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Álgebra Superior I: Varios tamaños de conjuntos infinitos

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

Introducción

En la entrada pasada revisamos el concepto de cardinalidad de conjuntos finitos. Esto es la forma de «contar» los elementos en un conjunto que sabemos que «termina». Ahora veremos un primer acercamiento a la idea del infinito en el aspecto matemático,

Pensando en número grandes

¿Cuál es el número más grande que se te ocurre? Siempre que pienses en alguno, existe uno más grande, pues con solo sumarle a cualquier número $1$, resulta en uno más grande. Y es que en el caso finito, hablábamos de cómo un conjunto tenía un número definido de elementos. Ahora cuando estemos hablando de infinito, lo primero que se nos vendría a la mente es que no podremos «contar» cuántos elementos hay y acabar, pues siempre habrán más y más elementos. Así haremos el intento por primero definir una forma qué es el infinito.

Definición Diremos que un conjunto es infinito si no es finito, es decir, un conjunto $X$ será infinito si no existe algún $n$ número natural tal que sea biyectivo con $X$.

Para ver un ejemplo de esto, veremos los números naturales.

Proposición. Los números naturales son infinitos.

Demostración. Deberemos mostrar que para cualquier número $n$ y cualquier función $f:\mathbb{N} \rightarrow n$, no será biyectiva. Pero esto es resultado inmediato del principio de las casillas, pues $\{1,2,3,…,n,n+1\}$ es un subconjunto de $\mathbb{N}$ que tiene cardinalidad $|n+1|$ por lo tanto la función restringida solo a este conjunto no es inyectiva, y como este solo es un subconjunto de los números naturales, la función tampoco será inyectiva.

Como esto sucede para cualquier $f$ y cualquier $n$, no existirá una biyección entre $\mathbb{N}$ y algún número natural.

$\square$

Este es un conjunto infinito que es muy intuitivo, pues maneja la idea de que siempre podemos seguir pensando en números nuevos. Pero incluso este conjunto tiene subconjuntos infinitos, por ejemplo los números pares positivos (escrito en ocasiones como $2\mathbb{Z_+}$) y números impares positivos (escrito en ocasiones como $2\mathbb{Z_+}+1$), pues estos también son infinitos. Por ahora no te preocupes por la definición de $\mathbb{Z_+}$, pues simplemente nos estamos refiriendo a los números naturales, solo es convención escribir a los pares e impares en estos términos y en cursos siguientes tendrás más tiempo en ahondar en su significado.

Ahora para empezar a «comparar» los conjuntos infinitos, necesitaremos una definición de cuándo dos conjuntos tienen la misma cardinalidad infinita, y esta la definiremos muy similar a como lo hicimos en el caso finito.

Definición. Sean $X$ y $Y$ dos conjuntos. Diremos que tienen la misma cardinalidad si existe una biyección entre ellos y lo escribiremos como $|X|=|Y|$.

Verás que esa es una de las definiciones que manejamos en la entrada anterior. La única diferencia es que en el caso finito siempre decíamos que eran de cardinalidad $n$. Pero ahora como ya no manejamos el concepto en término de números naturales, por ahora solo lo escribiremos como en la definición.

Proposición $|\mathbb{N}| = |2\mathbb{Z_+}|$

Demostración. Para demostrar que estos dos conjuntos tienen la misma cardinalidad, deberemos de dar una biyección entre ellos. Propongamos la función $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{2Z_+}$ dada por $f(n)=2n$.

Es inyectiva pues si $n,m$ son números naturales distintos, alguno de los dos es mayor al otro, digamos que $n = m+k$ donde $k$ es un número natural distinto al cero. Entonces es claro que $f(n) = 2n = 2m+2k$ mientras que $f(m) = 2m$. Como $k$ no es cero, entonces $2m+2k \neq 2m$, por lo tanto es inyectica.

Además es suprayectiva, pues cualquier número par $m$ es de la forma «$2$ multiplicado por otro número». Es decir, $m$ es de la forma $2n$ para algún número $n$. Así, $f(n)=2n = m$.

Por lo tanto, la función es biyectiva.

$\square$

Así, hemos demostrado que «existe» la misma cantidad de número pares positivos que de números. Así que sin importar que nos hayamos «saltado» números, siguen teniendo la misma cantidad de números. De manera similar podemos demostrar que existe la misma cantidad de números impares positivos. Esto es posible considerando la función $f(n) = 2n+1$. Además también podríamos dar una biyección entre números pares e impares con la función $f(n)=n-1$. Es decir, los tres conjuntos comparten cardinalidad.

Otros ejemplos de conjuntos con esta cardinalidad son:

  • El conjunto de los números enteros.
  • El conjunto de los números racionales.
  • $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$
  • $\mathbb{N} \times \mathbb{N} \times … \times \mathbb{N}$

Este aspecto de el infinito llamó mucho la atención de los matemáticos del siglo XX, pero hubo uno en particular que desarrolló la teoría de los conjuntos y de paso formalizó el concepto del infinito y de distintos tamaños de infinitos. Uno de los aspectos que más sorprenden a las personas ajenas a la materia es este hecho, que existan distintos infinitos, y en pocos renglones daremos introducción a uno que ya conoces. Para poder distinguir este tipo de infinitos uno del otro, usó una clase especial de números a los que llamó transfinitos.

El primer número transfinito es el aleph $0$, escrito como $\aleph_0$. Y este representa la cardinalidad de los números naturales, es decir $$ |\mathbb{N}| = \aleph_0.$$ Que es la misma cardinalidad que los números pares, impares, e incluso los números primos.

El segundo número transfinito se define como aleph $1$, y a este lo escribimos como $\aleph_1$, este se define como el transfinito inmediatamente superior a $\aleph_0$. La propiedad de este número transfinito es que es estrictamente mayor a $\aleph_0$, lo que quiere decir que cualquier conjunto con esta cardinalidad no será biyectable con alguno que tenga cardinalidad aleph $0$.

Cuando dos conjuntos tengan distinta cardinalidad, lo escribiremos como $|X| \neq |Y|$ mientras que cuado sepamos que hay una función inyectiva de $X$ a $Y$ lo escribiremos como $|X|\leq |Y|$ mientras que si sabemos que hay una inyección pero no biyección entre los conjuntos lo escribiremos como $|X|<|Y|$. Con esto en mente, lo que se plantea con los alephs, es que $\aleph_0 < \aleph_1$. Sin embargo aún nos falta una herramienta más e hipótesis para pensar en este último.

Para hacerlo, será necesario el siguiente teorema que no probaremos en este curso:

Teorema (de Cantor). Sea $X$ un conjunto, entonces $|X|<|P(X)|$.

Con este teorema es que podemos hacer muchos conjuntos infinitos como por ejemplo la potencia de los naturales, pues $|\mathbb{N}|<|P(\mathbb{N})|$. De hecho al transfinito $|P(\mathbb{N})|$ en las matemáticas se ha propuesto la idea de que si $P(\mathbb{N})$ es el transfinito inmediatamente siguiente de $\aleph_0$, pues cae dentro de un área de las matemáticas en donde la teoría se vuelve inconsistente si se supone que sí pero también es inconsistente si se supone que no, por ahora se trata como una hipótesis el usarla o no usarla para llegar a distintos resultados matemáticos.

Hipótesis del continuo. $\aleph_1 = 2^{\aleph_0}$

Como mencionamos, esto no tiene una prueba y se supone o no según sea el caso de uso. Bajo esa suposición, podríamos considerar a $P(\mathbb{N})$ como un conjunto con cardinalidad $\aleph_1$. Más aún, otros conjuntos que tienen esta cardinalidad bajo esta hipótesis son:

  • El conjunto generado por puras secuencias de $1$ y $0$, como por ejemplo $00000…..$, $111111….$, $1010101….$, etc. es decir secuencias infinitas de números solo formadas de $0$ y $1$.
  • El conjunto de todos los números del 0 al 1.
  • El conjunto de números reales.
  • El producto cartesiano de los números reales consigo mismo, es decir $\mathbb{R}^2$.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te ayudarán a repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. Demuestra que $|\mathbb{N}| = |2\mathbb{Z_+}+1|$.
  2. Demuestra que el conjunto generado por puras secuencias de $1$ y $0$ tiene la misma cardinalidad que $|P(\mathbb{N})|$.
  3. Da un ejemplo de una función entre conjuntos infinitos cuya imagen no sea infinita.
  4. Encuentra la cardinalidad de la imagen de la función $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ dada por $f(n) = 5m + 3$

Más adelante…

Una vez que hemos hablado de la cardinalidad de los conjuntos, podemos seguir hablando de los números naturales, de sus propiedades y la inducción. Después volveremos a encontrarnos la idea de contar conjuntos específicos y de técnicas para encontrar la cardinalidad de conjuntos finitos de algunos conjuntos.

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Álgebra Superior I: Cardinalidad de conjuntos finitos

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

Introducción

¿Qué es lo que entiendes cuando alguien te dice: «En esta canasta hay cinco manzanas»? Probablemente te llegue a la mente una imagen similar a la siguiente:

Y es que para nosotros es muy natural el decir «cuántas» cosas hay dentro de un conjunto. De hecho los primeros usos que dieron lugar al nacimiento de las matemáticas datan de hace más de $5000$ años en mesopotamia con los primeros sistemas para contar. Esto remarca la necesidad de contar objetos que a su vez trata de diferenciar unos de otros.

Imagínate que te pidieran contar cuántos Pingüinos Rey hay en un zoológico. Para ello primero habría que saber distinguir a cuáles son este tipo de pingüinos y cuáles no. En un principio puede resultar fácil, y es que veremos que el distinguir elementos unos de otros puede llegar a complicarse cuando más consideraciones hacemos como el saber cuántos pingüinos hay que sean machos, o cuántos machos hay que no tengan más de un año, por ejemplo. Con este tipo de ejercicios los matemáticos fueron descubriendo con el tiempo que hacía falta poder estudiar un poco más a detalles este concepto de «diferenciar» y «contar» elementos de un conjunto. En las siguientes entradas vamos a desarrollar un poco más este concepto de diferenciar y contar.

Cardinalidad de un conjunto

Como todo en matemáticas, necesitaríamos hacer una definición de lo que significa que «un conjunto tenga $3$ elementos» y cómo es diferente a «un conjunto con $5$ elementos», por poner un ejemplo. Es con esto que damos la siguiente definición entre cardinalidad de un conjunto finito.

Definición. Sea $X$ un conjunto. Diremos que $X$ tiene cardinalidad finita o es finito si existe $n \in \mathbb{N}$ y una función biyectiva entre $X$ y $n$. En este caso escribiremos $|X|=n$.

Detengámonos un poco a analizar esta definición.

Recordemos que por ejemplo el número $2$ es escrito como conjunto como
$$ \{\emptyset,\{\emptyset\}\}$$

Ahora pensemos en un conjunto con un plátano y una manazana. Entonces podemos definir la siguiente función $f: X \rightarrow \mathbb{N}$ como $f(manzana)= \emptyset$ y $f(plátano)=\{\emptyset\}$:

Puedes comprobar que esta función es biyectiva, y es solo una forma de biyectar el conjunto $X$ con el $2$. Dicho esto, entonces podemos decir que $|X|=2$. Ahora ¿Qué pasa con un conjunto que también tenga cardinalidad $2$? Digamos el conjunto $Y$ de un perro y un gato.

Entonces podríamos decir que igual puede haber una biyección entre los dos conjuntos $X$ y $Y$.

Ahora ¿Qué pasa si unimos los conjuntos de animales con los de ls frutas? Pues nuestra razón nos dirá que si en un conjunto tenemos dos elementos y en el otro dos, si los combinamos tendremos cuatro elementos, y esto es justamente otra de las bondades de la cardinalidad, pues se comporta de acuerdo a lo que nuestra razón nos dice.

Proposición Sean $X,Y$ dos conjuntos disjuntos. Si $|X|=n, |Y|=m$ entonces $|X \cup Y| = n+m$.

Demostración. Por definición de cardinalidad, existen dos funciones $g:X \rightarrow n$ y $f: Y \rightarrow m$ biyectivas. Notemos ahora que la función $h: X \cup Y \rightarrow n+m $ dada por $$h(x) = \begin{cases} &f(x), x \in X \\ g(x) + n, x \in Y \end{cases} $$ es biyectiva. Para demostrar que esta función es biyectiva, demostraremos la inyectividad y suprayectividad.

Es inyectiva. Considera dos elementos $x,y$ distintos. Existen tres casos, el primero es que $x,y \in X$, en este caso, $h(x)=f(x), h(y)=f(y)$ y como $f$ es inyectiva, sus imágenes son distintas.
El segundo caso es $x , y \in Y$. En este caso, recordemos que $h(x)=n+g(x)$ y $h(y) = n + g(y)$ Si las imágenes fueran iguales entonces $g(x)=g(y)$ pero esto solo sucede si $x=y$, pues $g$ es inyectiva, y esto contradiciendo la hipótesis de que los elementos son distintos.
Finalmente en el caso de que un elemento pertenezca a $X$, digamos $x$ y el otro a $Y$, digamos $y$, sucede que $h(x)=f(x)$, mientras que $h(y)=n+g(y)$, ahora notemos que $f: X \rightarrow n$, entonces ningún elemento es más grande que $n$, mientras que $h(y)$ sí es más grande que $n$, pues estamos uniendo números naturales al más grande número natural que compone al conjunto $X$, es decir, siempre sucederá que $h(x)<h(y)$ y en particular $h(x) \neq h(y)$, siendo la función inyectiva.

Además la función es suprayectiva, ya que para cualquier elemento $k \in n+m$ se tienen dos casos: Si $k <= n$ entonces existe $x \in X$ tal que $h(x)=f(x)=k$, mientras que si$k>n$ existe $l \in. \mathbb{N}$ tal que $n+l=k$. Por otro lado, como $g$ es suprayectiva, existe $y \in Y$ tal que $g(y)=l$. Así $h(y)=n+g(y)=n+l=k$. Por lo tanto la función es biyetiva.

Y más aún, hemos demostrado que los conjuntos disjuntos tienen cardinalidad $n+m$.

$\square$

El principio de las casillas

Una de las propiedades más importantes sobre cardinalidad que es intuitiva es la siguiente:

Proposición. (El principio de las casillas). Sean $X,Y$ dos conjuntos tales que $|X|=s(n)$ y $|Y|=n$. Entonces si $f:X \rightarrow Y$, $f$ no es inyectiva.

A esta se le llama principio de las casillas o de los palomares y se explica con el siguiente ejemplo:

Supón tienes $9$ casillas para palomas:

Naturalmente, solo cabrá a lo más una paloma en cada una de las casillas, entonces si lega al menos una paloma más, forzosamente tendría que haber más de una paloma en alguna de las casillas. En general para $n$ casillas, caben a lo más $n$ paloma para que quede solo una paloma en cada casilla. Es decir, podríamos hacer una inyección entre el número de palomas y el de casillas siempre y cuando haya menos palomas que casillas.

Demostración. Para ello deberíamos mostrar que no existe una inyección entre un conjunto de $n$ elementos y otro de $s(n)$.

Base de inducción. Sea $|X|=s(0)$ y $|Y|=0$. Notemos entonces que $Y$ tiene que ser el vacío, pues $0$ es el vacío y si $Y$ no fuera vacío, entonces existiría una función $f$ y un elemento $y \in Y$ tal que $f(y) \in \emptyset$. Lo cual es una contradicción. Ahora notemos que por vacuidad el enunciado se cumple, pues de no ser así, existiría una función $g:X \rightarrow Y$ inyectiva, pero esto supondría que $Im[g] \subset \emptyset$ tiene al menos un elemento.

Hipótesis de inducción. Ahora supongamos que para cualesquiera dos conjuntos $|X|=s(n)$ y $|Y|=n$ se cumple la condición.

Paso inductivo. Consideremos ahora dos conjuntos $X,Y$ con $|X|=s(s(n))$ y $|Y|=s(n)$. Ahora consideremos cualquier función $f: X \rightarrow Y$, bastará probar que esta función no es inyectiva. Para ello, notemos que si le quitamos cualquier elemento $x \in X$ a $X$, su cardinalidad será $s(n)$. Además si quitamos el elemento $y \in Y$ tal que $f(x)=y$ entonces $Y$ tiene cardinalidad $n$. Así volvemos al caso de la hipótesis de inducción donde la función $f’: X/\{x\} \rightarrow Y/{y}$ definida como $f'(x)=f(x)$ no es inyectiva, esto significa que existen dos elementos $y,z \in X/\{x\}$ tales que $f'(x)=f'(y)$. Más aún, la función $f$ tampoco es inyectiva por la existencia de estos dos elementos.

Así hemos demostrado el principio de las casillas

$\square$

La cardinalidad de dos conjuntos

Una definición ahora sobre la cardinalidad de dos conjuntos es consecuencia de

Definición Dos conjuntos $X$ y $Y$ tienen la misma cardinalidad si existe una función biyectiva $f: X \rightarrow Y$ y lo escribiremos como $|X|=|Y|$

Y ahora veamos cómo es que en el caso finito, esta es una definición que no contradice la primera definición que dimos

Proposición En el caso finito, Son equivalentes para cualesquiera dos conjuntos finitos $X,Y$ y cualquier número natural $n$:

  1. $|X| = n \land |Y| = n$
  2. $|X| = |Y|$

Demostración.

$\Rightarrow$

Supongamos primero que $|X| = n$ y $|Y|=n$. Ahora, notemos que existen dos funciones biyectivas $f: X \rightarrow n$ y $g: Y \rightarrow n$ Ahora consideremos la siguiente función $g^{-1} \circ f : X \rightarrow Y$. Y notemos que es una biyección, pues como $g$ es biyectiva, en particular es suprayectiva y eso significa que $Im[g] = n$ Siendo entonces la función $g{-1}: Im[g] =n \rightarrow Y$ con el mismo dominio que el contradominio de $f$, es decir la composición es una función bien definida. Además como $f$ también es biyectiva, entonces $g^{-1} \circ f$ también es biyectiva.

$\Leftarrow$

Demostremos ahora por contradicción que $|X| = n \land |Y| = n$ cuando $|X|=|Y|$.

Para ello supongamos primero que existen dos naturales distintos $n,m$ tales que $|X|=n$ y $|Y|=m $, y esto es posible pues $X,Y$ son finitos. Y también $|X|=|Y|$ Ahora sin perdida de la generalidad supongamos que $n>m$. Pero esto es una contradicción al principio de las casillas, pues toda función de $X$ a $Y$ no sería inyectiva, y en general tampoco será biyectiva. Cumpliéndose así la condición deseada.

$\square$

Algunas propiedades más de la cardinalidad

Veamos ahora otras propiedades sobre las cardinalidades de los conjuntos. Para ello supón que $X$ es finito de cardinalidad $n$ y $Y$ es finito de cardinalidad $m$.

  • Proposición. $|X /Y| = |X| – |X \cap Y|$
    Demostración. Esto es consecuencia del hecho de que $X/Y$ y $X \cap Y$ son conjuntos disjuntos, entonces:
    $$ |X/Y| + |X \cap Y| = |X/Y \cup (X \cap Y)| = |X|$$

$\square$

  • Proposición. $|X \cup Y| = |X| + |Y| – |X \cap Y|$
    Demostración. Por el inciso anterior, sabemos que $$ |X \cup Y| = |X/Y \cup Y| = |X|- |X \cap Y| + |Y|$$

$\square$

  • Proposición. $|P({X)|=2^{|X|}$
    Demostración. Por inducción sobre el número de elementos en el conjunto $X$.
    Base de inducción. Si $X$ tiene $0$ elementos, entonces es el vacío, mientras que $P(X)={\emptyset}$ el cuál tiene cardinalidad $1=2^{0}$.
    Hipótesis de inducción. Ahora supongamos que si $|X|=n$ para algún número $n$ natural, entonces $|P(X)|=2^{n}$.
    Paso inductivo. Sea $|X|=n+1$. Consideremos ahora un elemento $x$ de $X$ y notemos que el conjunto $X/\{x\}$ es un conjunto con $n$ elementos, por lo cual sabemos que $|P(X/\{x\})|=2^n$. Ahora veamos que este conjunto describe todos los posibles subconjuntos de $X$ en los que $x$ no está incluído, por lo que si definimos el conjunto $P(X/\{x\}) \cup x := {A \cup x : A \in P(X/\{x\})}$, se tiene que $$(P(X/\{x\}) \cup x) \cup P(X/\{x\}) = P(X) $$ Pues el primer conjunto son todos los subconjuntos de $X$ que sí tienen a $x$ y el segundo aquellos que no. Como estos dos son conjuntos disjuntos y tienen exactamente $n$ elementos, entonces $$|P(X)| = |(P(X/\{x\}) \cup x) \cup P(X/\{x\})| = 2^n + 2^n = 2^{n+1}$$

$\square$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te ayudarán a repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. Demuestra que $(P(X/\{x\}) \cup x) \cup P(X/\{x\}) = P(X)$
  2. Demuestra que $|X|=|Y|$ si y solo si $|Y|=|X|$
  3. Demuestra que la relación «tener la misma cardinalidad» es de equivalencia.
  4. ¿Cuál es la cardinalidad de |X \cup Y \cup Z|?

Más adelante…

Ahora que hemos introducido el concepto de cardinalidad, veremos cómo es que podemos escalar este concepto del caso finito al caso infinito. Es decir ¿Qué pasa cuando ya no podemos hablar de conjuntos que podemos «contar»?

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Álgebra Superior I: Suma y producto de naturales y sus propiedades

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

Introducción

La función suma

Usaremos el teorema de recursión que revisamos en la entrada pasada para definir la función suma entre números naturales.

Primero, recordemos qué nos menciona este teorema:

Teorema (Recursión Débil): Sea $X$ un conjunto y $x_{0}\in X$. Supongamos que tenemos una función $f:X\to X$. Entonces existe una única función $\phi:\mathbb{N}\to X$ tal que:

  • $\phi(0)=x_{0}$
  • $\phi(\sigma(n))=f(\phi(n)).$

Ahora, definamos la función suma como sigue: La función sumar $n$ unidades a un número estará dada por $s_n:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ dada por:

  • $s_n(0) = n$
  • $s_n(\sigma(m)) = \sigma(s_n(m))$

Notación: Para cada par de números naturales $n,m$, escribiremos $$s_n(m) = n+m. $$
Y por el teorema de recursión, esta es una función bien definida. Ahora veamos cuál es esta función. La primera condición nos dice que la función evaluada en el $0$ es $n$. Ahora veamos cómo es que esta función se define para los siguientes números, nota que si aplicamos la segunda condición, obtenemos que $$s_n(\sigma(0)) = \sigma(s_n(0)).$$ Recordando cómo definimos la función sucesora, sustituimos $\sigma(0)$ por $1$ para obtener que $$s_n(1) = \sigma(s_n(0)) = \sigma(n).$$ De tal manera que $$s_n(1) = n+1 .$$ De manera similar se puede comprobar que $$s_n(2)=n+2 .$$ Y de manera recursiva, podemos demostrar que $$\begin{align*}
s_n(3) &= n+3 \\
s_n(4) &= n+4 \\
s_n(5) &= n+5 \\
&\vdots \\
s_n(m) &= n+m \\
&\vdots
\end{align*}$$ Como podrás observar, la función $s_n$ corresponde a sumarle a un número $n$ unidades. Formalmente así es como se defina la suma entre dos números. Veamos a continuación algunas propiedades de la suma. Como dato adicional, nota que para todo número natural $n$, $s_n(1)=\sigma(n)$

Propiedades de la suma

Proposición. La suma es asociativa, esto quiere decir, para $n,m,k \in \mathbb{N}$ se cumple que: $$ s_n(s_m(k)) = s_{n+m}(k) .$$
Demostración. Sean $n,m,k \in \mathbb{N}$. Lo que queremos demostrar es que $$n+(m+k) = (n+m)+k.$$ Para ello, nota que bastará probar que $s_n \circ s_m = s_{n+m}$. Para ello notemos que

  1. $s_n(s_m(0)) = s_n(m) = m+n$
  2. $s_n(s_m(\sigma(k))) = s_n(\sigma(s_m(k))) = \sigma(s_n(s_m(k)))$

Por otro lado, por definición de la suma:

  1. $s_{n+m}(0) = n+m$
  2. $s_{n+m}(\sigma(k)) = \sigma(s_{n+m}(k))$

Esto quiere decir que tanto $s_n \circ s_m$ como $s_{n+m}$ cumplen las dos condiciones del teorema de recursión, y este nos asegura que $$s_{n+m} = s_n \circ s_m$$ pues el teorema asegura que la función que cumple dichas dos condiciones es única.

$\square$

Proposición. La suma es conmutativa. Es decir, para $n,m,k \in \mathbb{N}$ se cumple que: $$s_n(m) = s_m(n).$$

Demostración. Sea $n \in \mathbb{N}$ . Haremos la demostración por inducción sobre $m$.
Base inductiva. Notemos que $s_n(0) = n$. Por otro lado, se puede demostrar sin mucha dificultad que $s_0(n) = n$ (se deja como tarea moral la demostración de este enunciado). De esta manera $$s_n(0) = s_0(m). $$

Hipótesis de inducción. Supongamos que $m \in \mathbb{N}$ es tal que $$s_n(m) = s_m(n). $$

Paso inductivo. Ahora demostraremos que $$s_n(\sigma(m)) = s_{\sigma(m)}(n). $$Para ello notemos que $$s_n(\sigma(m)) = \sigma(s_n(m))$$Ahora, aplicando la hipótesis de inducción, tenemos que $$\sigma(s_n(m)) = \sigma(s_m(n)). $$ Ahora, nota que $$ \begin{align*}
\sigma(s_m(n)) &= s_m(\sigma(n)) \\

& = s_m(s_1(n))\\

&= s_{m+1}(n) \\

&= s_{\sigma(m)}(n)
\end{align*}$$

Estas últimas dos igualdades son válidas debido a la asociatividad de la suma. Es una vez concluido esto último que podemos seguir la cadena de igualdades. Esto resulta en que $s_n(\sigma(m)) = s_{\sigma(m)}(n). $ Como se quería demostrar.

$\square$

La multiplicación

Cuando apenas estamos aprendiendo a sumar, alguna vez nos encontramos con una abreviación de sumar los mismos términos. Por ejemplo, nos dicen que si tenemos tres grupos de perros, cada uno con cinco perros, entonces podríamos contar el número total de perros con la siguiente expresión:

$5+5+5$

$3$ grupos de perros con $5$ perros cada uno

Quizá no es tan tardado en escribir $5+5+5$, y llegaríamos a la conclusión de que hay $15$ perros en total. Pero ahora ¿Qué pasaría si tenemos trescientos grupos de perros con cinco perros cada uno? Pues la notación se complica, pues para escribirlo, deberíamos anotar $5+5\underbrace{+\dots+}_{296 \text{ veces}}5+5$, es decir, sumar $5$ unas $300$ veces.

$300$ grupos de perros con $5$ perros cada uno

Es por esto que se llega a la noción de multiplicación, pues al considerar la primera suma, bien podemos escribir: $$5+5+5 = 3 \times 5.$$ Y la segunda suma: $$5+5\underbrace{+\dots+}_{296 \text{ veces}}5+5 = 300 \times 5 .$$

Ahora, nota que la primera suma se puede expresar como $$(5+5)+5 = (2 \times 5) + 5 $$ De manera que sabemos que $$3 \times 5 = (s(1) \times 5) + 5 $$

De igual forma $$(s(298)\times 5) + 5 = 300 \times 5$$ Eso generalizando a cualquier número $n \in \mathbb{N}$ lo escribiríamos como $$s(n) \times 5 = (n \times 5) + 5 $$ Y para cualquier número $m \in \mathbb{N}$: $$s(n) \times m = (n \times m) + m $$

Definición de la multiplicación

Sean $n, m \in \mathbb{N}$, la multiplicación entre números naturales la definiremos como la función $\times : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tal que:

$$\begin{align*}
0 &\times n = 0 \\
s(n) &\times m = (n \times m) + m
\end{align*} $$

Nota que esta es una definición recursiva, pues la definición de la multiplicación del sucesor de un elemento depende de la multiplicación del mismo elemento.

Usando el hecho de que sabemos que la multiplicación con el $0$ siempre es $0$, podemos obtener una propiedad interesante al ver qué pasa cuando multiplicamos cualquier elemento con el $1$, pues resultará que la multiplicación se comportará como la identidad cuando multiplicamos con el $1$.

Proposición. Para cualquier número natural $m$, $1 \times m = m$.

Demostración. Notemos que por definición $$0 \times m = 0$$, de manera que $$1 \times m = s(0) \times m $$

A su vez, podemos usar la otra propiedad de la multiplicación para sustituir el término $s(0)$: $$s(0) \times m = (0 \times m)+m=m $$ Llegando así al resultado deseado.

$\square$

Otra proposición interesante es que esta operación es conmutativa, y es algo que sabemos por sentido común, pues podríamos escribir que $$3 \times 5 = 5 +5+5 = 15=3+3+3+3+3=5\times 3 $$ Nuestro sentido común nos lo dice, sin embargo para demostrar esto, deberemos usar inducción matemática.

Proposición. La multiplicación de números naturales es conmutativa.

Demostración. Para esto notemos que podemos definir la multiplicación de cada número natural $m$ en términos de el teorema débil de recursividad como:
$$\begin{cases}
f_m(0) &= 0\\
f_m(n+1) &= m \times n + m
\end{cases}
$$
Ahora definamos la función $g_m(n) = n \times m$ y veamos que es la misma que $f$.
Notemos que cualquier suma de $0$ consigo misma es $0$, haciendo que $g_m(0)=0$ esto se puede demostrar por inducción y resulta una tarea que puede poner en práctica tus habilidades para este tipo de demostraciones.

Notemos que adicionalmente:
$$\begin{align*}
g_m(n+1) &= (n+1) \times m\\
&= (n \times m) + m \\
&= g_m(n)+m
\end{align*} $$
Demostrando que $g_m$ también cumple la definición de $f_m$. Como el teorema de recursión débil nos garantiza que $f_m$ es única, entonces $g_m=f_m$, esto quiere decir que $m \times n = n \times m$.

Como esto sucede para cualquier número natural $m$, entonces es cierta la siguiente afirmación: «$\forall m,n \in \mathbb{N}, m\times n = n \times m$»

$\square$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te ayudarán a repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. Demuestra que para todo número natural $n$, $s_n(1)=\sigma(n)$.
  2. Demuestra que para todo número natural $n$, $s_0(n)=n$.
  3. Demuestra que la multiplicación es asociativa.
  4. Demuestra que $0 \times n = n \times 0$.

Más adelante…

Ahora que hemos visto la suma y multiplicación de los números naturales, hablaremos un poco más de los conjuntos y su relación con los números naturales introduciendo «el tamaño de los conjuntos» o «cardinalidad»

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Álgebra Superior I: Principio de recursión en los números naturales

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

Introducción

En esta entrada revisaremos el concepto de recursión en un sentido matemático y revisaremos algunos ejemplos. Probablemente ya hayas escuchado el término, pues verás que es una herramienta útil para definir funciones en términos de las evaluaciones pasadas.

La suma de los primeros n números naturales

Carl Friedrich Gauss fue un matemático alemán del siglo XVIII el cual es uno de los más importantes en distintas disciplinas matemáticas como la teoría de números, la geometría y estadística. Sus aportes son varios en estas y más áreas por lo que nos tomaría varios años de estudio para llegar a muchos de sus resultados. En esta ocasión veremos uno de sus razonamientos más famosos el cual muchos le atribuyen cuando este solo estaba en el colegio cuando aún era niño.

Se dice que el profesor de su clase de matemáticas había castigado a todo el salón haciéndoles sumar los números naturales del $1$ al $100$. La historia dice que no pasó mucho tiempo (y mucho menos del esperado por el profesor) hasta que Gauss llegó con la respuesta «5050». El razonamiento que tuvo fue el siguiente: Para llegar a la suma, pondremos los números del $1$ al $100$ en una lista, y debajo los mismos números pero al revés, es decir, del $100$ al $1$, y notemos que sumando uno a uno los números de las dos listas como los hemos acomodado, queda un mismo número:

$$\begin{array}{cccccc}
&1 & 2 & \dots &99 & 100 \\
+&100 & 99 & \dots &2 & 1 \\
=&101 & 101 & \dots &101 & 101\\
\end{array}$$

De manera que si tenemos los primeros $100$ números, entonces el número resultante de la suma es $101$, de manera que si sumamos estos números, estaríamos sumando $100$ veces el número $101$, pero como hemos sumado dos veces la lista, entonces deberemos dividir entre $2$ para obtener la suma real. Dicho de otra forma: $$ \sum_{i=0}^{100} i = \frac{100(100+1)}{2} .$$
Si recuerdas, esta es la fórmula que probamos en la entrada pasada, pues en el caso general: $$ \sum_{i=0}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2} $$

Viendo la suma como recursión

Sigamos pensando en el ejemplo. Para cada $n \in \mathbb{N}$, llamemos $$S_n = \sum_{i=0}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2} .$$ Y nota que para cada número natural $n$ se cumple que:

  1. $S_0=0$
  2. Si $n>0$ entonces $S_n = S_{n-1}+n$

Nota ahora que podemos definir a $S_n$ únicamente en términos de la suma de su antecesor con el número. Esto quiere decir que si nos pidieran calcular $S_{51},S_{52},S_{53}$, primero podemos calcular $S_{51}$ sumando todos los números del $0$ al $51$, pero una vez tengamos ese resultado, no es necesario volver a sumar todos los números para $S_{52}$, sino que basta saber quién es $S_{51}$ y sumarle $52$ para obtener el término deseado, lo mismo para el siguiente número de la sucesión $S_{53}=S_{52}+53$. A $S$ se le puede ver como una función $S:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ donde $S_n$ hace referencia a la función $S$ valuada en $n$, esto quiere decir que $S(n)=S_n$. A esta función se le llamará una función recursiva.

Definición. Una función $\phi: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ se dice tener la propiedad de recursión si existe $a \in \mathbb{N} $ y una función $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ tal que:

  1. $\phi(0)=a$
  2. Si $n>0$ entonces $\phi(\sigma(n)) = f(\phi(n))$

Veamos esta definición por partes. Retomemos nuestro ejemplo de la suma de los primeros números naturales. La función que es recursiva es $\phi$, esta función debe satisfacer dos condiciones. La primera condición es que se defina a dónde «manda» el $0$, es decir, hace falta saber cómo empezar la definición recursiva, en este caso, se trata de cómo definimos el comportamiento de la función en el primer número del conjunto de los números naturales. La segunda condición se pone más interesante, pues lo que nos dice es que existe una función $f$ tal que la función $\phi$ evaluada en el sucesor de $n$ ($\sigma(n)=n+1$) es la función $f$ valuada en $\phi (n)$. Lo que quiere decir esta oración es que «Si quieres saber quién es $\phi(n+1)$ y ya sabes quién es $\phi (n)$, entonces basta hacerle algo a ese resultado (valuar ese resultado en $f$) para obtener lo querido».

En nuestro ejemplo de la función $S$ (en la definición, esta sería la función $\phi$), la función $f$ es aquella que a cada suma parcial le agrega el número correspondiente. Esto quiere decir que $f$ es la función: $$\begin{align*} f(S(n)) &= S(n)+n \\&= S(n+1)=S(\sigma(n))\end{align*}.$$

Teorema de recursión débil

El siguiente teorema nos garantiza no solo la existencia de funciones recursivas, sino que además nos garantiza que esta es una herramienta para conjuntos distintos al de los números naturales:

Teorema (Recursión Débil): Sea $X$ un conjunto y $x_{0}\in X$. Supongamos que tenemos una función $f:X\to X$. Entonces existe una única función $\phi:\mathbb{N}\to X$ tal que:

  • $\phi(0)=x_{0}$
  • $\phi(\sigma(n))=f(\phi(n)).$

La demostración de este teorema se verá en el curso de Álgebra Superior II. Y a grandes rasgos nos garantiza el hecho de que las definiciones de las funciones por recursión son matemáticamente válidas. En otras palabras, muestra que somos capaces de definir y usar funciones recursivas.

Algunos ejemplos

Veamos otro ejemplo de este tipo de funciones. Sea $n \in \mathbb{N}$ Definamos $$ n! = n*(n-1)*(n-2)*\dots*2*1.$$ Por ejemplo, $3!=3*2*1=6$. Nota que esta es una función que podemos describir como recursiva al establecer las siguientes condiciones:

  1. $0!=1$
  2. $n!=(n-1)!*n.$

Como veremos en siguientes entradas, esta función llamada factorial se utilizará mucho en conteo y combinatoria, pues nos hablará de el número de formas de combinar un conjunto con algún número de elementos.

El siguiente ejemplo requiere de una pequeña definición:

Definición. Sea $a$ una función. La función $a$ es una sucesión si $a : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ es una función entre números naturales.

Esta definición nos indica que a las funciones entre números naturales también se les conoce como sucesiones, muchas veces este no será el nombre común al que se refieran a las funciones de $ \mathbb{N} $ en $ \mathbb{N} $ pero si en alguna ocasión ves el término, sabrás a qué se refiere. También es común, al estar hablando de sucesiones, de escribir las evaluaciones de $a$ en cada término $n$ simplemente como $a_n$ es decir $a_n=a(n)$.

Supongamos ahora que tenemos la sucesión definida como $$a_n=5n+2$$. Los cinco primeros términos de esta sucesión son:$$a_0=2$$ $$a_1=7$$ $$a_2=12$$ $$a_3=17$$ $$a_4=22$$ Notemos que podemos escribir esto de forma recursiva, para ello, notemos que únicamente en cada paso estamos sumando un 5, de manera que $$a_{n+1}=a_n+5.$$Adicionalmente, ya sabemos cuánto vale en el $0$, así la siguiente proposición demuestra este hecho:

Proposición $a_n$ puede definirse de forma recursiva como:

  1. $a_0=2$
  2. $a_{n+1}=a_n+5.$

Demostración (por inducción)

Base inductiva. Es claro que $$a_0 = 2 = 0*5+2$$ De manera que se cumple la base de inducción.

Hipótesis inductiva. Supongamos que para $n\geq 0$ se cumple que $$a_n = a_{n-1}+5=5n+2.$$

Paso inductivo. Para demostrar que $$a_{n+1}=a_n+5$$ como dice la proposición, notemos que por definición de la sucesión, $$a_{n+1}=5(n+1)+2=5n+2+5.$$
Ahora, por hipótesis de inducción, $$a_n=5n+2.$$De esta forma, $$a_{n+1}=5(n+1)+2)+5=a_n+5. $$ tal como se quería demostrar.

$\square$

Tarea Moral

  1. Muestra que hay una única función $\phi$ entre número naturales tal que:
    1. $\phi(0)=10$
    2. $\phi(\sigma(n))=2\phi(n)$
  2. Da una definición explícita de la función del inciso anterior.
  3. Da una definición recursiva para las siguientes sucesiones:
    • $a_n=2n$
    • $a_n=2n+1$
    • $a_n=2^n$
    • $a_n=0$

Más adelante…

En esta entrada dimos la idea de lo que significa la recursión en las matemáticas, en la siguiente entrada usaremos esta idea para empezar a definir las operaciones básicas en los números naturales: la suma y el producto.

Entradas relacionadas

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Álgebra Superior I: Introducción a números naturales

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

Introducción

Hasta ahora hemos hablado de conceptos introductorios de conjuntos, lógica, funciones y relaciones. Ahora empezaremos a ver más aplicaciones de estos fundamentos matemáticos, y en esta unidad empezaremos a hablar de un concepto que muchos de nosotros usamos todos los días y uno de los conceptos clave que históricamente es la base del estudio matemático en muchas culturas: los números naturales.

Empezando a contar

Vamos a pensar en los números que nosotros usamos para contar, cuando estamos pagando algún objeto, pensamos en unidades de dinero, un objeto $x$ puede costar $10$ monedas, en una tienda, puede haber $5$ camisas, $2$ pantalones y como se agotaron los zapatos, podemos decir que hay $0$ zapatos.

A estos números que usamos para contar, les llamaremos «números naturales», el término de natural viene del hecho que es un concepto que se viene de forma intuitiva, o a que surgen naturalmente a raíz de las necesidades de las distintas culturas que han existido a lo largo de la historia. Esta idea de pensar a los números naturales es buena para tener una intuición de cómo funcionan, sin embargo vamos a abstraer un poco la idea de lo que significa un número en esta y las siguientes entradas, desde su definición hasta la forma en que se suman y se multiplican, por ejemplo.

Los axiomas de Peano

Giuseppe Peano fue un matemático del siglo XIX que llegó a formalizar el término de «número natural», explicando algunas reglas que cumplían los números naturales, antes de ver cómo se construyen estos, veamos cuáles son estas reglas o axiomas que estableció Peano.

Para Peano, los números naturales son un conjunto al que denominaremos por $\mathbb{N}$ junto con una relación $\sigma \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} $, es decir considera a una pareja de términos $( \mathbb{N} , \sigma)$ que cumplirán los siguientes axiomas:

Axioma 1. Existe un elemento especial en $ \mathbb{N} $ que denominaremos por $0$.

Axioma 2. Para cada elemento $m \in \mathbb{N} $ existirá un único elemento $n \in \mathbb{N} $ tal que $(m,n) \in \sigma$, es decir $\sigma$ es una función.

Axioma 3. Para todo número natural $n$, sucede que $\sigma(n) \neq 0$.

Axioma 4. $\sigma$ es una función inyectiva.

Axioma 5 (Primer principio de inducción). Si $S$ es un subconjunto de $ \mathbb{N} $ tal que:

  1. $0 \in \mathbb{N}$
  2. Para cada número $n \in S$, sucede que $\sigma(n) \in S$

Entonces $S=\mathbb{N}$

Normalmente a la función $\sigma$ se le conoce como la función sucesora. Pensemos en esto con la intuición que tenemos sobre el sucesor de un número. Primero notemos que podemos resumir los primeros cuatro axiomas diciendo que $\sigma$ es una función biyectiva $\sigma: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \setminus \{0\}$. Para ver eso, consideremos la siguiente proposición:

Proposición. $Im(\sigma)=\mathbb{N}\setminus \{0\}$.

Demostración. Para esta demostración, solo basta probar que $Im(\sigma) \supset \mathbb{N}\setminus \{0\}$. Ahora supongamos que $n \in Im(\sigma)$, entonces como $n \in \mathbb{N}$ sucede que $\sigma(n) \in Im(\sigma)$. Como $\mathbb{N}$ satisface los axiomas de Peano y el conjunto $Im(\sigma) \cup \{0\}$ satisface las condiciones del axioma 5, entonces $Im(\sigma) = \mathbb{N}$. De tal manera que $(Im(\sigma) \cup \{0\}) \setminus \{0\} = \mathbb{N} \setminus \{0\}$, esto debido a que $0$ no es sucesor de ningún número.

$\square$

Construcción de los números naturales

Normalmente llamamos a este conjunto de los números naturales al conjunto $\{0,1,2,3,\dots\}$ y la función sucesora es la función: $$\begin{align*}1&\xrightarrow{\sigma}2\\ 2&\xrightarrow{\sigma}3\\ 3&\xrightarrow{\sigma}4 \\&\vdots\end{align*}$$ Es decir, es la función que a cada número lo manda a su sucesor. Esta forma de pensar a los números es la habitual, y de hecho cualquier sistema numérico que satisfaga los axiomas, será equivalente a los números naturales, es decir que existe un único sistema numérico que cumpla los axiomas de Peano salvo isomorfismos. No te preocupes si no entiendes este término aún, solo es otra forma de decir que podemos pensar a los números naturales como cualquier conjunto que cumpla los axiomas.

A continuación vamos a presentar una forma conjuntista de construir a los números naturales. Para ello, nos olvidaremos un rato de los axiomas de Peano y daremos algunas definiciones.

Definición. Sea $S$ un conjunto, entonces el sucesor $\sigma(S)$ de $S$ es el conjunto $$\sigma(S)= S \cup \{S\} $$.

Por ejemplo:

  1. $\sigma(\emptyset) = \{\emptyset\}$
  2. $\sigma(\{\emptyset\}) = \sigma(\sigma(\emptyset))=\{\emptyset\} \cup \{\{\emptyset\}\}$.

Definición. Un conjunto $X$ es inductivo si:

  1. $\emptyset \in X$
  2. $x \in X \Rightarrow \sigma(x) \in X.$

Ahora definamos al conjunto $\mathbb{N}$ como el conjunto formado por $\emptyset$ y los elementos resultantes de la aplicación iterativa de la función sucesora, es decir: $$ \mathbb{N} = \{\emptyset, \sigma(\emptyset),\sigma(\sigma(\emptyset)),\sigma(\sigma(\sigma(\emptyset))),\dots \}$$ Por construcción, este es un conjunto inductivo.

Con esto en mente, podemos entonces pensar a estos números naturales como a los conjuntos $$\begin{align*}&\emptyset\\
&\{\emptyset\} \\
&\{ \emptyset \} \cup \{\{ \emptyset \}\} = \{\emptyset,\{\emptyset\}\}\\
&\{ \emptyset \} \cup \{\{ \emptyset \}\} \cup \{ \{ \emptyset \} \cup \{\{ \emptyset \}\} \}= \{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\} \\ &\dots \end{align*}$$

Uniendo con los axiomas de Peano

Ahora veremos que de hecho estos conjuntos cumplen los axiomas de Peano.

Teorema. $\mathbb{N}$ cumple los axiomas de Peano.

Demostración. Recordemos que primero deberíamos demostrar que $\sigma: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \setminus \emptyset$ es una función biyectiva. Para ello, notemos que es inyectiva, para probar esto, supongamos que $n,m \in \mathbb{N}$ tales que $\sigma(n)=\sigma(m)$. Como $n \in \sigma(n)$ entonces $n \in \sigma(m)$. Esto significa que $n \in m \lor n=m$. De la misma manera $m \in m \lor n=m$. De manera que al cumplirse las dos condiciones al mismo tiempo sucede que $(n \in m \land m \in n) \lor m=n$. La primera condición resulta en una contradicción de la teoría de conjuntos que no revisaremos en este curso1.
Además. $\sigma$ también es suprayectiva, pues recordemos que por construcción, cada elemento de $\mathbb{N}\setminus(\emptyset)$ es de la forma $\sigma(n)$. Así que si consideramos cualquier elemento $m \in \mathbb{N}\setminus(\emptyset) $ existirá $n \in \mathbb{N}$ tal que $\sigma(n)=m$. De esta forma, la función es biyectiva.

Ahora, para ver que se cumple el quinto axioma, recordemos que $ \mathbb{N}$ es un conjunto inductivo. Ahora, veamos que si $\emptyset$ es nuestro elemento como en el axioma 1, se cumple del primer al cuarto axioma. Además, se cumplirá el quinto axioma, pues el $0$ de este conjunto es $\emptyset$. Así, el conjunto satisface los axiomas de Peano.

$\square$

Para usar la notación normal de los números naturales, vamos a escribir la numeración normal que conocemos:
$$\begin{align*}
&0 \rightarrow\emptyset\\
&1 \rightarrow \{\emptyset\} \\
&2 \rightarrow \{\emptyset,\{\emptyset\}\}\\
&3 \rightarrow \{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\} \\ &\dots \end{align*}$$

Notas

  1. En particular la contradicción de la demostración es con un axioma que se llama el axioma de regularidad, este axioma se revisa en cursos específicos de Teoría de Conjuntos o en cursos de Lógica y Conjuntos

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te ayudarán a repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. ¿Cuál es el sucesor del conjunto $\{1,\{2,3\}\}$?
  2. Demuestra que para cada conjunto $S$, $\sigma(S)$ tiene al menos un elemento.
  3. Demuestra que para cualquier conjunto $X$, $|X|=n$ si y solo si existe una biyección entre $X$ y $n$.

Más adelante…

El quinto axioma de Peano que también se le conoce como primer principio de inducción como está definido es muy útil para pensar algunas cosas de las matemáticas que tienen que ver con números naturales. Es incluso tan importante este axioma que existe un tipo de demostración matemática que no hemos revisado y será el uso de este axioma para las «demostraciones por inducción»

Entradas relacionadas

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