Introducción
Esta es la primer entrada correspondiente a las notas del curso Álgebra Lineal I. En esta serie de entradas, cubriremos todo el temario correspondiente al plan de estudios de la materia en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Las notas están basadas fuertemente en el libro Essential Lineal Algebra with Applications de Titu Andreescu.
El curso se trata, muy a grandes rasgos, de definir espacios vectoriales y estudiar muchas de sus propiedades. Un espacio vectorial con el que tal vez estés familiarizado es , donde sus elementos son vectores con
entradas. En él se pueden hacer sumas entrada a entrada, por ejemplo, si
una suma sería
También se puede multiplicar un vector por un número real, haciéndolo entrada a entrada, por ejemplo,
El álgebra lineal estudia espacios vectoriales más generales que simplemente . Como veremos más adelante, hay muchos objetos matemáticos en los que se puede definir una suma y un producto escalar. Algunos ejemplos son los polinomios, ciertas familias de funciones y sucesiones. La ventaja de estudiar estos espacios desde el punto de vista del álgebra lineal es que todas las propiedades que probemos «en general», se valdran para todos y cada uno de estos ejemplos.
Lo que haremos en la primer unidad del curso es entender muy a profundidad a , una generalización de
en la que usamos un campo arbitrario
. También, entenderemos a las matrices en
, que son arreglos rectangulares con entradas en
. La unidad culmina con estudiar sistemas de ecuaciones lineales y el método de reducción Gaussiana.
Más adelante veremos que estudiar estos conceptos primero es muy buena idea pues los espacios vectoriales más generales tienen muchas de las propiedades de , y podemos entender a ciertas transformaciones entre ellos al entender a
.
Breve comentario sobre campos
En este curso no nos enfocaremos en estudiar a profundidad las propiedades que tienen los campos como estructuras algebraicas. De manera pragmática, pensaremos que un campo consiste de elementos que se pueden sumar y multiplicar bajo propiedades bonitas:
- La suma y el producto son asociativas, conmutativas, tienen neutro (que llamaremos
y
respectivamente y tienen inversos (i.e. se vale «restar» y «dividir»)
- La suma y producto satisfacen la regla distributiva
De hecho, de manera muy práctica, únicamente usaremos a los campos de racionales,
de reales,
de complejos y
, el campo de dos elementos
y
. Este último sólo lo usaremos para observar que hay algunas sutilezas cuando usamos campos con una cantidad finita de elementos.
Para todos estos campos, supondremos que sabes cómo se suman y multiplican elementos. Si necesitas dar un repaso a estos temas, puedes echarle un ojo a las entradas del curso Álgebra Superior II, que también están aquí en el blog.
Nociones iniciales de álgebra lineal: escalares, vectores y matrices
Quizás te has encontrado con vectores y matrices en otros cursos. Por ejemplo, en geometría analítica es usual identificar a un vector con un punto en el plano cartesiano, o bien con una «flecha» que va del origen a ese punto. En álgebra lineal nos olvidaremos de esta interpretación por mucho tiempo. Será hasta unidades posterioresque tocaremos el tema de geometría de espacios vectoriales. Por el momento, sólo nos importan los vectores desde el punto de vista algebraico.
Tomemos un campo . A los elementos de
les llamaremos escalares. Para un entero positivo
, un vector
en
consiste de un arreglo de
entradas
que pueden estar dispuestas en un vector fila
Para , a
le llamamos la
-ésima coordenada o
-ésima entrada de
.
Como vectores, puedes pensar que el vector fila y el vector columna correspondientes son el mismo. Abajo veremos en qué sentido tenemos que pensarlos como diferentes. Aunque como vectores sean los mismos, los vectores columna tienen varias ventajas conceptuales en álgebra lineal.
Ejemplo. El vector


El vector




Una matriz en es un arreglo rectangular de elementos en
dispuestos en
filas y
columnas como sigue:
Al escalar le llamamos la entrada
de
.
Para cada , definimos a la
-ésima fila de
como el vector fila



Veamos algunas aclaraciones de notación. Cuando , las matrices en
tienen la misma cantidad de filas que de columnas. En este caso simplemente usamos la notación
para ahorrarnos una letra, y si una matriz está en
, le llamamos una matriz cuadrada. También, ocasiones expresamos a una matriz en forma compacta diciendo cuántas filas y columnas tiene y usando la notación
.
Ejemplo. Consideremos la matriz en
dada por
. Si queremos poner a
de manera explícita, simplemente usamos la fórmula en cada una de sus entradas:
Esta es una matriz cuadrada. Sin embargo, la matriz en
con la misma regla
no es una matriz cuadrada pues es
la cual es una matriz con filas y
columnas.
Cualquier vector fila en lo podemos pensar como una matriz en
y cualquier vector columna en
lo podemos pensar como una matriz en
. En este sentido estos dos vectores sí serían distintos. Usualmente será claro si se necesita o no hacer la distinción.
Para que dos vectores o dos matrices sean iguales, tienen que serlo coordenada a coordenada.
Vectores y matrices especiales
Al vector en con todas sus entradas iguales al cero del campo
le llamamos el vector cero y lo denotamos con
. El contexto nos ayuda a decidir si estamos hablando del escalar cero (el neutro aditivo del campo
) o del vector cero.
De manera similar, a la matriz en con todas sus entradas iguales al cero del campo
le llamamos la matriz cero y la denotamos con
. Si
, la llamamos simplemente
.
Otra matriz especial que nos encontraremos frecuentemente es la matriz identidad. Para cada , es la matriz
en
tal que cada entrada de la forma
es igual a uno (el neutro multiplicativo de
) y el resto de sus entradas son iguales a
.
Cuando estamos trabajando en , es decir, con matrices cuadradas, hay otras familias de matrices que nos encontraremos frecuentemente. Una matriz
en
:
- Es diagonal si cuando
, entonces
.
- Es triangular superior si cuando
, entonces
.
- Y es triangular inferior si cuando
entonces
.
A las entradas de la forma se les conoce como las entradas de la diagonal principal de la matriz. En otras palabras,
es diagonal cuando sus únicas entradas no cero están en la diagonal principal. Es triangular superior cuando sus entradas por debajo de la diagonal principal son iguales a cero. Y de manera similar, es triangular inferior cuando sus entradas por encima de la diagonal principal son iguales a cero.
Ejemplo. La matriz de
es la siguiente
La matriz de
es la siguiente
Esta matriz identidad es diagonal, triangular superior y triangular inferior. Una matriz diagonal distinta a la identidad podría ser la siguiente matriz en :
Una matriz que es triangular superior, pero que no es diagonal (ni triangular inferior), podría ser la siguiente matriz en :
Operaciones de vectores y matrices
Si tenemos dos matrices y
en
, entonces podemos definir a la matriz suma
como la matriz cuyas entradas son
, es decir, se realiza la suma (del campo
) entrada por entrada.
Ejemplo. Si queremos sumar a las matrices y
en
dadas por
y
entonces hacemos la suma entrada por entrada para obtener:
Es muy importante que las dos matrices tengan la misma cantidad de filas y renglones. Insistiendo: si no coinciden la cantidad de filas o de columnas, entonces las matrices no se pueden sumar.
Si tenemos una matriz en
y un escalar
en
, podemos definir el producto escalar de
por
como la matriz
, es decir, aquella que se obtiene al multiplicar cada una de las entradas de
por el escalar
(usando la multiplicación del campo
).
Ejemplo. Al tomar la siguiente matriz en


Dada una matriz , a la matriz
le llamamos simplemente
, y definimos
.
Como todo vector en se puede pensar como una matriz, estas operaciones también se pueden definir para vectores para obtener la suma de vectores y la producto escalar en vectores.
En álgebra lineal frecuentemente hablaremos de escalares, vectores y matrices simultáneamente. Cada que veas una una variable es importante que te preguntes de cuál de estos tipos de objeto es. También, cada que veas una operación (por ejemplo, una suma), es importante preguntarte si es una suma de escalares, vectores o matrices.
Muchas de las buenas propiedades de las operaciones de suma y producto en el campo también se cumplen para estas definiciones de suma y producto escalar de vectores y matrices.
Teorema. Sean matrices en
y
escalares en
. Entonces la suma de matrices:
- Es asociativa:
- Es conmutativa:
- Tiene neutro:
- Tiene inversos:
Además,
- La suma de escalares y el producto escalar se distribuyen:
- La suma de matrices y el producto escalar se distribuyen:
- El producto escalar es homogéneo:
- El
es neutral para el producto escalar:
Un teorema análogo se vale al cambiar matrices por vectores. La demostración de este teorema se sigue directamente de las propiedades del campo . La notación de entradas nos ayuda mucha a escribir una demostración sin tener que escribir demasiadas entradas una por una. Veamos, como ejemplo, la demostración de la primera propiedad.
Demostración. Tomemos matrices ,
y
en
. Para mostrar que




Por definición de suma, . Por ello, y de nuevo por definicón de suma,
Pero en la suma es asociativa, de modo que
Con esto hemos demostrado que y
son iguales entrada a entrada, y por lo tanto son iguales como matrices.
La receta para demostrar el resto de las propiedades es la misma:
- Usar la definición de suma o producto por escalares para saber cómo es la entrada
del lado izquierdo y del lado derecho.
- Usar las propiedades del campo
para concluir que las entradas son iguales.
- Concluir que las matrices son iguales.
Para practicar las definiciones y esta técnica, la demostración del resto de las propiedades queda como tarea moral. A partir de ahora usaremos todas estas propiedades frecuentemente, así que es importante que las tengas en cuenta.
Base canónica de vectores y matrices
Cuando estamos trabajando en , al vector
tal que su
-ésima entrada es
y el resto son
lo llamamos el
-ésimo vector de la base canónica. Al conjunto de vectores
le llamamos la base canónica de
.
De manera similar, cuando estamos trabajando en , para cada
y
, la matriz
tal que su entrada
es
y todas las otras entradas son cero se le conoce como la matriz
de la base canónica. Al conjunto de todas estas matrices
le llamamos la base canónica de
.
Ejemplo. El vector de
es
. Ten cuidado, pues este es distinto al vector
de
, que es
.
La matriz de
es
Más adelante veremos el concepto de base en general, cuando hablemos de espacios vectoriales. Por el momento, la intuición para álgebra lineal es que una base es un conjunto que nos ayuda a generar elementos que nos interesan mediante sumas y productos escalares. Los siguientes resultados dan una intuición inicial de este fenómeno.
Teorema. Todo vector en
se puede escribir de manera única de la forma



Demostración. Si es un vector en
, entonces es de la forma
. Afirmamos que las coordenadas de
son los
buscados.
En efecto, tomemos una . Como
tiene
en la
-ésima entrada y
en el resto, entonces
es el vector con
en la
-ésima entrada y
en el resto. De esta forma, sumando entrada a entrada, tenemos
Esto muestra la existencia.
Para demostrar la unicidad, un argumento análogo muestra que si tenemos otros escalares que cumplan, entonces:
de modo que para todo
.
Tenemos un resultado análogo para matrices.
Teorema. Toda matriz en
se puede escribir de manera única de la forma





La demostración es muy similar a la del teorema anterior y como práctica queda como tarea moral.
Ejemplo. La matriz

Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- Explica por qué no puedes sumar la matriz
con la matriz
- Muestra que la suma de dos matrices diagonales es diagonal. Haz lo mismo para matrices triangulares superiores y para matrices triangulares inferiores.
- Termina de demostrar el teorema de propiedades de las operaciones de suma y producto escalar.
- Explica por qué si una matriz es simultáneamente triangular superior y triangular inferior, entonces es diagonal.
- Expresa a la siguiente matriz como combinación lineal de matrices de la base canónica:
- Demuestra el teorema de representación de matrices en términos de la base canónica.
Más adelante…
En esta entrada dimos una breve introducción al álgebra lineal. Ya definimos la suma y el producto escalar para vectores y matrices. En la siguiente entrada hablaremos de otro producto que sucede en álgebra lineal: la de una matriz en por un vector en
. Veremos que esta multiplicación nos permite pensar a una matriz
como una función
con ciertas propiedades especiales.
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