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Los TFC (Teoremas Fundamentales de los Cuadraditos)

Esta entrada está motivada por una pregunta en el grupo de Matemáticos de Facebook. Palabras más, palabras menos, alguien preguntaba por qué “derivar es el inverso de integrar”, si uno tiene que ver con sacar un área y el otro tiene que ver con sacar una pendiente.

La idea formal que está detrás de esto de que sean “inversas” son los teoremas fundamentales del cálculo (TFC). Pero en esta entrada no me quiero meter con definiciones de límite ni cosas por el estilo. A fin de cuentas es un blog y estamos navegando tranquilos. Así que déjenme trabajar “al ahí se va”, osea, informalmente. La idea es entender por qué derivar e integrar son operaciones inversas “con dibujitos” y en un caso más sencillo: el caso discreto. Veremos los teoremas fundamentales de los cuadraditos (TFC). ¡Oh no! ¡Se confunden las siglas! Bueno, ni modo.

Los cuadraditos

Todo empieza con algunos cuadraditos ordenados en columnas. De izquierda a derecha, tenemos 1, 2, 5, 3, 2, 4 y 2 cuadraditos en cada columna. Le voy a llamar C_j a la cantidad de cuadraditos en la columna j. Por ejemplo, C_3=5.

Funcion

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Usa la paridad

HeuristicasLos números enteros pueden ser pares o impares, dependiendo de si son divisibles entre dos o no. Más aún, se van alternando uno y uno. Además, es muy sencillo saber cómo es la paridad de la suma de dos números o bien de su producto si sabes la paridad de esos números. Estas ideas pueden parecer muy básicas, pero ayudan en una gran cantidad de problemas y son una introducción a los invariantes.

Cuando en un problema observamos nada más la paridad, estamos cubriendo una gran cantidad de casos nada más analizando pocos. En estos videos vemos cómo se aplica la idea de paridad en varios problemas de tableros, juegos, álgebra y teoría de números.

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Buscar un patrón

HeuristicasLa primer cosa que se puede hacer para empezar a resolver un problema es jugar con él. Hay que acostumbrarse a cómo funcionan sus elementos y para esto se hacen problemas chiquitos. En esta serie de videos veremos la idea general de buscar un patrón y realizaremos algunas conjeturas con esta técnica.

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El principio de divide y conquista en conteo

CombinatoriaMuchas veces es mejor dividir un problema grande en problemas pequeños. A esto se le conoce como el principio de Divide y conquista. En esta serie de videos veremos en qué consiste aplicándolo al conteo. Después recapitularemos lo que vimos.

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Regla del producto, asignaciones y permutaciones

CombinatoriaLa regla del producto es el segundo principio funamental para contar además de la regla de la suma. Nos permite contar cosas en las cuales tenemos que hacer varias elecciones que luego son compatibles. Como dos consecuencias naturales, tenemos a las asignaciones y a las permutaciones.

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