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Geometría Analítica I: El espacio vectorial R²

Introducción

En la entrada anterior llegamos a una equivalencia entre un punto en el plano euclidiano y parejas de números (x,y), donde x, y \in \mathbb{R}. Podemos imaginarnos entonces el conjunto de todas las parejas ordenadas de números reales como \mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2, donde \times hace referencia al producto cartesiano (en general para conjuntos A y B, A \times B := \{ (a,b) : a \in A, b \in B \}).

Con esto en mente, es posible imaginaros a los postulados de Euclides ya no como afirmaciones incuestionables, sino como consecuencias de una geometría construida a partir de las parejas de números reales. Ahora nuestra base será la teoría de conjuntos, los números reales y las parejas ordenadas. Usaremos los axiomas y propiedades que tienen para construir nuestros objetos.

Para entender mejor cómo se trabajará en el espacio formado por todas las parejas (x,y) de reales, comencemos esta entrada hablando de los números reales.

Los números reales

Como advertencia, esta sección tiene muchos símbolos. Es normal. Muy muy a grandes rasgos, lo que queremos recordar aquí es que los reales se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir (excepto divisiones entre cero). Y que todas estas operaciones tienen propiedades bonitas.

A partir de este punto, pensaremos en los reales como algo que sabemos con seguridad puede ser construido, y tomaremos como ciertos todos los axiomas que éstos cumplen. Los axiomas se pueden resumir en la siguiente frase, que desglosaremos una vez enunciada:

«\mathbb{R} es un campo ordenado y completo»

Que \mathbb{R} sea un campo hace referencia a que como conjunto, tiene las operaciones de suma (+) y producto (\dot) definidas tales que:

  • \mathbb{R} con la suma, es un grupo conmutativo
    • La suma es asociativa, es decir: \forall a,b,c \in \mathbb{R}, se tiene que (a+b)+c=a+(b+c) (\forall se lee para todo).
    • Existe 0 \in \mathbb{R} tal que \forall a \in \mathbb{R}, a+0=a=0+a
    • Existe b \in \mathbb{R} tal que a+b=0=b+a. (b=-a)
    • Es conmutativa, es decir, \forall a,b \in \mathbb{R}, se tiene que a+b=b+a.
  • \mathbb{R} \setminus \{0\} (los reales sin el elemento cero) con el producto, es un grupo conmutativo; de manera análoga a la suma tenemos:
    • El producto es asociativo: \forall a,b,c \in \mathbb{R}, se tiene que (ab)c=a(bc) (nota que estamos omitiendo el símbolo de multiplicación).
    • Existe 1 \in \mathbb{R} tal que \forall a \in \mathbb{R}, a\cdot1=a=1\cdot a
    • Existe b \in \mathbb{R} tal que ab=1=ba. (b=\frac{1}{a})
    • Es conmutativo, es decir, \forall a,b \in \mathbb{R}, se tiene que ab=ba.
  • La suma y el producto se distribuyen: \forall a,b,c \in \mathbb{R}, se tiene que a(b+c)=ab+ac

Que sea ordenado nos indica que tenemos una relación que es un orden total y es compatible con la suma y el producto. \forall a,b \in \mathbb{R}:

  • Se cumple exactamente una de las siguientes relaciones: a<b, b<a, a=b.
  • Si a \leq b y b \leq c, entonces a \leq c.
  • Si a \leq b, entonces a+c \leq b+c
  • Si a,b \geq 0 , entonces ab \geq 0

Por último, que sea completo es una noción formal en la cual no nos enfocaremos mucho, pero que a grandes rasgos quiere decir que en los números reales «no hay hoyos», lo cual es muy importante para cuando se quiere usar este sistema numérico para hacer cálculo diferencial e integral.

Por lo que vimos en la entrada anterior, podemos representar cualquier punto en el espacio euclidiano con una pareja de números reales. Ya que hemos dado un pequeño repaso formal de la estructura de \mathbb{R} (todo esto lo cumple cada entrada de un punto (a,b)), demos el siguiente paso y exploremos el espacio vectorial \mathbb{R}^2.

Espacio vectorial \mathbb{R}^2

Comencemos definiendo formalmente un concepto que exploramos en la entrada anterior: el vector.

Definición. Un vector v con dos entradas, es una pareja ordenada de números reales v=(x,y).

Ejemplos. Algunos vectores en \mathbb{R}^2 son:

  • (1,4)
  • (-3,2)
  • (\pi,1)
  • (2.3,-e)

Utiliza el siguiente interactivo de GeoGebra: mueve el punto C y explora cómo el vector cambia con esta acción.

Definición. El conjunto de todos los vectores con dos elementos (ambos reales) es \mathbb{R}^2. En símbolos tenemos que:

\mathbb{R}^2=\{(x,y): x,y \in \mathbb{R} \}

Si realizaste la tarea moral anterior, te habrás dado cuenta que podemos encontrar ciertas regiones geométricas al imponer condiciones sobre las entradas de un vector. En la tarea se hace referencia a áreas muy determinadas conocidas como cuadrantes, pero no son las únicas regiones existentes. Hagamos un ejercicio de esto.

Problema. Ubica dentro del plano de dos dimensiones las siguientes regiones geométricas definidas al imponer ciertas restricciones en las entradas de un vector:

  1. \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \leq 0, y \geq 1 \}
  2. \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \geq \pi , y \leq \pi \}
  3. \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \geq y \}

Solución. Para encontrar estas áreas basta con ubicar la región en la que se vale cada condición por separado. La intersección de las regiones será la región que buscamos. Esto se vale para los dos primeros incisos.

Utiliza el siguiente interactivo de GeoGebra en el que ya están las condiciones para visualizar la primera región geométrica para localizar la región del segundo inciso.

¿Qué pasa con el inciso 3? Puede parecer más complicado porque ahora las coordenadas están conectadas en una sola restricción. Antes de introducir la condición en GeoGebra, imagina cuál es la región en la que la condición se cumple.

Ahora, utilicemos el siguiente interactivo para usar lo que ya sabemos y determinar intuitivamente cuál es el área que determina la condición x \geq y. Pensemos en el caso específico x = 1, y puede ser a lo más 1 (y \leq 1); al restringir nuestra x podemos obtener dos condiciones a partir de las cuales ya sabemos cómo encontrar la región en las que se cumplen. Si ves el interactivo, notarás que la intersección de las regiones es únicamente la recta definida por x=1 pero no toda, sino que sólo a partir de cuando y=1 hacia abajo. ¿qué pasa si mueves los deslizadores para cambiar los valores de x y y ? Se obtienen segmentos de recta correspondientes a un valor de x fijo que comienzan cuando y es menor o igual a ese valor.

Resulta que estos segmentos de recta se obtienen para cualquier valor de x. ¿qué pasa ahora cuando unes todas estas líneas? En este punto es importante recordar que en \mathbb{R} hay un real entre cada dos reales. Entonces, se puede construir el segmento de recta del que hemos hablado. Por lo que la únión de todas estas rectas define un área, ¿ya imaginas cuál es? Verifícalo al escribir la condición y \leq x en el interactivo anterior.

\square

La suma en \mathbb{R}^2

Regresando a la teoría, el siguiente paso lógico después de definir ciertos objetos (en este caso vectores), es averiguar cómo operan. Definamos entonces la suma y el producto escalar de vectores haciendo uso del conocimiento que ya tenemos acerca de las operaciones en los reales.

Definición. Sean v_1, v_2 \in \mathbb{R}^2 dados por v_1=(x_1,y_1) y v_1=(y_1,y_2). Su suma está dada por el vector

v_1+v_2 := (x_1+x_2,y_1+y_2)

Esto es, que la suma de vectoes se hace entrada a entrada y esta bien definida pues al final lo que estamos sumando son números reales.

Ejemplos.

  • (-3,4) + (2,2)=(-3+2,4+2)=(-1,6)
  • (7,4) + (2,1)=(7+2,4+1)=(9,5)
  • (-3.-7) + (1,2)=(-3+1,-7+2)=(-2,-5)

En el siguiente interactivo podrás ver el primer ejemplo de manera gráfica en el plano, donde los vectores de colores son los que se suman y el vector negro es el resultante.

Además de poder obtener el vector suma de manera algebraica hay otra manera más de hacerlo: En el mismo interactivo hay una copia de cada vector de color, escoge uno de los dos vectores de la suma y transpórtalo por completo y paralelo a sí mismo para que su punto de inicio no sea el origen, si no el punto donde termina el otro vector. Por ejemplo, deja el vector azul en su lugar y transporta al verde para que su punto de partida sea la flecha del vector azul. Si lo hiciste correctamente, notarás que ahora ese vector transportado termina en donde el vector resultante de la suma (negro) termina. Resulta que si quieres sumar dos vectores, puedes avanzar desde el origen hasta las coordenadas de uno de ellos y ahora »tomando» como origen ese punto al que llegaste, avanzar las coordenadas del otro vector. Al final llegarás al punto del vector resultante de la suma. Este método es conocido como el método del paralelogramo.

El producto escalar en \mathbb{R}^2

Otra operación importante en \mathbb{R}^2 es el producto escalar, que intuitivamente combina a un real y a un vector y «reescala» al vector por el factor dado por el número real.

Definición. Para r un número real y v_1 \in \mathbb{R}^2 dado por v_1=(x,y), el producto escalar rv está dado por:

rv:=(rx,ry)

Ejemplos.

  • 4(7,3.5)=(28,14)
  • 2(5,3)=(10,6)
  • 2.3(6,3)=(13.8,6.9)

Utiliza el siguiente interactivo moviendo el deslizador del valor a que multiplica al vector (5,3) para interiorizar lo que implica multiplicar un vector por un escalar. Si lo notas, lo único que hace es reescalarlo, y si el escalar es negativo, entonces le cambia el sentido, pero no la dirección.

Una última cosa que es muy importante mencionar es que hasta ahora no hemos dicho cómo multiplicar dos (o más vectores). Sólo tenemos un producto que toma un escalar (un real) y lo multiplica con un vector, cuyo resultado acaba siendo un vector.

Tarea moral

  • Sean v=(8,9), w=(3,-2), u=(-5-4). Calcula y dibuja las siguientes operaciones de vectores:
    • 5v+3u
    • u-3w
    • 2.5v+9w-u
  • Demuestra en \mathbb{R} que si -1 es el inverso aditivo de 1, entonces -a es el inverso aditivo de a.
  • Por los axiomas, sabemos que la conmutatividad se vale para la suma de reales, es decir, que si a y b son reales, entonces a+b=b+a. Pero en esta entrada definimos una nueva suma: la de vectores. De entrada, no sabemos qué propiedades cumple. A partir de las definiciones que dimos, y de los axiomas de los reales, demuestra que también se tiene u+v=v+u para u y v vectores en \mathbb{R}^2.
  • Determina, si es posible, las regiones siguientes geométricas. Si dicha región es vacía, argumenta por qué.
    • \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \leq y, y \geq x \}
    • \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \leq y, y > x \}
    • \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \leq 3, y > \pi \}
  • En el interactivo de producto escalar siempre sucede que la línea que pasa por el extremo del vector verde y el extremo del vector rojo siempre pasa por el origen. ¿Por qué sucede esto?

Más adelante…

En esta entrada dimos un breve repaso acerca de los números reales que nos sirvió para entender el espacio \mathbb{R}^2 y las operaciones dentro de este. El desarrollo aquí hecho servirá como herramienta para construir la representación algebraica de una recta.

Seminario de Resolución de Problemas: Vectores en geometría

Introducción

Anteriormente, comenzamos esta serie de entradas de geometría platicando de algunas técnicas euclideanas o sintéticas que se pueden usar para resolver problemas en el plano. Después, tomamos herramientas de la geometría analítica, las cuales nos permiten poner problemas en términos de coordenadas y ecuaciones. Lo que haremos ahora es ver varios ejemplos del uso de vectores en geometría.

A diferencia de la geometría analítica, cuando hablamos de soluciones por vectores estamos hablando de aquellas que aprovechan la estructura de espacio vectorial en \mathbb{R}^2. En otras palabras, usamos argumentos en los cuales pensamos a los puntos del plano como vectores, los cuales tienen una dirección y una magnitud. Los vectores tienen operaciones de suma y de producto por un escalar. Además, tienen producto punto, norma y transformaciones dadas por matrices. Apenas tocaremos la superficie del tipo de teoría que se puede usar. Un buen curso de álgebra lineal te puede dar más herramientas para resolver problemas geométricos.

Interpretar puntos como vectores

Pongamos un origen O en el plano. A cada punto P le corresponden ciertas coordenadas dadas por parejas de reales (x,y), que identificaremos con P. Al origen le corresponden las coordenadas (0,0). Si tenemos otro punto Q=(w,z), entonces su suma es el vector P+Q=(x+w,y+z). Si tomamos un real r, el vector rP es el vector de coordenadas (rx,ry).

Suma de vectores
Suma de vectores

La suma P+Q se puede encontrar mediante la ley del paralelogramo: los puntos O,P,P+Q,Q hacen un paralelogramo en ese orden cíclico. La resta Q-P está definida por Q+(-1)P, y la llamamos el vector PQ. Geométricamente coincide con el vector que va «de P a Q«. Observa que el orden es importante y que OP=P.

Resta de vectores
Resta de vectores

Proposición (de la razón). Si tenemos dos puntos P y Q distintos y m,n son reales, entonces podemos encontrar al único punto R en la recta por P y Q tal que

    \[\frac{PR}{RQ}=\frac{m}{n}\]

así:

    \[R=\frac{n}{m+n}P + \frac{m}{m+n} Q.\]

Punto en una recta con cierta razón
Punto en una recta con cierta razón

Veamos dos problemas en los que se usan estas ideas de vectores en geometría, en particular, la proposición de la razón.

Problema. En el triángulo ABC se toman puntos D,E,F sobre los segmentos BC,CA,AB tales que \frac{BD}{DC}=\frac{CE}{EA}=\frac{AF}{FB}=\frac{1}{4}. Muestra que ABC y DEF tienen el mismo gravicentro.

Sugerencia pre-solución. Encuentra una fórmula en términos vectoriales para el gravicentro de un triángulo ABC.

Solución. Tomemos un triángulo PQR y pensemos a sus vértices como vectores. Afirmamos que su gravicentro X es el punto correspondiente a \frac{P+Q+R}{3} Demostraremos esto.

El gravicentro está a un tercio del punto medio hacia el vértice correspondiente
Razón del gravicentro en la mediana

Primero haremos un argumento de geometría sintética. El gravicentro es por definición el punto de intersección de las medianas de un triángulo. Si L es el punto medio de QR y M es el punto medio de RP, entonces X es el punto de intersección de PL y QM. Tenemos que

    \[\frac{RL}{LQ}=1=\frac{RM}{MP},\]

así que por el teorema de Tales se tiene que la recta por L y M es paralela al lado PQ, y \frac{LM}{PQ}=\frac{1}{2}. Esto muestra que los triángulos XLM y XPQ son semejantes en razón 1 a 2. Por lo tanto, \frac{LX}{XP}=\frac{1}{2}.

Ahora hagamos el argumento vectorial, pensando a los puntos como vectores. El punto L está a la mitad de QR, así que por la proposición de la razón,

    \[L=\frac{Q+R}{2}.\]

El punto X cumple \frac{LX}{XP}=\frac{1}{2}, así que de nuevo por la proposición de la razón.

    \begin{align*}X&=\frac{2L+P}{2+1}\\&=\frac{Q+R+P}{3}\\&=\frac{P+Q+R}{3}.\end{align*}

Esto es el resultado auxiliar que queríamos mostrar. Regresemos al problema.

De acuerdo al resultado auxiliar, el gravicentro de ABC es

    \[G:=\frac{A+B+C}{3}.\]

Usando una vez más la proposición de la razón, los puntos D, E y F los podemos calcular como sigue:

    \begin{align*}D&=\frac{4B+C}{4+1}=\frac{4B+C}{5}\\E&=\frac{4C+A}{4+1}=\frac{4C+A}{5}\\F&=\frac{4A+B}{4+1}=\frac{4A+B}{5}.\end{align*}

De esta forma, el gravicentro G' de DEF lo podemos encontrar como sigue:

    \begin{align*}G'&=\frac{D+E+F}{3}\\&=\frac{\frac{4B+C}{5}+\frac{4C+A}{5}+\frac{4A+B}{5}}{3}\\&=\frac{A+B+C}{3}\\&=G.\end{align*}

Esto termina la solución del problema.

\square

Problema. En el paralelogramo ABCD el punto F es el punto medio de CD. Muestra que el segmento AF corta a la diagonal BD en un punto E tal que \frac{DE}{DB}=\frac{1}{3}.

Sugerencia pre-solución. Hay varias formas de hacer las cuentas en este problema, pero el uso de una notación adecuada te hará simplificar muchas operaciones.

Solución. Pensemos a los puntos de la figura como vectores. Coloquemos al punto A en el origen. El punto C está dado por B+D, de modo que

    \[F:=\frac{C+D}{2}=\frac{B+2D}{2}.\]

Vectores en geometría: problema de paralelogramo
Figura auxiliar para problema de paralelogramo

Para encontrar al punto E, notemos que está en las rectas AF y BD. De esta forma, deben existir reales r y s tales que

    \[E=rF\]

y

    \[E=sB+(1-s)D.\]

Expresando F en términos de B y D en la primer ecuación, tenemos que

    \[E=\frac{rB+2rD}{2}=\frac{rB}{2}+rD.\]

De ambas expresiones para E, concluimos que

    \begin{align*}s=\frac{r}{2}\\1-s=r.\end{align*}

Este sistema de ecuaciones tiene solución r=\frac{2}{3}, s=\frac{1}{3}, y por lo tanto E=\frac{B+2D}{3}. De aquí se obtiene \frac{DE}{EB}=\frac{1}{2}, o bien \frac{DE}{DB}=\frac{DE}{DE+EB}=\frac{1}{3}, como queríamos mostrar.

\square

Producto punto, norma y ángulos

Para dos vectores P=(x,y) y Q=(w,z) definimos su producto punto como la cantidad P\cdot Q = xw+yz. El productos puntos es:

  • Conmutativo: P\cdot Q = Q\cdot P
  • Abre sumas: P\cdot (Q+R)=P\cdot Q + P\cdot R
  • Saca escalares: (rP)\cdot Q = r(P\cdot Q).

La norma de P se define como \norm{P}=\sqrt{P\cdot P}, y coincide con la distancia de P al origen. La norma de PQ es entonces \norm{PQ}=\sqrt{(Q-P)\cdot (Q-P)} y coincide con la distancia de P a Q.

El ángulo entre dos vectores PQ y RS se define como el ángulo cuyo coseno es

    \[\frac{PQ \cdot RS}{\norm{PQ}\norm{RS}},\]

y coincide precisamente con el ángulo (orientado) geométrico entre las rectas PQ y RS. De esta forma, las rectas PQ y RS son perpendiculares si y sólo si el producto punto PQ\cdot RS es cero.

Problema. Sea ABC un triángulo con sus vértices pensados como vectores. Sean H y O su ortocentro y circuncentro respectivamente. Supongamos que el circuncentro O está en el origen. Muestra que H=A+B+C.

Sugerencia pre-solución. Trabaja hacia atrás. Define al punto A+B+C y ve que las rectas que unen a los vértices con este punto en efecto son alturas. Para calcular los ángulos, usa el producto punto y sus propiedades.

Solución. Como el circuncentro equidista de A. B y C, tenemos que

    \[\norm{A}=\norm{B}=\norm{C}.\]

Tomemos el punto H'=A+B+C.

Vectores en geometría para encontrar el ortocentro
Ortocentro con vectores

Calculemos el ángulo entre las rectas BC y AH', haciendo su producto punto:

(1)   \begin{align*}BC\cdot AH' &= (C-B)\cdot (H'-A)\\&=(C-B)\cdot(C+B)\\&=C\cdot C + C\cdot B - B\cdot C - B\cdot B\\&=\norm{C}^2 - \norm{B}^2\\&=0.\end{align**}

Observa que estamos usando la linealidad y conmutatividad del producto punto. Al final usamos que A y C tienen la misma norma.

Esto muestra que la recta AH' es la altura al lado BC. De manera análoga, BH' y CH' son las alturas a los lados CA y AB respectivamente. Por lo tanto, H' es el ortocentro, así que H=A+B+C.

\square

Cualquier triángulo ABC en el plano se puede trasladar para que su circuncentro O quede en el origen. El ortocentro estará en H=A+B+C y el gravicentro, como vimos antes, en G=\frac{A+B+C}{3}, que es un múltiplo escalar de H. Por lo tanto, O, H y G están alineados. Acabamos de demostrar con vectores en geometría un clásico resultado euclideano.

Teorema (recta de Euler). En cualquier triángulo ABC, el circuncentro O, el gravicentro G y el ortocentro H están alineados. Además,

    \[\frac{OG}{GH}=\frac{1}{2}.\]

Teorema de la recta de Euler
Teorema de la recta de Euler

Si el circuncentro no está en el origen, ahora podemos usar el teorema de la recta de Euler y la proposición de la razón para concluir que G=\frac{2O+H}{3}. Usando que G=\frac{A+B+C}{3}, obtenemos el siguiente corolario

Corolario. Sea ABC un triángulo en el plano, H su ortocentro y O su circuncentro. Entonces al pensar a los puntos como vectores tenemos que

    \[A+B+C=2O+H.\]

Más problemas

Puedes encontrar más problemas del uso de vectores en geometría en la sección 8.3 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Álgebra Lineal I: Producto interior y desigualdad de Cauchy-Schwarz

Introducción

Anteriormente, platicamos acerca de formas bilineales y de formas cuadráticas. Ahora veremos un tipo de formas bilineales especiales: las positivas y las positivas definidas. Las formas positivas definidas nos ayudan a definir qué es un producto interior. Esta es una noción fundamental que más adelante nos ayudará a definir distancias y ángulos.

Formas bilineales positivas y positivas definidas

Para hablar de geometría en espacios vectoriales, la siguiente noción es fundamental. Es importante notar que es una definición únicamente para formas bilineales simétricas.

Definición. Sea b:V\times V\to \mathbb{R} una forma bilineal simétrica.

  • Diremos que b es positiva si b(x,x)\geq 0 para todo vector x de V.
  • Diremos que b es positiva definida si b(x,x)>0 para todo vector x\neq 0 de v.

Tenemos una noción análoga para formas cuadráticas.

Definición. Sea q:V\to \mathbb{R} una forma cuadrática con forma polar b. Diremos que q es positiva si b lo es, y diremos que es positiva definida si b lo es.

Ejemplo. Como ya vimos antes, el producto punto de \mathbb{R}^n es una forma bilineal simétrica. También es positiva definida, pues si tenemos x=(x_1,\ldots,x_n), tenemos que

    \[x\cdot x =  x_1^2+\ldots+x_n^2\geq 0,\]

y esta es una igualdad si y sólo si x_1=\ldots=x_n=0, lo cual sucede si y sólo si x=0.

\square

Ejemplo. Considera V=\mathbb{R}_2[x] y consideremos la forma bilineal b dada por

    \[b(p,q)=p(0)q(1)+p(1)q(0).\]

Esta es una forma bilineal simétrica pues

    \begin{align*}b(p,q)&=p(0)q(1)+p(1)q(0)\\&=q(0)p(1)+q(1)p(0)\\&=b(q,p).\end{align*}

Notemos que

    \[b(p,p)=2p(0)p(1),\]

que no necesariamente es positivo. Por ejemplo, si tomamos el polinomio p(x)=x-\frac{1}{2}, tenemos que

    \begin{align*}b(p,p)&=2p(0)p(1)\\&=-2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\\&=-\frac{1}{2}.\end{align*}

Así, esta es una forma bilineal simétrica, pero no es positiva (y por lo tanto tampoco es positiva definida).

\square

Problema. Considera la forma cuadrática Q en M_{2}(\mathbb{R}) que suma el cuadrado de las entradas de la diagonal de una matriz, es decir, aquella dada por

    \[Q\begin{pmatrix} a & b\\c & d\end{pmatrix}=a^2+d^2.\]

Determina su forma polar y si es positiva o positiva definida.

Solución. Para encontrar la forma polar B de Q, usamos la identidad de polarización

    \begin{align*}B&\left(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},\begin{pmatrix} e & f\\ g & h \end{pmatrix}\right)\\&=\frac{(a+e)^2+(d+h)^2-a^2-e^2-d^2-h^2}{2}\\&=\frac{2ae+2dh}{2}\\&=ae+dh.\end{align*}

Como Q\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=a^2+d^2\geq 0, tenemos que Q (y B) son positivas. Sin embargo, Q no es positiva definida (ni B), pues por ejemplo,

    \[Q\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} = 0.\]

Producto interior

Estamos listos para definir aquellos espacios sobre los que podemos hacer geometría.

Definición. Sea V un espacio vectorial sobre \mathbb{R}

  • Un producto interior en V es una forma bilineal simétrica y positiva definida.
  • Decimos que V es un espacio Euclideano si es de dimensión finita y está equipado con un producto interior.

Estamos siguiendo la convención del libro de Titu Andreescu, en donde es importante pedir que V sea de dimensión finita para ser Euclideano.

Cuando estamos hablando de espacios con producto interior, o de espacios Euclideanos, tenemos una forma bilineal simétrica y positiva definida b. Sin embargo, en vez de usar constantemente b(x,y), para simplificar la notación usaremos simplemente \langle x, y\rangle.

Definición. Si V es un espacio con producto interior \langle \cdot,\cdot \rangle, definimos la norma de un vector x como

    \[\Vert x \Vert =\sqrt{\langle x, x \rangle}.\]

Ejemplo. Como dijimos arriba, el producto punto en \mathbb{R}^n es una forma bilineal simétrica, así que es un producto interior. Como \mathbb{R}^n es de dimensión finita, entonces es un espacio Euclideano.

La norma de un vector x=(x_1,\ldots,x_n) está dada por \Vert x \Vert = \sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2}, y geométricamente se interpreta como la distancia de x al origen.

Un ejemplo más concreto es \mathbb{R}^4, en donde la norma del vector (1,2,3,1) es \sqrt{1^2+2^2+3^2+1^2}=\sqrt{15}.

\square

La notación de producto interior quizás te recuerde la notación que se usa cuando hablamos de dualidad. Sin embargo, es muy importante que distingas los contextos. En el caso de dualidad, tenemos

    \[\langle \cdot, \cdot \rangle: V^\ast\times V \to \mathbb{R},\]

y en este contexto de producto interior tenemos

    \[\langle \cdot, \cdot \rangle: V\times V \to \mathbb{R}.\]

Más adelante, puede que te encuentres en tu preparación matemática con el teorema de representación de Riesz, a partir del cual tendrá sentido que se use la misma notación.

Desigualdad de Cauchy-Schwarz

A continuación presentamos un resultado fundamental es espacios con formas bilineales positivas y positivas definidas.

Teorema (desigualdad de Cauchy-Schwarz). Sea b:V\times V\to \mathbb{R} una forma bilineal simétrica y q su forma cuadrática asociada.

  • Si b es positiva, entonces para todo x y y en V tenemos que

        \[b(x,y)^2\leq q(x)q(y).\]

    Si x y y son linealmente dependientes, se alcanza la igualdad.
  • Además, si b es positiva definida y x y y son linealmente independientes, entonces la desigualdad es estricta.

Demostración. Supongamos primero solamente que b es positiva. Consideremos la función f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} dada por f(t)=q(x+ty). Como q es forma cuadrática positiva, tenemos que f(t)\geq 0 para todo real t. Por otro lado, expandiendo y usando que b es simétrica, tenemos que

    \begin{align*}f(t)&=q(x+ty)\\&=b(x+ty,x+ty)\\&=b(x,x)+2b(x,y)\cdot t + b(y,y) \cdot t^2\\&=q(x) + 2b(x,y)\cdot t + q(y) \cdot t^2.\end{align*}

En esta expresión, q(x), 2b(x,y) y q(y) son reales, así que f(t) es un polinomio cuadrático en t. Como f(t)\geq 0 para todo t en \mathbb{R}, el discriminante de este polinomio es no positivo, en otras palabras,

    \[(2b(x,y))^2-4q(x)q(y)\leq 0.\]

Sumando 4q(x)q(y) y dividiendo entre 4 ambos lados de la desigualdad, obtenemos que

    \[b(x,y)^2\leq q(x)q(y),\]

la cual es la desigualdad que queremos.

Si x y y son linealmente dependientes, podemos despejar a uno en términos del otro. Sin perder generalidad, podemos suponer que x=\alpha y. En este caso,

    \[b(\alpha y,y)^2=\alpha^2 b(y,y)=q(\alpha(y))q(y),\]

así que se da la igualdad.

Ahora, supongamos además que b es positiva definida y que se da la igualdad. Si esto sucede, el discriminante del polinomio cuadrático de arriba es igual a 0 y por lo tanto el polinomio tiene una raíz t. En otras palabras, q(x+ty)=0. Pero como q es positiva definida, esto implica que x+ty=0, de donde x y y son linealmente dependientes. Así, si x y y son linealmente independientes, tenemos que la desigualdad es estricta.

\square

El siguiente caso particular es uno de los más importantes y los más usados, por lo cual amerita que lo enunciemos separadamente.

Corolario. Sea V un espacio vectorial sobre \mathbb{R} equipado con un producto interior \langle \cdot, \cdot \rangle. Para cualesquiera x,y en V se cumple |\langle x, y \rangle| \leq \Vert x \Vert \cdot \Vert y \Vert.

Puede que te preguntes por qué enfatizamos los resultados de desigualdades. En varias partes de tu formación matemática trabajarás con espacios vectoriales en donde quieres hacer cálculo. Ahí, se define la convergencia y los límites en términos de una norma. Las desigualdades que probemos para espacios vectoriales son útiles para cuando se quiere demostrar la validez de ciertos límites. Más adelante mencionaremos algunas cosas adicionales al respecto.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Considera la función q(w,x,y,z)=wx+yz. Muestra que es una forma cuadrática en \mathbb{R}^4. Encuentra su forma polar y determina si es una forma cuadrática positiva y/o positiva definida.
  • Muestra que

        \[q(w,x,y,z)=x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx\]

    es una forma cuadrática en \mathbb{R}^4 y determina si es positiva y/o positiva definida.
  • Considera V=\mathcal{C}[0,1] el espacio vectorial de funciones continuas en el intervalo [0,1]. Muestra que

        \[\langle f,g\rangle = \int_0^1 f(x)g(x)\, dx\]

    define un producto interior en V. ¿Es V un espacio Euclideano? Determina la norma de la función f(x)=x^3.
  • Sea V=\mathbb{R}_2[x] el espacio vectorial de polinomios con coeficientes reales y de grado a lo más 1. Muestra que

        \[\langle p,q\rangle = p(0)q(0)+p(1)q(1)+p(2)q(2)\]

    hace a V un espacio Euclideano.

Más adelante…

En esta entrada definimos el concepto de producto interior y vimos cómo el producto interior induce una norma en el espacio vectorial. El concepto de norma nos permite generalizar la noción de distancia y esto nos permitirá ver cómo se puede hacer cálculo en espacios vectoriales.

En las siguientes entradas veremos cómo se define esta norma para diferentes espacios vectoriales con diferentes productos interiores. Podremos ver entonces cómo se generalizan otras nociones que ya hemos visto en cursos anteriores; como el concepto de ángulo.

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