Álgebra Superior I: Tipos de enunciados matemáticos

Introducción

En esta entrada platicamos de varios tipos de enunciados con los que te vas a encontrar frecuentemente en trayectoria matemática a nivel universitario. Para entender correctamente las definiciones siguientes, es muy importante que ya estés familiarizado con el concepto de proposición matemática que tratamos con anterioridad.

Axiomas

En las matemáticas, los axiomas son enunciados que tomamos como verdaderos. No son proposiciones, en el sentido de que su veracidad está definida por convención. Son el punto de partida que establece las reglas del juego de cierta área de las matemáticas.

Cuando estés en cálculo, se verán los axiomas que deben satisfacer los números reales. Cuando estés en álgebra lineal, ser verán los axiomas de espacio vectorial. En geometría moderna se verán los axiomas de Euclides. En este curso hablaremos un poco de axiomas para la teoría de conjuntos y para los números naturales.

Algunos ejemplos son los siguientes (no es necesario que entiendas exactamente qué dicen):

  • Para cada dos puntos, hay una línea que pasa por ellos.
  • Cada número natural tiene un único sucesor.
  • Para cualquier elemento a en G, existe un elemento b en G tal que ab=G.
  • Para cualquier colección A_1,\ldots,A_n de abiertos, se tiene que

        \[A_1 \cap A_2 \cap \ldots A_n\]

    también es abierto.

Los axiomas no requieren ser justificados o demostrados. Simplemente acordamos su validez.

Definiciones

Las definiciones no son proposiciones matemáticas y no tiene sentido decir que son verdaderas o falsas. Simplemente son enunciados que le ponen un nombre a un objeto matemático con ciertas propiedades para poder referirnos a él de manera sencilla más adelante. En ocasiones, estas definiciones hacen referencia a cómo se expresa el concepto matemático en símbolos y frecuentemente para ello se usa la palabra “denotar”.

Hay varias formas en las que se pueden escribir definiciones matemáticas. Las siguientes son algunas (no es necesario que las entiendas completamente).

  • Un número entero es perfecto si la suma de sus divisores propios es igual a sí mismo.
  • Un cuadrilátero es un cuadrado si las longitudes de sus cuatro lados son iguales y los cuatro ángulos en sus vértices son rectos.
  • Para dos conjuntos A y B definimos a su unión como el conjunto que consiste de los elementos que están en cualquiera de los dos conjuntos. Lo denotamos por A\cup B.
  • Un grupo es un conjunto con una operación binaria asociativa, con neutro y con inversos.
  • Una operación binaria es asociativa si (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)

Las definiciones son muy útiles pues ayudan a acortar el lenguaje e ir construyendo ideas más complejas e interesantes. Toma en cuenta lo siguiente con respecto a las definiciones.

  • Cuando se tienen enunciados del estilo “tomemos C un cuadrado”, o “sea G un grupo”, o incluso “consideremos A\cup B“, de manera instantánea ya se pueden tomar como verdaderas todas las propiedades dadas por la definición. Así, de manera inmediata es verdadero que los lados de C miden lo mismo y que A\cup B tiene tanto a los elementos de A como a los de B. También es verdadero que G tiene una operación asociativa. Y por la definición de “asociativa”, de manera inmediata es verdadero que (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c). Observa cómo se van haciendo deducciones sucesivas de hechos verdaderos.
  • Cuando se requiera verificar si un objeto satisface una definición, entonces hay que verificar que sean ciertas todas las propiedades enunciadas en la definición. Así, no basta ver que C tiene lados iguales para ver que es un cuadrado. También hay que ver que sus ángulos son todos ellos rectos.

Proposiciones

Las proposiciones son simplemente proposiciones matemáticas en el sentido de la entrada anterior. Son enunciados matemáticos que se puede determinar si son verdaderos o falsos. Usualmente, cuando se encuentran en un curso o en un texto, es porque ya se verificó su veracidad. En estos contextos, tras enunciar una proposición se suele dar una demostración, que es un concepto del que hablaremos a profundidad más adelante.

Una vez que tenemos axiomas y definiciones, es posible empezar a relacionar distintos conceptos mediante proposiciones. A continuación se tienen algunos ejemplos:

  • Si un cuadrilátero tiene todos sus ángulos rectos y tiene dos lados consecutivos iguales, entonces es un cuadrado.
  • La suma de dos números pares siempre da un número par.
  • Existe una función continua que no es diferenciable.
  • Siempre se cumple que (A\cup B)^c = A^c \cap B^c.
  • La suma de dos números que sean múltiplos de 3 nunca es un múltiplo de 3.
  • Todas las funciones diferenciables son continuas.

Todas las proposiciones arriba enunciadas son verdaderas, excepto una de ellas. Observa que usan palabras como “y”, “si… entonces…”, “todas”, etc. Varias de estas palabras tienen un significado matemático muy preciso que discutiremos más adelante. Después veremos cómo determinar la veracidad de algunas de estas proposiciones y qué tipo de argumentos hay que dar para demostrarlas.

Lemas

Un lema es prácticamente una proposición. Los lemas tienen este nombre más bien con un fin práctico. Lo que se está avisando es que hay que poner atención a esa proposición, pues probablemente sea utilizada como resultado auxiliar una o varias veces más adelante.

Como los lemas son proposiciones matemáticas, entonces pueden ser verdaderos o falsos. Por esta razón, para poder afirmar que un lema es verdadero, es necesario dar una demostración en donde se justifique o se deduzca desde elementos más básicos (como definiciones, axiomas o proposiciones) la validez del mismo.

Teoremas

Los teoremas también son básicamente proposiciones. Su nombre también cumple un fin práctico. Cuando se le pone el nombre de “teorema” a una proposición, es para dar a entender que es una proposición muy importante dentro de la teoría. Usualmente para llegar a un teorema se necesitan probar varios resultados auxiliares.

Hay algunos teoremas que se vuelven tan relevantes que adquieren nombre propio. Algunos ejemplos de teoremas son los siguientes (son ejemplos nada más, tampoco es fundamental que entiendas exactamente qué están diciendo):

  • Un espacio vectorial de dimensión finita es isomorfo a su espacio dual.
  • Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo de catetos con longitudes a y b e hipotenusa c se cumple que a^2+b^2=c^2.
  • Teorema de Hall: Si una familia de al menos n+1 convexos en \mathbb{R}^n se intersecta de n+1 en n+1 elementos, entonces toda la familia se intersecta.
  • Teorema fundamental del álgebra: Todo polinomio no constante con coeficientes en \mathbb{C} tiene por lo menos una raíz en \mathbb{C}.

Los investigadores en matemáticas y áreas afines se dedican a encontrar este tipo de resultados relevantes. Una frase conocida de Alfréd Rényi es: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Corolarios

Un corolario, de nuevo, es prácticamente una proposición. Sin embargo, en el desarrollo de la teoría matemática los corolarios usualmente son resultados que se siguen fácilmente de resultados previos, sobre todo de teoremas. A continuación, algunos ejemplos.

  • Un corolario del teorema de Pitágoras es “La hipotenusa es más larga que cualquiera de los catetos”.
  • Un corolario de teorema fundamental del álgebra es “Un polinomio no constante de grado n tiene exactamente n raíces complejas contando multiplicidades”.
  • Un corolario del teorema de Hall es que si en una mesa hay manchas circulares del mismo radio, y cualesquiera tres de ellas se pueden cubrir con un plato, entonces todas las manchas se pueden cubrir usando sólo un plato.

Puedes pensar en los corolarios como la “cereza del pastel”.

Conjeturas

Las conjeturas también son proposiciones matemáticas: son enunciados que se puede determinar si son verdaderos o falsos. Sin embargo, a diferencia de los lemas, proposiciones, teoremas y corolarios (que se sabe que son verdaderos), lo que ocurre con las conjeturas es que todavía no hay nadie que haya determinado si son verdaderas o falsas.

Las conjeturas juegan un papel importante en la teoría de muchas áreas de las matemáticas, pues son resultados que se espera que sean verdaderos, pero para los cuales aún es necesario el desarrollo de nuevas técnicas en la investigación matemática.

Recapitulación

En resumen, los lemas, proposiciones, teoremas y corolarios son todos ellos proposiciones matemáticas. Pueden ser verdaderas o falsas. Los que encuentres en textos y cursos prácticamente serán verdaderos. Para asegurar que son verdaderos, requieren de una demostración, es decir, de una serie de argumentos y deducciones. Usualmente te los encontrarás en el siguiente “esquema”:

Lema -> Proposición -> Teorema -> Corolario

Los axiomas y definiciones no son proposiciones. Los axiomas son enunciados matemáticos que damos por hecho. Las definiciones nos ayudan a referirnos a objetos matemáticos con ciertas propiedades de manera más sencilla.

Las conjeturas son proposiciones matemáticas que todavía nadie sabe si son verdaderas o no. Los investigadores en matemáticas desarrollan nuevas técnicas para resolver estos problemas.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Busca en internet por lo menos otros tres teoremas.
  2. Investiga por lo menos otras tres conjeturas que todavía no hayan sido resueltas.
  3. Encuentra en internet una noticia de alguna conjetura matemática que haya sido resuelta recientemente.

Más adelante…

Ya platicamos del tipo de enunciados que existen en las matemáticas y dimos algunos ejemplos. En el transcurso del curso veremos muchos ejemplos más. Después de este paréntesis, es importante que retomemos la teoría de lógica para poder hablar de algo fundamental al momento de determinar la veracidad de proposiciones matemáticas: las demostraciones. Antes de llegar ahí, es importante hablar de conectores lógicos, de cuantificadores y de condicionales.

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Leo

Acerca de Leo

Hola. Soy Leonardo Martínez. Soy Profesor de Tiempo Completo en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Hice un doctorado en Matemáticas en la UNAM, un postdoc en Israel y uno en Francia. Además, me gusta colaborar con proyectos de difusión de las matemáticas como la Olimpiada Mexicana de Matemáticas.

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