Archivo de la etiqueta: algebra

Álgebra Superior I: Introducción al curso y proposiciones matemáticas

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Introducción

En este curso se desarrollarán varias de las habilidades matemáticas fundamentales a nivel superior. Trabajaremos en lo siguiente:

  • Conocer a detalle las reglas lógicas que usamos en matemáticas y cómo nos permiten demostrar resultados a partir de pequeños bloques.
  • Definir manera formal que son los conjuntos, las relaciones y las funciones y aprender a justificar mediante argumentos formales las propiedades que tienen.
  • Construir el conjunto de los números naturales y aprovecharlo para poner en práctica todo lo aprendido anteriormente.
  • Desarrollar habilidades fuertes para responder preguntas del estilo «¿De cuántas formas puede ocurrir…?» «¿Cuántos objetos matemáticos hay tales que…?»
  • Introducir los conceptos de espacio vectorial, vectores y matrices y ver cómo nos ayuda para entender a los sistemas de ecuaciones lineales.

La primer parte del curso es fundamental, pues en todas las demás asignaturas de matemáticas a nivel superior se usan argumentos formales una y otra vez. En esta primera parte comenzarás a entender qué es el «pensamiento matemático» y conocerás la estructura lema-proposición-teorema-corolario que es muy usada a través de diferentes áreas.

Falso y verdadero

Nuestra experiencia con la vida cotidiana nos da una intuición de qué significa que algo sea verdadero o falso. Entendemos por verdadero algo que es verificable o que coincide con la realidad, por ejemplo: «Marte es un planeta».

Algo falso es lo contrario: una cosa que es posible verificar que no es cierta, o que no coincide con lo que experimentamos. Un ejemplo sería «El sol es de color azul».

En el mundo real, a veces estos conceptos de veracidad pueden tener muchos matices. En el caso del pensamiento matemático esto no es así. Lo que se hace en matemáticas es acordar (o dar por hecho) que ciertos enunciados son verdaderos y, a partir de ellos ver cuáles muchos otros enunciados verdaderos y enunciados falsos se pueden obtener como conclusión.

De esta forma, entenderemos a verdadero y falso como propiedades que puede tener un enunciado. Daremos reglas que nos permiten combinar enunciados de diferentes formas para obtener un «enunciado compuesto» y deducir su veracidad. A la larga, lo que nos interesa es poder deducir que una afirmación es verdadera a partir de la veracidad de afirmaciones más chicas y simples. Es como armar un castillo con pequeños bloques.

Proposiciones

Entenderemos por una proposición a un enunciado que se puede decir si es verdadero o falso, pero no ambas a la vez. Algunos ejemplos de proposiciones de la vida real serían las siguientes:

  • «La tierra gira alrededor del sol»
  • «Los tacos más ricos son los del señor de los tacos de canasta»
  • «Un kilómetro es igual a 100 metros»
  • «La receta sale mejor si se le pone el doble de leche»

Observa que para que algo sea una proposición no es necesario que sea verdadero. Sólo basta con que se pueda decir si es verdadero o no. Así, «Un kilómetro es igual a 100 metros» es una proposición porque se puede decidir si es falsa o verdadera. Y es falsa. También observa que algunas proposiciones necesitan más contexto para poder decir si son verdaderas o falsas. Coinsidera la oración «La receta sale mejor si se le pone el doble de leche». Por supuesto, tendríamos que saber de qué receta hablamos o qué quiere decir que «salga mejor», para poder decidir si es verdadera o falsa.

Sin embargo, los siguientes enunciados no son proposiciones.

  • ¡Feliz cumpleaños!
  • Este enunciado es falso
  • ¿Es cierto que $7$ es un número primo?

El primero no está afirmando la veracidad de nada, sólo expresa un sentimiento. El problema con el segundo enunciado es que si es verdadero, entonces es falso y viceversa. El tercero parecería sí ser algo que podemos decir si es verdadero o falso. Pero ten mucho cuidado. Compara los siguientes dos:

  • ¿Es cierto que $7$ es un número primo?
  • El número $7$ es primo.

El primer enunciado es una pregunta y no está afirmando nada, sólo está preguntando. El segundo sí está afirmando algo y podemos decir si es verdadero o falso. ¿Cómo le hacemos para saber si es verdadero o falso? En la vida cotidiana puede ser muy fácil de responder a partir de la experiencia. Pero en el contexto matemático será fundamental primero definir qué quiere decir «primo» e incluso definir qué quiere decir «7» para que podamos responder la pregunta.

El enunciado «El número $7$ es primo» es un ejemplo de una proposición matemática, es decir, una proposición en la que se habla de objetos matemáticos y sus relaciones entre sí. Es posible que simplemente les llamemos «proposiciones», pues será claro que estaremos en el contexto matemáticos. Otros ejemplos de proposiciones matemáticas son las siguientes:

  • El valor de la integral $\int_0 ^1 x^2\, dx$ es $\frac{1}{5}$.
  • Existen $10$ formas de elegir dos vocales distintas sin que se repitan y sin que nos importe el orden de elección.
  • Si $x>0$, entonces $x+1\geq 2\sqrt{x}$.

¿Puedes decir cuáles de estas proposiciones matemáticas son falsas y cuáles son verdaderas?

Proposiciones matemáticas en símbolos

En cursos de álgebra en la educación media superior nos enseñan la utilidad de introducir variables para referirnos a las cosas. Cuando ponemos $x^2+x+1$ estamos pensando en que $x$ es un número que podría tomar cualquier valor del sistema que estemos usando (por ejemplo, los números reales). Los símbolos matemáticos son muy útiles pues nos ayudan a cubrir muchos casos de manera simultánea y a escribir de manera abreviada nuestros resultados.

Aplicaremos todas estas ideas para estudiar a las proposiciones matemáticas. A una proposición arbitraria le pondremos un nombre de letra, por ejemplo $P$, $Q$, $R$, $p$, $q$, $r$, etc. Así, podemos hacer cosas como decir lo siguiente:

  • $P=$ «Todos los múltiplos de cuatro son números pares»
  • Para cualquier proposición $P$, tenemos que con $P$ se puede deducir $P$.

Observa que en el primer caso se está tomando un valor de $P$ específico, pero en el segundo estamos aprovechando la letra para hablar de algo así como «todas» las proposiciones de una manera práctica.

Proposiciones matemáticas en tablas de verdad

Una proposición tiene únicamente dos opciones: ser verdadera o ser falsa. Ahora estamos trabajando únicamente con una proposición, pero en general nos conviene tener una tabla en donde reflejemos todas las posibilidades que tenemos para las proposiciones que nos dan. Esto lo haremos mediante una tabla de verdad.

En una tabla de verdad tenemos dos tipos de columnas. Las que están a la izquierda, en donde consideramos todas las posibilidades para nuestras proposiciones y las que están a la derecha, en donde escribimos proposiciones compuestas que queremos saber si son falsas o verdaderas de acuerdo a cómo fueron las proposiciones iniciales. Para simplificar la presentación, en las tablas de verdad se usa $0$ como falso y $1$ como verdadero.

El siguiente es un ejemplo muy sencillo. Para una proposición $P$ arbitraria tenemos dos opciones que sea falsa ($0$) o que sea verdadera ($1$). Esto lo ponemos en la primer columna, que está en gris. A la derecha ponemos $P$ hasta arriba.

$P$$P$
$0$
$1$

Para llenar la tabla nos preguntamos, ¿qué podemos decir de $P$ conociendo la información que tenemos de $P$? Por supuesto, la pregunta es muy simple: cuando $P$ es falso, $P$ es falso. Cuando $P$ es verdadero, $P$ es verdadero. Así, la forma de llenar la tabla de verdad sería la siguiente:

$P$$P$
$0$$0$
$1$$1$

Este fue un ejemplo muy sencillo. Lo que nos gustaría hacer en esta primera parte del curso es aprender a combinar más de una proposición para obtener proposiciones matemáticas más interesantes. Dentro de algunas entradas habrás conocido símbolos suficientes y adquirido habilidades para llenar tablas de verdad como la siguiente:

$P$$Q$$\neg P$$\neg Q$$\neq P \land Q$$(\neg P \land Q \Rightarrow \neg Q)$
$0$$0$
$0$$1$
$1$$0$
$1$$1$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te ayudarán a repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. Piensa en $5$ enunciados que sean proposiciones. Intenta ser variado con tus ejemplos.
  2. Piensa en $5$ enunciados que no sean proposiciones.
  3. Escribe $5$ proposiciones matemáticas.
  4. Piensa en $5$ enunciados que son proposiciones, pero que es muy muy difícil decir si son ciertos o no. Por ejemplo «En el mundo hay una persona con 12548 cabellos».
  5. Escribe $5$ proposiciones matemáticas que te parezcan «obvias» o muy directas. Por ejemplo, «La suma $2+2$ es igual a $4$». Identifica en ellas los términos que aparecen y pregúntate si realmente sabes cómo está definido ese término. Por ejemplo, ¿qué es $2$? ¿qué es $4$? ¿qué es el símbolo $+$?

Más adelante…

En la siguiente entrada platicaremos de los tipos de enunciados matemáticos que existen, y con los cuales te encontrarás muy frecuentemente en el transcurso de tu formación matemática. Hablaremos de axiomas, definiciones, lemas, proposiciones, teoremas, corolarios y otros. Platicaremos acerca de ellos de manera un poco informal y veremos en dónde entran en los conceptos que estamos platicando.

Entradas relacionadas

Álgebra Superior II: Problemas de exponencial, logaritmo y trigonometría en los complejos

Por Claudia Silva

Introducción

En entradas anteriores, vimos la construcción de los números complejos, sus operaciones y varias de sus características algebraicas. Conociendo ya las funciones exponencial y logaritmo, así como las funciones trigonométricas seno y coseno, vamos a iniciar con un breve análisis geométrico de la función exponencial. Posteriormente pasaremos a hacer unos ejercicios simples de operar dichas funciones en números complejos concretos.

Geometría de la exponencial compleja

Para empezar, estudiamos qué le hace la función exponencial al plano complejo de manera geométrica. Para hacer esto, tomamos varias rectas en el plano complejo para entender en qué se transforman tras aplicarles la función exponencial.

A grandes rasgos, cuando tomamos una recta vertical, la imagen de esta le da la vuelta al origen repetidamente. Cuando tomamos una recta horizontal, su imagen es un rayo que emana del origen (sin tocarlo).

En este video se explican estas ideas de manera visual.

Calcular una exponencial compleja

Lo siguiente que haremos es resolver un ejercicio de calcular la exponencial de un número complejo. Recuerda que, por definición, se tiene que $$e^{x+iy}=e^x\text{cis}(y).$$

Ejercicio. Expresa $e^{4+\frac{\pi}{6}i}$ en la forma $x+iy$.

Problema de logaritmo complejo

Recuerda que el logaritmo complejo funciona como inverso de la función exponencial. Para que esto sea cierto, tenemos que restringir la exponencial a una franja del plano complejo.

Por definición, tenemos que $$L(z)=\ln \norm{z} + \text{arg}(z)i.$$ Para que la definición funcione bien, es necesario que tomemos el argumento en el intervalo $(-\pi,\pi]$.

Resolveremos el siguiente ejercicio.

Ejercicio. Calcula $L\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)$.

Problema de trigonometría compleja

Por último, haremos un ejercicio de calcular una función trigonométrica compleja. Sólo necesitaremos la definición de la función coseno, pero por conveniencia, a continuación recordamos tanto la definición de seno, como la de coseno.

\begin{align*}
\cos(z)=\frac{e^{zi}+e^{-zi}}{2},
\sin(z)=\frac{e^{zi}-e^{-zi}}{2}.
\end{align*}

Con esto en mente, resolveremos el siguiente ejercicio.

Ejercicio. Calcula $\cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2} i\right)$.

Más tarde les subo fotos por si alguien tiene dificultades para ver los videos.

Más adelante…

Tarea moral

Entradas relacionadas

Álgebra Superior II: Problemas de fórmula de De Moivre y raíces n-ésimas

Por Claudia Silva

Introducción

En una entrada anterior, vimos cómo se comporta la multiplicación en forma polar y cómo podemos aprovechar esto para hacer potencias. Concretamente, el teorema de De Moivre es muy útil para elevar complejos a potencias sin tener que hacer gran cantidad de productos.

Los primeros dos videos son ejercicios que ejemplifican lo anterior. Después, usamos lo que aprendimos en la entrada de raíces $n$-ésimas para resolver dos problemas más.

Al final, compartimos un enlace en el que puedes practicar más con operaciones de números complejos.

Problemas de fórmula de De Moivre

Para empezar, vemos dos problemas de exponenciación completa. El primero es una aplicación directa de la fórmula de De Moivre.

Problema. Usa el teorema de De Moivre para elevar a la potencia indicada $$\left(\sqrt{3}(\cos 25^\circ + i \sin 25^\circ\right)^6.$$

En algunos problemas es posible que sea necesario primero obtener la forma polar de un complejo antes de poder usar la fórmula de De Moivre. El segundo problema es un ejemplo de esto.

Problema. Encuentra el valor de $(\sqrt{3}-i)^{12}$.

Problemas de raíces $n$-ésimas

Si ahora, en vez de querer elevar a cierta potencia, queremos obtener raíces $n$-ésimas, con el uso de un poderoso teorema que dedujimos a partir de la fórmula de De Moivre, sabemos que son exactamente $n$ raíces, y podemos calcularlas explícitamente. A continuación, vemos dos ejercicios que ejemplifican lo anterior.

Problema. Obtén las raíces cúbicas del complejo $3+4i$.

Problema. Obtén las raíces quintas del complejo $16\sqrt{2}(-1+i)$.

Ojo. En algún momento del siguiente video se encuentra que el ángulo es $360^\circ – 45^\circ$. Sin embargo, debe decir $180^\circ – 45^\circ$, pues se debe estar en el cuadrante 2, ya que la parte real es negativa y la compleja es positiva.

Fotos de los ejercicios de hoy

Finalmente, les dejo fotos de lo resuelto en los videos, para quienes tengan dificultades para ver los videos. En la tercera foto no están tan desarrolladas las cuentas como en el video.

Problemas de fórmula de De Moivre, 1
Problemas de fórmula de De Moivre y de raíces
Problemas de raíces n-ésimas.

Más material de De Moivre y raíces

Puedes practicar más acerca de exponenciación y raíces complejas con los videos y ejercicios del tema en Khan Academy.

Más adelante…

Tarea moral

Entradas relacionadas

Álgebra Superior II: Exponencial, logaritmo y trigonometría en los complejos

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Introducción

Gracias a las entradas anteriores ya hemos desarrollado un buen manejo de los números complejos. Sabemos cómo se construyen y cómo hacer operaciones básicas, incluyendo obtener conjugados, la forma polar, sacar normas y elevar a potencias. También hemos aprendido a resolver varias ecuaciones en los complejos: cuadráticas, sistemas lineales y raíces $n$-ésimas. Todo esto forma parte de los fundamentos algebraicos de $\mathbb{C}$. Ahora hablaremos un poco de la exponencial, el logaritmo y trigonometría en los complejos.

Aunque mencionaremos un poco de las motivaciones detrás de las definiciones, no profundizaremos tanto como con otros temas. Varias de las razones para elegir las siguientes definiciones tienen que ver con temas de ecuaciones diferenciales y de análisis complejo, que no se estudian sino hasta semestres posteriores.

Función exponencial compleja

Recordemos que, para un real $y$, definimos $\text{cis}(y)=\cos y + i \sin y$. La función $\text{cis}$ y la exponenciación en los reales nos ayudarán a definir la exponencial compleja.

Definición. Definimos la función $\exp:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ como $$\exp(x+yi)=e^x\text{cis}(y).$$

Ejemplo. Se tiene que $$\exp\left(1+\frac{\pi}{2} i\right) = e^1 \text{cis}\left(\frac{\pi}{2}\right) = ei.$$

$\square$

Ejemplo. Se tiene que $$\exp(\pi i) = e^0\text{cis}(\pi) = (1)(-1)=-1.$$ Como veremos más abajo, esto lo podemos reescribir como la famosa identidad de Euler $$e^{\pi i}+1=0.$$

$\square$

Ejemplo. Se tiene que $$\exp(2+3i)=e^2\text{cis}(3).$$ Como $\cos(3)$ y $\sin(3)$ no tienen ningún valor especial, esta es la forma final de la expresión.

$\square$

Propiedades de la función exponencial compleja

Una buena razón para definir la exponencial así es que si $y=0$, entonces la definición coincide con la definición en los reales: $$\exp(x)=e^x\text{cis}(0)=e^x.$$ Si $x=0$, tenemos que $\exp(iy)=\text{cis}(y)$, de modo que si $w$ tiene norma $r$ y argumento $\theta$, podemos reescribir su forma polar como $$w=r\exp(\theta i),$$ y una forma alternativa de escribir el teorema de De Moivre es $$w^n=r^n\exp(n\theta i).$$

Otra buena razón para definir la exponencial compleja como lo hicimos es que se sigue satisfaciendo que las sumas en la exponencial se abren en productos.

Proposición. Para $w$ y $z$ complejos se tiene que $$E(w+z)=E(w)E(z).$$

Demostración. Escribamos $w=a+bi$ y $z=c+di$ con $a,b,c$ y $d$ reales. Tenemos que
\begin{align*}
\exp(w+z)&=\exp((a+c)+(b+d)i)\\
&=e^{a+c}\text{cis}(b+d).
\end{align*}

Por propiedades de la exponencial en $\mathbb{R}$ tenemos que $e^{a+c}=e^ae^c$. Además, por cómo funciona la multiplicación compleja en términos polares, tenemos que $\text{cis}(b+d)=\text{cis}(b)\text{cis}(d)$. Usando estas observaciones podemos continuar con la cadena de igualdades,

\begin{align*}
&=e^ae^c\text{cis}(b)\text{cis}(d)\\
&=(e^a\text{cis}(b)) (e^c\text{cis}(d))\\
&=\exp(a+bi)\exp(c+di)\\
&=\exp(w)\exp(z).
\end{align*}

$\square$

Como $\exp$ extiende a la exponencial real y se vale abrir las sumas de exponentes en productos, puede ser tentador usar la notación $e^{x+yi}$ en vez de $\exp(x+yi)$. Hay que tener cuidado con esta interpretación, pues hasta ahora no hemos dicho qué quiere decir «elevar a una potencia». Cuando lo hagamos, veremos que usar la notación $e^{x+yi}$ sí tiene sentido, pero por el momento hay que apegarnos a la definición.

Hay otras buenas razones para definir la exponencial compleja como lo hicimos. Una muy importante es que es la solución a una ecuación diferencial muy natural. Más adelante, en tu formación matemática, verás esto.

Función logaritmo complejo

Con el logaritmo natural $\ln$ en $\mathbb{R}$ y la multifunción argumento podemos extender el logaritmo a $\mathbb{C}$.

Definición. Definimos la función $L:\mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{C}$ como $$L(z)=\ln \Vert z \Vert + \arg(z) i.$$

Hay que ser un poco más precisos, pues $\arg(z)$ es una multifunción y toma varios valores. Cuando estamos trabajando con logaritmo, lo más conveniente por razones de simetría es que tomemos el argumento en el intervalo $(-\pi,\pi]$. En cursos posteriores hablarás de «otras» funciones logaritmo, y de por qué ésta es usualmente una buena elección.

Ejemplo. Los logaritmos de $i$ y de $-1$ son, respectivamente,
\begin{align*}
L(i)&=\ln \Vert i \Vert + \arg(i) i = \ln(1) + \frac{\pi}{2} i =\frac{\pi}{2} i\\
L(-1)&=\ln \Vert -1 \Vert + \arg(-1) i = \ln(1)+\pi i = \pi i.
\end{align*}

$\square$

Propiedades del logaritmo complejo

La función $\exp$ restringida a los números con parte imaginaria en $(-\pi,\pi]$ es invertible y su inversa es $L$. Esto justifica en parte la definición de logaritmo. Demostrar esto es sencillo y queda como tarea moral.

La función $L$ restringida a los reales positivos coincide con la función logaritmo natural, pues para $z=x+0i=x$, con $x>0$ se tiene que $\arg(x)=0$ y entonces $$L(z)=L(x)=\Vert x\Vert+\arg(x)i=x.$$

Como en el caso real, la función logaritmo abre productos en sumas, pero con un detalle que hay que cuidar.

Proposición. Para $w$ y $z$ complejos no $0$, se tiene que $L(wz)$ y $L(w)+L(z)$ difieren en un múltiplo entero de $2\pi i$.

Con la función logaritmo podemos definir potencias de números complejos.

Definición. Para $w,z$ en $\mathbb{C}$ con $w\neq 0$, definimos $$w^z=\exp(zL(w)).$$

Ejemplo. En particular, podemos tomar $w=e$, de donde \begin{align*}e^z&=\exp(zL(e))\\&=\exp(z\ln(e))\\&=\exp(z),\end{align*} de donde ahora sí podemos justificar usar la notación $e^{x+yi}$ en vez de $\exp(x+yi)$.

$\square$

Esta definición de exponenciación en $\mathbb{C}$ es buena, en parte, porque se puede probar que se satisfacen las leyes de los exponentes.

Proposición. Para $w, z_1, z_2$ en $\mathbb{C}$, con $w\neq 0$, se cumple que $$z^{w_1+w_2}=z^{w_1}z^{w_2}$$ y que $$(z^{w_1})^{w_2}=z^{w_1w_2}.$$

La demostración es sencilla y se deja como tarea moral.

Funciones trigonométricas complejas

Finalmente, definiremos las funciones trigonométricas en $\mathbb{C}$. Para ello, nos basaremos en la función exponencial que ya definimos.

Definición. Para $z$ cualquier complejo, definimos $$\cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$$ y $$\sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2}.$$

Una de las razones por las cuales esta definición es buena es que extiende a las funciones trigonométricas reales. En efecto, si $z=x+0i=x$ es real, entonces $\cos(z)$ es \begin{align*}
\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}&=\frac{\text{cis}(x)+\text{cis}(-x)}{2}\\
&=\frac{2\cos(x)}{2}\\
&=\cos(x),
\end{align*} y de manera similar para $\sin(z)$.

Las funciones trigonométricas en $\mathbb{C}$ siguen cumpliendo varias propiedades que cumplían en $\mathbb{R}$.

Proposición. Para $w$ y $z$ complejos, se tiene que
\begin{align*}
\cos(w+z)=\cos(w)\cos(z)-\sin(w)\sin(z)\\
\sin(w+z)=\sin(w)\cos(z)+\sin(z)\cos(w).
\end{align*}

Demostración. Procedemos por definición. Tenemos que
\begin{align*}
4&\cos(w)\cos(z)\\
&=(e^{iw}+e^{-iw})(e^{iz}+e^{-iz})\\
&=(e^{i(w+z)}+e^{i(w-z)}+e^{i(z-w)}+e^{i(-z-w)})
\end{align*}

y que
\begin{align*}
4&\sin(w)\sin(z)\\
&=(e^{iw}-e^{-iw})(e^{iz}-e^{-iz})\\
&=(e^{i(w+z)}-e^{i(w-z)}-e^{i(z-w)}+e^{i(-z-w)}),
\end{align*}

de modo que
\begin{align*}
4(\cos(w)&\cos(z)-\sin(w)\sin(z))\\
&=2(e^{i(w+z)}+e^{-i(w+z)})\\
&=4\cos(w+z).
\end{align*}

Dividiendo entre $4$ ambos lados de la igualdad, obtenemos la primer identidad. La segunda se demuestra de manera análoga, y queda como tarea moral.

$\square$

Más adelante…

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te ayudarán a repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. Determina los valores de $\exp(3+\frac{3\pi}{4}i)$ y de $L(-i)$.
  2. Muestra que para $z$ con parte imaginaria en $(-\pi,\pi]$ se tiene que $L(\exp(z))=z$.
  3. Determina el valor de $(1+i)^{1+i}$.
  4. Muestra las leyes de los exponentes para la exponenciación en $\mathbb{C}$.
  5. Determina el valor de $\sin(i)$ y de $\cos(1+i)$.
  6. Muestra la identidad de seno de la suma de ángulos en $\mathbb{C}$.
  7. Investiga qué otras propiedades de las funciones trigonométricas reales se extienden al caso complejo.

Entradas relacionadas

Álgebra Superior II: Multiplicación en forma polar y fórmula de De Moivre

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Introducción

En la entrada anterior hablamos de las coordenadas rectangulares y polares de un número complejo. También, definimos la forma polar de un número complejo. En esta entrada hablaremos de cómo con la forma polar, de los elementos de $\mathbb{C}$, podemos entender fácilmente su multiplicación. Además, usaremos esto para demostrar la fórmula de De Moivre, que nos dice cómo encontrar las potencias de un complejo.

Como pequeño recordatorio, la forma polar del complejo $z=x+iy$ es $z=r(\cos \theta + i \sin \theta)$, en donde $r$ es la norma de $z$ y $\theta$ es el ángulo que hace con el eje real positivo, pensándolo como el punto $(x,y)$. Esto queda resumido por la siguiente figura:

Complejo en forma rectangular y polar
Complejo en forma rectangular y polar

Forma polar, multiplicación y recordatorio trigonométrico

Para ver cómo la forma polar de los complejos nos ayuda a entender la multiplicación en $\mathbb{C}$, necesitamos recordar las siguientes fórmulas trigonométricas
\begin{align*}
\sin (\alpha+\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha\\
\cos(\alpha+\beta) = \cos \alpha \cos \beta – \sin \beta \sin \alpha.
\end{align*}

Si tenemos dos números complejos en forma polar
\begin{align*}
w&=r (\cos\alpha+ i \sin \alpha)\\
z&=s(\cos \beta + i \sin \beta)
\end{align*}

y los multiplicamos con la definición, su producto tendría parte real $$rs(\cos\alpha\cos \beta – \sin \alpha\sin \beta) = rs\cos (\alpha+\beta)$$ y parte imaginaria $$rs(\sin \alpha \cos \beta+ \sin\beta\cos\alpha)=rs\sin (\alpha+\beta).$$

Además, como la norma es multiplicativa, tenemos que la norma de $wz$ es $rs$. Con esto mostramos que la forma polar de $wz$ es exactamente $$wz=(rs)(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)).$$ Esto queda resumido en el siguiente resultado

Proposición. Si tenemos dos números complejos en forma polar
\begin{align*}
w&=r \text{cis}(\alpha)\\
z&=s\text{cis}(\beta),
\end{align*} entonces la forma polar del producto es $$wz=rs\text{cis}(\alpha+\beta).$$

Otra forma de decirlo es que «al multiplicar complejos, multiplicamos normas y sumamos argumentos». Podemos también ver el resultado de forma geométrica mediante la siguiente figura, en donde marcamos con rojo y azul los factores, y con negro al producto.

Interpretación geométrica de la multiplicación en los complejos
Interpretación geométrica de la multiplicación en los complejos

Ejemplo. Vamos a encontrar la forma rectangular del producto de los complejos
\begin{align*}w& =7 \text{cis}\left( \frac{2\pi}{5} \right)\quad\text{y}\\ z&=2\text{cis}\left(\frac{3\pi}{5}\right).\end{align*}

Por la proposición anterior, el producto es exactamente el complejo
\begin{align*}
14 \text{cis}\left(\frac{2+3}{5}\pi \right)=14 \text{cis} (\pi).
\end{align*}

Esta es la forma polar del producto. Por un problema anterior, sabemos que $\text{cis}(\pi)=-1$, de modo que la forma rectangular del producto es $-14$.

Si tenemos un complejo no nulo en forma polar, podemos entender fácilmente su inverso multiplicativo. Esto está dado por la siguiente proposición, cuya demostración es sencilla y se deja como tarea moral.

Proposición. Sea $w\neq 0$ un complejo con forma polar $w=r\text{cis}(\theta)$. Su inverso multiplicativo es el complejo $r^{-1}\text{cis}(-\theta)$.

Ejemplo. Determinemos el inverso multiplicativo del complejo $$w=\sqrt{3}\text{cis}\left(\frac{3\pi}{7}\right).$$ Para ello, basta usar la proposición anterior, de donde $$w^{-1}=\frac{1}{\sqrt{3}} \text{cis}\left(-\frac{3\pi}{7}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}\text{cis}\frac{11\pi}{7}.$$

$\square$

Fórmula de De Moivre

La proposición para multiplicación de complejos se vuelve todavía más útil si la usamos iteradamente para hacer potencias de complejos.

Teorema (fórmula de De Moivre). Si $z$ es un complejo de norma $r$ y argumento $\theta$ y $n$ es un entero positivo, entonces $z^n$ es el complejo de norma $r^n$ y argumento $n\theta$. En otras palabras, si $z=r(\cos \theta + i \sin \theta)=r\text{cis}(\theta)$, entonces $$z^n=r^n (\cos (n\theta)+i\sin (n\theta))= r^n \text{cis} (n\theta).$$

Demostración. Procedemos por inducción sobre $n$. El caso $n=1$ es inmediato. Supongamos que el resultado es cierto para $n$, es decir, que $$z^n=r^n \text{cis} (n\theta).$$

Por hipótesis inductiva, tenemos entonces que la norma de $z^n$ es $r^n$, de modo que $z^{n+1}=z^n z$ tiene norma $r^nr=r^{n+1}$.

También por hipótesis inductiva, $z^n$ tiene argumento $n\theta$. Por cómo funciona la multiplicación compleja, el argumento de $z^{n+1}=z^n z$ es la suma de los argumentos de $z^n$ y $z$, es decir, $n\theta + \theta = (n+1)\theta$. Esto muestra que $$z^{n+1}=r^{n+1}\text{cis}((n+1)\theta),$$ y con esto acabamos el paso inductivo.

$\square$

Ejemplos de aplicación de fórmula de De Moivre

Ejemplo. Veremos quién es la décima potencia del complejo $$z=\sqrt{3}\text{cis} \left(\frac{4\pi}{5}\right).$$ Como este número ya está escrito en forma polar, podemos aplicarle directamente la fórmula de De Moivre:
\begin{align*}
z^{10}&=3^{10/2} \text{cis}\left(\frac{40\pi}{5}\right)\\
&=3^5 \text{cis} (8\pi)\\
&=3^5\\
&=243.
\end{align*}

$\square$

El ejemplo anterior nos dice que $z^{10}=243$. En otras palabras, $z$ es una raíz $10$-ésima de $243$. Pero existen otras raíces $10$-ésimas de 243, por ejemplo, tiene dos raíces reales $\sqrt[10]{243}$ y $-\sqrt[10]{243}$. ¿Cuántas raíces tiene entonces en total? ¿Quiénes son? Esto lo veremos en la siguiente entrada.

Veamos otro ejemplo en el que se aplica la fórmula de De Moivre.

Problema. Evalúa la expresión $(1+i)^{30}$, expresando el resultado final en forma rectangular.

Solución. Comenzamos expresando a $(1+i)$ en forma polar. Para ello, notamos que $\Vert 1+i \Vert = \sqrt{2}$, y que $1+i$ hace un ángulo de $\frac{\pi}{4}$ con el eje real positivo. Por el teorema de De Moivre, tenemos que

\begin{align*}
z^{30}&=\sqrt{2}^{30}\text{cis}\left(\frac{30\pi}{4}\right)\\
&=2^{15}\text{cis}\left(\frac{6\pi}{4} \right) \\
&=2^{15}\text{cis}\left(\frac{3\pi}{2} \right) \\
&=2^{15}(-i)\\
&=-2^{15}i.
\end{align*}

En la segunda igualdad usamos que $\frac{30\pi}{4}$ y $\frac{6\pi}{4}$ difieren en un múltiplo entero de $2\pi$. En la cuarta usamos la forma polar de $-i$.

$\square$

Más adelante…

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te ayudarán a repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. Muestra que para un complejo $z\neq 0$ escrito en forma polar $z=r\text{cis}(\theta)$, su inverso multiplicativo tiene forma polar $r^{-1}\text{cis} (-\theta)$.
  2. Evalúa la multiplicación $wz$, donde $w=2\text{cis}\left(\frac{5\pi}{7}\right)$ y $z=-5\text{cis}\left(\frac{7\pi}{5}\right)$. Expresa la respuesta forma polar.
  3. Haz la multiplicación $wz$, donde $w=3\text{cis}\left(\frac{\pi}{2}\right)$ y $z=4\text{cis}\left(\frac{\pi}{3}\right)$. Expresa la respuesta en forma rectangular.
  4. Sea $z=7\text{cis}\left(\frac{5\pi}{7}\right)$. Expresa $z^3$ en forma polar.
  5. Sea $z=\sqrt[3]{5} \text{cis}\left(\frac{\pi}{3}\right)$. Expresa $z^9$ en forma rectangular.
  6. Toma el complejo $z=-2+2i$. Evalúa la expresión $$1+z+\ldots+z^{29}.$$ Sugerencia: Usa primero la fórmula de suma de términos de una sucesión geométrica, y después la fórmula de De Moivre.

Puedes practicar más estos temas viendo los videos y haciendo los ejercicios de la página de Khan Academy, de su sección de números complejos.

Entradas relacionadas