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Acerca de Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Hola. Soy Leonardo Martínez. Soy Profesor de Tiempo Completo en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Hice un doctorado en Matemáticas en la UNAM, un postdoc en Israel y uno en Francia. Además, me gusta colaborar con proyectos de difusión de las matemáticas como la Olimpiada Mexicana de Matemáticas.

Álgebra Lineal I: Ángulos, norma, distancia y desigualdad de Minkowski

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

4 respuestas

Introducción

Estamos listos para hablar de varias nociones geométricas como ángulo, norma, distancia y de la desigualdad de Minkowski. Antes de hacer eso, hagamos un breve repaso de qué hemos hecho en estas últimas entradas.

Primero, hablamos de formas bilineales y de su formas cuadráticas asociadas. Segundo, vimos cómo a través de la identidad de polarización podemos asignar una única forma bilineal simétrica a una forma cuadrática. Finalmente, en la última entrada nos enfocamos en las formas bilineales simétricas que cumplían cierta condición de positividad.

En esa misma entrada definimos producto interior, que simplemente es una forma bilineal simétrica y positiva definida. También definimos la norma de un vector en un espacio con producto interior $\langle \cdot, \cdot \rangle$, que era $$\Vert x \Vert = \sqrt{\langle x, x \rangle}.$$

Finalmente, en la entrada anterior probamos la siguiente versión general de la desigualdad de Cauchy-Schwarz:

Teorema (desigualdad de Cauchy-Schwarz). Sea $b:V\times V\to \mathbb{R}$ una forma bilineal simétrica y $q$ su forma cuadrática asociada.

  • Si $b$ es positiva, entonces para todo $x$ y $y$ en $V$ tenemos que $$b(x,y)^2\leq q(x)q(y).$$ Si $x$ y $y$ son linealmente dependientes, se da la igualdad.
  • Además, si $b$ es positiva definida y $x$ y $y$ son linealmente independientes, entonces la desigualdad es estricta.

Ángulos

Fijemos $V$ un espacio vectorial sobre los reales con producto interior. En la entrada anterior vimos que la desigualdad de Cauchy-Schwarz implica que para cualesquiera vectores $x$ y $y$ en $V$ tenemos que $$|\langle x, y \rangle| \leq \Vert x \Vert \cdot \Vert y \Vert.$$

Si $x$ y $y$ son vectores distintos de cero, podemos reescribir la desigualdad anterior como $$-1\leq \frac{\langle x, y \rangle}{\Vert x \Vert \cdot \Vert y \Vert}\leq 1.$$ Esto justifica la siguiente definición.

Definición. Sean $x$ y $y$ vectores no nulos. Definimos al ángulo entre $x$ y $y$ como el único ángulo $\theta$ en el intervalo $[0,\pi]$ tal que $$\cos \theta = \frac{\langle x, y \rangle}{\Vert x \Vert \cdot \Vert y \Vert}.$$

Observa que $\theta=\frac{\pi}{2}$ si y sólo si $\frac{\langle x, y \rangle}{\Vert x \Vert \cdot \Vert y \Vert}=0$. Esto ocurre si y sólo si $\langle x, y \rangle=0$. Este caso es particularmente importante, y por ello recibe una definición especial.

Definición. Decimos que $x$ y $y$ son ortogonales si $\langle x, y \rangle=0$.

Para empezar, veamos un ejemplo sencillo de ortogonalidad.

Ejemplo 1. Tomemos $\mathbb{R}^5$ con el producto interior canónico, es decir, el producto punto. Los vectores $u=(1,0,-4,0,5)$ y $v=(0,3,0,-2,0)$ tienen producto punto $$\langle u, v \rangle=1\cdot 0 + 0\cdot 3 + (-4)\cdot 0 + 0 \cdot (-2) + 5 \cdot 0=0,$$ así que son ortogonales.

$\triangle$

Ahora, veamos un ejemplo un poco más elaborado, del cálculo de un ángulo en un espacio vectorial de funciones.

Ejemplo 2. Anteriormente vimos que $\mathcal{C}[0,1]$ tiene un producto interior $$\langle f, g \rangle=\int_0^1 f(x)g(x)\, dx.$$ Calculemos el ángulo entre $f(x)=x^2$ y $g(x)=x^3$ con este producto interior. Primero, calculamos $\Vert f \Vert$ y $\Vert g \Vert$ como sigue
\begin{align*}
\Vert f \Vert^2 &= \int_0^1 x^4 \,dx = \frac{1}{5}\\
\Vert g \Vert^2 &= \int_0^1 x^6 \,dx = \frac{1}{7},
\end{align*}

de donde $\Vert f \Vert = \frac{1}{\sqrt{5}}$ y $\Vert g \Vert = \frac{1}{\sqrt{7}}$.

Luego, calculamos
\begin{align*}
\langle f,g \rangle &=\int_0^1 f(x)g(x) \, dx\\
&=\int_0^1 x^5 \, dx\\
&=\frac{1}{6}.
\end{align*}

Como esperaríamos por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, tenemos la siguiente desigualdad:
\begin{align*}
\langle f,g \rangle &= \frac{1}{6}\leq \frac{1}{\sqrt{35}}=\Vert f \Vert \Vert g \Vert.
\end{align*}

El ángulo entre $f$ y $g$ es entonces
\begin{align*}
\theta &= \arccos\left(\frac{\langle f, g \rangle}{\Vert f \Vert \cdot \Vert g \Vert}\right)\\
&=\arccos\left(\frac{1/6}{1/\sqrt{35}}\right)\\
&=\arccos\left(\frac{\sqrt{35}}{6}\right).
\end{align*}

$\triangle$

Desigualdad de Minkowski

Hay una forma un poco distinta de escribir la desigualdad de Cauchy-Schwarz. La enunciamos a continuación.

Teorema (desigualdad de Minkowski). Sean $x$ y $y$ vectores de un espacio vectorial $V$ con una forma cuadrática positiva $q$. Entonces $$\sqrt{q(x)}+\sqrt{q(y)}\geq \sqrt{q(x+y)}.$$

Demostración. Sea $b$ la forma polar de $q$. Recordemos que $$q(x+y)=q(x)+2b(x,y)+q(y).$$

Como $q$ es forma cuadrática positiva, la desigualdad que queremos mostrar es equivalente a la siguiente desigualdad obtenida de elevar ambos lados al cuadrado:

\begin{align*}
q(x)+2\sqrt{q(x)q(y)}+q(y)&\geq q(x+y)\\
&=q(x)+2b(x,y)+q(y).
\end{align*}

Cancelando $q(x)+q(y)$ de ambos lados y dividiendo entre $2$, obtenemos la desigualdad equivalente
\begin{align*}
\sqrt{q(x)q(y)}\geq b(x,y).
\end{align*}

Si $b(x,y)<0$, esta desigualdad es claramente cierta. Si $b(x,y)\geq 0$, esta desigualdad es equivalente a la obtenida de elevarla al cuadrado, es decir, $$q(x)q(y)\geq b(x,y)^2,$$ que es precisamente la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

$\square$

De producto interior a norma

Estamos listos para mostrar algunas propiedades importantes de la noción de norma que definimos para espacios vectoriales reales con producto interior.

Proposición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ con producto interior con norma asociada $\Vert \cdot \Vert$. Se cumple que

  1. $\Vert v \Vert \geq 0$ para todo $v$ en $V$, con igualdad si y sólo si $v=0$.
  2. $\Vert cv \Vert =|c|\Vert v \Vert$ para todo $v$ en $V$ y real $c$.
  3. (Desigualdad del triángulo) $\Vert v \Vert + \Vert w \Vert \geq \Vert v+w \Vert$ para todo par de vectores $v$ y $w$ en $V$.

Demostración. Sea $b$ el producto interior de $V$. El punto 1 se sigue de que $b$ es positiva definida. El punto 2 se sigue de que $b$ es bilineal, pues $b(cv,cv)=c^2b(v,v)$, de modo que $$\Vert cv \Vert = \sqrt{c^2} \Vert v \Vert =|c| \Vert v \Vert.$$ El punto 3 es la desigualdad de Minkowski.

$\square$

En general, si tenemos un espacio vectorial $V$ sobre los reales y una función $\Vert \cdot \Vert:V \to \mathbb{R}$ que satisface los puntos 1 a 3 de la proposición anterior, decimos que $\Vert \cdot \Vert$ es una norma para $V$. Hay algunas normas que no se pueden obtener a través de un producto interior.

Ejemplo. Consideremos $V=M_n(\mathbb{R})$. El producto de Frobenius de las matrices $A$ y $B$ está dado por $$\langle A,B\rangle = \text{tr}(^tA B).$$ Se puede mostrar que el producto de Frobenius es un producto interior. La norma de Frobenius es la norma inducida por este producto, es decir, $$\Vert A \Vert = \sqrt{\text{tr}(^tAA)}.$$

Por la desigualdad de Minkowski, tenemos que para cualesquiera dos matrices $A$ y $B$ tenemos que $$\sqrt{\text{tr}(^t(A+B)(A+B))}\leq \sqrt{\text{tr}(^tAA)} + \sqrt{\text{tr}(^tBB)}.$$

En particular, si tomamos a la identidad $I$, tenemos que su norma de Frobenius es $\sqrt{n}$. Esto muestra la siguiente desigualdad, válida para cualquier matriz $A$ en $M_n(\mathbb{R})$:

$$\sqrt{\text{tr}((^tA+I)(A+I))}\leq \sqrt{\text{tr}(^tAA)}+ \sqrt{n}.$$

$\triangle$

De norma a distancia

Podemos pensar a la norma de un vector $v$ como qué tan lejos está del vector $0$. También nos gustaría poder hablar de qué tan lejos están cualesquiera dos vectores de un espacio vectorial con producto interior. Por esta razón, introducimos la siguiente definición.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ con producto interior de norma $\Vert \cdot \Vert$. La distancia asociada a este producto interior es la función $d:V\times V\to \mathbb{R}$ tal que $d(x,y)=\Vert x-y\Vert.$ A $d(x,y)$ le llamamos la distancia entre $x$ y $y$.

El siguiente resultado se sigue de las propiedades de la norma de un producto interior. Su demostración queda como tarea moral.

Proposición. Si $V$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ con producto interior de distancia $d$, entonces:

  1. $d(x,y)\geq 0$ para todos $x$ y $y$ en $V$ y es igual a $0$ si y sólo si $x=y$.
  2. $d(x,y)=d(y,x)$ para todos $x$ y $y$ en $V$.
  3. $d(x,z)+d(z,y)\geq d(x,y)$ para todos $x$, $y$ y $z$ en $V$.

En general, si tenemos cualquier conjunto $X$ (no hace falta que sea un espacio vectorial), a una función $d$ que satisface los puntos 1 a 3 de la proposición anterior se le conoce como una métrica para $X$. Cualquier norma en un espacio vectorial $V$ (no sólo las de producto interior) induce una métrica en $V$. Sin embargo, hay métricas de espacios vectoriales que no vienen de una norma.

Más adelante…

Retomando conceptos ya definidos como la norma de un vector, en esta entrada vimos cómo encontrar el ángulo entre dos vectores no-nulos y se llegó a una forma natural de introducir la ortogonalidad entre dos vectores. Así mismo, se demostraron algunas propiedades de la norma asociada a un producto interior, siendo la última una forma distinta de expresar la desigualdad de Cauchy-Schwarz, usando la desigualdad de Minkowski. Finalmente, se definió el concepto de distancia entre dos vectores.

En entradas posteriores, usaremos estos conceptos para estudiar bases ortogonales, que tienen usos en conceptos matemáticos más avanzados como el análisis de Fourier o la teoría de polinomios ortogonales.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Toma $\mathbb{R}^4$ con el producto interior canónico (producto punto). Determina la norma de $(3,4,0,1)$. Encuentra el ángulo entre los vectores $(1,0,2,5)$ y $(4,5,0,-3)$.
  • Muestra que el producto de Frobenius es un producto interior en $M_n(\mathbb{R})$.
  • Demuestra la proposición de propiedades de la distancia

Considera $V=\mathbb{R}_3[x]$ el espacio vectorial de polinomios con coeficientes reales y grado a lo más $3$. Definimos $$\langle p,q \rangle = \sum_{j=1}^5 p(j)q(j).$$

  • Muestra que $\langle \cdot, \cdot \rangle$ así definido es un producto interior.
  • Encuentra el ángulo entre los polinomios $1+x^2$ y $2x-3x^3$.
  • Para cada entero positivo $n$, determina la norma del polinomio $1+nx^3$.
  • Determina la distancia entre los polinomios $1$ y $1+x+x^2+x^3$.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Álgebra Superior II: Forma polar y cambios de coordenadas de un complejo

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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Introducción

En las entradas anteriores comenzamos a hablar acerca de cómo resolver algunas ecuaciones en $\mathbb{C}$. Platicamos de ecuaciones cuadráticas y la fórmula general. Luego, vimos sistemas de ecuaciones lineales y varios métodos para resolverlos. Lo siguiente que haremos será resolver ecuaciones de la forma $z^n=w$, en donde $w$ en $\mathbb{C}$ y $n$ en $\mathbb{N}$ están dados y $z$ es la variable a determinar. Antes de resolver esta ecuación, necesitamos entender mejor la multiplicación en $\mathbb{C}$, y para ello vamos a estudiar la forma polar de un complejo.

En esta entrada comenzaremos recordando las coordenadas rectangulares de un número complejo, además definiremos sus coordenadas polares. Veremos cómo pasar de coordenadas rectangulares a polares de manera biyectiva, con lo cual podremos definir qué es la forma polar.

Más adelante, la forma polar nos ayudará a entender mejor la geometría de la multiplicación y exponenciación en $\mathbb{C}$. Esto será muy útil cuando queramos «sacar raíces $n$-ésimas», lo cual necesitaremos para resolver ecuaciones del estilo $z^n=w$.

De coordenadas rectangulares a coordenadas polares

Tomemos un número complejo $z=x+yi$ y pensémoslo como un punto del plano complejo, es decir, como el punto $(x,y)$ . Diremos que $(x,y)$ son las coordenadas rectangulares de $z$. Es recomendable recordar la siguiente figura, y regresar a ella frecuentemente.

Complejo en forma rectangular y polar
Complejo en forma rectangular y polar

El número complejo $z$ tiene norma $r=\sqrt{x^2+y^2}$. Además, si $z\neq 0$, tenemos que $z$ define un ángulo $\theta$ con el eje real positivo, medido en el sentido contrario al avance de las manecillas del reloj a partir del eje real positivo, al cual le llamaremos el argumento de $z$ y lo denotaremos por $\text{arg}(z)$. Todos los ángulos que manejamos están en radianes.

Sin embargo, este ángulo no es único. El complejo $z$ define al ángulo $\theta$ pero, por ejemplo, también define al ángulo $\theta+2\pi$, pues la suma de $2\pi$ corresponde a dar una vuelta completa alrededor del origen. Por ello, pensaremos que el argumento de $z$ toma todos los valores $$\{\theta+2k\pi:k\in \mathbb{Z}\}.$$ Así, $\text{arg}(z)$ es una multifunción, algo así como una función, pero que toma varios valores. Cuando digamos que un complejo tiene argumento $\theta$, nos referiremos a $\theta$ o cualquier otro ángulo que difiera un múltiplo entero de $2\pi$ Más adelante hablaremos de esto con detalle.

Aunque haya varios ángulos que le correspondan a $z$, hay uno único en el intervalo $[0,2\pi)$.

Definición. Definimos las coordenadas polares de un número complejo $z=x+yi$ como sigue:

  • Si $z=0$, sus coordenadas polares son $(0,0)$.
  • Si $z\neq 0$, entonces tomamos $r=\Vert z \Vert = \sqrt{x^2+y^2}$ y $\theta$ el único ángulo en $[0,2\pi)$ que hace $z$ con el eje real positivo. Las coordenadas polares de $z$ son $(r,\theta)$.

Observa que $r$ siempre es no negativo y es cero si y sólo si $z=0$. Además por trigonometría para el ángulo $\theta$ se cumple que \begin{align*}\sin \theta &= \frac{y}{r}\\ \cos \theta &= \frac{x}{r},\end{align*} lo cual nos da la siguiente forma práctica para encontrar $\theta$:

  • Calculamos $\frac{y}{r}$ o $\frac{x}{r}$ (el que parezca más sencillo).
  • Aplicamos una función trigonométrica inversa para reducir el problema a dos opciones.
  • Elegimos la opción correcta de acuerdo al signo de $x$ o $y$.

Ejemplo. Tomemos al complejo $z=3-3\sqrt{3}i$. Vamos a pasarlo a forma polar. Su norma es $\sqrt{9+27}=\sqrt{36}=6$. Para determinar el ángulo $\theta$ que define con el eje real, podemos notar que $$\cos{\theta}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2},$$ así que $\theta = \frac{\pi}{3}$ ó $\theta= 2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}$, pues son los únicos ángulos en $[0,2\pi)$ con ese coseno. Como la parte imaginaria es negativa, se da el segundo caso. Por lo tanto, las coordenadas polares de $z$ son $\left(6,\frac{5\pi}{3}\right)$.

$\triangle$

De coordenadas polares a coordenadas rectangulares

También hay una forma de pasar de coordenadas polares a coordenadas rectangulares. En efecto, tomemos un real no negativo $r$ y consideremos la pregunta ¿quienes son los números complejos de norma $r$?

Por un lado, si $r=0$, necesitamos que $x^2+y^2=0^2=0$, de donde $x=y=0$, así que las coordenadas rectangulares deben ser $(0,0)$. Por otro lado, si $r>0$, se necesita que $$x^2+y^2=r^2,$$ lo cual, por el teorema de Pitágoras, define una circunferencia de radio $r$ con centro en el origen.

Circunferencia de complejos de norma r.
Circunferencia de complejos de norma $r$

Si además elegimos un ángulo, $\theta$ en $[0,2\pi)$, que el complejo haga con el eje real, entonces queda determinado de manera única. Supongamos que este complejo es $z=x+yi$

Por trigonometría, tenemos que
\begin{align*}x&=r\cos \theta\\ y &= r\sin \theta.\end{align*}

Problema. Determina en la forma $x+yi$ al número complejo cuyas coordenadas polares son $\left(7,\frac{3\pi}{4}\right)$.

Solución. Usamos las fórmulas obtenidas arriba. Tenemos que

\begin{align*}\\
x&=7\cos \frac{3\pi}{4}=7\cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=-\frac{7}{\sqrt{2}}\\
y &= 7\sin \frac{3\pi}{4}= 7\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{7}{\sqrt{2}}.
\end{align*}

De este modo, el complejo buscado es el $$-\frac{7}{\sqrt{2}}+\frac{7}{\sqrt{2}}.$$

$\square$

Los cambios de coordenadas son inversos entre sí

La primer sección explica cómo de coordenadas rectangulares podemos pasar a coordenadas polares. La anterior dice cómo pasar de coordenadas polares a rectangulares. Resulta que estas operaciones son inversas la una de la otra como veremos en la siguiente:

Proposición. Si tomamos coordenadas polares $(r,\theta)$ de un complejo, las pasamos a coordenadas rectangulares $(x,y)$ y luego éstas las pasamos a coordenadas polares $(r’,\theta’)$ de nuevo, tenemos que $$(r,\theta)=(r’,\theta’).$$

Demostración. En el caso $r=0$, sólo definimos coordenadas polares con $\theta=0$. Al ir a coordenadas rectangulares vamos al punto $(0,0)$, que de nuevo regresa a polares $(0,0)$. Podemos suponer entonces que $r>0$.

Como mencionamos en la segunda sección, las coordenadas rectangulares correspondientes a $(r,\theta)$ son exactamente $$(x,y)=(r\cos \theta,r\sin \theta).$$ Pasemos este complejo a coordenadas polares $(r’,\theta’)$. Usando la identidad pitagórica $\cos ^2\theta + \sin^2 \theta = 1$, la norma de este complejo es
\begin{align*}
\sqrt{r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2 \theta} &= r\sqrt{\cos ^2\theta +\sin^2 \theta}\\
&=r\sqrt{1}\\
&=r,
\end{align*}

lo que prueba $r=r’$. Además, como discutimos en la primer sección, tenemos que
\begin{align*}
\sin \theta’ = \frac{r\sin \theta}{r} = \sin \theta\\
\cos \theta’ = \frac{r\cos \theta}{r}=\cos \theta.
\end{align*}

De esta forma, $\theta$ y $\theta’$ son ángulos en $[0,2\pi)$ con el mismo seno y coseno, lo cual implica $\theta=\theta’$.

$\square$

Corolario. El cambio de coordenadas rectangulares a polares , visto como una función de $$\mathbb{R}\times \mathbb{R}$$ a $$(\mathbb{R}^+\times [0,2\pi))\cup \{(0,0)\}$$ es biyectivo.

La forma polar de un número complejo

En las secciones anteriores pensamos a los complejos como parejas ordenadas. Podemos regresar los resultados obtenidos a la forma $x+yi$ de los complejos para justificar la siguiente definición.

Definición. La forma polar de un número complejo $z=x+yi$ es $z=r(\cos \theta + i\sin \theta)$, donde $(r,\theta)$ son las coordenadas polares de $(x,y)$.

Por costumbre, en la forma polar se pone $i$ antes de $\sin \theta$, a diferencia de la forma rectangular, en donde se pone $i$ después de $y$. A veces en expresiones como las de la forma polar aparecen ángulos $\theta$ fuera del rango $[0,2\pi)$. Podemos hacer las cuentas que necesitemos fuera de este rango sin problema. Al final podemos sumar o restar un múltiplo entero de $2\pi$ para caer en el rango $[0,2\pi)$. Esto no cambia el seno ni coseno del ángulo, por lo que no cambia al número complejo.

Como la expresión $ \cos \theta + i\sin \theta$ se usa mucho, usualmente se abrevia.

Definición. Para un ángulo $\theta$ definimos $\text{cis}(\theta) = \cos \theta + i \sin \theta$.

Problema. Determina la forma polar de los complejos $1$, $-1$, $i$ y $-i$.

Solución. Todos estos números tienen norma $1$. Además, hacen ángulos $0, \pi, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$ con el eje real positivo, respectivamente. De esta forma, sus coordenadas polares son
\begin{align*}
(1,0)\quad (1,\pi)\quad\left(1,\frac{\pi}{2}\right)\quad \left(1,\frac{3\pi}{2}\right),
\end{align*}

respectivamente.

De esta forma, la forma polar de cada uno es:
\begin{align*}
1&=\cos 0+i \sin 0=\text{cis} (0)\\
-1&=\cos \pi + i \sin \pi = \text{cis} (\pi) \\
i&=\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} = \text{cis} \left(\frac{\pi}{2}\right)\\
-i&= \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} = \text{cis} \left( \frac{3\pi}{2}\right).
\end{align*}

$\triangle$

Una aclaración muy importante es que la forma polar de $z=x+yi$ no es $r+\theta i$. La forma polar es exactamente el mismo número complejo que el original, simplemente escrito de manera diferente.

Si la forma polar de un complejo es exactamente el mismo número que el original, ¿de qué nos sirve tenerlo en coordenadas polares? Resulta que la multiplicación compleja se entiende mucho mejor en términos de la forma polar. En la siguiente entrada veremos esto y cómo lo podemos usar para encontrar potencias de números complejos fácilmente.

Más adelante…

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Determina la forma polar de los siguientes complejos: $7-7i$ y $-2+2\sqrt{3}i$.
  2. Determina la forma rectangular de los complejos con coordenadas polares $\left(2,\frac{\pi}{3}\right)$ y $\left(1, \frac{11\pi}{6}\right)$.
  3. Si la forma polar del complejo $z$ es $r\text{cis} \theta$, ¿quién es la forma polar del conjugado?
  4. ¿Cuáles son aquellos números complejos que se obtienen al variar $\theta$ en la forma polar $3\text{cis}(\theta)$?
  5. ¿Qué figura en el plano definen aquellos números complejos que se obtienen al variar $r$ en la forma polar $r\text{cis}(\pi)$?

Puedes practicar más estos temas viendo los videos y haciendo los ejercicios de la página de Khan Academy, de su sección de números complejos.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Lineal I: Producto interior y desigualdad de Cauchy-Schwarz

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

11 respuestas

Introducción

Anteriormente, platicamos acerca de formas bilineales y de formas cuadráticas. Ahora veremos un tipo de formas bilineales especiales: las positivas y las positivas definidas. Las formas positivas definidas nos ayudan a definir qué es un producto interior. Esta es una noción fundamental que más adelante nos ayudará a definir distancias y ángulos.

Formas bilineales positivas y positivas definidas

Para hablar de geometría en espacios vectoriales, la siguiente noción es fundamental. Es importante notar que es una definición únicamente para formas bilineales simétricas.

Definición. Sea $b:V\times V\to \mathbb{R}$ una forma bilineal simétrica.

  • Diremos que $b$ es positiva si $b(x,x)\geq 0$ para todo vector $x$ de $V$.
  • Diremos que $b$ es positiva definida si $b(x,x)>0$ para todo vector $x\neq 0$ de $v$.

Tenemos una noción análoga para formas cuadráticas.

Definición. Sea $q:V\to \mathbb{R}$ una forma cuadrática con forma polar $b$. Diremos que $q$ es positiva si $b$ lo es, y diremos que es positiva definida si $b$ lo es.

Ejemplo 1. Como ya vimos antes, el producto punto de $\mathbb{R}^n$ es una forma bilineal simétrica. También es positiva definida, pues si tenemos $x=(x_1,\ldots,x_n)$, tenemos que $$x\cdot x = x_1^2+\ldots+x_n^2\geq 0,$$ y esta es una igualdad si y sólo si $x_1=\ldots=x_n=0$, lo cual sucede si y sólo si $x=0$.

$\triangle$

Ejemplo 2. Considera $V=\mathbb{R}_2[x]$ y consideremos la forma bilineal $b$ dada por $$b(p,q)=p(0)q(1)+p(1)q(0).$$ Esta es una forma bilineal simétrica pues \begin{align*}b(p,q)&=p(0)q(1)+p(1)q(0)\\&=q(0)p(1)+q(1)p(0)\\&=b(q,p).\end{align*} Notemos que $$b(p,p)=2p(0)p(1),$$ que no necesariamente es positivo. Por ejemplo, si tomamos el polinomio $p(x)=x-\frac{1}{2}$, tenemos que \begin{align*}b(p,p)&=2p(0)p(1)\\&=-2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\\&=-\frac{1}{2}.\end{align*} Así, esta es una forma bilineal simétrica, pero no es positiva (y por lo tanto tampoco es positiva definida).

$\triangle$

Problema. Considera la forma cuadrática $Q$ en $M_{2}(\mathbb{R})$ que suma el cuadrado de las entradas de la diagonal de una matriz, es decir, aquella dada por $$Q\begin{pmatrix} a & b\\c & d\end{pmatrix}=a^2+d^2.$$ Determina su forma polar y si es positiva o positiva definida.

Solución. Para encontrar la forma polar $B$ de $Q$, usamos la identidad de polarización
\begin{align*}
B&\left(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},\begin{pmatrix} e & f\\ g & h \end{pmatrix}\right)\\
&=\frac{(a+e)^2+(d+h)^2-a^2-e^2-d^2-h^2}{2}\\
&=\frac{2ae+2dh}{2}\\
&=ae+dh.
\end{align*}

Como $Q\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=a^2+d^2\geq 0$, tenemos que $Q$ (y $B$) son positivas. Sin embargo, $Q$ no es positiva definida (ni $B$), pues por ejemplo, $$Q\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} = 0.$$

Producto interior

Estamos listos para definir aquellos espacios sobre los que podemos hacer geometría.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$

  • Un producto interior en $V$ es una forma bilineal simétrica y positiva definida.
  • Decimos que $V$ es un espacio Euclideano si es de dimensión finita y está equipado con un producto interior.

Estamos siguiendo la convención del libro de Titu Andreescu, en donde es importante pedir que $V$ sea de dimensión finita para ser Euclideano.

Cuando estamos hablando de espacios con producto interior, o de espacios Euclideanos, tenemos una forma bilineal simétrica y positiva definida $b$. Sin embargo, en vez de usar constantemente $b(x,y)$, para simplificar la notación usaremos simplemente $\langle x, y\rangle$.

Definición. Si $V$ es un espacio con producto interior $\langle \cdot,\cdot \rangle$, definimos la norma de un vector $x$ como $$\Vert x \Vert =\sqrt{\langle x, x \rangle}.$$

Ejemplo. Como dijimos arriba, el producto punto en $\mathbb{R}^n$ es una forma bilineal simétrica, así que es un producto interior. Como $\mathbb{R}^n$ es de dimensión finita, entonces es un espacio Euclideano.

La norma de un vector $x=(x_1,\ldots,x_n)$ está dada por $\Vert x \Vert = \sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2},$ y geométricamente se interpreta como la distancia de $x$ al origen.

Un ejemplo más concreto es $\mathbb{R}^4$, en donde la norma del vector $(1,2,3,1)$ es $\sqrt{1^2+2^2+3^2+1^2}=\sqrt{15}$.

$\triangle$

La notación de producto interior quizás te recuerde la notación que se usa cuando hablamos de dualidad. Sin embargo, es muy importante que distingas los contextos. En el caso de dualidad, tenemos $$\langle \cdot, \cdot \rangle: V^\ast\times V \to \mathbb{R},$$ y en este contexto de producto interior tenemos $$\langle \cdot, \cdot \rangle: V\times V \to \mathbb{R}.$$ Más adelante, puede que te encuentres en tu preparación matemática con el teorema de representación de Riesz, a partir del cual tendrá sentido que se use la misma notación.

Desigualdad de Cauchy-Schwarz

A continuación presentamos un resultado fundamental es espacios con formas bilineales positivas y positivas definidas.

Teorema (desigualdad de Cauchy-Schwarz). Sea $b:V\times V\to \mathbb{R}$ una forma bilineal simétrica y $q$ su forma cuadrática asociada.

  • Si $b$ es positiva, entonces para todo $x$ y $y$ en $V$ tenemos que $$b(x,y)^2\leq q(x)q(y).$$ Si $x$ y $y$ son linealmente dependientes, se alcanza la igualdad.
  • Además, si $b$ es positiva definida y $x$ y $y$ son linealmente independientes, entonces la desigualdad es estricta.

Demostración. Supongamos primero solamente que $b$ es positiva. Consideremos la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por $f(t)=q(x+ty)$. Como $q$ es forma cuadrática positiva, tenemos que $f(t)\geq 0$ para todo real $t$. Por otro lado, expandiendo y usando que $b$ es simétrica, tenemos que
\begin{align*}
f(t)&=q(x+ty)\\
&=b(x+ty,x+ty)\\
&=b(x,x)+2b(x,y)\cdot t + b(y,y) \cdot t^2\\
&=q(x) + 2b(x,y)\cdot t + q(y) \cdot t^2.
\end{align*}

En esta expresión, $q(x)$, $2b(x,y)$ y $q(y)$ son reales, así que $f(t)$ es un polinomio cuadrático en $t$. Como $f(t)\geq 0$ para todo $t$ en $\mathbb{R}$, el discriminante de este polinomio es no positivo, en otras palabras, $$(2b(x,y))^2-4q(x)q(y)\leq 0.$$

Sumando $4q(x)q(y)$ y dividiendo entre $4$ ambos lados de la desigualdad, obtenemos que $$b(x,y)^2\leq q(x)q(y),$$ la cual es la desigualdad que queremos.

Si $x$ y $y$ son linealmente dependientes, podemos despejar a uno en términos del otro. Sin perder generalidad, podemos suponer que $x=\alpha y$. En este caso, $$b(\alpha y,y)^2=\alpha^2 b(y,y)=q(\alpha(y))q(y),$$ así que se da la igualdad.

Ahora, supongamos además que $b$ es positiva definida y que se da la igualdad. Si esto sucede, el discriminante del polinomio cuadrático de arriba es igual a $0$ y por lo tanto el polinomio tiene una raíz $t$. En otras palabras, $q(x+ty)=0$. Pero como $q$ es positiva definida, esto implica que $x+ty=0$, de donde $x$ y $y$ son linealmente dependientes. Así, si $x$ y $y$ son linealmente independientes, tenemos que la desigualdad es estricta.

$\square$

El siguiente caso particular es uno de los más importantes y los más usados, por lo cual amerita que lo enunciemos separadamente.

Corolario. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ equipado con un producto interior $\langle \cdot, \cdot \rangle$. Para cualesquiera $x,y$ en $V$ se cumple $|\langle x, y \rangle| \leq \Vert x \Vert \cdot \Vert y \Vert$.

Puede que te preguntes por qué enfatizamos los resultados de desigualdades. En varias partes de tu formación matemática trabajarás con espacios vectoriales en donde quieres hacer cálculo. Ahí, se define la convergencia y los límites en términos de una norma. Las desigualdades que probemos para espacios vectoriales son útiles para cuando se quiere demostrar la validez de ciertos límites. Más adelante mencionaremos algunas cosas adicionales al respecto.

Más adelante…

En esta entrada definimos el concepto de producto interior y vimos cómo el producto interior induce una norma en el espacio vectorial. El concepto de norma nos permite generalizar la noción de distancia y esto nos permitirá ver cómo se puede hacer cálculo en espacios vectoriales.

En las siguientes entradas veremos cómo se define esta norma para diferentes espacios vectoriales con diferentes productos interiores. Podremos ver entonces cómo se generalizan otras nociones que ya hemos visto en cursos anteriores; como el concepto de ángulo.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Considera la función $q(w,x,y,z)=wx+yz$. Muestra que es una forma cuadrática en $\mathbb{R}^4$. Encuentra su forma polar y determina si es una forma cuadrática positiva y/o positiva definida.
  • Muestra que $$q(w,x,y,z)=x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx$$ es una forma cuadrática en $\mathbb{R}^4$ y determina si es positiva y/o positiva definida.
  • Considera $V=\mathcal{C}[0,1]$ el espacio vectorial de funciones continuas en el intervalo $[0,1]$. Muestra que $$\langle f,g\rangle = \int_0^1 f(x)g(x)\, dx$$ define un producto interior en $V$. ¿Es $V$ un espacio Euclideano? Determina la norma de la función $f(x)=x^3$.
  • Sea $V=\mathbb{R}_2[x]$ el espacio vectorial de polinomios con coeficientes reales y de grado a lo más $1$. Muestra que $$\langle p,q\rangle = p(0)q(0)+p(1)q(1)+p(2)q(2)$$ hace a $V$ un espacio Euclideano.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Seminario de Resolución de Problemas: Identidad de Gauss e identidad de suma de cubos

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

1 respuesta

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Introducción

En la entrada anterior comenzamos a platicar acerca de identidades algebraicas útiles en la resolución de problemas matemáticos. Vimos algunas identidades básicas y platicamos acerca del teorema del binomio de Newton. En esta entrada veremos dos identidades más: la identidad de Gauss para suma de cuadrados y la identidad para factorizar $a^3+b^3+c^3-3abc$. Damos más de una demostración de cada una de ellas para seguir explorando ideas algebraicas.

Identidad de cuadrados de Gauss

Proposición. Para $a,b,c,d$ números reales se cumple que $$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2.$$

Demostración 1. Simplemente desarrollamos. Por un lado,
\begin{align*}
(a^2+b^2)(c^2+d^2) = a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2.
\end{align*}

Por otro lado, $ (ac-bd)^2+(ad+bc)^2$ es
\begin{align*}
&a^2c^2-2abcd+b^2d^2+a^2d^2+2abcd+b^2c^2\\
= &a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2.
\end{align*}

$\square$

La siguiente demostración nos ayuda a entender un poco mejor la identidad y tiene una idea que se puede aplicar en varios contextos.

Demostración 2. Vamos a dar un pequeño brinco a los números complejos, pues ahí podemos hacer la factorización $x^2+y^2=(x+yi)(x-yi)$.

Usando esa identidad:
\begin{align*}
&(a^2+b^2)(c^2+d^2) \\
=&(a+bi)(a-bi)(c+di)(c-di)\\
=&(a+bi)(c+di)(a-bi)(c-di)\\
=&((ac-bd)+(ad+bc)i) ((ac-bd)-(ad+bc)i)\\
=&(ac-bd)^2+(ad+bc)^2.
\end{align*}

$\square$

La idea que se puede recuperar de la demostración anterior es la siguiente: a veces una identidad no se puede factorizar en los números reales (racionales, enteros, etc), pero sí en los números complejos (otro sistema numérico más grande). Aunque el problema hable de números reales, es posible que podamos ir a los complejos y regresar a los reales con información.

Problema ejemplo para identidad de Gauss

Problema. Muestra que si tienes un número $x$ de la forma $r^2+7s^2$, con $r$ y $s$ números enteros, entonces el número $x^{2020}$ también es de esa forma.

Sugerencia pre-solución. Aquí, el exponente $2020$ es sospechoso, y sugiere que en realidad el problema debe ser más general. Haz algunos casos pequeños para buscar un patrón de cómo se comporta el producto de dos números de esa forma. Después, para estudiar las potencias, usa el principio de inducción.

Solución. Notemos que $$x=r^2+7s^2=(r+\sqrt{7}si)(r-\sqrt{7}si)$$ Tomemos otro número de esa forma, digamos $$y=t^2+7u^2= (t+\sqrt{7}ui)(t-\sqrt{7}ui).$$ Al hacer el producto de $x$ y $y$, aparecerá un factor $$ (r+\sqrt{7}si)(t+\sqrt{7}ui)=((rt-7su)+(ru+st)\sqrt{7}i)$$ y un factor $$ (r-\sqrt{7}si)(t-\sqrt{7}ui)=((rt-7su)-(ru+st)\sqrt{7}i),$$ que multiplicados son iguales a $$(rt-7su)^2+7(ru+st)^2.$$ Con todo esto, concluimos que el producto de cualesquiera dos números de la forma buscada, también es de la forma buscada. De aquí, $x^2$ es de la forma buscada, e inductivamente $x^n$ es de la forma buscada para todo entero $n\geq 1$. En particular, $x^{2020}$ es de la forma que se quiere.

$\square$

Identidad para $a^3+b^3+c^3-3abc$

Proposición. Para $a,b,c$ números reales, se tiene que $$a^3+b^3+c^3-3abc$$ es igual a $$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).$$

Esta identidad también tiene varias demostraciones, que en conjunto guardan varias ideas. Veamos dos de ellas.

Demostración 1. Simplemente hacemos el producto de la segunda expresión para verificar que nos de la primera. Claramente aparece un único $a^3$ y por simétría aparecen $b^3$ y $c^3$ exactamente una vez. También, claramente aparece tres veces la expresión $-abc$. Todas las expresiones que aparecen son cúbicas y ya contamos las «de la forma» $x^3$ y $xyz$, así que por simetría basta ver qué pasa con cada expresión de la forma $x^2y$. Estas se obtienen ya sea de elegir $x$ en la primera y $-xy$ en la segunda, o bien $y$ en la primera y $x^2$ en la segunda, de modo que todas ellas se cancelan.

Sólo para asegurarnos que hicimos todo bien, deberíamos haber contado $3\cdot 6=18$ monomios. Hay tres de la forma $x^3$, tres de la forma $xyz$ y cada uno de los seis la forma $x^2y$ ya lo encontramos $2$ veces, una vez positivo y una vez negativo. Así, nuestra cuenta abarca $3+3+6\cdot 3= 18$ monomios, así que ya contamos todos los términos.

$\square$

Hay una segunda demostración, que usa ideas de álgebra lineal. Daremos la idea general, y más adelante, cuando hablemos de matrices y determinantes, platicaremos de estas ideas más a detalle.

Demostración. Calculemos el determinante $D$ de la matriz $$\begin{pmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a\end{pmatrix}$$ de dos formas distintas. Por un lado, podemos sumar los renglones $2$ y $3$ al primer renglón sin que cambie el determinante, así, $$D=\begin{vmatrix} a+b+c & a+b+c & a+b+c\\ c & a & b \\ b & c & a\end{vmatrix}.$$ De aquí, podemos factorizar $a+b+c$ pues está en cada entrada del primer renglón $$D=(a+b+c)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ c & a & b \\ b & c & a\end{vmatrix}.$$

Finalmente, desarrollando el determinante que queda usando el primer renglón, tenemos que
\begin{align*}
D&=(a+b+c)((a^2-bc)-(ca-b^2)+(c^2-ab))\\
&=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).
\end{align*}

Por otro lado, usando el truco para desarrollar un determinante de $3\times 3$ por diagonales,
\begin{align*}
D&=a^3+b^3+c^3-abc-abc-abc\\
&= a^3+b^3+c^3-3abc.
\end{align*}

Igualando ambas expresiones para $D$, obtenemos la identidad deseada.

$\square$

Problema ejemplo de factorización de $a^3+b^3+c^3-3abc$

Problema. Sean $a,b,c$ números reales. Muestra que $a^3+b^3+c^3=3abc$ si y sólo si $a+b+c=0$ o $a=b=c$.

Sugerencia pre-solución. Necesitarás la identidad anterior y un análisis de casos. También, para uno de los casos necesitarás usar la factorización de $x^2-2xy+y^2$ algunas veces.

Solución. De acuerdo a la identidad de la sección anterior, $a^3+b^3+c^3=3abc$ si y sólo si $$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0.$$

Notemos que $$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2},$$ que siempre es mayor o igual que cero y es igual a $0$ si y sólo si $a-b=b-c=c-a=0$, si y sólo si $a=b=c$.

Así, $a^3+b^3+c^3=3abc$ si y sólo si alguno de los factores que lo conforman es cero, lo cual pasa si y sólo si $a+b+c=0$ o $a=b=c$.

$\square$

Más problemas

Puedes ver más problemas que usan identidades algebraicas en la entrada anterior de este tema. Además, puedes encontrar más problemas de identidades algebraicas en la Sección 4.1 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Seminario de Resolución de Problemas: Identidades algebraicas y binomio de Newton

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

2 respuestas

Introducción a entradas de álgebra

Cuando en matemáticas hablamos de álgebra, se abarca una gran cantidad de ideas, que van desde el álgebra de secundaria, en la cual factorizamos, despejamos y usamos identidades algebraicas, hasta el álgebra abstracta, que estudia estructuras algebraicas más generales como grupos, anillos y campos. Todas estas ideas tienen amplias aplicaciones en la resolución de problemas. En esta entrada, y las que vendrán a continuación, veremos numerosos ejemplos de esto

Para empezar, hablaremos de álgebra en el sentido de secundaria y preparatoria. Veremos que estas ideas, aunque sencillas, son muy versátiles. Después hablaremos de polinomios y de dos resultados fundamentales en su teoría: el teorema de factorización única y el teorema de la identidad. Los polinomios abundan en las matemáticas, y un correcto entendimiento de ellos abre muchas puertas en la resolución de problemas. En una entrada final daremos algunas ideas de otras estructuras algebraicas como grupos, anillos y campos.

Más adelante en el curso hablaremos con detalle de otros dos temas relacionados con álgebra: desigualdades y álgebra lineal.

Como lo hemos hecho hasta ahora, la idea no es profundizar demasiado en el desarrollo de la teoría algebraica. Para eso, es más recomendable llevar buenos cursos de distintos tipos de álgebra a nivel superior. Aquí en el blog hay material de los cursos Álgebra Superior II y Álgebra Lineal I que imparto en la Facultad de Ciencias de la UNAM.

Identidades algebraicas

Comenzaremos hablando de identidades algebraicas. Una identidad algebraica es una igualdad que se satisface para ciertas variables, independientemente del valor que tomen. Algunos ejemplos son las igualdades que se aprenden a nivel secundaria y bachillerato:

\begin{gather*}
a^2-b^2=(a-b)(a+b),\\
a^2+2ab+b^2=(a+b)^2,\\
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2,\\
a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots+ab^{n-2}+b^{n-1}).
\end{gather*}

Varias de las identidades algebraicas nos permiten desarrollar o factorizar una expresión. Factorizarla es bastante útil en problemas de teoría de números, en donde es importante conocer qué números dividen a la expresión. Desarrollarla a veces nos permite trabajar con una suma de términos simétricos, que podemos estudiar con técnicas de polinomios o con desigualdades.

Veamos algunos ejemplos.

Problema. Muestra que si $n$ es un entero, entonces $n^4-20n^2+4$ no es un número primo.

Sugerencia pre-solución. Intenta formular un problema equivalente al factorizar la expresión. Hay más de un camino por el que puedes proceder para factorizar, pero no todos te llevan a una solución. Intenta completar cuadrados de distintas formas y ve si encuentras un patrón.

Solución. Reescribimos la expresión como sigue:
\begin{align*}
n^4-20n^2+4&=n^4-4n^2+4-16n^2\\
&=(n^2-2)^2-(4n)^2\\
&=(n^2-4n-2)(n^2+4n-2).
\end{align*}

Para ver que la expresión no es un primo, basta con ver que ninguno de estos factores puede ser igual a $1$ o $-1$. Si $n^2-4n-2=1$ o $n^2+4n-2=1$, entonces $n^2=\pm 4n+3$. Trabajando módulo $4$, tendríamos $n^2\equiv 3 \pmod{4}$, lo cual es imposible.

Si $n^2-4n-2=-1$ o $n^2+4n-2=-1$, entonces sumando $6$ de ambos lados tenemos $$(n\pm 2)^2=n^2\pm 4n+4=5.$$ Esto es imposible pues $5$ no es el cuadrado de un entero. Así, $n^4-20n^2+4$ se puede factorizar en factores distintos de $1$ y $-1$ y por lo tanto no es primo.

$\square$

El siguiente problema fue parte de la 1a Olimpiada Mexicana de Teoría de Números. Veremos dos soluciones. Ambas usan ideas algebraicas, pero son distintas entre sí.

Problema. Sean $a,b,c,d$ enteros tales que

\begin{align*}
ab + bc + ca &= 1\\
ad + dc + ca &= 1\\
ab + bd + da &= 1.
\end{align*}

Determina todos los valores posibles que puede tomar $bc+cd+db$.

Sugerencia pre-solución 1. Hay varias formas de aprovechar la simetría del problema. Intenta manipular las ecuaciones para obtener información y recuerda que es importante usar que $a$, $b$, $c$ son enteros.

Solución 1. A partir de la primera y segunda ecuación, tenemos que $$ab+bc+ca=ad+dc+ca,$$

de donde $0=ad+dc-ab-bc=(a+c)(d-b)$. De aquí tenemos dos opciones: $a=-c$ o $b=d$. Si $a=-c$, de la segunda ecuación obtenemos $$1=ad+dc+ca=-c^2,$$ lo cual es imposible. Así, concluimos que $b=d$.

Por simetría, concluimos que $c=b$, así que $b=c=d$. Tras esto, las tres ecuaciones se reducen a una sola $$1=2ab+b^2=b(2a+b).$$ Las únicas factorizaciones de $1$ en enteros son $1=1\cdot 1$ o $1=(-1)(-1)$, de modo que $b=2a+b$, de donde $a=0$ y $b=\pm 1$. De cualquier forma, la expresión que buscamos es $bc+cd+db=3b^2=3$.

$\square$

Sugerencia pre-solución 2. Formula un problema equivalente sumando $a^2$ en ambos lados en cada una de las ecuaciones.

Solución 2. Sumando $a^2$ en ambos lados de la primer ecuación obtenemos $$a^2+1=a^2+ab+bc+ca=(a+b)(a+c).$$ Las otras dos ecuaciones dan expresiones simétricas. Multiplicando las tres, tenemos $$(a^2+1)(a^2+1)^2=(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2.$$

El lado derecho es el cuadrado de un entero, así que el izquierdo también debe serlo, de modo que $a^2+1$ debe ser el cuadrado de un entero. Pero los únicos cuadrados a distancia $1$ son $0$ y $1$, de donde $a^2+1=1$, y así $a=0$. Las ecuaciones se convierten entonces en $bc=dc=bd=1$, de donde la suma de las tres es $3$.

$\square$

Demostraciones del binomio de Newton

La siguiente es una de las identidades algebraicas más importantes.

Teorema (binomio de Newton). Para $a$ y $b$ números reales y $n$ un entero no negativo, se tiene que
\begin{align*}
(a+b)^n=\sum_{j=0}^n \binom{n}{j}a^{n-j}b^j
\end{align*}

El término de la derecha es $$a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\ldots+\binom{n}{n-1}ab^{n-1} + b^n.$$

Veamos algunas demostraciones del teorema de binomio de Newton, que usan ideas un poco distintas. La primera usa ideas combinatorias. La segunda, ideas más algebraicas. La tercera es menos general, pero usa ideas geométricas.

Demostración combinatoria

Demostración 1. Pensemos al lado izquierdo como el producto $$(a+b)(a+b)\ldots(a+b)(a+b).$$ ¿Cómo se obtienen factores al desarrollar esta expresión? En cada uno de los $n$ paréntesis hay que elegir o un $a$, o un $b$. Así, cada sumando es producto de $n$ letras.

Si elegimos $j$ veces $b$, entonces elegimos $n-j$ veces $a$. ¿De cuántas formas podemos elegir $j$ veces $b$? Tantas como subconjuntos de tamaño $j$ de un conjunto de $n$ elementos, es decir, $\binom{n}{j}$.Así, el término $a^{n-j}b^j$ aparece $\binom{n}{j}$ veces.

Para terminar, notemos que $j$ puede ir desde $0$ (no elegir ningún $b$), hasta $n$ (no elegir ningún $a$).

$\square$

La demostración anterior es combinatoria, pues está usando argumentos de conteo. Está contando de dos formas distintas los términos que aparecen en el producto desarrollado. Además, está usando la interpretación combinatoria de los coeficientes binomiales.

Demostración algebraica

Demostración 2. Si $b=0$, entonces en ambos lados tenemos $a^n$, ya que el único sumando en el que no aparece $b$ es el primero. Tenemos algo análogo si $a=0$. De otra forma, podemos asumir que $a$ y $b$ no son cero y dividir ambos lados de la igualdad que queremos entre $b^n$. Definiendo $x=a/b$, tenemos que mostrar que:

$$(x+1)^n= \sum_{j=0}^n \binom{n}{j}x^{n-j}.$$

Esta igualdad es claramente cierta para $n=0$, pues en ambos lados obtenemos $1$, y para $n=1$, pues en ambos lados obtenemos $x+1$. Procediendo por inducción (explicamos cada paso con un poco de detalles más abajo):

\begin{align*}
(x+1)^{n+1}&=(x+1)(x+1)^n\\
& = (x+1)\sum_{j=0}^n \binom{n}{j} x^{n-j}\\
&=\sum_{j=0}^n \binom{n}{j} x^{n-j+1}+\sum_{j=0}^n \binom{n}{j}x^{n-j}\\
& = \sum_{j=0}^{n+1} \binom{n}{j-1} x^{n-j}+\sum_{j=0}^{n+1} \binom{n}{j}x^{n-j}\\
&=\sum_{j=0}^{n+1}\left(\binom{n}{j-1}+\binom{n}{j}\right) x^{n-j}\\
&=\sum_{j=0}^{n+1}\binom{n+1}{j} x^{n-j}.
\end{align*}

El primer paso es claro. En el segundo usamos hipótesis inductiva. Luego, hacemos la multiplicación por $x+1$. El siguiente paso puede ser un poco confuso, pues parece que «agregamos términos», pero en la segunda suma sólo agregamos $\binom{n}{n+1}x^{-1}=0$. En la primer suma hicimos un shift o desfase: los términos que estaban antes para $j$ de $0$ a $n$, ahora están para $j$ de $1$ a $n+1$. Además, agregamos el término $\binom{n}{-1}x^{n}=0$. En el siguiente paso usamos la identidad de Pascal: $$\binom{n}{j-1}+\binom{n}{j}=\binom{n+1}{j},$$ que se puede demostrar combinatoriamente, o directamente de manera algebraica a partir de la fórmula para coeficientes binomiales.

Con esto termina la demostración por inducción.

$\square$

Esta segunda demostración es mucho más algebraica, es decir, usa ideas de cómo se manipulan las expresiones con variables. El primer paso, en el que reducimos el problema a cuando un término es $1$, se llama homogenización. En realidad no era estrictamente necesario hacerlo, pero simplifica la notación. En las sumas hicimos un shift, que es otra técnica que se usa al estudiar sumas y series.

Demostración geométrica

Daremos una última demostración del teorema del binomio de Newton, pero sólo para el caso $n=2$. Lo que tenemos que demostrar es simplemente la identidad $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$$ Para este caso, hay una bonita «demostración sin palabras»:

Binomio al cuadrado mostrado geométricamente
Demostración visual del binomio al cuadrado

Esta demostración es geométrica, pues estamos interpretando a la igualdad como una igualdad de áreas. Estamos usando una fórmula de área para cuadrados y rectángulos. Además, estamos usando que el área de una figura es aditiva, es decir, que es igual a la suma de áreas de figuras en las que queda subdividida.

Puedes elegir tu demostración favorita del binomio de Newton. Sin embargo, en resolución de problemas es importante saber proceder con varios acercamientos. Hay problemas en los que el acercamiento combinatorio, el algebraico o el geométrico es ventajoso, y por ello es mejor tener buena práctica en todos ellos.

Una aplicación del binomio de Newton en teoría de números

En entradas anteriores ya hemos usado el teorema del binomio de Newton en repetidas ocasiones, por ejemplo, en la entrada de aritmética de números complejos. Veamos un ejemplo más.

Problema. Sean $a$ y $b$ enteros primos relativos. Muestra que para todo entero positivo $n$, se tiene que $a^n$ y $b^n$ son primos relativos.

Sugerencia pre-problema. Hay varias formas de dar una solución de esto. Una es analizando a los enteros primo por primo. Sin embargo, existe una solución usando binomio de Newton y la caracterización en términos de combinaciones lineales enteras para primos relativos.

Solución. Como $a$ y $b$ son primos relativos, existe una combinación lineal entera de ellos que da $1$, digamos $$ax+by=1.$$ Elevando esta igualdad a la $2n-1$ tenemos $$1=1^{2n-1}=(ax+by)^{2n-1}.$$ Abriendo el último término con binomio de Newton queda
$$\sum_{j=0}^{n-1} \binom{2n-1}{j} a^{2n-1-j}b^j + \sum_{j=n}^{2n-1} \binom{2n-1}{j} a^{2n-1-j}b^j,$$ y factorizando $a^n$ del primer sumando y $b^n$ del segundo,
$$a^n \sum_{j=0}^{n-1} \binom{2n-1}{j} a^{n-1-j}b^j + b^n \sum_{j=n}^{2n-1} \binom{2n-1}{j} a^{2n-1-j}b^{j-n}.$$

Lo que queda a la derecha es una combinación lineal entera de $a^n$ y $b^n$ igual a $1$, y por lo tanto son primos relativos.

$\square$

Más problemas

En la siguiente entrada hablaremos de la identidad de Gauss para suma de cuadrados y de la identidad para $x^3+y^3+z^3-3xyz$, las cuales se usan frecuentemente en resolución de problemas. Además, puedes encontrar más problemas de identidades algebraicas en la Sección 4.1 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.