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Álgebra Lineal I: Introducción al curso, vectores y matrices

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Introducción

Esta es la primer entrada correspondiente a las notas del curso Álgebra Lineal I. En esta serie de entradas, cubriremos todo el temario correspondiente al plan de estudios de la materia en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Las notas están basadas fuertemente en el libro Essential Lineal Algebra with Applications de Titu Andreescu.

El curso se trata, muy a grandes rasgos, de definir espacios vectoriales y estudiar muchas de sus propiedades. Un espacio vectorial con el que tal vez estés familiarizado es \mathbb{R}^n, donde sus elementos son vectores con n entradas. En él se pueden hacer sumas entrada a entrada, por ejemplo, si n=3 una suma sería

    \begin{align*}(5,-1,2)+(1,4,9)=(6,3,11).\end{align*}

También se puede multiplicar un vector por un número real, haciéndolo entrada a entrada, por ejemplo,

    \begin{align*}3(1,5,-2,6)=(3,15,-6,18).\end{align*}

El álgebra lineal estudia espacios vectoriales más generales que simplemente \mathbb{R}^n. Como veremos más adelante, hay muchos objetos matemáticos en los que se puede definir una suma y un producto escalar. Algunos ejemplos son los polinomios, ciertas familias de funciones y sucesiones. La ventaja de estudiar estos espacios desde el punto de vista del álgebra lineal es que todas las propiedades que probemos «en general», se valdran para todos y cada uno de estos ejemplos.

Lo que haremos en la primer unidad del curso es entender muy a profundidad a F^n, una generalización de \mathbb{R}^n en la que usamos un campo arbitrario F. También, entenderemos a las matrices en M_{m,n}(F), que son arreglos rectangulares con entradas en F. La unidad culmina con estudiar sistemas de ecuaciones lineales y el método de reducción Gaussiana.

Más adelante veremos que estudiar estos conceptos primero es muy buena idea pues los espacios vectoriales más generales tienen muchas de las propiedades de F^n, y podemos entender a ciertas transformaciones entre ellos al entender a M_{m,n}(F).

Breve comentario sobre campos

En este curso no nos enfocaremos en estudiar a profundidad las propiedades que tienen los campos como estructuras algebraicas. De manera pragmática, pensaremos que un campo F consiste de elementos que se pueden sumar y multiplicar bajo propiedades bonitas:

  • La suma y el producto son asociativas, conmutativas, tienen neutro (que llamaremos 0 y 1 respectivamente y tienen inversos (i.e. se vale «restar» y «dividir»)
  • La suma y producto satisfacen la regla distributiva

De hecho, de manera muy práctica, únicamente usaremos a los campos \mathbb{Q} de racionales, \mathbb{R} de reales, \mathbb{C} de complejos y \mathbb{F}_2, el campo de dos elementos 0 y 1. Este último sólo lo usaremos para observar que hay algunas sutilezas cuando usamos campos con una cantidad finita de elementos.

Para todos estos campos, supondremos que sabes cómo se suman y multiplican elementos. Si necesitas dar un repaso a estos temas, puedes echarle un ojo a las entradas del curso Álgebra Superior II, que también están aquí en el blog.

Nociones iniciales de álgebra lineal: escalares, vectores y matrices

Quizás te has encontrado con vectores y matrices en otros cursos. Por ejemplo, en geometría analítica es usual identificar a un vector (x,y) con un punto en el plano cartesiano, o bien con una «flecha» que va del origen a ese punto. En álgebra lineal nos olvidaremos de esta interpretación por mucho tiempo. Será hasta unidades posterioresque tocaremos el tema de geometría de espacios vectoriales. Por el momento, sólo nos importan los vectores desde el punto de vista algebraico.

Tomemos un campo F. A los elementos de F les llamaremos escalares. Para un entero positivo n, un vector X en F^n consiste de un arreglo de n entradas a_1,a_2,\ldots,a_n que pueden estar dispuestas en un vector fila

    \[X=(a_1, a_2,\ldots, a_n),\]

o bien un vector columna

    \[X=\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix}.\]

Para i=1,\ldots,n, a a_i le llamamos la i-ésima coordenada o i-ésima entrada de X.

Como vectores, puedes pensar que el vector fila y el vector columna correspondientes son el mismo. Abajo veremos en qué sentido tenemos que pensarlos como diferentes. Aunque como vectores sean los mismos, los vectores columna tienen varias ventajas conceptuales en álgebra lineal.

Ejemplo. El vector

    \[X=\left(\frac{1}{2}, -1, \frac{2}{3}, 4\right).\]

tiene cuatro entradas, y todas ellas son números racionales. Por lo tanto, es un vector en \mathbb{Q}^4. Su primer entrada es \frac{1}{2}. Está escrito como vector fila, pero podríamos escribirlo también como vector columna:

    \[\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ -1 \\ \frac{2}{3} \\ 4 \end{pmatrix}.\]

El vector

    \[Y=\left(\pi, \frac{3}{4}, 5, 6, \sqrt{2}\right)\]

es un vector fila en \mathbb{R}^5, pero no en \mathbb{Q}^5, pues no todas sus entradas son racionales. A Y también lo podemos pensar como un vector en \mathbb{C}.

\square

Una matriz en M_{m,n}(F) es un arreglo rectangular de elementos en F dispuestos en m filas y n columnas como sigue:

    \[A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n}\\$\vdots & & \ddots & \vdots \\a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}.\]

Al escalar a_{ij} le llamamos la entrada (i,j) de A.

Para cada i=1,\ldots,m, definimos a la i-ésima fila de A como el vector fila

    \[L_i=(a_{i1},a_{i2},\ldots,a_{in}),\]

y para cada j=1,2,\ldots,n definimos a la j-ésima columna de A como el vector columna

    \[C_j=\begin{pmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj}\end{pmatrix}.\]

Veamos algunas aclaraciones de notación. Cuando m=n, las matrices en M_{m,n}(F) tienen la misma cantidad de filas que de columnas. En este caso simplemente usamos la notación M_{n}(F) para ahorrarnos una letra, y si una matriz está en M_{n}(F), le llamamos una matriz cuadrada. También, ocasiones expresamos a una matriz en forma compacta diciendo cuántas filas y columnas tiene y usando la notación A=[a_{ij}].

Ejemplo. Consideremos la matriz A en M_3(\mathbb{R}) dada por A=[a_{ij}]=[i+2j]. Si queremos poner a A de manera explícita, simplemente usamos la fórmula en cada una de sus entradas:

    \begin{align*}A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\\\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}1+2\cdot 1 & 1+2\cdot 2 & 1+2\cdot 3\\2+2\cdot 1 & 2+2\cdot 2 & 2+2\cdot 3\\3+2\cdot 1 & 3+2\cdot 2 & 3+2\cdot 3\\\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}3 & 5 & 7\\4 & 6 & 8\\5 & 7 & 9\\\end{pmatrix}\end{align*}

Esta es una matriz cuadrada. Sin embargo, la matriz B en M_{3,2}(\mathbb{R}) con la misma regla B=[b_{ij}]=[i+2j] no es una matriz cuadrada pues es

    \begin{align*}B=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \\a_{31} & a_{32} \\\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}1+2\cdot 1 & 1+2\cdot 2\\2+2\cdot 1 & 2+2\cdot 2\\3+2\cdot 1 & 3+2\cdot 2\\\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}3 & 5 \\4 & 6 \\5 & 7 \\\end{pmatrix},\end{align*}

la cual es una matriz con 3 filas y 2 columnas.

\square

Cualquier vector fila en F^n lo podemos pensar como una matriz en M_{1n}(F) y cualquier vector columna en F^n lo podemos pensar como una matriz en M_{n1}(F). En este sentido estos dos vectores sí serían distintos. Usualmente será claro si se necesita o no hacer la distinción.

Para que dos vectores o dos matrices sean iguales, tienen que serlo coordenada a coordenada.

Vectores y matrices especiales

Al vector en F^n con todas sus entradas iguales al cero del campo F le llamamos el vector cero y lo denotamos con 0. El contexto nos ayuda a decidir si estamos hablando del escalar cero (el neutro aditivo del campo F) o del vector cero.

De manera similar, a la matriz en M_{m,n} con todas sus entradas iguales al cero del campo F le llamamos la matriz cero y la denotamos con O_{m,n}. Si m=n, la llamamos simplemente O_n.

Otra matriz especial que nos encontraremos frecuentemente es la matriz identidad. Para cada n, es la matriz I_n en M_n(F) tal que cada entrada de la forma a_{ii} es igual a uno (el neutro multiplicativo de F) y el resto de sus entradas son iguales a 0.

Cuando estamos trabajando en M_n(F), es decir, con matrices cuadradas, hay otras familias de matrices que nos encontraremos frecuentemente. Una matriz A=[a_{ij}] en M_{n}(F):

  • Es diagonal si cuando i\neq j, entonces a_{ij}=0.
  • Es triangular superior si cuando i>j, entonces a_{ij}=0.
  • Y es triangular inferior si cuando i<j entonces a_{ij}=0.

A las entradas de la forma a_{ii} se les conoce como las entradas de la diagonal principal de la matriz. En otras palabras, A es diagonal cuando sus únicas entradas no cero están en la diagonal principal. Es triangular superior cuando sus entradas por debajo de la diagonal principal son iguales a cero. Y de manera similar, es triangular inferior cuando sus entradas por encima de la diagonal principal son iguales a cero.

Ejemplo. La matriz O_{3,2} de M_{3,2}(\mathbb{Q}) es la siguiente

    \[O_{3,2}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0& 0 \\ 0 & 0 \\\end{pmatrix}\]

La matriz I_4 de M_{4}(F) es la siguiente

    \[I_4=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.\]

Esta matriz identidad es diagonal, triangular superior y triangular inferior. Una matriz diagonal distinta a la identidad podría ser la siguiente matriz en M_3(\mathbb{Q}):

    \[\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} \\\end{pmatrix}.\]

Una matriz que es triangular superior, pero que no es diagonal (ni triangular inferior), podría ser la siguiente matriz en M_4(\mathbb{R}):

    \[\begin{pmatrix}1 & \sqrt{2} & 2 & \sqrt{5}\\ 0 & 1 & \sqrt{3} & 0\\ 0& 0 & 1 & \sqrt{2}\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.\]

\square

Operaciones de vectores y matrices

Si tenemos dos matrices A=[a_{ij}] y B=[b_{ij}] en M_{m,n}(F), entonces podemos definir a la matriz suma A+B como la matriz cuyas entradas son [a_{ij}+b_{ij}], es decir, se realiza la suma (del campo F) entrada por entrada.

Ejemplo. Si queremos sumar a las matrices A y B en M_{4}(\mathbb{R}) dadas por

    \[A=\begin{pmatrix}1 & \sqrt{2} & 2 & \sqrt{5}\\ 0 & 1 & \sqrt{3} & 2\\ 0& 0 & 1 & \sqrt{2}\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.\]

y

    \[B=\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & -3\\ 0 & 1 & 1 & -2\\ 0& 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix},\]

entonces hacemos la suma entrada por entrada para obtener:

    \[A+B=\begin{pmatrix}2 & 1+\sqrt{2} & 1 & -3+\sqrt{5}\\ 0 & 2 & 1+\sqrt{3} & 0\\ 0 & 0 & 2 & 1+\sqrt{2}\\ 0 & 0 & 0 & 2\end{pmatrix}.\]

\square

Es muy importante que las dos matrices tengan la misma cantidad de filas y renglones. Insistiendo: si no coinciden la cantidad de filas o de columnas, entonces las matrices no se pueden sumar.

Si tenemos una matriz A=[a_{ij}] en M_{m,n}(F) y un escalar c en F, podemos definir el producto escalar de A por c como la matriz cA=[ca_{ij}], es decir, aquella que se obtiene al multiplicar cada una de las entradas de A por el escalar c (usando la multiplicación del campo F).

Ejemplo. Al tomar la siguiente matriz en M_{2}(\mathbb{C})

    \[A=\begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{pmatrix}\]

y el escalar i en \mathbb{C}, se tiene que

    \[iA=\begin{pmatrix} i\cdot 1 &i\cdot i \\ i\cdot (-i) & i\cdot 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i & -1 \\ 1 & i \end{pmatrix}.\]

\square

Dada una matriz A, a la matriz (-1)A le llamamos simplemente -A, y definimos A-B:=A+(-B).

Como todo vector en F^n se puede pensar como una matriz, estas operaciones también se pueden definir para vectores para obtener la suma de vectores y la producto escalar en vectores.

En álgebra lineal frecuentemente hablaremos de escalares, vectores y matrices simultáneamente. Cada que veas una una variable es importante que te preguntes de cuál de estos tipos de objeto es. También, cada que veas una operación (por ejemplo, una suma), es importante preguntarte si es una suma de escalares, vectores o matrices.

Muchas de las buenas propiedades de las operaciones de suma y producto en el campo F también se cumplen para estas definiciones de suma y producto escalar de vectores y matrices.

Teorema. Sean A,B,C matrices en M_{m,n}(F) y \alpha,\beta,\gamma escalares en F. Entonces la suma de matrices:

  • Es asociativa: (A+B)+C = A+(B+C)
  • Es conmutativa: A+B=B+A
  • Tiene neutro: A+O_{m,n}=A=O_{m,n}+A
  • Tiene inversos: A+(-A)=O_{m,n}=(-A)+A

Además,

  • La suma de escalares y el producto escalar se distribuyen: (\alpha+\beta)A=\alpha A + \beta A
  • La suma de matrices y el producto escalar se distribuyen: \alpha(A+B)=\alpha A + \alpha B
  • El producto escalar es homogéneo: \alpha(\beta A) = (\alpha \beta) A
  • El 1 es neutral para el producto escalar: 1A = A

Un teorema análogo se vale al cambiar matrices por vectores. La demostración de este teorema se sigue directamente de las propiedades del campo F. La notación de entradas nos ayuda mucha a escribir una demostración sin tener que escribir demasiadas entradas una por una. Veamos, como ejemplo, la demostración de la primera propiedad.

Demostración. Tomemos matrices A=[a_{ij}], B=[b_{ij}] y C=[c_{ij}] en M_{m,n}(F). Para mostrar que

    \[(A+B)+C=A+(B+C),\]

tenemos que mostrar que la entrada (i,j) del lado izquierdo es igual a la entrada (i,j) del lado derecho para cada i=1,\ldots,m y j=1,\ldots,n.

Por definición de suma, A+B=[a_{ij}]+[b_{ij}]=[a_{ij}+b_{ij}]. Por ello, y de nuevo por definicón de suma,

    \[(A+B)+C=[(a_{ij}+b_{ij})+c_{ij}].\]

De manera similar,

    \[A+(B+C)=[a_{ij}+(b_{ij}+c_{ij})].\]

Pero en F la suma es asociativa, de modo que

    \[(a_{ij}+b_{ij})+c_{ij}=a_{ij}+(b_{ij}+c_{ij}).\]

Con esto hemos demostrado que (A+B)+C y A+(B+C) son iguales entrada a entrada, y por lo tanto son iguales como matrices.

\square

La receta para demostrar el resto de las propiedades es la misma:

  1. Usar la definición de suma o producto por escalares para saber cómo es la entrada (i,j) del lado izquierdo y del lado derecho.
  2. Usar las propiedades del campo F para concluir que las entradas son iguales.
  3. Concluir que las matrices son iguales.

Para practicar las definiciones y esta técnica, la demostración del resto de las propiedades queda como tarea moral. A partir de ahora usaremos todas estas propiedades frecuentemente, así que es importante que las tengas en cuenta.

Base canónica de vectores y matrices

Cuando estamos trabajando en F^n, al vector e_i tal que su i-ésima entrada es 1 y el resto son 0 lo llamamos el i-ésimo vector de la base canónica. Al conjunto de vectores \{e_1,\ldots,e_n\} le llamamos la base canónica de F^n.

De manera similar, cuando estamos trabajando en M_{m,n}(F), para cada i=1,\ldots,m y j=1,\ldots,n, la matriz E_{ij} tal que su entrada (i,j) es 1 y todas las otras entradas son cero se le conoce como la matriz (i,j) de la base canónica. Al conjunto de todas estas matrices E_{ij} le llamamos la base canónica de M_{m,n}(F).

Ejemplo. El vector e_2 de F^3 es (0,1,0). Ten cuidado, pues este es distinto al vector e_2 de F^5, que es (0,1,0,0,0).

La matriz E_{12} de M_{2,3}(\mathbb{R}) es

    \[\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.\]

\square

Más adelante veremos el concepto de base en general, cuando hablemos de espacios vectoriales. Por el momento, la intuición para álgebra lineal es que una base es un conjunto que nos ayuda a generar elementos que nos interesan mediante sumas y productos escalares. Los siguientes resultados dan una intuición inicial de este fenómeno.

Teorema. Todo vector X en F^n se puede escribir de manera única de la forma

    \[X=x_1e_1+x_2e_2+\ldots+x_ne_n,\]

en donde x_1,\ldots,x_n son escalares en F y \{e_1,\ldots,e_n\} es la base canónica.

Demostración. Si X es un vector en F^n, entonces es de la forma X=(x_1,x_2,\ldots,x_n). Afirmamos que las coordenadas de X son los x_i buscados.

En efecto, tomemos una i=1,\ldots,n. Como e_i tiene 1 en la i-ésima entrada y 0 en el resto, entonces x_ie_i es el vector con x_i en la i-ésima entrada y 0 en el resto. De esta forma, sumando entrada a entrada, tenemos

    \begin{align*}x_1e_1+x_2e_2+\ldots+x_ne_n&=\begin{pmatrix} x_1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ x_2 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + \ldots + \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=X.\end{align*}

Esto muestra la existencia.

Para demostrar la unicidad, un argumento análogo muestra que si tenemos otros escalares y_1,\ldots,y_n que cumplan, entonces:

    \[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=X=y_1e_1+\ldots+y_ne_n=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix},\]

de modo que x_i=y_i para todo i=1,\ldots,n.

\square

Tenemos un resultado análogo para matrices.

Teorema. Toda matriz A en M_{m,n}(F) se puede escribir de manera única de la forma

    \[A=\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n x_{ij} E_{ij},\]

en donde para i=1,\ldots,m y j=1,\ldots,n, se tiene que x_{ij} son escalares en F y E_{ij} son las matrices de la base canónica.

La demostración es muy similar a la del teorema anterior y como práctica queda como tarea moral.

Ejemplo. La matriz

    \[A=\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & -1 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}\]

en M_{3,2}(\mathbb{C}) se expresa de manera única en términos de la base canónica como

    \[A=2E_{11}-1E_{22}+3E_{31}+5E_{32}.\]

\square

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Explica por qué no puedes sumar la matriz I_5 con la matriz O_4
  • Muestra que la suma de dos matrices diagonales es diagonal. Haz lo mismo para matrices triangulares superiores y para matrices triangulares inferiores.
  • Termina de demostrar el teorema de propiedades de las operaciones de suma y producto escalar.
  • Explica por qué si una matriz es simultáneamente triangular superior y triangular inferior, entonces es diagonal.
  • Expresa a la siguiente matriz como combinación lineal de matrices de la base canónica:

        \[\begin{pmatrix}2 & \frac{1}{2} & 0 & 1\\3 & -3 & 3 & -3\\7 & -8 & -1 & 0\end{pmatrix}.\]

  • Demuestra el teorema de representación de matrices en términos de la base canónica.

Más adelante…

En esta entrada dimos una breve introducción al álgebra lineal. Ya definimos la suma y el producto escalar para vectores y matrices. En la siguiente entrada hablaremos de otro producto que sucede en álgebra lineal: la de una matriz en M_{m,n}(F) por un vector en F^n. Veremos que esta multiplicación nos permite pensar a una matriz A como una función \varphi_A:F^n\to F^m con ciertas propiedades especiales.

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