \alpha \in K (1_K \cdot \alpha = \alpha \cdot 1_K = \alpha)$ - Todo elemento $\alpha \not= 0_K \in K$ tiene un inverso multiplicativo
$\forall \alpha \not= 0_K \in K:$
$\exists \alpha^{-1} \in K (\alpha \cdot \alpha^{-1} = \alpha^{-1} \cdot \alpha = 1_K)$
Nota: En un campo vectorial: los neutros (aditivo y multiplicativo) y los inversos (aditivos y multiplicativos) son únicos. Por ello, desde la definición se han denotado de esa manera. Como parte de la tarea moral al final de esta entrada encontrarás ideas para realizar las demostraciones de estas unicidades.
Nota: Para simplificar notación, el producto $\alpha\cdot\beta$ se suele denotar como $\alpha\beta$.
Nota: Si es necesario aclarar que las operaciones con las que se está trabajando están definidas en el campo $K$, se suelen denotar como $+_K$ y $\cdot_K$.
Ejemplos:
- $\mathbb{R} , \mathbb{Q} , \mathbb{C}$
con la suma y producto usual respectivamente - $\{y+y\sqrt{2} : x,y \in \mathbb{Q}\}$
con la suma y el producto usual
- $\mathbb{Z}_p = \{\overline {0},\overline {1},…,\overline {p-1}\}$
donde $p$ es primo y $\forall \overline {x}, \overline {y} \in \mathbb{Z}_p$ las operaciones son
$\overline {x} + \overline {y} = \overline {x+y}$
$\overline {x} \cdot \overline{y} = \overline {x \cdot y}$
con $x+y$ la suma usual en $\mathbb{Z}$, $x \cdot y$ el producto usual en $\mathbb{Z}$
¿Cómo funciona $\mathbb{Z}_n$ con $n \in \mathbb{N}$?
$\mathbb{Z}_n$ con $n\in\mathbb{N}^+$ es el conjunto llamado enteros módulo $n$ cuyos $n$ elementos son de la forma $\overline {k}$ $= \{a \in \mathbb{Z} | a \equiv k (mód\, n) \} = \{a \in \mathbb{Z} | a – k = mn, m \in \mathbb{Z} \}$. Es decir, la clase de $k$, con $k \in \mathbb{Z}$ es el conjunto de los números enteros $a$ tales que $a-k$ es múltiplo de $n$.
Obs *. $\overline {k} = \overline {l}$ para toda $l \equiv k$ $(mód\, n)$ pues los elementos de $\overline {k}$ son aquellos congruentes entre sí, módulo $n$.
Ejemplo concreto: $\mathbb{Z}_3$
Tenemos que $\mathbb{Z}_3 = \{ \overline {0}, \overline {1}, \overline {2} \} = \{ \{…, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, … \}, $$\{…, -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10, …\}, $$\{…, -7, -4, -1, 2, 5, 8, 11, … \} \}$
Comprobemos que $\mathbb{Z}_3$ es un campo con las operaciones definidas anteriormente.
Tabla de Cayley de $\mathbb{Z}_3$:
| $+$ | $\overline {0}$ | $\overline {1}$ | $\overline {2}$ |
| $\overline {0}$ | $\overline {0+0} = \overline {0}$ | $\overline {0+1} = \overline {1}$ | $\overline {0+2} = \overline {2}$ |
| $\overline {1}$ | $\overline {1+0} = \overline {1}$ | $\overline {1+1} = \overline {2}$ | $\overline {1+2} = \overline {3} = \overline {0}$ |
| $\overline {2}$ | $\overline {2+0} = \overline {2}$ | $\overline {2+1} = \overline {3} = \overline {0}$ | $\overline {2+2} = \overline {4} = \overline {1}$ |
| $\cdot$ | $\overline {0}$ | $\overline {1}$ | $\overline {2}$ |
| $\overline {0}$ | $\overline {0 \cdot 0} = \overline {0}$ | $\overline {0 \cdot 1} = \overline {0}$ | $\overline {0 \cdot 2} = \overline {0}$ |
| $\overline {1}$ | $\overline {1 \cdot 0} = \overline {0}$ | $\overline {1 \cdot 1} = \overline {1}$ | $\overline {1 \cdot 2} = \overline {2} = \overline {2}$ |
| $\overline {2}$ | $\overline {2 \cdot 0} = \overline {0}$ | $\overline {2 \cdot 1} = \overline {2}$ | $\overline {2 \cdot 2} = \overline {4} = \overline {1}$ |
Así, es fácil ver que:
- $+$ y $\cdot$ son asociativas y conmutativas.
- El único neutro aditivo es $\overline {0}$.
- El único neutro multiplicativo es $\overline {1}$.
- Dado $\overline {k} \in \mathbb{Z}_3$ su único inverso aditivo es $\overline {-k}$.
- Dado $\overline {k} \not= \overline {0} \in \mathbb{Z}_3$ su único inverso multiplicativo es $\overline {k}$
Existencia y exhibición de inversos multiplicativos en $\mathbb{Z}_p$
Ahora veamos un resultado que será muy útil para entender por qué $\mathbb{Z}_n$ con $n \in \mathbb{N}^+$ es un campo si y sólo si $n$ es un primo y para saber cómo obtener el inverso multiplicativo de un elemento dado.
Sea $K=\mathbb{Z}_n$.
Sea $\overline{k}\not= 0_K\in K$. Con el fin de simplificar la demostración, tomaremos $k\in\{0,1,…,n-1\}$ recordando que, de este modo, estamos considerando cualquier posible elemento de $\mathbb{Z}_n$.
$\overline{k}$ tiene inverso $\overline{j}\in K$ si y sólo si
$\begin{align*}
&\overline{k}\cdot\overline{j}=\overline{1}\\
\Leftrightarrow &\overline{k\cdot j}=\overline{1}\tag{def. $\cdot_K$}\\
\Leftrightarrow &k\cdot j\,\equiv 1 (mód\, n)\tag{Obs *}\\
\Leftrightarrow &k\cdot j \,-\, 1 = qn, q \in \mathbb{Z}\tag{def. $a \equiv b (mód\, n)$}\\
\Leftrightarrow &k \cdot j + (-q) \cdot n = 1, (-q) \in \mathbb{Z}\\
\Leftrightarrow &(k,n)\text{ divide a } 1\tag{Prop.del máximo común divisor}\\
\therefore (k,n) = 1
\end{align*}$
Para que $K = \mathbb{Z}_n$ sea un campo, necesitamos que cada $\overline {k} \not= 0_K \in K$ tenga inverso multiplicativo. Por lo tanto se debe cumplir que $(k,n) = 1$ para toda $k \in \{ 0, 1, …, n-1 \}$. Notamos que si $n$ no fuera primo, entonces $n = ab$ con $2 \le a,b \le n-1$. De modo que existe $a \in \{ 1, …, n-1 \}$ tal que $(a,n) = a \not= 1$ y entonces en este caso $K = \mathbb{Z}_n$ no es un campo. A la inversa, si $K = \mathbb{Z}_p$ con $p$ un primo, entonces para cada $a \in \{1, …, n-1 \}$ tenemos que $(a,p)=1$, y por lo anterior $\overline {a}$ tiene un inverso multiplicativo. Así, $K = \mathbb{Z}_p$ es un campo.
Además, dado $\overline {k} \not= \overline {0} \in \mathbb{Z}_p$ con $p$ primo, sabemos, por ser $\mathbb{Z}_p$ un campo, que existe su inverso multiplicativo $\overline {j} \in \mathbb{Z}_p$ y se cumple que $(k,n) = 1$. Para encontrar el inverso multiplicativo de $\overline {k}$ bastaría encontrar $l,m \in \mathbb{Z}$ tales que $k \cdot l + m \cdot n = 1$, para lo cual podemos usar el algorimo de Euclides, y así obtendremos que si tomamos $j=l$, entonces $\overline {j}$ es el elemento que queríamos.
SUBCAMPO
Definición: Sean $K$ un campo y $\tilde {K} \subseteq K$. Decimos que $\tilde {K}$ es un subcampo de $K$ si $\tilde {K}$ con las operaciones restringidas de $K$ es por sí mismo un campo.
Ejemplos:
- $\mathbb{Q}$ es un subcampo de $\mathbb{R}$
- $\mathbb{R}$ es un subcampo de $\mathbb{C}$
Propiedad
- Si $K$ es un campo, entonces cualquiera de sus elementos $\alpha$ cumple que
$\alpha \cdot 0_K = 0_K$.
Demostración: Sea $\alpha \in K$.
Sea $(-\alpha) \in K$ su inverso aditivo.
Como $0_K$ es el neutro aditivo, $0_K + 0_K = 0_K$.
De donde,
$\begin{align*}
&\alpha \cdot (0_K + 0_K) = \alpha \cdot 0_K\\
\Rightarrow &\alpha \cdot 0_K + \alpha \cdot 0_K = \alpha \cdot 0_K\tag{distrib.}\\
\Rightarrow &(\alpha \cdot 0_K + \alpha \cdot 0_K) + (-(\alpha \cdot 0_K)) = \alpha \cdot 0_K + (-(\alpha \cdot 0_K))\tag{inv. ad.}\\
\Rightarrow &\alpha \cdot 0_K + (\alpha \cdot 0_K +( -(\alpha \cdot 0_K))) = \alpha \cdot 0_K + (-(\alpha \cdot 0_K))\tag{asociat.}\\
\Rightarrow &\alpha \cdot 0_K + 0_K = 0_K\tag{inv. ad.}\\
\Rightarrow &\alpha \cdot 0_K = 0_K\tag{neutro ad.}\\
\end{align*}$
Nota: Es por esta afirmación que se definen los inversos multiplicativos para los elementos distintos de $0_K$.
Característica de un campo
Definición: Sea $K$ un campo. Se le llama característica de $K$, y se denota como $car(K)$ al menor número natural $n$ tal que $\underbrace{1_K + … + 1_K}_{n} = 0_K$ si acaso existe.
En caso contrario, decimos que $car(K)$ es cero.
Obs. La característica de un campo no puede ser 1 (es decir, si no es cero, entonces es mayor o igual a 2) pues por definición $1_K \not= 0_K$. Y más que eso, resulta que si no es cero, entonces es un número primo.
Ejemplos:
- $car(\mathbb{Z}_p) = p$
donde $p$ es primo.
Justificación:
Sea $K = \mathbb{Z}_p = \{\overline {0},\overline {1},…,\overline {p-1}\}$ con cada uno de esos elementos distintos entre sí.
De modo que $p$ es el mínimo natural tal que $\underbrace{1_K + … + 1_K}_{p} = \underbrace{\overline{1} + … + \overline{1}}_{p}$
$= \overline {\underbrace{1 + … + 1}_{p}} = \overline{p} = \overline{0}$
- $car(\mathbb{Q}) = car(\mathbb{R}) = car(\mathbb{C}) = 0$
Justificación:
Sea $K\in \{\mathbb{Q}, \mathbb{R},\mathbb{C} \}$.
$\underbrace{1_K + … + 1_K}_{n} = n \cdot (1_K) = n \not= 0_K$ $\forall n \in \mathbb{N}, n \not=0$
Propiedades
- Si $K$ es un campo tal que $car(K) = 0$, entonces $K$ no tiene cardinalidad finita.
Demostración: Como $car(K) = 0$, entonces $\underbrace{1_K + … + 1_K}_{n} \not= 0_K \in K$ para cualquier $n \in \mathbb{N}$.
Así, $\{ 1_K, 1_K + 1_K, …, \underbrace{1_K + … + 1_K}_{n}, … \} \subseteq K$ y no es difícil concluir que cada uno de los elementos de este subconjunto son distintos, de modo que tiene cardinalidad no finita.
- Si $K$ es un campo tal que $car(K) = 2$, entonces $\alpha + \alpha = 0_K$ para cualquier $\alpha \in K$.
Demostración: Por ser $1_K \in K$ el neutro aditivo de $K$ y por las propiedades de campo obtenemos que
$\alpha + \alpha = 1_K \cdot (\alpha + \alpha) = 1_K \cdot \alpha + 1_K \cdot \alpha =$$\alpha \cdot 1_K + \alpha \cdot 1_K = \alpha \cdot (1_K + 1_K)$
Como $car(K) = 2$, entonces $1_K + 1_K = 0_K$, por lo cual $\alpha \cdot (1_K + 1_K) = \alpha \cdot 0_K = 0_K$
- En general, si $K$ es un campo tal que $car(K) = n \not= 0_K$, entonces $\underbrace{\alpha +…+ \alpha}_{n} = 0_K$ para cualquier $\alpha \in K$.
Demostración: Por ser $1_K \in K$ el neutro aditivo de $K$ y por las propiedades de campo obtenemos que
$\underbrace{ \alpha + … + \alpha }_{n} = 1_K \cdot (\underbrace{ \alpha + … + \alpha }_{n}) =$$\underbrace{ 1_K \cdot \alpha +…+ 1_K \cdot \alpha}_{n}= \underbrace{ \alpha \cdot 1_K +…+ \alpha \cdot 1_K}_{n} =$$\alpha \cdot ( \underbrace{ 1_K +…+ 1_K}_{n})$.
Como $car(K) = n$, entonces $\underbrace{ 1_K +…+ 1_K}_{n} = 0_K$, por lo cual $\alpha \cdot ( \underbrace{ 1_K +…+ 1_K}_{n}) = \alpha \cdot 0_K = 0_K$
Tarea Moral
Sea $K$ un campo. Demuestra la unicidad de:
- El neutro aditivo en $K$.
Para lograrlo, se te sugiere realizar lo siguiente:- Sabemos por la definición de campo, que existe $0_K$ neutro aditivo.
- Primero sup. que existe ${0_K}’ \in K$ que también lo es. Con el objetivo de demostrar que $0_K = {0_K}’$.
- Ahora justifica cada una de las siguientes igualdades:
$0_K = 0_K + {0_K}’ = {0_K}’$
- Los inversos aditivos en $K$.
Para lograrlo, se te sugiere realizar lo siguiente:- Sea $\alpha \in K$. Sabemos por la definición de campo, que existe $(-\alpha) \in K$ inverso aditivo de $\alpha$.
- Primero sup. que existe $(-\alpha)’ \in K$ que también lo es. Con el objetivo de demostrar que $(-\alpha) = (-\alpha)’$.
- Ahora justifica cada una de las siguientes igualdades:
$(-\alpha) = (-\alpha) + 0_K = (-\alpha) + (\alpha + (-\alpha)’)$$= ((-\alpha) + (\alpha)) + (-\alpha)’$ - Completa la demostración con las igualdades necesarias y justifícalas.
- El neutro multiplicativo en $K$.
Para lograrlo, se te sugiere realizar igualdades análogas al neutro aditivo y justificar cada una.
- Los inversos multiplicativos en $K$.
Para lograrlo, se te sugiere realizar igualdades análogas a los inversos aditivos y justificar cada una.
Más adelante…
Ahora el concepto de campo vamos a usarlo para obtener un nuevo concepto básico y central en este curso: espacio vectorial.
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