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Álgebra Superior I: Negaciones de proposiciones con conectores y cuantificadores

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

Introducción

Ya hemos visto cómo podemos crear proposiciones complejas a partir de proposiciones básicas usando conectores y cuantificadores. En esta entrada repasaremos cómo hacer negaciones de los distintos conectores lógicos de los que hemos platicado, y hablaremos de cómo hacer eso mismo para los cuantificadores universales y existenciales.

Recordatorio de negaciones de conectores lógicos.

Hemos hablado de cinco conectores lógicos: negación, conjunción, disyunción, implicación y doble implicación. En entradas anteriores hemos platicado de qué sucede con algunos de ellos si los negamos.

Negación, conjunción y disyunción

Negar una negación es sencillo. Ya vimos con anterioridad que $\neg(\neg P)\equiv P$. Para la conjunción y disyunción hablamos de las leyes de De Morgan en la entrada correspondiente. Nos dicen que estos conectores se niegan como sigue:

  • $\neg (P \lor Q) \equiv \neg P \land \neg Q$
  • $\neg (P \land Q) \equiv \neg P \lor \neg Q$

Siendo que trabajemos con alguna de estas, solo es necesario recordar: «la conjunción se niega con la disyunción de las negaciones y la disyunción se niega con la conjunción de las negaciones».

Implicación

Para ver cómo es que se niega este conector, recordemos su equivalencia lógica: $$P \Rightarrow Q \equiv \neg P \lor Q.$$

Lo siguiente que podemos hacer es aplicar una ley de De Morgan:

$$\neg (P \Rightarrow Q) \equiv \neg(\neg P \lor Q) \equiv P \land \neg Q.$$

Lo cuál nos quiere decir: «la negación de la implicación es que se cumpla la hipótesis y no la tesis» o «una promesa falla cuando pasa la condición requerida, pero no sucede lo requerido».

Doble implicación

Ahora, recordemos que la doble implicación $P \Leftrightarrow Q$ la definimos mediante $(P\Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P)$. De esta manera, podemos usar nuevamente leyes de De Morgan para obtener:

$$ \begin{aligned} \neg(P \Leftrightarrow Q) &\equiv \neg((P\Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P))\\ &\equiv \neg(P\Rightarrow Q) \lor \neg(Q \Rightarrow P) \\ &\equiv (P \land \neg Q) \lor (Q \land \neg P)\end{aligned}$$

Esto lo podemos pensar como «Las negación de un doble condicional es que las dos proposiciones tengan valores de verdad distintos». Para que la negación de la doble implicación sea verdadera necesitamos que $P$ sea verdad y $Q$ falsa o $Q$ verdad y $P$ falsa.

Para recapitular esta parte, recuerda la siguiente tabla:

ConectorNegación
$\neg P$$P$
$P \lor Q$$\neg P \land \neg Q$
$P \land Q$$\neg P \lor \neg Q$
$P \Rightarrow Q$$P \land \neg Q $
$P \Leftrightarrow Q$$(P \land \neg Q) \lor (Q \land \neg P)$

Negaciones de cuantificadores

Ahora que ya hemos visto sobre las negaciones de los conectores, es turno de que hablemos un poco de los cuantificadores. Y para esto recordemos que un cuantificador nos da información sobre los posibles valores de verdad de un predicado a través de un universo.

Negación de cuantificadores universales

Observa por un momento el siguiente predicado:

«Todos los números primos son impares»

Esta proposición la podemos ver de la forma $\forall x: P(x)$ en el universo de discurso de los números enteros. Y la proposición nos dice que cada número primo que tomemos, será impar. ¿Esto es verdad? Pues resulta que no. Y de hecho el único número primo que no es impar es el 2. En este caso no podemos decir que sea verdad la proposición cuantificada, esto pues existe al menos un número entero que no cumple la proposición. ¿Ves a dónde vamos con las palabras resaltadas?

Para negar el cuantificador $\forall$ usamos el cuantificador $\exists$ diciendo que existe un elemento que no cumple la propiedad:

$\neg(\forall x: P(x)) \equiv \exists x: \neg P(x)$

Pensemos en el significado de la expresión. Si tenemos $\neg(\forall x: P(x))$ significa que en el universo de discurso, existe una manera de elegir a $x$, digamos $x=a$ donde $P(a)$ es falsa, es decir $\neg P(a)$ es verdadera.

Negación de cuantificadores existenciales

Por otro lado, pensemos en el siguiente ejemplo:

«Existe un número entero mayor a 1 y menor a 2»

Para poder decir si es verdad o no, deberíamos ponernos de acuerdo en qué es un número entero o qué significa que sea menor o mayor que otro. Pero nuestra intuición nos dice que esto no es cierto (y estamos en lo correcto al pensar así). Ahora ¿Cómo se te ocurre que podríamos negar la expresión $\exists x: P(x)$, donde nuestro universo de discurso son los números enteros y $P(x) : 1<x \land x<2$? Pues necesitaríamos que no exista algún elemento que cumpla la condición. Entonces podemos notar que lo que nos dice esta negación es que cualquier elemento que tomemos de nuestro universo de discurso, no cumplirá con la proposición. Es decir, «Para todo $x$ en el universo de discurso, no se cumplirá el predicado». Dicho de otra forma:

$\neg (\exists x: P(x)) \equiv \forall x: \neg (P(x)).$

Vayamos un paso más allá, pues $P(x) : 1<x \land x<2$ es una conjunción. Al negarla, por leyes de De Morgan obtenemos una disyunción $\neg P(x): \neg(1<x) \lor \neg (x<2)$. Así, podríamos concluir entonces que la negación de

«Existe un número entero $x$ tal que $x>1$ y $x<2$.»

es

«Para todo número entero $x$, o bien no se cumple $x>1$ o bien no se cumple $x<2$.»

Negar hasta lo más profundo posible

Cuando hablamos de negar una proposición matemática compuesta por proposiciones específicas, o bien de negar una fórmula proposicional, nuestro objetivo es llevar las negaciones hasta las proposiciones básicas o las variables proposicionales o las variables de predicado. Por ejemplo, pensemos en simplificar la siguiente negación:

$$\neg(\exists x: (P(x)\lor Q(x)) \land (\neg R(x)\Rightarrow P(x))).$$

Aquí la primera negación está afectando al cuantificador existencial, entonces lo primero que hacemos es cambiarlo en un cuantificador universal de la negación:

$$\forall x: \neg((P(x)\lor Q(x)) \land (\neg R(x)\Rightarrow P(x))).$$

Ahora la negación está actuando en una conjunción, entonces usamos De Morgan para simplificar a

$$\forall x: \neg(P(x)\lor Q(x)) \lor \neg (\neg R(x) \Rightarrow P(x)).$$

Ahora hay una negación en una disyunción y una en una implicación. Entonces, usamos las reglas que vimos arriba para simplificar a lo siguiente

$$\forall x: (\neg P(x)\land \neg Q(x)) \lor (\neg R(x) \land \neg P(x)).$$

Esta ya es la forma final que nos interesa. Nota que las negaciones ya están sólo junto a $P(x), Q(x), R(x)$, pero ya no afectan conjunciones, disyunciones, condicionales ni cuantificadores.

Más adelante…

Llegando a este punto, ya tenemos el conocimiento necesario para hablar de una sustancia muy importante en la matemática: las demostraciones. Esto es, ¿cómo podemos estar seguros de cuándo algo se cumple y cuándo no?, ¿qué significa que un enunciado se derive de otros enunciados? Y más importante: vamos a introducir algunas técnicas de demostración que te ayudarán a entender de qué estamos hablando en matemáticas cuando haya que verificar algo. Y para esto usaremos algo conocido como reglas de inferencia.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. ¿Cuál es la negación de las siguientes proposiciones?
    • $P\lor (Q \Rightarrow S)$
    • $(P \Leftrightarrow (Q\land \neg S))$
    • $P \land (Q\lor R)$
    • $P \Rightarrow(Q \Rightarrow P)$
  2. ¿Cuál es la negación de las siguientes proposiciones que involucran cuantificadores?
    • $\forall x:(P(x)\Rightarrow Q(x))$
    • $\exists y: (\forall x: (P(x)\land Q(y)))$

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Superior I: Problemas de proposiciones y conectores

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

Introducción

En esta entrada, presentaremos únicamente problemas resueltos de proposiciones y conectores. Con ayuda de ellos podrás poner en práctica lo visto con anterioridad y entender mejor las propiedades de los conceptos vistos.

Problemas resueltos

Problema 1. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones?

  • ¿Qué día es hoy?
  • Toda función derivable es continua.
  • ¿El día de hoy lloverá?
  • ¿Cuántos números primos existen?
  • ¡Que gusto verte!
  • Todo espacio vectorial tiene dimensión finita.
  • El libro habla sobre historia universal.

Solución. Veamos cada oración con cuidado.

¿Qué día es hoy?

No es proposición. Esta oración es una pregunta, por lo cuál no puede tener asignado algún valor de verdad, pues no denota información que puede ser cierta o falsa (ojo: al responder la pregunta con por ejemplo «Hoy es lunes» esta respuesta tiene valor de verdad, pues podríamos decir que es lunes o no, pero en sí, la pregunta no tiene un valor de verdad por lo que no es proposición).

Toda función derivable es continua.

es proposición. Independientemente de que sepas qué es una función derivable o qué es una función continua, sabes que esta sólo tiene dos opciones: o es cierta o no lo es. Esto es lo que le da el atributo de ser proposición (además es proposición matemática), pues se le puede asignar un valor de verdad.

¿El día de hoy lloverá?

No es proposición. Nuevamente como en el primer ejemplo, la pregunta no carga consigo algún valor de verdad, puesto que la pregunta no está afirmando o negando algo, sino está preguntando algo sin decir que será de una u otra manera. Otro caso sería si la oración fuera «El día de hoy lloverá» (¿Notas que ya no tiene signos de interrogación?) que sí es una proposición.

¿Cuántos números primos existen?

No es una proposición. Esto debido a que es una pregunta que no afirma o niega algún hecho.

¡Que gusto verte!

No es una proposición. Esta es una expresión, y no se le puede asignar un valor de verdad. Este tipo de oraciones que denotan expresiones no son proposiciones.

Todo espacio vectorial tiene dimensión finita.

es una proposición. Esta es una proposición matemática la cual puede ser verdadera o falsa, pues afirma que todo espacio vectorial (no es necesario que sepas qué es un espacio vectorial) cumple la propiedad de tener dimensión finita (tampoco es necesario que sepas qué significa esto). Entonces podemos decir «Es cierto que todo espacio vectorial tiene dimensión finita» o «Es falso que todo espacio vectorial tiene dimensión finita».

El libro habla sobre historia universal.

es una proposición. Observa que para decidir si es verdad o no deberíamos saber de qué libro estamos hablando, pero independientemente de eso, se puede decir que la oración es verdadera o falsa, es decir, se le puede asignar un valor de verdad.

$\triangle$

Problema 2. ¿Son equivalentes $\neg Q$ y $(\neg P \land Q) \lor \neg Q$?

Solución. No lo son, para ello, nota que no coinciden en su tabla de verdad. Estamos indicando en verde las columnas de las expresiones que nos interesan.

$P$$Q$$\neg P$ $\neg Q$$\neg P \land Q$$(\neg P \land Q) \lor \neg Q$
$0$$0$ $1$$1$ $0$  $1$ 
$0$$1$$1$  $0$  $1$ $1$ 
$1$$0$  $0$ $1$  $0$ $1$
$1$$1$  $0$ $0$  $0$   $0$

Esto quiere decir que si $P$ es falso y $Q$ es verdadero,  $\neg Q$ es falso mientras que $(\neg P \land Q) \lor \neg Q)$ es verdadero, por lo que las expresiones no son equivalentes.

$\triangle$

Problema 3. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a $\neg (P \lor (Q \land R))$?

  • $ P \lor (\neg Q \lor \neg R)$
  • $\neg P \land (\neg Q \lor \neg R)$
  • $\neg P \land (\neg Q \land \neg R)$

Para la que es equivalente, justifica por qué lo es. Para las que no son equivalentes, encuentra valores de verdad de las variables proposicionales $P$, $Q$ y $R$ que haga que las expresiones sean diferentes.

Solución. Una técnica que podríamos usar son las tablas de verdad, sin embargo sería una tabla grande, pues en principio hay 8 combinaciones para los valores de verdad de las variables proposicionales $P,Q$ y $R$. Por esta razón, mejor haremos uso de las propiedades de los conectores que ya hemos demostrado.

Primero veamos de qué forma podríamos cambiar la forma en que pensamos a $\neg (P \lor (Q \land R))$. ¿Notas que hay una negación al principio de la fórmula proposicional? Algo natural sería tratar de «distribuirla», pero recuerda que cuando «distribuimos» la negación, aplicamos las leyes de De Morgan. Entonces,

$$\neg (P \lor (Q \land R)) \equiv \neg P \land \neg(Q \land R) $$

Ahora vamos a fijarnos en $\neg P \land \neg(Q \land R)$. Y vamos a notar que podemos aplicar nuevamente las leyes de De Morgan, ahora para distribuir la negación del segundo paréntesis. Dicho de otra manera,

$$\neg P \land \neg (Q \land R) \equiv \neg P \land (\neg Q \lor \neg R)$$

Nota que para esto, la negación se distribuyó entre $Q$ y $R$. Así, hemos mostrado que

\begin{align*}
\neg (P \lor (Q \land R)) &\equiv \neg P \land \neg(Q \land R), \text{ y que}\\
\neg P \land \neg (Q \land R) &\equiv \neg P \land (\neg Q \lor \neg R).
\end{align*}

Ahora, recordando la propiedad transitiva de la equivalencia, tenemos que

$$\neg (P \lor (Q \land R)) \equiv \neg P \land (\neg Q \lor \neg R)$$

Así, encontramos que la la expresión del inicio es equivalente a la segunda opción. Si quisieras, podrías hacer la tabla de verdad para verificar esto.

Veamos ahora que las otras dos fórmulas proposicionales no son equivalentes. Para ello, basta encontrar valores de verdad de las variables proposicionales $P$, $Q$ y $R$ para los cuales las expresiones no tengan el mismo valor de verdad.

Primero verificaremos que $ P \lor (\neg Q \lor \neg R)$ no es equivalente a $\neg (P \lor (Q \land R))$. Para ello, nota que $ P \lor (\neg Q \lor \neg R) \equiv P \lor \neg (Q \land R)$. Y esta última es equivalente a $\neg (\neg P \land (Q \land R))$. Ahora nota que si $P$ es verdadero, entonces $\neg (\neg P \land (Q \land R))$ es verdadero, mientras que $\neg (P \lor (Q \land R))$ es falso. Si aún no te queda claro, observa el siguiente renglón de la tabla de verdad:

$P$$Q$$R$$Q \land R$$P \lor (Q \land R)$$\neg (P \lor (Q \land R))$$\neg P$$\neg P \land (Q \land R)$$\neg(\neg P \land (Q \land R))$
$1$$0$$0$$0$$1$$0$$0$$0$$1$

En el párrafo anterior estamos mostrando un caso en donde $P$ es verdadero (observa que en nuestra justificación del párrafo anterior no importa qué valores tienen $Q$ y $R$, pero en este caso observamos la combinación en donde ambos son falsos, eso no afecta el resultado) y las celdas coloreadas (que son aquellas que deseamos comparar) no coinciden. Es decir no pueden ser equivalentes porque existe al menos un caso en donde no coinciden en su tabla de verdad.

De manera similar, para probar que $\neg P \land (\neg Q \land \neg R)$ no es equivalente a $\neg (P \lor (Q \land R))$ daremos un caso en donde no se da la igualdad en las tablas de verdad. Nota que $\neg P \land (\neg Q \land \neg R) \equiv \neg P \land \neg ( Q \lor R)$ y a su vez, $\neg P \land \neg ( Q \lor R) \equiv \neg (P \lor (Q \lor R))$. Ahora veamos el caso particular en la siguienta tabla de verdad:

$P$$Q$$R$$Q \land R$$P \lor (Q \land R)$$\neg (P \lor (Q \land R))$$Q \lor R$$ P \lor (Q \lor R)$$ \neg (P \lor (Q \lor R))$
$0$$1$$0$$0$$0$$1$$1$$1$$0$

Esto termina el problema.

$\triangle$

¿Cómo le hicimos en la segunda parte para «sacar de la manga» los valores de verdad de $P$, $Q$ y $R$ que nos ayudarían a verificar que las proposiciones no eran equivalentes? La intuición fue la siguiente:

Quisiéramos un caso en que no coincidieran los valores, uno que fuera verdadero y otro falso. Veamos cómo se comporta $\neg (P \lor (Q \land R))$. Para que esta no sea equivalente a la segunda proposición, deberíamos pensar que una es verdadera y la otra falsa. Le asignaremos un valor de verdad a la primera proposición, digamos que es verdadera (entonces la segunda proposición sería falsa), y como hay una negación delante entonces $P \lor (Q \land R)$ debería ser falsa. Pon atención que tenemos un $\lor$ adentro de la expresión, el cuál es falso si las dos proposiciones que conectan son falsas, así que piensa en qué necesitan para ser falsas, y date cuenta que requieren las siguientes dos condiciones:

  • $P$ falsa
  • $Q$ o $R$ falsa

A fuerza, $P$ debe ser falsa, así que no le movemos más.

Por otro lado, vamos a ver cómo se comporta $ \neg (P \lor (Q \lor R))$. Recuerda que pensamos en un caso en que no coincidan los valores de verdad de las fórmulas proposicionales, y si quedamos en que la primera proposición era verdadera, entonces esta es falsa, lo cual haría a $P \lor (Q \lor R)$ verdadera. Además también dijimos que $P$ es falsa, entonces para que toda la fórmula proposicional sea verdadera, tendremos que hacer que $Q \lor R$ sea verdadera. Alguna de estas dos es falsa (también era una condición que establecimos para la veracidad de la primera fórmula proposicional), digamos que $R$ es la falsa, entonces $Q$ es verdadera. De esta manera obtuvimos el ejemplo que hacía las fórmulas proposicionales diferir en alguna combinación de valores de verdad.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Completa la tabla de verdad para verificar que $\neg (\neg P \land (Q \land R))$ no es equivalente a $\neg (P \lor (Q \land R))$. Observa cómo en todas los renglones en donde $P$ es verdadero, $\neg (\neg P \land (Q \land R))$ es distinto a $\neg (P \lor (Q \land R))$.
  2. Completa la tabla de verdad de$ \neg (P \lor (Q \lor R))$ junto a $\neg (P \lor (Q \land R))$. ¿Existen otros casos en donde sus valores de verdad sean distintos?

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Superior I: Conectores: negaciones, conjunciones y disyunciones

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Introducción

En la entrada de introducción a este curso ya acordamos que una proposición matemática (o simplemente proposición) es un enunciado que puede ser verdadero o falso (pero no ambos), y que habla de objetos matemáticos. También hablamos de variables proposicionales como $P,Q,R$, que nos permiten hablar de proposiciones indeterminadas. Y mencionamos brevemente lo que será una tabla de verdad.

Ahora hablaremos de algunas reglas que nos permiten comenzar con una o más proposiciones y combinarlas para obtener otras proposiciones. Hablaremos de la negación, de la conjunción y de la disyunción. De manera informal, la primera antepone un «no es cierto que» a cualquier proposición, y le cambia su veracidad. La segunda y tercera combinan dos proposiciones en una sola. De manera informal, ponen «y» y «o» entre las oraciones, respectivamente.

A estas reglas se les conoce como conectores o conectivos. Discutiremos cada uno de ellos de manera intuitiva y después definiremos qué quieren decir de manera formal.

Conectores lógicos

De tu experiencia previa, ya sabes que hay formas en las que podemos combinar, por ejemplo, a números enteros para obtener nuevos números. Si tomamos el número $2$ y el número $3$ y les aplicamos la operación «suma», entonces debemos entreponer un signo $+$ entre ellos para obtener la expresión $2+3$. Esta expresión es de nuevo un número entero: el $5$. Así como hacemos operaciones entre números, también podemos hacer operaciones entre proposiciones.

Un conector lógico (o simplemente conector) es una regla que permite tomar una o más proposiciones, «operarlas» y de ahí construir una nueva proposición «resultado». Como lo que más nos importa de las proposiciones es si son verdaderas o falsas, entonces lo más importante de cada conector que demos es decir cómo se determina la veracidad de la proposición que obtuvimos como resultado. En estas entradas hablaremos a detalle de los siguientes conectores:

  • Negaciones: Usan el símbolo $\neg$. Toman una proposición $P$ y la convierten en la proposición $\neg P$ cuyo valor de verdad es opuesto al de $P$.
  • Conjunciones: Usan el símbolo $\land$. Toman dos proposiciones $P$ y $Q$ y las convierten en la proposición $P\land Q$, que para ser verdadera necesita que tanto $P$ como $Q$ sean verdaderas.
  • Disyunciones: Usan el símbolo $\lor$. Toman dos proposiciones $P$ y $Q$ y las convierten en la proposición $P\lor Q$, que para ser verdadera necesita que alguna de $P$ o $Q$ lo sean (o ambas).
  • Implicaciones: Usan el símbolo $\Rightarrow$. Toman dos proposiciones $P$ y $Q$ y las convierten en la proposición $P\Rightarrow Q$, que para ser verdadera se necesita o bien que $P$ sea falsa (y $Q$ puede ser lo que sea), o bien que tanto $P$ como $Q$ sean verdaderas.
  • Dobles implicaciones: Usan el símbolo $\Leftrightarrow$. Toman dos proposiciones $P$ y $Q$ y las convierten en la proposición $P \Leftrightarrow Q$, que para ser verdadera necesita que $P\Rightarrow Q$ sea verdadera y que $Q\Rightarrow P$ sea verdadera.

Ahora profundizaremos en las primeras tres y las últimas dos las dejaremos para más adelante.

Negaciones

Lo que hacen las negaciones a nivel de texto es anteponer un «no es cierto que» a una proposición. Por ejemplo si comenzamos con la proposición $$A=\text{«El cielo es azul.»}$$ entonces su negación es $$\neg A=\text{«No es cierto que el cielo es azul.»}$$ Observa que si pensamos a $A$ como una proposición verdadera, entonces la proposición $\neg A$ es falsa.

Hay que tener cuidado. El efecto que hacen las negaciones simplemente es anteponer «no es cierto que» a una proposición. Puede ser tentador intentar poner un «no» en alguna parte de la oración de manera arbitraria, pero esto puede llevar a problemas. Por ejemplo, la negación de la oración $$B=\text{«El número $2$ es par y múltiplo de $3$.»}$$ es simplemente $$\text{«No es cierto que el número $2$ es par y múltiplo de $3$.»}$$ Si hacemos la negación con poco cuidado, podríamos llegar a $$\text{«El número $2$ no es par ni múltiplo de $3$.»}$$ que no funciona, pues no tiene el valor opuesto de verdad: la oración original es falsa, y esta también.

Más adelante hablaremos con cuidado del conector «y» que usamos en el ejemplo anterior. Veremos cómo se pueden negar de manera correcta a las proposiciones que lo usan.

Tabla de verdad de negaciones

De manera formal, dada una proposición $P$ definimos a la negación de $P$, que denotamos por $\neg P$ como una proposición que tiene valor opuesto de verdad al de $P$. Pensando entonces a $P$ como una variable proposicional, se tiene que $\neg P$ es una fórmula proposicional con la siguiente tabla de verdad:

$P$$\neg P$
$0$ $1$
$1$$0$ 

Ya que al aplicar una negación obtenemos una nueva proposición, entonces ahora podemos volverle a aplicar negación a la nueva proposición obtenida. Así, si comenzamos con $$P=\text{«El cielo es azul.»}$$ y lo negamos, obtenemos $$\neg P = \text{«No es cierto que el cielo es azul.»}$$ y luego podemos negar de nuevo para obtener $$\neg(\neg P) = \text{«No es cierto que no es cierto que el cielo es azul.»}$$

Como la negación cambia el valor de verdadero a falso y viceversa, entonces $P$ y $\neg(\neg P)$ tienen el mismo valor de verdad. Esto lo podemos verificar en la siguiente tabla de verdad, llenando primero la segunda columna y luego la tercera a partir de la segunda.

$P$$\neg P$$\neg(\neg P)$
$0$$1$ $0$
$1$$0$$1$ 

Observa que las columnas de $P$ y de $\neg(\neg P)$ tienen exactamente los mismos valores. Esto ocurrirá con frecuencia. Cuando dos fórmulas proposicionales tengan exactamente el mismo valor de verdad para todas las asignaciones de verdad de sus variables proposicionales, diremos que son equivalentes y lo denotaremos escribiendo $\equiv$ entre ambas. Discutiremos esto con más detalle en la siguiente entrada. Así, por lo visto arriba podemos escribir $P\equiv \neg(\neg P)$.

Conjunciones

Lo que hacen las conjunciones a nivel de texto es anteponer un «y» entre dos proposiciones. Por ejemplo si comenzamos con las proposiciones $$P=\text{«El número $20$ es impar.»}$$ y $$Q=\text{«El número $9$ es un número cuadrado.»}$$ entonces la conjunción de ambas es $$P\land Q=\text{«El número $20$ es impar y el número $9$ es cuadrado.»}$$ Para que esta nueva proposición sea verdadera, debe suceder que cada una de las proposiciones que la conforman deben serlo. En este caso en específico, esto no ocurre. La proposición $Q$ es verdadera, pero la proposición $P$ es falsa. De este modo, la conjunción es falsa.

Veamos algunos ejemplos más. Tomemos las siguientes proposiciones:

$$A=\text{«Los gatos son felinos.»}$$

$$B=\text{«Todos los blorg son rojos.»}$$

$$C=\text{«El número $3$ es mayor que el número $1$.»}$$

$$D=\text{«Un cuadrado tiene ángulos de $60^\circ$.»}$$

$$E=\text{«La luna es azul.»}$$

Para determinar la veracidad de cada una de estas, tendríamos que ponernos de acuerdo en la definición de varios términos como «felinos», «blorg», «es mayor que», «cuadrado», «luna», etc. Pero por practicidad, daremos por hecho que $A$, $B$ y $C$ son proposiciones verdaderas y que $D$ y $E$ son falsas.

La conjunción de $A$ con $B$ es $$A\land B = \text{«Los gatos son felinos y todos los blorg son rojos.»}$$ Como cada una de las proposiciones que conforman la conjunción es verdadera, entonces la conjunción lo es.

La conjunción de $B$ con $E$ es $$B\land E = \text{«Todos los blorg son rojos y la luna es azul».}$$ Por muy cierto que sea que todos los blorg sean rojos, la conjunción no es verdadera pues $E$ es falsa.

Una vez que formamos una conjunción, esta es ahora una nueva proposición. Por lo tanto, se vuelve candidata a aplicarle negaciones y conjunciones. De esta forma, tiene sentido pensar en la proposición $\neg(A\land B)$, en donde los paréntesis implican que primero se hace esa operación. A nivel textual también usaremos los paréntesis para no confundirnos, de modo que escribiremos: \begin{align*}\neg(A\land B) &= \text{«No es cierto que (los gatos son felinos y todas}\\ &\text{los blorg son rojos).»}\end{align*}

También tiene sentido pensar en la proposición $(\neg C) \land E$. O bien en la proposición $A\land( (\neg C) \land E)$. Puedes practicar pasar estas proposiciones a oraciones con paréntesis.

Tabla de verdad de conjunciones

Para formalizar la discusión anterior, definimos a la conjunción de dos proposiciones $P$ y $Q$ como la proposición $P\land Q$ que es verdadera únicamente cuando tanto $P$ como $Q$ son verdaderas. Así, como fórmula lógica, $P\land Q$ queda definida mediante la siguiente tabla de verdad:

$P$$Q$$P\land Q$
$0$$0$$0$ 
$0$$1$$0$ 
$1$$0$$0$ 
$1$$1$$1$ 

¿Importará el orden en el que hacemos la conjunción? Esta es una pregunta muy natural. Para responderla, podemos hacer la tabla de verdad considerando tanto a las columnas $P\land Q$ como $Q\land P$ y llenándolas por separado.

$P$$Q$$P\land Q$$Q \land P$
$0$$0$ $0$$0$ 
$0$$1$$0$ $0$ 
$1$$0$$0$ $0$
$1$$1$$1$ $1$ 

Observa que las columnas correspondientes a $P\land Q$ y $Q\land P$ son iguales, de modo que podemos concluir que ambas fórmulas lógicas son equivalentes. Recuerda que escribirmos $P\land Q\equiv Q\land P$. Hay otras preguntas muy naturales: ¿qué pasa si hacemos la conjunción de más de dos proposiciones? ¿son equivalentes iguales $(P\land Q) \land R$ y $R\land(Q \land P)$? ¿qué pasa si combinamos a la negación con la conjunción? Esto lo veremos más adelante.

Disyunciones

Lo que hacen las disyunciones a nivel de texto es anteponer un «o» entre dos proposiciones. Por ejemplo si comenzamos con las proposiciones $$P=\text{«El número $10$ es impar.»}$$ y $$Q=\text{«El número $7$ es un número primo.»}$$ entonces la conjunción de ambas es $$P\lor Q=\text{«El número $10$ es impar o el número $7$ es primo.»}$$ Para que esta nueva proposición sea verdadera, es suficiente con que una de las proposiciones que la conforman lo sea. En este caso en específico, esto sí ocurre. La proposición $Q$ es verdadera, de modo que aunque la proposición $P$ sea falsa, la disyunción resulta ser verdadera.

Retomemos las proposiciones de la sección anterior para ver más ejemplos.

$$A=\text{«Los gatos son felinos.»}$$

$$B=\text{«Todos los blorg son rojos.»}$$

$$C=\text{«El número $3$ es mayor que el número $1$.»}$$

$$D=\text{«Un cuadrado tiene ángulos de $60^\circ$.»}$$

$$E=\text{«La luna es azul.»}$$

Recuerda que estamos dando por hecho que $A$, $B$ y $C$ son proposiciones verdaderas y que $D$ y $E$ son falsas.

La disyunción de $A$ con $B$ es $$A\lor B = \text{«Los gatos son felinos o todos los blorg son rojos.»}$$ Como $A$ es verdadera, esto basta para decir que $A\lor B$ es verdadera. Como $B$ también es verdadera, también esto bastaba para decir que $A\lor B$ es verdadera. No hay ningún problema con que tanto $A$ como $B$ sean verdaderas.

La conjunción de $D$ con $E$ es $$D\lor E = \text{«Un cuadrado tiene ángulos de $60^\circ$ o la luna es azul».}$$ Aquí tanto $D$ como $E$ son falsas, de modo que la disyunción también lo es.

Las disyunciones también crean proposiciones nuevas, a las que se les pueden aplicar negaciones, conjunciones y disyunciones. El uso del paréntesis se vuelve crucial. Observa que usando las proposiciones ejemplo de arriba, tenemos que

  • $(D\land C) \lor A $ es verdadera
  • $D\land (C \lor A)$ es falsa

Tabla de verdad de disyunciones

Para formalizar la discusión anterior, definimos a la disyunción de dos proposiciones $P$ y $Q$ como la proposición $P\lor Q$ que es verdadera cuando por lo menos una de las proosiciones $P$ y $Q$ lo es. Así, pensada como fórmula lógica, la tabla de verdad sería la siguiente:

$P$$Q$$P\lor Q$
$0$$0$$0$ 
$0$$1$$1$ 
$1$$0$$1$ 
$1$$1$$1$ 

¿Importará el orden en el que hacemos la conjunción? Esta es una pregunta muy natural, y ya puedes responderla por tu cuenta. Intenta hacer esto haciendo una tabla de vedad que incluya tanto a las columnas $P\lor Q$ como $Q\lor P$.

En la sección anterior vimos la importancia de poner paréntesis en las expresiones. Esta importancia también podemos verificarla mediante la siguiente tabla de verdad, en donde consideramos tres variables proposicionales $P$, $Q$ y $R$ y estudiamos qué sucede con las fórmulas proposicionales $(P\land Q) \lor R$ y con $P \land (Q \lor R)$. Como hay $2$ posibilidades para cada una de $P$, $Q$, $R$, debemos tener $2\cdot 2 \cdot 2 = 8$ filas.

Llenamos primero las primeras dos columnas usando lo que sabemos de $P\land Q$ y $Q\lor R$.

$P$$Q$$R$$P\land Q$$Q \lor R$$(P\land Q) \lor R$$P \land (Q \lor R)$
$0$$0$$0$ $0$$0$ 
$0$$0$$1$$0$ $1$ 
$0$$1$$0$$0$ $1$
$0$$1$$1$$0$ $1$ 
$1$$0$$0$$0$$0$
$1$$0$$1$$0$$1$
$1$$1$$0$$1$$1$
$1$$1$$1$$1$$1$

Y ahora sí podemos llenar las últimas dos porque ya sabemos cómo es el valor de verdad de cada una de las fórmulas que las conforman.

$P$$Q$$R$$P\land Q$$Q \lor R$$(P\land Q) \lor R$$P \land (Q \lor R)$
$0$$0$$0$ $0$$0$ $0$$0$
$0$$0$$1$$0$ $1$ $1$$0$
$0$$1$$0$$0$ $1$$0$$0$
$0$$1$$1$$0$ $1$ $1$$0$
$1$$0$$0$$0$$0$$0$$0$
$1$$0$$1$$0$$1$$1$$1$
$1$$1$$0$$1$$1$$1$$1$
$1$$1$$1$$1$$1$$1$$1$

Observa que las columnas correspondientes a $(P\land Q) \lor R$ y $P \land (Q \lor R)$ no son iguales, pues difieren en algunos renglones, por ejemplo, en el segundo renglón. De este modo, podemos concluir que hay ocasiones en las que lás fórmulas lógicas $(P\land Q) \lor R$ y $P \land (Q \lor R)$ difieren. Decimos entonces que no son equivalentes. En conclusión, el orden de las operaciones suele ser importante.

Más adelante…

En esta entrada hablamos de la negación, la conjunción y la disyunción. Vimos cómo justificar algunas de sus propiedades mediante tablas de verdad, como $A\land B\equiv B\land A$. En la siguiente entrada usaremos esta técnica y otras más para probar otras propiedades interesantes de estos conectores.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Escribe en texto y usando paréntesis la proposición $(A\land B) \lor (\neg D)$, usando $A$, $B$ y $D$ como las proposiciones ejemplo que dimos.
  2. Mediante una tabla de verdad, justifica la equivalencia $P\lor Q \equiv Q \lor P$.
  3. Mediante una tabla de verdad, justifica la equivalencia $(P\lor Q) \lor R \equiv P \lor (Q \lor R)$.
  4. Haz una tabla de verdad para verificar que las fórmulas proposicionales $\neg(P \land Q)$ y $(\neg P) \land (\neg Q)$ no son equivalentes. Es decir, debes de hacer todos los casos y ver que las columnas difieren en uno o más renglones.
  5. Haz una tabla de verdad para verificar que las fórmulas proposicionales $(P\land Q) \land (R \land S)$ y $(((P\land Q) \land R) \land S)$ son equivalentes. Va a ser una tabla grande, de $16$ renglones.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»