Álgebra Superior I: Introducción a números naturales

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

Introducción

Hasta ahora hemos hablado de conceptos introductorios de conjuntos, lógica, funciones y relaciones. Ahora empezaremos a ver más aplicaciones de estos fundamentos matemáticos, y en esta unidad empezaremos a hablar de un concepto que muchos de nosotros usamos todos los días y uno de los conceptos clave que históricamente es la base del estudio matemático en muchas culturas: los números naturales.

Empezando a contar

Vamos a pensar en los números que nosotros usamos para contar, cuando estamos pagando algún objeto, pensamos en unidades de dinero, un objeto $x$ puede costar $10$ monedas, en una tienda, puede haber $5$ camisas, $2$ pantalones y como se agotaron los zapatos, podemos decir que hay $0$ zapatos.

A estos números que usamos para contar, les llamaremos «números naturales», el término de natural viene del hecho que es un concepto que se viene de forma intuitiva, o a que surgen naturalmente a raíz de las necesidades de las distintas culturas que han existido a lo largo de la historia. Esta idea de pensar a los números naturales es buena para tener una intuición de cómo funcionan, sin embargo vamos a abstraer un poco la idea de lo que significa un número en esta y las siguientes entradas, desde su definición hasta la forma en que se suman y se multiplican, por ejemplo.

Los axiomas de Peano

Giuseppe Peano fue un matemático del siglo XIX que llegó a formalizar el término de «número natural», explicando algunas reglas que cumplían los números naturales, antes de ver cómo se construyen estos, veamos cuáles son estas reglas o axiomas que estableció Peano.

Para Peano, los números naturales son un conjunto al que denominaremos por $\mathbb{N}$ junto con una relación $\sigma \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} $, es decir considera a una pareja de términos $( \mathbb{N} , \sigma)$ que cumplirán los siguientes axiomas:

Axioma 1. Existe un elemento especial en $ \mathbb{N} $ que denominaremos por $0$.

Axioma 2. Para cada elemento $m \in \mathbb{N} $ existirá un único elemento $n \in \mathbb{N} $ tal que $(m,n) \in \sigma$, es decir $\sigma$ es una función.

Axioma 3. Para todo número natural $n$, sucede que $\sigma(n) \neq 0$.

Axioma 4. $\sigma$ es una función inyectiva.

Axioma 5 (Primer principio de inducción). Si $S$ es un subconjunto de $ \mathbb{N} $ tal que:

  1. $0 \in \mathbb{N}$
  2. Para cada número $n \in S$, sucede que $\sigma(n) \in S$

Entonces $S=\mathbb{N}$

Normalmente a la función $\sigma$ se le conoce como la función sucesora. Pensemos en esto con la intuición que tenemos sobre el sucesor de un número. Primero notemos que podemos resumir los primeros cuatro axiomas diciendo que $\sigma$ es una función biyectiva $\sigma: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \setminus \{0\}$. Para ver eso, consideremos la siguiente proposición:

Proposición. $Im(\sigma)=\mathbb{N}\setminus \{0\}$.

Demostración. Para esta demostración, solo basta probar que $Im(\sigma) \supset \mathbb{N}\setminus \{0\}$. Ahora supongamos que $n \in Im(\sigma)$, entonces como $n \in \mathbb{N}$ sucede que $\sigma(n) \in Im(\sigma)$. Como $\mathbb{N}$ satisface los axiomas de Peano y el conjunto $Im(\sigma) \cup \{0\}$ satisface las condiciones del axioma 5, entonces $Im(\sigma) = \mathbb{N}$. De tal manera que $(Im(\sigma) \cup \{0\}) \setminus \{0\} = \mathbb{N} \setminus \{0\}$, esto debido a que $0$ no es sucesor de ningún número.

$\square$

Construcción de los números naturales

Normalmente llamamos a este conjunto de los números naturales al conjunto $\{0,1,2,3,\dots\}$ y la función sucesora es la función: $$\begin{align*}1&\xrightarrow{\sigma}2\\ 2&\xrightarrow{\sigma}3\\ 3&\xrightarrow{\sigma}4 \\&\vdots\end{align*}$$ Es decir, es la función que a cada número lo manda a su sucesor. Esta forma de pensar a los números es la habitual, y de hecho cualquier sistema numérico que satisfaga los axiomas, será equivalente a los números naturales, es decir que existe un único sistema numérico que cumpla los axiomas de Peano salvo isomorfismos. No te preocupes si no entiendes este término aún, solo es otra forma de decir que podemos pensar a los números naturales como cualquier conjunto que cumpla los axiomas.

A continuación vamos a presentar una forma conjuntista de construir a los números naturales. Para ello, nos olvidaremos un rato de los axiomas de Peano y daremos algunas definiciones.

Definición. Sea $S$ un conjunto, entonces el sucesor $\sigma(S)$ de $S$ es el conjunto $$\sigma(S)= S \cup \{S\} $$.

Por ejemplo:

  1. $\sigma(\emptyset) = \{\emptyset\}$
  2. $\sigma(\{\emptyset\}) = \sigma(\sigma(\emptyset))=\{\emptyset\} \cup \{\{\emptyset\}\}$.

Definición. Un conjunto $X$ es inductivo si:

  1. $\emptyset \in X$
  2. $x \in X \Rightarrow \sigma(x) \in X.$

Ahora definamos al conjunto $\mathbb{N}$ como el conjunto formado por $\emptyset$ y los elementos resultantes de la aplicación iterativa de la función sucesora, es decir: $$ \mathbb{N} = \{\emptyset, \sigma(\emptyset),\sigma(\sigma(\emptyset)),\sigma(\sigma(\sigma(\emptyset))),\dots \}$$ Por construcción, este es un conjunto inductivo.

Con esto en mente, podemos entonces pensar a estos números naturales como a los conjuntos $$\begin{align*}&\emptyset\\
&\{\emptyset\} \\
&\{ \emptyset \} \cup \{\{ \emptyset \}\} = \{\emptyset,\{\emptyset\}\}\\
&\{ \emptyset \} \cup \{\{ \emptyset \}\} \cup \{ \{ \emptyset \} \cup \{\{ \emptyset \}\} \}= \{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\} \\ &\dots \end{align*}$$

Uniendo con los axiomas de Peano

Ahora veremos que de hecho estos conjuntos cumplen los axiomas de Peano.

Teorema. $\mathbb{N}$ cumple los axiomas de Peano.

Demostración. Recordemos que primero deberíamos demostrar que $\sigma: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \setminus \emptyset$ es una función biyectiva. Para ello, notemos que es inyectiva, para probar esto, supongamos que $n,m \in \mathbb{N}$ tales que $\sigma(n)=\sigma(m)$. Como $n \in \sigma(n)$ entonces $n \in \sigma(m)$. Esto significa que $n \in m \lor n=m$. De la misma manera $m \in m \lor n=m$. De manera que al cumplirse las dos condiciones al mismo tiempo sucede que $(n \in m \land m \in n) \lor m=n$. La primera condición resulta en una contradicción de la teoría de conjuntos que no revisaremos en este curso1.
Además. $\sigma$ también es suprayectiva, pues recordemos que por construcción, cada elemento de $\mathbb{N}\setminus(\emptyset)$ es de la forma $\sigma(n)$. Así que si consideramos cualquier elemento $m \in \mathbb{N}\setminus(\emptyset) $ existirá $n \in \mathbb{N}$ tal que $\sigma(n)=m$. De esta forma, la función es biyectiva.

Ahora, para ver que se cumple el quinto axioma, recordemos que $ \mathbb{N}$ es un conjunto inductivo. Ahora, veamos que si $\emptyset$ es nuestro elemento como en el axioma 1, se cumple del primer al cuarto axioma. Además, se cumplirá el quinto axioma, pues el $0$ de este conjunto es $\emptyset$. Así, el conjunto satisface los axiomas de Peano.

$\square$

Para usar la notación normal de los números naturales, vamos a escribir la numeración normal que conocemos:
$$\begin{align*}
&0 \rightarrow\emptyset\\
&1 \rightarrow \{\emptyset\} \\
&2 \rightarrow \{\emptyset,\{\emptyset\}\}\\
&3 \rightarrow \{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\} \\ &\dots \end{align*}$$

Notas

  1. En particular la contradicción de la demostración es con un axioma que se llama el axioma de regularidad, este axioma se revisa en cursos específicos de Teoría de Conjuntos o en cursos de Lógica y Conjuntos

Tarea moral

  1. ¿Cuál es el sucesor del conjunto $\{1,\{2,3\}\}$?
  2. Demuestra que para cada conjunto $S$, $\sigma(S)$ tiene al menos un elemento.
  3. Demuestra que para cualquier conjunto $X$, $|X|=n$ si y solo si existe una biyección entre $X$ y $n$.

Más adelante…

El quinto axioma de Peano que también se le conoce como primer principio de inducción como está definido es muy útil para pensar algunas cosas de las matemáticas que tienen que ver con números naturales. Es incluso tan importante este axioma que existe un tipo de demostración matemática que no hemos revisado y será el uso de este axioma para las «demostraciones por inducción»

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