Esta es la página del curso Álgebra Lineal I que imparto en la Facultad de Ciencias de la UNAM. En este curso cubrimos el temario oficial de la materia viendo varios problemas y ejemplos en el camino. Mediante proyectos de aplicación, hacemos énfasis en aplicaciones y conexiones con áreas como procesos estocásticos, programación en Python, biología matemática y geometría discreta.
Contenido
Organización del curso
El curso está dividido en cuatro unidades temáticas.
- Unidad 1: Vectores, matrices y sistemas de ecuaciones
- Unidad 2: Espacios vectoriales y transformaciones lineales
- Unidad 3: Dualidad, ortogonalidad y geometría de espacios vectoriales
- Unidad 4: Determinantes, eigenvectores y teoría espectral
Notas del curso
A continuación están las entradas de blog con el contenido del curso. Varias personas han colaborado con su elaboración y revisión.
Unidad 1: Vectores, matrices y sistemas de ecuaciones
- Introducción al curso, vectores y matrices
- Matrices como transformaciones lineales
- Problemas de vectores, matrices y matrices como transformaciones lineales
- Producto de matrices y composición de sus transformaciones
- Matrices invertibles
- Problemas de producto de matrices y matrices invertibles
- Transposición de matrices, matrices simétricas y antisimétricas
- Matrices de bloques
- Problemas de transpuesta de matriz y matrices de bloque
- Sistemas de ecuaciones lineales y sistemas homogéneos asociados
- Forma escalonada reducida
- Problemas de sistemas de ecuaciones y forma escalonada reducida
- Reducción gaussiana en sistemas lineales $AX=b$
- Reducción gaussiana para determinar inversas de matrices
- Problemas de sistemas de ecuaciones e inversas de matrices
Unidad 2: Espacios vectoriales y transformaciones lineales
- Espacios vectoriales
- Subespacios vectoriales
- Suma y suma directa de subespacios
- Problemas de espacios y subespacios vectoriales
- Combinaciones lineales
- Conjuntos generadores e independencia lineal
- Problemas de combinaciones lineales, generadores e independientes
- El lema del intercambio de Steinitz
- Bases y dimensión de espacios vectoriales
- Problemas de bases y dimensión de espacios vectoriales
- Transformaciones lineales
- Proyecciones, simetrías y subespacios estables
- Transformaciones lineales y vectores independientes
- Forma matricial de una transformación lineal
- Problemas de transformaciones lineales, vectores independientes y forma matricial
Unidad 3: Dualidad, ortogonalidad y geometría de espacios vectoriales
- Introducción a espacio dual
- Bases duales, recetas y una matriz invertible
- Problemas de dualidad y base dual
- Bonus: Algunas aclaraciones sobre las formas lineales
- Ortogonalidad y espacio ortogonal
- Ortogonalidad, ecuaciones e hiperplanos
- Problemas de ortogonalidad, ecuaciones e hiperplanos
- Ortogonalidad y transformación transpuesta
- Formas bilineales, propiedades, ejemplos y aclaraciones
- Problemas de transformaciones transpuestas y formas bilineales
- Formas cuadráticas, propiedades, polarización y teorema de Gauss
- Producto interior y desigualdad de Cauchy-Schwarz
- Problemas de formas cuadráticas y producto interior
- Bases ortogonales y ortonormales
- Bases ortonormales y descomposición de Fourier
- Proceso de Gram-Schmidt
- Problemas de bases ortogonales, Fourier y proceso de Gram-Schmidt
Unidad 4: Determinantes, eigenvalores y teorema espectral
- Determinantes de vectores e independencia lineal
- Determinantes de matrices y transformaciones lineales
- Propiedades de determinantes
- Problemas de definición y propiedades de determinantes
- Determinantes en sistemas de ecuaciones lineales y regla de Cramer
- Problemas de determinantes y ecuaciones lineales
- Eigenvectores y eigenvalores de transformaciones y matrices
- Propiedades del polinomio característico
- Problemas de eigenvalores, eigenvectores y polinomio característico
- Matrices simétricas reales y sus eigenvalores
- Teorema espectral para matrices simétricas reales
- Aplicaciones del teorema espectral, bases ortogonales y más propiedades de transformaciones lineales
Videos del curso
También se han creado videos auxiliares para algunos temas del curso. Todos ellos se pueden encontrar en el siguiente canal de YouTube:
Los videos fueron diseñados y grabados por Javier Carrillo y por Fernanda Torres. Son videos auxiliares a los distintos temas que se cubren en el curso.
Moodle del curso
Además de las notas y videos del curso, se cuenta con un curso en Moodle en donde hay mucho más material:
- Foros de discusión divididos por cada unidad temática
- Cuestionarios de opción múltiple y respuesta numérica para verificar el entendimiento de cada uno de los temas que cubrimos en el curso
- Tareas y exámenes
Para tener acceso a este material, es necesario tener una cuenta en el portal NekoMath Learn y pedir en un correo la inscripción al curso en línea.
Evaluación
La forma específica de evaluar depende de cada vez que se imparte el curso. Hay variantes entre la modalidad en línea y la modalidad presencial.
Bibliografía
En esta página se pueden encontrar las notas que usamos para llevar el curso. Las notas están basadas principalmente en el libro Essential Linear Algebra with Applications de Titu Andreescu.
De manera auxiliar, también usamos algunos ejemplos y problemas del libro Linear Algebra de Friedberg, Insel y Spence.
Créditos
Las siguientes personas me han ayudado a impartir este curso en la Facultad de Ciencias de la UNAM.
Semestre 2020-2: Ayax Calderón Camacho y Blanca Yazmín Radillo Murguía.
Semestre 2020-4: Javier Carrillo Martínez, Ayax Calderón Camacho, Héctor Jair Morales Gómez, Julio Sampietro Christ, Elsa Fernanda Torres Feria.
Semestre 2021-1: Ayax Calderón Camacho, Héctor Jair Morales Gómez, Elsa Fernanda Torres Feria, Mitzli Valeria Urquiza González
Saludos, me acabo de suscribir al blog. y mi pregunta es ¿cuáles son los requisitos para álgebra lineal 1?
¿y si lo puedo encontraraquí?
Hola Leandro. Gracias por la suscripción, espero te sea de ayuda. Para Álgebra Lineal estamos siguiendo el libro de Titu Andreescu que se llama Essential Linear Algebra with Applications. Si ya has trabajado antes con entradas en los reales, ya tienes un buen lugar de dónde comenzar. Otras cosas que pueden ayudarte a tener la madurez matemática necesaria es ya haber visto la constucción de los naturales, la de los enteros, la de los reales y nociones básicas de demostraciones y teoría de conjuntos.
Hola, me acabo suscribir también yo, pero no aparecen las primeras semanas, están en alguna otra entrada o empiezan desde la semana 7? saludos
Hola Oliva. Las primeras semanas no aparecen en línea pues esos cursos sí los pudimos llevar de manera presencial. Sin embargo, sí se hará y se subirá el material correspondiente a la primera unidad, en el transcurso de las siguientes semanas.
Hola Oliva. Ya está disponible todo el contenido del curso. Esperamos te sea de provecho.
Profe. ¿En qué libro puedo ver la construcción de los naturales, de los enteros y la de los Reales?
Hola Daniel. La construcción de los naturales ya está aquí en el blog, en el curso de Álgebra Superior II (https://blog.nekomath.com/as2). Ahí mismo pondremos la de los enteros en unas cuantas semanas. Para los reales hay muchas formas de hacerlo: con cortaduras de Dedekin, con sucesiones, con decimales, etc. En el curso de Superior 2 se esboza una de ellas. Pero puedes leer más al respecto en el libro de Bravo, Rincón, Rincón, que puedes ver cómo descargar acá: https://www.youtube.com/watch?v=vnnDRr_H4z0
Ah okay, excelente. Muchas gracias. Saludos y gracias por compartir tu contenido:)
Buenos días profesor Leo, me permito comunicarme con usted para solicitarle me permita participar como oyente en el curso intersemestral de Álgebra Lineal I de la licenciatura en matemáticas de la UNAM, correspondiente al semestre 2020-4, lo anterior porque no me fue posible realizar mi inscripción formal, debido a que por problemas económicos, apenas hoy pude tener acceso a una computadora y a internet. Agradezco su atención de antemano.
Hola Pedro. Claro, puedes participar como oyente. Por favor, escríbeme a mi correo este viernes (leomtz@ciencias.unam.mx) para tenerte en cuenta para las comunicaciones del curso.
Esta bien profesor, muchas gracias, el viernes le mando un mensaje.
Buen día profesor, quería preguntar si podría tomar las clases de oyente en el intersemestral de Algebra Lineal II (me di de baja y no pude meter inter haha)
Seria una gran ayuda. Gracias.
Me equivoqué: era álgebra lineal 1
Hola Cristian. Envíame por favor un correo el viernes a leomtz@ciencias.unam.mx.
Hola, me inscribí al intersemestral de álgebra lineal, quisiera saber¿ dónde se van a llevar a cabo las clases online?
Hola Jorge Manuel. Las instrucciones se mandaron al correo que tienes registrado en la página de la Facultad. Según la lista que me dieron, es uno de hotmail. Por favor revisa ahí y en la carpeta de spam. Si sigues teniendo problemas, envíame un correo a leomtz@ciencias.unam.mx.
Profesor buen día le escribo el siguiente mensaje, ya que e revisado mi correo y aun no me han llegado las instrucciones para el curso. ademas de que quisiera comentarle de otras situaciones que tengo acerca del curso. Gracias u buen día.
Hola Fabián, buenas noches. El viernes se envió un correo con las instrucciones para acceder a la plataforma desde la cual manejaremos el curso. Te acabo de enviar una copia del correo que le llegó a todos los participantes al correo que tenemos registrado como tuyo que es el siguiente: moaf117@gmail.com . Si ya no tienes ese correo, dinos a cuál otro te podemos mandar las instrucciones para acceder a la plataforma.
Hoy tuvimos una clase de introducción en la cual hablamos de las herramientas que usaremos y discutimos un poco las primeras notas del blog. La clase quedó grabada en el siguiente link:
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Mañana tendremos una sesión con uno de los profesores de 10 a 11 am y una ayudantía de 11 a 12 pm. Al mismo correo que tenemos a tu nombre, te acabo de enviar un link para que te unas a la videoconferencia (es a través de zoom).
Si quieres contactar al profesor, te sugiero que le escribas a su correo que es el siguiente:
leomtz@ciencias.unam.mx . Si te podemos ayudar en algo más, no dudes en contactarnos.
Buenas noches yo soy exalumna de ingeniería puedo inscribirme a su clase mi correo es 0474disolis@gmail.com
Quiero estudiar la maestría y siento que me ayudaría a repasar cosas olvidadas.
Hola María. Te envío un mensaje a tu correo. Por favor, verifica tu bandeja de entrada y la de spam.
Profesor, buen día.
¿El contenido respecto al énfasis en aplicaciones (procesos estocásticos, programación en Python, biología matemática y geometría discreta) también lo puedo encontrar en su blog? Si es así, ¿podría indicarme donde?
Gracias por compartir este material.
Saludos.
Hola, primero que nada te agradezco por el material de tu blog, el material es muy bueno y el hecho de que sea algo publico lo hace mejor, estoy seguro que esto nos sirve a muchas personas. Al menos a mi que no hace mucho descubrí mi gusto por las matemáticas «formales», me ha sido muy placentero leer tu blog.
Por otro lado, yo soy alumno de ingeniería, ya casi termino, pero no soy de la UNAM, no obstante me gustaría poder acceder a mas material con este nivel de rigor por lo que con toda la pena del mundo le pregunto, ¿es posible acceder al moddle si no soy alumno de la UNAM (algo así como oyente)?
Quiero aclarar que lo que me gustaría a mi es aprender algebra lineal mas a fondo y por mi cuenta, es decir no participaría en actividades que requirieran evaluación, por que no tendría derecho a una, si no que lo que busco es ir aprendiendo a mi propio ritmo pero de una manera mas guiada, ya que en internet no he encontrado mucho contenido que tengan un nivel de rigor como el que se maneja en el blog.
Vale
Hola, buenas noches. Quisiera tener una cuenta del portal Nekomath Learn. No se cómo hacer eso. Lo que deseo es inscribirme en el cursos de algebra y algebra lineal. El material de lectura es muy bueno. No soy alumno de la UNAM. Soy peruano y me estoy formando en mecatrónica. Gracias de antemano 🙂